直线的斜率与倾斜角
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
一、倾斜角：
重点：取值范围：0≤a＜180°
二、斜率k：
1、当a≠90°时，斜率k=tana；
2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）
3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：
理解：
①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存在；
②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0
三、各表达式之间的区别与联系：
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：
1、k对直线位置的影响：
①当k＞0时，直线向右上方倾斜；
②当k＜0时，直线向右下方倾斜；
③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；
④当k不存在时，此时倾斜角为90°，直线与y轴平行。
2、b对直线位置的影响：
①当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
②当b＜0时，直线与y轴负半轴相交；
③当b=0时，直线过原点。
高中数学-直线斜率与倾斜角
法是正确的（ D, F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
直线的倾斜角
▪ 倾斜角的取值范围是
0。 180。
y
l
x o
▪ 坐标平面上的任何一条直线都有唯一 的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定 一条直线的方向.
▪ 倾斜角直观地表示直线对x轴正方向的 倾斜程度.
日常生活中表示倾斜程度的量？
日 常 生 活 中 ， 我 们 经 常用 “ 升 高 量 与 前 进 量 的比 ” 表 示 倾 斜 面 的 “ 坡 度 ”（ 倾 斜 程 度 ） ， 即
举例
例3 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直
线l2⊥l1，求l1，l2 的斜率.
y
解：
l1的斜率k1
tan
1
tan
30。
3 3
l2
1
l2的倾斜角2 90。 30。 120。 O
l1
2 x
l
的斜
2
率k
2
tan
120。
tan( 180。
60。)
tan 60。 3
举例
例4 求过A（-2，0），B（-5，3）两 点的直线的倾斜角和斜率.
1且0。
。
180
45。
当k
1时 ，tan
1且0。
。
180
135。
所 求 直 线 的 倾 斜 角 为45。或135。
再见
y y
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角：重点：取值范围：0≤a ＜180° 二、斜率k ：1、当a ≠90°时，斜率k=tana ；2、当a=90°时，斜率k 不存在；（联系正切函数的定义域去理解）3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：k=y 2-y 1/x 2-x 1理解：①两点间斜率要求x 1≠x 2，因为当x 1=x 2时，直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率k 不存在；在；②当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴，倾斜角为0°，斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系：名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0（x 0，y 0）和斜率k ； 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；2、 此时是已知一定点P （0，b ）和斜率k ； 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2；2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时，直线垂直于x轴；轴； 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴。
轴。
截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；2、 点P 1（a ，0），P 2（0，b ）分别为直线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标； 一般式一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）不同时为零）1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；理解；2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。
响作用。
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：时，直线向右上方倾斜；①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右下方倾斜；②当k＜0时，直线向右下方倾斜；轴；③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴平行。
必修二第三章直线倾斜角与斜率
y
l
x
直线的倾斜角
y y y y
a
锐角 直角
x x
a
x
零度角
直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动所形成 的角。
α 的范围: [0,180 )
当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角等于 0°；
x
o
o
o
o
钝角
直线的倾斜角
确定直线的要素：
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素 是： （1）直线上的一个定点以及它的倾斜角； （2）直线上的两点；
公式的特点:
(1)成立的条件: x1=x2; (2)公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以 通过直线上任意两点的坐标来表示,而 不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用, K不存在，此时
倾斜角为α =90°，直线与x轴垂直；
(4)同一直线上的任何两点所确定的斜都相 等；
（5)若两条直线关于某条垂直与x轴的直线对
P 2Q y 2 y1 tana1 P1Q x 2 x1 y 2 y1 tana tan 180 - a1) （ x 2 x1
斜率公式：
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式: 1 y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
数；
③倾斜角不同，斜率也不同；
④当α 为钝角时，tanα =-tan
（180°α ）；
直线的斜率
• • • • • 理解： 1、斜率可看成关于倾斜角的函数 k=tanα . 2、直线的斜率可取一切实数. 3、任何直线都有倾斜角,但是不一定有斜率! 所以要注意垂直于x轴和不垂直于x轴两种情况讨 论. • 4、倾斜角侧重于几何直观来刻画直线的方向; • 而斜率侧重于代数表示来刻画直线的方向.
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
倾斜角和斜率关系
倾斜角和斜率关系
图形解析是数学中一个重要的分支，它能帮助我们用几何和代数
来描述函数和方程，也可以求出函数的极值、极点和拐点。
倾斜角和
斜率是图形解析中的重要概念，它们的关系非常渊源。
在几何中，倾斜角是指直线在坐标系中向x轴正方向旋转的角度，它依照顺时针方向的，从0°到360°并且采用弧度制。
而斜率则是指
直线在x轴和y轴上的变化率。
两者之间的关系其实很简单，当处在
一条直线上，倾斜角为α时，直线的斜率就是tanα，反之亦然。
例如，假设我们有一个直线，它的倾斜角等于120°，于是斜率
应该是tan120°，令tan120°=2√3，那么就可知直线的斜率为2√3。
此外，还可以用斜率来求得直线的倾斜角。
例如，假设一条直线
的斜率为2，我们再令2=tanα，那么α就是这条直线的倾斜角，也
就是60°。
从上述例子可以看出，倾斜角和斜率是一对密不可分的概念。
而
处理一般函数曲线的斜率，也是通过求倾斜角来实现的。
所以只要理
解了倾斜角和斜率之间的关系，就能更容易地解决函数曲线的相关问题。
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率课程标准学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式1.能解释直线的倾斜角和斜率的概念,描述两者之间的相互转换关系.2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素,并能根据斜率(倾斜角)的范围判断倾斜角(斜率)的范围.3.能推导得出直线斜率的计算公式,并能灵活运用公式计算直线的斜率知识点一 直线的倾斜角1.定义:当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角.特别地,当 时,我们规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角α的取值范围: .【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线的倾斜角为90°,则这条直线与x 轴垂直. ( ) (2)某条直线的倾斜角可能为-60°,也可能为210°. ( ) (3)任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应.( )2.(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限? (2)当直线不过第一象限时,直线倾斜角的取值范围是什么?知识点二 直线的方向向量1.定义:直线P 1P 2上的向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 以及与它 的非零向量都是直线P 1P 2的 .2.若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是直线P 1P 2上的两点,则直线P 1P 2的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .3.若直线的斜率为k ,则直线的一个方向向量为 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)零向量可以作为直线的方向向量. ( )(2)一条直线的方向向量与x 轴正方向所成的角与直线的倾斜角相等. ( ) (3)直线l 上有两点A (-1,3),B (5,-4),则直线AB 的一个方向向量为(-6,7). ( ) 知识点三 直线的斜率 1.直线斜率的定义一条直线的 叫作这条直线的斜率.直线的斜率常用小写字母k 表示,即 .(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直线垂直于x 轴. (2)倾斜角α与斜率k 的关系:当α=0°时, ;当0°<α<90°时, ;当α=90°时, ;当90°<α<180°时, . 2.斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是 . 对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)k 与P 1,P 2的顺序无关,即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后顺序可以 ,但分子与分母不能交换;(2)当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线与x 轴 ,倾斜角α= ,直线的斜率 ;(3)当y 1=y 2时,直线与x 轴 ,斜率k= ,直线的倾斜角α= ; (4)因为斜率k 可以由直线上两点的坐标求得,所以求直线的倾斜角时,可以先由直线上两点的坐标求斜率,再由斜率求倾斜角. 3.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线,其方向向量为P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 2-x 1)1,y 2-y 1x 2-x 1,因此,当直线的斜率k 存在时,直线的一个方向向量为 ; (2)若直线的一个方向向量为(x ,y )(x ≠0),则直线的斜率k= . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( )(2)已知直线上的两个点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. ( )(3)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.()(4)直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大.()(5)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线不存在斜率.()探究点一直线的倾斜角问题例1 (1)如图2-1-1(1)和(2),直线l1和l2的倾斜角分别是()图2-1-1A.140°,104°B.150°,104°C.150°,106°D.130°,106°(2)若过点P(1,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,求实数a的取值范围.(3)已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是直线l上的三点,求x2,y1的值.变式(1)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与x轴的负方向所成的角为α,则l的倾斜角为()A.αB.180°-αC.90°+αD.90°+α或90°-α(2)直线l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β(β>α),则下列说法正确的是()A .β-α=90°B .α+β=90°C .α+β=180°D .β-α为锐角[素养小结]求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.注意:①当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为0°;②当直线与x 轴垂直时,倾斜角为90°. 拓展 已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是 ,直线l 的倾斜角α的取值范围是 . 探究点二 求直线的斜率问题例2 (1)直线l 过点A (1,2),且不过第四象限,则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A .[0,2] B .[0,1] C .[0,12]D .[-12,0](2)过坐标平面内两点A (a ,b ),B (ma ,mb )(m ≠1,a ≠0)的直线l 的斜率为 .(3)已知直线l 1的方向向量为n=(2,1),直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍,求直线l 2的斜率.变式 (1)过点A (m 2-n 2,m 2+n 2)和点B (2mn-2n 2,2mn )(m ≠n )的直线的斜率是 . (2)已知A (a ,2),B (5,1),C (-4,2a )三点在同一条直线上,则a 的值是 . [素养小结](1)由倾斜角的大小(或取值范围)求斜率的值(或取值范围),利用公式k=tan α(α≠90°). (2)由两点坐标求斜率,利用公式k=y 2-y1x 2-x 1(x 1≠x 2).拓展 若点P (x ,y )在以A (2,4),B (3,2)为端点的线段上,求yx的最大值和最小值.探究点三 直线的方向向量的应用例3 (1)已知经过两点A (2,3),B (4,5)的直线的一个方向向量为(1,k ),则k 的值为 .(2)已知直线l的一个方向向量为(2,4),则直线l的斜率为.(3)若三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)都在直线l上,则实数m的值为.1.已知直线l的斜率的绝对值等于√3,则直线l的倾斜角为()A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°2.过两点A(1,√3),B(4,2√3)的直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°3.已知直线l的倾斜角为α-15°,则下列结论中正确的是()A.0°≤α<180°B.15°<α<180°C.15°≤α<180°D.15°≤α<195°4.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的一个方向向量为(-3,-3),则m等于()A.2B.1C.-1D.-25.过两点A(1,-1),B(-4,2)的直线的斜率为.参考答案【课前预习】知识点一1.向上直线l与x轴平行或重合2.0°≤α<180°诊断分析1.(1)√(2)×(3)√[解析] (2)直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),所以某条直线的倾斜角不可能为-60°,也不可能为210°.2.解:(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.(2)当直线不过第一象限时,直线的倾斜角一定不是锐角,其取值范围是α=0°或90°≤α<180°.知识点二1.平行方向向量2.(x2-x1,y2-y1)3.(1,k)诊断分析(1)×(2)×(3)√[解析] (1)零向量的方向是任意的,不可以作为直线的方向向量.(2)当直线方向向量的方向向下时,方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角互补.(3)根据直线的方向向量的定义知,直线AB的一个方向向量为(-6,7).知识点三1.倾斜角α的正切值k=tan α(2)k=0k>0k不存在k<02.k=y2-y1x2-x1(1)同时交换(2)垂直90°不存在(3)平行或重合00°3.(1)(1,k)(2)yx诊断分析(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[解析] (1)任何一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率.(2)由直线上两点可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1).但是当x 1=x 2时,k=y 2-y 1x 2-x 1无意义,它的斜率不存在.(4)设直线的倾斜角为α,斜率为k.当α=60°时,k=√3; 当α=150°时,k=-√33.则直线的倾斜角越大,斜率不一定越大;直线的斜率越大,它的倾斜角也不一定越大. 【课中探究】探究点一例1 (1)D [解析] 题图(1)中,直线l 1的倾斜角为∠xAB ,易得∠xAB=180°-50°=130°.题图(2)中,设直线l 2的倾斜角为α,则α=90°+∠OCD=90°+(180°-164°)=106°.故选D . (2)解:由题意知直线PQ 的斜率k=tan α=a -12<0,所以a<1,故实数a 的取值范围是a<1.(3)解:∵α=45°,∴直线l 的斜率k=tan 45°=1,又P 1,P 2,P 3都在直线l 上,∴k P 1P 3=k P 2P 3=k ,即1-y 13-2=1-53-x 2=1,解得x 2=7,y 1=0.变式 (1)B (2)A [解析] (1)由图(图略)可知,当α为锐角时,l 的倾斜角为180°-α;当α为钝角时,l 的倾斜角为180°-α;当α为90°时,l 的倾斜角为90°.故选B . (2)由题意,作出图形如图,则β=90°+α,所以β-α=90°.故选A .拓展 k ≤-1或k ≥1 45°≤α≤135° [解析] 如图所示,由题意可知k PA =4-0-3-1=-1,k PB =2-03-1=1.要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥1.由题意可知,直线l 的倾斜角α大于等于直线PB 的倾斜角,小于等于直线PA 的倾斜角,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.探究点二例2 (1)A (2)ba [解析] (1)如图所示,当直线l 在l 1位置时,直线l 的斜率k=tan 0°=0;当直线l 在l 2位置时,直线l 的斜率k=2-01-0=2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2].(2)直线l 的斜率k=mb -bma -a =(m -1)b(m -1)a =ba .(3)解:设直线l 1的倾斜角为α(0°≤α<90°).由直线l 1的方向向量为n=(2,1),得直线l 1的斜率k 1=tan α=12,因此直线l 2的斜率k 2=tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.变式 (1)1 (2)2或72 [解析] (1)因为m ≠n ,所以直线的斜率存在,由直线的斜率公式得k=m 2+n 2-2mn(m 2-n 2)-(2mn -2n 2)=(m -n )2(m -n )2=1.(2)由题意知该直线斜率存在,因为A ,B ,C 三点共线,所以k AB =k BC ,所以1-25-a =2a -1-4-5,解得a=2或a=72. 拓展 解:如图所示,连接OA ,OB ,OP.由于yx的几何意义是直线OP 的斜率,且k OA =2,k OB =23,所以可得yx的最大值为2,最小值为23.探究点三例3 (1)1 (2)2 (3)-6 [解析] (1)依题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与方向向量(1,k )共线,可得2k-2=0,因此k=1.(2)因为直线l 的一个方向向量为(2,4),所以直线l 的斜率k=42=2.(3)依题意得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,m-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7),由这两个向量都是直线l 的方向向量得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此4(m-1)-(-4)×7=0,∴m=-6. 【课堂评价】1.C [解析] ∵直线l 的斜率的绝对值等于√3,∴直线l 的斜率等于±√3,设直线l 的倾斜角为θ,0°≤θ<180°,则tan θ=√3或tan θ=-√3,∴θ=60°或θ=120°.故选C .2.A [解析] 设直线AB 的倾斜角为α,则tan α=2√3-√34-1=√33,又0°≤α<180°,所以α=30°.3.D [解析] 设直线l 的倾斜角为β,则β的取值范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°,则0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.4.A [解析] 由题意知,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-m ,-1),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与方向向量共线,得1-m -3=-1-3,解得m=2. 5.-35[解析] 直线的斜率k=-1-21-(-4)=-35.。
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直线的斜率与倾斜角
直线是几何中最基本的元素之一，我们常常需要研究直线的性质和
特点。
其中，斜率和倾斜角是描述直线斜率的两个重要概念。
在本文中，我们将深入探讨直线的斜率和倾斜角，并讨论它们之间的关系。
一、直线的斜率
直线的斜率可以简单地理解为在直角坐标系中，直线沿着x轴或y
轴方向的增长速率。
斜率通常用字母“m”表示，其定义可以通过直线上
两个点的坐标来确定。
设直线上两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：
m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
这个公式的分子表示y轴的增量，分母表示x轴的增量。
斜率的值
可以正数、负数或零。
当斜率为正数时，表示直线向上倾斜；当斜率
为负数时，表示直线向下倾斜；当斜率为零时，表示直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，说明直线越陡峭；斜率的绝对值越小，说明直
线越平缓。
斜率为正无穷大或负无穷大时，表示直线为垂直于x轴或y
轴的竖直线。
二、直线的倾斜角
直线的倾斜角是直线相对于正x轴的夹角，用字母“θ”表示。
倾斜角的取值范围是0°到90°。
当直线与正x轴的夹角为0°时，表示直线与x
轴平行；当直线与正x轴的夹角为90°时，表示直线与x轴垂直。
为了计算直线的倾斜角，我们可以利用斜率与三角函数之间的关系。
设直线的斜率为m，则直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan(m)
其中，arctan函数是反三角函数中的一种，可以通过计算机或科学
计算器进行计算。
倾斜角的计算结果通常以弧度或角度表示。
三、斜率与倾斜角的关系
斜率和倾斜角之间存在着紧密的联系。
当我们知道直线的斜率时，
可以通过斜率的正负性来判断直线的倾斜方向。
当斜率为正数时，直
线向上倾斜；当斜率为负数时，直线向下倾斜。
同时，斜率的绝对值
可以用来计算直线的倾斜角。
具体地说，当斜率为m时，倾斜角θ可以通过以下公式计算：
θ = arctan(|m|)
这个公式告诉我们，倾斜角的值等于斜率绝对值的反三角函数值。
通过这个公式，我们可以根据已知的斜率求得直线的倾斜角。
总结：
本文介绍了直线的斜率和倾斜角的概念，并探讨了它们之间的关系。
斜率是直线在直角坐标系中的增长速率，而倾斜角是直线与正x轴的
夹角。
斜率可以通过直线上两点坐标的差值计算，而倾斜角可以通过
斜率的反三角函数计算。
斜率和倾斜角是描述直线性质的重要指标，
对于研究直线的性质和特点有着重要的意义。
了解直线的斜率和倾斜角不仅可以帮助我们理解直线的几何特性，还可以应用到更广泛的数学和物理问题中，例如求解直线的方程、计算物体运动的速度和加速度等。
通过深入了解和研究，我们可以更好地掌握直线的性质，并将其应用到实际问题中。