离散时间系统的数学模型—差分方程
离散时间系统的数学模型—差分方程
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
x1n+ x2n
x2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
数字信号处理题库(附答案)
A. B. C. D.
9.序列 则 的收敛域为（ D ）。
A. B. C. D.
10.关于序列 的 ，下列说法正确的是（ C ）。
A.非周期连续函数 B.非周期离散函数
C.周期连续函数，周期为 D.周期离散函数，周期为
11.以下序列中（ D ）的周期为5。
A. B.
A.微分方程 B.差分方程 C.系统函数 D.信号流图
51.下面的几种网络结构中，（ A ）不是IIR滤波器的基本网络结构。
A.频率采样型 B.用的延迟单元较少
C.适用于实现低阶系统 D.参数 、 对滤波器性能的控制作用直接
52.（ D ）不是直接型结构实现IIR数字滤波器的优点。
A.简单直观 B.用的延迟单元较少
A.单位函数响应奇对称，N为奇数 B.单位函数响应偶对称，N为奇数
C.单位函数响应奇对称，N为偶数 D.单位函数响应偶对称，N为偶数
以上为FIR数字滤波器设计部分的习题
49.在不考虑（ A ），同一种数字滤波器的不同结构是等效的。
A.拓扑结构 B.量化效应 C.粗心大意 D.经济效益
50.研究数字滤波器实现的方法用（ A ）最为直接。
43.窗函数的主瓣宽度越小，用其设计的线性相位FIR滤波器的（ A ）。
A.过渡带越窄 B.过渡带越宽
C.过渡带内外波动越大 D.过渡带内外波动越小
44.用频率采样法设计线性相位FIR滤波器，线性相位FIR滤波器在采样点上的幅频特性与理想滤波器在采样点上的幅频特性的关系（ A ）。
A .相等 B.不相等 C.大于 D.小于
60.频率采样型结构适用于（ B ）滤波器的情况。
A.宽带的情况 B.窄带 C.各种 D.特殊
4离散时间系统的差分方程描述
7
如果把幅度为A的阶跃序列[ x(n) Au(n) ]作为系 统的输入，并且用初始值 y(1) 作为Ａ的估计值， 则系统的响应 y(n) 随着n的增大就会不断地逼近 于 A。 不需要确切的初始条件，粗略的估计就可以。
例：令A 2, y (1) 1, 则可得： y (0) 3 / 2, y (1) 1.4166667, y (2) 1.4142157。 类似地，对于y (1) 1.5，可得： y (0) 1.416667，y (1) 1.4142157。 他们和 2的值差1.414236不多。
k
卷积公式不仅给出了任何线性时不变系统输入输出之间 的关系,而且给出了系统的实现方法。FIR系统可按卷积 和直接实现,但IIR系统用这种方法实现是不可能的。 除了卷积和方法外，能不能用其他方法实现IIR 系统呢? 卷积公式仅以输入信号明确地表示了LTI的输出。在IIR 系统中，离散时间系统更方便用差分方程来表示。 这类系统在包括数字滤波器的实现和一些物理现象及物 理系统的建模在内的许多实际应用中是非常有用的。
则这样的系统称为非递归的。 用卷积公式描述的因果线性时不变FIR系统称为非递归系统
y ( n) h( k ) x ( n k ) h(0) x(n) h(1) x(n 1) h( M ) x(n M ) F[ x(n), x(n 1), , x(n M )]
2.4 离散时间系统的差分方程描述
1 2 3 4 递归离散时间系统和非递归离散时间系统 线性时不变系统的常系数差分方程描述 线性常系数差分方程的解 线性时不变递归系统的冲激响应
时域离散系统的差分方程描述
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
差分方程与系统的线性非时变性
解： 1. (一1)令个x线(n性)=常(系n)数，差系分统方输程出描为述的系统并不一
(定系2)令代统x表。(n因这)=果些y(系都1n(-n统由1))=，，边an系也界u(统不条n)输一件出定（为表初示始线）性所时决不定变。 2. 一个线性常y系2(n数)=差an分-1u方(n程-1描) 述的系统如果是
… n=n时，y(n)=(- a0)ny(0) 即y(n)=y(0)(- a0)nu(n)
差分方程相同，输入信号也一样，但不 注 同的初始条件会得到不同的系统输出。 意
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
对于实际系统，用递推法求解，总是由初始条 件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于 差分方程，基本身也可以向n<0的方向递推， 得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确 定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要 用初始条件进行限制。
例：设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n) ，n>0时，
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程——MATLAB 示例
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程差分方程是离散时间系统模型中常用的数学工具之一。
它描述了在不同时间点上，系统状态之间的关系，其中系统状态是离散的。
差分方程在许多科学领域都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
差分方程可以看作是微分方程在离散时间上的等效形式。
微分方程描述了连续时间系统的动态行为，而差分方程描述了离散时间系统的动态行为。
差分方程通常通过递推关系来表示系统状态之间的转移。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x[n+1] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k])其中，x[n]表示系统在时间点n的状态，f表示系统状态之间的转移函数，k表示系统的阶数。
差分方程的求解方法1. 递推法递推法是一种直接求解差分方程的方法。
通过已知初始条件x[0], x[1], ..., x[k]，可以逐步递推得到系统在任意时间点上的状态。
递推法的步骤如下：1.根据初始条件，求得x[k+1]；2.迭代计算，依次求得x[k+2], x[k+3], ...。
递推法的优点是简单易用，并且不需要求解复杂的代数方程。
但它的缺点是只能求得系统的局部解，无法得到整个系统的行为。
2. 特征根法特征根法是一种求解差分方程的解析方法。
通过求解差分方程的特征方程，可以得到系统的特征根，进而得到系统的解析解。
特征根法的步骤如下：1.将差分方程转化为对应的特征方程；2.求解特征方程，得到系统的特征根；3.根据特征根的性质，推导得到系统的解析解。
特征根法的优点是能够得到系统的全局解，对于高阶差分方程尤为适用。
但它的缺点是求解过程较为繁琐，需要具备一定的数学知识。
差分方程的应用举例差分方程在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 自然科学中的应用在物理学和工程学等领域中，差分方程常用于描述动态系统的行为。
例如，可以用差分方程描述弹簧振子的运动过程、电路中电流的变化等。
2. 经济学中的应用在经济学中，差分方程常用于描述经济系统的演化过程。
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程
差分方程模型应用
金融市场预测
自回归移动平均模型（ARMA）
01
通过差分方程刻画时间序列数据的自相关和移动平均特性，用
于金融市场价格波动的预测。
自回归条件异方差模型（ARCH）
02
应用差分方程描述金融时间序列数据的波动率聚类现象，提高
波动率预测的精度。
随机波动率模型（SV）
03
将波动率视为随机过程，通过差分方程刻画其动态特性，用于
将差分方程模型应用于计算机视觉领域，如目标跟踪、人脸识别、 三维重建等。
06
差分方程求解方法及数值计 算技巧
解析法求解差分方程
迭代法
通过逐步代入的方式，求解差分方程的解， 适用于简单的一阶或二阶差分方程。
特征根法
通过求解差分方程的特征根，进而得到通解的方法 ，适用于线性常系数差分方程。
变换法
通过适当的变换，将差分方程转化为易于求 解的形式，如z变换等。
数值法求解差分方程
欧拉法
一种简单的数值求解方 法，通过逐步逼近的方 式得到差分方程的数值 解。
龙格-库塔法
一种高精度的数值求解 方法，通过多步迭代和 加权平均的方式提高求 解精度。
线性多步法
利用已知多个点的信息 来构造高阶逼近式，从 而提高求解精度和稳定 性。
编程实现和案例分析
01
Python编程实现
金融衍生品定价和风险管理。
03
差分方程模型在物理学中应 用
振动与波动现象描述
振动现象建模
差分方程模型可用于描述物体的振动现象，如弹簧振子、单摆等。通过差分方程，可以分析振动的周期性、振幅、 频率等特性。
波动现象建模
差分方程模型也可用于描述波动现象，如声波、光波等。通过差分方程，可以研究波的传播速度、波长、波幅等 参数。
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
差分方程状态方程和输出方程
差分方程状态方程和输出方程差分方程状态方程和输出方程是系统控制领域中常用的数学工具，用于描述动态系统的行为和输出。
下面，我们将分别介绍差分方程状态方程和输出方程的定义和作用。
差分方程状态方程是描述离散时间系统动态行为的数学模型。
它通过差分方程的形式，将系统的输入和状态变量之间的关系表示出来。
具体而言，差分方程状态方程可以表示为：x(k+1) = A*x(k) + B*u(k)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，u(k)表示系统在时刻k 的输入向量，A和B分别是状态转移矩阵和输入矩阵。
差分方程状态方程可以用来描述系统在不同时刻的状态变化情况，从而帮助我们理解系统的动态特性。
差分方程输出方程是描述离散时间系统输出的数学模型。
它通过差分方程的形式，将系统的状态变量和输出之间的关系表示出来。
具体而言，差分方程输出方程可以表示为：y(k) = C*x(k) + D*u(k)其中，y(k)表示系统在时刻k的输出向量，C和D分别是输出矩阵和输入矩阵。
差分方程输出方程可以用来描述系统输出与状态变量和输入之间的关系，从而帮助我们预测系统的输出值。
差分方程状态方程和输出方程在系统控制中起着重要的作用。
它们可以帮助我们分析系统的稳定性、响应特性和控制性能，并设计出合适的控制策略。
通过对差分方程状态方程和输出方程的研究，我们可以深入了解系统的内部机制，从而提高系统的控制效果。
总结起来，差分方程状态方程和输出方程是描述离散时间系统行为和输出的数学模型。
它们在系统控制领域中具有重要的作用，可以帮助我们理解系统的动态特性，并设计出合适的控制策略。
通过对差分方程状态方程和输出方程的研究，我们可以提高系统的控制效果，实现系统的稳定运行和优化控制。
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程？差分方程是一种求解离散时间系统的数学工具。
与常微分方程相似，差分方程也是描述系统变化的方程，只不过它适用于离散时间点上的模型。
差分方程的核心思想是通过比较相邻时间点上的状态值来描述系统的变化规律。
差分方程可以用来对许多现实世界中的问题建模，例如人口增长模型、物理系统的离散模拟等等。
对差分方程进行求解，可以得到系统随时间变化的解析解或数值解。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x(t+1) = f(x(t))其中，x(t)表示系统在时间点t的状态，x(t+1)表示系统在时间点t+1的状态，f为状态转移函数，描述了系统从t到t+1的映射关系。
差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法解析解法通过对差分方程进行变换、代换和求解等数学方法，得到其解析解。
解析解通常是对问题的一种精确描述，可以给出系统在任意时间点上的状态。
常见的解析解法包括递推法、特征方程法和变换法等。
递推法通过逐个计算时间点上的状态值，从而得到整个系统的演化过程。
特征方程法则将差分方程转化为线性代数方程组，通过求解特征值和特征向量得到解析解。
变换法通过对差分方程进行变换，将其转化为已知的方程形式，从而简化求解过程。
数值解法数值解法通过离散化差分方程，近似求解系统的状态值。
数值解法通常需要选择合适的离散化方法和数值计算算法，同时需要注意误差控制和稳定性等问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过近似计算状态转移函数的值，从而得到系统在每个时间点上的状态。
数值解法的结果通常是离散的，需要对结果进行插值和拟合等处理，以得到系统在连续时间上的状态。
结论差分方程是一种描述离散时间系统变化的数学工具。
对差分方程进行求解，可以得到系统在不同时间点上的状态。
解析解法和数值解法是求解差分方程的主要方法。
解析解法通过数学变换和求解，得到系统的精确解析解；数值解法通过近似计算，得到系统的数值解。
信号分析第五章第二节：时域离散系统
线性 非线性 非线性
X
2. 时不变性
与连续系统相同， 数差分方程，离散系统 参数不随 与连续系统相同，常系 数差分方程， 时间变化， 统 时间变化，为时不变系 ，即输出跟随输入 x(k ) → y(k ) 则：x(k − k 0) → y(k − k 0)
x(n)
y(n)
图示
1
1
系统
−1 O 1 2 3 n
y(k) = kx(k)
第
4.稳定性
•有界输入，产生有界输出 有界输入， 有界输入
• 数学表达式：若 则
x(k) ≤ M x y(k) ≤ M y 式中M x 和M y 为有限正数
23 页
件 稳定系统的充分必要条 :
k =−∞
∑
∞
h(k) ≤ M
单位响应绝对可和
例如
y(k) = kx(k)
h(k) = 0.5k ε (−k) h(k) = 2k ε (k) h(k) = 0.5k ε (k)
ay1 (k )
⇔
∑
bx 2 (k )
y(k)
T[• ]
by 2 (k )
X
第 18 页
例题:判断系统是否线性 例题 判断系统是否线性? 判断系统是否线性
1.y(k) = kf (k) 2.y(k) = f (k) f (k − 1) 3.y(k) + y(k − 1) y(k − 2) = f (k)
y(k − 1) + y(k − 2) = x(k) + x(k − 1) + x(k − 2)
违反因果性X
第 5 页
差分方程的建立
（1）由实际问题直接得到差分方程
【例5－1】
差分方程_z_变换___概述说明以及解释
差分方程z 变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间系统行为的重要数学工具。
在现实生活中，许多系统的变化是按照离散时间步骤进行的，例如数字信号处理、数字滤波、通信系统等。
而差分方程则可以描述这些系统在每个时间步骤上的状态和演变。
与此同时，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散信号和离散系统。
它将差分方程从时域（自变量是时间）转换到z域（自变量是复平面上的复数z），并且能够提供更加简洁和便于分析的表达形式。
本文将概述差分方程z变换的基本概念以及其在离散系统分析和设计中的应用。
我们将解释差分方程z变换过程，并讨论其优势和局限性。
最后，我们将总结主要观点和结论，并对未来发展提出展望和建议。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、差分方程z变换概述、解释差分方程z变换过程、差分方程z变换的优势与局限性以及结论和总结。
1.3 目的本文的目的是介绍差分方程z变换的基本概念和原理，并探讨其在离散系统分析和设计中的应用。
通过阐述z变换与时域之间的关系，传递函数和频率响应描述以及求解差分方程的步骤与方法，读者将能够理解并运用这一重要数学工具。
同时，我们还将提供对差分方程z变换优势与局限性的考察，以及对未来发展的展望和建议。
2. 差分方程z 变换概述:2.1 差分方程基础知识:差分方程是离散时间系统建模和分析中的重要工具，它可以描述离散时间的动态过程。
差分方程以递推关系式的形式表示系统的行为，其中当前时刻输出值与过去一段时间内输入值和输出值之间存在着数学上的关系。
2.2 z 变换介绍:z 变换是一种用于将差分方程从时域转换到复平面上的方法。
在信号处理领域中，z 变换常被用于对离散系统进行频域分析和设计数字滤波器。
z 变换将离散时间信号表示成复变量z 的函数，使得我们可以通过对复平面上的频率响应进行分析来理解系统的特性。
2.3 z 变换的应用领域:z 变换在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统工程领域，z 变换可用于建立数字控制器模型、设计数字滤波器以及实现各种控制算法。
[离散时间信号处理学习笔记]4.线性常系数差分方程
![[离散时间信号处理学习笔记]4.线性常系数差分方程](https://img.taocdn.com/s3/m/eb2ef29ca1116c175f0e7cd184254b35effd1a54.png)
[离散时间信号处理学习笔记]4.线性常系数差分⽅程本⽂主要从离散时间系统的⾓度来讨论线性常系数差分⽅程，不过其中也不可避免地涉及到数学⽅⾯的分析，因此在阅读本⽂章之前，如果对线性常系数差分⽅程在数学上有⼀定的认识，将更有助于理解本⽂的相关内容。
推荐阅读：累加器系统这⾥从累加器来引⼊差分⽅程这⼀概念。
累加器系统定义为y[n]=n∑k=−∞x[k]从上⾯定义的式⼦可以得到y[n−1]=n−1∑k=−∞x[k]等号两边相减得到y[n]−y[n−1]=x[n]从累加器的定义上来说，当前输出与前⼀个输出的差值确实为当前的输⼊。
换⼀个⾓度来说，当前的输出等于前⼀个输出与当前输⼊的和y[n]=y[n−1]+x[n]这种当前的值的计算会⽤到前⾯已算出的值的差分⽅程就是差分⽅程的递推表⽰（迭代法）。
这种差分⽅程的递推表⽰使得系统实现更为简单，在离散时间系统的实现中经常⽤到。
累加器系统的递推差分⽅程⽅框图如下表⽰滑动平滑系统滑动平滑系统的定义是y[n]=1M1+M2+1M2∑k=−M1x[n−k]令M1=0以使系统称为因果的。
那么该系统的定义变为y[n]=1M2+1M2∑k=0x[n−k]单位脉冲响应为h[n]=1M2+1(δ[n]–δ[n−M2−1])∗u[n]可以看到式⼦中分为三个部分：衰减器、样本延迟、累加器。
表⽰成⽅框图如下线性时不变系统中的⼀个重要的⼦系统是由这样⼀些系统组成，这些系统的输⼊x[n]和输出y[n]满⾜N阶线性常系数差分⽅程，其形式为N∑k=0a k y[n−k]=M∑m=0b m x[n−m]线性常系数差分⽅程的求解线性常系数差分⽅程的解可以分为两部分y[n]=y p[n]+y h[n]其中y p[n]为特解，y h[n]为齐次解，我们这⾥就齐次解简单展开说明。
齐次解是假设x[n]=0时求得的y[n]，即有如下齐次差分⽅程N∑k=0a k y h[n−k]=0在求解差分⽅程的过程中，我们会假设y h[n]=Az n然后代⼊上述齐次差分⽅程，整理后得到N∑k=0a k z−k=0求解该⽅程后可以得到N个不同的z值都能满⾜上述⽅程（没有重根的情况下），即z m，m=1,2,⋅⋅⋅,N另外，⽆论A m为什么值，在把y h[n]=A m z n m代⼊到齐次差分⽅程都能得到满⾜，因此y h[n]的解为y h[n]=N∑m=1A m z n m此时z m的值已知，A m未知，那么此时就需要辅助条件来求解A m，辅助条件可以由⼀些特定n点上的特定y[n]值组成，诸如y[−1],y[−2],⋅⋅⋅,y[−N]，然后求解⼀组由N个线性⽅程构成的⽅程组来求得N个特定系数A m。
差分方程与傅里叶
差分方程与傅里叶变换一、差分方程的概念及应用1.1 差分方程的定义差分方程是指用数学语言描述离散时间系统的数学模型，它是一种递推关系式。
通常用来描述离散时间系统中各个时刻之间的关系。
1.2 差分方程的应用差分方程在各个领域都有广泛应用，例如：（1）物理学：描述物理系统中的运动规律。
（2）经济学：描述经济系统中的变化规律。
（3）生物学：描述生态系统中各种生物群体之间的相互作用。
二、傅里叶变换的概念及应用2.1 傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频率域信号的方法，它可以将任意周期函数表示成一组正弦和余弦函数之和。
傅里叶变换是信号处理领域中最重要、最基本、最常见、最有效的工具之一。
2.2 傅里叶变换的应用傅里叶变换在各个领域都有广泛应用，例如：（1）通信领域：调制与解调技术、滤波器设计等。
（2）图像处理领域：图像压缩、图像增强等。
（3）声学领域：音频信号分析与合成、语音识别等。
三、差分方程与傅里叶变换的关系3.1 差分方程与离散傅里叶变换差分方程可以看成是一个离散时间信号的递推式，而离散傅里叶变换则是将一个离散时间信号转换为频率域信号。
因此，差分方程和离散傅里叶变换有着密切的关系。
3.2 差分方程与连续傅里叶变换连续时间系统中的微分方程可以通过拉普拉斯变换转化为复平面上的函数，而复平面上的函数可以通过傅里叶变换表示为频率域中的函数。
因此，连续时间系统中的微分方程和傅里叶变换也有着密切的关系。
四、差分方程和傅里叶变换在数学建模中的应用4.1 数学建模中常用到的差分方程在数学建模中，常用到一些具有递推性质的差分方程，例如：（1）斐波那契数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
（2）复利计算：S(n)=S(n-1)+r*S(n-1)，其中r为利率。
（3）人口增长模型：N(t+1) = N(t) + rN(t)(1-N(t)/K)，其中r为出生率，K为环境容量。
4.2 数学建模中常用到的傅里叶变换在数学建模中，傅里叶变换也有着广泛的应用，例如：（1）信号处理领域：对信号进行滤波、降噪、分析等操作。
信号与系统 差分方程
信号与系统差分方程
差分方程是一种描述离散时间系统的数学工具，用于描述系统的输入和输出之间的关系。
在信号与系统领域，差分方程常用于描述离散时间信号和系统的行为。
差分方程的一般形式是：
y[n] = a[n] + b[n-1] + c[n-2] + ...
其中，y[n]表示系统的输出，n表示离散时间变量，a[n]、b[n-1]、c[n-2]等表示系统的输入。
差分方程通过将当前时刻的输入和之前时刻的输出加权求和来计算当前时刻的输出。
差分方程可以通过Z变换进行分析和求解。
Z变换是一种将离散时间信号和系统转换为复频率域的方法，类似于连续时间信号和系统的拉普拉斯变换。
通过对差分方程进行Z变换，可以得到系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性等性质。
差分方程在实际应用中广泛使用，包括数字滤波器、数字控制系统、数字信号处理等领域。
通过差分方程，可以对离散时间系统进行建模和分析，从而实现信号的处理和控制。
离散信号差分方程
离散信号差分方程
离散信号差分方程是描述离散时间系统动态行为的一种数学模型。
它通常用于分析和设计数字信号处理系统，如滤波器、控制系统等。
差分方程的一般形式可以表示为：
y[n] + a1y[n-1] + a2y[n-2] + ... + aNy[n-N] = b0x[n] + b1x[n-1] + b2x[n-2] + ... + bM*x[n-M]
其中，y[n] 表示系统在时刻n 的输出，x[n] 表示在时刻n 的输入，a1, a2, ..., aN 和b0, b1, ..., bM 是系统的系数，它们决定了系统的动态特性。
N 和M 分别是输出和输入的最大延迟时间。
差分方程的解可以通过迭代法、Z变换、离散时间傅里叶变换等方法求得。
在求解差分方程时，需要注意稳定性和因果性等问题，以确保系统的输出是合理的。
离散信号差分方程是数字信号处理中的基本概念之一，掌握它的基本原理和应用对于理解和设计数字信号处理系统具有重要意义。
信号与系统求差分方程
信号与系统求差分方程
信号与系统是电子工程中的重要学科，它研究的是信号的传输和处理以及系统的特性与性能。
在这个领域中，差分方程是一种常用的数学工具，用于描述离散时间系统中的信号和系统行为。
差分方程是一种离散时间系统的数学模型，描述了系统的输入和输出之间的关系。
它可以用于分析和预测系统的行为，以及设计合适的控制算法。
差分方程的形式通常是这样的：
y[n] = a*y[n-1] + b*x[n-1]
其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，y[n-1]和x[n-1]分别表示前一时刻的输出和输入信号，a和b是差分方程中的常数系数。
通过差分方程，我们可以推导出系统的响应和稳定性等重要性能指标。
对于给定的输入信号，我们可以使用差分方程来计算系统的输出，并通过比较输出信号与期望信号来评估系统的性能。
差分方程的求解通常需要使用离散时间系统的特定方法，比如Z变换等。
通过这些方法，我们可以将差分方程转化为代数方程，从而得到系统的解析解或数值解。
在信号与系统的研究中，差分方程是一个非常重要的工具。
它帮助我们理解和分析离散时间系统的行为，从而为系统设计和控制提供
了理论基础。
通过差分方程的应用，我们可以更好地理解和利用信号与系统的原理，提高系统的性能和稳定性。
差分方程是信号与系统中的重要工具，用于描述离散时间系统的行为和性能。
它的应用可以帮助我们理解和分析系统，从而提高系统的性能和稳定性。
希望通过学习差分方程，能够更好地应用信号与系统的知识，解决实际工程问题。
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线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
四．由系统框图写差分方程
1．基本单元
加法器：
x1 nx1nBiblioteka + x2nx2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
N
M
通式 : ak yn k br xn r
k0
r0
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系。
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
(2)差分方程的数阶：差分方程中变量的最高和最低 序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于前面几个输出值及 输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n)
三．由微分方程导出差分方程
dyt ayt+ f t
dt
yt ：输出，
f t：输入
时间间隔 : T
后差 dyt yt yt T
dt
T
或前差 dyt yt + T yt
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
n
1 o 1 2 3
n
二．由实际问题直接得到差分方程
例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为：
dt
T
列差分方程
若用后差形式
yt yt T ayt+ f t
T 若在t=nT 各点取得样值
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n