高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式的解法单元检测(含解析)新人教A版必修5

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高二数学必修五第三章《不等式》3.2一元二次不等式及其解法

2
O
x1

x1=x2
x2
x
a x b x c 0的解
2

Hale Waihona Puke 25金太阳教育网
判别式 △=b2- 4ac
品质来自专业函数、方程、不等式之间的关系信赖源于诚信
△>0 y x1 O
y>0
△=0
△<0
y>0
y=ax2+bx+c 的图象
y
y
y>0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
⑴
当
1 a
6, 即a
1 6
时
1 解集为 : x x 或x 6 a
⑵ 当 ⑶
1
6, 即a
1
时
①当a<0时， a
②当a>0时， a
0,
1 解集为 x 6 x a 1
0
解集为 : x x R或x 6 1 1 当 6, 即0 a 时 a 6
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 (a 2) 4(a 2) 0
a 2 即 2 a 6 a 2 即 (a 2)(a 6) 0
解集为：
5 x x R且x a 2 ;
5
3.当⊿=25a2－24<0,

高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法自我小测新人教B版必修5(2021学年)

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3。

３一元二次不等式及其解法自我小测1．下列不等式中，解集是R的是（ )A．ｘ2+2x+1＞0 B.错误!>0 C．错误!x+1＞0 D.错误!－２〈错误!2．已知2ａ+１<0,则关于x的不等式x２－4ａx－5a2＞0的解集是( )A.｛x｜x＞５a或ｘ<-a} B．{x|x<5a或x＞－a｝Ｃ.｛x｜－a＜x<5a} D．｛x|5a<x＜－a｝3．已知不等式ax２+bx+c>0的解集为错误!，则不等式cx2+bｘ＋a<0的解集为( )A.错误!B.错误!C．错误!Ｄ．错误!4.设f（ｘ)=错误!则不等式f(x)＞2的解集为（ )A．（1，2)∪（3,+∞） B．(＼r(10),＋∞）C．(1,２)∪（1０，＋∞) D.(1,2)5.关于ｘ的方程x2+(a2-1)ｘ＋a－2＝0的一根比1小且另一根比１大的充要条件是（)A.-1＜ａ<1 Ｂ.a<－1或a＞1C.－2<ａ＜1 D．a＜－2或a>1６．若方程x２+（k－2)ｘ＋2k-1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是_______＿.7．已知三个不等式①x2-4x＋3〈0,②x2－６x+8<0,③2x2－9x＋m〈０，要使同时满足①和②的所有x都满足③，则实数ｍ的取值范围是_＿______.8．已知f（ｘ)是定义在R上的奇函数,当x〉0时，f（x)=x2-４x，则不等式ｆ（x)〉x的解集用区间表示为___＿_＿_＿＿_．９．解关于ｘ的不等式ａx2-(ａ＋1)ｘ＋1<０．1０.若关于x的不等式错误!＜2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.参考答案1．解析:因为x2+２x+１=（ｘ+１)2≥0,所以选项A不正确;又错误!=|ｘ｜≥0,所以选项B也不正确;选项D中x≠０;而错误!x＞0,所以错误!x+1＞1>0,ｘ∈Ｒ，故选C．答案：C2．解析:x2－4ａx－５ａ2＞０⇒（x－５ａ）(ｘ＋a)＞0．∵a＜-＼f(1，2),∴5a＜-a.∴x>-ａ或x＜5a.故选B．答案:Ｂ3．解析：方法一:ax2+bｘ+c＞０的解集为错误!⇔3x2－5x－２＜０⇔-3x２＋5ｘ+2>0.设ａ=-３ｋ，b＝5k,c=2k（k＞0),则cx2＋bx＋a＜0⇔2ｋx2+5kｘ-3k<0⇔２x2+5ｘ－3<０⇔-3<x<错误!，故选A.方法二：由题意知a<0,且－错误!=错误!+2,错误!=错误!×２,即错误!=－错误!,错误!=－错误!，而cx２+bｘ＋a<0⇔错误!ｘ2＋错误!ｘ＋1>0⇔-错误!ｘ２－错误!ｘ+1>0⇔2x2＋5ｘ－3＜0⇔－３＜ｘ＜错误!，故选A.答案:A4.解析:当ｘ<2时,令2e x－1>2，解得1＜x<２．当ｘ≥2时，令loｇ３（ｘ2－1）>２，解得ｘ∈（10,+∞)．故x∈(1,2)∪(错误!,+∞）.答案：C5．解析:令ｆ（x)=x2＋（a2-1)x＋a-2,则它是开口向上的二次函数，方程的根即是函数与x轴的交点的横坐标，因此只需f(１)<０,即１＋a2-1+ａ－2<0，∴－2<a＜1.答案:C6.答案:错误!7.解析:方法一：由22430,680, x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩,解得2<x＜3．③对于2＜x〈3恒成立，即m〈－２x2＋9x对x∈(2，3）恒成立,∴m只需满足小于函数-2x2＋9x在区间（２,３）上的最小值，即当ｘ=3时，最小值为9,但取不到最小值．∴m≤9．方法二:错误!⇒错误!⇒２〈x 〈3．设f (x ）=２x 2－9ｘ＋m .当ｘ∈(２,3)时，ｆ(ｘ)〈0恒成立.由二次函数的图象与性质,得错误!即错误!解得m ≤９．答案:（－∞，9]８．解析：∵函数f (x ）为奇函数，且ｘ〉0时,ｆ（x )=x ２-４x ,则f (x )=错误!∴原不等式等价于错误!或错误!由此可解得x 〉5或－5<ｘ〈０.故应填(－５，0)∪(５，+∞）.答案：(－5,0)∪(５,＋∞)９．解：(1)当ａ＝0时,原不等式化为－x +1<０,∴不等式的解集是{x |x >1}．（ 2)当a ≠0时,原不等式可化为a (ｘ-1)·错误!＜０.若ａ<0，则（ｘ－１)错误!>0．∵错误!<1，∴原不等式的解集为错误!;若ａ>０时，原不等式化为（x -1)错误!＜0．①当１a<1,即a ＞１时,不等式的解集为错误!． ②当＼f(1，ａ）=１，即a ＝1时，不等式即为(ｘ－1）2＜０，显然不等式的解集为∅． ③当错误!>1，即0＜a <1时,不等式的解集为错误!.综上，原不等式的解集如下：当a ＜0时,解集为错误!；当a =0时，解集为｛x |x >1}；当0<a <１时，解集为错误!；当a ＝1时，解集为∅；当ａ＞1时，解集为错误!.10.解:解法一:∵x 2-２ｘ+3=（x －1)２＋2〉0,∴不等式＼ｆ(4x +m ，x 2－２ｘ＋3)＜2同解于4x +m <2x 2-4ｘ＋6，即２ｘ2－8x＋6－ｍ>０.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－８ｘ+6－ｍ〉0对任意实数x恒成立．∴<0,即6４－８(6－m）〈０.整理并解得m〈－2．∴实数m的取值范围是（－∞,-2)．解法二:要使错误!＜2对任意实数ｘ恒成立，只要２x２－8x+6-m＞0恒成立即可．变形为ｍ〈2x2-8x+6.设h(x）=２x2-8x＋6，要使m〈2x2-8x+6恒成立，只要m<h(x)min．而h(ｘ）＝2x2-8x+6＝2（x－2)2-2≥－2,∴h（ｘ)ｍｉn＝－２．∴ｍ〈－２.∴实数m的取值范围是（-∞，－2)．以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

2020学年高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法练习新人教A版必修5

第1课时一元二次不等式的解法1.不等式6x 2＋x －2≤0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12)B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12)C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12)D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23)解析因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12).答案 A2.设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵a ＜－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，∴1a＞a ，∴x ＞1a或x ＜a .答案 A3.不等式2x 2－x －1＞0的解集是________.解析由2x 2－x －1＞0，得(x －1)(2x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，从而得原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)4.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________.解析由表格可知，函数的图象开口向上，且零点为x ＝－2，x ＝3，因此图象关于x＝12对称，从而不等式ax 2＋bx ＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)5.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－2或x ＞－12)，则ax 2－bx ＋c＞0的解集为________.解析由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a（－2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a，解得a ＝c ，b ＝52c .所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0即为2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2，即不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝ A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32)，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案 D2.设－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )(ax －1)＞0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵－1＜a ＜0，∴(x －a )(ax －1)＞0可化为(x －a )·a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∴(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.又－1＜a ＜0，∴a ＞1a，∴原不等式解集为1a＜x ＜a .答案 C3.在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为 A.(0，2)B.(－2，1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1，2)解析由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 答案 B4.关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 ∵关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＝b . ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0⇔a (x ＋1)(x －3)>0⇔(x ＋1)(x －3)>0⇔x <－1或x >3. 答案 A5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}解析由题意可知f (x )＝－(x ＋1)(2x －1)，则f (10x)＝－(10x＋1)(2·10x－1)>0，即(10x＋1)(2·10x－1)<0，∵10x＋1>0，∴2·10x－1<0，解得x <－lg 2. 答案 D6.(能力提升)已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是A.a <α<β<bB.a <α<b <βC.α<a <b <βD.α<a <β<b解析 ∵α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2的图象与x 轴交点的横坐标. ∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.由于f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________.解析 ∵0＜t ＜1，∴1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t ).答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t )8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 f (x )>x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧0>x ，x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0⇔x >5或－5<x <0.∴不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)9.(能力提升)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________.解析 ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2. 答案 {x |x ＞1或x ＜－2}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)解下列关于x 的不等式： (1)(7－x )(x ＋2)≥0；(2)－9x 2＋3x －14≥0；(3)－12x 2＋2x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.解析 (1)原不等式化为(x －7)(x ＋2)≤0，所以－2≤x ≤7.故所求不等式的解集为{x |－2≤x ≤7}.(2)原不等式化为9x 2－3x ＋14≤0，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －122≤0，所以x ＝16. 故所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝16. (3)原不等式化为x 2－4x ＋10<0，即(x －2)2＋6<0，故所求不等式的解集为∅.(4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0.所以x ∈R.故所求不等式的解集为R.11.(12分)解关于x 的不等式：ax 2＋(1－a )x －1＞0(a ∈R). 解析原不等式可化为(x －1)(ax ＋1)＞0. (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0，所以解集为{x |x ＞1}. (2)当a ＞0时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜－1a .(3)当a ＜0时，①当－1＜a ＜0时，－1a＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜－1a .②当a ＝－1时，原不等式变为－(x －1)2＞0，所以解集为∅.③当a ＜－1时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a＜x ＜1.12.(12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中β>α>0，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集.解析 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}， ∴α，β是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0.∴αβ＝c a ，α＋β＝－b a，∴c ＝aαβ，b ＝－a (α＋β). ∵cx 2＋bx ＋a <0，∴a αβx 2－a (α＋β)x ＋a <0. 整理，得αβx 2－(α＋β)x ＋1>0. ∵β>α>0，∴αβ>0，1α>1β，∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0.∵方程x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ＝0的两根为1α，1β.∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α或x <1β，即不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α，或x <1β.。

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的解法（第1课时）练习（含解析）新人教A 版必修5一、选择题：1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集为( )A ．{x |x ≤2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅【答案】C【解析】：由－x 2－x ＋2≥0，得x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，所以原不等式解集为{x |－2≤x ≤1}．2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)【答案】B【解析】由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1. 3．二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 【答案】D【解析】结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx ＋c ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0.4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 【答案】D【解析】由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13.所以⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.5．已知不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }．则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【答案】C【解析】因为不等式ax 2＋3x －2＞0的解集为{x |1＜x ＜b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)【答案】D【解析】由x ＜g (x )，得x ＜x 2－2，则x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，则－1≤x ≤2.因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2. 因为当x ＜－1时，y ＞2；当x ＞2时，y ＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0. 所以当x ∈[－1，2] 时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.综上可知，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题：7．设0＜b ＜1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．【答案】(1，3)【解析】原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a ＞1时，b 1－a ＜x ＜b a ＋1，由题意知0＜ba ＋1＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a＜－2.整理，得2a －2＜b ≤3a －3.结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a .所以a ＜3，从而有1＜a ＜3.综上可得a ∈(1，3)．8．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t【解析】因为0＜t ＜1，所以1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |t ＜x ＜1t . 9．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________．【答案】{x |x ＞1或x ＜－2}【解析】因为ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2.10．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．【答案】(－∞，1]【解析】 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.三、解答题 11．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3＞0. 【答案】见解析【解析】 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R. 12．解不等式组：－1＜x 2＋2x －1≤2. 【答案】见解析【解析】原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1＞－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＞0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.所以原不等式组的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}， 13．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若不等式f (x )＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值．【答案】见解析【解析】 (1)当m ＝1时，不等式f (x )＞0为2x 2－x ＞0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1＞0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m ＞0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根．因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.。

高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二

2．2 一元二次不等式的应用知识点一简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一根的分布问题【例1】已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图．若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0，即27－m <0，解得m >27.规律方法一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二高次不等式的解法【例2】解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号．在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四一元二次不等式的应用【例4】当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0，解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)．解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5

＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x

x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x

－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x

x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述：当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}；当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}；当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1

2020-2021学年高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式及其解法同步作业(含解

一元二次不等式及其解法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.不等式x2-2x<0的解集是( )A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<0}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<-2或x>0}【解析】选A.方程x2-2x=0的两根为0,2,且函数y=x2-2x的图象开口向上,所以不等式x2-2x<0的解集为{x|0<x<2}.2.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N等于( )A.{x|x<-2}B.{x|x>3}C.{x|-1<x<2}D.{x|2<x<3}【解析】选C.由已知,集合M={x|x2<4}={x|-2<x<2},N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},所以M∩N={x|-1<x<2}.3.函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为( )A.{x|x>2或x<1}B.{x|x≥2或x≤1}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1<x<2}【解析】选A.由x2-3x+2>0,得(x-2)(x-1)>0,所以x>2或x<1.4.(2019·安阳高二检测)若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为(-∞,1)∪(m,+∞),则a+m等于( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.由题意知,1和m是方程x2-3ax+2=0的两个根,则由根与系数的关系,得,解得,所以a+m=3.5.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是( )A.10B.-14C.14D.-10【解析】选B.因为不等式ax2+bx+2>0的解集是,所以-,是方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a<0,所以-=-+,=-×,解得a=-12,b=-2,所以a+b=-14.6.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意可知,方程ax2+2x+c=0的两根为x1=-,x2=,由根与系数的关系可得,解得,所以不等式cx2-2x+a≤0即为2x2-2x-12≤0,则(x+2)(x-3)≤0 解得-2≤x≤3.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________.【解析】因为ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),所以1,m是方程ax2-6x+a2=0的根,故a≠0且m>1⇒⇒答案:28.(2019·新乡高二检测)已知方程ax2+bx+1=0的两个根为-,3,则不等式ax2+bx+1>0的解集为________.【解析】由题意得:⇒则不等式可化为:4x2-11x-3<0⇒-<x<3,故不等式的解集为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019·雅安高一检测)关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为.(1)求a,b的值;(2)求关于x的不等式bx2-ax-2>0的解集.【解析】(1)关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为,所以a<0,且-1和2是方程ax2+bx+2=0的两实数根,由根与系数的关系知,解得a=-1,b=1.(2)由(1)知,a=-1,b=1时,不等式bx2-ax-2>0为x2+x-2=0⇒(x+2)(x-1)>0⇒x>1或x<-2,所以不等式bx2-ax-2>0的解集是.10.已知函数f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),若对于任意x∈[2,4],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.【解析】因为f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),所以2x2+bx+c<0的解集是(0,5),所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-=5,=0,所以b=-10,c=0,所以f(x)=2x2-10x.f(x)+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,所以2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0.设g(x)=2x2-10x+t-2,则由二次函数的图象可知g(x)=2x2-10x+t-2在区间[2,2.5]为减函数,在区间[2.5,4]为增函数. 所以g(x)max=g(4)=-10+t≤0,所以t≤10.即t的取值范围为(-∞,10].。

高中数学第三章不等式2、1一元二次不等式的解法2、2一元二次不等式的应用基础训练北师大版必修5

一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。

高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法高效测评新人教A版必修5

2016-2017学年高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法高效测评新人教A 版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( )A ．{x |x ≥5或x ≤－1}B ．{x |x >5或x <－1}C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1≤x ≤5}解析：不等式x 2－2x －5>2x 化为x 2－4x －5>0，解得x >5或x <－1.答案： B2．设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]解析：易知M ＝(－3,2)，∴M ∩N ＝[1,2)．故选A.答案： A3．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ∩N ＝MC ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R解析： M ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，N ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，所以M ∩N ＝M .答案： B4．函数y ＝x ＋3＋log 2(x 2－4x ＋3)的定义域为( )A ．[－3,3)B ．[－3,1)∪(3，＋∞)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≥0，x 2－4x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－3，x <1或x >3.∴－3≤x <1或x >3，故其定义域为[－3,1)∪(3，＋∞)．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．满足不等式0≤x 2－2x ≤15的x 的取值范围是________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ≥0，x 2－2x －15≤0.解得－3≤x ≤0或2≤x ≤5.答案： [－3,0]∪[2,5]6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：解析：由题表得方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋2)(x －3)．将(－3,6)代入二次函数得a ＝1>0，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >3}．答案： {x |x <－2，或x >3} 三、解答题(每小题10分，共20分)7．解下列不等式：(1)2x 2－3x －2>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)－6x 2－x ＋2≥0；(4)－4x 2≥1－4x ；(5)2x 2－4x ＋7<0.解析： (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，∴方程2x 2－3x －2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >2或x <－12.(2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0，∴x 2－3x ＋5>0的解集为R .(3)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －23≤x ≤12. (4)原不等式可化为4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝12. (5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，∴不等式2x 2－4x ＋7<0的解集为∅.8．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解析： ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，∴－3,4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－b a ，－3×4＝c a ， ∴b ＝－a >0，c ＝－12a >0. ∴不等式bx 2＋2ax －c －3b <0可化为－ax 2＋2ax ＋12a ＋3a <0，即x 2－2x －15<0，等价于(x －5)(x ＋3)<0， ∴不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集为{x |－3<x <5}．尖子生题库☆☆☆ 9.(10分)解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式 Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }．(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }．(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，x ∈∅.。

高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法(一)数学

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解不含参数的一元二次不等式解下列不等式． (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0.
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【解】
(1)Δ＝49>0，方程 2x2＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3，x2＝12，作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图象．如图所示，用阴影部分描出原不12/等10/20式21 的解，由图可得原不等式的解集为x－3<x<12.
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含参数不等式中对参数进行讨论的标准 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式符号，即相应二次函数图象与 x 轴交点的个数． (3)当 Δ>0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小．简记为 “一 a、二 Δ、三两根大小”． (4)最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
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(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0.
因为 Δ＝12>0，解方程 3x2－6x＋2＝0，
得 x1＝3－3 3，x2＝3＋3 3，作出函数 y＝3x2－6x＋2 的图象，
如图所示，
由图可得原不等式的解集为xx≤3－3
3或x≥3＋3
3 .
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1．一元二次不等式只含有_一__个___未知数，并且未知数的最高次数是__2__的不等式叫做一元二页，共四十三页。
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法描述：高次不等式的解法解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是：（1）将 f (x) 最高次项系数化为正数；（2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积；（3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出；（4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根要穿而不过；（5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ．解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ．利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a

(新课标)高中数学第3章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法第2课时含参数一元二次不等式的

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时含参数一元二次不等式的解法课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2015·全国Ⅱ理，1)已知集合A＝{－2，－1，0，1,2},B＝｛x|(x－1）(x＋2）＜0｝，则A∩B＝错误!( A )A．{－1,0} B．{0，1}C．｛－1,0,1} D．{0，1,2}[分析］本题考查集合的运算;先解不等式求出集合B，再按交集定义选择；也可以将A 中元素依次代入B中不等式看不等式是否成立，作出判断．［解析］由已知得B＝{x|－2<x〈1}，故A∩B＝｛－1，0}，故选A．2．（2016·贵州贵阳一中月考)若a＜0,则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是错误! ( B ）A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a［解析］化为：（x＋a)（x－5a）＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a，∵a＜0，∴x1＞x2。

∴不等式解为x＜5a或x＞－a。

3．(2016·江苏淮阳中学月考)不等式x－22x－3x＋1<0的解集为错误!（ A ）A．｛x|－1〈x<2或2〈x〈3｝B．｛x|1〈x<3｝C．{x|2〈x〈3｝D．｛x｜－1<x<3}[解析]原不等式等价于错误!解得－1〈x<3，且x≠2,故选A．4．若{x｜2<x〈3｝为x2＋ax＋b〈0的解集，则bx2＋ax＋1〉0的解集为错误!( D ）A．{x|x<2或x〉3｝B．{x|2<x<3｝C．{x｜错误!〈x〈错误!｝D．｛x|x<错误!或x〉错误!}［解析］由x2＋ax＋b〈0的解集为{x|2<x〈3｝，知方程x2＋ax＋b＝0的根分别为x1＝2，x＝3.2由韦达定理，得x1＋x2＝－a，x1·x2＝b,即a＝－5，b＝6。

高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法练习（含解析）新人教A 版必修5知识点一解一元二次不等式1．不等式4x 2－11x ＋6≤0的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤34或x ＞2 D ．{}x |x ＜2答案 A解析原不等式可化为(4x －3)(x －2)≤0，解得34≤x ≤2．故选A ．2．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅ B ．RC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －13＜x ＜12 D ．x ∈R ⎪⎪⎪x ≠16答案 A解析 ∵Δ＝－23＜0，且二次函数y ＝3x 2－x ＋2的图象开口向上，∴3x 2－x ＋2＜0的解集为∅．3．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5} 答案 B解析不等式x 2－2x －5＞2x 可化为x 2－4x －5＞0，解得x ＞5或x ＜－1． 4．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________．答案 {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4} 解析由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3；由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4．∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜4}．知识点二根与系数关系的应用5．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析由题意知，－ba ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2．6．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2，12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－12 答案 D解析由题意知－2，3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m 2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12．知识点三一元二次不等式的应用7．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0．当m ＝2时，4＞0，x ∈R ；当m ＜2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2．此时，x ∈R ．综上所述，－2＜m ≤2．8．不等式lg x 2<(lg x )2的解集是________．答案 {x |x >100或0<x <1}解析不等式lg x 2<(lg x )2，可化为(lg x )2－2lg x >0，解得lg x >2或lg x <0，即x >100或0<x <1．易错点一忽略二次项系数的正负9．求一元二次不等式－x 2＋5x －4＞0的解集．易错分析本题易不注意二次项系数为负数错解为x ＜1或x ＞4．解原不等式等价于x 2－5x ＋4＜0，因为方程x 2－5x ＋4＝0的根为x 1＝1，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |1＜x ＜4}．易错点二忽略不等式对应方程根的大小10．解关于x 的不等式21x 2＋4ax －a 2＜0．易错分析当一元二次不等式解集的端点值(即对应方程的根)无法比较大小时，要注意分类讨论．本题易错解为－a 3＜x ＜a7．解原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 7＜0． ①当a ＞0时，a 7＞－a3，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ －a3＜⎭⎪⎬⎪⎫x ＜a7； ②当a ＜0时，a 7＜－a3，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ a 7＜x ⎭⎪⎬⎪⎫＜－a3； ③当a ＝0时，原不等式的解集为∅．一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫32答案 D解析原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32．故选D ．2．下列不等式：①x 2＞0；②－x 2－x ≤5；③ax 2＞2；④x 3＋5x －6＞0；⑤mx 2－5y ＜0；⑥ax 2＋bx ＋c ＞0．其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个答案 D解析根据一元二次不等式的定义知①②正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤1} B．{x |－2≤x ≤2} C ．{x |－2≤x ≤1} D．{x |－1≤x ≤2} 答案 A解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0或0＜x ≤1，即－1≤x ≤1．故选A ．4．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0，x ∈Z }，则集合M 的真子集个数为( ) A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 答案 B解析由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，∴M ＝{0，1，2}．故选B ． 5．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案 A解析令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0．∵t ＝|x |≥0．∴t －2＜0．∴t ＜2． ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2．二、填空题6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________．答案 {x |－1＜x ＜1}解析 ∁U A ＝{x |x 2－1＜0}＝{x |－1＜x ＜1}． 7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．答案 {x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1．8．已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，对于系数a ，b ，c 有下列说法：(1)a ＞0；(2)b ＞0；(3)c ＞0；(4)a ＋b ＋c ＞0； (5)a －b ＋c ＞0．其中正确的序号是________．答案 (3)(5)解析依题意有a ＜0且b a ＝2－12＝32＞0，c a ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1＜0，故b ＜0，c ＞0，a ＝－c ，b ＝－32c ．令f (x )＝ax 2－bx ＋c ，则f (1)＝a －b ＋c ＝32c ，f (－1)＝a ＋b ＋c ＝－32c ，所以f (1)＞0，f (－1)＜0，所以a －b ＋c ＞0，a ＋b ＋c ＜0．故(3)(5)正确．三、解答题 9．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1．解 (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， ∴(2x ＋1)(x －2)<0．故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2．(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0， ∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12或x ≥1．10．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，求－cx 2＋2x －a ＞0的解集．解由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，知a ＜0，且－13和12是方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－13×12＝c a，－13＋12＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.所以－cx 2＋2x －a ＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3．所以－cx 2＋2x －a ＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．。

高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式第2课时一元二次不等式及其解法(二)数学

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(1)若在①处忽视对二次项系数的讨论，则会漏掉 k＝0 的情况，从而错填(0，1]． (2)二次项系数含参数时要分系数为正、系数为零、系数为负三种情况进行讨论，尤其是当系数为零时，一元一次不等式要注意单独验证．如本例中当 k＝0 时，不等式为 3≥0，成立．因此，k＝0 符合题目要求．
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3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位：m)的取值范围是________．
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解析：设矩形高为 y，由三角形相似得： 4x0＝404－0 y，且 x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得 y＋x＝40，将 y＝40－x 代入 xy≥300，整理得 x2－40x＋300≤0，解得 10≤x≤30. 答案：[10，30]
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3．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y ＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，所以 x2＋50x－30 000≥0，得 x≤－200(舍去)或 x≥150，又因为 0<x<240，x∈N，所以 150≤x<240，x∈N. 答案：150
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简单的分式不等式的解法 (1)不等式2xx－＋11≤0 的解集为________． (2)不等式x＋x 1≤3 的解集是________．

高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法

2016-2017学年高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课后演练提升北师大版必修5一、选择题(每小题5分，共20分) 1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13C ．∅D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 解析： 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0， ∴x ＝－13，故选D.答案： D2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0x 2－3x ＜0的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}解析：原不等式组等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＜1x x －3＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3⇔0＜x ＜1.故选C. 答案： C3．若不等式ax 2＋bx －2＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－14，则a ，b 的值分别是( ) A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－1，b ＝9 C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝2解析：－2，－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－14＝－b a ，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－2a ，解得a ＝－4，b ＝－9.答案： C4．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t＜x ＜t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜t 或x ＞1t C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1t 或x ＞tD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t 解析：方程(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＝0的两个根为t 和1t，∵0＜t ＜1，∴t －1t ＝t 2－1t＜0，∴t ＜1t，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是________．(用区间表示)解析：由Δ≤0知a 2－16≤0， ∴－4≤a ≤4. 答案： [－4,4]6．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素．解析：由(x －1)2<3x ＋7得x 2－5x －6<0. 即(x －6)(x ＋1)<0. 解得－1<x <6. 则A ＝{x |－1<x <6}． ∴A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}．答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列不等式的解集：(1)2x 2＋7x ＋3＞0；(2)－x 2＋8x －3＞0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0；(5)－12x 2＋3x －5＞0.解析： (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－12或x ＜－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13＜x ＜4＋13}． (3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (4)原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (5)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，因为Δ＝62－40＝－4＜0，方程x 2－6x ＋10＝0无实数根，所以原不等式的解集为∅.8．解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．解析：当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立，所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －1m ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3m ＜0，若m ＞0，则1m ＞－3m ，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m ，1m ；若m ＜0，则1m＜－3m，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，－3m . 综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ；当m ＞0时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m ，1m ；当m ＜0时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1m ，－3m .尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bn <(an ＋b )x .解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根且a >0，b ≥1.由一元二次方程根与系数的关系式⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a1×b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，所以a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知a ＝1，b ＝2，故原不等式可化为x 2－(2＋n )x ＋2n <0，即(x －2)(x －n )<0.①当n >2时，原不等式的解集为{x |2<x <n }． ②当n ＝2时，原不等式的解集为∅. ③当n <2时，原不等式的解集为{x |n <x <2}．。

高中数学第三章不等式 3.2.3 不等关系与不等式及一

不等关系与不等式及一元二次不等式的解法(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设m ，n ∈R ，给出下列结论：①m <n <0⇒m 2<n 2；②ma 2<na 2⇒m <n ；③m n <a ⇒m <na ；④m <n <0⇒n m<1.其中正确的结论有( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④2．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥323．若M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝2(x ＋y －1)，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}5．已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝4x2，x ∈M ，则M ∩N ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(0，1) D ．(1，2)6．一元二次不等式ax2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－5 D ．57．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d >b c D.a d ＜b c8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1＜a ＜19C ．1≤a ＜19D ．1＜a ≤199．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23510．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 11．实数α，β是方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－25412．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 14．若a ，b 为正实数，则1a ＋1b 与1a ＋b 的大小关系是________．15．若1<α<3，－4<β<2，则12α－β的取值范围是________．16．下列语句中正确的是________． ①若a ＞b ，则a lg 12＞b lg 12；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a 2－d ＞b 2－c ；③若a ＞b ，且a ，b ∈R ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b；④若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3，则1－sin α＞0. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥12或x ≤－2，3＋2x －x 2，－2＜x ＜12，试求不等式f (x )≥0的解集．18．(本小题满分12分)(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本小题满分12分)m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件：(1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解．20．(本小题满分12分)如图，有一长AM ＝30 m ，宽AN ＝20 m 的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x m.(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144 m 2，则AB 的长度应在什么范围？21.(本小题满分12分)设a ＞0，b ＞0，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.22．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R .参考答案与解析1．【解析】选B.若m <n <0，则－m >－n >0⇒(－m )2>(－n )2，即m 2>n 2，故①不正确；若ma 2<na 2，则a 2≠0，即有a 2>0，所以m <n ，故②正确；若m n<a ，则当n <0时，m >na ，故③不正确；若m <n <0，则1>n m ，即n m<1，故④正确．2．【解析】选A.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x （x －1）≥04x 2－4x －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32⇒－12<x ≤0或1≤x <32.3．【解析】选A.因为M －N ＝x 2＋y 2＋1－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0，所以M >N . 4．【解析】选D.若a ＝0时符合题意．当a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.5．【解析】选B.因为M ＝{x |x ＞x 2}＝{x |0＜x ＜1}，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝4x2，x ∈M ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜y ＜2}，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B. 6．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－1×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.7．【解析】选D.因为c ＜d ＜0，所以1d ＜1c ＜0，即－1d ＞－1c＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c.8．【解析】选C.函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0，即a ＝－5或a ＝1时，由a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意；由a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0，解得1＜a ＜19.综合①②，a 的取值范围是1≤a ＜19.故选C.9．【解析】选A.根据题意，由于关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，可知a ＞－x 2＋2x ＝－x ＋2x 在[1，5]上有解，又由于函数y ＝－x ＋2x在区间[1，5]上是减函数，故只需a 大于函数的最小值即可，又y ＝－x ＋2x ≥－5＋25＝－235，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞，故选A.10．【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k－2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0，由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23. 11．【解析】选A.因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2. 而(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2 ＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2 ＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2 ＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3，或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为8.12．【解析】选C.因为(x －a )⊗(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.因为此不等式对任意实数x 成立，则有1－4(－a 2＋a ＋1)＜0.所以－12＜a ＜32.故选C.13．【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【答案】k ≥4或k ≤214．【解析】因为a ，b 为正实数，所以1a ＋1b －1a ＋b ＝a ＋b ab －1a ＋b ＝（a ＋b ）2－abab （a ＋b ）＝a 2＋ab ＋b 2ab （a ＋b ）＞0，所以1a ＋1b ＞1a ＋b.【答案】1a ＋1b ＞1a ＋b15．【解析】因为1<α<3，所以12<12α<32，①因为－4<β<2，所以－2<－β<4，② ①②相加得－32<12α－β<112.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112 16．【解析】lg 12＜0，①是错误的；a ＞b ＞0，a 2＞b 2，c ＞d ＞0，c ＞d ＞0，－c ＜－d ，a 2－d ＞b 2－c ，②正确；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，a ＞b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，③正确；④中α＝π2时，1－sin α＝0，不正确．【答案】②③17．【解】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0x ≥12或x ≤－2①，或⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x －x 2≥0－2＜x ＜12②，由①得x ≥1或x ≤－2，由②得－1≤x ＜12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥1或x ≤－2或－1≤x ＜12.18．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0，得x 2－2x －3＜0，即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)．(2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立．因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2，所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立，所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．19．【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解．(2)当m ≥－14时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解．20．【解】(1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝ND NA，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x . 所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)．(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故AB 的长度的取值范围是[12，18]．21．【证明】左边－右边＝（a ）3＋（b ）3ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）－ab （a ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a －2ab ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，所以原不等式成立．22．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，所以x ≥2.(2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≥0.所以x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a)(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒2≤x ≤1a ； ②当1a ＝2，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，所以x ＝2；③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2. 综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤1a或x ≥2；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}；当0＜a ＜12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2≤x ≤1a ；当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a ≤x ≤2.。

高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学业分层测评苏教版

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学业分层测评苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋a b －x<0的解集为________．【解析】原不等式等价于(x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0.又a ＋b <0，∴b <－a .∴原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }．【答案】 {x |x >－a 或x <b }2．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在1<x <4内有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝2x 2－8x －4－a ＝2(x －2)2－12－a 数形结合知只需f (4)>0即可，即2×42－8×4－4－a >0，解得a <－4.【答案】 (－∞，－4)3．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，则x ∈(0,1]时， f (x )min ＝f (1)＝12－4×1＝－3，∴m ≤－3.【答案】 (－∞，－3]4．若f (x )＝kx 2－6kx ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.【导学号：91730058】【解析】由题意知，kx 2－6kx ＋8≥0对任意实数x 恒成立．当k ＝0时，8≥0显然成立，当k ≠0时，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，Δ＝－6k 2－4×k ×8≤0，解得0<k ≤89，综上，0≤k ≤89. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，895．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅，∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0，∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.【答案】 (－1,3)6．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量为________台．【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，∴x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．【答案】 1507．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．【解析】因为x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，所以k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2且k ≠0.【答案】 k ≥4或k ≤2且k ≠08．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：91730059】【解析】由题意可知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )·(1－x －a )，∴原不等式可化为(x －a )(1－x －a )<1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以只需Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)<0.解得－12<a <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 二、解答题9．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．【解】 ①a ＝－2时，原不等式⇔－1≥0无解．②当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4<0，Δ＝ a ＋2 2－4 a 2－4 × －1 <0⇔－2<a <65.由①②知－2≤a <65. 10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式x －c ax －b>0(c 为常数)．【解】 (1)由题知a >0，且1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2a ，1＋b ＝3a ，∴a ＝1，b ＝2，(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0，当c >2时，其解集为{x |x >c 或x <2}，当c <2时，其解集为{x |x >2或x <c }，当c ＝2时，其解集为{x |x ≠2}．能力提升]1．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2＋1，x <2a ＋4，若不等式组有解，∴2a ＋4>a 2＋1，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.【答案】 (－1,3)2．对任意a ∈－2,3]，不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0恒成立，则x 的取值范围为________．【解析】设f (a )＝x 2＋(a －6)x ＋9－3a＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f －2 ＝－2x ＋6＋x 2－6x ＋9>0，f 3 ＝3x －9＋x 2－6x ＋9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－8x ＋15>0，x 2－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <3或x >5，x <0或x >3，∴x <0或x >5.【答案】 (－∞，0)∪(5，＋∞)3．若a ＋1>0，则不等式x ≥x 2－2x －a x －1的解集为________．【解析】 ∵x ≥x 2－2x －a x －1＝ x －1 2－ a ＋1 x －1＝x －1－a ＋1x －1， ∴1≥－a ＋1x －1， ∴x ＋a x －1≥0，∴(x ＋a )(x －1)≥0. 又a ＋1>0，∴1>－a ，∴原不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤－a }．【答案】 {x |x ≥1或x ≤－a }4．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解】 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，即5x －14－3x≥0，又1≤x ≤10，所以5x 2－14x －3≥0，解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故当x ＝6时，y max ＝457 500，即甲厂以6千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题精选北师大版必修

2.2一元二次不等式的应用课后篇巩固探究1.函数f(x)=lg的定义域为()A.(1,4)B.[1,4)C.(-∞,1)∪(4,+∞)D.(-∞,1]∪(4,+∞)解析:依题意应有>0,即(x-1)(x-4)<0,所以1<x<4.答案:A2.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是()A. B.C. D.解析:由(1-a i x)2<1,得a i x(a i x-2)<0,又a i>0,所以x<0,解得0<x<,要使上式对a1,a2,a3都成立,则0<x<.故选B.答案:B3.不等式x>的解集是()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:因为x>,所以x->0,即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.画出示意图如图.所以解集为(-1,0)∪(1,+∞).答案:C4.对任意a∈[-1,1],都有函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1或x>3C.1<x<2D.x<1或x>2解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立,且a∈[-1,1],所以所以所以x<1或x>3.答案:B5.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式>0的解集为()A.(1,2)B.(-∞,-1)∪(6,+∞)C.(-1,1)∪(2,6)D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)解析:由已知得,x2+px+q=(x-1)(x-2),所以>0,即>0,等价于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或1<x<2或x>6.答案:D6.不等式<0的解集为.解析:不等式等价于(x-2)2(x-3)(x+1)<0,如图,用穿针引线法易得-1<x<3,且x≠2.答案:(-1,2)∪(2,3)7.已知<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a的值为.解析:因为<1,所以<0,即[(a-1)x+1](x-1)<0.又不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},所以a-1<0,所以(x-1)>0.所以-=2,所以a=.答案:8.如果关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,则所以所以0<m<1.答案:(0,1)9.某商家一月至五月累计销售额达3 860万元,预测六月销售额为500万元,七月销售额比六月递增x%,八月销售额比七月递增x%,九、十月销售总额与七、八月销售总额相等.若一月至十月销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是.解析:由题意得,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.答案:2010.解不等式.(1)≥0;(2)>1.解(1)原不等式等价于解得x≤1或x>2,所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.(2)原不等式可改写为+1<0,即<0,所以(6x-4)(4x-3)<0,所以<x<.所以原不等式的解集为.11.导学号33194059解关于x的不等式>a.解将原不等式移项、通分化为<0.若a>0,有>1,则原不等式的解集为;若a=0,有<0,则原不等式的解集为{x|x>1};若a<0,有<1,则原不等式的解集为.综上所述,当a>0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当a<0时,原不等式的解集为.12.导学号33194060若不等式>0对任意实数x恒成立,求m的取值范围.解由于x2-8x+20=(x-4)2+4>0恒成立,因此原不等式对任意实数x恒成立等价于mx2+2(m+1)x+9m+4>0对x∈R恒成立.(1)当m=0时,不等式化为2x+4>0,不满足题意.(2)当m≠0时,应有解得m>.综上,实数m的取值范围是.。

高中数学第三章不等式3-3一元二次不等式及其解法同步精选测试新人教B版必修5【2019-2020学年度】

所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞).
【答案】(－3,1)∪(3，＋∞)
8.已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________.
【解析】A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}.
B.{x|－1<x<－lg 2}
C.{x|x>－lg 2}
D.{x|x<－lg 2}
【解析】由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为 .
而f(10x)>0，∴－1<10x< ，
解得x<lg ，即x<－lg 2.
【答案】D
二、填空题
6.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)
所以g(m)＜0等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，
所以所求的x的取值范围是－1＜x＜2.
(2)法一：因为f(x)＝m ＋ m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，
所以
或或
解得m＜ .
法二：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，则有m＜在x∈[1,3]上恒成立.
而当x∈[1,3]时，
【解析】由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.
【答案】(－4,1)
7.设函数f(x导学号：18082115】
【解析】f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.

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不等关系与不等式一元二次不等式的解法(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设m ，n ∈R ，给出下列结论：①m <n <0⇒m 2<n 2；②ma 2<na 2⇒m <n ；③m n <a ⇒m <na ；④m <n <0⇒n m<1.其中正确的结论有( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④2．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥323．若M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝2(x ＋y －1)，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}5．已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝4x2，x ∈M ，则M ∩N ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(0，1) D ．(1，2)6．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．57．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d >b c D.a d ＜b c8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤19B ．1＜a ＜19C ．1≤a ＜19D ．1＜a ≤199．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23510．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 11．实数α，β是方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－25412．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 14．若a ，b 为正实数，则1a ＋1b 与1a ＋b 的大小关系是________．15．若1<α<3，－4<β<2，则12α－β的取值范围是________．16．下列语句中正确的是________． ①若a ＞b ，则a lg 12＞b lg 12；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a 2－d ＞b 2－c ；③若a ＞b ，且a ，b ∈R ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b；④若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3，则1－sin α＞0. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥12或x ≤－2，3＋2x －x 2，－2＜x ＜12，试求不等式f (x )≥0的解集．18．(本小题满分12分)(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本小题满分12分)m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解．20．(本小题满分12分)如图，有一长AM ＝30 m ，宽AN ＝20 m 的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x m.(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)若要求仓库占地面积不小于144 m 2，则AB 的长度应在什么范围？21.(本小题满分12分)设a ＞0，b ＞0，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.22．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R .参考答案与解析1．【解析】选B.若m <n <0，则－m >－n >0⇒(－m )2>(－n )2，即m 2>n 2，故①不正确；若ma 2<na 2，则a 2≠0，即有a 2>0，所以m <n ，故②正确；若mn<a ，则当n <0时，m >na ，故③不正确；若m <n <0，则1>n m ，即n m<1，故④正确．2．【解析】选A.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x （x －1）≥04x 2－4x －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32⇒－12<x ≤0或1≤x <32.3．【解析】选A.因为M －N ＝x 2＋y 2＋1－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0，所以M >N . 4．【解析】选D.若a ＝0时符合题意．当a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.5．【解析】选B.因为M ＝{x |x ＞x 2}＝{x |0＜x ＜1}，N ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝4x2，x ∈M ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12＜y ＜2}，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.6．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－1×13＝1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.7．【解析】选D.因为c ＜d ＜0，所以1d ＜1c ＜0，即－1d ＞－1c＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜b c.8．【解析】选C.函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0，即a ＝－5或a ＝1时，由a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意；由a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0，解得1＜a ＜19.综合①②，a 的取值范围是1≤a ＜19.故选C.9．【解析】选A.根据题意，由于关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，可知a ＞－x 2＋2x ＝－x ＋2x 在[1，5]上有解，又由于函数y ＝－x ＋2x在区间[1，5]上是减函数，故只需a 大于函数的最小值即可，又y ＝－x ＋2x ≥－5＋25＝－235，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞，故选A.10．【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k－2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0，由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23. 11．【解析】选A.因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2. 而(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2 ＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2 ＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2 ＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3，或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为8.12．【解析】选C.因为(x －a )⊗(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.因为此不等式对任意实数x 成立，则有1－4(－a 2＋a ＋1)＜0.所以－12＜a ＜32.故选C.13．【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【答案】k ≥4或k ≤214．【解析】因为a ，b 为正实数，所以1a ＋1b －1a ＋b ＝a ＋b ab －1a ＋b ＝（a ＋b ）2－abab （a ＋b ）＝a 2＋ab ＋b 2ab （a ＋b ）＞0，所以1a ＋1b ＞1a ＋b.【答案】1a ＋1b ＞1a ＋b15．【解析】因为1<α<3，所以12<12α<32，①因为－4<β<2，所以－2<－β<4，② ①②相加得－32<12α－β<112.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112 16．【解析】lg 12＜0，①是错误的；a ＞b ＞0，a 2＞b 2，c ＞d ＞0，c ＞d ＞0，－c ＜－d ，a 2－d ＞b 2－c ，②正确；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，a ＞b ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，③正确；④中α＝π2时，1－sin α＝0，不正确．【答案】②③17．【解】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0x ≥12或x ≤－2①，或⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x －x 2≥0－2＜x ＜12②，由①得x ≥1或x ≤－2，由②得－1≤x ＜12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥1或x ≤－2或－1≤x ＜12.18．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0，得x 2－2x －3＜0，即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)．(2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立．因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2，所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立，所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．19．【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解．(2)当m ≥－14时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解．20．【解】(1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝ND NA，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－23x . 所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)．(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故AB 的长度的取值范围是[12，18]．21．【证明】左边－右边＝（a ）3＋（b ）3ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）－ab （a ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a －2ab ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，所以原不等式成立．22．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，所以x ≥2.(2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≥0.所以x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a)(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒2≤x ≤1a ； ②当1a ＝2，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，所以x ＝2；③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2.综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤1a或x ≥2；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}；当0＜a ＜12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2≤x ≤1a ；当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a ≤x ≤2.。