专题讲座.函数
专题讲座六-课件
3 .
栏目 导引
专题策略
(2)由条件可知
g(x)＝sinx－π3 －
3 . 2
当 x∈π2 ，π时，有 x－π3 ∈π6 ，2π 3 ，
从而 y＝sinx－π3 的值域为12，1，
那么 y＝sinx－π3 － 23的值域为1－2
3，2－ 2
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
解：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin
2x＝1＋2cos2x＋π3 ，
所以 f(x)的最小正周期 T＝π，
因为 y＝cos x 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
1.已知函数
f(x)＝
sinω
x＋π 6
＋sinωx－π6
－2cos2ωx，x∈R，ω＞0.
2
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的 π
距离为 ，求函数 y＝f(x)的单调增区间． 2
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
3.已知 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)， b＝(cos x，1)(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A) ＝－1，a＝ 7，A→B·A→C＝3，求边长 b 和 c 的值(b＞c)．
子天 是开
梅放
花；
，有
选的
函数的概念解读课件
02
一次函数与二次函数
一次函数概念及性质
一次函数定义
一次函数是形如 $y = kx + b$ （其中 $k neq 0$）的函数，它 描述了两个变量之间的线性关系
。
斜率 $k$
表示函数的增减性。当 $k > 0$ 时，函数递增；当 $k < 0$ 时，
函数递减。
截距 $b$
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵 坐标。当 $b > 0$ 时，交点在 $y$ 轴正半轴；当 $b < 0$ 时， 交点在 $y$ 轴负半轴；当 $b = 0$ 时，函数图像经过原点。
反函数的性质
反函数的图像关于直线$y=x$对称；原函数与反函数的单调性相反。
复合函数与反函数关系
复合函数与反函数的联系
复合函数与反函数都是基于已知函数构造新函数的方法，它们之间存在一定的联系。例如，一个复合函数的反函 数可以通过逐步求反得到。
复合函数与反函数的区别
复合函数是通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入来构造的，而反函数则是通过交换原函数的输入和输出 来构造的。此外，复合函数的定义域和值域可能发生变化，而反函数的定义域和值域则是原函数的值域和定义域 。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
反函数概念及性质
反函数的定义
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$。如果存在一个函数$x=g(y)$ ，其定义域为$R_f$，值域为$D_f$，且对任意$x in D_f$，都有$g[f(x)]=x$，则 称函数$x=g(y)$为函数$y=f(x)$的反函数。
该点的函数值。
03
极限与连续在解决实际问题中的应用
函数的概念ppt课件
已学函数的定义域和值域
反比例函数 一次函数
y
k x
(k 0)
y ax b (a 0)
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
a> 0
a< 0
图像
y ox
y ox
y ox
y ox
定义域 {x| x 0} R 值域 {y| y 0} R
R
R
{y
|
y
4ac 4a
b2}
{y
|
y
4ac 4a
(2) y (x 1)0 2 x 1
(1)
x 1 4 x
0 ,1
0
x
4,定义域是x
1
x
4
(2)
x
2 1
0
,
解得x
1且x
1, 定义域为
x
x 1且x 1
x 1 0
x2 x 12
解析:由题意得x2-x-12≥0,解得x≤-3或x≥4. 定义域为{x｜x≤-3或x≥4}
2x2 x 3 0, 2x2 x 3 0, (2x 3)(x 1) 0, 1 x 3
2 y 2x2 x 3 2(x 1)2 25 5 2
484
[0, 5 2 ] 4
2
o12 5 x
4.求下列函数的值域 (1).y 2x x 1
设t x 1，则t 0且x t2 1, 所以y 2(t2 1) t 2(t 1)2 15 ,[15 , )
它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作:
a
e
b
f
c
g
…
h …
A
B
f: A→B
y=f(x) , x∈A
高中数学函数的概念课件 课件
高中数学函数的概念课件课件函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
通过本课件的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，能够判断一个映射是否为函数，并能够根据函数的定义和性质解决一些基本问题。
函数的定义：我们将介绍函数的定义，包括自变量、因变量和对应关系。
通过举例和反例，帮助学生理解函数的定义。
函数的性质：我们将详细介绍函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
通过图形和实例，帮助学生理解并掌握这些性质。
函数的表示方法：我们还将介绍几种常见的函数表示方法，包括解析法、表格法和图像法。
通过实例和练习，帮助学生掌握这些表示方法。
函数的实际应用：我们将通过一些实际问题，如路程问题、时间问题等，让学生了解函数在实际生活中的应用，进一步加深对函数的理解。
教学重点：函数的定义和性质是本课件的重点内容。
学生需要深入理解并掌握这些内容，才能更好地解决后续的问题。
教学难点：函数的表示方法中的图像法和表格法可能对一些学生来说比较难以理解。
我们将通过实例和练习来帮助学生克服这些难点。
我们将通过一些练习和测试题来评价学生对本课件内容的掌握情况。
对于掌握不够好的学生，我们将提供及时的反馈和辅导，帮助他们更好地理解和掌握函数的概念和性质。
函数是高中数学的重要内容，也是后续学习的基础。
希望通过本课件的学习，学生能够深入理解函数的概念和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
也希望学生能够积极参与课堂活动，主动思考问题，提高自己的数学素养和能力。
高中数学是高中生学习的一门重要课程，而必修一则是高中数学的基础和关键。
在这一章中，我们将为大家提供高中数学必修一课件全册，帮助大家更好地学习高中数学。
集合是数学中一个基本的概念，它是指具有某种特定性质的数学对象组成的集体。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
九年级数学专题讲座
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式（公式，公式为常数，公式）。
当公式时，函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线，公式决定直线的倾斜程度（公式，直线从左到右上升；公式，直线从左到右下降），公式决定直线与公式轴的交点（公式）。
题目解析例：已知一次函数公式，求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解：当公式时，公式，解得公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时，公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式（公式，公式，公式为常数，公式）。
顶点式为公式（公式为顶点坐标）。
二次函数图象是抛物线，公式决定抛物线的开口方向（公式开口向上；公式开口向下），对称轴为公式（一般式）或公式（顶点式）。
题目解析例：求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解：对于二次函数公式，其中公式，公式，公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式（公式为常数，公式）。
图象是双曲线。
当公式时，双曲线在一、三象限；当公式时，双曲线在二、四象限。
题目解析例：已知反比例函数公式，求当公式时公式的值，以及当公式时公式的值。
解：当公式时，公式。
当公式时，公式，解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例：在公式中，公式，公式，求公式的度数。
解：因为三角形内角和为公式，所以公式。
例：已知公式和公式，公式，公式，判断这两个三角形是否相似。
解：因为在公式和公式中，公式，公式，两角分别相等，所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
初三数学专题讲座-----函数专题
初三数学专题讲座-----函数专题函数是初中数学的重要内容，是研究和解决各种实际问题的有力工具，函数在中学数学中应用广泛，涉及面广，函数与方程，函数与几何，函数应用问题等知识的综合应用是初中数学中常见的重点问题，此外函数思想，方程思想，数形结合思想，分类讨论思想在解题中应用广泛，在解决函数的相关问题时，特别要注意：充分利用图形，使问题形象，直观，便于理解；灵活运用代数计算方法，使问题简单化。
例题剖析【例1】如图，已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，并且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D, OB=10.tan ∠DOB=31. （1）求反比例函数的解析式。
（2）设点A 的横坐标是m ，△ABO 的面积是S 。
求S 与m 的函数解析式，并写出自变量的取值范围。
【例2】已知抛物线点轴交于两点与轴交于与C y B A x x m mx y .4)343(2++-=，如果△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式。
【例3】如图，在直角坐标系中，经过点A （2，6）、B （10，2）的直线与两条坐标轴分别相交于C 、D 两点，点P 是x 轴上一动点，当点P 运动到什么位置时，△ABP 的面积为16。
【例4】如图，抛物线y=21x 2+bx-2与x 轴交于点A(1x ,0)、B(2x ,0),(其中)(21x x 与y 轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x=-23. (1) 求A,B 两点的坐标。
(2) 求证：△ACO ∽△CBO(3) 在抛物线上是否存在一点P(点C 除外)使△APB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
【例5】如图，在等腰直角三角形ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 是射线BC 上的一点，且PB=PD ，过D 点作AC 边上的高DE 。
（1）求证：PE=BO ；（2）设AC=8，AP=x ，y S ABC =∆，①求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；②是否存在这样的P 点，使PBD ∆的面积是ABC ∆面积的83。
2024年函数的概念课件(公开课)
函数的概念课件(公开课)一、引言在数学领域中，函数是一个基本且重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数的概念起源于17世纪，经过几百年的发展，已经成为数学、自然科学和工程技术等领域不可或缺的工具。
本课件旨在阐述函数的基本概念、性质和应用，帮助大家深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。
二、函数的定义与表示1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中唯一的元素。
用数学符号表示为：f:X→Y，其中X表示定义域，Y表示值域。
函数通常用f(x)表示，x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的表示方法（1）解析法：直接给出函数的解析式，如f(x)=x²。
（2）表格法：列出定义域中部分元素的值和对应的函数值，如：x-f(x)-1-12-43-9（3）图象法：绘制函数的图象，展示函数的变化趋势。
三、函数的性质1.基本性质（1）单调性：函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增加（或减少），函数值单调增加（或减少）。
（2）奇偶性：若对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
（3）周期性：若存在非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T为函数的周期。
2.极值与最值（1）极值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得在x₀的某邻域内，f(x₀)为最大值或最小值，则称f(x₀)为函数的极大值或极小值。
（2）最值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得对于任意的x，都有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称f(x₀)为函数的最大值（或最小值）。
四、函数的应用1.数学分析函数是数学分析的基础，微积分中的导数、积分等概念都是建立在函数的基础上。
通过对函数的求导、积分等运算，可以研究函数的性质、解决实际问题。
2.应用数学函数在物理学、生物学、经济学等领域的模型建立中具有重要意义。
函数概念及性质课件
03
函数的运算
函数的四则运算
01
02
03
04
加法运算
函数加法是指将两个函数的值 分别对应相加，得到一个新的
函数。
减法运算
函数减法是指将一个函数的值 对应相减，得到一个新的函数
。
乘法运算
函数乘法是指将两个函数的值 分别对应相乘，得到一个新的
函数。
除法运算
函数除法是指将一个函数的值 对应相除，得到一个新的函数
幂函数的定义
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。
幂函数的性质
幂函数具有指数为实数、幂次为整数、幂次为负数等性质，其性质与 指数和幂次有关。
幂函数的图象
幂函数的图象根据指数的不同而变化，当指数为正整数时，幂函数的 图象为凸函数；当指数为负整数时，幂函数的图象为凹函数。
对数函数
对数函数
利用函数的单调性
通过函数的单调性判断函 数的增减性，进而解决不 等式问题。
利用函数的奇偶性
利用函数的奇偶性判断函 数的对称性，简化函数图 像的绘制。
利用函数的周期性
利用函数的周期性，可以 快速求解一些周期性问题 。
利用函数解决物理问题
描述运动规律
利用函数描述物体的运动规律， 如匀速运动、匀加速运动等。
分析电路特性
利用函数分析电路的电压、电流 等特性，理解电路的工作原理。
解决波动问题
利用函数描述波动现象，如声波 、光波等，分析波的传播规律。
05
函数的扩展Байду номын сангаас识
分段函数
分段函数
分段函数是指函数在其定义域的不同 区间上由不同的表达式所表示的函数 。分段函数广泛应用于实际生活中， 如气温变化、人口增长等。
函数专题讲座
结束语
• 祝同学们取得好成绩
选择题
1
• 谢谢大家
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.常见的考题类型。
• (1)高考对函数概念的考查主要有：求函数 的定义域、值域及反函数，这类题多以选 择题出现。
1.常见的考题类型
• 2)考查函数的性质———函数的单调性、奇 偶性、周期性和函数图像的对称性等。这 类题一般含有参数，因此，分类讨论是不 可缺少的，导数工具的应用对函数单调性 问题的研究注入了新的活力。近两年，以 组合形式一题多角度考查函数性质的高考 题正成为新的热点。
函数专题讲座
仝昌奇
总述
• 函数是高中数学最主要的概念之一，它反 映了现实世界中变量间的相互依存，相互 制约的变化规律，是高中数学研究的对象 ，同时本身就是数学中常用的一种思想方 法、广泛地渗透到高中数学学习的全过程 及其他各学科中，内容极为丰富，在每年 的高考中都占有较大的比重，既有容易题 ，又有中档题与难题。
3.复习备考方略
• (2)应充分注意函数图像题型，这类考题往 往在选择题中出现，会处理“读图题型” 和函数图像的平移变换、伸缩变换、对称 变换等问题，灵活运用函数的图像与对称 性解题。
3.复习备考方略
• (3)重视二次函数的复习。二次函数是初等函数之一，它 既简单又具有丰富的内涵和外延，以它为素材可以研究函 数的单调性、奇偶性、最值等性质，也可以建立起函数、 方程、不等式之间的有机联系；二次函数的图像是抛物线 ，通过它还可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。 从函数的形式来讲，随着区间的确定变化，以及在系数中 增添参变量，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵 活多变的数学问题。在历年数学高考中，二次函数在小题 、大题中均有出现，还常常以代数证明题的形式出现在压 轴题的位置上。对二次函数的复习，除了熟练掌握二次函 数的各种形式、图像及性质外，还要掌握闭区间上二次函 数的最值求法。
函数教学 ppt课件ppt课件
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
详细描述
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
详细描述
在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
函数的概念与性质课件
函数的概念与性质课件一、函数的基本概念函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
简而言之，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
换句话说，函数可以看作是一种规则，它将输入映射为输出。
二、函数的表示方法1. 函数的符号表示：一般使用小写字母来表示函数，如f(x)，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 函数的图像表示：我们可以通过绘制函数的图像来表示函数。
横轴代表自变量，纵轴代表函数值。
函数图像可以直观地展示函数的性质和特点。
三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能输出值的集合。
在函数的定义中，要确保对于定义域中的每个自变量值，都能得到一个唯一的函数值。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的变化趋势。
若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。
3. 奇偶性：若对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。
4. 周期性：若存在常数T>0，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。
5. 极值点：函数在定义域内某一点上的函数值是最大值或最小值，称为该点上的极值点。
极值点分为最大值点和最小值点，也可以分别称为极大值点和极小值点。
6. 零点：函数在定义域内满足f(x) = 0的点，称为函数的零点或根。
四、函数的应用函数作为数学的基础概念，在各个领域都有着广泛的应用。
1. 自然科学中，函数用于描述物理量之间的关系，如速度和时间的关系、温度和时间的关系等。
2. 经济学中，函数用于描述供需关系、价格变化等经济现象。
3. 金融学中，函数用于描述收益与风险之间的关系，如投资组合的效用函数。
函数的概念ppt课件
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THANKS
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插值法
利用已知的离散数据点，通过数学计算得到更多的数据点，从而绘制出 更精确的函数图像。
03
பைடு நூலகம்计算几何法
利用几何知识，将函数表达式转换为几何图形，从而得到函数的图像。
函数图像的性质
01
02
03
04
连续性
函数图像在定义域内连续不断 ，没有间断点。
单调性
函数在某个区间内单调增加或 单调减少。
奇偶性
函数图像关于原点对称或关于 y轴对称。
周期性
函数图像呈现周期性变化。
函数图像的应用
数学分析
通过函数图像分析函数的性质 和变化规律，解决数学问题。
自然科学
在物理学、化学、生物学等自 然科学领域中，函数图像被广 泛应用于实验数据的分析和解 释。
工程学
在工程学中，函数图像可以用 来描述各种实际问题的变化规 律，如机械运动、电路电流等 。
经济和社会科学
函数的乘法
总结词
函数乘法是指将两个函数的输出值相乘，得到一个新的函数。
详细描述
函数乘法是一种数学运算，其操作是将两个函数的输出值逐一对应相乘。假设有 两个函数f(x)和g(x)，函数乘法就是将f(x)和g(x)的输出值相乘，得到一个新的函 数h(x)=f(x)*g(x)。
函数的除法
总结词
函数除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输出值，得到一个新的函数。
函数的实际应用
生活中的函数
总结词：无处不在
详细描述：函数的概念在日常生活中随处可见，如物品价格与数量的关系、时间 与路程的关系等。这些关系都可以通过函数来描述和预测。
高中数学专题复习讲座之一——函数
专题讲座之一-----函数、方程与不等式山西省平遥中学 常毓喜函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的．函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分．一、深化对函数概念的认识集合、映射是函数的基础，定义域、值域、对应法则是函数的组成部分，而反函数是函数概念的延伸．1．集合与映射集合的重点是集合的表示、集合的运算及集合之间的关系等．【例1】设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π==Z k ,24k x x N ,Z k ,42k x x M 则 A ．N M = B ． N M C ．M N D ．φ=⋂N M【分析】思路一是对k 分奇、偶数进行讨论；思路二是利用数形结合的思想解决；三思路是把集合表示为列举法．C【例2】已知集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f ：M →N ，使对任意x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)为奇数，这样的映射f 个数是多少？【分析】根据映射的定义，集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一是元素和它对应，所以分三步考虑：先考虑M 中的元素1，它在集合N 中的象可以是任意一个元素，有5种情况；其次考虑0，它的象只能是奇数，所以有2种情况；对于元素-1，同样有5种情况．故共有2⨯5⨯5=50个．【例3】集合A ={1,2,3}，集合B={a,b}，映射f:A →B 满足:B={f(m)|m ∈A}，这样的映射f 的个数为A ．3B ．5C ．6D ．8【分析】根据题意，集合B 中的每一个元素在集合A 中均有原象．所以这样的映射共有1223C C =6．2．函数概念≠ ⊂ ≠ ⊂【例4】已知函数f(x),其定义域为D ，集合A={(x,y)|y=f(x), x ∈D},B={(x,y)|x=1}，则A ∩B 中所含元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．0或1【分析】首先要识别集合语言，其次要认识问题的本质．从函数的观点看，就是求函数的图象与直线的交点个数．考虑到1是否属于集合D 是不确定的，所以当1∈D 时有1个交点，当1∉D 时有0个交点．故选D ．注意：在求函数的值域时，有两种方法值得注意，一是反函数法．这种方法从理论上讲是不成立的；另一种是判别式法，它使用的前提是函数的定义域为R ，或R 中除去有限个数．3．反函数【例5】期为T ，若函数y=f(x),x ∈(0,T)有反函数y=f -1(x), x ∈D ，则函数y=f(x), x ∈(T,2T)的反函数是A ．y=f -1(x), x ∈DB ． y=f -1(x-T), x ∈DC ． y=f -1(x+T), x ∈D D ． y=f -1(x)+T, x ∈D【分析】本题主要考查反函数的概念以及它的本质．首先由y=f(x),x ∈(0,T)有反函数y=f -1(x), x ∈D 得函数y=f(x), x ∈(T,2T)即y=f(x-T), x ∈(T,2T)有反函数y=f -1(x)+T, x ∈D ，故选D ．【例6】函数2e e y xx --=的反函数 A ．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B ．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数C ．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数D ．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数【分析】函数与它的反函数在对称的区间上具有相同的增减性；一般的偶函数没有反函数．所以马上可以排除B 、D ，又原函数是增函数，故应选A ．二、强化对函数性质的研究函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性及最值等．1．函数的单调性求单调区间的方法：（1）定义法；（2）导数法；注意：区域函数的单调区间时，不管用什么方法，一定要注意函数的定义域，因为函数的单调区间是其定义域的子集．2．函数的奇偶性互为反函数 y=f(x) y=f -1(x)判断函数奇偶性的方法：先判断函数的定义域是否关于原点对称；再判断f(x)与f(-x)的关系．3．函数的最值求函数最值的方法有：定义法、不等式性质法、函数单调性法、数形结合法、还元法、导数法等．注意：①求函数的最值时一定要考虑定义域对其的影响．②函数的周期性要求不高，只要知道其定义，知道三角函数的周期计算公式，会求一些简单的三角函数（即经过简单的三角变换后可以利用公式）的周期即可．【例7】已知函数f(x)=)Z c ,b ,a (cbx 1ax 2∈++是奇函数，又f(2)<3,f(1)=2． （1） 求a,b,c 的值；（2） 判断函数f(x)在(-∞,-1)上的单调性．【分析】从方程观点看，有3个未知数，2个方程1个不等式，注意a,b,c均为整数，所以这个问题可以解决．【解】（1）由已知f(x) 是奇函数，所以f(-x)=-f(x),得 cbx 1ax c bx 1ax 22++-=+-+解得c=0． 又f(1)=2,即2b=a+1． f(2)<3, 即3b21a 4<+． 把2b=a+1代入得：31a 1a 4<++，解得：-1<a<2, 所以a=0或a=1． 若a=0，则b=0．5与b ∈Z 矛盾；若a=1，则b=1．故a=1，b=1，C=0．（2）f(x)=x 1x +=x+x 1,当x ∈ (-∞,-1)时，f /(x)=1-21x>0．所以函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数．【说明】对于（1）还可以利用f(-1)= -f(1)求c ；对于（2）也可以用单调性的定义判断．我们应重视对函数f(x)= ax+xb 有关性质的掌握． 【例8】设函数f(x)对任意的x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)<0,f(1)=-2．（1）求f(x)在 [-3,3] 上的最值；（2）解关于x 的不等式：21f(bx 2)-f(x)>21f(b 2x)-f(b)（b 2≠2）． 【解】（1）令x=- y ，则f(0)=f(x)+f(-x)．令x=y=0，则f(0)= f(0)+f(0),所以f(0)=0,故f(-x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数．设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 1-x 2<0, x 2-x 1>0．因为f(x 2)-f(x 1)= f(x 2)+ f(-x 1)=f(x 2-x 1)<0,故f(x 2)<f(x 1)．所以f(x)是减函数．当x=3时，f(x)min =f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)= -6;当x=-3时，f(x)max =f(-3)=-f(3)= 6(2) 由21f(bx 2)-f(x)>21f(b 2x)-f(b)得：21f(bx 2) -21f(b 2x)> f(x)-f(b)， 21f(bx 2-b 2x)> f(x-b),即f(bx 2-b 2x)>2 f(x-b)，而2 f(x-b)= f(2x-2b)， 所以f(bx 2-b 2x)> f(2x-2b)，f(x)是减函数，故bx 2-b 2x <2x-2b ，即bx 2- (b 2+2) x +2b<0,(x-b)(bx-2)<0．当b=0时，解得：x>0；当b>2时，解得：b2<x<b ； 当-2<b<0时，解得：x<b 2或x>b ；当b<-2时，解得：x>b2或x<b ； 当0<b<2时，解得：b<x<b2； 所以，当b=0时，不等式的解集为：{x|x>0}；当b>2时，不等式的解集为：{x|b 2<x<b}；当-2<b<0时，不等式的解集为：{x|x<b2或x>b}；当b<-2时，不等式的解集为：{x|x>b2或x<b}； 当0<b<2时，不等式的解集为：{x|b<x<b2}； 注意:一般地,有以下结论．【结论1】给出三个条件:①函数f(x)是定义在R 上的偶函数(或函数f(x)的图象关于x=0对称)；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；(或对任意实数x ，都有f(a+x)=f(x-a))③f(x)是一个以2a 为周期的周期函数．则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论:给出三个条件: ①函数f(x)的图象关于直线x=a 对称；②函数f(x)的图象关于直线x=b 对称；③f(x)是一个以2(b-a)为周期的周期函数．(b ≠a)则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．【结论2】给出三个条件:①函数f(x)是定义在R 上的奇函数；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；③f(x)是一个以4a 为周期的周期函数． 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论1: 给出三个条件:①函数f(x) 的图象关于点(b, c )对称；②f(x)的图象关于直线x=a 对称；③f(x)是一个以4(b-a)为周期的周期函数．(b ≠a) 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．推论2: 给出三个条件:①函数f(x)的图象关于点(a, c )对称；②f(x)的图象关于点(b, c )对称；③f(x)是一个以2(b-a)为周期的周期函数． (b ≠a) 则由上述三个条件中的任意两个可推出第三个．三、重视对二次函数的再认识二次函数是高考的热点之一，它的应用也比较广泛．二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系． 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础． 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式:①一般式c bx ax y 2++=)0(≠c 中有三个参数c b a ,,． 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数． ②两根式()().21x x x x a y --=③顶点式a 4b ac 4a 2b x a y 22-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；二是图像特征,从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法． ①二次函数的图像关于直线a b x 2-=对称，关系ab x x -=+21也反映了二次函数的一种对称性．②二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根． 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(<n f m f ⇔在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根．③因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab 上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得．【例9】已知二次函数的图象经过A （-1，2）、B （3，2）、C （-2，7）三点，求二次函数的解析式．【解法一】设二次函数的解析式为f(x)=ax 2+bx+c ，则由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+-7242392c b a c b a c b a ，解得：a=1,b=-2,c=-2．所以二次函数的解析式为f(x)=x 2-2x-1．【解法二】因为二次函数的图象经过A （-1，2）、B （3，2），所以抛物线的对称轴方程为x=1,故设二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)2+n,把A （-1，2）、C （-2，7）代入得：⎩⎨⎧=+=+7924n a n a ，解得a=1, n=-2，所以f(x)=x 2-2x-1． 【解法三】方程f(x)-2=0的两根为-1,3,所以可设f(x)-2=a(x+1)(x-3)． 把点C （-2，7）代入,得: a=1,故f(x)-2=(x+1)(x-3)= x 2-2 x-3,即f(x)= x 2-2x-1．【思考】已知二次函数f(x)对任意实数x 都有f(x -2)= f(-x -2),它在y 轴上的截距为1,且被x 轴截得的线段长为22,求函数f(x)的解析式．【例10】设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x 1,x 2满足0< x 1< x 2<a1． （1）当x ∈(0, x 1)时，证明x<f(x)< x 1； （2）设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，证明：x 0<21x ． 【分析】（1）设F(x)= f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2),则当x ∈(0, x 1)时， x<f(x)< x 1⇐0<f(x)-x<x 1-x ⇐ 0<a(x-x 1)(x-x 2) <x 1-x ⇐0< a (x 2-x)<1⇐ 0< x 2-x<a1,易证． （2）由已知x 1+x 2=ab 1--，所以： x 0=a b 2-=a ax ax a x x a 2121)(2121-+=-+〈2211x a ax =． 【例11】已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x ．（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：2x 110->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围．【分析】条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化．【解】设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x ．（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b ，两式相加得12<a b ，所以，10->x ; （2）由a a b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a ． 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号． ∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b ． 【例12】已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>b>c)满足f(1)=0,在其图象上有两个点A(m 1,f(m 1)),B(m 2,f(m 2)),且a 2+(f(m 1)+f(m 2))a+ f(m 1)f(m 2)=0．（1）求证：b ≥0；（2）问能否证明f(m i +3)(i=1,2)中至少有一个正数，并证明你的结论．【分析】（1）由f(1)=0，得a+b+c=0．又a>b>c ，得a>0,c<0．又a 2+(f(m 1)+f(m 2))a+ f(m 1)f(m 2)=0, 得f(m 1)=-a, f(m 2)= -a ．即at 2+bt+c+a=0有两个根是m 1,m 2，所以△=b 2-4a(c+a)≥0．将b=- (a+c)代入上式得：(a+c)(c-3a)≥0．由已知c-3a ≤0，所以a+c ≤0，故b=- (a+c)≥0．（2）因为f(m 1+3)+ f(m 2+3)=6a(m 1+m 2)+6b+16a=6a(ab -)+6b+16a =16a>0．从而可得，f(m 1+3)与f(m 2+3)之间至少有一个正数．【思考】注意f(m 1)=f(m 2)= -a ．所以m 1与m 2关于x=a2b -对称．不妨设m 1≤m 2，故只要证明f(m 2+3) >0即可，而f(m 2+3) >0⇔ m 2+3 >1，这可以利用m 2 >a2b -加以证明． 实际上，原题的结论可以改为f(m i +k)(i=1,2,k>1．5)中至少有一个正数．【例13】已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()．【分析】研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,． 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的．要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值．【解】由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(，∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=， ∴ f x ax bx c ()=++2()2221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得,1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f ．∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f ．（1）若[]2,22-∉-ab ，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=∴ 此时问题获证．（2）若[]2,22-∈-a b ，则当[]2,2-∈x 时，)2,)2(,)2(max()(max ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+⋅+≤--⋅+=⋅+≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f a b f b a b c a b c a b f ，∴ 此时问题获证．综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ()．【思考】设()()f x ax bx c a =++≠20，若()10f ≤，()f 11≤，()11f ≤－,试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54． 四、突出函数、方程与不等式之间的联系 【例14】不等式组.2233,0⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 的解集是 A ．}20|{<<x x B ．}5.20|{<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 【分析】不等式解集的端点是它所对应的方程的根，或者是它所对应的函数的定义域的端点．根据这个特点，我们可以把上述选项中的右端的值代入，检验是否为不等式所对应的方程的根即可．容易得到2、2.5、3均不是方程的根， 所以选C.【例15】已知i,m,n 是正整数，且1<i ≤m <n ． (Ⅰ)证明:n i P m i <m i P n i ．(Ⅱ)证明: (1+m)n >(1+n)m ．【证明】（Ⅰ）从不等式角度考虑：①n i P m i <m i P n i ⇐ i i n i i m n P m P <⇐个个i i n 1i n n 2n n 1n n n m 1i m m 2m m 1m m m +--⋅-⋅<+--⋅-⋅ ⇐n k n m k m -<- ⇐ nk m k > ⇐ m <n ． ②因为1<i ≤m <n ，所以0<nm <1，则由真分数的性质得： 1i n 1i m 2n 2m 1n 1m n m +-+->>-->--> ，于是由不等式的性质得：1i n 1i m 2n 2m 1n 1m n m n m i+-+---⋅--⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛ =i n i m P P ，所以n i P m i <m i P n i （Ⅱ）①从不等式角度考虑：由二项式定理有(1+m)n =∑=n 0i in i C m ，(1+ n) m =∑=mi i m i C n ， 又!i P C ,!i P C i n i n i m im==，而n i P m i <m i P n i ，所以i m i i n i C n C m >， 从而∑=n 2i i n i C m >∑=m 2i i m i C n ,又1m 11n 10m 00n 0C n C m ,C n C m ==，所以∑=n 0i in i C m >∑=m 0i i m iC n即(1+m)n >(1+n)m ．②(1+n)m = 个m )n 1()n 1)(n 1(+⋅⋅++个)m n (111-⋅⋅<n )n)m n ()n 1(m (-++=(1+m)n ．③从函数的角度考虑：(1+m)n >(1+n)m ⇔ nln(1+m)>mln(1+n) ⇔ n)n 1ln(m )m 1ln(+>+ 构造函数f(x)=x)x 1ln(+, 当x>2时，ln(1+x)>1,因为f /(x)=2x)x 1ln(x 1x +-+=)x 1(x )x 1ln()x 1(x 2+++-=)x 1(x )x 1ln()]x 1ln(1[x 2++-+-<0,所以函数f(x)=x x )1ln(+在（2，+∞）上是减函数，而m <n ，所以nn m m )1ln()1ln(+>+． 【注意】若从函数图象的角度看：作函数y=ln(1+x)的图象（如图），设A(m,ln(1+m)),B(n,ln(1+n))是函数图象的两点,显然k OA >k OB ,即nn m m )1ln()1ln(+>+． 导数既是一个重要的概念，也是解决函数有关问题的一个有力的工具．利用它可以解决函数中有关单调性极值和最值等有关问题，还可以用来证明一些不等式．【例16】证明:当x>0时,ln(x+1)>x -21x 2． 【分析】这个不等式的左边是对数式,右边是多项式，用常规的方法不易证明．所以可以从函数的角度考虑． 【解】设f(x)= ln(x+1)- x +21x 2,则f /(x)=1x x x 11x 12+=--+)(．显然当x>0时, f /(x)>0．这就是说，函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,而f(0)=0,所以当x>0时f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)>x -21x 2． 【例17】 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如右图，则A ．b ∈(-∞,0)B ． b ∈(0,1)C ． b ∈(1,2)D ． b ∈(2,+∞)【分析一】从函数的角度考虑：f /(x)=0即3ax 2+2bx+c=0有两个正根x 1,x 2，所以a ，b 异号，且当x<x 1时f(x)为增函数，所以f /(x) >0,从而a>0,b<0．故选A ．【分析二】从方程的角度考虑：f(x)=0有三个根0、1、2，即f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=024800d c b a d c b a d ⇒3a+b=0,b=-3a,c=2a ． 又f(3)>0,即27a+9b+c>0,所以a>0,b<0．故选A ．【分析三】从不等式角度考虑：设f(x)=ax(x-1)(x-2)，则图象可以看成是用数轴标根法解不等式f(x)>0的图（去掉y 轴）．容易判断a>0,展开后可得：b=-3a ．所以b<0,故应选A ． 【变式】已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如右图，问在a,b,c,d 中有零吗？对于非零数是正还是负？ 【探究】显然f(0)=d<0，而 f(x)=a(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3)．所以a>0．又x 1,x 2,x 3是f(x)=0的三个根，所以ax 13+bx 12+cx 1+d=0①, ax 23+bx 22+cx 2+d=0,② ax 33+bx 32+cx 3+d=0③,两式相减，得a(x 12+x 1x 2+x 22)+b(x 1+x 2)+c=0, ④a(x 22+x 3x 2+x 32)+b(x 3+x 2)+c=0, ⑤再相减，得a(x 1+x 2+x 3)+b=0⑥, 所以b>0．又由④，得c<0．故a>0，b>0，c<0，d<0．【再探究】由f(x)=a(x -x 1)(x -x 2)(x -x 3)=ax 3-a (x 1+x 2+x 3) x 2+a(x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1)x+ax 1x 2x 3所以，-a(x 1+x 2+x 3)=b, a(x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1)=c, ax 1x 2x 3=d ．同样可以得出结论．*【例18】已知a>0，函数f(x)=ax -bx 2．（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a≤2b ；（2）当b>1时，对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b -1≤a ≤2b ;（3）当0<b ≤1时，讨论对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件.【分析】①考查对二次函数的性质合配方法的理解、掌握合应用．本题的二次函数开口向下,所以该函数在定义域上有最大值，没有最小值.因而第一小题的本质就是求该函数的取得最大值时的条件.二(2)(3)小题的本质是二次函数在某闭区间上的最值问题.【解法一】(1) f(x)=ax -bx 2≤f(b 2a )=222b 4b a b 2a -=b 4a 2≤1.所以a 2≤4b,a ≤2b . (2) 显然，二次函数f(x)=ax -bx 2在[0, b 2a ]上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,b 2a 上是减函数.所以|f(x)|≤1(x ∈[0,1])的充要条件是:当b 2a ≥1时, f(1)≤1; 当b 2a <1时,-1 ≤f(1)<f(b2a )≤1.即当a ≥2b 时,a ≤1+b; 当a<2b 时,b -1≤a ≤2b . 又b>1,所以当a ≥2b 时,a ≤1+b 不成立,故b -1≤a ≤2b .(3)若0<b ≤1,则.b 1a b 2b 1a b 2a +≤≤⇔⎩⎨⎧+≥≥.b 2a 0b2a 1b b 2a 0<<⇔⎩⎨⎧≤≤-<< 所以当0<b ≤1时，对任意x ∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是: a ≤1+b.【分析】②考查对不等式知识的掌握以及代数变换能力．若着眼于代数变换,也可从不等式的变换入手.【解法二】(1)原问题等价于bx 2-ax +1≥0恒成立,所以△=a 2-4b ≤0. |f(x)|≤1⇔|x|·|a-bx|≤1⇔|a-bx|≤|x |1(x ≠0)⇔bx -|x |1≤a ≤bx+|x |1(x ≠0). (2)若b>1，则对任意x ∈[0,1], bx -|x |1≤b -1（x=1时取等号）； bx+|x |1≥2b （x=b 1时取等号）。
函数的表示方法发言稿
函数的表示方法发言稿各位听众、尊敬的评委老师：大家好！今天我很荣幸能够在这里向大家分享一些关于函数的表示方法的内容。
函数是数学中非常重要的概念，它在我们日常生活以及各个领域都有着重要的应用。
通过这次演讲，我希望能够向大家介绍一些函数的表示方法，并且希望能够引起大家对数学的兴趣。
首先，让我们来看一下函数的定义。
函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则，这个规则可以是一个公式、一个图像、一个表格或者一个描述。
函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是函数的值。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
函数的表示方法有很多种，首先我们来看一下函数的图像表示方法。
可以通过绘制函数的图像来表示函数。
函数的图像是在平面直角坐标系中的一个曲线，曲线上每个点的横坐标对应函数的自变量x，纵坐标对应函数的值f(x)。
通过观察函数的图像，我们可以看到函数的增减性、极值、拐点等特性。
另外，我们还可以通过函数的表格表示方法来表示函数。
表格中的第一行是输入值x，第二行是函数的值f(x)。
通过表格可以清晰地看到函数在不同输入值下的输出值，可以用来进行数值计算和观察函数的变化趋势。
除此之外，函数还可以通过公式来表示。
函数的公式通常是一种简洁的数学描述，可以用来进行精确的计算和推导。
例如，常见的函数公式有线性函数的f(x) = ax + b、二次函数的f(x) = ax^2 + bx + c等。
另外，我们还可以通过文字描述来表示函数。
通过文字可以对函数的定义、特性等进行详细的描述，可以让人们更好地理解函数的含义和用法。
除了以上提到的表示方法，函数还可以通过函数的图形表示、级数表示、微分方程表示等多种方法进行表示。
通过以上的介绍，相信大家对函数的表示方法有了一定的了解。
函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
希望通过这次演讲，能够引起大家对数学的兴趣，更加深入地了解函数的相关知识。
函数专题讲座 PPT课件 通用
A m ＞
B m ＜4
C
D
m ＞ 4
5、（05河南）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影 区域内，则目标的坐标可能是（ ） A（-3，300） B（7，-500） C（6，600） D（-2，800）
6、（05甘肃）若在象棋的棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，-2）， “象” 位于点（3，-2），则“炮”位于点（ ） A（1，-1） B（-1，1） C（-1，2） D（1，-2）
6、抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系；
7、（新增内容）用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
二次函数在中考试卷中所占的比例为8% ～9%左右。
二、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
1、（ 2005浙江省实验区）根据下列表格的对应值：
x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09
路程（千米） 路程（千 米） 路程（千米）
1200
1200
1200
24
26 O A 20
时间（分 ）
O
12 B
时间（分 ）
O
6 C
时间（分 ）
图9
（1）三个图象中哪个对应小明、爸爸、爷爷？
（2）小明家距离目的地多远？
（3）小明与爷爷骑自行车的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？ （较难题）
近几年中考多以设计新颖、贴近生活、反映时代特 点的函数应用题及图表信息题等题形出现。
三、一次函数实际应用题组
1、(03年黑龙江省)某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输 飞机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨， 加油飞机的加油油箱余油量为 Q2吨，加油时间为 t分钟， Q1 、 Q2与t之 间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题： （1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需 多少分钟？ （2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1 （吨）与时间t （分钟）的函数关 系式； （3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否 Q（ 吨 ） 够用？说明理由。
高中数学专题讲座教案
高中数学专题讲座教案
主题：三角函数的应用
教学目标：
1. 理解三角函数的定义和性质。
2. 掌握三角函数在实际问题中的应用。
3. 提高解决实际问题的能力。
教学内容：
1. 三角函数的基本概念和性质。
2. 三角函数的图像和性质。
3. 三角函数在实际问题中的应用。
教学步骤：
一、引入
1. 通过实际例子引入三角函数的概念，如利用三角函数求解直角三角形的边长、角度等问题。
2. 引导学生思考三角函数在实际问题中的应用价值。
二、讲解
1. 讲解三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切等函数。
2. 分析三角函数的图像和对应的性质。
3. 介绍三角函数在解决实际问题中的应用方法和技巧。
三、实例演练
1. 给学生提供一些实际问题，并引导他们运用三角函数知识进行求解。
2. 在学生完成实例演练后，讲解解题思路和方法，帮助他们理解应用过程。
四、小结
1. 总结三角函数的基本概念和性质。
2. 强调三角函数在实际问题中的应用重要性及解题技巧。
3. 鼓励学生多加练习，提高解决实际问题的能力。
五、作业
1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 鼓励学生自主探索三角函数的应用，提高解题能力。
教学反思：
通过这节讲座，学生能够深入理解三角函数的应用，提高解决实际问题的能力。
教师在教学中要注重引导学生思考，鼓励他们探索解题方法，培养学生的数学思维和分析能力。
同时，要注意调动学生的学习积极性，激发他们对数学的兴趣和热情。
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让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课 的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化 时函数值的变化规律。这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。
（四）环节四：概念的归纳
将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。
（五） 环节五： 概念的应用
这个环节主要加深学生对知识点的理解，突出待定系数法的解题方法。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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专题讲座初中数学中函数课堂教学设计王玉起北京市朝阳区教育研究中心函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。
在教学中，学生常常觉得函数抽象深奥，高不可攀，老师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。
事实果真如此难教又难学吗？本文就初中函数教学中三个常见问题，谈谈在教学设计方面一些方法和实践。
一、函数教学中基于数学思想的教学方式的研究数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。
单独教授知识无益于课本的复读，利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。
数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。
日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中曾写道：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。
然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。
因此，在函数教学中，我们不仅要在教会函数知识上下功夫，而且还应该追求解决问题的“常规方法”——基本函数知识中所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行函数教学。
在函数的教学中，应突出“类比”的思想和“数形结合”的思想。
1 ．注重“类比教学”不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法，利用类比的思想进行教学设计实施教学 , 可称为“类比教学” .在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由“学会”到“会学”，真正实现“教是为了不教”的目的．有经验的老师都会发现，初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。
因此采用类比的教学方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。
是一种既经济又实效的教学方法。
下面我就举例说明如何采用类比的方法实现函数的教学。
首先是正比例函数，它是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数。
但是，我们有些教师却因为正比例函数过于简单，而轻视。
匆匆给出概念，然后应用。
等到讲到一次函数、反比例函数、二次函数又感到力不从心，学生接受起来概念模糊，性质混乱，解题方法不明确。
造成这种困扰的原因是因为忽视正比例函数的基础作用，我们应该借助正比例函数这个最简单的函数载体，把函数研究经典流程完整呈现，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”。
再学习其他函数时，在此基础上类比学习，循序渐进，螺旋上升。
《正比例函数》教学流程（一）环节一：概念的建立通过对问题的处理用函数 y=200x 来反映燕鸥的行程与时间的对应规律引入新课。
学生自觉思考教师提问，共同得出每个问题的函数关系式。
引导学生观察以上函数关系式的特点得出正比例函数的描述定义及解析式特点。
（二）环节二：函数图象这个环节是教学的重点，由学生先动手按“列表——描点——连线”的过程画函数 y=2x 和 y= － 2x 的图象，相互交流比较然后教师利用多媒体展示画函数图象的过程并通过比较使学生正确掌握画函数图象的方法。
（三）环节三：探究函数性质让学生观察函数图象并引导学生通过比较来归纳正比例函数的性质，这个环节是本课的难点，教师要引导学生从图象的形状，从左往右的升降情况，经过的象限及自变量变化时函数值的变化规律。
这几个方面来归纳，最终得出正比例函数的性质。
（四）环节四：概念的归纳将观察、探究出的函数图象的特征、函数的性质等做出系统的归纳。
（五）环节五：概念的应用这个环节主要加深学生对知识点的理解，突出待定系数法的解题方法。
从这五个环节的设定上，大家不难看出，我们在研究一次函数、反比例函数、二次函数的过程也是经历这样的六个环节，所以用类比的教学方式是在降低学生的学习难度，却能提高学习质量，而且程度比较好的学生可以尝试自主学习一次函数、反比例函数、二次函数。
归纳：函数探究的内容与方法研究的对象 ------ 函数的图象与性质研究的方法 ------- 画图象、分析图象、探究坐标变化规律、归纳函数性质关注的问题 ------- 图象的位置、发展趋势、与坐标轴的交点、函数的增减性……类比进行反比例函数的教学例如 17.1.2 反比例函数的图象和性质教学具体教学过程如下：T ：正比例函数 y=6x 的图象是什么形状？S1 ：通过原点的直线（为将要学习的反比例函数图象作铺垫）T ：那么反比例函数的图象会是什么形状呢？我们采用什么办法画呢S2 ：描点法。
（问题一） T ：我们学习过的一次函数用几点法描画？S3 ：两点法。
（追问） T ：为什么呢？S4 ：根据两点确定一条直线。
（追问） T ：你确定反比例函数的图象是直线吗？S5 ：不能确定。
（追问） T ：因此我们需要描多少点？S6 ：尽量多些。
正负对称 10 — 12 个点比较合适（问题二） T ：描点法画函数图象的基本步骤？S7 ：……T ：对于我们如何列表取点？S8 ：……再次突出描点左右对称取点的思维过程。
教师示范了的图象画法，再让同学们尝试画出的图象（问题三） T ：你能比较出和的图象有什么共同特征？S9 ：两只曲线，关于原点对称（双曲线）（追问） T 结合你的图象和列表和之间的不同点？S10 ：在一、三象限，在二、四象限。
（追问） T ：你能猜想的图象规律吗，注意类比正比例函数的图象规律？S11 ：当 k>0, 图象过一三象限，当 K<0 ，图象过二、四象限。
（追问） T 请再画一组的图象，验证你的猜想（问题四） T ：通过以上的猜想和验证，你能总结出反比例函数图象的位置规律吗？S12 ：归纳 S13 ：纠错 S14 ：改正这是本课时的引入部分，教师通过问题串，把反比例函数图象的定义、图象规律与正比例函数图象联系在一起，教师的设计思路就是采用类比的数学思想，让学生通过类比的数学思想，自主的学习反比例函数图象的定义与性质，学得自然，轻松。
T ：能否把反比例函数图象特征总结一下？类比正比例函数图象的特征：反比例函数正比例函数图象位置增减性T ：你有什么启发？你发现了什么？……显然是教师采用了类比教学思路的结果，开启了学生思维的大门，找到了学习新知的有效方法与途径。
对于类比推理的研究最具影响的是波利亚．波利亚在他的著作《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合情推理的一般模式．认为类比就是某种类型的相似性．通过具体的例子论述了合情推理 ( 归纳、类比 ) 在数学发现和解题方面的作用．他还结合中学数学教学实际呼吁：“要教学生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函数要有整体设计的意识，就是上好《正比例函数》，类比学习《一次函数》、《反比例函数》、《一次函数》。
2. 注重“数学结合”的教学数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。
而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。
它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。
函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。
在借助图象研究函数的过程中，我们需要注意以下几点原则：（ 1 ）让学生经历绘制函数图象的具体过程。
首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。
其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
（ 2 ）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。
首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。
所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（ 3 ）注意让学生体会研究具体函数图象规律的方法。
初中阶段一般采用两种方法研究函数图象：一是有特殊到一般的归纳法，二是控制参数法。
下面我就具体函数教学过程中如何体现数形结合思想举例说明：《一次函数的图象》教学设计片断①猜想一次函数的图象会是什么形状？②验证：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 .y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3③归纳（不完全归纳法）：一次函数的图象是一条直线，当 k>0 时，直线从左到右呈“起飞”状，即呈上升趋势，经过一、三象限；当 k<0 时，直线从左到又呈“降落”状，即呈下降趋势，经过二、四象限 .④思考：不同的一次函数，他们图象的形状是相同的，但位置却各不相同，那么一次函数的图象的位置与什么有关呢？⑤确定研究方法。
通过学生的观察、思考、交流以及教师的点拨，学生最终得出：一次函数图象的位置与解析式中的待定参数 k 与 b 的取值有关。
教师进一步指出：在研究含有两个参数的问题时，要先固定一个，进而能明晰地研究出另一个参数在“数”上的变化，导致“形”上的差异。
⑥进一步观察刚才画的四个一次函数图象，思考： k 相同， b 不同的一次函数图象之间有何关系？ k 不同， b 相同的一次函数图象之间有何关系？⑦归纳： k 相同， b 不同的一次函数图象相互平行，将直线 y=kx 向上或向下平移∣b ∣个单位可得直线 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函数图象相交于点（ 0 ， b ） .在这个教学设计中，由于学生明确了函数图象的研究方法，参与了研究过程，因而对于知识的理解是深刻的、牢固的、灵活的，更重要的是学生体验到了一种研究函数图象的一般方法，提高了学生的自主学习能力和思维水平。
二、函数教学过程中几个难点的处理：作为初中数学中的难点，函数抽象而富于变化，在一线教学中老师普遍认为有以下几个问题是教学中的难点，老师不好讲，学生不好学。