直线的倾斜角.
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率引言在几何学和代数学中，直线是一个重要的概念。
直线可以用不同的方式来表达和描述，其中倾斜角和斜率是两个常见的表示方法。
本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
直线的倾斜角倾斜角是表示直线相对于水平方向的旋转程度的数值。
直线的倾斜角可以是正值或负值，取决于直线向上或向下倾斜的方向。
倾斜角的取值范围是从负无穷到正无穷。
计算倾斜角可以通过计算直线上两点间的斜率来得到直线的倾斜角。
斜率是指直线上任意两点的纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的倾斜角可以通过以下公式计算：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中arctan是反正切函数。
需要注意的是，这个公式只适用于直线不垂直于x轴的情况。
当直线垂直于x轴时，倾斜角没有定义。
此时可以取特殊值正无穷或负无穷来表示。
倾斜角的意义倾斜角可以用于判断直线是向上倾斜还是向下倾斜，以及直线的旋转方向。
倾斜角为正值表示直线向上倾斜，倾斜角为负值表示直线向下倾斜。
倾斜角的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
倾斜角还可以用于计算直线与水平线之间的夹角。
直线与水平线的夹角等于90度减去直线的倾斜角的绝对值。
直线的斜率斜率是直线上任意两点间纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
斜率可以用来描述直线的陡峭程度。
计算斜率与计算倾斜角类似，直线的斜率可以通过两点间的纵坐标变化量除以横坐标变化量来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率的取值范围是从负无穷到正无穷。
如果直线是垂直于x轴的，则斜率没有定义。
斜率的意义斜率表示直线上每个单位横坐标变化对应的纵坐标的变化量。
斜率为正值表示纵坐标随横坐标增加而增加，直线向上倾斜；斜率为负值表示纵坐标随横坐标增加而减少，直线向下倾斜。
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
高中数学——直线的倾斜角和斜率
()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题； 3. 利用斜率公式解决问题； 4. 数形结合思想，函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1，2， 3.
谢谢
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
说法是正确的（ D,F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
例题解析
例3. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，
解：设该直线的斜率为k, 倾斜角为
则由斜率公式得k tan 3 0 1 5 (2)
0。 180。 135。 综上可知：直线的斜率为 1，倾斜角135。
例题解析
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3，
试比较斜率的大小.
l1
l2
l3
k1 k3 k2
y y y y
tan 2 1 2 1
x1 x2 x2 x1
直线的斜率计算公式：
y
P2（x2，y2）
P
P1（x1，y1）
O
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
例题解析
例1.直线l的倾斜角为45°，则斜率k为 1
直线l的倾斜角为120°，则斜率k为 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些
O
x
(2)
y
0。
k值不存在
k 0
O
x
(3)
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角：重点：取值范围：0≤a ＜180° 二、斜率k ：1、当a ≠90°时，斜率k=tana ；2、当a=90°时，斜率k 不存在；（联系正切函数的定义域去理解）3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：k=y 2-y 1/x 2-x 1理解：①两点间斜率要求x 1≠x 2，因为当x 1=x 2时，直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率k 不存在；在；②当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴，倾斜角为0°，斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系：名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0（x 0，y 0）和斜率k ； 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；2、 此时是已知一定点P （0，b ）和斜率k ； 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2；2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时，直线垂直于x轴；轴； 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴。
轴。
截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；2、 点P 1（a ，0），P 2（0，b ）分别为直线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标； 一般式一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）不同时为零）1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；理解；2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。
响作用。
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：时，直线向右上方倾斜；①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右下方倾斜；②当k＜0时，直线向右下方倾斜；轴；③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴平行。
高考数学直线方程知识点总结大全
高考数学直线方程知识点总结大全数学的知识点很乱很杂，高考数学题总能糅合进很多知识点，学好基础知识点很重要，下面就是小编给大家带来的高考数学直线方程知识点总结大全，希望大家喜欢！高考数学直线方程知识点总结1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。
直线倾斜角
教学内容【知识结构】1.倾斜角：设直线l 与x 轴相交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所称的最小正角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination of the line l ）当直线l 与x 轴平行或重合时，规定其倾斜角为0=α.因此直线的倾斜角α的范围是πα<≤02.斜率：当2πα≠时，把α的正切值αtan =k 叫做直线l 的斜率（slope ）3,斜率k 与倾斜角α之间的关系：4.直线的斜率公式：经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率公式：)(21211212x x y y k x x y y k --=--=或一般式方程：关于y x ,的二元一次方程),(0不同时为零b a c by ax =++叫做直线的一般式方程（genenal form of equation ）【例题精讲】例1：（1）在同一坐标系中画出过原点，倾斜角分别是6π,433ππ，的直线，并试着写出它们所对应的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在解析式，思考直线的倾斜角在直线的函数解析式中是如何体现的？（2）当倾斜角变化时，斜率的变化情况如何？策略点击：（1）通过观察直线的变化--角α的变化--kx y =中系数k 的变化，发现这个系数是倾斜角的正切，角α是锐角时，它也可以来刻画斜坡的倾斜程度，即坡度（升高量比前进量）. 当2πα≠时，把α的正切值αtan =k 叫做直线l 的斜率.（2）根据正切函数在区间[0,π)上的图像可知.这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x 轴（正方向）倾斜程度的量----倾斜角，又定义了一个从“数”的方面刻画直线相对于x 轴（正方向）倾斜程度的量----斜率.解：（1）x y l 33:'= x y l 3:''= x y l -=:''' （2）0=α时，0=k 20πα<<时，0>k ，且递增 2πα=时，k 不存在παπ<<2时，0<k ，且递增例2：(1)若3πα=，则=k __________ 若3-=k ，则=α__________(2)若），（36ππα∈，则∈k _________若）（33,3--∈k ，则=α_________ (3)若)1,1(-∈k ，则α的取值范围_______________若），（653ππα∈，则k 的取值范围_______________策略点击：倾斜角从0到2π变化时，斜率是0到∞+ 倾斜角从ππ到2变化时，斜率是∞-到0倾斜角是2π的直线斜率不存在. 解：（1）3；32π （2）），（3,33；），（6532ππ （3）),43()4,0[πππ⋃；),3()33,(+∞⋃--∞例3： 判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ） ②直线的斜率为βtan ，则它的倾斜角为β （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。
倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角与斜率定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.倾斜角不是︒90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示. 斜率的定义：αtan =k对斜率的理解上实行三点说明：2.当倾斜角是90°时，斜率不存有，并不是直线不存有；3.所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；当倾斜角在第一象限时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜水准越大；反之，倾斜角在第二象限时，斜率越大，倾斜角也越大。
说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为︒0；②直线倾斜角的取值范围是[0，π）。
； ③倾斜角是︒90的直线没有斜率. 4．斜率公式：经过两点),(111y x P 、),(222y x P 的直线的斜率公式：.1212x x y y k --=（x 1≠x 2）经典例题及解题方法 基础技能：1.直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1<k<1，则α的范围是（ ） A 、(－π/4, π/4) ) B 、[0, π/4)∪(3π/4, π) C 、(0, π/4)∪(π/2, 3π/4) D 、[0, π/4)∪(3π/4, π］2.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l 的斜率的取值范围是 A.［0，＋∞) B.(－∞，＋∞) C.［－1，+∞) D.（－∞，－1）∪［0，＋∞)3.若点A (1，1)、B (-1,4)，则直线AB 的倾斜角是A.arctan 23B.－arctan 23C.π＋arctan 23D.π－arctan 234.若R ∈θ直线01sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππB.),0(πC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,4D.),43[4,0πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.直线3310x y +-=的倾斜角的度数是（ ） A.30B.60C.120D.1506．若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 . 7.直线的倾斜角为α，若3sin 5α=，则此直线的斜率是 .8.当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = 。
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan
x在 0, 2
和 2 ,
上的
单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当
倾斜角为 时,直线的斜率不存在.
2
1-1 (2017四川攀枝花三中月考)若直线l与直线y=1,x=7分别交于
点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为 ( )
3.直线方程的五种形式
名称 方程
适用范围
点斜式 ⑧ y-y0=k(x-x0) 斜截式 ⑨ y=kx+b
不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1
x x1
⑩ y2 y1 = x2 x1 (x1≠x2,y1≠y2)
不含直线x=x1和直线y=y1
截距式
x y
a + b =1 (a≠0,b≠0)
BB
∴直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,故选C.
4.经过M(1,-2),N(-3,4)两点的直线方程为
.
答案 3x+2y+1=0
解析 经过M(1,-2),N(-3,4)两点的直线方程为 y 2 = x 1 ,即3x+2y+1=0.
4 2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值为
易错警示 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的 适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表 示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直的直线和经过原 点的直线,故在解题时,若采用截距式,应先考虑截距为零的情况;若采用 点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
A. 1 B.- 1 C.- 3 D. 2
高中数学直线的倾斜角与斜率
高中数学直线的倾斜角与斜率高中数学的世界就像一场充满惊喜的冒险，今天我们要聊的就是直线的倾斜角和斜率。
说到倾斜角，大家一定会想起那种斜着的线条，好像在给你眨眼睛。
哎呀，没错，直线可不是平平无奇的，它们的“态度”可是很重要的呢！想象一下，你在爬山，山坡的倾斜程度决定了你是轻松走上去，还是气喘吁吁。
这就跟直线的倾斜角有关系啦。
直线的倾斜角，简单来说，就是直线和水平线之间的夹角。
这个角度越大，线条就越陡，越难爬；反之，角度小，坡就平，走起来就轻松多了。
说到斜率，那可真是个小宝贝。
斜率就是直线在纵向和横向上的“努力程度”。
如果用数学语言来说，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
听起来复杂？别担心，想象你在骑自行车。
上坡的时候，你需要使劲儿，坡度越大，你的“努力”也就越大，斜率自然也就越大。
要是你平地骑，那可轻松多了，斜率就小得多。
这样一来，倾斜角和斜率就像一对好搭档，一起决定了直线的“性格”。
再来说说斜率的具体计算。
我们一般用公式表示，y = mx + b，里面的m就是斜率。
比如说，你有两点，A(1, 2)和B(3, 4)。
你可以这样算斜率：先找出纵坐标的变化，即4 2，等于2。
然后找出横坐标的变化，3 1，等于2。
用2除以2，斜率就是1。
这就是说，从A点到B点，直线的倾斜程度是1，既不陡也不平，刚刚好。
所以说，直线的倾斜角和斜率，简直就是我们日常生活的缩影。
比如说，做一件事情的时候，如果你全力以赴，斜率就大；要是你慢吞吞，斜率就小。
这种关系，真是让人忍不住想笑。
每当看到那些笔直的线条，就会想起自己生活中的努力。
人生的路途就像一条条直线，起伏跌宕，时而陡峭，时而平坦，每一步都在展示着自己的倾斜角。
生活中也有“斜率为零”的时候，那就是平坦的日子。
你坐在沙发上，悠闲地喝着饮料，看着电视，感觉一切都是那么美好，真是享受啊！这时候的直线横穿在x轴上，表示你一点也不在乎，轻松无压力。
可是，当工作压力来袭，生活的坡度陡然增加，心情顿时就像是被拉扯着，努力向上爬，这可真是个挑战。
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=-14×3=-34.又直线经过点
A(-1,-3),
所以所求直线方程为 y+3=-34(x+1), 即 3x+4y+15=0.
关闭
(1)A (2)3x+4y+15=0
解析 答案
第九章
考点1
考点2
考点3
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
.
当
α∈
π 6
,
π 4
时,k=tan α∈
3 3
,1
;
当
α∈
2π 3
,π
时,k=tan α∈[-
3 3
,1
.
[-
3,0)∪
3 3
,1
关闭
关闭
解析 答案
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
知识体系
知识梳理
核心考点
学科素养
考点1
考点2
考点3
考点 2
求直线的方程
的取值范围是( )
A.[0,π)
C.
π 4
,
3π 4
B.
π 4
,
π 2
D.
π 4
,
π 2
∪
π 2
,
3π 4
(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总
有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围
是
.
思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?
第九章
9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
关闭
解析 答案
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的倾斜角
3 ②解 : k ( ， 4] [ ， ） 4
4
3 4
例2：将直线l：2x+3y+1=0绕点P（1，-1）逆时针方 向旋转45，求旋转后的所得的直线l’的方程。
解：设直线 l '的 斜 率 为 k
2 直线l的斜率为 3
2 k 3 tg 45 2 1 k 3
直线的倾斜角
对于一条和x轴相交的直线l，如果x轴绕着交 点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转的最小正 角为，那么叫做直线l的倾斜角。 特别地，对于一条 和x轴平行或重合的直
线l，倾斜角是0。
一、直线l1到直线l2的角
1、直线l1到直线l2的角
直线l1绕着交点M按逆时针方向旋转到和l2重合时所得的 角，叫做l1到l2的角。
一、直线l1到直线l2的角的概念
直线l1绕着交点M按逆时针方向旋转到和l2重合时所得的角， 叫做l1到l2的角。
二、求“直线l1到直线l2的角1”
k 2 k1 . （2）k1 k2 -1，1 90 ，tg 1 1 k 2 k1
（1）k1 k2= -1，1 =90 .
1 2
1 2k2 8 2 k2 11
27 1 k2 或 k 2 （舍去） 14 6
l2
y
l1
2
P
1
o
m
x
x 6 y 13 0 P ( 1， 又由方程组 2) x 2 y 3 0 27 直 线l 2的 方 程 为 y2 ( x 1) 14 即27x 14 y 1 0
1 ( ) k2 km k 2 1 2k2 2 tg 2 1 1 km k 2 2 k2 1 ( ) k2 2
直线的倾斜角的取值范围
直线的倾斜角的取值范围
直线的倾斜角的取值范围是0度到180度。
简而言之，这表明如果两个直线是平行的，那么它们的倾斜角应该是0度；而如果两条直线有一个交叉点，那么它们的倾斜角应该是180度。
许多古老的几何定理都有一个共同的特征：倾斜角是一个关键概念。
例如塞尔维尔定理是一个成熟的定理，这个定理声称：如果一个三角形的角度警为α、β和γ，那么这三角形的内角显然是α+β+γ等于180度。
因此，我们可以看到，直线的倾斜角的取值范围，也十分重要。
归根结底，它是一些几何问题的基础，也是许多科学问题的解决之道。
只有当我们的理解深入到倾斜角的取值范围内时，我们才能更好地研究几何和科学之间的关系。
此外，不仅倾斜角的取值范围被用于几何和科学，而且它也与我们日常生活息息相关。
比如，我们在画图形时，总是利用倾斜角来确定每条直线的斜率，这样我们才能更准确地绘制出精确的图形。
综上所述，直线的倾斜角的取值范围非常重要。
0度到180度的区间表明，倾斜角是定义一条直线的斜率的关键参数，而它的作用既可以在几何定理以及科学模型中起到关键作用，也可以在我们日常生活中生效。
直线的倾斜角
证明二 ∵ AB = (−7 − (−1),−2 − 1) = (−6,−3)
AC = (−3 − (−1),0 − 1) = (−2,−1),
∴ AB = 3AC ,
A, B, C三点共线.
练习 已知P (1,2), P ( x,3), P (−3,−1)在一条直 1 2 3
线上, 求x的值.
解: ∵ P1 , P2 , P3在一条直线上,∴ k P1P2 = k P2 P3
问题：倾斜角相同能确定一条直线吗？ 问题：倾斜角相同能确定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无数互 相平行的直线
yl
2
l1
o
l3
x
问题：过一点且倾斜角为ａ，能不能确定一条直 线？
一点+倾斜角 ⇒ 确定一条直线
（两者缺一不可）
y
α
o
注意： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方向； (3)小于平角的正角。
练习： 练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是 下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
α
o
o
α
A
y
B
α
y
o
α
D
o
C
2、直线倾斜角的范围： 直线倾斜角的范围：
轴平行或重合时， 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 因此， 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： ≤ α < 180 的倾斜角的取值范围为： 0
结论： 结论：倾斜角与斜率的关系 （１）、α=0°时，k=0； ）、α=0° k=0； ）、α为锐角时，k>0； （２）、α为锐角时，k>0； （３）、α为钝角时，k<0； ）、α为钝角时，k<0； ）、α=90° 不存在。 （４）、α=90°时，k不存在。 结论：直线的斜率可取一切实数。 结论：直线的斜率可取一 ) 1
直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系
§3。
1 直线的倾斜角、斜率、两条直线的平行、垂直位置关系注：直线的倾斜角、斜率在线性规划问题中已经讲完，本节课对此复习，本节课的新授内容是两直线的位置关系.A 。
直线的倾斜角 1.直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角。
(ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角. 2.直线倾斜角的范围：[0,)π.3.直线倾斜角与直线的对应关系 是“一对多”关系.即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线;反过来，坐标平面内的任意一条直线,都有唯一的倾斜角。
B 。
直线的斜率 1.直线的斜率定义2.斜率公式条件：直线经l 过两点：111(,)P x y 、222(,)Px y ，其中12x x ≠。
斜率公式：2121y y k x x -=-(或1212y yk x x -=-）. 3。
直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题: （1)由直线倾斜角范围求斜率范围. （2）由直线斜率范围求倾斜角范围. 4.直线斜率的求法： （1）定义法; （2）公式法； （3）直线方程法：①方程11()y y k x x -=-表明,直线斜率为因式1()x x -的系数. ②方程y kx b =+表明，直线斜率为x 项的系数。
③方程1x x =表明，直线斜率不存在。
④方程1y y =表明，直线斜率0k =.⑤当0B ≠时，由方程0Ax By C ++=得到直线斜率为A k B=-。
C 。
两条直线位置关系设1l 、2l 为两条不同直线,并且约定：直线1l 斜率存在时,记为1k ，不存在时，记为“1k 不存在”.同理,直线斜2l 率存在时，记为2k ，不存在时,记为“2k 存在”，则1。
直线1212//l l k k ⇔=或1k 、2k 都不存在.k ⎧=⎨⎩ 不存在，90α≠时. tan ,90,αα︒≠πO1π41-事实上，若12//l l ，则它们的位置关系有以下两种：①1l ，2l 与x 轴都相交但不垂直；②1l ,2l 都垂直于轴。
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1. 分组研讨：1）经过两点 A3,2,Ba,1a0,6
的直线的斜率和倾斜角的变化。
y
2）P63 2；
P(0,1)
M(3,1)
Q(6,1)
O
x
A(3,-2)
2.书面作业：P7677 习题2-1A组1，2，3，4； 3.练习： P63 1，3，4，5；
37
新知识探究（1）
例1.下列哪些说法是正确的（ E ） A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
解：只须找出点 .
y
l3
l1
1，1，1，1，1，2，1，3，1，3
A3
然后分别与原点连成
A1
O
x
直线即可。
A2
Al44 l2
例4. 经过点P（3，2）画直线，且使直线的斜率分
别为：（1）3
4
y
（2） 4 Q5
l1
P
O x
l2
解（1）Q(7,5) ,连接直线PQ即为所求l1. （2）连接P和点（8，-2）的直线即为所求l2.
太阳
行星
§3.1.1 直线的倾斜角和斜率
每秒25次拍摄的跳跃的球所形成的 抛物线轨迹
§2.1直线的倾斜角和斜率 西安高级中学 李秋侠
问题一：
确定一条直线位置的要素是什么呢？
直线滑块演示一.gsp 直线滑块演示二.gsp
11
新知识
一.确定一条直线的位置
方法一：已知直线上的两个点；
方法二：一个点和一个方向；
课后探究（2）答案
例5.已知 Aa,2, B5,1,C4,2a 三点
在同一条直线上，求 a 的值。
解： A, B,C 三点共线，
kAB
kBC
2 1 a5
2a 1a 4 5
2
或a 7 2
33
思考：
三点共线的实质是什么?
斜率相等
2020/8/20
34
五．知识小结：
本节课所学基本知识点有：
1.确定直线的要素：由两点或一 点和方向确定。
21
“坡度” 相当于在水平方向移动一 单位
向前
上升 相反意义的量 下降
22
三、 直线的斜率
方法一：用 x 1截直线所得的
交点（1，k）的纵坐标k ；
方法二：k tan 00 1800, 900
23
四．过两点的直线的斜率计算公式
k
普通高中课程标准实验教科书 （北京师范大学出版社） 数学2（必修）
1
第二章解析几何初步
1.了解解析几何 建立直角坐标系； 用代数的方法研究几何对象
2.解析几何研究的对象
2
开普勒 德国天文学家
《行星运动定律》 创立者
3
开普勒的行星定律
第一定律： 行星沿椭圆轨道绕 太阳运行，太阳位于椭 圆的一个焦点之上。
问题二：
用什么量描述直线的倾斜程度呢？
13
二、直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中,当直线 l
①
与x轴相交时，将x轴正向绕交
②
③
点沿逆时针方向旋转到与 l 重
④
合时所转过的最小的正角.
⑤
用α来表示。 ⑥
⑦
规定： 当直线和x轴平行或重
合时，直线的倾斜角为 0 0
15
问题三：
倾斜角的取值范围是什么？
0°≤＜180°
16
问题四： 任何直线都有倾斜角吗？ 唯一吗？
17
* 任何直线都有倾斜角且唯一
*两条直线平行，则倾斜角相等
*两不重合的直线倾斜角相等， 则两直线平行
18
问题五：
除了倾斜角还有什么能表示 直线的“倾斜程度”？
19
倾斜程度实例一
A
高度 坡度= 宽度
C
B
20
倾斜程度实例二
高度 坡度= 宽度
2.直线的倾斜角和倾斜角的取值 范围；
3.直线的斜率的概念，求斜率的 四种途径；
35
1)用 x 1 截直线所得的纵坐标；
2）用直线上异于原点的一点 Px, y
的坐标比表示 k y x
3） k tan 00 1800, 900 ；
4）公式
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2 )
36
六．作业：
29
强化拓展
例5.已知点 M 2m 3,m, N m 2,1 ，
（1）求直线 MN的斜率：
解：m 5时斜率不存在；
m 5时斜率为
k m 1 m 1 2m 3 m 2 m 5
30
强化拓展
例5.已知点 M 2m 3,m, N m 2,1 ，
（2）当 m ,5 1, 时，直线
y x
y2 x2
y1 x1
x1
x2
24
问题六：
斜率公式的特点是什么？
1.公式中的分子分母的下标应是一致的； 2. P1, P2 是直线上的任意两点；
3.斜率与P1, P2的顺序无关；
4．存x1在。x2 时不能用此公式，此时直线的斜率不
5.当直线与 x 轴平行时，公式依然成立，此
时 y1 y2,k 0；
MN的倾斜角为锐角；
当 m 5 时，直线MN的倾斜角为直角；
当 m 5,1 时，直线MN的倾斜角
为钝角；
31
课后探究（1）
如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,
求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾
斜角是锐角还是钝角。
y
1 kAB 7
B
O
A
x
kBC
1; 2
C
kAC 1
新知应用
例2：求过已知两点的直线斜率
(1)P(2,3),Q(6,5).(2)A(3,5), B(4, 2)
解：（1）直线 PQ 的斜率为：
k 53 2 1 62 4 2
（2）直线AB的斜率为
k
2 5
4 3
7 7
1
27
新知活用
例3.在平面直角坐标系中，画出经过原点且
斜率分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。