上海市高三数学第一轮复习集合与命题集合的概念
高考数学一轮复习课件11集合的概念与运算
>0,得
x>1 或 x<0.
集合 A 中的元素不属于集合 B 的有 0,1,故选 A.
3
(2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=- .当 m=1
2
时,m+2=3,且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
3
1
3
当 m=-2时,m+2=2,而 2m2+m=3,故 m=-2.
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
3.(2019北京海淀一模,1)已知集合P={x|0<x<4},且M⊆P,则M可以
是( A )
A.{1,2}
B.{2,4}
C.{-1,2}
当x=0时,y=-1,0,1;
当x=1时,y=-1,0,1;所以共有9个,选A.
(2)由题意,得A={-2,-1,0,1,2,3,4},对于集合B,因为x∈Z,2x∈A,所
以B={0,1,2},故选D.
-9-
考点1
考点2
考点3
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
中至少有一个元素不在集合 A 中,则 (或B⫌A)
集合 A 是集合 B 的真子集
若集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B
互为子集,则集合 A 等于集合 B
A=B
-3-
知识梳理
考点自诊
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
高三数学 第一轮复习 01：集合与命题
高中数学第一轮复习01集合与命题·知识梳理·模块01：集合的概念和性质1、集合概念能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
集合常用大写字母、、、C B A …来表示，集合中的元素用、、、c b a …表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。
全体自然数组成的集合，即自然数集，记作：N ；不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作：∅。
2、集合的表示法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法。
模块02：集合之间的关系与运算1、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以B A ⊆不要忘记Φ=A 。
上海高一数学第一章集合与命题复习
word第一章集合与命题一．集合：1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。
2． ∈⊆，的比较：元素与集合间关系用,∈∉；集合与集合间关系用⊆⊇，类； 3． 交集，并集，补集的比较4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A② ()AB C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B =④AA A =A A A =A ∅=∅A A ∅=6．有限集的元素个数有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式：（1）设有限集合A, card(A)=n,则(ⅰ)A 的子集个数为n2；(ⅱ)A 的真子集个数为12-n；(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n.（2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ，m<n,则(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为mn -2；word(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ；⑶容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．二．四种命题形式及关系1． 概念：2.命题，真（假）命题 逆命题，否命题，逆否命题 等价命题2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：３．常用词语的否定：三．充要条件1．若α⇒β，则称α是β的充分条件，也即β是α的必要条件； 若α⇔β，则称α是β的充要条件；原命题 若p 则q 否命题若p 则q逆命题 若q 则p逆否命题若q 则p互逆 为 ? ? 互 否 逆 ? 互 逆 为 互 否互 逆 否互 否在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： ①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件2．子集与推出关系 ： 设A,B 是非空集合，A={}|x x α具有性质,B={}|y y β具有性质,则A ⊆B 与α⇒β等价。
1.1集合(1)
第一章 集合与命题集合（一）一 知识梳理1.集合的有关概念：集合，元素，从属关系，常用集合的表示，集合的分类2.集合的表示方法：（1）列举法（2）描述法（3）图示法3.集合之间的关系：（1）包含关系（2）相等关系4.集合的运算（1）集合A 和B 的交集（2）集合A 和B 的并集（3）集合A 的补集：设U 为全集，A 为U 的子集，则A 的补集为A C U5.集合的运算性质二 基础训练1.下列关系式：①};0{⊂φ②;0φ∈③};{a a ∈④};,{},{a b b a ≠⑤.0φ∉正确的是2.设集合},1,5,{},4,3,5{+==a a B A 若A=B ，则实数=a3.用列举法表示集合M==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+Z m Z m x ,16| 4.集合A={}5,4,3,2,1的真子集个数为5.若集合},4,3,2,1{},4,3{},,3,1{===B A B m A 则=m6.若集合,},|{},1|{R B A a x x B x x A =>=≤= 且则实数a 的取值范围是7.若全集},21|{},1|{,<≤-=≥==x x B x x A R I 则=)(B A C I8.若},7,6,5,4,3,2,1{=U 其子集A,B 满足},5,4{},2,1{},3{===A C B B C A B A U U 则=)(B A C U三 例题分析例题1 将下列集合用列举法表示（1）集合{};,2||,1|2Z x x x y y A ∈≤-==（2）集合{}Z x x x y y x B ∈≤-==,2||,1|),(2例题 2 若三个实数的集合，既可以表示为},1,,{ab a 也可以表示为},0,,{2b a a +求)arcsin(b a -的值。
例题 3 已知全集,R U =集合},1log |{},1212|{2≥=<+-=x x B x x x A 求B A B A ,和B C A U例题4 已知集合},023|{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
高考数学一轮复习 第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系课件 理
4.(2016 年新课标Ⅲ)设集合 A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
则∁A B＝( C ) A.{4,8} C.{0,2,6,10}
B.{0,2,6} D.{0,2,4,6,8,10}
12/11/2021
考点1 集合的含义及表示
考向 1 对描述法表示集合的元素属性的解读
例 1：(1)(2015年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈
则∁U A＝( ) A.∅
B.{1,3}
C.{2,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
解析：全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝{2,4,5}.
答案：C
12/11/2021
(2)(2018年天津)设全集为 R ，集合 A ＝{x|0<x<2} ，B＝
{x|x≥1}，则 A∩(∁RB)＝( A.{x|0<x≤1}
12/11/2021
2.集合间的基本关系
关系
文字语言
集合A与集
集合 间的
相等
合B中的所 有元素都相 同
基本 关系
A中任意一
子集 个元素均为
B中的元素
符号 语言 A＝B
A⊆B
图形语言
性质
—
含n个元素
或
的集合有2n
个子集
12/11/2021
(续表)
关系
文字语言
符号 语言
图形语言
性质
集 合 间 的 基 本 关 系
第一章 集合与逻辑用语
第1讲 集合的含义与基本关系
12/11/2021
1.集合的含义与表示. (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系. (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集. (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高考数学一轮复习知识点大全-集合与常用逻辑用语
第一部分 集合与常用逻辑用语1、集合的含义与表示（1）集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．不含任何元素的集合叫空集．元素a 属于集合A 记作a A ∈，元素a 不属于集合A 记作a A ∉．（2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.（3）集合的分类：有限集、无限集．特殊的集合有：空集∅，自然数集N ，正整数集N *（或N +），整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C ．（4）集合的表示：①列举法{,,}a b c ；②特征性质描述法{|()}x I p x ∈．（5）几个特殊的集合：①{(x ，y )|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.③{(x ，y )|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.[注]：①方程组的解的集合是点集. 例：方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 的解的集合是{(2，1)}. ②点集与数集的交集是∅. 例：A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =∅．2、集合间的基本关系（1）子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 就叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或B A ⊇．如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，则集合A 不包含于B ，记作B A ⊄或 ．（2）真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作 或 ． （3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．（4）集合的相等：如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素，则称集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（5）相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记作：∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集；B A ⊇≠A B ⊂B A ⊃≠④如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A =B .⑤如果B A ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆.⑥n 个元素的子集有2n 个. 真子集有2n －1个. 非空真子集有2n －2个.3、集合的基本运算（1）交集：由既属于A 又属于B 的元素构成的集合，叫做A 、B 的交集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∧∈．（2）并集：把集合A 、B 中所有元素并在一起构成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∨∈．（3）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．（4）补集：如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A在U 中的补集，记作U C A ，即有{|}U C A x x A x U =∉∧∈．（5）运算性质：①AB B A =，A A A =，A A ∅=∅=∅，A B A B A ⊆⇔=； ②AB B A =，A A A =，A A A ∅=∅=，A B A B B ⊆⇔=； ③U AC A U =，U A C A =∅，()U U C C A A =．④*De Morgan 公式：()U U U C A C B C AB = ()U U UC A C B C A B =[注]: ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S =N ；A +=N ，则{}0=A C S ）③ 空集的补集是全集.④若集合A =B ，则=A C B ∅，=B C A ∅，S B C C A S =)( （ 注 ：=B C A ∅）.4、常用逻辑用语（1）命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．（2）量词与命题：① 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词， 用符号∀表示；含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：,()x M p x ∀∈．② 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”在陈述中表示所述事物的 个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：,()x M q x ∃∈．[注]:要判断全称命题为假，只需举一个反例；要判断存在性命题为真，只需举一个实例． 全称命题和存在性命题的否定：①存在性命题 :,().p x M p x ∃∈⇒它的否定为：:,().p x M p x ⌝∀∈⌝②全称命题 :,().q x M q x ∀∈⇒它的否定为：:,().q x M q x ⌝∃∈⌝[注]：含有量词的命题的否定要注意“两否一不变”：否定量词（“任意”与“存在”互变）和结论（p (x )变为p (x )），不否定范围（x M ∈不能变为x M ∉）.（3）常用词语的否定:（4）推出与充要条件:①p q ⇒：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②p q ⇔：p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件．（5）高考试题中关于集合与常用逻辑用语的考查：关于集合的考查一类是与不等式的知识结合在一起，考查集合的运算；另一类以集合的概念为基本知识，创设新的情境考查考生的阅读理解能力和推理能力，这类题目通常是处在选择题第8题和填空题的第14题的位置及第20题压轴题位置，属于较难题目.关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查，侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题.例1：（2007年北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 ． ()3,2例2：已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p例3：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.。
上海市高三数学第一轮复习：集合与命题——集合的概念
（
{(x,y)|y=x2－1，|x|≤2，x Z}=.
（3）M={x|x2＋2x－a=0，x∈R}≠ ，则实数a的取值范围是
（4）已知集合A={x|x2－px＋15=0}，B={x|x2－5x＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q=.
个 个 个 个
集合 且
如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
设集合 ，
·
(1)若 ，求实数 的取值范围；(2)若 ；求实数 的范围；
设 ， ，若 ，则实数 的取值集合是
设集合 ， ，若 ，求 的值及集合 、 ．
走向高考：
（ 全国Ⅰ）设 、 ，集合 ，则 （ ）
*
（ 湖北）设 和 是两个集合，定义集合 ，且 ，如果 ， ，那么 等于（ ）
( 山东)定义集合运算： ，设 ， ，则集合 的所有元素之和为（ ）
（ 江苏）若 、 、 为三个集合， ，则一定有（ ）
（ 上海文）已知 ， ，若 ,则实数
（ 全国Ⅰ）设 为全集， 是 的三个非空子集，且 ，则下面论断正确的是（ ）
（ 湖北）设 ， 对任意实数 恒成立 ，则下列关系中成立的是（ ）
满足 的集合 的个数有个.
4．（ 湖北）设 、 为两个非空实数集合，定义合 ，若 ， ，则 中元素的个数是（ ）
|
，则
课后作业：
集合 ， ， ，
， ，设 ，则有（ ）
以上都不对
若 、 是全集 的真子集，则下列四个命题① ；② ；
③ ；④ .中与命题 等价的有（ ）
>
个 个 个 个
集合 的元素个数是（ ）
3．元素与集合的关系：
沪教版 高三数学 一轮复习 基础知识总结 集合、复数、不等式(解析版)
一、集合与元素★1、元素与集合的关系：属于（∈）和不属于（∉）★2、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性★3、集合的分类：让集合中元素个数的多少分为：有限集、无限集、空集（∅）★4、集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法二、集合与集合1、集合与集合的关系：★（1）子集：若B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆，即A 是B 的子集★①若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有n 2个，真子集有12-n 个★②任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆★③对于集合A ，B ，C ，如果B A ⊆且C B ⊆，那么C A ⊆★④空集是任何（非空）集合的（真）子集★（2）真子集：若B A ⊆且B A ≠（即至少存在B x ∈0且A x ∉0），则A 是B 的真子集★（3）集合相等：B A ⊆且A B ⊆B A =⇔2、集合与集合的运算：★（1）交集：{}B x A x x B A ∈∈=且★（2）并集：{}B x A x x B A ∈∈=或★（3）补集：{}A x U x x A C U ∉∈=且★★（4）性质：()()B A Card CardB CardA B A Card -+= 高考数学基础知识回顾：集合 基础知识()B C A C B A C U U U = ()B C A C B A C U U U =三、命题与充要条件★1、四种命题：原命题、否命题、逆命题、逆否命题★★2、常见结论的否定形式：p 或q ↔p 且q p 且q ↔p 或q至少一个↔一个也没有 至多一个↔至少两个至少n 个↔至多1-n 个 至多n 个↔至少1+n 个对所有x 都成立↔存在某x 不成立 对任何x 不成立↔存在某x 成立★3、充分与必要条件：若βα⇒，则α是β的充分条件，β是α的必要条件；若βα⇒且β≠>α，则α是β的充分不必要条件，β是α的必要不充分条件；若βα⇔，则α和β互为充要条件，也称互为等价命题。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用1.1集合的概念与运算课件文
• 解析 (1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；
• 当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；
• 当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.
• 根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2， －1,0,1,2，共5个．
(2)若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根 或有两个相等实根． 当 a＝0 时，x＝23，符合题意； 当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝98， 所以 a 的取值为 0 或98. 答案 (1)5 (2)0 或98
• 解 析 由 题 意 得 A∪B ＝ {1,3}∪{3,5} ＝ {1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．
• 答案 {2,4}
• 5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}， B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个 数为________．
• 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合 B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相 交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．
• 答案 2
• 考点一 集合的基本概念
• 【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－ y|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．
• (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一 个元素，则a＝________.
图形表示
集合的交集 A∩B
集合的补集
若全集为U，则 集合A的补集为 ∁UA
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
• 4.集合关系与运算的常用结论
高中数学(沪教版)知识点归纳
高一(上)数学知识点归纳第一章集合与命题5.集合的运算：(1)交集：A B{x x A且x B}.(2)并集:A B{x x A或x B}.（3）补集：C A{x x U且x A}.UPP5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
2. 如果a b,那么a c b c.116.如果a b0，那么0.a b7.如果a b0，那么a b(n N).n n8.如果a b0,那么a b(n N,n1).n n一元二次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据与0的关系来求解，注意两个基本不等式：1.对于任意实数a和b,有a b2ab,当且仅当时等号a b22a b222.对任意正数a和b,有ab，当且仅当时等号2a ba b22成立。
我们把2求函数值f(a)，会求简单函数的定义域和值域。
理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。
掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数的最大值和最小值。
⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。
⑶偶函数的性质：f(x)= f(x).就是函数y f(x)的图像与轴的交点的横坐标.x注意：1.幂函数的定义：一般地，函数 y x (k 为常数，k Q ) 叫做幂函数。
k x指数函数的性质：1.指数函数 y a 的函数值恒大于零.性质x 2.指数函数 y a 的图像经过点（0，1）. x 3.函数 y a （ >1）在内是增函数； ( , )a x 函数 y a (0< <1)在内是减函数. ( , )a x 高一(下)数学知识点归纳说明：①幂函 数 y x ( Q,是常数 )的定义域 D 由常 数 确定，但 总有在（0， ）是增函数；当 时， 在（0，+）上是减函数， + y xy x 0 ②指数函数 y a (a 0,且a 1)有些同学常会与幂函数 y x ( Q,是常数)xba④函数y f(x)的定义域是它的反函数y f(x)的值域；函数的值域y f(x)1⑤对数函数y log x(a0,且a1)与指数函数y a(a0,且a1)互为反函数。
上海市高三数学第一轮复习集合与命题集合的运算
课题：集合的运算教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 知识点归纳： 1．有关概念①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且ABA BA B②并集：{}AB x x A x B =∈∈或ABABA B③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。
④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A2．常用运算性质及一些重要结论 ①A A A A AB B A =∅=∅= ②A A A A A A B B A =∅==③C B A C B A C B A ==)()( C B A C B A C B A ==)()( ④)()()(C A B A C B A = )()()(C A B A C B A = ⑤U U A C A A C A U =∅= ⑥B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔= ⑦)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U == ⑧)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=方法归纳：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键。
例题选讲：例1：设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，已知{}9AB =，求a 的值。
例2：设{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，（1）若A B B =，求a 的值；（2）若A B B =，求a 的值。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。
高三一轮复习：集合与命题
高三一轮复习：集合与命题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高三一轮复习：集合【知识要点】一、集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体。
（“∈”、“∉”） 1、元素的性质：确定性、无序性、互异性（检验）。
2、集合的分类：有限集、无限集、空集（∅）； 高中阶段常见数集和点集；常见的数集：N *、N 、Z 、Q 、R 、C 。
3、表示方法：列举法、描述法、图示法。
二、集合之间的关系： 1、子集：B A ⊆或A B ⊇。
2、真子集：A ⊂≠B ⇔B A ⊆且B A ≠。
3、相等的集合：⇔=B A B A ⊆且B A ⊇。
【注】（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； （2）任何集合是其自身的子集；（3）集合的传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆；（4）含有n 个元素的集合的子集的个数为n 2，真子集的个数为12-n ，非空子集的个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n 。
三、集合的运算：1、交集：=B A {A x x ∈|且B x ∈}；2、并集：=B A {A x x ∈|或B x ∈}；3、补集：UA ={U x x ∈|且A x ∉}。
【例题解析】1、用列举法表示下列集合：（1）集合=A {1|2-=x y y ，2||≤x ，∈x Z }； （2）集合=B {1|),(2-=x y y x ，2||≤x ，∈x Z }；（3）集合83C x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N Z ，；【解】（1）=A {1-，0，3}；（2）=B {)3,2(，)3,2(-，)0,1(-，)0,1(，)1,0(-}； （3）=C {2-，1-，1，5}。
2、已知集合ππ24k A x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，ππ42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则集合A与B 的关系是A B ⊂≠。
【解】(21)π4k A x x k ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，，(2)π4k B x x k ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则A B ⊂≠。
高考数学一轮复习重要知识点：集合与逻辑用语
高考数学一轮复习重要知识点：集合与逻辑用语一轮复习十分重要，目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，做到知识点的全面涉及与提高巩固。
查字典数学网整理了高考数学一轮复习重要知识点：集合与逻辑用语，供大伙儿复习!1.集合的含义与表示.(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的差不多关系.(1)明白得集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的差不多运算.(1)明白得两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
(2)明白得在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
高考数学一轮复习重要知识点：集合与逻辑用语就分享到那个地点了，一轮复习关系到高考的成败，期望上文能关心大伙儿做好高考第一轮复习，请连续关注查字典数学网！2021年高考第一轮复习备考专题差不多新奇出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习打算、复习试题，大伙儿来一起看看吧~事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
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课题：集合的概念 教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．
知识点归纳：
1.集合
①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。
②表示：列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}
描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}. 如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x
图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
2. 34B ⊆ ③5若1n -个和2n 1234例16＋3}
（2Z}= .
（3）M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠∅，则实数a 的取值范围是
（4）已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = .
（5）已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 .
（6）已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .
（7）已知P={0，1}，M={x ∣x ⊆P}，则P M （8）设集合},2
14{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+=
=，则M N 例2、设集合{}{}21,,,,,A a b B a a ab ==，且A B =，求实数,a b 的值。
例3、（1）已知集合{
}1,A y y x x R ==+∈，集合{
}223,B y y x x x R ==-+∈，求A B I ； （2）已知集合{}(,)1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)23,B x y y x x x R ==-+∈，求
A B I 。
例4、设全集{}010,*U x x x N =<<∈，若{}3A B =I ，{}1,5,7U A C B =I ，
()()U U C A C B I ={}9,求A 、B
例5、已知集合{}2260,A x x ax a x R =+-≤∈，{}|2|1,B x x x R =-<∈，当
B
A 时，求实数a 的取值范围。
例6、设集合{}{}260,10A x x x B x mx =+->=+<，若
B
A ，求m 的取值范围。
巩固练习：
1.
T 2.3.4．=Q 5. 1.a 2.3.4.5.（7. (1)若，求实数的取值范围；(2)若；求实数的范围；
8.设2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则实数m 的取值集合是 9.设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 走向高考：
1.（07全国Ⅰ）设a 、b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a
+=，则b a -=（ ） 2.（07湖北）设P 和Q 是两个集合，定义集合{|P Q x x P -=∈，且}x Q ∉，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）
3.(06山东)定义集合运算：(){},,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈⊙，设{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊙的所有元素之和为（ ）
4.（06江苏）若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =U I ，则一定有（ ）
5.（06上海文）已知{1,3,}A m =-，{3,4}B =，若B A ⊆,则实数m =
6.（05全国Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且123S S S I =U U ，则下面论断正确
的是（ ）.A 123I C S S S =∅I U （） .B 123I I S C S C S ⊆I （）
7.（04湖北）设{|10}P m m =-<<，2{|440Q m R mx mx =∈+-<对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）。