最新人教版高中数学选修4-5《数学归纳法应用举例》课前导引
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标1 •理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2.学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题.数学归纳法课前自主学案1.数学归纳法适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.2.数学归纳法的步骤是: (1)(归纳奠基)验证当〃=必(必为命题成立的起始自然数)时命题成立：(2)(归纳递推)假设当n=k(k^N+,且&$必)时命题成立，推导1时命题也成圭.(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切MM%的自然数都成立.思考感悟在数学归纳法中的必是什么样的数？提示：弘是适合命题的正整数中的最小值，有时是兀0=1或必=2,有时兀0值也比较大，不一定是从1开始取值.课堂互动讲练考点突破用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：用N+时，穆++ '''+(2n-l)(2n + l)=2n + V【证明】⑴当〃 =1时，左边=吉，右边= 左边=右边，.••等式成立.(2)假设n = k(k^l)时，等式成立，即有石+亦------- H1_ k（2k-i）（2k-\-r）=2k-\-r则当n=k-\r\时，丄+丄p -------------- ------- + -------- --------1・3 丁3・5丁^（2k- 1）（2氐+1）（2氐+ 1）（2氐+3）k | 1 氐(2 氐+3)+1 ---- + -------------- ---------------2k+r(2k+l)(2k+3) (2&+l)(2k+3) 2/+3&+1 &+1 (2k+l)(2k+3)=2k+3&+12伙+1)+1；.\n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切MWN+等式都成立.【名师点评】运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系.变式训练1 求证:(n + l)(n + 2)・•(n + n)= 2,te 1*3*5 (In—l)(n EN+).证明：⑴当兀=1时，等式左边=2, 等式右边=2X1=2,・•・等式成立.(2)假设兀=k(k G N+)等式成立,即仇+1)仇+2)…仇+Q=2忍1・3・5・・・・(2&—1)成立.那么n=k+l时，(k + 2)(* + 3)…仇+切(2& +1)(2* + 2) = 2(k +1)仇+ 2)仇+3)…仇+肪(2氐 + 1)=2*+1・1・3・5 (2k —1)-[2(^+1)-1]・即〃=&+1时等式也成立.由⑴⑵可知对任何7/ WN+等式均成立.3平面上有兀个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成~Tf(n)=n2—n+2部分.【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k + l时比n=k时分点增加了多加了几块，本题中第&+1个圆被原来的&弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了个部分，问题就得到了解决.【证明】⑴当兀=1时，一个圆把平面分成两部分，且/⑴=1 —1 + 2 = 2,因此，〃=1时命题成立.(2)假设兀=k(k^l)时，命题成立，即&个圆把平面分成«切=护一&+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前&个圆交于2&个点.这个点把这个圆分成％段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2&部分，即有f(k^l)=f(k)+2k=k2-k+2+2k = (k+^-(lc+1)+2.即当n=k+l时，f(n)=n2—n+2也成立.根据(1)、(2),可知兀个圆把平面分成了弘)=兀+2部分.【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚兀=比与〃=无+1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起AQ与张+1)之间的递推关系.变式训练2平面内有EN+)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线Z/2 —I—Ji—(― 2把平面分成/(〃)=——个部分.证明：(1)当〃=1时，一条直线把平面分成两部分, 而/(1)=乎+；+2=2,・・・命题成立.(2)假设当n=k(k刃时命题成立，即k条直线把平面分成/(Q= 2「个部分• 则当兀=&+1时，即增加一条直线2,因为任何两条直线不平行，所以2与&条直线都相交，有&个交点；又因为任何三条直线不共点，所以母个交点不同于&条直线的交点，且&个交点也互不相同，如此& 个交点把直线2分成& + 1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了& + 1个平面部分.z +a +^+z a +M Z +為+Z+4+Z41+4+ z+r+d I+4+Q)m +4)J ・・考点三報用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明（工+ 1）" + 1 + （工+2）2”-1（〃WN+）能被严+3兀+3整除.【思路点拨】证明多项式的整除问题，关键是在考点三報用数学归纳法证明整除性（工+1）"+1+（工+2）2"—1 中凑出x2+3x+3.【证明】⑴当兀=1时，(x + l)1+1+(x+2)2X1_1=x2+3x+3 能被工2+3工+3 整除，命题成立.(2)假设当兀=尤仇$1)时，a+iy+i+a+2)2—1能被屮+3兀+3整除，那么 (工 + 1)仇+1)+1+(工+2)2 仇+D—1=(工 + l)(x+1)“+1+(x+2)2, (x+2严—1= (x+l)(x + l)fc+1+(x + l)(x+2)2A:_1—(x+l)-(x +2)2ET + (工 + 2)2(" + 2)2RT= (x + l)[(x + lRi + (x+2)^-i] + (^ + 3x + 3)-(x +2严—1.因为（兀+1）*+1+（工+2严-1和0+3兀+3都能被0+ 3卄3整除，所以上面的式子也能被兀2+3兀+3整除. 这就是说，当〃=尤+1时，（兀+ 1）伙+1）+1 + （工+ 2严+1）—1也能被於+ 3工+ 3整除.根据⑴⑵可知，命题对任何MWN+都成立.【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除 的方法很多，关键是凑成〃=尤时假设的形式. 变式训练3 求证：d" +1 + (° +1)2" T 能被/ +a + 1整除(neN +)・ 证明：⑴当兀=1 时，a1+1+(«+l)2X1_1=a 2+a+ 1,命题显然成立. 性问题时，常釆取加项、减项的配凑法，而配凑⑵假设当n=k(k^l)时，a k+i + (a + l)2k~1能被0 +° + 1整除，则当n=k+l时，a k+2+(a+l)2k^~l=a9a k^~l+(a+l)2(a+l)2k~l=a\a k+1 + (a + 1)2A:_1] + (a + l)2(a + l)2Ar_1~a(a +=a [a k+l+(a+1)2^-1]+(a2+a+l)(a + l)2k~l, 由归纳假设，以上两项均能被a^+a + 1整除，故当〃=氐+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对〃GN+命题都成立.误区警示・・+戸+予=1—予(其中底N+).【错证】⑴当n = l时，左边=；，右边=—；=* 等式成立.(2)假设当n=k(kM\)时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和⑵可知，等式对任何n e N+都成立.【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的.错误的原因在第⑵步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k-\-l时式子;+$+§+••• +2-1丁2"丁2"打的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视.【自我校正】(1)当〃=1时，左边=亍右边=1 (2)假设当时，等式成立，就是等式成立.这就是说，当M=k+1时，等式也成立• 根据⑴和⑵可知，等式对任何兀UN+都成立.1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证〃的初始值至关重要，它是递推的基础，但〃的初始值不一定是1,而是兀的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时，应分析卩的与卩仇+1）的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 如仇+1）中分离出卩⑹再进行局部调整.3.在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是：归纳一猜想一证明.。
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
最新人教版高中数学选修4-5《数学归纳法》目标导引
一数学归纳法
一览众山小
诱学·导入
材料：同学们都听说或看见过玩多米诺骨牌的情形吧.
（1）第一张牌能倒下；
（2）任意相邻的两张牌只要前一张能倒下，并且能压倒紧挨的后一张牌，则所有的牌都能倒下.
问题：无穷多块多米诺骨牌倒下的必要条件是什么？
导入：两个必要条件：(1)起始的第一块骨牌倒下；(2)如果任意相邻的两块骨牌中前一块倒下导致后一块倒下.那么我们就可保证在启动第一块骨牌后，所有的骨牌都会倒下.在数学的学习和研究中，我们会遇到很多类似米诺骨牌倒下情形的数学问题，比如证明与自然数有关的某些命题.这就是学习本节内容的目的所在.
温故·知新
1.数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法，在我们所学过的知识中，哪些内容是与自然数紧密相关的呢？
答：我们熟悉的数列问题大多都是与自然数有关的命题，如数列的通项公式a n、前n项和S n都是关于自然数n的函数表达式，还有数列求和问题也是如此.除数列外，比如整除性问题、几何计数问题等也都是与自然数有关的问题.因此它们是我们学习数学归纳法的重要载体.
2.初学数学归纳法除了要熟练掌握两个基本步骤，还要巩固哪些知识和方法呢？
答：在使用数学归纳法的过程中，关键是第二个步骤，证明一种递推关系：即由n=k（k∈N，k≥n0）时命题成立去证明n=k+1时命题成立，在这个过程中我们常常需要使用因式分解、通分、凑项、配方等代数变形方法，所以我们还必须熟练掌握这些变形方法.。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
人教版高中数学选修4-5《4.1 数学归纳法》
所以等式对所有正整数都成立
第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源， 不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！
变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2+4+6+ +2n=n（n+1），n N，
（1）当n=1时，左边=2=右边，等式成立，
如下：
（2）假设当n=k(k 1, k N )时， 2+4+6++2k=k（k+1）成立，
变式1、甲同学猜想2+4+6+ +2n=n2 +n+1，并用数学归纳法证明如下， 请问该同学的结论正确吗？ 证明：假设当n=k, k N 时，2+4+6++2k=k2 +k+1成立
那么当n=k+1时，2+4+6+ +2k+2(k+1) =k k 1 2k 2 (k+1) (k 1) 1，即n=k+1时等式成立
步骤2：归纳假设要用到，解题目标要明确
结论：结论写明莫忘掉
核心： 递推思想
2、思想: 类比思想 递推思想： 命题从第一个值开始从前往后自 动递推，实现有限到无限的飞跃
五、作业布置
教材第50页习题4.1 1-5
谢谢！
数学归纳法
一、课题引入
• 情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色 的粉笔？
不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论 的推理方法（结论不一定正确） 完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的 推理方法（结论一定正确）
• 情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？
4.3《数学归纳法及其应用举例》课件(新人教选修4-5)
选
讲 那么当n＝k＋1时
34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2· 34＋52k+1· 52 ＝81· 34k+2＋25· 52k+1 ＝(25＋56)· 34k+2＋25· 52k+1
＝25· (34k+2＋52k+1)＋56· 34k+2．
题
∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时， 命题成立． 选 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除． 例2：用数学归纳法证明： 讲 x2n－y2n能被x＋y整除．
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修4－5
4.3《数学归纳法 及其应用举例》
教学目标
1．初步理解数学归纳法原理：只有两个步骤正确，才 能下结论：对一切n∈N*，命题正确(强调缺一不可)． 2．会用数学归纳法证明一些简单的命题． 3．理解为证n＝k＋1成立，必须用n＝k成立的假设． 4．会用数学归纳法证明整数(整式)整除问题． 5．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题． 6．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学 归纳法的证明步骤． 7．掌握为证n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、 添项、拆项、合并项、配方等
∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，
例3 平面内有 n(n≥2)条直线，其中 任何
f ( n) 1 n( n 1) 2
题
n
1 2 3
图形
f(n)
f(1)=0 f(2)=1=f(1)+1
选 讲
…
f(3)=3=f(2)+2 f(4)=6=f(3)+3 … f(k) f(k+1)=f(k)+k
人教新课标版数学高二人教A选修4-5试题 4-1-2数学归纳法应用举例
第2课时 数学归纳法应用举例(习题课)一、选择题1．用数学归纳法证明1＋r ＋r 2＋…＋r n ＝1－r n ＋11－r (n ∈N ，r ≠1)，在验证n ＝0时，左端计算所得项为( )． A ．1B ．rC ．1＋rD ．1＋r ＋r 2 答案 A2．n 条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．nB ．n ＋1 C.12n (n －1) D.12n (n ＋1) 答案 A3．设f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )． A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1＋12n ＋2－1n 答案 D4．在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( )． A ．n ＝1成立B ．n ＝2成立C ．n ＝3成立D ．n ＝4成立答案 C5．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1 (n ∈N *)”．第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题正确．此种证法( )．A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1推理过程未使用归纳假设答案 D二、填空题6．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋1)！前n 项和为S n ，则S 1＝________，S 2＝________，S 3＝________，S 4＝________，并由此猜想出S n ＝________.答案 12 56 2324 119120 (n ＋1)！－1(n ＋1)！7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________．答案 2k三、解答题8．已知S n ＝1＋12＋13＋14＋ (1)(n >1，n ∈N *)． 求证：S 2n >1＋n 2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，不等式成立. (2)假设n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋14＋…＋12k >1＋k 2， 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 >1＋k 2＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12. 故当n ＝k ＋1时不等式也成立，综合(1)(2)知，对任意n ∈N *，n ≥2，不等式S 2n >1＋n 2都成立. 9．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成f (n )＝n 2＋n ＋22个部分． 证明 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部分，而f (1)＝12＋1＋22＝2，∴命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22个部分．则当n ＝k ＋1时，即增加一条直线l ，因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交，有k 个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l 分成k ＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k ＋1个平面部分．∵f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1 ＝k 2＋k ＋2＋2k ＋22＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22， ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n ∈N *时，命题成立．10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，且存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. (1)证明：f (x )是R 上的单调增函数；(2)设x 1＝0，x n ＋1＝f (x n )，y 1＝12，y n ＋1＝f (y n )，其中n ＝1,2，….证明：x n <x n ＋1<x 0<y n ＋1<y n ； (3)证明：y n ＋1－x n ＋1y n －x n <12. 证明 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x ＋12＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋16>0， ∴f (x )是R 上的单调增函数．(2)∵0<x 0<12，即x 1<x 0<y 1. 又f (x )是增函数，∴f (x 1)<f (x 0)<f (y 1)，即x 2<x 0<y 2.又x 2＝f (x 1)＝f (0)＝14>0＝x 1， y 2＝f (y 1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝38<12＝y 1.综上，x 1<x 2<x 0<y 2<y 1.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，上面已证明成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，有x k <x k ＋1<x 0<y k ＋1<y k .当n ＝k ＋1时，由f (x )是单调增函数，有f (x k )<f (x k ＋1)<f (x 0)<f (y k ＋1)<f (y k )．∴x k ＋1<x k ＋2<x 0<y k ＋2<y k ＋1.由①和②对一切n ＝1,2，…，都有x n <x n ＋1<x 0<y n ＋1<y n .(3)y n ＋1－x n ＋1y n －x n ＝f (y n )－f (x n)y n －x n ＝y 2n ＋x n y n ＋x 2n －(y n ＋x n )＋12≤(y n ＋x n )2－(y n ＋x n )＋12＝⎣⎡⎦⎤(y n ＋x n )－122＋14.由(2)知0<y n ＋x n <1， ∴－12<y n ＋x n －12<12.∴y n ＋1－x n ＋1y n －x n <⎝⎛⎭⎫122＋14＝12.。
新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法教案
数学归纳法一、教学目标：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，会用归纳、猜想、证明这种探索思想解决一些数学问题．二、教学重点：数学归纳法及其原理的理解，归纳、猜想、证明这一探索思想的应用．三、教学过程：（一）主要知识：数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1．归纳法及其分类2．数学归纳法及其原理3．数学归纳法的基本步骤4．归纳、猜想、证明的探索思想（二）知识点详析1．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
2．数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
3．数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.4．数学归纳法的应用：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、整除性问题、几何中计算问题，数列的通项与和等等。
人教版高中选修4-5一数学归纳法课程设计
人教版高中选修4-5一数学归纳法课程设计一、教学目标本课程设计旨在帮助学生掌握数学归纳法的基本原理和应用方法，能够熟练运用数学归纳法证明数学命题，培养学生的逻辑思维和数学思维能力，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
具体教学目标包括：1.理解数学归纳法的基本思想和证明步骤；2.掌握数学归纳法的常见应用方法；3.运用数学归纳法证明一些简单的数学命题；4.能够分析和解决采用数学归纳法证明的复杂问题。
二、教学重点与难点本课程设计的教学重点是数学归纳法的基本思想和证明步骤，以及数学归纳法常见的应用方法。
其中，数学归纳法的基本思想和证明步骤是本课程设计的核心内容，需要学生掌握。
同时，数学归纳法的常见应用方法也是本课程设计的重点之一，需要学生进行深入理解和练习。
本课程设计的教学难点在于，数学归纳法的证明过程需要学生严密的逻辑思考和推理能力。
同时，数学归纳法常常应用于解决具有某种规律性质的问题，这要求学生能够对问题进行归纳和分析，进而运用数学归纳法进行证明。
三、教学方式与方法本课程设计采用“激发兴趣、理论与实践相结合”的教学方式和“示例讲解、互动探究、综合练习”等教学方法。
具体包括以下几个方面：1.利用生动的例子和实际问题激发学生对数学归纳法的兴趣和热情；2.通过示例讲解和课堂互动，引导学生理解数学归纳法的基本思想和证明步骤，并培养学生的逻辑思维和数学思维能力；3.引导学生分析和解决具有某种规律性质的问题，运用数学归纳法进行证明；4.进行综合练习和评价，加强学生的应用能力和评估效果。
四、教学内容本课程设计的教学内容按照如下顺序进行：1. 数学归纳法的基本思想和证明步骤1.数学归纳法的概念和定义；2.数学归纳法的证明步骤；3.一些常见的数学归纳法定理。
2. 数学归纳法的具体应用1.初等数学命题的证明；2.实数的数学归纳法；3.递归数列的数学归纳法；4.二项式定理和斐波那契数列的应用。
3. 数学归纳法思维能力的培养1.课堂案例分析和讨论，引导学生理解数学归纳法的应用场景；2.编制具有某种规律性质的问题，引导学生归纳和分析问题，并通过数学归纳法进行证明；3.综合练习和评价，加强学生应用能力和评估效果。
4.1《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)
数学归纳法教课目的1．认识归纳法的意义，培育学生察看、归纳、发现的能力．2．认识数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思想和归纳能力进一步获取提升．教课要点与难点要点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的剖析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教课过程设计（一）引入师：从今日开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应当从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下边几个问题，并由此思虑什么是归纳法，归纳法有什么特色．问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，仍是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片预先准备好）生：把它倒出来看一看就能够了．师：方法是正确的，但操作上缺少次序性．次序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，，第十二个白球，由此获取：这一袋球都是白球．a2，a3，a4。
的值，再推断通项a n的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能谈谈什么是归纳法，归纳法有什么特色吗？生：归纳法是由一些特别案例推出一般结论的推理方法．特色是由特别→一般（板书）．师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．比如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确立等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，此后的学习还会看到归纳法的运用．在生活和生产本质中，归纳法也有宽泛应用．比如气象工作者、水文工作者依照累积的历史资料作气象展望，水文预告，用的就是归纳法．还应当指出，问题 1 和问题 2 运用的归纳法仍是有区其他．问题1中，一共12个球，全看了，由此而获取了却论．这种把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完整归纳法．关于问题 2，因为自然数有无数个，用完整归纳法去推出结论就不可以能，它是由前 4 项表现的规律，进行推断，得出结论的，这种归纳法称为不完整归纳法．（三）归纳法的认识（板书）归纳法分完整归纳法和不完整归纳法（板书）．师：用不完整归纳法既然要推断，推断是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题 3．问题 3：关于随意自然数 n，比较 7n-3与 6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）（给学生必定的计算、思虑时间）生：经过计算，我的结论是：对随意n∈N+，7n-3 ＜6（7n+9）．师：你计算了几个数获取的结论？生：4个．师：你算了 n=1，n=2，n=3， n=4 这 4 个数，而获取的结论，是吧？生：对．师：有没有不一样建议？生：我验了 n=8，这时有 7n-3＞6（7n+9），而不是 7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧！师：那你的结论是什么呢？（动员大家思虑，纠正）生：我的结论是：当 n=1，2， 3， 4， 5 时， 7n-3＜6（7n+9）；当 n=6，7， 8，时， 7n-3＞6（7n+9）．师：由以上的研究过程，我们应当总结什么经验呢？第一要认真地据有正确的资料，不可以随意算几个数，就作推断．请把你们计算结果填入下表内：师：依照数据作推断，决不是乱猜．要注意对数据作出慎重地剖析．由上表可看到，当 n 依 1， 2， 3， 4，改动时，相应的7n-3的值此后一个是前一个的7倍的速度在增添，而 6（7n+9）相应值的增添速度还不到 2 倍．完整有原由确认，师：对问题 3 推断有误的同学完整不用过于自责，接受教训就能够了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过错误．资料 1（预先准备好，由学生阅读）费马（Fermat）是17 世纪法国有名的数学家，他是分析几何的发明者之一，是对微积分的创办作出贡献最多的人之一，是概率论的首创者之一，他对数论也有很多贡献．可是，费马曾以为，当 n∈N 时， 22n+1 必定都是质数，这是他对 n=0，1，2，3，4 作了考证后获取的．18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然 225 +1=4 294 967 297=6 700师：有的同学说，费马为何不再多算一个数呢？今日我们是没法回答的．可是要告诉同学们，失误的要点不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：资料 2f（n）=n2+n+41，当 n∈ N时， f （n）能否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47， f （ 3） =53， f （ 4） =61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97， f （ 8） =113，f （9）=131，f （10） =151， f （ 39）=1 601 ．可是 f （40）=1 681=412是合数师：算了 39 个数不算少了吧，但还不可以！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还犯错，我们有错就能够谅解，也不是说归纳法不可以，不去学了，而是要找出运用归纳法犯错的原由，并研究出对策来．师：归纳法为何会犯错呢？生：完整归纳法不会犯错．师：对！但运用不完整归纳法是不可以防止的，它为何会犯错呢？生：因为用不完整归纳法时，一般结论的得出带有猜想的成份．师：完整赞同．那么怎么办呢？生：应当予以证明．师：大家赞同吧？关于生活、生产中的本质问题，得出的结论的正确性，应接受实践的查验，因为实践是查验真谛的独一标准．关于数学识题，应追求数学证明．（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请联合以上问题 1 思虑．生：问题 1 共 12 个球，都看了，它的正确性不用证了然．师：也能够换个角度看， 12 个球，一一验看了，这一一验看就能够看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它表现了分类议论的思想．师：假如这里不是 12 个球，而是无数个球，我们用不完整归纳法获取，这袋球全部是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这种问题的证明确不是一个简单的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．联合问题 1 来说，他第一确立第一次取出来的是白球．而后再结构一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次取出来的是白球” ，结论是“下一次取出来的也是白球”．这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的究竟能否是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．大家看，能否证了然上述两条，就使问题获取解决了呢？生：是．第一次取出的是白球已确认，频频运用上述结构的命题，可得第二次、第三次、第四次、取出的都是白球．师：对．它使一个本来没法作出一一考证的命题，用一个推一个的递推思想获取了证明．生活上，表现这种递推思想的例子也是许多的，你能举出例子来吗？生：一排排放很近的自行车，只需碰倒一辆，就会倒下一排．生：再比如多米诺骨牌游戏．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要获得成功，一定靠两条：（1）骨牌的摆列，保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完整归纳法推断所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题 2 推断而得的命题，应当证明什么呢？生：先证 n=1 时，公式建立（第一步）；再证明：若对某个自然数（ n=k）公式建立，则对下一个自然数（ n=k+1）公式也建立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．（应追问各步计算推理的依照）师：再证明第二步．先明确要证明什么？师：于是由上述两步，命题获取了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求．师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤．生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1 时，命题建立；（2）设 n=k 时命题建立，则当n=k+1 时，命题也建立．师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题建立．比如，关于问题3 推断得的命题：当n=6，7，8，时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n=6 时，不等式建立．（如有时间还可议论此不等关系证明的第二步，若无时间可部署学生课下思考）（六）小结师：把本节课内容归纳一下：（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．（2）归纳法是一种由特别到一般的推理方法．分完整归纳法和不完整归纳法二种．（3）因为不完整归纳法中推断所得结论可能不正确，因此一定作出证明，证明可用数学归纳法进行．（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤一定是二步．数学归纳法在数学中有宽泛的应用，将从下节课开始学习．（七）课外作业（1）阅读课本 P112～ P115 的内容．（2）书面作业 P115 练习： 1， 3．讲堂教课方案说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 相关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教课要点应当是方法的应用．可是我们以为不可以把教课过程看作方法的灌注，技术的演练．对方法作简单的灌注，学生必然疑虑重重．为何一定是二步呢？于是教师频频举例，说明二步缺一不可以．你怎么知道n=k 时命题建立呢？教师又不得不作出解说，可学生仍未完整接受．学完了数学归纳法的学生又常常有应当用时但想不起来的问题，等等．为此，我们假想增强数学归纳法产生过程的教课，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的剖析、认识中间，把数学归纳法的产生与不完整归纳法的完美联合起来．这样不单使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下优秀的基础，并且能够增强归纳思想的教课，这不单是对中学数学中以演绎思想为主的教课的重要增补，也是指引学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完整归纳法的认识，再到不完整归纳法靠谱性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要地点，必然对理解数学归纳法的本质带来指导意义，也是在教课过程中努力发掘、浸透隐含于教课内容中的数学思想的一种试试．2．在教课方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同议论、探究的方法．目的是在于增强学生对教课过程的参加程度．为了使这种参加有必定的智能度，教师应做好发动、组织、指引和点拨．学生的思想参加常常是从问题开始的，赶快提出适合的问题，并提出思想要求，让学生赶快投入到思想活动中来，是十分重要的．这就要讨教师把每节课的课题作出有条有理的分解，并选择适合的问题，把课题的研究内容落于问题中，在渐渐睁开中，指引学生用已学的知识、方法予以解决，并获取新的发展．本节课的教课方案也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意此中第二步，证明 n=k+1 命题建即刻一定用到 n=k 时命题建立这个条件．即 n=k+1 时等式也建立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1 时命题究竟建立不建立，而是 n=k 时命题建立作为条件可否保证 n=k+1 时命题建立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系能否建立．证明的主要部分应改为以上理解不单是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指了然正确的思想方向．。
人教版高中数学目录(详细)
§1数列的概念和表示
必 修
第二 章
数列
§2等差数列 §3等差数列前n项和
§4等比数列
12
五
§5等比数列前n项和
§1不等关系与不等式
§2一元二次不等式
第三 章
不等式
及其解法 §3一元二次不等式 （组）与简单线性规
划
一元二次不等式（组）与平面区域 简单的线性规划问题
16
§4基本不等式
命题
§1命题及其关系
向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义
第二 章
平面向量
12
必
修
§2平面向量的线性运
四
算
向量数乘运算及其几何意义
第二 章
平面向量
§3平面向量的基本定 理
及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
12
平面向量共线坐标表示
§4平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及意义 平面向量数量积的坐标表示、模、夹
§3离散型随机变量
离散型随机变量的均值
的均值与方差
离散型随机变量的方差
§4正态分布 §1回归分析的基本思
第三 章
统计案例
想 §2独及立其性初检步验应的用基本
思想及其初步应用
§1合情推理与演绎推
合情推理
第二 章
理
推理与证明 §2直接证明与间接证 明
演绎推理 综合法与分析法
反证法
§3数学归纳法
§1数系的扩充和
数系的扩充和复数的概念
第三 章
数系的扩充 与复数的引入
复数的概念
§2复数代数形式的 四则运算
复数的几何意义 复数代数形式的加减运算及其几何意
新人教选修4-5教案 数学归纳法
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用：① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除.分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k=x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ).③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.2. 练习：① 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++L . 2. 求证：*11111,23421n n n N +++++≤∈-L .二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：比较2n 与2n 的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n = → 猜想结论 → 用数学归纳法证明→ 要点：222222(1)2123k k k k k k k k k k +=++<++<+<+<…. 小结：试值→猜想→证明② 练习：已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且11()2n n nS a a =+，归纳出a n 的公式并证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3,4， → 猜想a n → 数学归纳法证明③ 出示例2：证明不等式|sin ||sin |()n n n N θθ*≤∈.要点：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k k k k k θθθθθθθθθ+=+≤+ |sin ||sin ||sin ||sin |(1)|sin |k k k θθθθθ≤+≤+=+④ 出示例3：证明贝努利不等式. (1)1(1,0,,1)n x nx x x n N n +>+>-≠∈>2. 练习：试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有a n +c n ＞2b n .解答要点：当a 、b 、c 为等比数列时，设a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1). ∴ a n +c n =…. 当a 、b 、c 为等差数列时，有2b =a +c ，则需证2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *). …. 当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a ) =41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 . 3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： 111tan(2)(1)(1)....(1)cos2cos4cos2tan n n θθθθθ+++=. 2. 已知1111,2,12122n N n n n n∈≥<+++<++L 证明：. 3. 作业：教材P 54 3、5、8题.。
人教版数学高二A版选修4-5课后导练4.1数学归纳法
课后导练 基础达标 1设f(n)=n n n n 21312111+++++++ (n ∈N *），那么f(n+1)-f(n)等于( ) A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n -221+n 解析:f(n+1)-f(n)=)212111(221121213121nn n n n n n n +++++-+++++++++ 22112111221121+-+=+-+++=n n n n n 答案:D2若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为( )A.↓→B.→↓C.↑→D.→↑解析:2 002=4×500+2,而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左,上顶点的数.答案:D3凸n 边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:由n 边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线.答案:C4用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n ·1·3·…·(2n -1)”,从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.112++k kD.132++k k 解析:当n=1时,显然成立.当n=k 时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)·1)22)(12(+++k k k =(k +1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1). 答案:B5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中有__________个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n 个图形中除中心外有n 条边,每边n-1个点,故第n 个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n 2-n+1综合运用6如果命题P(n)对n=k 成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )A.P(n)对n ∈N *成立B.P(n)对n>4且n ∈N *成立C.P(n)对n<4且n ∈N *成立D.P(n)对n≤4且n ∈N *不成立解析:由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P(n)对n=2,n=1也不成立. 答案:D7用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n ∈N *,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )A.2k-1B.2k -1C.2kD.2k +1解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为121-n ;由n=k,末项为121-k 到n=k+1,末项为1211-+k =k k 2121+-,∴应增加的项数为2k . 答案:C8观察下表:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……设第n 行的各数之和为S n ,则2lim n S n n ∞→=__________. 解析:第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳:第n 项的各数之和S n =(2n-1)2,22)12(lim lim nn n S n n n -=∞→∞→=4. 答案:49已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lga n-1(n≥2,n ∈N )且f(1)=-lga,是否存在实数α,β使f(n)=(αn 2+βn -1)lga 对任何n ∈N *都成立,证明你的结论.解析:∵f(n)=f(n-1)+lga n-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=-lga,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+=+.21,21,142,0βααββα∴f(n)=(21n 2-21n-1)lga. 证明如下:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k 时成立,即f(k)=(21k 2-21k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lga k =f(k)+klga =(21k 2-21k-1+k)lga=［21(k+1)2-21(k+1)-1］lga. ∴当n=k+1时,等式成立.综合(1)(2),可知存在实数α,β且α=21,β=-21,使f(n)=(αn 2+βn -1)lga 对任意n ∈N *都成立. 拓展探究10是否存在常数a,b,c 使等式1·(n 2-12)+2(n 2-22)+…+n(n 2-n 2)=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论.思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c 的值,然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *,a,b,c 所确定的等式都成立.解:分别用n=1,2,3代入解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0,41,411898134160c b a c b a c b a c b a 下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,由上可知等式成立;(2)假设当n=k 时,等式成立,则当n=k+1时,左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k ［(k+1)2-k 2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k 2-12)+2(k 2-22)+…+k(k 2-k 2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=41k 4+(-41)k 2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=41(k+1)4-41(k+1)2. ∴当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)得等式对一切的n ∈N *均成立.备选习题11如图,第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有______个顶点.解析:观察规律,第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2);第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4;第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5;…第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n 2+n 个顶点.答案:n 2+n12下面四个判断中,正确的是( )A.式子1+k+k 2+…+k n (n ∈N ),当n=1时恒为1B.式子1+k+k 2+…+k n-1(n ∈N ),当n=1时恒为1+kC.式子11+21+31+…+121+n (n ∈N ),当n=1时恒为1+21+31 D.设f(x)=1312111+++++n n n (n ∈N ),则f(k+1)=f(k)+431331231-++++k k k 答案:C13若n ∈N ,求证:x n+1+(x+1)2n-1能被x 2+x+1整除.证明:(1)当n=1时,命题显然成立.(2)设当n=k 时,x k+1+(x+1)2k-1能被x 2+x+1整除.法1:(添项)当n=k+1时,x k+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+x k+2+(x+1)2x k+1-(x+1)2x k+1=(x+1)2［(x+1)2k-1+x k+1］-(x 2+x+1)x k+1,而上面各项都能被x 2+x+1整除,即n=k+1时成立.法2:(拆项)当n=k+1时x k+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k-1+x k+2=(x 2+x+1)(x+1)2k-1+x ［(x+1)2k-1+x k+1］,以上各项都能被x 2+x+1整除,即n=k+1时成立.由(1)(2)命题得证.14用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”时,第二步应是( )A.假设n=k(k ∈N )时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1(k ∈N )时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C.假设k=2k-1(k ∈N )时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D.假设n=k(k≥1,k ∈N )时命题成立,推得n=k+2时命题成立答案:C15用数学归纳法证明“当n 是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除”的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为( )A.34k+2×81+52k+1×25B.34k+1×243+52k ×125C.25(34k+2+52k+1)+56×34k+2D.34k+4×9+52k+2×5答案:C16用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是( )A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4答案:C17用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112(n ∈N ，a≠1)中,在验证n=1成立时,左边应为( )A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案:C18求证:1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.证明:记f(n)=1+2+22+23+…+25n-1,用数学归纳法.当n=1时,命题显然成立.根据归纳假设,当n=k时,命题成立,即f(k)=1+2+22+23+…+25k-1能被31整除.①要证明n=k+1时,命题也成立,即f(k+1)=1+2+22+23+…+25k-1+25k+…+25(k+1)-1能被31整除.②要用①来证明②,事实上,f(k+1)=f(k)+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,即要证f(k+1)=f(k)+31×25k能被31整除.③接下来,只需证31×25k能被31 整除,这是显然的事实,这就证明了③.综上,可知1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.。
人教版高中数学选修4-5《数学归纳法》
书本直接给出了 下面两个结论： 1 n(n 1)(2n 1) (n N *). 6 1 13 23 33 L n3 n 2 (n 1) 2 ( n N *). 4 12 22 32 L n 2
如何证明这些与正整数n有关的数学命题？
意大利数学家、物理学家：莫罗利科 1494-1575
情境导入：
问题1:口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。 a 问题 2：对于数列 an , 若a1 1, an 1 n . 1 an 从一类对象中的部分对 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 （2）你的猜想一定是正确的吗？ 种性质的归纳推理方法 1 1 1 a a4 = 3 解: a1 1 a2 4
数列an , 若a1 1, an1 an . 1 an
如何证明猜想： an
1 是正确的？ n
（1）第1块骨牌倒下。
(1)当n=1时,验证猜想正确。
（k 1，k Z） (2) 假设 n=k （ k 1 ， k Z ） （2）如果第k块
倒下时,一定能导致第k+1块 也倒下。
瑞士数学家： 欧拉1707-1783
2n
......
2 1 4294967297 6700417 641
25
否定了 费马猜 想！！!
情境导入：
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。 an , 若a1 1, an1 an . 问题1：对于数列 1 an 从一类对象中的部分对 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 （2）你的猜想一定是正确的吗？ 种性质的归纳推理方法 1 1 1 a a4 = 3 解: a1 1 a2 4 完全归纳法
数学人教B版选修4-5学案：课前导引 3.1.2 数学归纳法
3.1.2数学归纳法应用举例课前导引问题导入用数学归纳法证明x2n-1+y2n-1能被x+y整除.思路分析：(1)当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y能被x+y整除.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除,那么x2(k+1)-1+y2(k+1)-1=x2k+1+y2k+1=x2(x2k-1+y2k-1)-x2y2k-1+y2k+1=x2(x2k-1+y2k-1)-(x2-y2)y2k-1.因为x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以(x2-y2)y2k-1能被x+y整除,由假设知x2k-1+y2k-1能被x+y 整除,所以x2(x2k-1+y2k-1)能被x+y整除,所以x2(k+1)-1+y2(k+1)-1能被x+y整除,即n=k+1时,x2n-1+y2n-1也能被x+y整除,由(1)(2)知,对n∈N*,x2n-1+y2n-1能被x+y整除.知识预览证明与正整数有关的命题,可根据具体情况运用数学归纳法.(1)证明一个代数恒等式时,要先分析清楚_________,解这类题的关键在于将式子转化为与_________的等式结构相同的形式.(2)证明整除性的问题时,会经常涉及到数(或式)的_________知识.(3)证明几何问题时,会经常用到一些_________的性质.(4)证明三角恒等式(或不等式)时,常常应用_________进行化简.(5)证明不等式时,关键仍在第二步;当n=k时命题成立,证明当_________时命题也成立,同证明恒等式比较,证明不等式的难度大,所以往往证明不等式的方法有比较综合法,分析综合法,放缩法等.答案：(1)等式两边的构成情况归纳假设(2)整除性(3)几何图形(4)三角公式(5)n=k+1。
人教版B版高中数学选修4-5：数学归纳法应用举例_课件2
∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除。 由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除。
典例分析
知识点3 用数学归纳法证明几何问题
【例3】 平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三 圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2
个部分。
证明如下： 用数学归纳法。
(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能
被36整除。
变式迁移
(2)假设n＝k (k≥1)时，f(k)能被36整除， 即(2k＋7)·3k＋9能被36整除。 则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)． 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
数学归纳法应用举例
典例分析
知识点1 用数学归纳法证明整除性问题
【例1】 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时， an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)
能被3整除。
证明:(1)当m＝1时， a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1) ＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除。
典例分析
>2254＋3k＋1 2＋3k＋1 4－3k＋2 1. ∵3k＋1 2＋3k＋1 4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k＋2 1， ∴3k＋1 2＋3k＋1 4－3k＋2 1>0. ∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254. 即 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*，都有 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.故 a 的最大值为 25.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.2数学归纳法应用举例
课前导引
问题导入
用数学归纳法证明x2n-1+y2n-1能被x+y整除.
思路分析：(1)当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y能被x+y整除.
(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除,那么x2(k+1)-1+y2(k+1)-1=x2k+1+y2k+1=
x2(x2k-1+y2k-1)-x2y2k-1+y2k+1=x2(x2k-1+y2k-1)-(x2-y2)y2k-1.
因为x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以(x2-y2)y2k-1能被x+y整除,由假设知x2k-1+y2k-1能被x+y 整除,所以x2(x2k-1+y2k-1)能被x+y整除,所以x2(k+1)-1+y2(k+1)-1能被x+y整除,即n=k+1时,x2n-1+y2n-1也能被x+y整除,由(1)(2)知,对n∈N*,x2n-1+y2n-1能被x+y整除.
知识预览
证明与正整数有关的命题,可根据具体情况运用数学归纳法.
(1)证明一个代数恒等式时,要先分析清楚_________,解这类题的关键在于将式子转化为与_________的等式结构相同的形式.
(2)证明整除性的问题时,会经常涉及到数(或式)的_________知识.
(3)证明几何问题时,会经常用到一些_________的性质.
(4)证明三角恒等式(或不等式)时,常常应用_________进行化简.
(5)证明不等式时,关键仍在第二步;当n=k时命题成立,证明当_________时命题也成立,同证明恒等式比较,证明不等式的难度大,所以往往证明不等式的方法有比较综合法,分析综合法,放缩法等.
答案：(1)等式两边的构成情况归纳假设
(2)整除性
(3)几何图形
(4)三角公式
(5)n=k+1。