双曲线及其标准方程导学案

课题：双曲线及其标准方程导学案
一．教学目标:
知识与技能：1.掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;
2.学会判断双曲线标准方程焦点所在位置,会求解双曲线的标准方程
过程与方法：本节课主要运用类比思想通过学生自己动手实践总结出双曲线的定义，运用类比和数形结合思想自我探究，分组讨论找到双曲线的标准方程。

情感态度与价值观：学生通过本节课自己动手实践亲身经历研究双曲线的过程，从中找到自我价值，从双曲线方程的形式上进一步体会数学也是一种美的学科。

二.教学重点:双曲线的定义及其标准方程
三.教学难点:双曲线的定义及其标准方程
四.教学过程:
(一)课前复习：
（二）类比椭圆定义的研究，让学生用自己提前准备拉链，图钉等东西，自己动手画双曲线，分组讨论给出双曲线定义,在这一过程中回答下列问题：
思考：1.在作图的过程中拉链两边的长是否一致？拉链哪一部分的长没有变化？除了这些，还有没有不变的量？
2.动点在运动过程中满足什么条件？
F F|的关系是什么？
3.这个常数与|12
4.动点运动的轨迹是什么？
5.若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？
(二)双曲线的定义:（类比椭圆定义给出双曲线定义）
1. 双曲线的定义:
2.探究以下问题，巩固双曲线定义：
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差为8,则M 点的轨迹是什么?
(2)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为10,则M 点的轨迹是什么? (3)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为12,则M 点的轨迹是什么? (4)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为0,则M 点的轨迹是什么? 得出以下结论：
1）当常数等于21F F 时，动点M 的轨迹是———————————————— 2）当常数大于21F F 时，动点M 的轨迹————————————————— 3）若常数等于0时,动点M 的轨迹—————————————————— 4）在双曲线的定义描述中要注意几个条件？分别是什么？
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？动手实践
推导过程并展示：
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
(1)------------------------------表示焦点在x 轴上的双曲线,焦点是:
1(,0),F c -2(,0)
F c ,这里222
c a b =+.
(2)------------------------------表示焦点在y 轴上的双曲线,焦点是:
1(0,),F c -2(0,)
F c ,这里
222c a b =+.(只需将(1)方程的x,y 互换即可得到)
强调指出：
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，0,0a b >>，但a 不一定大于b ；(3)如果2
x 项的系数是正的，那么
焦点在x 轴上；如果2
y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定
焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222c a b =+，不同于椭圆方程中222c a b =-．
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
(四).课堂巩固 例1.
已知双曲线的焦点为1F (-5,0),2F (5,0)，双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
变式：若双曲线上一点Ｐ， |1PF |=10， 则|2PF |=_________
1
9
16)2(,191612
222-=-=-y x y x ）（
方案
(五)小结
(六)作业:课本108P 习题8.3 第1,2,4
思考题: 当0180θ
≤≤ 时，方程22cos sin 1x y θθ+=表示怎样的曲线？。