凸体的n-j维截面函数的性质及应用
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。
凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。
最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。
其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。
线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。
此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。
最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。
最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。
机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。
凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。
总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。
凸函数的判别和应用
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
专业答辩小组意见：
林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，
流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写
作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题
的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
例如判别函数2fxx?的凸性则可在其定义域????上任取123xxx且123xxx??由该定理得222321132213xxxxxxxxx?????22232112232213xxxxxxxxxxx????????222232122132xxxxxxxx??????321212213232xxxxxxxxxxxx????????32121223xxxxxxxx??????3221310xxxxxx?????
例如判别函数 f (x) ex 的凸性，在其定义域 (, ) 上，可取 x1 x2 x3 ，则
f (x2 ) f (x1) x2 x1
ex2 ex1 x2 x1
凸函数的性质及其应用
高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，丁是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research,economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words : Convex function； Inequality; Economics； Optimization problem摘要 (I)Abstract .................................................................................................................... I I..第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1.初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
函数的凸性及应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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设计（20 届）函数的凸性及应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。
本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。
本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。
关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式Convex Function and Its ApplicationAbstract：Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not only describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further propose the application of convex function which mainly focus on inequality proof. Finally, the proof of Hadamard inequality, Jensen inequality and some other analysis inequalities are discussed.Key words:Convex function; Continuous; Equivalent description; Inequality目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景及研究意义 (1)2 凸函数的定义及性质 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 相关的几个定理 (3)2.3 凸函数的性质 (7)3 凸函数的应用 (13)3.1凸函数在证明初等不等式中的应用 (13)3.2凸函数在证明函数不等式中的应用 (14)3.3凸函数在证明积分不等式中的应用 (14)3.4凸函数在证明Jensen不等式中的应用 (15)3.5凸函数在证明Hadamard不等式中的应用 (16)4 结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)1 绪论1.1 问题的背景及研究意义在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
凸函数的性质与应用
摘要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几个重要性质,最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词: 凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractIn this paper,firstly we list several kinds of definition for convex functions, then we give several important properties about convex functions, finally we discuss the applications of convex function in differential calculus and the proof of inequality.Keywords: integral properties of convex functions ; inequality of convex functions目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)0引言 (1)1 凸函数的概念 (1)2 凸函数的判定 (2)3 凸函数的性质 (4)4凸函数的应用 (10)4.1 凸函数在数学分析中的应用 (10)4.2 利用凸函数的性质证明不等式 (13)5小结 (15)参考文献 (16)0 引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最早出现在Jensen [1905]编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用.诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具.文献[]9,作者给出了凸函数的8种定义，其次,凸函数也是一种性质特殊的函数[1][16],截止目前,对凸函数的研究已经从定义的研究[9-12]到凸性的研究[16],再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.1 凸函数的概念函数2()f x x =图象的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的线段下方. 一般地，设函数()f x 在区间[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方,则称函数()f x 是凸函数.图行表示如下(见图1),即可知213l l l k k k <<图1以上定义仅对凸函数作了直观描述,下面我们给出精确定义.定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线下方,则()f x 凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则曲线()f x 是严格凸的.注1：定义2与定义3等价.注2：若()f x 连续,则定义1,2,3都是等价的.2 凸函数的判定下面介绍凸函数的判定定理.定理1 函数()f x 是区间(),m n 上的凸函数的充要条件为对于(),m n 上的任意三点1x ,2x ,3x 123()x x x <<,总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--. 定理2 设()f x 在区间I 上可导,则下述论断互相等价:1）()f x 是区间I 上的凸函数; 2）()f x '是区间I 上的增函数;3）对区间I 上的任意两点1x ,2x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-.证明：1)2)⇒在区间I 上任取两点1x ,2x ()12x x ＜,对充分小的正数h ,由于1122x h x x x h -+＜＜＜,所以由定理1得()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h ---+-≤≤-,因()f x 是区间I 上的可导函数,令0h +→可得()()211221()()f x f x f x f x x x -''≤≤-,所以()f x '是区间I 上的增函数.2)3)⇒在以1x ,2x ()12x x ＜为端点的区间上,由Langrange 中值定理和()f x '是区间I 上的增函数得()()()2121121()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后得()21121()()()f x f x f x x x '≥+-,且当12x x ＞时仍可得到相应的结论.3)1)⇒任取区间I 上的任意两点1x ,2x ()12x x ＜,()3121x x x λλ=+-,其中 01＜＜λ,由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得()()()()()()()133133312()1f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--()()()()()()233233321()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-分别用λ和1λ-乘以上述两式并相加,便得()()()()()12312()11f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-则()f x 是区间I 上的凸函数.定理3 设()f x 是区间I 上的二阶可导函数,则在区间I 上()f x 是凸函数的充要条件为()0f x ''≥,x I ∈.3 凸函数的性质下面我们将看到凸函数的一些性质 性质1 若()f x 是区间I 上的凸函数,则 a.若0β≥,则()y f x β=在I 上为凸函数； b.若0β<,则称()y f x β=在I 上为凹函数.性质2 若()f x ,()g x 是区间I 上的凸函数,则(){}max (),()M x f x g x =在I 上为凸函数.证明：因()f x ,()g x 为I 上的凸函数,则在I 上任意两点1x ,2x 和正数(0,1)λ∈,总有121212((1))()(1)()()(1)()f x x f x f x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+- 121212((1))()(1)()()(1)()g x x g x g x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+-,{}121212((1))max ((1)),((1))M x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-12()(1)()M x M x λλ≤+-.因此,(){}max (),()M x f x g x =为I 凸函数.推论1 若()i f x 1,2,,i n （）=为凸函数,则()()()(){}12max ,,,n F x f x f x f x =为凸函数.性质3 若()f x ,()g x 为区间I 上的凸函数,则()()()F x f x g x =+为凸函数.推论2 若()i f x 是I 上的凸函数,则()()1ni i F x f x ==∑ (1,2,,i n =)为I 上的凸函数.性质4设()f x ,()g x 都为区间I 上非负单调递增(递减)的凸函数,则()()()F x f x g x =在区间I 上是凸函数.证明 因()f x ,()g x 都是I 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对I 上任意两点1x ,2x 有[][]2121()()()()0f x f x g x g x --≥,12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+,又因为()f x ,()g x 是非负的凸函数,即对I 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-.所以121212((1))((1))((1))F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-[][][][]12122222112211222112221111221()(1)()()(1)()=()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()=+()()(1)(1)()()()f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x F x （1-）λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤+-+-+-++-≤+-++-+-+-=2(1)()F x λ+-即证.注：非负不能少.性质5 a.若()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凹函数(凸函数).b.若()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凸函数(凹函数).性质6 若()y f x =是(),m n 上的连续递增的凸函数,则()1x f y -=是递增的凹函数.证明 因()f x 是(),m n 上的凸函数,所以对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又()y f x =在(),m n 上连续单调递增,故反函数单调性不变,则有11121212(()(1)())(((1))(1)f f x f x f f x x x x λλλλλλ--+-≥+-=+-,所以()1x f y -=是递增的凹函数.性质7 若()f x 为区间H 上的凸函数,11:g R R →为单调增加的凸函数,则()()g f x 亦为凸函数.证明 因()f x 为凸函数,即对H 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又11:g R R →为单调增加的凸函数,所以121212(((1)))(()(1)())(())(1)(())g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-. 即()()g f x 亦为凸函数.下面我们将看到有关凸函数的几个定理定理4设()f x 在区间I 上有定义,则下列四个条件等价（其中各不等式要求对任意123,,,x x x I ∈123x x x <<恒成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数；（ii ）31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--； (iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--；(iv)32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.推论3若()f x 在区间I 上为凸函数,则I 上任意三点123x x x <<,有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 注：几何意义是分别连接曲线()f x 上的两点()()111,A x f x ,()()222,A x f x 的弦的斜率2121()()f x f x x x --不超过()()333,A x f x 与()()111,A x f x 的弦的斜率3131()()f x f x x x --,不超过()()333,A x f x 与()()222,A x f x 的弦的斜率3232()()f x f x x x --.推论4 若()f x 在区间I 上的凸函数,则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x =00()()f x f x x x --是关于x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论5 若()f x 为区间I 上的凸函数,则I 上任意四点s t u v <<<有()()()()f t f s f v f u t s v u--≤--推论6 若()f x 为区间I 上的凸函数,则对I 上的任一内点x ,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在,皆为增函数,且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的,则'f +与'f -为严格递增的）.证明 因为x 是内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论3）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论4所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且10'1212()()()()()=limx x f x f x f x f x f x x x x x--→--≤--. 同理,在此式中,令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论5中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论7 若()f x 在区间I 上为凸的,则f 在任一内点x ∈0I 上连续.事实上推论6知f +'与f -'存在,所以f 在x 处左右都是连续的.定理5 设函数()f x 在区间I 上有定义,则()f x 为凸函数的充要条件为00,x I ∈α∃,使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数,由上面的推论6知,0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-.由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x I α-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I 上的任意三点,由已知条件可知222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =,可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--, 由定理1可知()f x 为凸的.定理6 设()f x 在区间I 上有导数,则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增.证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-,则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ （1） 由于()()(1)()f x f x f x λλ=+-则（1）是等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ （2）应用Largrange 定理,12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--,但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--, 212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端12''22121[()()](1)[()()]()(1)()(1)()()(1)()[()()]f x f x f x f x f x x f x x x x f f λλλελληλλλεη=-+--=--+--''=--- 按已知条件()()f x I '∈x 递增,得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证. （必要性）由定理1的推论6,()f x +'在0I 内为递增的,因()f x '存在,故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的,若I 有右端点b ,按照已知条件f 在b 点有左导数,0x I ∀∈易知''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理,若I 有左端点a ,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.定理7 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数,则[,]i x a b ∀∈ ,0i λ>(1,2,...,)i n =,11,ni i λ==∑,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明 应用数学归纳法.当n=2时,由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni i i i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>(1,2,,1)i k =+,111k i i λ+==∑.令1,1ii k （1,2，k)λαλ+=- 则11ki i α==∑,由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑111111111111111(1)()(1)()()=(1)()()1=()kk i i k k i kk i i k k i kik i k k i k k i i i x f x f x f x f x f x f x λαλλαλλλλλλ+++=+++=+++=++=≤-+≤-+-+-∑∑∑∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论8设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.4 凸函数的应用接下来将我们介绍凸函数在数学分析、不等式中的应用.4.1 凸函数在数学分析中的应用例1 设函数()f x 在区间I 上是凸函数,试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间， ①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =.故在[,]a b 上有上界M ； ②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点,则[,]x a b ∀∈,有关于c 的对称点x ',因为()f x 为凸函数,所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+,从而有()2()f x f c M m ≥-≡,即m 是()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 是区间(,)a b 内的凸函数,试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- （3）因为[,][,]a b αβ⊂, >0h ",使得[,](,)h h a b αβ-+⊂,12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凹函数的性质,有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- （4） 若21,x x <可取32,x x h =-由()f x 的凸性,有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 从而()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可知(4)式成立.若12x x =,则（4）式明显成立.这就证明了（4）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（4）式当1x 与2x 互换位置也成立,故有2121()()M mf x f x x x h--≤-,令,M mL h-=则（3）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证明极限 lim ()x af x +→与lim ()x b f x -→存在.证明 设(,)x a b ∈时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点,根据()f x 的凸性当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--,根据单调有界原理,有极限00()()limx b f x f x A x x →--=-,从而000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.例4设()f x 是区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<,有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明 令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ (5) 同理,令221()t x x x λ=--,亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰ （6) 其中121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数, 故由（6）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰另外,由（5）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 12101122122100()(1)()]()()(1)()()222f x f x d f x f x f x f x λλλλλ≤+-⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰4.2 利用凸函数的性质证明不等式例 5 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni iiii i i a b a b αββα===≤∑∑∑当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.证明 取()(1,0)f x x x αα=><<+∞,因为2()(1)0f x x ααα-''=->,所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理7的推论9得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nnni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑,亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=,于是有 11111()()n nni i i ii i i i t x t xt αβα===≤∑∑∑令1,i i i i i t b x t a βα-==,则有11111()()n nni i ii i i i a b ab αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时,即i i a kb αβ= (k 为正常数,1,21,i n n =-)111111111111()()()nnnnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时,i t 不全相等,又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数,故严格不等式成立.例6应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ,有1212111n n a a a a a a n n++≤≤++⋅⋅⋅+ 证明 取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞.由21()0,f x x''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数,则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===,则上式等号成立； 2.若1,2,...,n a a a 不全相等,则由Jensen 不等式11()()n ni i i i i i f a f a λλ==≥∑∑（7） 即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ （8）即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合（7）（8）结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++, 命题成立.5 小结凸函数的性质及其应用还有很多方面值得探讨,例如利用凸函数的性质验证级数的敛散性,广义凸函数求极值等问题,由于篇幅有限没能一一介绍,在以后的研究中还需不断探索和完善.致谢 本文是在彭定忠老师的指导和帮助下完成的, 谢谢老师,老师您辛苦了!参考文献[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1980.[2] 裘兆泰. 数学分析学习指导[M]. 北京: 科学出版社,2004.[3] 徐利治. 大学数学解题法诠释第一版[M]. 安徽：教育出版社,1999.[4] 徐利治. 数学分析的方法和例题选讲[M]. 北京:高等教育出版社,1984.[5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M]. 北京:高等教育出版社,1988.[6] 张从军. 数学分析[M]. 安徽:安徽大学出版社, 2000.[7] 欧阳光中,姚允龙. 数学分析概要二十讲[M]. 上海：复旦大学出版社,1999.[8] 张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京：北京大学出版社,1991.[9] 华东师范大学数学系. 数学分析第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[10]刘国华等, 关于凸函数的八个等价定义[J]. 河北建筑科技学院学报, 2003,20(3):82-83.[11]俞文辉, 凸函数不同定义间的关系及其应用[J]. 南昌高专学报, 2005,60(5):112-113.[12]郭素霞, 关于凸函数定义的讨论[J]. 衡水师专学报, 2000, 2(4):49-52.[13]钟伟等, 凸函数的几种不同定义及应用[J]. 九江学院学报, 2007, 11(3):74-77.[14]刘鸿基, 关于凸函数的两个充分必要条件[J]. 菏泽学院学报, 2005, 19(9):78-79.[15]周科, 凸函数等价性命题证明[J]. 渝州大学学报, 2000, 17(4):18-21.[16]刘仁义, 关于凸函数的判定[J]. 九江师专学报, 1999, 18(3):1-8.[17]向日光, 对函数凸性定义的诠释[J]. 遵义师范学院学报, 2005, 7(4):49-50.[18]周翠莲, 凸函数定义的进一步研究[J]. 山东工程学院学报, 1996, 10(3):26-31.。
凸几何分析简介
+
V ( K + εL) − V ( K )
ε
.
⇔ V ( K , n − 1; L) =
1 ∫−1hL (u )dS ( K , u ). n Sn
5
2011-10-11
Steiner 对称与亮度函数
K
Su K
Steiner 对称
u
K
亮度函数 (brightness function)
u⊥ K u⊥
s K (u) = s L(u) ∀u ⇒ K = L.
2011-10-11 11
截
1
面
1.5 1
体
(Intersection Bodies) Bodies)
0.5 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-1.5
-1
-0.5 -0.50.51Fra bibliotek1.5
-0.5 -1
-1.5 -1
ρ IK = s K
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bK (u) = bL(u) ∀u ⇒ K = L.
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1 bK (u) = ∫ |u ⋅ v | dS ( K , v ) 2 S n −1
K的表面积测度
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Cauchy投影公式
8
Shephard问题 Shephard问题
• Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
-0.5 0.5 -0.25 0 0.25 0
-0.5 0.5 -0.25
0
0
0.5
0.25
0.5
krein milman定理
krein milman定理KreinMilman定理KreinMilman定理是数学分析中的一个重要定理，它在凸分析和泛函分析领域扮演着重要的角色。
本文将介绍KreinMilman定理的概念、主要结论以及相关的应用。
1. 引言在凸几何学中，我们经常研究凸集和凸函数。
KreinMilman定理则给出了一个关于凸集的一个重要结论。
2. KreinMilman定理的形式化表述KreinMilman定理是关于紧凸集的性质的一个结果，下面是该定理的形式化表述：定理：设X是一个拓扑矢量空间，K是X中的一个非空紧凸集。
那么K的凸包就是K的闭包。
3. 定理的证明为了证明KreinMilman定理，我们先介绍一些必要的背景知识。
3.1 凸包的概念在凸几何学中，凸包是一个集合的凸组合的运算结果，即包含了集合中所有点的最小凸集。
对于一个给定的集合，它的凸包可以看作是它的所有凸组合的集合。
3.2 极点的性质在紧凸集的研究中，极点是一个重要的概念。
一个集合的极点指的是该集合中不能通过任何凸组合由其他点表示的点。
在证明KreinMilman定理时，我们需要证明K的凸包是等于K的闭包。
为了做到这一点，我们首先证明K的凸包包含于K的闭包。
假设x是K的凸包中的一个点，那么它可以由K中的有限个点的凸组合表示。
由于K是闭的，所以它的闭包也包含了这些点，于是x也属于K的闭包。
接下来，我们证明K的闭包包含于K的凸包。
假设x是K的闭包中的一个点。
我们考虑以x为边界的一个球体，该球体的半径可以任意小。
由于K是紧凸集，所以对于这个球体，我们可以找到一个点y，使得y属于K且距离x最近。
由于y属于K，我们可以通过y来表示x的凸组合，即x属于K的凸包。
综上所述，我们证明了K的凸包等于K的闭包，从而完成了KreinMilman定理的证明。
4. 应用KreinMilman定理在实际问题中有广泛的应用。
它在优化问题、概率论、拓扑学等领域发挥着重要作用。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
第三讲 有限维空间的特性 凸性及Brouwer和Schauder不动点定理
定理 3（到有限维子空间的最佳逼近投影）设 是 空间， 是 的
有限维子空间，则
，存在
，使得
。
若 严格凸，则
是唯一的。
称
为 在 Y 上的最佳逼近投影。
证明：取极小化序列
，
，证明
有界， 是有限维的，从而可以取出收敛子列。
定理 4 若 空间的有界集列紧，则该空间是有限维的。
证明：用定理 3 反证。
定理 5（F.Riesz 引在
，使得
。若 严格凸，则
是唯一的。
证明，直接用下确界的定义。
Problem 1 利用现有概念研究例 1‐例 8 的空间 Exe P39 ，2，3，4，6，11，12，17
5 凸集与不动点
凸的几何概念
凸集，凸包，闭凸集，闭凸包，吸收凸集，对称凸集，平衡凸集，半
连续
，则称
在
下半连续，若 在 的每一点都下半连续，则称 在 中下半
（1）
且是次线性的，即
凸，则
（2） 吸收 （3） 对称（平衡） （4） 是 空间， 闭
是半范数。 下半连续； 有界
则；
，则 吸收且 一致连续；
且 有界对称（平衡），
则 是与 等价的范数。
推论 若 是 的紧凸子集，则必存在正整数
使得 同胚于
的单位球。
证明 (1) 取 是包含 的最小线性流行，设其维数为
。
证明 由 列紧知道
， 有 ‐网 ，由 凸知道
含
于 ，做
，使
有不动点 ，且 收敛到 的不动点。
推论 1 设 是 空间 中的紧凸集，
连续，则 必有一个
不动点
。
紧映射： 空间 中的子集 上的映射
连续且映有界集为
凸函数知识点总结
凸函数知识点总结一、基本概念1.1 凸集在讨论凸函数之前，首先需要了解凸集的概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然完全包含在这个集合中。
即对于集合中的任意两个点a和b，线段[a,b]上的所有点都属于该集合。
在数学上，给定一个集合S，如果对于任意的x、y∈S和0≤t≤1，tx+(1−t)y∈S，就称S是凸集。
1.2 凸函数在了解了凸集的概念之后，可以进一步理解凸函数。
在一个实数集上，如果一个函数f(x)满足如下性质：对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
也就是说，对于函数上的任意两点x1和x2，连接这两个点的线段上的所有点(x)对应的函数值f(x)，都位于连接这两个点的线段上。
可以用一条直线来连接这两点，并且在这条直线的下方。
1.3 凸函数的图形在笛卡尔坐标系中，凸函数的图形呈现出一种特殊的形状。
它们通常是上凸的（在图像的上方），或者是下凸的（在图像的下方）。
这种凸性质是凸函数的重要特征，也是区分它们与其他函数的重要标志。
二、性质凸函数有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用凸函数都非常重要。
下面列举了一些凸函数的一些重要性质：2.1 一阶导数的性质首先，凸函数在其定义域上是连续且可导的。
其次，凸函数的导数是递增的。
也就是说，对于凸函数f(x)，在它的定义域内，如果x1<x2，那么f'(x1)≤f'(x2)。
2.2 二阶导数的性质在凸函数的定义域内，凸函数的二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，那么它的二阶导数f''(x)≥0。
2.3 凸函数的上确界如果一个凸函数在其定义域上是有上界的，那么它的上确界也存在，并且是有限的。
这是因为凸函数的定义保证了它在定义域上是有界的，并且在定义域上是递增的。
因此，上确界也必然存在。
2.4 凸函数的极值凸函数的极小值点是唯一的，而且在极小值点的函数值是整个定义域上的最小值。
积分几何运动公式及其应用
要摘凸体的弦幂积分及其在几何概率中应用问题是积分几何的重要理论成果。
弦幂积 分序列反映了凸体的一些重要几何性质，从中得到了一系列经典积分不等式，诸如等 周不等式。
弦幂积分不等式是等周不等式的发展和概括，是积分几何和相关学科研究 的重要领域。
它们在凸体和几何概率中的应用是积分几何和凸几何的重要理论，通过 它们可以研究几何不变量和几何概率等问题。
本文根据积分几何中弦幂积分的定义给出的随机直线偶与凸体相交的双弦幂积分 的最新定义。
利用积分几何的分析方法，研究了双弦幂积分的性质及双弦幂积分与弦 幂积分的相互关系。
利用各种积分运算方法讨论了双弦幂积分的计算，并得到了特殊 次幂的双弦幂积分的值。
利用弦幂积分不等式，Schwarz不等式，H old e r不等式等重 要不等式分别得到了一系列双弦幂积分不等式。
利用这些双弦幂积分不等式可以估计 一般情形下双弦幂积分值。
这些不等式进一步丰富了弦幂积分理论，也给积分几何注 入新的活力。
最后本文从几何概率上进一步说明了双弦幂积分不等式的应用。
本文另一方面的成果是利用径向函数计算出了幂值均为偶数时圆盘上的双弦幂积 分值，至于幂值为其他情况尚在进一步研究中。
关键词：弦幂积分；弦幂积分不等式；双弦幂积分不等式A bstractThe chord-power integrals and their applications in geometry probability are the very im portant theoretical achievement of integral geometry. The sequence of chord- integral reflects some significant geometrical properties. We can obtain a series of classical integral inequalities, such as the isoperimetric inequalities. The chord-integral inequalities are the development and summary of isoperimetric inequalities and the im portant contents of integral geometry and related disciplines. One can study the geometric invariants and geometric probability and other issues.On the basis of the definition of chord-power intergral, this paper gives the new definition of double chord-power intergral which the pair of lines intersect the convex body in integral geometry. W ith the method of calculus in integral geometry, it studies the relationship of double chord-power intergral and chord-power intergral. Using kinds of integral methods to discuss the calculation of double chord-power intergral, and the special inferior double chord-power intergrals are calculated by this method. Using chord-power intergral inequality, Schwarz inequality, Holder inequality and so many significant inequalities, for which it obtains a series of double chord-power intergrals separately. W ith the help of these double chord-power intergrals inequalities, some general case of them can be estimated. These inequalities w ill further develope the chord-power integral theory, and also pour into the new vigor to the integral geometry and the geometry probability.Using the radial function , the other result studied by this paper is that it calculats the value of double-power integral on disk when the power value for the even number. S till at further studies as for the power value for other situations.Finally this paper showed the application of double chord-power integral inequality from the geometry probability.K e yw o rd s: Chord-power integrals ;Inequalities for the chord-power integrals; Inequalities for the double chord-power integrals目录fft H (I)A b s tra c t (II)1绪言1.1综述 (1)1.2基本概念、定理 (2)1.3研究的目的、意义 (4)1.4研究的内容、贡献 (5)2圆盘上的双弦幂积分2.1 72.2 R2上直线偶的运动不变密度 (8)2.3 R2上凸体的双弦幂积分 (9)2.4 18 3双弦幂积分不等式3.1 193.2 Rd I双弦幂积分不等式 (22)3.3 313.4 323.5 33 (35)Wi W i (36) (37) (40)言绪I § 1.1综述历史上许多数学家与哲学家对“数学是什么”作了许多精辟的解释，最令人欣赏 的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的说法。
17.凸函数及其应用
编号学士学位论文凸函数及其应用学生姓名：艾木拉姑丽·吐尔逊学号：20060101025系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006-1班指导教师：托乎提·塞都拉完成日期：2011 年 5 月10 日1摘要函数凸是一种非常重要的函数.它是研究函数，作出函数图象的基础，因此论文中首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，然后讨论凸函数的充要条件或充分条件.提出凸函数的9种常用的判别法，并给出每一个定理的证明，最后应用凸函数概念证明几个重要不等式.关键词：有界；单调；连续；可导；凸函数；Lagrange 定；Lepshitiz 条件；Jensen 不等式；2目 录摘要 .............................................................................................................................1 引言 .............................................................................................................................1 1.凸函数的定义与几何意义 .....................................................................................1 2.凸函数的判别法 .. (3)定理1............................................................................................................................ 3 定理2............................................................................................................................ 4 定理3............................................................................................................................ 5 定理4............................................................................................................................ 6 定理5............................................................................................................................ 6 定理6............................................................................................................................ 8 定理7............................................................................................................................ 9 定理8............................................................................................................................ 9 定理9.. (10)3.凸函数的应用 ....................................................................................................... 11 总结 ...........................................................................................................................17 参考文献 ...................................................................................................................18 致谢 (19)1引言讨论函数()y f x =的性态，仅仅知道函数()y f x =在区间I 严格增加还不够.因为函数()y f x =在区间I 严格增加还有不同的方式.函数的凹，凸性是研究函数性质（形态）的重要方法，且证明有些不等式的有力工具.为了掌握好函数的所有性质，首先要讨论函数凸性的充分条件与充要条件，因此本文中提出了凸函数的几种常用的判别法. 1.凸函数的定义与几何意义设函数()f x 在区间I 上有定义、从几何上来看、若()y f x =的图像上任意两点()()11,x f x 和()()22,x f x 之间的曲线段总位于连接这两点的线段之下（上）、则称该函数是凸（凹）.参见图1.这个概念用解析的语言可以表述成 定义1；定义2：设函数()f x 在开区间I 有定义，若()12,,0,1x x I λ∀∈∀,有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦〈1〉则称()f x 在区间I 是下凸函数或简称函数()f x 在区间I 是凸的﹒()121x x x λλ=+-若定义中则221,x x x x λ-=-1211x x x x λ--=-则不等式〈1〉可以改写为()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤--2这就是凸函数的另一种定义﹒ 凸函数的几何意义： 当()0,1λ∈时点()()122211x x x x x x λλλλ=+-=--表示了区间()12,x x 中的某一点，即()12,x x x λ∈﹒在下图中弦12A A 的方程是：()()()12121fx f x y f x x x +=+-将x x λ=代入上式得()()()3231BA f x f x λλ=+-但()4BA f x =因此不等式〈1〉在几何上表示为34BA BA ≥也就是说，曲线()y f x =在弦12A A 下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状﹒（图1）除了凸函数上面的定义意外，还可以给出连续函数()f x 在区间I 上为凸函数的的等价性定义；定义1'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果21,x x ∀I ∈,有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+≤221x f x f f将“≤”改为“〈”.定义2'：()f x 在区间I 上有定义且连续()f x 称为I 上的凸函数，如果Ix x x n ∈∀,...,,21，有()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++n x f x f x f f n x x x f n n (2121)x)x ()()21f x λ-图13例1： 证明()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒ 证明：事实上()1212,,,0,1x x R x x λ∀∈≠∀∈且有()()()()()()()()()()()()()()22221211222222222212121122222212221212121121111111f x x x x x x x x x x x x x x x x x x fx f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-=+-+-⎡⎤⎣⎦<+<+-++-⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦=+-=+-即函数()2f x x =在R 上是严格凸函数﹒2.凸函数的判别法定理1设()f x 于(,)a b 上可微 ，则()f x 严格下凸⇔()f x '是严格增加﹒ 证明：()⇐根据Lagrange 中值定理对一切()1212,,,x x a b x x ∈≠及01t <<必存在()()1122,,t t x x x x ξξ∈∈和使得()()()()121t f x tf x t f x ---()()()()()121t t t f x f x t f x f x =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()112212211(1)0t t t f x x t f x x t t f f x x ξξξξ''=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=---<⎡⎤⎣⎦（ ()()12f f ξξ''<）()()()()121t f x tf x t f x ∴<+-由凸函数定义()f x 在(),a b 是函数﹒()⇒任取()12,,x x a b ∈满足12x x <我们来证明4()()()()12,f x f x f x a b '''<及在严格增加，设ξη<从(),x ξη∈知存在数01t <<使得()11t x t ξη=-+，根据()f x 的严格下凸条件得】()()()()1f t f x tf ξη<-+即()()()()f fx f f x xxξηξη--<--上式表明λ的函数()()()f fx xλψλλ-=-在()12,x x 严格增加.由此可见()()x x ψψ+<-记起()()11x f x ψ'+=并类次可()()22x f x ψ'+=∴()()()12f x f x f x '''<⇒在(),a b 严格增加﹒定理2函数()f x 在区间I 可导则()f x 在区间I 可导，则()f x 在I 是凸函数的充要条件是()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有证明：()⇒若()f x 在I 是凸函数，则由定理1有()f x '在I 上单调增加12,x x I∴∀∈ ()12x x <有()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-()()()12121xx f x x x ξ'<<≥- ()()()()21121f x f x f x x x '∴≥+-同法可证明12x x >时也有()()()()21121f x f x f x x x '>+-()⇐若()()()()1221121,x x I f x f x f x x x '∀∈≥+-有令()3121x x x λλ=+- ()01λ<<则()()()131221211,x x x x x x x x λλ-=---=-∴对13,x x I∈有()()()()13313f x f x f x x x '≥+-()()()()33121f x f x x x λ'=+--5对()()()()()()()23233233321,x x I f x f x f x x x f x f x x x λ''∈≥+-=+-有从而()()()()()()()()()()()()()()()()()()133122332112312111111f x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x f x x λλλλλλλλλλλλ≥+--'-≥-+--∴+-≥=+-即()f x 在I 是凸函数. 定理3若函数()f x 在区间(),a b 上二阶可微且()0f x ''≥，则()f x 下凸. 证明：在区间(),a b 内任取两点()1212,x x x x <， 令120120202x x x x x x +=+-=即函数()f x 在0x 的泰勒公式是()()()()()()2000012f x f x f x x x f c x x '''=+-+- ()0c x x 是与之间当1x x =时()()()()()()21001011012fx fx f x x x f c x x '''=+-+- ()10x c x <<当2x x =时()()()()()()22002022012fx fx f x x x f c x x '''=+-+-02x c x <<()()()()()()()()()()()()()()221200*********2201102201222122fx f x f x f x x x x f c x x f c x x fx f c x x f c x x ⎡⎤'''''∴+=++-+-+-⎣⎦⎡⎤''''=+-+-⎣⎦()()()()()()()()2212110220,00,00x a b f x f c f c f c x x f c x x ''''''''''∀∈>∴≥≥-+-≥ 有即于是()()()()()()1212022f x f x f x f x f x f x ++≥≤或因此()(),f x a b 在内是凸﹒6定理4设函数()f x 在开区间I 可导，函数()f x 在I 上是凸⇔曲线()y f x =位于它的任意一点切线的上方.证明：()⇒0x I ∀∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程： ()()()()000y x f x f x x x '=+- 从而()()()()()()000f x y x f x f x f x x x '-=---()()()()()()()00000f x x f x x x f f x x x ξξ''=---''=--⎡⎤⎣⎦其中ξ在x 与0x 之间.若函数()f x 在I 是凸，根据定理1，则()()00f f x x x ξ''--与同号，于是x I ∀∈，有()()0f x y x -≥即曲线()y f x =在其上任意点()()00,x f x 的切线上方.()⇐若0,x x I ∈，有()()()()()()0000f x y x f x f x f x x x '-=---≥当0x x <时有()()()000fx f x f x x x -'≤- ，当0x x >时有()()()000fx f x f x x x -'≥-于是x I ∀∈且()()()()121212fx f x fx f x x x x x x x x--<<≤--有 因此函数()f x 在I 上凸.定理5()f x 在(),a b 上为下凸函数的充要条件是对一切()123,,,x x x a b ∈ ()123x x x <<恒有x7()()()()()()213132213132fx f x fx f x fx f x x x x x x x ---≤≤--- ；证明：如图所示在曲线()y f x =上自左至右任取三点,,P Q R 则两两相连所得线段的斜率满足PQ PR Q R K K K ≤≤ （ 图-2）()⇒设3221313111x x x x x x x x λλ--=<-=--则 ，令()2131x x x λλ=+- 则根据()f x 的凸函数有()()()()()131311fx f x x fx f x λλλλ=+-≤+-⎡⎤⎣⎦ （1）()()3221133131x x x x fx fx x x x x --=+-- （2）进而得到()()()()()()312321213x x f x x x f x x x f x -≤-+- （3）()()()()()()3213122130x x f x x x f x x x f x ∴---+-≥()()()()()()()()3112113122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 或 ()()()()()()()()3213222122130x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥ 从而()()()()()()31212132x x f x f x x x f x f x --≤--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --∴≤-- 同法可证 ()()()()31323132fx f x fx f x x x x x --∴≤--()⇐由123,,x x x 在(),a b 上任意性，可以得到凸函数的定义2故()f x 在(),a b 上为一凸函数.8定理6()f x 在区间I 上为凸函数x I ⇔∀∈，当12x x x <<时有 ()()()11221101x fx x f x x f x ≥.证明：()⇒()1212,,,x x x I x x x f x ∀∈<<且在区间I 上可导，由定义()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦（1）设()121x x λλλ=+- 1211x x x x λ--=- 不等式（1）可以改写为()()()21122121x x x x fx fx fx x x x x --=+-- （2） 设12x x x <<将不等式（2）不等号两边乘上210x x ->有()()()()()()21112120x x f x x x f x x x f x -+-+-≥ （3）或可以改写为行列式的形式()()()1122111x fx x f x x f x ≥ ，()⇐()()()11221101x fx x f x x f x ≥ 设12x x x <<由于()()2121x x x x x x -=-+-，（3）或改写为()()()()()()()()21121120x x f x x x f x x x f x x x f x -----+-≥或()()()()1212fx f x fx f x x x x x--≤-- ∴函数()f x 是凸函数.9定理7若函数()f x ，()g x 在区间I 上为凸函数，则()()f x g x +也在I 上为凸. 证明：因为()(),f x g x 在区间I 上为凸函数.∴对定义区间内任意两点12,x x 及()0,1λ∀∈，有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦及()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦不等式两边分别相加得()()()()()()()12121122111f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按定义()()f x g x +为凸函数.定理8若()f u 是单调增加的凸函数，且()u x ψ=为凸函数，则复合函数()f x ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.证明：()u x ψ= 是凸函数，12,x x ∀有()()121222x x x x ψψψ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（由凸函数的定义）又因为()f x 是单调增加的凸函数，所以12,x x ∀有()()()()121212222f x f x x x x x f f ψψψψψ+⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡+⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦≤≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦（()()1212122x x x x ψψψ+⎛⎫+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭）所以复合函数()f u ψ⎡⎤⎣⎦也是凸函数.10定理9函数()f x 在区间I 上为凸⇔12,,n x x x I ∀∈ 有()()()112211221212n n n n n n t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭其中 ()122,,,,0nn t t t ≥>证明：()⇐若12,,,n x x x I ∀∈ 有 ()()()112211221212n n n n n nt f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t +++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()12,,,0nt t t > 则2n =时有()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤ ⎪++⎝⎭()12,0t t >令12,1t t t t ==- （0<t<1）有()()()()121211f tx t x tf x t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ 由定义知函数()f x 在I 上为凸. 必要性()⇒若()f x 在I 为凸函数，则12,x x I ∀∈有()()()()121211f tx t x tfx t f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦ ()01t << 12,0t t ∴∀>令112t t t t =+ 则2121t t t t -=+ 则()()112211221212t f x t f x t x t x f t t t t +⎛⎫+≤⎪++⎝⎭ 即2n =是不等式成立.设1n k =-时有11()()()112211112211121121k k k k k k t f x t f x t f x t x t x t x f t t t t t t ------+++⎛⎫+++≤⎪++++++⎝⎭()121121,,,,,,,0k k x x x I t t t --∀∈> ，n k =时有()()112211121112211121121121.()()k k k k k k k k k k k k k k t x t x t x t t t t x t x t x t x t x t t t f f t t t t t t t t --------+++⎡⎤++++⎢⎥⎡⎤+++++++⎢⎥=⎢⎥++++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()112211*********.k k k k k k k kt x t x t x t t t ft x t t t t t t t -----⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭≤++++()()()112211121()k k k k k kt fx t f x t f x t f x t t t t ---++++≤++++即n k =是不等式成立，所以定理是正确的.3.凸函数的应用例2： ()f x 为区间I 上的凸函数,1,2,,x I n ιι∈= 10,1nιιιλλ=>=∑这时有()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++ . 证明：（用数学归纳法） 当2n =是凸函数的定义 12λ=时112λλ==()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+成立.当1n k =-时0a ι> 111k a ιι-==∑ 有12()()()()112211112211k k k k f x x x f x f x f x αααααα----+++≤+++ 成立当n k = 时 11nιιλ==∑时只各项 1kιιλαλ=-就有()()1122111122111.1k k k k k k k k k kx x x f x x x x f x λλλλλλλλλλ----⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11221111k k k k k kx x x f f x λλλλλλ--⎡⎤+++=-+⎢⎥-⎣⎦()()()()()1122111.k k k k k fx f x f x f x λαααλ--≤-++++⎡⎤⎣⎦()()()()112211k k k k f x f x f x f x λλλλ--=++++()()()()11221122n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ∴+++≤+++例3:设:()f x 在区间（a ，b ）内为凸函数，并且有界，试证()lim x af x +→与()5lim x f x →均存在.证明：不妨设()f x M ≤，根据()f x 的凸性知，()00,,x a b a x x ∀∈<<时()()()()()()00000fx f x fx f x fx Mk x x x x xx a---==>---是x 的单调有界函数，从而存在()()00lim ,x afx f x A x x +→-=-，而(),x a b ∈ ()()()()()0000fx f x f x x x fx x x -=-+-则()()()000lim x af x a x f x →=-+例4：设0i a >，0i b >（1,2,...,i n =）证明：11111nnnp qp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑其中110,,1p q qp<<+∞+=此不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2p q ==时，13又称为始瓦茨（Schwarz ）不等式或柯西不等式；证明：令 ()16f x x =则()()0;011121''>∀<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x xq q x f q 因此()f x 为()0,+∞上的严格凹函数，于是若10,,1ni i i i x t o t =>>=∑ 则有()q n n q nn q qx t x t xt xt xt 1111122111......++≤+++ 现取1pii np ii a t a==∑，q i i pib x a =并且代入不等式，得()q p i ni qq nqni nn a bbb a b a 1111111......⎪⎭⎫ ⎝⎛∑++≤∑++==整理即得q p i ni p p i ni i i ni b a b a 11111⎪⎭⎫⎝⎛∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∑<∑==-；例5：由()ln f x x = 的凸性,利用Jensen 不等式来导出平均值不等式. 解:由于()210,f x x=-<故()fx 在()0,+∞上是凹函数,对于凹函数詹森不等式()()()()1...............1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ 应取反向,设()0,0,1,2,,;i x i n >=⋅⋅⋅并取()1,1,2,,i i n nλ==⋅⋅⋅显示有11ni i λ==∑把它们代入反向的（1）式，得到()111lnln ln lnnn x x x x nn+⋅⋅⋅+≥+⋅⋅⋅+=由于()ln f x x =是递增函数，因此得到1nx x n⋅⋅⋅≤再由()1ln ln g x x x=-=为—凹函数，类似地又有1111111ln ln ln ln nn x x nn x x +⋅⋅⋅+⎛⎫-≤-+⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭又得14111nn x x ≤+⋅⋅⋅+1111nnx x n nx x ⋅⋅⋅≤≤+⋅⋅⋅+例6：设()f x 为区域(),a b 内的凸函数，试证：()f x 在I 的一内闭区间[](),,a b αβ⊂上满足来布尼兹（Lipschitz ）条件.证明：首先我们要清楚来布尼兹（Lipschitz ）条件，称()f x 在[],αβ满足 来布尼兹（Lipschitz ）条件，是存在L ，使[]12,,x x αβ∀∈有()()1212fx f x L x x -≤-即()()1212f x f x Lx x -≤-曾有凸函数关于增量比值的性质：()()1212fx f x x x --是关于x 的增函数实际上，有关增量的结论，一般还有如下四个结论是等价的()123x x x <<（1）()f x 在[],αβ上凸函数； （2）()()()()21312131fx f x fx f x x x x x --≤--；（3）()()()()31322131fx f x fx f x x x x x --≤--；（4）()()()()21322132fx f x fx f x x x x x --≤--；15上面式（1）（2）（3）均表明()()00fx f x x x --对固定的1x 而言，是关于x 的增函数的结论的变形形式.则由于[](),,a b αβ⊂，故有在0h >使得[](),,h h a b αβ-+⊂ 12x x <且[]12,,x x αβ∈时，取32x x h =+尤式（4）知()()()()213221fx f x fx f x M m x x hh---≤≤-，其中,M m 分别表示f 在[],h h αβ-+上的上，下确界，则()()1221..................M m f x f x x x h--≤-（1）12x x >，则可取32x x h =-，有()()()()21212121fx f x M m M m fx f x x x x x hh---≤⇒-≤--当21x x = 21x x =时不等式（1）成立.变换21,x x 的位置，不等式（1）成立，故[]12,,x x αβ∀∈有()()1221M m fx f x x x h--≤-；例7：设()f x 是区间[],a b 上的凸函数，则()()()122b af a f b a b f f x dx b a++⎛⎫≤≤⎪-⎝⎭⎰证明：由()f x 的凸性保证了积分()ba f x ⎰有意义当,2a b x b +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2a b a b x a +⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦且有()()22a b f a b x f x f +⎛⎫+-+≥⎪⎝⎭因为()()2a b baaf x dx fx dx +=⎰⎰令x a b μ=+-，得16()()()22a bbb aa b bf x dx f a b d f a b dx μμμ++=-+-=+-⎰⎰⎰从而()()()()22222bbb aa b a ba ba b f x dx f a b x f x dx f dx a b f ++++⎛⎫⎛⎫=+-+≥=-⎡⎤⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰于是()12b aa b f fx dx b a+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰作变换()()t b x b a =-÷-，则有()()()()()()()()()()()1111112b af a f b f x dx f a t b dt b a t a t b dt b a tf a t f b dt b a +=+-=-⋅+-≤-+-=-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而()()()12b af a f b f x dx b a+≤-⎰例8：设0,0,p q >>求证：当2o xπ<<时sin cos px qx <证：原式可以变形为22sin cos 1pqp qx x p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取对数又可变性为22sin cos 1ln ln ln px px p q p p q q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()ln g x x =的凹性，即证；17总结凸函数是研究函数性质的重要工具，作出函数图象与证明不等式的一种方法.因此本文中主要讨论凸函数概念与凸函数的9种常用的判别法.应用凸函数解决问题或证明一个不等式时首先选取本文中的适当的一种凸函数判别法，然后利用此种方法讨论已知函数的凸性，最后按照函数的凸性来证明原不等式.18参考文献[1] 毛羽辉.数学分析选论（上册）[M].北京：科学出版社.2004：66～72[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析指导书[M]．高等教育出版社.2004：169～171[3] 谢惠民，恽自求，易法槐，钱定边．数学分析习题课讲义（上册）[M]．高等教育出版社.2004：243～245[4] 方企勤．数学分析（上册）[M]．北京大学数学系.1986：197～206[5] 欧阳光中，姚允龙．数学分析（上册）[M]．复旦大学出版社.1991：195～199[6]陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中．数学分析（上册）[M]．高等教育出版社.1978：193～200[7]刘玉璉，傅沛仁，林玎，刘宁 ．数学分析（上册）[M].高等教育出版社.2003：256～262[8]任胜健.数学分析（第一册）[M].北京大学出版社.2009:218～225[9]牛庆银.数学分析选论[M].科学出版社.2004:66～72[10]李胜宏.数学分析[M].浙江大学出版社.2009:197～20319 致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批准了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼：艾木拉姑丽.吐尔逊 2011-5-10。
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。
关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。
第3讲凸集、凸函数、凸规划
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
(c)凸组合为连接这两点的线段；
(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D R n , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1 , 都有：
x 1 y D, 则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
定理215直观解释我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球不一定为标准球形但必须是凸的那么在气球外一点到气球各点包括内部的距离是不一样的但直觉告诉我们肯定在气球上有一点它到该点的距离是所有距离中最小的
第 3讲
凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性 的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理 论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
x1 xn
x1p x2p xnp ( p 1), n n 1 P41 2.36 p p p p x1 xn x1 x2 xn ( p 1), n n
1 p
性质
定理2
凸函数
f1 , f 2 ,..., f k 是凸集S上的凸函数, 则
f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
凸函数的性质及判定_刘开生.caj
1预备知识文献[1]中给出凸函数的定义如下：设f (x )为定义在区间I 上的函数，若对任意两点x 1，x 2和实数0＜λ＜1，总有f （λx 1+(1-λ)x 2）≤λf (x 1)+(1-λ)f (x 2)，则称f (x )为定义在I 上的凸函数。
若有f （λx 1+(1-λ)x 2）≥λf (x 1)+(1-λ)f (x 2)，则称f (x )为定义在I 上的凹函数。
其次，文献还给出了判别f (x )为I 上的凸函数的四个等价命题；同时也给出了利用二阶导数判别f(x )为I 上凸(凹)函数的判断命题。
定理1.1设f (x )为定义在区间I 上的可导函数，则下述命题等价（1）f (x )为I 上的凸函数；（2）f ′(x )为I 上的增函数；（3）对I 上任意两点x 1，x 2有f (x 2)≥f (x 1)+f ′(x 1)(x 2-x 1)；（4）f ″(x )≥0，x ∈I .定理1.2[1]设f (x )为定义在区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f (x )为凸(凹)函数的充要条件是f ″(x )≥0(f ″(x )≤0)，x ∈I定理1.3[1]若f (x )为区间I 上的凸函数，则A x 1，x 2∈I ，有f (x 1+x 22)≤f (x 1)+f (x 2)22主要结果及其证明定理2.1若f 1(x )、f 2(x )均为[a ，b]上的凸函数，则f 1(x )+f 2(x )也是[a ，b]上的凸函数。
定理2.2设f 1(x )为[a ，b]上的凸函数，k 为正常数，则kf (x )也为[a ，b]上的凸函数。
注2.1：定理2.1和定理2.2利用文献[1]中所给的定义可直接证明。
定理2.3设u ＝f (x )为[a ，b]上的凸函数，g (u )在[a ，b]上单调递增，且也为[a ，b]上的凸函数，则复合函数g (f (x ))也是[a ，b]上的凸函数。
证明：由于u ＝f (x )是凸的，则对任意的λ∈（0，1），x 1，x 2∈（a ，b ），有f (λx 1+(1-λ)x 2)≤λf (x 1)+(1-λ)f (x 2)又因g (u )递增，于是g (f (λx 1+(1-λ)x 2))≤g (λf (x 1)+(1-λ)f (x 2))又g (u )也是凸的，所以g (λf (x 1)+(1-λ)f (x 2))≤λgf (x 1)+(1-λ)g (f (x 2))从而g (f (λx 1+(1-λ)x 2))≤λgf (x 1)+(1-λ)g (f (x 2))所以g (f (x )也是凸函数。
凸几何中几个问题的研究
上海大学硕士学位论文凸几何中几个问题的研究姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20090401摘要凸体几何是现代几何学的一个重要分支，凸体的极值研究是凸体几何研究中一个重要课题．本硕士论文主要研究对象包括Ｊｏｈｎ椭球ＪＫ，新椭球ｒ一２Ｋ，完美凸集，ｐ完美凸集．本文共分四部分．在第一章的前半部分我们介绍了凸几何分析的发展历史和研究状况，第一章的后半部分介绍了我们所做的工作．在第二章中我们就超平行体的Ｊｏｈｎ椭球是球和新椭球是球分别给出了一个充分必要条件．在第三章中，我们在ＶｉｔａｌｉＭｉｌｍａｎ定义的完美凸集的基础上给出了绝对完美凸集的定义，并讨论了凸集，完美凸集，绝对完美凸集的关系，同时给出了完美凸集的若干性质．在第四章中，我们定义了ｐ－完美凸集和绝对ｐ＿完美凸集，讨论了ｐ－凸集，Ｐ．完美凸集，绝对ｐ－完美凸集之间的关系，并给出了ｐ完美凸集和绝对ｐ完美凸集的一些性质（０＜Ｐ≤１）．关键词：超平行体，Ｊｏｈｎ椭球，新椭球，凸集，完美凸集，绝对完美凸集，ｐ＿凸集，ｐ－完美凸集，绝对ｐ完美凸集．ＡｂｓｔｒａｃｔＣｏｎｖｅｘｇｅｏｍｅｔｒｙｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｏｆｍｏｄｅｒｎｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｅｘｔｒｅｍａｌｐｒｏｐｅｒｔｙｆｏｒｃｏｎｖｅｘｂｏｄｉｅｓｉｓｏｎｅｏｆｉｍｐｏｒｔａｎｔｏｂｊｅｃｔｓｉｎｃｏｎｖｅｘｇｅｏｍｅｔｒｙ．ＴｈｅｍａｉｎｏｂｊｅｃｔｓｏｆｏｕｒｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓａｒｅＪｏｈｎｅｌｌｉｐｓｏｉｄＪＰ，ｎｅｗｅｌｉｐｓｏｉｄｒ一２Ｐ，ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ．Ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｗｏｒｋｓｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎ－ｓｉｓｔｓｏｆｆｏｕｒｐａｒｔｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔｏｆｃｈａｐｅｒｏｎｅ，ｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｃｏｎｖｅｘｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌａｓｐｅｃｔｏｆｔｈｅｓｔｕｄｙａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｏｕｒｓｉｓｓｈｏｗｎｉｎｔｈｅｌａｔｅｒｐａｒｔｏｆｃｈａｐｔｅｒｏｎｅ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｔｗｏ，ｗｅｇｉｖｅａｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｅｌｌｉｐｓｏｉｄｓｏｆｔｈｅｐａｒａｌｌｅｌｏｔｏｐｅｂｅｉｎｇｂａｌｌｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｃｈａｐｔｅｒｔｈｒｅｅｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ．Ｉｎ２００４，ＶｉｔａｌｉＭｉｌｍａｎｄｅｆｉｎｅｄｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｓｅｔ，ｗｅｇｉｖｅｓｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆａｂｓｏ－ｌｕｔｅｌｙｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐａｍｏｎｇｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｎｄａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ，ａｌｓｏｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｉｔｉｅｓｏｆｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒｆｏｕｒ，ｗｅｄｅｆｉｎｉｔｅｔｈｅｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｎｄａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｎｄａｎａｌｙｚｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐａｍｏｎｇｐ－ｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｎｄａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ，ａｎｄｇｉｖｅｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｉｔｉｅｓｏｆｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔａｎｄａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ（０＜Ｐ≤１）．．ＫＥＹＷＯＲＤＳ：ｐａｒａＵｅｌｏｔｏｐｅ，Ｊｏｈｎｅｌｌｉｐｓｏｉｄ，ｎｅｗｅｌｌｉｐｓｏｉｄ，ｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎ－ｖｅｘｓｅｔ，ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，Ｐ—ｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ，ａｂｓｏ－ｌｕｔｅｌｙｐ－ｐｅｒｆｅｃｔｌｙｃｏｎｖｅｘｓｅｔ．原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作．除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果．参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：纠姗日期：弘叶’６、１２本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容．（保密的论文在解密后应遵守此规定）肄１鼢…：概魄扣∥Ｌ第一章绪论在本章中首先介绍本论文所属学科的发展历程和研究现状，主要代表人物以及我国数学家的工作．接着阐述本硕士论文研究的主要问题及作者所取得的成果，最后说明论文的结构安排．§１．１学科发展和研究现状凸几何分析（ＣｏｎｖｅｘＧｅｏｍｅｔｒｉｃＡｎａｌｙｓｉｓ）起源于１９世纪末和２０世纪初，Ｈ．Ｂｒｕｎｎ和Ｈ．Ｍｉｎｋｏｗｓｌ【ｉ是两位杰出的奠基者．在上世纪，它通常被称为凸几何（ＣｏｎｖｅｘＧｅ－ｏｍｅｔｒｙ）或凸分析（ＣｏｎｖｅｘＡｎａｌｙｓｉｓ），主要研究凸体和星体的投影与截面．上世纪三十年代，前苏联著名数学家Ａ．Ｄ．Ａｌｅｓａｎｄｒｏｖ在该领域的一系列突破性的工作，大大推动了凸体几何的发展．近几十年来，凸体几何理论不仅本身得到了迅速发展，而且它与数学的其它学科如泛函分析、群论、代数拓扑结合，产生了许多新的富有魅力的数学分支，它在体视学、随机几何、积分几何、非线性ＰＤＥ（尤其是Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐ爸ｒｅ方程的研究）、数论、微分几何、Ｂａｎａｃｈ空间理论、Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ几何、乃至组合论等数学学科和医学、机器人学等应用科学中均有着广泛的应用．特别是上世纪末和本世纪初，凸体几何理论已逐渐从经典的向岛空间中发展，并已取得了一系列丰硕的成果．凸体几何理论和其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严密的理论基础又具有广泛的应用前景．下面对凸体几何理论中的一些主要研究方向做一个概述．１．Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｌ【ｉ理论与Ｌ口一Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论．经典的Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｌ【ｉ理论起源于１８８７年Ｈ．Ｂｒｕｎｎ的论文【８】和Ｈ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ在１９世纪末２０世纪初的创造性工作［３８１．它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何（ＣｏｎｖｅｘＧｅｏｍｅｔｒｙ），主要是由Ｓｔｅｉｎｅｒ【５４，５５】，Ｂｒｕｎｎ［８，９】，Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ［３８，３９］，Ａｌｅｘｓａｎｄｒｏｖ［１，２】，Ｈａｄｗｉｇｅｒ【２１］，Ｐｅｔｔｙ【４５，４６】和Ｓｃｈｎｅｉｄｅｒ【５１，５２】等著名数学家逐渐发展起来的一个学科．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ的混合体积是这一理论的主要研究工具．Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论最核心的定理是Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式：设Ａ和Ｂ是Ｒｎ中２００９年上海大学硕士学位论文２的紧集，则ｖｏｌ（（１一Ａ）Ａ＋，入Ｂ）吉≥（１一Ａ）ｖｏｌ（Ａ）吉＋Ａｖｏｌ（Ｂ）去，ＶＡ∈【０，ｌ】．在混合体积与Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式相结合后，凸体理论的发展尤为迅速．最经典的参考书是Ｒ．Ｓｃｈｎｅｉｄｅｒ的专著“ＣｏｎｖｅｘＢｏｄｉｅｓ：ＴｈｅＢｒｕｎｎ．ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＴｈｅｏｒｙ，［５０】和Ａ．Ｃ．Ｔｈｏｍｐｓｏｎ的（（ＭｉｎｋｏｗｓｋｉＧｅｏｍｅｔｒｙ））（ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖ．Ｐｒｅｓｓ，（１９９６））．‰一Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论又称为Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ．Ｆｉｒｅｙ理论，源于Ｆｉｒｅｙ【１１】于１９６２年定义的凸体的ＦｉｒｅｙＬｐ一组合（又称为Ｆｉｒｅｙ线性组合）．１９９３年，Ｌｕｔｗａｋ在【３０】中把凸体的Ｆｉｒｅｙｚ『ｐ＿组合引入到经典的Ｂｒｕｎｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论，从而把经典的Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论推广到％空间中进行研究．Ｌｕｔｗａｋ，Ｄ．Ｙａｎｇ，华裔数学家张高勇，及Ｇａｒｄｎｅｒ（［３３，３２，３４，２０，３７，３３，３５，３６】）是这个理论研究领域的代表人物．此外，还有众多的数学家也在该领域作出了突出贡献（【１２，１３，１９，２０，２２】）．最近１０多年来，Ｌｐ—Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论得到飞速发展，已成为当今国际几何分析的热点研究领域之一．２．对偶Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论．自１９７５年著名的数学家Ｌｕｔｗａｋ引入星体的对偶混合体积的概念以来，便开创了对偶Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论，Ｐ．Ｒ．Ｇｏｏｄｅｙ，Ｅ．Ｌ．Ｇｒｉｎｂｅｒｇ，Ｈ．Ｇｒｏｅｍｅｒ，Ｐ．Ｍ．Ｇｒｕｂｅｒ等也在该领域做出了重要贡献．Ｒ．Ｊ．Ｇａｒｄｎｅｒ的专著《ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ》ｆ１５】对于对偶Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论给出了详尽的论述．如果说经典的Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋ理论是研究凸体投影问题的主要工具，那么对偶的Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｌ【ｉ理论就是解决关于凸体截面体积的有力武器【１６，１７，１８，２４，２５，２６，６ｌ，６４】．这一理论和Ｒａｄｏｎ变换，余弦变换以及Ｆｏｕｒｉｅｒ变换等分析工具在凸体和星体的投影与截面的极值问题中的应用研究，使得著名的Ｂｕｓｅｍａｎｎ－Ｐｅｔｔｙ问题得到了彻底解决．３．几何断层学（ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ）几何断层学（ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ）就是通过获得几何体的截面（和投影）等低维信息，来重构该几何体或者对几何体的性质做出判断的学科．这是Ｒ．Ｇａｒｄｎｅｒ在１９９０年首次提出的，并且被广泛地应用于医学的ＣＡＴ扫描诊断领域．当今世界上对几何断层学的研究可分为两大群体，其一是以Ｒ．Ｊ．Ｇａｒｄｎｅｒ，Ａ．Ｖｏｌｃｉｃ等为代表的完全理论研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果，１９９５年，Ｒ．Ｊ．Ｇａｒｄｎｅｒ教授综合了这方面的所有成果，撰写了专著（（ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ》【１５】；其二是以ＭＩＴ大学计算机与电子工程系的灿ａｎＷｉｌｌｓｋｙ为代表的应用研究者，自８０年代以来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用．最近几年随着计算机的广泛使用，几何断层学在医学、工程学、机器人学等领域的应用正越来越走向成熟．４．Ｂａｎａｃｈ空间的局部理论（Ｌｏｃａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｒｍｅｄｓｐａｃｅｓ）Ｂａｎａｃｈ空间局部理论，是凸几何与泛函分析结合的重要产物．这一理论已成为现代国际数学研究的一个活跃领域或主流方向．此理论源于２０世纪ＡｄｏｌｆＨｕｒｗｉｔｚ的开创性工作，Ｈ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ，ＪｅａｎＢｏｕｒｇａｉｎ和ＶｉｔａｌｉＭｉｌｍａｎ是该方向的代表人物，他们开创了凸体渐近理论的研究，在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果【４ｌ，４２】，Ｂｏｕｒｇａｉｎ也因此获得了Ｆｉｅｌｄｓ奖．Ｐｉｓｉｅｒ［４７］，Ｌｉｎｄｅｎｓｔｒａｕｓｓ【２９】等在该领域也作出了创造性的贡献．现在，该理论主要研究两个不同的主题：（ａ）ｎ一维赋范空间的几何量当ｎ趋于无穷时的情形；（ｂ）无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系．值得一提的是，我国数学家在凸体几何领域贡献卓越．我国在积分几何领域一直处于领先地位，２０世纪４０年代，陈省身【１４】教授和Ａ．Ｗｅｉｌ教授将局部紧群上的不变测度的观念纳入积分几何，从而形成齐性空间理论结构的积分几何，对这门学科的进一步发展作出了极为卓越的贡献．这方面的代表人物还有严志达、宗传明［６５】、吴大任和任德麟【４９】等．２０世纪５０年代，著名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在欧氏空间嵌入的这一凸体几何的难题，成果举世瞩目；２０世纪８０年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入等方面做了许多开创性的工作（见【５ｓ］，【５９】，［６０】等），获得了国际数学界的广泛好评．青年数学家汪徐家和麻希南【４８，５７】在Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论与偏微方方程的交叉领域作出了重要的贡献．§１．２研究问题和主要工作本硕士论文的研究对象包括Ｊｏｈｎ椭球ＪＫ，新椭球ｒ一２Ｋ，完美凸集，Ｐ．完美凸集．作者取得的主要创新成果是：（１）就超平行体的Ｊｏｈｎ椭球是球和新椭球是球分别给出了一个充分必要条件．相对于ｎ维欧氏空间舭中的任意一个凸子集，存在唯一的一个椭球使得：凸集和椭球关于Ｒｎ的任意一个一维子空间有相同的惯性距．通常，我们把这个椭球称为该凸集的Ｌｅｇｅｎｄｒｅ椭球，它和它的极体（Ｂｉｎｅｔ椭球）是经典力学中的著名概念（详见【２８，２９，４３】）凸几何中另外一个重要的椭球是Ｊｏｈｎ椭球：含在凸体Ｋ内的体积最大的椭球称为凸体Ｋ的Ｊｏｈｎ椭球，该椭球是唯一的，记为ＪＫ，其质心称为Ｋ的Ｊｏｈｎ点．对Ｒｎ中任意的凸体，都可以经过仿射变换使其Ｊｏｈｎ椭球变为欧氏单位球．如果凸体Ｋ的Ｊｏｈｎ椭球是—个欧氏球，那么称Ｋ处于Ｊｏｈｎ最大椭球位置，简称Ｊｏｈｎ位置．关于Ｊｏｈｎ椭球最基本的结论就是Ｊｏｈｎ定理．相对于经典的Ｂｒｕｎｎ—Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论，１９７５年，著名数学家Ｌｕｔｗａｋ开创了对偶的Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论．Ｌｅｇｅｎｄｒｅ椭球（Ｂｉｎｅｔ椭球）属于对偶的Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论．一个自然的问题是在Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论中是否存在Ｌｅｇｅｎｄｒｅ椭球的对偶类似物？运用Ｌｐ一曲率理论（［３０，３１】），Ｌｕｔｗａｋ，Ｙａｎｇ和Ｚｈａｎｇ在文【３２】中证明了这个对偶类似物的存在性（即新椭球ｒ一２Ｋ）并得到了一些优美的不等式．作者从Ｊｏｈｎ定理及新椭球的定义入手，得到了下面的结果。
n维空间凸函数
n维空间凸函数
在n维空间中，凸函数是一个在凸集上定义的函数，其值域也是凸集。
凸函数的定义基于凸集，而凸集是一个包含其所有点都在其内部的凸包内的集合。
在n维空间中，凸函数具有以下性质：
1. 局部性：对于凸函数f，如果在某一点的函数值小于等于另一个点的函数值，那么在这两点之间的线段上，f的值也小于等于另一个点的函数值。
2. 方向性：对于凸函数f，如果一个方向上的导数大于0，那么在这个方向上f是增函数。
3. 连续性：凸函数在其定义域上是连续的。
4. 可微性：凸函数在其定义域上是可微的。
5. 凸包性：对于凸函数f，其值域是凸集。
6. 最小值性：对于凸函数f，在其定义域内存在唯一的极小值点，该点处的函数值为全局最小值。
7. 唯一性：对于凸函数f，其全局最小值点是唯一的。
8. 单调性：对于凸函数f，如果一个方向上的导数大于等于0，那么在这个方向上f是增函数。
9. 二阶导数存在性：对于凸函数f，其二阶导数在定义域内存在且大于等于0。
10. 局部最小值性：对于凸函数f，在其定义域内存在唯一的局部最小值点，该点处的函数值为局部最小值。
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性质 ：
显 然 函数 是 一个 元 实 函数 ， ＝１时 就对 应 凸 体
本工 作在 凸体 的 ｎ一１ 截 面 函数 性质 的基 础 维
上 ， 出了 ｎ— 给 维 截 面 函数 的有 关 性质 ．
ｆ ｔ在 它 的支撑 集上 是 对数 凹 的 ； （） 如果 是 对
称的 ， 么有 Ｉ （ ）Ｉ ＝ （ ） 那 Ｉ ｔ Ｉ ｆＯ ． ｆ
ｓｕ ｉｄ ａ ｄ ｓ ｍｅ ａ ｐ ｉａｉｎ ｒ ｒ ｓｎ ｅ ｔ ｄ ｅ ｎ ｏ ｐ ｌ ｔ ｓａｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ． ｃ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｃ ｎ ｅ ｏ ｙ； ｎ 一 ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｅ ｔｏ ｕ ｃｉｎ；ｌｇ ｃ ｎ ａ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｖ ｘｂ ｄ 一 ｉ ｎ ｉ ｎ ｓ ｃ ｎ ｆｎ ｔｏ ｌ ｉ ｏ —ｏ ｃ ｖ ｕ ｃ ｏ ｉ
关键词 ： 凸体 ； 一 ｎ 维截 面函数 ； 对数凹函数
中图 分 类 号 ：０１６５ ８ ． 文献标识码 ： Ａ
Ｐ ｏ ｅｔ ｓａ ｄＡｐ ｌ ａｉｎ ｆｎ－ｊＤ ｍｅ ｓ ｎ ｌ ｒ ｐ ｒｉ ｎ ｐｉ ｔ ｓｏ － － ｉ ｎｉ ａ ｅ ｃ ｏ ｏ
Ｓ ｃ ｉ ｎ Ｆｕ ｃ ｉ ｎ ｏ ｎ ｅ ｄｉｓ ｅ ｔｏ ｎ ｔｏ ｆ Ｃｏ ｖ ｘ Ｂｏ ｅ
ｆｎ ｔ ｎ ｅ ｓｏ ｈ ｔｔｅ ｎ 一＿ｄｍｅ ｓ ｎ ｅ ｔ ｎ ｆｎ ｔ ｎ ｉ ａ ｌｇｃｎ ａｅ ｆｎ ｔ ｎ．Ｉ ｒｐ ｒｅ ｒ ｕ ｃｉ ，ｗ ｈ ｗ ｔａ ｈ ｏ 『 ｉ ｎ ｉ ａ ｓｃ ｏ ｕ ｃｉ ｓ ｏ—ｏ ｃ ｖ ｕ ｃ ｏ 一 ｏｌ ｉ ｏ ｉ ｔ ｐｏ ｅ ｉｓａｅ ｓ ｔ
设 表示 Ｒ 中所 有 凸体 （ 有 非空 内点 的 紧 含 凸集 ） 的集 合 ． 一 步 ， Ｒ 进 在 中 ， 表 示 空 间 的
正交 补 子 空 间 ． 里 ；为 Ｒ 这 中 的 欧 氏 单 位 球 ， ｓ 表示 ｎ维 欧 氏单位 球 面 ， 记 为 ｎ维 欧 氏单 位
式中，
』
在著名 的 Ｂ ｓｍ ｎ．ｅ ｙ问题 中… ， ｕｅ ａｎＰ ｔ ｔ
ｆｔ （ ）＝ Ｉ Ｎ （ ＋ ｔ Ｕ ｕ）Ｉ ，Ｕ ∈ Ｓ
Ｌ＝ｓｎ …， ｐ｛ ａ
的 ｎ一１ 截面 函数 ． 维
∈Ｌ ＝∑ Ｘ ， ｉ
是 ｎ一１ 截面 函数 ， 维 它是 一个 一元 实 函数 ． Ａ． ｉ ｎｐｕｏ Ｇａ ｏｏｌ ｎ ｓ在 文 献 ［ ］ 给 出 了 ｆ（ ） ２中 ｔ 的
Ｗ ＡＮＧ ｅ ， Ｗ ｉ
ＨＥ ｎ ＷＨ Ｂｉ —
（ ｃ ｏｌ ｆ ｃ ｎ ｅ ， ｈｎ ｈ ｉ ｎ ｅｓｙ Ｓ ａ ｇ ａ ２ ０ ４ ，Ｃ ｉ ） Ｓ ｈｏ ｏ ｉ ｃ ｓ Ｓ ａｇ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ ， ｈ ｎ ｈｉ ０ ４ ４ ｈ ａ Ｓｅ ｖ ｉ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｅ ｔｏ ｕ ｃ ｏ ｓｉ ｏｔｎ ｎ ｃ ｎ ｅ ｎ ｌｓｓ．Ａｎ ｏ ｏ ｓｔ ｈ ｎ 一 １ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｅ ｔｏ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｉ ｍｐ ｒａ ｔｉ ｏ ｖ ｘ ａ ａｙ ｉ ｉ ｉ ｌ ａ ｇ ｕ ｏ ｔ ｅ － ｉ ｎ ｉｎ ｓ ｃ ｎ ｌ ｉ
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第１ ３卷 第 ２ 期
２０ ０ ７年 ４月
上 海 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｎ Ｈ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ （ Ａ Ｕ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ａ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ Ｌ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ｕ
Ｂ ｒ ｕ ｉ 张 高 勇 把 Ｂ ｓ ａｎＰｔ ｏ ｓＲ ｂｎ和 ｉ ｕｅ ｎ．ｅ ｙ问 题 ｍ ｔ
推广 到 了用 ｎ一 １ ≤ ｎ一１ 维子空 间 去截 凸体 ， （ ≤ ）
任意 维截 面 函数在文 献 ［ ］ ４ 中也 有 出现 ．
我们 在 此 基 础 上 ， 义 凸体 的 ｎ— 维 截 面 定
函数 为
ｆ ｌ … ， ）：Ｉ Ｎ （ 上＋ ）Ｉ （ ， ， Ｌ ，
球 的体积 ， （ ｋ 表示 Ｒ Ｓ ｎ， ） 中的 ｋ维子空 间 的全体 ， ＩＩ 表示 凸体 的体 积 ． 面 函数 在 凸 分 析 中应 用 截
相 当重要 ， 它是 解决 几何 问题强 有力 的工 具“ ‘ ．
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ． １ １ ２
Ａｐ ｔ．２ ０７ ０
文 章 编 号 ：０７２６ （０ ７ Ｏ．１ １ ３ １０．８ １２ｏ ）２０８． ０
凸体 的 一 Ｊ维 截 面 函数 的性 质及 应 用
汪 卫 ． 何 斌 吾
（ 海 大 学 理 学 院 ， 海 ２０４ ） 上 上 ０４４
摘 要 ： 面 函数 在 凸分 析 中扮 演 着 重 要 的 角 色 ． 似 于 ｎ一１ 截 面 函 数 ， 文 证 明 凸体 的 ｎ一 截 类 维 该 维 截 面 函数 是 对 数 凹 函数 ， 究 与 其 有关 的 性 质 ， 给 出一 些 应 用 ． 研 并
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上 海 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自
第 １ 卷 ３