最新三校生高考数学卷
三校生数学试题及答案
三校生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. πC. 0.33333…D. i答案：D2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A3. 函数y=2x+3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 以下哪个不等式是正确的？A. 3 > 2B. 4 < 3C. 5 ≥ 5D. 6 ≤ 7答案：C5. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是________厘米。
答案：31.47. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的取值范围是________。
答案：1 < 第三边 < 78. 一个数的平方是25，那么这个数是________。
答案：±59. 函数y=x^2-4x+3的最小值是________。
答案：010. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么它的第四项是________。
答案：16三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3, -1)。
12. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。
答案：通项公式为an = 3n - 1。
结束语：本试题涵盖了实数、相反数、函数图象、不等式、等差数列等基础数学知识点，旨在考察学生的基础知识掌握情况和计算能力。
希望同学们通过本次练习能够查漏补缺，提高数学解题技巧。
中职三校生高考数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 21B. 22C. 23D. 243. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线开口向下C. 直线D. 没有图像4. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则角C的大小为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 3x + 2 = 06. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 27. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点为（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a2=4，且an+1 = 2an，则S5的值为（）A. 62B. 64C. 66D. 689. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 2x - 3 < 5C. 2x + 3 < 5D. 2x - 3 > 510. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则第n项an=（）A. 2nB. 2n-1C. 2n+1D. 2n-2二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第n项an=________。
12. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标为________。
13. 在三角形ABC中，若a=6，b=8，c=10，则三角形ABC的面积S=________。
人教版三校生高考数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|x≤-1或x≥2}，则A∩B=（）A. {x|-1≤x≤2}B. {x|x≤-1或x≥2}C. {x|x=-1或x=2}D. 空集2. 函数f(x)=2x+1在定义域内的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 既有单调递增又有单调递减D. 无单调性3. 若log2x+log2(x+1)=2，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}中，a1=3，d=2，则a10=（）A. 21B. 22C. 23D. 245. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a>b，则a^2>b^2B. 如果a>b，则a-c>b-cC. 如果a>b，则ac>bcD. 如果a>b，则a+c>b+c6. 已知圆的方程为x^2+y^2-2x-4y+5=0，则圆心坐标为（）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (-2,1)7. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，则a·b=（）A. 11B. 10C. 9D. 88. 若sinA=1/2，cosB=-1/2，则sin(A+B)=（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/29. 已知等比数列{an}中，a1=2，q=3，则a5=（）A. 54B. 162C. 486D. 145810. 下列函数中，有最大值的是（）A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^4D. f(x)=x^511. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且对称轴为x=1，则a、b、c的关系为（）A. a>0，b=0，c=0B. a>0，b=0，c≠0C. a>0，b≠0，c=0D. a>0，b≠0，c≠012. 已知等差数列{an}中，a1=5，d=-3，则an≤0的项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 613. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a>b，则a-c>b-cB. 如果a>b，则ac>bcC. 如果a>b，则a+c>b+cD. 如果a>b，则a^2>b^214. 已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，则圆心到原点的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 515. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，则|a-b|=（）A. 5B. 6C. 7D. 816. 若sinA=√3/2，cosB=√3/2，则sin(A+B)=（）A. 1B. 0C. -1D. 217. 已知等比数列{an}中，a1=3，q=1/3，则a5=（）A. 1/243B. 1/81C. 1/27D. 1/918. 下列函数中，有最小值的是（）A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^4D. f(x)=x^519. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向下，且对称轴为x=2，则a、b、c的关系为（）A. a<0，b=0，c=0B. a<0，b=0，c≠0C. a<0，b≠0，c=0D. a<0，b≠0，c≠020. 已知等差数列{an}中，a1=5，d=-3，则an≤0的项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
今年三校生高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x+1) = 5，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 若等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则第10项an的值为：A. 19B. 22C. 25D. 283. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)4. 已知三角形ABC的边长分别为a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值为：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/45. 若等比数列{bn}的首项为b1=1，公比为q=2，则第n项bn的值为：A. 2^n - 1B. 2^nC. 2^n + 1D. 2^(n-1)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，d=2，则S10的值为：A. 55B. 60C. 65D. 708. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-3,4)的中点坐标为：A. (-1,3)B. (1,3)C. (-2,3)D. (2,3)9. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(x)的定义域为：A. (-1, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 0)10. 若函数g(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,3)，则a、b、c的取值范围分别为：A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a<0，b<0，c<0D. a<0，b>0，c<0二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
三校生职业高三数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. -πC. 3.14D. 2/32. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 若|a| = 5，|b| = 3，则|a + b|的最大值为（）A. 8B. 5C. 3D. 24. 下列各点中，在直线2x + 3y - 6 = 0上的是（）A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (0, 3)5. 若sin A = 1/2，cos B = 3/5，则sin(A + B)的值为（）A. 7/10B. 4/5C. 3/10D. 1/56. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列各式中，能表示圆的方程是（）A. x² + y² = 1B. x² + y² = 4C. x² + y² = 16D. x² + y² = 258. 若log₂x + log₂y = 3，则x y的值为（）A. 2³B. 2⁴C. 2⁵D. 2⁶9. 下列各函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = x⁴D. y = x⁵10. 若向量a = (2, -3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的点积为（）A. -6B. -12C. 6D. 12二、填空题（每题5分，共50分）1. 若sin A = 1/2，cos B = 3/5，则cos(A - B)的值为__________。
2. 已知等差数列{an}的首项a₁ = 3，公差d = 2，则第10项a₁₀ =__________。
3. 圆的标准方程为x² + y² = 16，圆心坐标为__________。
三校生高三复习数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(3)的值介于下列哪个区间内？A. [1, 2]B. [2, 3]C. [3, 4]D. [4, 5]2. 下列哪个数是方程x^2 - 4x + 3 = 0的根？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，若a1 + a2 + a3 = 12，且a2 = 4，则该等差数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0, 2]上单调递增，则f(1)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]5. 已知等比数列{bn}的前三项分别为b1, b2, b3，若b1 = 2，b2 = 4，则该等比数列的公比为：A. 1B. 2C. 4D. 86. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是错误的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 07. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S20 = 200，则该等差数列的首项a1为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数f(x) = 2x + 1在区间[0, 3]上单调递减，则f(2)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]的首项b1为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是正确的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上单调递增，则f(1)的值为______。
2023三校生数学试卷
选择题：1. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 5，则f'(1)的值为：A. -3B. 0C. 1D. 62. 设集合A = {x | sin(x) > 0}，集合B = {x | cos(x) > 0}，则A ∩ B的取值范围是：A. (0, π/2)B. (0, π)C. (0, 2π)D. (0, 3π/2)3. 已知函数f(x) = eˣ + e⁻ˣ，g(x) = eˣ - e⁻ˣ，则f(g(x)) = 0的解是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = -24. 在平面直角坐标系中，过点(-1, 2)且与直线y = x + 3垂直的直线的方程是：A. x = -1B. y = -1C. x = 3D. y = 35. 下列不等式组中，有解的不等式是：A. {2x - 3y > 4, 3x + 2y > 5}B. {2x + 3y > 4, 3x - 2y > 5}C. {2x - 3y < 4, 3x + 2y > 5}D. {2x - 3y > 4, 3x - 2y < 5}填空题：1. 若曲线y = x³ - 4x² + 5x的极值点为(x, y)，则y的最大值为______。
2. 解方程2cos²x - cosx - 1 = 0，得到的解为______。
3. 若函数f(x) = ax³ + bx² + cx + d的图像过点(-2, -12)，则a + b + c + d的值为______。
4. 若函数f(x) = x³ + 2x² + bx + 3的图像在x轴上有一个充分接近但不等于-1的零点，那么b的值为______。
5. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，矩阵B = [5; 6]，则矩阵方程AX = B的解X为______。
三校生数学试卷
三校生数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0}，则集合A中的元素个数为（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.2. 函数y=√(x - 1)的定义域为（）A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞,1)D. (1,+∞)3. 若sinα=(3)/(5)，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A. (4)/(5)B. -(4)/(5)C. (3)/(4)D. -(3)/(4)4. 过点(1,2)且斜率为3的直线方程为（）A. y - 2 = 3(x - 1)B. y+2 = 3(x + 1)C. y - 2=-3(x - 1)D. y+2=-3(x + 1)5. 等差数列{a_n}中，a_1 = 2，d = 3，则a_5的值为（）A. 14.B. 17.C. 20.D. 23.6. 二次函数y = x^2+2x - 3的对称轴为（）A. x = - 1B. x = 1C. x = - 2D. x = 27. 在ABC中，若a = 3，b = 4，sin B=(2)/(3)，则sin A的值为（）A. (1)/(2)B. (3)/(4)C. (1)/(3)D. (9)/(8)8. 若向量→a=(1,2)，→b=(3,x)，且→a∥→b，则x的值为（）A. 6.B. - 6.C. (3)/(2)D. -(3)/(2)9. 某班有50名学生，其中有30名男生，从该班随机抽取一名学生，抽到女生的概率为（）A. (2)/(5)B. (3)/(5)C. (1)/(2)D. (1)/(5)10. 函数y = log_2x在区间[1,8]上的最大值为（）A. 0.B. 1.C. 3.D. 8.二、填空题（每题3分，共15分）1. 计算：limlimits_x→1(x^2 - 1)/(x - 1)=_ 。
2. 已知圆的方程为(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 9，则圆心坐标为_(1,-2)，半径为_3。
三校生高考冷门数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，哪个数不是无理数？A. √2B. 0.333...C. √9D. π2. 已知等差数列的前三项分别为a1、a2、a3，且a1=3，d=2，则第10项a10等于：A. 23B. 25C. 27D. 293. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^54. 下列各式中，哪个式子是恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 2C. sin^2x + cos^2x = 2D. sin^2x - cos^2x = 05. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标是：A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1)等于：A. -2B. 0C. 2D. 47. 下列各数中，哪个数是虚数？A. 3B. -2C. 2iD. 58. 下列各式中，哪个式子是正比例函数？A. y = 2x + 1B. y = x^2C. y = 3xD. y = 2x^2 + 19. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是：A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形10. 下列各式中，哪个式子是二次方程？A. x^3 - 3x + 2 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^4 - 4x^2 + 4 = 0D. x^5 - 5x^3 + 4x = 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若等差数列的前三项分别为1，3，5，则第10项为______。
12. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。
13. 在直角坐标系中，点P(1,2)关于y轴的对称点为______。
2024届云南省三校高三下学期高考备考联考(七)数学试卷及答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A BCD C A C【解析】1．由{|1}A x x =-≤≤0，得{|1U A x x =<- 或0}x >，而{1134}B =-，，，，依题意，阴影部分表示的集合(){134}U A B = ，， ，故选B ． 2．设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故1i z =-，故1i 1i 2++-=，故选A ．3．由题知，222||1()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++= ，，所以1π2cos 1cos 23θθθ===，，，故选B ．4．由题意可知A ：两人都没选择篮球，即4416(5525P A =⨯=，所以9()1(25P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则428()5525P AB ⨯==⨯，所以8()825(|)9()925P AB P B A P A ===，故选C．5．如图1所示，高线为MN，由方斗的容积为28升，可得128(4163MN =++ ，解得3MN =．由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB ==，AB =，侧面积为，所以方斗的表面积为2(20s =+，故选D ． 6．设a ，b ，c 分别为角A，B ，C 所对的边，在ABC △中，由正弦定理可得，22sinsin sin a b c R A B C ====，所以sin 2c C =，11sin 22244ABC c abc S ab C ab ==== △ =，故选C ．图1数学参考答案·第2页（共10页）7．根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以1234n a n =+++++(1)(2)2n n n +=≥，经检验11a =符合上式，所以(1)()2*n n n a n ∈+=N ，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则11121223n S ⎡⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ 1111223411n n n ⎤⎛⎫⎛⎫+-++-=- ⎪ ⎪⎥++⎝⎭⎝⎭⎦，所以3026023131S =-=，故选A ． 8．根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()e ln x g x x x x =--，(0e)x ∈，，则函数e (n )l xf x x x a x =---在(0e)，上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点．111(1)(e 1)()e e 1e (1)(1)e x x xx x x x x g x x x x x x x x ++-⎛⎫=+--=+-=+-= ⎪⎝⎭'，令()e x h x x = 1-，(0e)x ∈，，则()e e 0x x h x x ='+>，故()h x 在(0e)，上单调递增，因为(0)10h =-<，(1)e 10h =->，所以存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0h x =，即00 e 10x x -=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，0()0h x <， ()0g x '<，()g x 单调递减，当0e x x <<时，0()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0min 000000()()e ln 11x g x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x →+∞，故(0e)x ∈，，()[1)g x ∈+∞，，所以1a ≥，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号9 10 11 答案AB AD ABD【解析】 9．对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A正确；对于B ，根据方差公式2222121[(()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，可知若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0，则12n x x x === ，B 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于D ，2χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB ．数学参考答案·第3页（共10页）10．对A ，由(0)1f =-，1ϕ=-，即sin 2ϕ=，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ=-∴，又()f x 的图象过点π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω-=∴，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，2ω=∴，所以π5π()2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，则5π5π23π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ2k +，k ∈Z ，方程()1f x =在(0)m ，上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π424242，，，，，，而第7个根为13π4，所以5π13π24m <≤，故D 正确，故选AD ． 11．对A 选项：当αβ⊥时，因为l αβ= ，AC l ⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为BD l ⊥，AC AB BD ==，所以AD ==，所以sin 3AC CDA CD ∠===，故A 正确；对B 选项：如图2，过A 作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB DE ∥，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE BD ∥，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠=︒，由AC l ⊥、AE l ⊥、AC AE A = ，且AC ，AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE l ∥，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥．由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠=︒，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠=︒，即直线AB 与CD 所成角为45︒，故B 正确；对于D ，如图3，作AE BD ∥，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC △中，易得CE =，在ACE △中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，图2 图3数学参考答案·第4页（共10页）120CAE ∠=︒，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得2CO =，1HO =，2CH =，所以cos 7OH CHO CH∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠=︒，如图4，分别取线段AD ，AE 的中点G ，M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE △的外接圆半径112sin120r =⨯=︒，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π3R =C 错误，故选ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】 12．含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x -+-=- ，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，23458a a a a +++=∴．13．()f x 定义域为210x b +>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-．14．如图5，伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C ，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由OF BC ⊥,||||OF OB ==，得||a c BF +==45FBC∠=︒，||2AB a =，||BC =，在ABC △中，60BAC ∠=︒，则75ACB ∠=︒，1sin 75sin(4530)2︒=︒+︒=+ 图5 图4数学参考答案·第5页（共10页）4+=，由正弦定理得，2sin 75sin 60a =︒︒，解得2a =，则2c -=，所以该椭圆的离心率2ce a== 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）圆1C ：22(3)1x y ++=的圆心为1(30)C -，，半径为1， 圆2C ：22(3)1x y -+=的圆心为2(30)C ，，半径为1， 设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则12||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（2分）可得21||||2CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则21||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（4分）可得12||||2CC CC -=； 综上所述：12||||||2CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1a =，3c =， 可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=．……………………………（6分）（2）联立方程22180y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 消去y 得227280x mx m ---=， ………………………………………（8分）则222428(8)32(7)0m m m ∆=++=+>，可知直线与双曲线相交，………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）如图6，设1122()()A x y B x y ，，，，线段AB 的中点为00()M x y ，， 可得12027x x m x +==，0087m y x m =+=，即877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，， ………………………………………………………（11分）且877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±， 又0m >，所以实数m 的值为7． ………………………………………（13分）16．（本小题满分15分） 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，21()2a f x x x -'=+， ……………………………………………………（1分）又曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线12y x =-垂直，所以(1)122f a -+'==，即1a =． ………………………………………（3分）1()ln 2f x x x x =++∴，2(1)(21)()(0)x x f x x x +-=>'， 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，， 由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………………………（6分）（2）由（1）知不等式()22mf x x x+≥恒成立， 可化为1ln 222m x x x x x+++≥恒成立，即ln 12m x x + ≤恒成立．………………………………………………………（8分）令()ln 1g x x x =+ ，……………………………………（10分）当1e 0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．………………………………………………………（12分）图6数学参考答案·第7页（共10页）所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-． ……………………………………（13分）由ln 12mx x + ≤恒成立， 得22e m -≤，即实数m 的取值范围是22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，． ………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB MC ，，由已知可得12AM MF MD BM CM ====，，，……………………………………………………………（2分）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD FM =⊂，平面ADEF ， FM AD FM ⊥⊥，∴平面ABCD ， ……………………………………………………………（4分）MB MC ⊂，∵平面ABCD FM MB FM MC ⊥⊥，，∴，BF CF ==∴ 222BF CF BC +=，∴BF CF ⊥∴．…………………………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(130)(021)(011)C E F ，，，，，，，，，……………………………………………………………（8分）(011)(111)(010)AF CE EF ==--=- ，，，，，，，，∴，……………………（9分） 设平面CEF 的法向量为()n x y z = ，，，则00n EF y n CE x y z ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩，，令1x =得(101)n =，，， …………………………………（12分） 设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，||1sin |cos |2||||AF n AF n AF n θ=〈〉===，．………………………（14分）ππ026θθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，∵∴，即直线AF 与平面CEF． ……………………………（15分）图7数学参考答案·第8页（共10页）18．（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==． …………………………………………………………（3分）（2）由题可知ξ可取123，，，221123222222224444C C C C C 7(1)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（4分）221123222222224444C C C C C 7(3)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（5分） 11(2)1(1)(3)18P P P ξξξ==-=-==， ………………………………………（6分）所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为………………………………………（8分）（3）记1n a -为第(2)n n ≥号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，……………………………………………………………（9分）1n b -为第(2)n n ≥号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211318b b ==，…………………………………………………………（10分）则第(2)n n ≥号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----， 且12222211(1)(3)322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，………………………………………（12分）得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，， 而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，数学参考答案·第9页（共10页）所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………（15分）因此111111()123(1)322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）①解：因为(021)A ，，，(132)B -，，， 则021402032(112)132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- ，，．……………………………………………………………（3分）②证明：设111()A x y z ，，，222()B x y z ，，，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i z ⨯=++--- 122112211221()z z x z x x y x y y z y --=-，，， 将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换， 可得211221122112()OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，，， 故(000)0OA OB OB OA ⨯+⨯== ，，．………………………………………（7分）（2）证明：因为sin AOB ∠==OA OB =，故1||||sin 2AOBS OA OB AOB =∠=△， 故要证1||2AOBS OA OB =⨯△，只需证||OA OB ⨯= 即证2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=- ．数学参考答案·第10页（共10页）由（1）111()OA x y z = ，，，222()OB x y z =，，，122112211221()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，，， 故2222122112211221||()()()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又2222111||OA x y z =++ ，2222222||OB x y z =++ ，22121212()()OA OB x x y y z z =++ ，则2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-成立， 故1||2AOB S OA OB =⨯△． ………………………………………（13分）（3）解：由（2）1||2AOB S OA OB =⨯△， 得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1||2|2||2|AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⨯=⨯△， 故21()||63AOB OA OB S OA OB ⨯=⨯⨯△，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB △为底面、||OA OB ⨯为高的三棱锥体积的6倍． ………………………………………（17分）。
数学试卷三校生高考
一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，那么f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 0D. -12. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^43. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a2 + a3 + a4 = 18，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5. 下列方程中，有唯一解的是（）A. x^2 + x + 1 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 4x + 3 = 06. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 + a2 + a3 = 12，a1 a2 a3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 2C. 1D. -17. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2xD. f(x) = x^38. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，那么f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. -19. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列方程中，有无数解的是（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 16二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么第n项an = _______。
云南省三校2024届高三下学期3月高考备考实用性联考卷(七) 数学及答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{}{}10,1,1,3,4A xx B =-=-∣ ，那么如图阴影部分表示的集合为（）A.{}1,4-B.{}1,3,4C.{}1,4D.{}1,3,4-2.若1i +是一元二次方程20,x ax a a -+=∈R 的根，则该方程的两根之和为（）A.2B.1i -C.22i- D.13.已知(1,0),||1,||a b a b ==+=a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件A ：“两人至少有一人选择篮球”，事件B ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率()P BA =∣（）A.49B.59C.89D.455.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）A.(220dm+ B.(220dm+ C.256dm D.(220dm+6.已知圆的半径为1,,,a b c 分别为该圆的内接ABC 的三边，若abc =ABC 的面积为（）B. C. D.7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n 层有n a 个球，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前30项和为（）A.6031B.382C.2031D.19318.已知函数()e ln xf x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x ∈有实数解，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.[)e,∞+二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设随机变量X 的均值为,a μ是不等于μ的常数，则X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B.若一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则所有数据()1,2,,i x i n = 都相同C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在对两个分类变量进行2χ独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π8x =对称C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,,C AC l D BD l αβ∈⊥∈⊥，且AC AB BD ==，则（）A.当αβ⊥时，直线CD 与平面β所成角的正弦值为33B.当二面角l αβ--的大小为60 时，直线AB 与CD 所成角为45C.若22CD AB ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为55π3D.若2CD AB =，则二面角C BD A --的余弦值为277三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=__________.13.若()2ln 1f x x b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则b =__________.14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为__________.四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设圆C 与两圆222212:(3)1,:(3)1C x y C x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2265x y +=上，求实数m 的值.16.（本小题满分15分）已知函数()1ln 2f x a x x x =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()22mf x x x+ 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在几何体ABCDEF 中，ADEF 为等腰梯形，ABCD 为矩形，AD ∥,1EF AB =，3,2,1AD DE EF ===，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BF CF ⊥；（2）求直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）现有标号依次为1,2,,n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个黑球和2个白球，其余盒子里都是1个黑球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从1n -号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止.（1）当2n =时，求2号盒子里有3个黑球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中黑球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X .19.（本小题满分17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a a b b b a b c a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b x y z x y z ⨯=，则称a b⨯ 为空间向量a 与b的叉乘，其中()()111111222222,,,,,a x i y j z k x y z b x i y j z k x y z =++∈=++∈R R ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点，分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()0,2,1,1,3,2A B -，求OA OB ⨯；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯；（3）问：2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的多少倍？2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.由{}10A x x =-∣ ，得U {1A x x =<-∣ð或0}x >，而{}1,1,3,4B =-，依题意，阴影部分表示的集合(){}U1,3,4A B ⋂=ð，故选B.2.设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故z 1i =-，故1i 1i 2++-=，故选A.3.由题知，222||1,()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++=，所以1π2cos 1,cos ,23θθθ===，故选B.4.由题意可知A ：两人都没选择篮球，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则()4285525P AB⨯==⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===∣，故选C.5.如图所示，高线为MN ，由方斗的容积为28升，可得(1284163MN =++⋅，解得3MN=.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB AB ===，侧面积为面积为(220dm s =+，故选 D.6.设,,a bc 分别为角,,A B C 所对的边，在ABC 中，由正弦定理可得，22sin sin sin a b c R A B C====，所以11162sin ,sin 222244ABC c c abc C S ab C ab ===⋅=== ，故选C.7.根据已知条件有11a =，当2n 时，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以()()1123422n n n a n n +=+++++=，经检验11a =符合上式，所以()()*12n n n a n +=∈N ，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111122122233411n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以3026023131S =-=，故选A.8.根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()()e ln ,0,e xg x x x x x =--∈，则函数()e ln x f x x x x a =---在()0,e 上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点.()()()()()1e 1111e e 1e 11e xx x x xx x x g x x x x x x x x +-+⎛⎫=+--=+-=+'-=⎪⎝⎭，令()()e 1,0,e x h x x x =-∈，则()e e 0x x h x x =+>'，故()h x 在()0,e 上单调递增，因为()010h =-<，()1e 10h =->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x =，即00e 10x x -=，即001e xx =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()()()00,0,h x g x g x <'<单调递减，当0e x x <<时，()()()00,0,h x g x g x >'>单调递增，所以()0min 000000()e ln 11xg x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x ∞→+，故()()[)0,e ,1,x g x ∞∈∈+，所以1a ，故选C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABADABD【解析】9.对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A 正确；对于B ，根据方差公式()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，可知若一组数据1x ，2,,n x x 的方差为0，则12,B n x x x === 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于2D,χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB.10.对A ，由()01f =-1ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，又πππ,224ϕϕ-<<∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππππsin 0,π8484k ωω⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02,2ωω<∴= ，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5π2cos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，方程()1f x =在()0,m 上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个根为13π4，所以5π13π24m < ，故D 正确，故选AD.11.对A 选项：当αβ⊥时，因为,l AC l αβ⋂=⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为,BD l AC AB BD ⊥==，所以AD ==，所以sin 3ACCDA CD∠===，故A正确；对B 选项：如图，过A 作AE ∥BD ，且AE BD =，连接,ED EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB ∥DE ，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE ∥BD ，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠= ，由AC l AE l AC AE A ⊥⊥⋂=､､，且,AC AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE ∥l ，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥.由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠= ，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠= ，即直线AB 与CD 所成角为45 ，故B 正确；对于D ，如图，作AE ∥BD ，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC中，易得CE =，在ACE 中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，120CAE ∠= ，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得37,1,22CO HO CH ===，所以27cos 7OH CHO CH ∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠= ，如图，分别取线段,AD AE 的中点,G M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE 的外接圆半径1312sin120r =⨯= ，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π36R =，故C 错误，故选AB D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x ⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即01234523450,8a a a a a a a a a a =+++++∴+++=.13.()f x 定义域为210x b+>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-.14.如图，伞的企沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为,C O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由,OF BC OF OB ⊥==，得45,2,a c BF FBC AB a BC ∠+===== ABC 中，60BAC ∠= ，则()175,sin75sin 453022224ACB ∠==+=⨯+⨯= ，由正弦定理得，2sin75sin60a =，解得2a =，则2c =，所以该椭圆的离心率2c e a ==-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）圆221:(3)1C x y ++=的圆心为()13,0C -，半径为1，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以12C C ､为焦点的双曲线，且1,3a c ==，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=.（2）联立方程221,80,y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得227280x mx m ---=，则()()222Δ42883270m m m =++=+>，可知直线与双曲线相交，如图6，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，可得120008,277x x m m x y x m +===+=，即8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7.16.（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为()21{0},2a xx f x x x >=-'+∣，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直，所以()1122f a =-+='，即1a =.()()()()21211ln 2,(0)x x f x x x f x x x x +-+'∴=+=>，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()22m f x x x + 恒成立，可化为1ln 222m x x x x x +++ 恒成立，即ln 12m x x ⋅+ 恒成立.令()ln 1g x x x =⋅+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-.由ln 12m x x ⋅+ 恒成立，得22e m - ，即实数m 的取值范围是2,2e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.17.（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接,MB MC ，由已知可得1,2,2,5AM MF MD BM CM =====，平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,ABCD AD FM =⊂平面ADEF ，,FM AD FM ⊥∴⊥平面ABCD ，,MB MC ⊂ 平面,,ABCD FM MB FM MC ∴⊥⊥，3,6BF CF ∴==，222BF CF BC ∴+=，BF CF ∴⊥.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系,A xyz -则()()()1,3,0,0,2,1,0,1,1C E F ，()()()0,1,1,1,1,1,0,1,0AF CE EF ∴==--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF y n CE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令1x =得()1,0,1n = ，设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，1sin cos ,2AF n AF n AF nθ⋅==== .ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦ ，即直线AF 与平面CEF所成角的余弦值为2.18.（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==.（2）由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为ξ123P 7361118736（3）记1n a -为第()2n n 号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n 号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211,318b b ==，则第()2n n 号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++-- ，化解得121162n n b b --=+，得12131331,565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=.19.（本小题满分17分）（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2A B -，则()0214020321,1,2132i j k OA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- .②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i⨯=++--- ()122112211221,,y z y z z x z x x y x y =---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯== .（2）证明：因为sin AOB ∠===.故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅= ，故要证12AOB S OA OB =⨯ ，只需证OA OB ⨯= ，即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=--- ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又()2222222222111222121212|,|,()OA x y z OB x y z OA OB x x y y z z =++=++⋅=++ ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ 成立，故12AOBS OA OB =⨯ .（3）解：由（2）12AOB S OA OB =⨯ ，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1222AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⋅⨯=⋅⨯ ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯ ，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.。
三校生数学考试题及答案
三校生数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程2x+3=7的解？A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B2. 函数y=x^2-4x+4的最小值是多少？A. 0B. 1C. 4D. 7答案：A3. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第五项是多少？A. 11B. 13C. 15D. 17答案：C4. 一个圆的半径为5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C5. 以下哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B6. 计算下列极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]A. 0B. 1C. πD. 2答案：B7. 一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为60度，那么这个三角形的面积是多少？A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√3答案：A8. 以下哪个不等式是正确的？A. |x| > xB. |x| ≥ xC. |x| < xD. |x| ≤ x答案：B9. 计算下列定积分：\[\int_0^1 x^2 dx\]A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A10. 以下哪个选项是不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0的解集？A. (-∞, 2]B. [2, ∞)C. (-∞, 2) ∪ (2, ∞)D. {2}答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算等比数列的前三项和，首项为2，公比为3，和为______。
答案：1412. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值，结果为______。
答案：513. 一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么斜边的长度为______。
答案：1014. 计算下列极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\]结果为______。
三校高考数学试卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：根据题意，等差数列的公差为d，首项为a1，第n项为an，则有an = a1 + (n-1)d。
将n=5代入，得a5 = a1 + 4d，a6 = a1 + 5d。
由题意得a5 - a6 = -2d，代入选项，只有A选项符合。
2. 答案：C解析：设直线l的方程为y = kx + b，将其代入圆的方程x^2 + y^2 = 4中，得x^2 + (kx + b)^2 = 4。
展开后整理，得(k^2 + 1)x^2 + 2kbx + b^2 - 4 = 0。
由于直线与圆相切，故判别式Δ = 0，即4k^2b^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - 4) = 0。
化简得k^2 = 1，所以k = ±1。
当k = 1时，b = 2；当k = -1时，b = -2。
因此，直线l的方程为y = ±x + 2。
选项C符合题意。
3. 答案：D解析：由题意知，函数f(x) = |x - 1|在x = 1处取得极小值。
因此，f'(1) = 0。
对于分段函数，在分界点处导数不存在，所以f'(1)不存在。
选项D正确。
4. 答案：B解析：设向量a = (x, y)，则向量b = (2x - y, 3x + 2y)。
根据向量的数量积公式，有a·b = x(2x - y) + y(3x + 2y) = 2x^2 + 5xy + 2y^2。
要使a·b = 0，即2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0。
因为x和y不为零，所以x^2 + y^2 = 0，即x = 0，y = 0。
所以向量a = (0, 0)。
选项B正确。
5. 答案：C解析：根据复数的乘法公式，(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i。
将a= 1，b = 2，c = 3，d = 4代入，得(1 + 2i)(3 + 4i) = 13 - 24 + (14 + 23)i = -5 + 10i。
云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷(二)数学试题+答案
2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，()()1i 2i −+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．“a b >”是“ln ln a b >”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin 2sin A B =，则2222b a a−的值为（ ） A ．19−B ．13C ．1D ．724．已知()2,X N µσ∼，且()()330.2P X t P X t >+=<−=，则()33P t X −<<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．在ABC △中，点D 是线段BC 上的一点，且满足3BC BD =，点P 是线段AD 的中点，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．13B ．13−C ．12D ．12−6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a 值为（ ）A ．1−B ．C ．D ． 7．已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，体积为7π，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B C ．D ．68．1x ，2x 为函数()log 3a f x x =−的两个零点，其中12x x <，则下列说法错误的是（ ）A ．121x x =B ．122x x +>C ．124x x +的最小值为4D ．124x x +的最小值为4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221n n S n n =−+−，*n ∈N ，则（ ）A ．12a =−B ．11b =C ．4d q +=D ．1d =10．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2c B b C c +=，且2sin sin sin B A C =，则（ ）A ．a ，b ，c 成等比数列B ．ABC △为钝角三角形C ．A ，B ，C 成等差数列D ．若2c =，则ABC S =△11．现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）A ．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为14B ．第二次抽到蓝色球的概率为316C ．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子D ．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．()1012x −的展开式中x 项的系数为______． 13．已知()f x ′是定义域为π0,2的函数()f x 的导函数，且()()sin cos 0f x x f x x +<′，则不等式()1πsin 26f x x f>的解集为______． 14．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n−=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e −=______，12e e 的取值范围是______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：不少于5本少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计95105200（1）依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用； （2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：α0.10.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.841 6.635 7.879 10.82816．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥S ABCD −中，SA ⊥平面ABCD ，90CDA DCB ∠=∠=°，224BC AD CD ===．（1）求证：平面SAC ⊥平面SAB ；（2）若平面SAB 与平面SCD ，求线段SA 的长． 17．（本小题满分15分） 已知函数()()31ln 3f x x x ax x a =−−∈R ． （1）()f x 在1x =处的切线与直线y x =垂直，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）抛物线()2Γ:20y px p =>的图象经过点()1,2M −，焦点为F ，过点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线Γ交于点A ，B ，如图．（1）求抛物线Γ的标准方程； （2）当π3θ=时，求弦AB 的长； （3）已知点()2,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线Γ交于点C ，D ．证明：直线CD 过定点． 19．（本小题满分17分） 如图，已知点列2,n n nP x x与(),0n n A a 满足1n n x x +>，11n n n n P P A P ++⊥ 且11n n n n P P A P ++= ，其中n +∈N ，11x =．（1）求2x ；（2）求1n x +与n x 的关系式；（3）证明：22222123141n x x x x n +++++≤+ ．2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBDBDABC【解析】1．()()21i 2i 2i 2i i 3i −+=+−−=− ，∴其对应的点坐标为()3,1−，位于第四象限，故选D ． 2．由题意，利用对数函数性质可知：ln ln 0a b a b a b >⇒>>⇒>，故必要性成立；而ln ln a b a b >⇒>，但不能确定a ，b 是否都大于0，若a ，b 小于0时函数无意义，故a b >不能推出ln ln a b >，故充分性不成立，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要而不充分条件，故选B ．3．因为3sin 2sin A B =由正弦定理得32a b =，所以32b a =，22222237212122b a b a a −=×−=×−=，故选D ． 4．根据正态曲线的对称性，由()()33P X t P X t >+=<−，得3332t tµ++−==，再由总体密度曲线，数形结合知：()330.3P t X −<<=，故选B ．5．由题意，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，而1112123636BP AP AB AD AB AB AC AB AB AB =−=−=+−=−+ ，由已知，2,31,6m n=− =则12m n +=−，选项D 正确，故选D ．6．由()max 2f x =得2A =，()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后图象关于原点对称，得函数()f x 的图象过点π,012，所以7ππ12122T −=，所以2ππT ω==，故2ω=，又π012ωϕ+=，得π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x =−，π2sin 16a=−=− ，故选A ． 7．圆台的高为h ，则圆台的体积()221π12127π3V h =++××=，解得3h =，如图，取上下底面圆心M 、N ，连接MN 、MC 、NC ，由圆台性质可知MN NC ⊥，且3MN =，又2NC =，故MC MC 为ABC △以AB 为底的高时，ABC △面积最大，且其最大值为122×B ．8．函数()log 3a f x x =−的定义域为()0,+∞，0a >且1a ≠，由()0f x =，得log 3a x =，因此直线y 3=与函数log a y x =的图象有两个公共点，其横坐标为1x ，2x ，a 比1大还是小对log a y x =的图象没有影响，可令1a >，而当01x <<时，log a y x =−递减，当1x >时，log a y x =递增，于是1201x x <<<，对于A ，由12log log a a x x =，得12log log a a x x −=，即121x x =，A 正确；对于B，12221x x x x +=+，而函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此122212x x x x +=+>，B 正确；对于C ，1222144x x x x +=+，函数14y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此12221445x x x x +=+>，C 错误；对于D ，1222444x x x x +=+≥，当且仅当22x =时取等号，D 正确，故选C ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案BCABDACD【解析】 9．()()12111111212211nn n b q n n b b d d S na d n a n q qq q −−=++=+−+−+ −−−， 221n n S n n =−+− ，11112121111dd a b q bq=−=−∴ −=− − ，10a ∴=，2d =，11b =，2q =，故选BC ．10．2sin sin sin B A C = ，由正弦定理可得2b ac =，且,,0a b c >，则a ，b ，c 成等比数列，故A 正确；将cos cos 2c B b C c +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos2sin C B BC C +=，即()sin 2sin C B C +=，sin 2sin A C ∴=，利用正弦定理化简得：2c a =，222b ac c ∴==，b ∴，::2:2a bc c c ∴==，所以A 角最大，由222cos 02c b a A cb +−==<得A 角为钝角，故B 正确；若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，且πA B C ++=，可得π3B =，则由余弦定理可得2222224231cos 22242a cbc c cB ac c c +−+−===≠×，故C 错误；若2c =，可得b =，4a =，则b c >，由3cos 4B =，()0,πB ∈，可得sin B =，所以1sin 2ABC S ac B==△D 正确，故选ABD ．11．对于选项A ，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，因此第二次抽到蓝色球的概率为14，故A 选项正确；对于选项B 、C ，记1A =“第一次抽到红色球”，2A =“第一次抽到黄色球”，3A =“第一次抽到蓝色球”，1B =“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”2B =“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，3B =“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，B =“第二次抽到蓝球”，易知1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()112P A =，()()2314P A P A ==，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A == ===×+×+×= ∑∑，故B 选项错误；第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，所以()()()()111111624111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()222211344111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()333311246111148P A P B A P A B P B ×===，所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C 选项正确；对于D ，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按1:1:3分或按2:2:1分）再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有2223535322C C C A 150A +=种，故D 选项正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．展开式中x 的系数为()1110C 220−=−． 13．设()()sin g x f x x =，()()()sin cos 0g x f x x f x x +′=<′，所以函数()g x 单调递减，()()1πππsin sin sin 2666f x x f f x x f >⇔> ，即()π6g x g > ，得π6π02x x <<<，所以π06x <<，所以不等式的解集为π0,6． 14．由已知可得()23c a m =−，所以23a mc c=−，即121123e e −=；所以，()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a −−+=⋅====+−．令a t m =，则129124e e t t =+−．因为a m >，所以1at m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=−，所以有3a m <；1212MF MF F F −<，所以有()223m c a m <=−，所以有35a m >，所以5,33a t m =∈ ．设函数12y t t =+−，则2110y t =−>′，函数12y t t=+−在区间5,33上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）零假设0H ：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；由表中数据可知，()2220035406560500012.5310.82810595100100399χ×−×==≈>×××， 故可推断0H 不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．（2）由题意可知，X 的可能取值为0、1、2，()3436C 10C 5P X ===；()214236C C 31C 5P X ===；()124236C C 12C 5P X ===，所以X 的数学期望为：()1310121555E X =×+×+×=． 16．（本小题满分15分）（1）证明：设BC 中点为E ，连接AE ，如图，因为90CDA DCB °∠=∠=，且AD CD =， 故四边形ADCE 为正方形，而AC 2AE =，AB所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥， 因为SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以SA AC ⊥，又,SA AB ⊂平面SAB ，SA AB A = ， 所以AC ⊥平面SAB ， 因为AC ⊂平面SAC ， 所以平面SAC ⊥平面SAB ．（2）解：以A 为坐标原点，AE 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，设()0SA a a =>，则()2,2,0C ，()0,2,0D ，()2,2,0B −，()0,0,S a ， 所以()0,2,SDa =−，()2,0,0DC =，设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n SD n DC ⋅=⋅=，即2020y az x −= = ，令2z =，所以()0,,2n a =，由（1）知，平面SAB 的法向量为()2,2,0AC =，设平面SAB 与平面SCD 所成角为θ，则cos θ=cos,AC nAC nAC n⋅==，解得a=a=，所以AS=．17．（本小题满分15分）解：（1）易知()22ln11lnf x x ax x ax′=+−−=−，又()f x在1x=处的切线与y x=垂直，所以()11f′=−，即1a−=−，所以1a=．（2）因为()2lnf x x ax=−′，且()f x有两个极值点，所以方程()0f x′=在()0,+∞上有两个不同的根，即方程2ln0x ax−=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()2ln xg xx=与函数y a=的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，则()()4312ln12lnx x xg xx x−−==′，令()312lnxg xx−==′，解得x=当x>()0g x′<，()g x单调递减，当0x<<时，()0g x′>，()g x单调递增，且当1x>时，()0g x>，且x+∞，()0g x→，()10g=，故作出()g x的图象如图所示：由图象可知10,2ea∈满足题意，即a的取值范围为10,2e．18．（本小题满分17分）（1）解：曲线22y px=图象经过点()1,2M−，所以()222p−=，所以2p=，所以抛物线Γ的标准方程为24y x=．（2）解：由（1）知()1,0F ，当π3θ=时，l的方程为)1y x −，联立)214y x y x=− = ，得231030x x −+=，则12103x x +=， 由12163AB x x p =++=，所以弦163AB =． （3）证明：由（1）知()1,0F ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立214x my y x=+ = 得2440y my −−=，2Δ16160m =+>， 因此124y y m +=，124y y =−．设直线AC 的方程为2x ny =+，联立224x ny y x=+ = 得2480y ny −−=， 则2Δ16320n =+>′，因此134y y n +=，138y y =−，得318y y −=， 同理可得428y y −=． 所以()343412223434341212441882244CD y y y yy y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−． 因此直线CD 的方程为()332x m y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上，令0y =得，2233331181822244y x my x my m y y −−=−+=−+=−+ ()122122222111111144161616444444y y y y y m y y y y y y y + +=+=+=++=+⋅=， 所以，直线CD 过定点()4,0．19．（本小题满分17分）解：（1）因为1212PP A P ⊥ ，1212PPA P = ，所以()()21221222221212124222x a x x x x x a x x x −=−+−=−+，得2122x x x −=，所以22x =． （2）由11122,n n n n n n P P x x x x +++ =−−，1112,n n n n n A P x a x +++ =− ，1112140n n n n n n n nP P A P x a x x ++++⋅=⇒−= ①， 又11n n n n P P A P ++= ，则()()22221111222n n n n n n n x x x a x x x ++++ −+−=−+②，将①代入②得()()22111222222111114444211n n n n n n n n n n n n n X X X X x X X X X X x X X ++++++++ −+=+⇒−=⇒−=． （3）要证22222123141n x x x x n +++++≤+ 等价于证明22222314n x x x n ++++≤ ，当2n ≥时，()12122212n n n n i i i i i i x x x x x ++===+−=−=<∑∑ ()2221111122211112212n n n n n n n n n n i i n i x x x x x x x x x x n x ++++++++= −=⇒=−<− ⇒−=−>⇒> ∑，<−，所以12n x x +−≤12n x +⇒≤−2188484n x n n +⇒≤++−≤−()()2222231413214n x x x n n +⇒+++≤+++−= ， 22222314n x x x n +∴+++≤ ，22222123141n x x x x n +∴++++≤+ ．。
三校生高考数学试卷答案
一、选择题1. 选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）（1）若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)在区间[0, 1]上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A解析：f'(x) = 2x - 2，令f'(x) = 0，解得x = 1。
当x < 1时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
因此，f(x)在区间[1, 3]上单调递增，在区间[0, 1]上单调递增。
（2）已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的值域为：A. [-3, 3]B. [0, 3]C. [1, 3]D. [0, +∞)答案：B解析：当x < -1时，f(x) = -(x - 2) - (x + 1) = -2x + 1；当-1 ≤ x < 2时，f(x) = (x - 2) - (x + 1) = -3；当x ≥ 2时，f(x) = (x - 2) + (x + 1) =2x - 1。
因此，f(x)的值域为[0, 3]。
（3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S15 = 120，则公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由等差数列前n项和公式得，S10 = 5(a1 + a10) = 55，S15 = 15(a1 +a15) = 120。
解得a1 = 1，a10 = 11，a15 = 9。
因此，公差d = (a15 - a10) / (15 - 10) = 2。
（4）若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，则直线l的斜率为：A. -1/2B. 1/2C. -2D. 2答案：A解析：直线l的斜率k = -A/B = -1/2。
（5）已知复数z = 2 + 3i，则|z| + arg(z)的值为：A. 5B. 5 + π/2C. 5 + πD. 5 - π/2答案：C解析：|z| = √(2^2 + 3^2) = √13，arg(z) = arctan(3/2)。
三校生的高考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 0C. 1.5D. -2.12. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(2)的值是（）A. 1B. 3C. 5D. 73. 如果a < b，那么下列不等式中一定成立的是（）A. a - 1 < b - 1B. a + 1 < b + 1C. a / 2 < b / 2D. a 2 < b 24. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于y轴的对称点坐标是（）A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (3, 4)5. 下列哪个图形的面积可以用勾股定理来计算？（）A. 矩形B. 圆C. 三角形D. 梯形6. 若a, b, c是等差数列的连续三项，且a + b + c = 18，则a的值是（）A. 6B. 4C. 2D. 87. 下列哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x8. 如果一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是（）A. 24cm²B. 28cm²C. 32cm²D. 36cm²9. 下列哪个数是实数集R中的无理数？（）A. √4B. √9C. √16D. √2510. 下列哪个方程的解是x = 2？（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 1 = 5C. 4x + 2 = 9D. 5x - 3 = 11二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若x = 2，则x^2 - 3x + 2的值为______。
12. 下列函数中，f(0)的值最小的是f(x) = x^2 + 2x + 1。
13. 在直角坐标系中，点A(1, 2)和点B(-3, 4)之间的距离是______。
2024江西三校生高考数学
高职数学试卷第一卷（选择题 共70分）一、 是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出选择，对的选A,错的选B.1.{}0∅= (A,B)2.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是π (A,B)3.常数数列既是等差数列也是等比数列 (A,B)4.0.20.10.80.8--> (A,B)5.0AB BC CA ++= (A,B)6.若,a R ∈a =的充要条件是 0a ≥ （A,B)7.空间的两条直线若不相交就平行 (A,B)8.函数()2321f x x =-是偶函数 (A,B)9.椭圆2211625x y +=的离心率为35 (A,B)10.空间三条直线,,,a b c 若,,a c b c ⊥⊥则//a b (A,B)二、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.11.与{}21x x =集合相等的集合是（ ）A {}1B {}1-C {}1,1-D ∅12.在下列条件中，可以确定一个平面的条件是( )A 经过两点B 经过两条直线C 经过不在通一条直线上的三点D 以上都不正确13若向量(1,2),(2,1),a b ==-则a b ⋅=等于（ ）A 0B 3C 4D 以上都不正确14.使不等式220x x a -+>恒成立a 的取值范围是（ ）A 1a <B 1a >C 2a >D 2a <15.从江西省的11个设区市中随意抽取2个设区市进行“创建卫生城”的检查，省会城市南昌被抽取到的概率是( ) A 110 B 111 C 15 D 21116.已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率为5,3焦距为10,则双曲线的方程为（ ） A 221925x y -= B 221916x y -= C 221916x y += D 221925x y += 17.1023132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项绽开式中的常数项为( ) A 第三项 B 第四项 C 第五项 D 第六项18.函数()()()200xx f x x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A-2 B2 C -4 D4其次卷（非选择题 共80分）三、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.19.lg 2lg5+=20.数2与8的等差中项为21.函数()90y x x x=+>的最小值为 22.cos80cos 20sin80sin 20+=23.过点(2,1)-且垂直于的直线的方程是24.设,,a b c 为非零向量，λ为实数，则命题 (1)//b a a b λ=⇔(2)若a b a b ==-则,a b 的夹角为60(3)若,a b c b ⋅=⋅则a c =.其中真命题的是四、解答题：本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤25.已知43sin ,cos .55αα=-=求212sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值 26.某商品现售价100元.（1）若每次降价20元，经过两次降价后的售价是多少元？（2）若每次降价20，经过两次降价后的售价是多少？27.数列{}n a 中，已知1111,2n n a a a +=-=+（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求n S 的最小值28.已知函数()3,f x ax bx =+且()13,f =又点()2,12在函数的图像上，（1）求函数()f x 的解析式（2）若()()0,f x f >求x 的取值范围29.已知棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点(1)求证111D C B E ⊥;(2)求异面直线11C D 与AE 所成的角.(3)求二面角1B AE B --的大小30. 已知点(8,0)A ,B C 、两点分别在x 轴和y 轴上的运动，且,AB BP BC CP ⊥=(1)求P 动点的轨迹方程；(2)若过点A 的直线l 于P 的轨迹较于不同的两点49M N QM QN ⋅=、，，，其中()10Q -，，求直线l 的方程。
2024届云南三校高考备考实用性联考卷(六)数学-答案
数学参考答案·第1页（共9页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCACCDBA【解析】1．由题意，{|13}U A x x x =<或≥ ，(){034}U A B = ，， ∴，故选B ．2．(1)i 1i (1)i 12i2i z z z z -=+⇒--=-⇒=-⇒=+，故选C ． 3．由于1sin cos 44αα==，所以22cos sin 2αα+=54-，故选A ．4．由20217n n ->-得2n <或8.5n >，所以8n =时，n S 取得最小值，故选C ．5．由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππ66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵，∴πππ2626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，()[21]g x ∈-，∴，故选C ． 6．设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D '是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即lg 0.6lg 4F F≈'≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选D ．7．连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF △中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5aMF =， 28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =，故选B ．数学参考答案·第2页（共9页）8．因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C = ，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，BC ⊂平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图1所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，下面计算该长方体外接球半径R 的最小值；因为10AB BC = ，所以22220AB BC AB BC += ≥，所以22220525AB BC SC +++=≥，即2(2)25R ≥，所以52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACBCDABDABC【解析】9．因为()()f x f x -=-，所以A 正确；因为1()02f x x x =-=，得2x =，所以C 正确，故选AC ．10．圆M 的圆心为(01)M -，，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为(20)N ，，半径21r =；A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆心(20)N ，到直线AB 的距离5d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，||AB==，C 正确；D 选项，圆心(01)M -，到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确，故选BCD ．图1数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A ，连接11AD A D ，，则11A D AD AB ⊥⊥，平面1111ADD A A D AB AB AD A ⊥= ，，，∴AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ⊥∴平面11ABC D ，1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，AB ∥∴平面11CDD C ，点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，所以B 正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P点的轨迹的长度为π2；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ．对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角．设AC BD O = ，则AC BD ⊥．因为P 是ABC △内（包括边界）的动点，所以当P 与O重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P =∠，当P 与B重合时，DP DB ==最大，此时11sin 13DPD D P ==∠，所以13si 3n DPD ∈⎢⎣∠⎦，，故选ABD ．12．由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0)+∞，上有唯一的极值点且不等于零，又12()mx g x x +'=且0m <，所以当102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ln(2)0m =-->，解得102m -<<，且有12102x x m <<-<，111()ln 12f x x mx '=++∵11222220ln 12()ln 120ln 12x mx f x x mx x mx '=⇒=--=++=⇒=--，，111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<．因为12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在212x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭数学参考答案·第4页（共9页）111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x = 1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x '=+-=+>，所以函数()h x 在(1)+∞，上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-，故选ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为每组小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82．14．a b λ+ 与c 垂直，则()(3)0a b a b λ+-= ，即2233a a b a b b λλ+-- (13)a b λλ=+-30-=，其中π11||||cos 11322a b a b ==⨯⨯= ，代入可解得5λ=-．15．因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+．所以当(0π)x ∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(π2π)x ∈，时，()0f x '<，()f x 为减函数；所以()f x 在[02π]，上的最大值(π)π1b f ==+．又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[02π]，上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-．16．如图2，因为21||||F P F H b ==，所以||2PH a =．因为1sin F PO ∠=，所以1tan 2FPO ∠=，在1Rt PHF△中，1tan 2bF PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=，又因为a=所以b =，所以双曲线方程为22136x y -=．因为tan MON ∠=-，所以sin 3MON ∠=．设00()Q x y ，到两渐近线的距离为12d d ，，则图2数学参考答案·第5页（共9页）220012|2|3x y d d -== ．又因为220026x y -=，所以122d d = ，所以12||||sin sin OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠ ．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B B B =，即23sin 4B =， 又因为ABC △为锐角三角形，所以π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 2B =，所以π3B =．12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =． 选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=， 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=， 又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =， 因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以π3B =．…………………………………………（5分）（2）由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac c a =+，即ac a c =+． 在△ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=， 解得6ac =（3ac =-舍去）．故1π1sin 6232ABC S ac ==⨯=△ ………………………………（10分）数学参考答案·第6页（共9页）18．（本小题满分12分）（1）证明：∵点E 在 AB 上且AB 为直径，AE EB ⊥∴，又ABCD ABE AD AB AD ABCD ⊥⊥⊂平面平面，，且平面∵，AD ABE ⊥平面∴， BE ABE ⊂平面∵，AD BE ⊥∴，又DA AE A = ∵，BE ADE ⊥平面∴． ………………………………（6分）（2）解：当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点， 此时AE BE =，OE AB ⊥， 取CD 中点F ，连接OF ，如图3， 则OF AD ∥，即OF ABE ⊥平面， 又OE AB ⊥∵，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(000)(010)(010)(011)(100)O A B C E -，，，，，，，，，，，，，，∴， (021)(110)AC AE ==，，，，，∴，设平面ACE 的一个法向量为()n x y z = ，，，则200n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1x =，可得(112)n =-，，，平面ADE 的一个法向量为(110)BE =-，，，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3． …………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由题知，当1n =时，113S a ==， 当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥． 因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，图3数学参考答案·第7页（共9页）综上，*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………………………（6分）（2）由（1）知(1)n n n c a b =-*131()122n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩N ，，，，≥所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ①， 23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②， ①−②得23412151111511122222222222n n n n n n nT --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：01p =，212211C 22p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，424413C 28p ⎛⎫== ⎪⎝⎭． ………………………（6分）（2）证明：法一：设2()k n n =∈N ，则22221(2)!1C 2!!2nnn k n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，同理22221222221(22)!1C2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n +++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 因为n ∈N ，所以11222n +≤，所以+212k kp p ，即220k k p p +-≥． 法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2n n k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，数学参考答案·第8页（共9页）因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->； 综上，220k k p p +-≥． ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为x my b =+．联立24y x x my b ⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①， 因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点(40)，， 设点()D x y ，，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=， 所以点D 的运动轨迹为以(20)，为圆心，半径为2的圆（原点除外）． …………（5分） （2）由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB = ，11(12)CA x y =-- ，，22(12)CB x y =--，， 则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++21212121()(2)()2516y y y y m y y b =+-++-+③， 将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+．当32(1)b m -=+时，直线AB 过(52)P -，．当32(1)b m -=-+时，直线AB 过(12)，，此时C 在AB 上，不合题意． 所以直线AB 恒过(52)P -，． 因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD △中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =， 所以||DQ 为定值． 此时Q 的坐标为(30)，，故存在点(30)Q ，，使得||DQ 为定值．………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分12分）解：（1）3()1f x x x =-+，则2()31f x x '=-，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥， 曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为272333184223y x x ⎛⎫+=+⇒=- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<， 故，用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-． …………（5分） （2）将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----， 令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==， 因为2()31x f x '=-，()f x的极小值为0f =>⎝⎭， 因此，()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥， 所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有0 1.35x ≈-，所以320 1.351.353 1.355 1.356()( 1.35)(2.46 5.46 6.756) 3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤ 8.685=-．方法二：3201131516()(1)3 2.728.16e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤．320 1.51.53 1.55 1.56272715()( 1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：≤8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-．…………………………………………（12分）。
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2017年三校生高考数学卷
一.选择题。
(每空3分)
1.集合，,则（）：
A. B. C. D.
2.不等式的解集为（）：
A. B. C. D.
3.在内下列函数是增函数的是（）；
A. B. C. D.
4.直线的斜率和轴上的截距分别是（）；
A.，
B.-2，-5
C.2，5
D.5，2
5.下列计算正确的是（）
A.=0
B.
C.
D.
6.在1，2，3，4四个数中任取两个数，则取到的数都是奇数的概率为（）；
A. B. C. D.
7.直线与的位置关系是（）.
A.直线
B.相交但不垂直
C.平行
D.垂合
二.填空题：（每空3分）
1.函数的定义域为__________;
2.已知,.且,则=__________;
3.在数列中，若，=,则该数列的通项=__________；
4.一个玩具下半部分是半径为3的半球，上半部是圆锥，如果圆锥母线长为5，圆锥底面与半球截面密合，则该玩具的表面积是__________；
三.解答题；,
1.求经过直线和的交点，圆心为的圆的方程（16分）
2.已知，是第四象限的角，则的值和的值（16分）;
3.为了参加国际马拉松比赛，某同学给自己制定了10天的训练计划。
第一天跑2000米，以后每天比前一天多跑500米，这位同学第七天跑了多少米，10天总共跑了多长的距离，。