行初等变换化矩阵为对称矩阵及其算法
矩阵的初等行变换课件
二、矩阵的初等行变换
三、行列式的计算
四、矩阵的初等列变换
*
一、矩阵
定义
由sn个数排成 s 行 n 列的表
称为一个 s×n 矩阵，
j为列指标.
简记为
数 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标，
若矩阵
则说A为数域 P 上的矩阵．
当 s=n 时， 称为n级方阵．
二、矩阵的初等行变换
定义
数域P上的矩阵的初等行变换是指：
矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B．
如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的
阶梯形矩阵
第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全
为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为
阶梯形矩阵．
任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换
化成阶梯形矩
三、行列式的计算
任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且
方法：
阶梯阵，从而算得行列式的值．
对行列式 中的A作初等行变换，把它化为
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列；
2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列， ；
3) 互换矩阵中两列的位置．
由 n 级方阵 定义的 n 级行列式
称为矩阵A的行列式，记作 或detA．
特别地，
矩阵的相等
则称矩阵A与B相等，记作 A=B．
设矩阵
如果
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行， ；
3) 互换矩阵中两行的位置．
注意：
四、矩阵的初等列变换
定义
数域P上的矩阵的初等列变换是指：
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
初等变换的技巧
初等变换的技巧初等变换是线性代数中常用的一种变换方法，用于改变矩阵的性质和结构。
它是矩阵计算中重要的基础操作，具有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的初等变换技巧，包括矩阵的行变换和列变换。
1. 行变换技巧1.1 行交换行交换是指交换矩阵的两行位置。
通过行交换，我们可以改变矩阵的行顺序，从而使得矩阵更加整齐和方便计算。
使用初等变换表示行交换时，我们将目标行与需要交换的行进行线性组合，得到新的目标行。
具体的步骤如下：•记目标行为第i行，需要交换的行为第j行；•通过线性组合，得到目标行的新值。
例如，对于一个3×3的矩阵A，我们希望交换第1行和第2行，可以使用下列初等变换的步骤：A:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a331. 第1行与第2行交换A' = (a21 a22 a23)(a11 a12 a13)(a31 a32 a33)1.2 行倍乘行倍乘是指将矩阵的某一行乘以一个非零常数。
这个操作可以改变行的比例关系，从而影响矩阵的秩和解的个数。
使用初等变换表示行倍乘时，我们将目标行乘以一个非零常数，得到新的目标行。
具体的步骤如下：•记目标行为第i行，倍乘的常数为k；•目标行的每个元素乘以k，得到目标行的新值。
例如，对于一个3×3的矩阵A，我们希望将第2行乘以2，可以使用下列初等变换的步骤：A:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a331. 将第2行乘以2A' = (a11 a12 a13)(2a21 2a22 2a23)(a31 a32 a33)1.3 行倍加行倍加是指将矩阵的某一行乘以一个非零常数，并加到另外一行上。
这个操作可以改变行的比例关系，从而影响矩阵的秩和解的个数。
使用初等变换表示行倍加时，我们将目标行乘以一个非零常数，然后加到另外一行上，得到新的目标行和另外一行。
具体的步骤如下：•记目标行为第i行，被加的行为第j行，倍乘的常数为k；•目标行的每个元素乘以k，并加到第j行的对应元素上，得到目标行和第j行的新值。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
矩阵初等变换的一些性质及应用
矩阵初等变换的一些性质及应用矩阵初等变换的一些性质及应用摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。
文章证明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础,归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用,并给出了一些实例。
关键词：矩阵初等变换性质应用Abstract: The elementaryalternate of matrix is animportant tool broadly usedin linear algebra. The paperdiscusses its properties andapplication.Key w o rd: matrix,elementary alternate,properties, application0 引言矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换:(1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）；(2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)；(3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。
矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。
矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。
本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。
一、初等变换的性质证明定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。
证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n)对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:上述矩阵B 与矩阵A 交换i、j两行后得到的矩阵是相同的。
定理证毕。
定理2 设是数域P上一个m×n 矩阵, 其中且若A经过初等行变换为矩阵,其中则有证明: 由初等行变换的定义知道方程组与方程组同解，因此，若，则有证毕。
对称矩阵的公式
对称矩阵的公式对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它有着独特的性质和相关公式。
咱们先来说说啥是对称矩阵。
简单来讲，一个 n 行 n 列的矩阵 A，如果对于任意的 i 和 j，都有 A(i,j) = A(j,i)，那这个矩阵 A 就是对称矩阵。
比如说，一个 2×2 的对称矩阵可能是\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] 。
对称矩阵有个很重要的性质，那就是它的特征值都是实数。
这在很多实际问题中可太有用啦！比如说在物理学中研究振动问题的时候，就经常会碰到对称矩阵。
说到这儿，我想起之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这对称矩阵到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我就跟他说：“你想想看，咱们平时拍照，正脸和侧脸看起来不一样吧？但如果是完全对称的脸，是不是看起来就很规整、很协调？对称矩阵在数学里就有点像这规整协调的脸，能让很多计算和分析变得简单明了。
”那对称矩阵的公式都有啥呢？一个重要的公式就是，如果 A 是对称矩阵，那么一定存在一个正交矩阵 Q，使得 \( Q^TAQ = \Lambda \) ，其中 \(\Lambda\) 是由 A 的特征值构成的对角矩阵。
这个公式可厉害了，它能帮助我们把一个复杂的对称矩阵通过相似变换变成一个简单的对角矩阵，从而方便我们进行各种计算和分析。
再比如，对于对称矩阵 A，它的二次型 \( x^TAx \) 也有一些特殊的性质和计算方法。
假设 A 是一个 3×3 的对称矩阵\[ \begin{pmatrix} a &b &c \\ b &d &e \\ c & e &f \end{pmatrix} \] ，向量 \( x = (x_1, x_2,x_3)^T \) ，那么 \( x^TAx = a x_1^2 + d x_2^2 + f x_3^2 + 2 b x_1 x_2 +2 c x_1 x_3 + 2 e x_2 x_3 \) 。
对称矩阵知识点
对称矩阵是线性代数中一个重要的概念。
本文将从基本概念、性质和判断方法三个方面来介绍对称矩阵的相关知识。
基本概念对称矩阵是指一个方阵，其转置矩阵与原矩阵相等。
换句话说，对称矩阵就是满足A=A T的矩阵。
其中，A表示对称矩阵的符号，A T表示A的转置矩阵。
对称矩阵的行数和列数相等。
性质对称矩阵具有许多重要的性质，下面列举其中几个常见的性质： 1. 对称矩阵的主对角线上的元素都是实数。
因为一个矩阵和它的转置矩阵相等，所以主对角线上的元素保持不变。
2. 对称矩阵的特征值都是实数。
这是因为对称矩阵的特征值和特征向量是成对出现的，而特征向量是对应于特征值的实数向量。
3. 对称矩阵可以对角化。
对称矩阵可以通过相似变换对角化，即可以找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
判断方法判断一个矩阵是否是对称矩阵有多种方法，下面介绍两种常见的判断方法： 1. 比较矩阵和其转置矩阵的元素。
对称矩阵的定义就是矩阵和其转置矩阵相等，因此可以逐个比较矩阵的元素是否相等来判断是否是对称矩阵。
2. 判断矩阵的特征值是否都是实数。
对称矩阵的特征值都是实数，因此可以通过计算矩阵的特征值来判断是否是对称矩阵。
如果特征值都是实数，那么矩阵是对称矩阵；如果存在复数的特征值，那么矩阵不是对称矩阵。
总结对称矩阵是满足A=A^T的方阵，具有许多重要的性质。
它的主对角线上的元素都是实数，特征值都是实数，而且可以通过相似变换对角化。
判断一个矩阵是否是对称矩阵可以比较矩阵和其转置矩阵的元素，也可以计算矩阵的特征值。
对称矩阵在线性代数和其他数学领域中都有广泛的应用，在实际问题中具有重要的作用。
对称矩阵与对称变换的性质与应用
对称矩阵与对称变换的性质与应用对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将深入探讨对称矩阵的性质以及对称变换的应用。
一、对称矩阵的定义和基本性质对称矩阵是一种特殊的方阵，它满足矩阵的主对角线元素对称，并且对称位置上的元素相等。
设A=(aij)是一个n阶矩阵，若对任意i与j都有aij=aji，则A为对称矩阵。
对称矩阵具有以下基本性质：1. 对称矩阵的主对角线元素一定是实数。
2. 若A和B都是对称矩阵，则A+B和kA(k为常数)也是对称矩阵。
3. 对称矩阵的转置仍为对称矩阵。
4. 对称矩阵一定是方阵。
二、对称矩阵的特征与特征向量对称矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于任意一个n阶对称矩阵A，都存在n个实数特征值和n个线性无关的实特征向量。
对称矩阵的特性可用于解决许多实际问题。
例如，在电力系统中，可以使用对称矩阵的特征值和特征向量来分析系统的稳定性和动态响应。
三、对称变换的定义和性质对称变换是指对向量空间中的向量进行一种操作，使其经过变换后，保持与原来的向量之间的某种关系。
对称变换具有保持长度不变和保持角度不变的性质。
设T为一个线性变换，对于向量V，若T(V)=V，则称T为对称变换。
对于平面上的向量，对称变换通常是针对某个中心进行的轴对称变换。
四、对称变换的应用对称变换在几何学和物理学中有广泛的应用。
1. 几何学中的对称变换：对称变换可以用于描述图形的对称性质。
例如，平移、旋转和镜像等都是对称变换的特例，这些变换被广泛应用于艺术、建筑设计等领域。
2. 物理学中的对称性：对称变换在现代物理学中具有重要的地位。
例如，守恒定律即是由对称性所决定的，粒子物理学中的对称性研究对于揭示基本粒子的性质具有重要作用。
总结：对称矩阵和对称变换是线性代数中的重要概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
通过对对称矩阵的研究，我们可以深入理解矩阵的运算规律和特征性质；而对称变换则能够帮助我们研究和描述几何图形的对称性质以及物理系统的对称性。
初等行变换技巧
初等行变换技巧初等行变换是矩阵论中的一个基本概念，也是线性代数中的重要内容。
初等行变换可以通过对矩阵的行进行一系列的操作来改变矩阵的形式，使得矩阵更易于计算和分析。
本文将介绍初等行变换的基本技巧和应用。
一、初等行变换的定义和分类初等行变换是指对矩阵的行进行以下三种操作之一：1. 交换任意两行；2. 用一个非零常数乘以一行；3. 把一行加上另一行的若干倍。
这三种操作称为初等行变换。
初等行变换可以改变矩阵的行向量组，但不改变矩阵的列向量组。
初等行变换可以用矩阵的乘法来描述，每一种变换对应一个矩阵。
对于一个n阶方阵A，可以通过一系列的初等行变换把它变成一个特殊的矩阵，称为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵的定义如下：1. 矩阵的第一行非零元素所在的列（称为主元所在列）在矩阵的第一列；2. 第二行非零元素所在的列在第一行主元所在列的右边；3. 第三行非零元素所在的列在第二行主元所在列的右边；4. 以此类推，每一行非零元素所在的列都在前一行主元所在列的右边。
阶梯形矩阵的最后一行可能全是零，也可能存在非零元素。
如果最后一行全是零，则称该矩阵为零矩阵；否则，称该矩阵为行最简矩阵。
二、初等行变换的基本技巧1. 交换任意两行交换任意两行可以通过交换这两行对应的行向量，从而改变矩阵的行向量组。
交换行向量不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
交换行向量还可以改变矩阵的行列式的符号，因为每交换一次行向量，行列式的符号就要取相反数。
2. 用一个非零常数乘以一行用一个非零常数乘以一行可以通过对这一行对应的行向量进行伸缩变换，从而改变矩阵的行向量组。
用一个非零常数乘以一行不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
用一个非零常数乘以一行还可以改变矩阵的行列式的值，因为每乘以一个非零常数，行列式的值就要乘以这个常数。
3. 把一行加上另一行的若干倍把一行加上另一行的若干倍可以通过对这两行对应的行向量进行加法运算，从而改变矩阵的行向量组。
把一行加上另一行的若干倍不会改变列向量组，因此矩阵的秩不变。
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
对称矩阵与对称变换
*正交基的特征根的模为1,即 1;
*实反对称矩阵的特征根或为零,或为纯虚数,
即 0,
◆ 对称变换σ满足：任意α， β ∈V, (σ(α),β)=(α,σ(β))
◆ σ是对称变换,V1是σ-不变子空间, 则V1⊥也是σ-不变子空间
◆ ｎ维欧氏空间的一个对称变换 属于不同特征根的特征向量彼此 正交
T1ATTAT 是对角矩
结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换 可化成标准形。
◆ 实对称矩阵的特征根都是实数
证明: 设A为实对称矩阵,为A的特征根,则存在 X Cn , X 0,使得 AX X 两边取共轭, 得 AX X , 左乘X XAX XX 两边取转置, 得 XA X, 右乘X , XAX XX 从而, 得XX XX, 由于X 0, XX 0. 必有 , 是实数.
从而 1,2, ,n线性相关的结论，即
•σ（α1），…，σ（αn）线性 相关 (σ单射) → α1，…，αn 线性相关
•所以同构映射不仅保持线性相关， 而且保持线性无关，也就是说，同构 映射保持线性相关性。
•一般线性映射只保持线性相关。 •反例：零映射。
如果σ（α1），…，σ（αn）线性相关， 希望α1，…，αn线性相关， 那么要求σ 具备什么条件呢？
标准正交化 , 得
p1 (
1, 2
1 ,0,0), 2
p2 (
1 , 6
1, 6
2 6
,0 ),
p3
(
1, 12
1, 12
1, 12
3) 12
属于特征值
3的特征向量是
p4
1 (1,1,1,1) 2
令P ( p1, p2, p3, p4 ),P是正交矩阵,经正 交变换X PY, 二次型化成标准形
对称行列式简便求法
对称行列式简便求法对称行列式是指行列式中的每一行和每一列都是相同的，也就是说，如果我们把这个矩阵沿着主对角线翻转，那么它还是原来的矩阵。
对称行列式在数学和物理中都有广泛的应用，因此简便求法也很重要。
下面介绍两种简便求法：一、利用初等变换利用初等变换可以将对称行列式化为一个三角形矩阵，然后直接求解。
具体步骤如下：1. 对称性质：将第i行与第i列交换位置不影响行列式的值。
2. 行交换：将第i行与第j行交换位置会改变行列式的符号。
3. 列交换：将第i列与第j列交换位置会改变行列式的符号。
4. 行加减：将第j行加上k倍的第i行不改变行列式的值。
5. 列加减：将第j列加上k倍的第i列不改变行列式的值。
根据以上性质，我们可以利用初等变换将对称矩阵化为一个三角形矩阵。
具体步骤如下：1. 将第1个元素移到左上角。
2. 对第1个元素所在的行和列进行行列变换，使得第1行和第1列只有一个非零元素。
3. 将第2个元素移到左上角。
4. 对第2个元素所在的行和列进行行列变换，使得第2行和第2列只有两个非零元素。
5. 重复以上步骤，直到将所有元素移到左上角，并且矩阵化为一个三角形矩阵。
6. 计算三角形矩阵的行列式即可得到原对称矩阵的行列式。
二、利用特征值利用特征值可以快速求解对称矩阵的行列式。
具体步骤如下：1. 求出对称矩阵的特征值λ1、λ2、……、λn。
2. 将特征值按从小到大排列：|λ1| ≤ |λ2| ≤ …… ≤ |λn|。
3. 将特征值依次代入对称矩阵的主对角线上，计算每个元素与其右下方所有元素之积之和：∏(aij-λk)，其中i≥j，k=1,2,……,n。
4. 根据勒让德公式（也叫赫尔默特公式），计算出对称矩阵的行列式：det(A) = ∏λi * ∏∏(aij-λk)。
以上就是两种简便求解对称矩阵行列式的方法，它们都可以快速求解对称矩阵的行列式，具有很高的实用价值。
对称矩阵运算法则
对称矩阵运算法则一、对称矩阵的定义设A = (a_{ij})为n阶方阵，如果A^T=A，即a_{ij} = a_{ji}对所有的i和j都成立（1≤slant i≤slant n，1≤slant j≤slant n），则称A为对称矩阵。
例如：A=begin{pmatrix}1&2&32&4& - 13& - 1&5end{pmatrix}是一个对称矩阵，因为a_{12}=a_{21} = 2，a_{13}=a_{31}=3，a_{23}=a_{32}=- 1。
二、对称矩阵的加法运算1. 法则- 若A和B是两个n阶对称矩阵，则A + B也是对称矩阵。
- 证明：已知A^T = A，B^T=B。
- 那么(A + B)^T=A^T + B^T（矩阵转置的性质：(A + B)^T=A^T + B^T） - 因为A^T = A，B^T = B，所以(A + B)^T=A + B，这就证明了A + B是对称矩阵。
2. 示例- 设A=begin{pmatrix}1&22&3end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}4&55&6end{pmatrix}- A + B=begin{pmatrix}1 + 4&2+52 +5&3+6end{pmatrix}=begin{pmatrix}5&77&9end{pmatrix}- 可以验证(A + B)^T=begin{pmatrix}5&77&9end{pmatrix}=A + B三、对称矩阵的数乘运算1. 法则- 若A是n阶对称矩阵，k是一个数，则kA也是对称矩阵。
- 证明：已知A^T = A。
- 那么(kA)^T=kA^T（矩阵数乘转置的性质：(kA)^T = kA^T）- 因为A^T = A，所以(kA)^T=kA，这就证明了kA是对称矩阵。
矩阵的初等行变换
矩阵的初等行变换初等行变换是一种矩阵的基本运算，它的目的是改变这个矩阵的上三角部分，如下所示：1. 换行：把矩阵的任意一行乘以一个非零常数，然后加到其他行中。
2. 乘法：在矩阵的某一行中乘以一个非零常数，然后加到其他行中。
3. 交换行：把矩阵的任意一行和另一行交换。
4. 加减：把一个矩阵中的任意一行，乘以一个非零常数，然后加到另一行中，或者把一行减去另一行，使得两个矩阵有相同的值。
5. 换列：把矩阵的任意一列与另一列交换。
6. 合并列：将一个矩阵的任意一列乘以一个非零常数，然后加到另一列中，或者把一列减去另一列，使得两个矩阵有同样的值。
7. 增行：把一个矩阵中的任意一行，乘以一个非零常数，然后加到另一行中，或者把一行减去另一行，使得两个矩阵有相同的值。
通常，初等行变换是使一个矩阵通过上述一系列的运算，转换成上三角矩阵，或者降低它的行数和列数在线性方程组中可以采用初等行变换求解，或者为将数学问题转化为方便的表达形式做准备。
初等行变换的应用：1. 用来解决线性方程组：利用初等行变换，可以将原矩阵中的不等式或者不等式变形成有条件地等式，从而解决线性方程组。
2. 求解矩阵的行列式：利用初等行变换，可以将原矩阵分解成上三角形矩阵，这时行列式只是系数的乘积，从而计算出矩阵的行列式。
3. 将非行列式矩阵转换成行列式：利用初等行变换，可以对原矩阵的每一行的向量做合并操作，使得矩阵变形成行列式矩阵，从而可以求出行列式的值。
4. 特征值与特征向量：利用初等行变换，可以将矩阵的特征多项式变形成八阶多项式，从而求出其特征值与特征向量。
5. 矩阵的相关运算：利用初等行变换，可以将原矩阵对角化，从而帮助解决其他矩阵问题，比如最小二乘问题，线性回归问题，数据处理等。
总之，初等行变换是一种非常有用的数学运算，可以帮助我们轻松解决矩阵运算的难题。
对称矩阵的简便算法
对称矩阵的简便算法
对称矩阵是指具有关于主对角线对称性质的矩阵。
简便算法是指能够
有效地判断一个矩阵是否对称的算法。
本文将介绍两种简便算法：一种是
基于对称矩阵定义的算法，另一种是基于矩阵转置的算法。
1.基于对称矩阵定义的算法：
1.1将矩阵A与其转置AT求差矩阵B=A-AT；
1.2遍历矩阵B中的所有元素，如果存在一些元素B[i][j]不等于零，则矩阵A不是对称矩阵；
1.3如果遍历完所有元素后都没有找到不等于零的元素，则矩阵A是
对称矩阵。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为矩阵的维度。
缺点是需
要额外的空间存储差矩阵B。
2.基于矩阵转置的算法：
矩阵的转置是将矩阵中的行与列互换得到的新矩阵。
对于对称矩阵来说，它的转置与它本身相等。
因此，可以通过判断矩阵与其转置是否相等
来确定是否为对称矩阵。
具体的步骤如下：
2.1遍历矩阵A的所有元素，如果存在一些元素A[i][j]不等于
A[j][i]，则矩阵A不是对称矩阵；
2.2如果遍历完所有元素后都满足A[i][j]等于A[j][i]，则矩阵A
是对称矩阵。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为矩阵的维度。
由于只需要对比矩阵中的元素，不需要额外的空间存储差矩阵，因此空间复杂度为O(1)。
综上所述，通过以上两种简便算法，我们可以快速有效地判断一个矩阵是否为对称矩阵。
该算法适用于任意维度的矩阵，并且具有简单明了、时间复杂度较低等优点。
在实际应用中，对称矩阵的判断有助于提高计算效率，尤其在涉及到对称性质的问题时更加重要。
关于对称矩阵求法的文章
关于对称矩阵求法的文章对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在数学和物理学中，对称矩阵具有许多重要的性质和特点。
本文将介绍对称矩阵的定义、性质以及求解方法。
首先，我们来定义对称矩阵。
一个n×n的矩阵A被称为对称矩阵，如果它满足A的转置等于A本身，即A^T = A。
换句话说，对称矩阵关于其主对角线对称。
对称矩阵具有许多重要的性质。
首先，它们的特征值都是实数。
这是因为如果λ是A的一个特征值，那么存在一个非零向量v使得Av = λv。
我们可以将这个等式两边同时取转置得到(Av)^T = (λv)^T，即v^TA^T = v^Tλ^T。
由于A是对称矩阵，所以A^T = A，因此我们有v^TA =v^Tλ。
由于v不为零向量，所以v^T不为零向量的转置（即列向量），因此我们可以得到λ = λ^T，即λ是实数。
其次，对称矩阵具有n个线性无关的特征向量。
这是因为对于每个特征值λ，我们可以找到一个对应的特征向量v。
由于特征向量是线性无关的，所以对称矩阵具有n个线性无关的特征向量。
接下来，我们来讨论如何求解对称矩阵。
对称矩阵的求解方法有多种，其中最常用的方法是通过对称矩阵的特征值分解来求解。
特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。
对于一个n×n的对称矩阵A，我们可以将其分解为A= QΛQ^T，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，其主对角线上的元素就是A的特征值。
具体求解过程如下：首先，我们需要计算A的特征值和特征向量。
然后，将这些特征值按从大到小排列，并将相应的特征向量按相同顺序排列成一个正交矩阵Q。
最后，构造一个对角矩阵Λ，其主对角线上的元素就是A的特征值。
通过这种方法求解得到的Q和Λ可以帮助我们更好地理解和分析对称矩阵的性质和特点。
此外，特征值分解还可以用于解决一些实际问题，例如在物理学中用于描述振动系统的本征频率和模态形式。
总结起来，对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和特点。
矩阵的变换
§1 矩阵的初等变换
定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1．互换两行（记）；
2．以数乘以某一行（记）；
3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义若矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，则称与行等价，记；
若矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，则称与列等价，记；
若矩阵经有限次初等变换变成矩阵，则称与等价，记。
等价关系满足：
1．反身性：；
2．对称性：；
3．传递性：。
例用初等行变换解线性方程组：
解（称是该线性方程组的增广矩阵）
, （称为行阶梯形矩阵）
，（称为行最简形矩阵）
对应的线性方程组为
取，则
即
对矩阵，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式
，（称之为标准形）。
对称矩阵求法
对称矩阵求法对称矩阵是线性代数中一种特殊的矩阵形式，它具有许多有趣的性质和重要的应用。
本文将详细介绍对称矩阵的定义、性质、常见的求法以及一些实际问题中的应用。
首先，让我们来了解对称矩阵的定义。
一个n×n 矩阵 A 被称为对称矩阵，如果它的转置矩阵等于自身，即 A = A^T。
换句话说，对称矩阵关于主对角线对称，主对角线上的元素保持不变。
对称矩阵具有许多有趣的性质。
首先，对称矩阵的主对角线元素必定是实数，因为一个矩阵和它的转置矩阵相等，所以主对角线上的元素不会发生变化。
其次，对称矩阵的任意两个元素 A[i][j] 和A[j][i]，如果 i 不等于 j，那么它们的值是相等的。
也就是说，对称矩阵中的元素关于主对角线对称。
最后，对称矩阵可以通过实对称矩阵的特征值分解方式，将其分解成正交矩阵和对角矩阵的乘积。
接下来，我们来看一些对称矩阵的求法方法。
对称矩阵可以通过多种途径求解，其中一种常见的方法是利用实对称矩阵的特征值分解。
特征值分解可以将对称矩阵表示为正交矩阵 Q 与对角矩阵 D 的乘积，即 A = QDQ^T。
在特征值分解的过程中，首先需要求解对称矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过正交矩阵来构造。
此外，对称矩阵的特征值都是实数，而且特征向量也可以选择为正交向量。
这种特殊性质使得对称矩阵在许多实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，对称矩阵可以用来描述物体的对称性，并帮助解决关于自旋、绕轴旋转等问题。
在机器学习中，对称矩阵被广泛应用于协方差矩阵的计算和主成分分析中，帮助我们理解数据的统计特性和降维分析。
总结一下，对称矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有许多有趣的性质和广泛的应用。
它可以通过实对称矩阵的特征值分解求解，特征值为实数，特征向量为正交向量。
在物理学和机器学习等领域，对称矩阵的应用也是不可或缺的。
对称矩阵的研究为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和思路。
对称矩阵的计算方法
对称矩阵的计算方法1、通过传统方法，把矩阵[A I]通过行变换得到[I A-1]，具体方法其实就是高斯消元法。
2、对矩阵进行LDL'分解，于是A-1 = L'-1 D-1 L-1其中L-1就是把L的对角线下元素取负即可，D-1就是对角线元素取倒数，L'-1 = (L-1)' 第2种方法对对称阵的效果会更好一些。
下面给一段程序（还没有优化）：typeTMatrix = array of array of Extended;ENotSquare = class(Exception);EDimNotMatch = class(Exception);...procedure LDLT(m: TMatrix; var l, d: TMatrix); //LDL'分解varn, i, j, k: Integer;s: Extended;beginn := High(m);if High(m[0]) <> n thenRaise ENotSquare.Create('LDL''分解需要方阵！');SetLength(l, n + 1, n + 1);SetLength(d, n + 1, n + 1);for i := 0 to n dofor j := 0 to n do beginl[i, j] := Ord(i = j);d[i, j] := 0;end;for i := 0 to n do begins := m[i, i];for j := 0 to i - 1 dos := s - Sqr(l[i, j]) * d[j, j];d[i, i] := s;for k := i + 1 to n do begins := m[k, i];for j := 0 to i - 1 dos := s - l[k, j] * l[i, j] * d[j, j];l[k, i] := s / d[i, i];end;end;end;procedure Transpose(m: TMatrix; var Trans: TMatrix); //矩阵转置vari, j, n0, n1: Integer;beginn0 := High(m);n1 := High(m[0]);SetLength(Trans, n1 + 1, n0 + 1);for i := 0 to n0 dofor j := 0 to n1 doTrans[j, i] := m[i, j];end;procedure Multiply(m1, m2: TMatrix; var Res: TMatrix); //矩阵乘法vari, j, k, n0, n1, n2: Integer;s: Extended;beginn0 := High(m1);n1 := High(m1[0]);if n1 <> High(m2) thenRaise EDimNotMatch.Create('矩阵维数不匹配！');n2 := High(m2[0]);SetLength(Res, n0 + 1, n2 + 1);for i := 0 to n0 dofor j := 0 to n2 do begins := 0;for k := 0 to n1 dos := s + m1[i, k] * m2[k, j];Res[i, j] := s;end;end;procedure InverseSymmetry(m: TMatrix; var Inv: TMatrix); //对称阵求逆varl, d, lt, temp: TMatrix;i, j, k, n: Integer;s: Extended;beginn := High(m);LDLT(m ,l, d);SetLength(lt, n + 1, n + 1);for i := 0 to n dofor j := 0 to n dolt[i, j] := Ord(i = j);for i := 0 to n do begind[i, i] := 1 / d[i, i];for j := i + 1 to n do begins := 0;for k := 0 to j - 1 dos := s + l[j, k] * lt[k, i]; lt[j, i] := -s;end;end;Transpose(lt, l);Multiply(l, d, temp);Multiply(temp, lt, Inv);end;。
对称矩阵求法
对称矩阵求法什么是对称矩阵？对称矩阵是指满足矩阵转置后仍然等于原矩阵的方阵。
换句话说，如果一个矩阵A的转置矩阵等于它本身，那么这个矩阵就是对称矩阵。
对称矩阵具有一些特殊的性质和应用。
在数学和物理中，对称矩阵广泛应用于线性代数、几何学、力学等领域。
对称矩阵的性质1.对称轴：对称轴是指通过对称中心和两个相同点之间的直线。
在二维平面上，对称轴是一条直线；在三维空间中，对称轴是一个平面。
2.主对角线：主对角线是指从左上角到右下角的这条直线上的元素。
3.元素关系：如果一个元素位于主对角线上，则它与自己关于主对角线的元素相等；如果一个元素位于主对角线之外，那么它与关于主对角线的元素互为相反数。
对称矩阵求法方法一：利用性质判断是否为对称矩阵对称矩阵的定义是转置矩阵等于原矩阵，因此可以通过判断矩阵的转置是否与原矩阵相等来确定是否为对称矩阵。
步骤如下：1.将给定的矩阵A进行转置，得到转置矩阵B。
2.判断A和B是否相等。
3.如果A和B相等，则矩阵A是对称矩阵；如果A和B不相等，则矩阵A不是对称矩阵。
方法二：利用性质判断是否为对称矩阵，并求解对称轴在方法一的基础上，如果判断出给定的矩阵是对称矩阵，可以进一步求解出对称轴。
步骤如下：1.判断给定的矩阵A是否为对称矩阵。
2.如果A是对称矩阵，则计算出主对角线上元素之和的平均值M。
3.遍历主对角线上方（或下方）的元素，找出与M最接近的元素，并记录其位置。
4.以该元素所在行（或列）为中心，即可确定对称轴。
方法三：利用特殊运算求解除了利用性质进行判断外，还可以借助特殊的运算来求解对称矩阵。
1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为对角矩阵和相似变换矩阵的乘积。
对于对称矩阵，可以通过特征值分解来求解。
步骤如下：1.对给定的对称矩阵A进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
2.将得到的特征值按从大到小排列，得到一个对角矩阵D。
3.将得到的特征向量按列排列，组成一个正交矩阵P。
4.则原始的对称矩阵A可以表示为A = P * D * P^T。
对称矩阵求法
对称矩阵求法什么是对称矩阵？在线性代数中，一个n×n矩阵A被称为对称矩阵，如果它满足如下条件：对于任意的i和j，都有A[i][j] = A[j][i]换句话说，对称矩阵关于其主对角线对称。
主对角线是指从左上角到右下角的斜线。
例如，下面是一个3×3的对称矩阵的例子：1 2 32 4 53 5 6这个矩阵关于其主对角线是对称的，因为A[1][2] = A[2][1]、A[1][3] =A[3][1]、A[2][3] = A[3][2]。
对称矩阵的性质对称矩阵具有一些特殊的性质，这些性质使得它们在数学和计算机科学中非常有用。
性质1：主对角线上的元素都相等在一个对称矩阵中，主对角线上的元素都相等。
这是因为根据定义，A[i][j] =A[j][i]。
当i=j时，即在主对角线上时，等式变为A[i][i] = A[i][i]。
性质2：对称矩阵的转置仍然是对称矩阵如果A是一个对称矩阵，那么它的转置A^T也是一个对称矩阵。
这是因为根据定义，A[i][j] = A[j][i]。
当取A的转置时，原来在位置(i,j)上的元素变为了在位置(j,i)上的元素，而(j,i)又满足A[j][i] = A[i][j]。
性质3：对称矩阵可以通过实对称化得到任意一个方阵都可以通过实对称化得到一个对称矩阵。
实对称化是指将方阵A与其转置相加再除以2，得到一个新的对称矩阵。
例如，假设有一个3×3的方阵B：1 2 34 5 67 8 9通过实对称化运算，我们可以得到下面的对称矩阵C：1.0 3.0 5.03.0 5.0 7.05.0 7.0 9.0对称矩阵的求法现在我们来介绍几种常见的方法来求解对称矩阵。
方法1：使用已知对称矩阵的性质由于对称矩阵具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来快速求解对称矩阵。
例如，如果我们已知一个对称矩阵A，并且想求解A的转置A T。
根据性质2，A T也是一个对称矩阵。
因此，我们可以直接使用A的原始数据来构建A^T，而无需进行任何计算。
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吉 仁
随着计 算技 术 日趋完 善 ， 如计 算 器 、 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ （ Ｏ ｃ ｔ ａ ｖ ｅ ） 、 Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ 、 Ｍａ ｐ ｌ ｅ等 ， 这些 工 具 都 可 以做 大部 分 常规 的矩 阵运 算 ， 如矩 阵求 逆 、 转置、 简化行 阶梯形 、 行列 式 、 Ｌ ｕ分 解 、 Ｑ Ｒ 分解 ， 其 中最重 要 的是 通 过行
第１ ５卷 第 ６期
２ ０ １ ４年 １ ２月 Nhomakorabea北华大学学 报（ 自然科学版 ）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ Ｉ ＨＵ Ａ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． １ ５ Ｎｏ ． ６
３ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｆ Ｍａ ｏ ｔ ｅｍ ｈ ａｔ ｃ ｉ ｓ ａ ｄ ｎ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｆ ｕ ｊ ｉ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ３ ５ ０ ０ ０ ７ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ４ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｆ Ｍａ ｏ ｔ ｅｍ ｈ ａｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｄ ｎ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ， ｌ ￣ｎ ａｎ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ 面 ｅ ， Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ３ ６ ３ ０ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ａ） ｎ
行 初 等 变 换 化 矩 阵 为对 称矩 阵及 其算 法
陈学灵 ， 陈梅 香 ， 陈清华 ， 杨 忠鹏 ＇
（ １ ． 福 州大学数学与计算机科学学 院 ， 福建 福州 ３ ． 福建师范大学数学与计算机科学 学院 ， 福建 福州 ３ ５ ０ １ ０ ８ ； ２ ． 莆 田学院数学学院 ， 福建 莆 田 ３ ５ １ １ ０ ０ ； ３ ６ ３ ０ ０ ０ ） ３ ５ ０ ０ ０ ７ ； ４ ． 闽南师范大学数学 与统计 学院 ， 福建 漳州
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｓ ｔ ａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｒ ｏ ｗ ｅ ｑ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｗｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｏ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ａ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｉｃ ｒ ｏ ｎ ｅ ｂ ｙ ｒ ｏ ｗ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｍ ，ａ ｎ ｄ ｇ ｉ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｕ ｔｈｅ ｒ ｍ ｏ ｒ ｒ ｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：ｒ ｏ ｗ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｕ ｎｉ ｔ ｌ ｏ ｗｅ ｒ ｔ ｉａ ｒ ｎ ｇ ｕｌ ａ ｒ ｍａ ｔ ｉｘ； ｒ ｒ ｏ ｗ— ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ｍｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｉｘ； ｒ ｒ ｏ ｗ— ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ
摘要 ： 从行等价 的理论 和方 法出发 ， 以构造形式讨论 了如何通过对矩阵具体 的行初等变换得到对称 矩阵 ， 在此基 础上 给出了算 法程序． 关键 词 ： 行初等变换 ； 单位下三角矩阵 ； 行简化幂等矩阵 ； 行简化对称矩阵 中图分类号 ： ０ １ ５ １ ． ２ １ 文献标志码 ： Ａ
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ４
文章编号 ： １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ － ０ ７ １ ９ — ０ ６
Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ７ １ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ ・ ８２ ４ ２ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ０ ４
初等变换求出最简单形式 引 ． 设Ｐ 为数域 Ｐ上 ｍ × 阶矩阵的集合 ， ｒ （ Ａ） 和Ａ 分别为矩阵 Ａ 的秩
Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｉ ｎ ｔ ｏ Ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｂ ｙ Ｒｏ ｗ
Ｅｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎｄ Ｉ ｔ ｓ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ
Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｘ ｕ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｍｅ ｉ ｘ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｑ ｉ ｎ ｇ ｈ ｕ ａ ， Ｙ ａ ｎ ｇ Ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ ｐ ｅ ｎ ｇ ，
（ Ｊ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆＭａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ￣ ｉ ｔ ｙ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ３ ５ ０ １ ０ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｆ ｏ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｐ ｕ ｔ ｉ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｐ ｔ ｕ ｉ ａ ｎ ３ ５ １ １ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ａ； ｎ