【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量阶段测试(七)理 新人教A版
《平面向量》练习题及答案
《平面向量》练习题及答案《平面向量》练习题及答案向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。
一、教材分析全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。
这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。
应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。
二、教学目标【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。
【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、求两简单向量的夹角的方法。
【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。
三、教学重点平面向量基本定理及其意义，两向量夹角的简单计算。
四、教学难点平面向量基本定理的.探究，向量夹角的判断。
五、学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
六、学法指导教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
七、教学基本流程定理探究↓形成定理↓定理思考与应用↓定义形成与应用八、教学情境设计。
高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第五章平面向量5-1Word版含答案
真题操练集训→ →1．设 D 为△ ABC 所在平面内一点， BC ＝3CD ，则 ()→→→14A. AD ＝－ 3AB ＋ 3AC→→→14B. AD ＝ 3AB － 3AC→→→41C.AD ＝ 3AB ＋ 3AC→→→41D.AD ＝ 3AB － 3AC 答案： A→ → → →→ →→ →→→→→114114分析： AD ＝AC ＋ CD ＝ AC ＋ 3BC ＝ AC ＋3( AC － AB ) ＝ 3AC － 3AB ＝－ 3AB ＋ 3AC . 应选 A.→ →2．设 D ， E ，F 分别为△ ABC 的三边 BC ，CA ， AB 的中点，则 EB ＋ FC ＝()→→1A. ADB. 2AD→ →C.BCD. 21BC→ → 1 → → 1 → →1→ → →答案： A分析： ＋ ＋＋ ) ＝ ，应选 A.＝ ( ) ＋ ( ＋ )＝(EBFC 2 AB CB2 AC BC 2 AB AC AD→ 1 → → → → 3．已知， ， 为圆 O 上的三点，若 ＝ ( ＋ ) ，则 与 的夹角为 ________．A B CAO 2 AB AC AB AC 答案： 90°→→ →1分析：∵ AO ＝ 2( AB ＋ AC ) ， ∴点 O 是△ ABC 边 BC 的中点，→ →∴BC 为直径，依据圆的几何性质有〈AB ， AC 〉＝ 90°.课外拓展阅读专题一平面向量与三角形问题的综合→ →→17已知 P 是△ ABC 内一点，且 AP ＝ 3AB ＋ 18AC ，△ PBC 的面积是 2 015 ，则△ PAB 的面积是________．△PBC ，△ PAB 分别与△ ABC 共底边于 BC ， AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转变为共底边上的对应高的比，即可得出头积关系，从而计算出△PAB 的面积．设 S △ ABC ＝S ， S △ PBC ＝S 1＝ 2 015 ，S △ PAB ＝ S 2.解法一： ( 适合切入，从“三点共线”打破) 如下图，→延伸 AP 交 BC 于 D ，由平面几何知识，得 S 1 | PD |S＝→ .| AD |由 A ， P ， D 三点共线，可得→→→7→1 ＋ μ ( μ ∈ R) ．①AD ＝ μ AP ＝ μ 183 AB AC由 B ， D ， C 三点共线，可得→→ →AD ＝ λ AB ＋ (1 －λ ) AC ( λ∈ R) ．②16，λ ＝ 3μ ，λ ＝13 联立①和②，有7解得181－λ ＝ 18μ ，μ ＝13.→→→ → → → →185则AD ＝ μ AP ＝13AP ， PD ＝AD － AP ＝ 13AP ，→|PD | 5那么＝，→18| AD |18于是 S ＝ 5 S 1.→|PE |7同理，延伸 CP 交 AB 于 E ，计算可得→＝ 18，| CE |因此2＝7 .S18S77 18 77于是 S 2＝ 18S ＝ 18×5 S 1＝ 5S 1 ＝ 5×2 015 ＝ 2 821.解法二： ( 奇妙结构，引出向量“投影”取胜) 如下图，→→ →→结构一个单位向量e ( 此中e ⊥BC ) ，那么 BP ， BA 在单位向量e方向上的投影长度|e · BP |→与 | e ·BA | 分别是△ PBC ，△ ABC 的公共底边上的高，→ →1则 S ＝ 2| BC | ·|e · BA |→ → →1＝ 2| BC || e || BA ||cos 〈 e ， BA 〉 |→ →1＝ 2| BC | ·|BA |sin ∠ ABC ；→ → → →→→17因为 BP ＝ BA ＋AP ＝ BA ＋ 3AB ＋ 18AC→→→ →17＝BA ＋ 3AB ＋ 18( AB ＋ BC )→→57＝ 18BA ＋ 18BC ，→→1因此 S 1＝ 2| BC | e ·BP→＝ 1| BC | e · 5 → 7 →218BA ＋ 18BC1 →→＝ 2| BC | e · 5BA18→→→15＝BA |cos 〈 e ，BA 〉 | 2| BC | 185 1→ →＝ BC || BA |sin ∠ ABC18 2|5＝ 18S .→7设 i 为与向量 AB 垂直的单位向量，同理，能够推出 S 2＝ 18S .于是 2＝ 7 7 18 7 7＝ × 1＝ 1＝ ×2 015 ＝ 2 821.S18S18 5 S 5S5解法三： ( 划归转变，牵手三角形“重心”巧解)→→→17由AP ＝ 3AB ＋ 18AC ，→ → →可得 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝ 0.→→→→→→令PA ′ ＝ 5PA ， PB ′ ＝6PB ， PC ′＝ 7PC ，连结 A ′ B ′， B ′ C ′， C ′ A ′，如下图，→ → →于是 PA ′ ＋PB ′ ＋ PC ′ ＝ 0.即 P 是△ A ′B ′ C ′的重心，S △PA ′B ′＝S △ PB ′ C ′ ，依据已知条件，得→ →1S 1＝2| PB || PC |sin ∠ BPC1 1→ 1→＝ ′′ sin ∠BPC2 6PB7PC1→→＝421| PB ′ || PC ′ |sin ∠ BPC 21 ＝S △ PB ′ C ′ ，42因此 S △ PB ′ C ′ ＝ 42S 1，同理可得 S △PA ′B ′＝30S 2.42于是 S 2＝ 30S 1＝ 2 821. 故填 2 821.2 821温馨提示在找寻三个三角形面积之间的关系时，能够从多方面思虑：①能够从“三点共线”打破，运用三点共线向量式求解，思想起点低，思路直接，如解法一；②能够从向量“投影”得出关系，结构出一此中介性协助元素单位向量e ，i ，如解法二；→→→→ →→17③能够转变条件形式， 将 AP ＝ 3AB ＋ 18AC 转变成 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．专题二用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，能够将一些向量问题转变为几何问题，利用数形联合的方法，迅速获得答案，防止繁琐的运算和因为运算而产生的错误．已知 a ， b 是两个非零向量，且 | a| ＝ |b| ＝|a － b| ，则 a 与 a ＋ b 的夹角是 ________．→ →令 OA ＝ a ，OB ＝ b ，以 OA ， OB 为邻边作平行四边形 OACB ，则 OC ＝ a ＋ b ，BA ＝ a －b ，又 |a| ＝|b| ＝ |a － b| ，因此△ OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，可知是∠的均分线，因此a 与 a ＋b的夹角是π.OCAOB6π6已知两个非零向量，b 知足|a＋b|＝|a－b|，则下边结论正确的选项是________．a①a∥b；②a⊥b；③|a| ＝|b| ；④a＋ b＝a－ b.依据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b| 与 |a － b| 分别为以向量 a， b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b| ＝ |a －b|. 因此该平行四边形为矩形，因此a⊥b.②。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
高考数学专题：平面向量练习试题、答案
高考数学专题：平面向量练习试题 1．已知(3,4)a =，(8,6)b =-，则向量a 与b （ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60° 2．已知向量(5,3)a =-，(2,)b x =，且//a b ，则x 的值是（ ） A ．65 B ．103 C ．-65 D ．-103 3．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =，且()()a b a b λ+⊥-，则λ等于（ ） A ．35 B ．35- C ．3- D ．3 4．如果a 、b 都是单位向量，则a b -的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．[1,2]D ．[0,2] 5．已知在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 6．已知(7,1)A ，(1,4)B ，直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则a 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．1 D ．54 7．已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -，(3,3)B ，那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．12a -<<B ．01a <<C ．22a -<< D ．02a <<8．已知向量(4,2)a =，(1,1)b =-，则b 在a 方向上的射影长为_________． 9．已知点(2,3)A ，(0,1)C ，且2AB BC =-，则点B 的坐标为_____________．10．已知||2a =，||2b =，a 与b 的夹角为45︒，则()b a a -⋅=________． 11．已知向量(3,1)OA =--，(2,3)OB =，OC OA OB =+，则向量OC 的坐标为____________，将向量OC 按逆时针方向旋转90︒得到向量OD ，则向量OD 的坐标为______________12．已知向量a 、b 的夹角为45︒，且满足||4a =，1()(23)122a b a b +⋅-=，则||b =_________；b 在a 方向上的投影等于_____________． 13．平面上有三个点(2,)A y -，(0,)2y B ，(,,)C x y ，若AB BC ⊥，则动点的轨迹方程为______________．14．将函数2y x =的图象F 按向量(3,2)a =-平移到'F ，则'F 对应的函数解析式为_________________．15．把点(2,2)A 按向量(2,2)a =-平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为____________．16．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，||1AC =，||4AB =，则ABC ∆的面积为____，||BC =_____________．答案1．B2．C3．B4．D5．B6．A7．B8．59．(2,1)-- 10．2- 11．(1,2)-，(2,1)--12 1 13．28y x =14．2(3)2y x =-- 15．(0,2)16。
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题05平面向量(第03期)(解析版)
第五章 平面向量一．基础题组1.（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）已知向量=（a ，201t =+（，）b ，则当[2]t ∈时，||||t -ba b 的取值范围是___________.【答案】 【解析】试题解析：由题意，||b b 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||t -b a b 表示||t b b 向量终点到a 终点的距离，当t =时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，可算得，即||||t-ba b 的取值范围是. 2. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知向量=（1，3），=（﹣2，m ），若与垂直，则m 的值为 ．【答案】﹣1【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m 的值．3. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）已知两个非零向量b a ,满足()0a a b ⋅-=，且2a b =，则>=<b a ,（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】试题解析： 由题2a ab =⋅， 而>=<b a ,cos 22122aa b a ba⋅==⋅，故选B. 4. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）凸四边形OABC中，(24)(21)OB AC ==-，，，则该四边形的面积为（ ） B. 【答案】C . 【解析】试题解析：∵0OB AC ⋅=，∴OA BC ⊥，∴152OABC S OB AC ==，故选C . 5. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知向量=（1，m+2），=（m ，﹣1），且∥，则||等于（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，由结合向量平行的坐标表示方法，解可得m 的值，即可得的坐标，然后求出向量的模．6. （黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末数学（理）试题）平面内有3点A （0，﹣3），B （3，3），C （x ，﹣1），且，则x 的值是 ．【答案】1【分析】根据三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的平行关系，写出平行的充要条件，写出关于x 的方程，解方程即可． 【解析】解：∵A（0，﹣3），B （3，3），C （x，﹣1），∴=（3，6），=（x ﹣3，﹣4）∵，∴3（﹣4）﹣6（x﹣3）=0∴x=1，故答案为：1【点评】本题考查向量的平行的坐标表示，是一个基础题，题目的关键是写出两个要用的向量的坐标，利用向量的平行关系整理出结果．7.（黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】C【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．8.（山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）已知向量=（2，1），向量=（3，k），且在方向上的投影为2，则实数k的值为．【答案】0或4【分析】利用在方向上的投影=即可得出．【解析】解：在方向上的投影===2，解得k=0或4．经过验证满足方程．∴实数k的值为0或4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了向量的投影计算公式，属于基础题．9.（山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据三角形中线的性质，得=（+），由平面向量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案．【点评】本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等知识，属于基础题．10.(甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)设向量满足，则||= ．【答案】1【分析】根据向量的公式：||2=，直接代入数据进行计算即可．【解析】解：由于||2==4+3+=8，∴||=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了向量的模，向量的一个重要公式：||2=．属于基础题．11.（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则•的最小值为．【答案】【分析】如图所示，，设=t≥0．可得•=•=t2﹣t=﹣，利用二次函数的单调性即可得出．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C． a2 D． a2【答案】D【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题13.(长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)已知向量=（a ，201t =+（，）b ，则当[2]t ∈时，||||t -ba b 的取值范围是___________.【答案】【命题意图】本题主要考查平面向量的几何意义，余弦定理. 【解析】由题意，||b b 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||||t -b a b 表示||t b b 向量终点到a终点的距离，当t =时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，可算得该||||t-ba b 的取值范围是. 14. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a b +=（ ）A B C ． D ．10 【答案】B. 【解析】试题分析：∵a b ⊥，∴202x x -=⇒=，∴(3,1)||10a b a b +=-⇒+=，故选B ．15. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）已知||2a =，||3b =，,a b的夹角为60°，则|2|a b -= ． 【答案】13【考点】本题考查平面向量数量积及其运用.【解析】由题可知，13960cos 6416||4||4|2|222=+︒⨯⨯-=+-=-b b a a b a ，于是13|2|=-b a；【技巧点拨】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．16. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则的值为 ．【答案】1【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力． 17. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知向量=（3，4），=（sin α，cos α），若∥，则tan α的值为（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣【答案】C【分析】由平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，即可求出tan α的值．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平面向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二．能力题组1.（山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）已知向量=（sinα﹣2，﹣cosα），=（﹣sinα，cosα），其中α∈R．（1）若⊥，求角α；（2）若|﹣|=，求cos2α的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．【解析】解：（1）向量=（sinα﹣2，﹣cosα），=（﹣sinα，cosα），若⊥，则•=0，即为﹣sinα（sinα﹣2）﹣cos2α=0，即sinα=，可得α=2kπ+或2kπ+，k∈Z；（2）若|﹣|=，即有（﹣）2=2，即（2sinα﹣2）2+（2cosα）2=2，即为4sin2α+4﹣8sinα+4cos2α=2，即有8﹣8sinα=2，可得sinα=，即有cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=﹣．【点评】本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．。
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)专题05平面向量(第01期)(2)(原卷版)
第五章 平面向量一．基础题组1. 【长春市普通高中2015届高三质量监测（三）文3】已知1,||2a b ==|| ，且a b ⊥，则||a b +为（ ）A. B. C. 2 D.2.【辽宁沈阳东北育才学校2015届高三第八次模拟考试数学文3】已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的正射影的数量为（ ）A.3B.3C.3-D.3- 3.【甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学文2】已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB 的方向相反的单位向量是（A ）（－35，45） （B ）（－45，35） （C ）（35，－45） （D ）（45，－35） 4.【海南省海南中学2015届高三5月月考数学文3】已知向量a ，b 的夹角为060，且1a =，2b =，则2a b +=（ ）A ． D ．5.【辽宁大连2015年高三第一次模拟考试文3】已知1,a b ==，且a b ⊥，则||a b +为（ ）（A （B （C ） 2 （D ）6.【2015年辽师大附中高三年级模拟考试文5】已知向量 c b a c b k a ⊥-===)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（ ，则实数k 的值为（ ）A ．29-B ．0C ．3D ．215 7.【内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）文6】在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，若存在实数,λμ，使AG AB AC λμ=+，则（ ）（A ）11,33λμ== （B ）21,33λμ== （C ）12,33λμ== （D ）22,33λμ== 8.【辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）数学文7】已知向量AB 与AC 的夹角为120°， 且 |AB | = 2， |AC | = 3，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥ ， 则实数λ的值为（A ）37 （B ） 13（C ）6 （D ）1279.【吉林省实验中学2015届高三上学期第五次模拟考试数学文9】如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=o 中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于 （ ）A ．0B ．4C ．8D ．4-10.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）数学文8】如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（ ）（A ）0 （B ） 1 （C （D 11.【甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考数学文8】已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α=（A ）35 （B ）35- （C ）34 （D ）34- 12.【广西桂林市第十八中学2015届高三全真模拟（二）数学文10】()Δ12021ABC BAC AB AC ∠===在中，，，，D 是边BC 上的点包括端点，则AD BC ⋅的取值范围是（ ）A ． [1，2]B ．[0，1]C ．[0，2]D ． [﹣5，2] 13.【黑龙江哈尔滨第六中学2015届高三下学期第四次模拟文13】设向量a 与b 的夹角为θ，若)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos .14.【云南省2015届高三第一次复习统测数学文13】已知平面向量a 与b 的夹角等于3π，如果||2a =，||3b =，那么|23|a b -等于______.15.【黑龙江哈尔滨第九中学2015届高三第三次高考模拟文13】若b a ,是两个互相垂直的单位向量，则向量a -b 方向上的投影为 ;16.【海南省文昌中学2015届高三5月段考数学文14】已知向量1(8,)2a x =，()1b x ＝， ，其中0x > ，若2//()(2)a b a b -+ ，则x 的值为________． 二．能力题组1. 【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（一）数学文8】已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）52（D ）3 2.【甘肃省天水市第一中学2015届高三高考信息卷（二）数学文9】若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若30aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ）（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）303.【甘肃天水第一中学2015届高三5月中旬仿真考试文10】在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ( ) A ．43 B ．52C ．25D ．34 4.【辽宁朝阳三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟文9】 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅OP AP ( )A ．1-B ．81- C ．41- D ．21- 5.【贵州省八校联盟2015届高三第二次联考文12】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1===→→→OD OC OB ，→→→→=++0OD OC OB ，(1,1),A 则→→⋅OB AD 的取值范围（ ）11.11.2211..122A B C D ⎡⎡⎤------+⎢⎣⎦⎣⎡⎡-+-+⎢⎣⎣ 6.【吉林省吉林市2015届高三第三次模拟考试文11】边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则MN DA ⋅的取值范围是（ ）A ．][1818-，B ．][1616-，C ．][1212-，D ．][88-，7.【黑龙江哈尔滨第三中学2015届高三第四次模拟考试文16】向量(1,1)AB =，(1CD =-，()f x AB CD =⋅，函数()f x 的最大值为 ．三．拔高题组1. 【黑龙江大庆第一中学2014届高三下期第二次阶段考试文17】在ABC ∆中,设内角,,A B C的对边分别为,,a b c 向量(cos ,sin )m A A =,向量(2sin ,cos )n A A =-,若2=+→→n m ，(1)求角A 的大小；(2)若b =,且c =,求ABC ∆的面积.AO CBP2.【贵州省八校联盟2015届高三第二次联考文17】(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =+-，向量(,sin sin )n c A B =-，且//m n ； （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设BC 中点为D ，且AD =2a c +的最大值及此时ABC ∆的面积。
高考数学第五章平面向量真题练习含答案
高考数学第五章平面向量真题练习含答案1．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) A. 21+- B. 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+ ．21+-=+=，故选A. 2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。
（用a b 、表示）解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+。
3．（2006年四川卷）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）（A ）1213,PP PP（B ）1214,PP PP（C ）1215,PP PP（D ）1216,PP PP练.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 （ C ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）5.（2006年湖北卷）已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b = （B ） A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D. ()0,16. （全国卷III ）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 练.（广东卷）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为____4_________．7.（福建卷）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（ D ） A ．5 B ．－5 C ．23 D ．23- 练．（2006年福建卷）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o =。
高考数学一轮复习第五章平面向量阶段滚动检测理北师大
【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量阶段滚动检测 理 北师大版(建议用时：90分钟)一、选择题1.(2016·山东省实验中学诊断)下列有关命题的叙述错误的是( ) A.若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件 B.若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题C.命题“任意x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≤0” D.“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件解析 易知，A 正确；p 且q 为假，p ，q 至少有一个为假，B 错误；“任意”的否定是“存在”，“＞”的否定是“≤”，C 正确；“x ＞2”一定能推出“1x ＜12”，但当x ＝－1时，满足1x ＜12，但不满足x ＞2，所以“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件，D 正确.综上可知，选B. 答案 B2.(2016·阜阳一模)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，得2a －b ＝(3，n )，若2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，则有－3＋n 2＝0，解得n 2＝3，故选C. 答案 C3.(2015·南昌十所重点中学二模)在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128解析 设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1， ∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n ＞0，∴q ＞0， ∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127，故选C.答案 C4.(2016·渭南一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A.－43B.43C.－43或0D.43或0 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1 或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案 D5.(2016·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A.31B.36C.42D.48解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2（q ＝－2舍）， 所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.答案 A6.(2016·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A.5 B.13或37 C.37D.13解析 由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×sin A ＝33，得sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.答案 D7.(2015·榆林二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A.3B.4C.5D.6解析 因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64， 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A.答案 A8.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和的值最大时，n 的值是( ) A.6B.7C.8D.9解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴a n －a n －1＝－3， ∴{a n }是以19为首项，以－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前n 项和最大，故有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3n ≥0，22－3（n ＋1）≤0，∴193≤n ≤223，∵n ∈N +，∴n ＝7，故选B. 答案 B 二、填空题9.(2016·枣庄四校联考)函数y ＝lg （4－x ）3－x的定义域为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，3－x ≠0，∴x ＜4且x ≠3.答案 {x |x ＜4且x ≠3}10.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9＝________. 解析 由a 10＝S 4，得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ， 所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4.答案 411.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比q ＝________.解析 由2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，得6S 2＝2S 1＋4S 3， 即3S 2＝S 1＋2S 3，2(S 2－S 3)＋S 2－S 1＝0，则－2a 3＋a 2＝0，所以公比q ＝a 3a 2＝12.答案 1212.(2016·陕西质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2（1－3n）1－3＝3n－1.答案 3n－113.(2016·萍乡统考)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N +)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.解析 ∵2S n －na n ＝n ①，∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1②， ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③， ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④，∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1， ∴a 1＝1，∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2.∴a 2＝1－2＝－1. 答案 －114.(2014·安徽卷)如图，在等腰直角△ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推.设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析 由BC ＝22得AB ＝a 1＝2⇒AA 1＝a 2＝2⇒A 1A 2＝a 3＝2×22＝1，由此可归纳出{a n }是以a 1＝2为首项，22为公比的等比数列， 因此a 7＝a 1×q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案 14三、解答题15.(2016·青岛统一检测)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图像上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图像上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π， ∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16.(2016·东北三校二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N +). (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n ＜a 对任意正整数n都成立，求a 的取值范围.(1)证明 因为S n ＝2a n －2n (n ∈N +)， 所以S n －1＝2a n －1－2(n －1)(n ≥2)， 所以S n －S n －1＝a n ＝2a n －2a n －1－2(n ≥2)， 所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)(n ≥2). 又当n ＝1时，S 1＝2a 1－2＝a 1， 解得a 1＝2，所以a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝4×2n －1(n ∈N +)，所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N +).(2)解 因为b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜12， 因为T n ＜a 对任意正整数n 都成立，所以a ≥12.17.(2016·齐鲁名校联合测试)已知函数f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R ).(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调区间.解 (1)∵f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R )，∴f (1)＝a ，f ′(x )＝－x ＋a －1＋2－ax，f ′(1)＝0，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝a .(2)∵f ′(x )＝－x ＋a －1＋2－a x ＝－x 2＋（a －1）x ＋2－a x(x ＞0)，∴f ′(x )＞0⇔－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＞0，f ′(x )＜0⇔－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＜0.令g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋2－a ＝0， 解得x 1＝1，x 2＝a －2.①当a ＞3时，x 2＞x 1，g (x )＞0的解集是1＜x ＜a －2，g (x )＜0的解集是0＜x ＜1或x ＞a －2，∴f (x )的单调增区间是(1，a －2)，单调减区间是(0，1)，(a －2，＋∞).②当a ＝3时，x 2＝x 1，对任意的x ＞0，都有g (x )≤0， ∴f (x )的单调减区间是(0，＋∞). ③当2＜a ＜3时，0＜x 2＜x 1，g (x )＞0的解集是a －2＜x ＜1， g (x )＜0的解集是0＜x ＜a －2或x ＞1，∴f (x )的单调增区间是(a －2，1)，单调减区间是(0，a －2)，(1，＋∞). ④当a ≤2时，x 2≤0，g (x )＞0的解集是0＜x ＜1，g (x )＜0的解集是x ＞1， ∴f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).综上所述，当a ＞3时，f (x )的单调增区间是(1，a －2)，单调减区间是(0，1)，(a －2，＋∞)；当a ＝3时，f (x )的单调减区间是(0，＋∞)，没有单调增区间； 当2＜a ＜3时，f (x )的单调增区间是(a －2，1)， 单调减区间是(0，a －2)，(1，＋∞)；当a ≤2时，f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞). 18.(2015·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N +恒成立的实数k 的取值范围.解 (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，∵S n ＝2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2. ∴数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n(n ∈N +).(2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.由(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N +恒成立，即实数（n －8）（n ＋1）2≥k 对n ∈N +恒成立；设c n ＝12(n －8)(n ＋1)，则当n ＝3或4时，取得最小值为－10，∴k ≤－10。
高考总复习数学理精练第五章平面向量检测附答案答案含详解
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章平面向量检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2) D ．(1，3)3．如图，在ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )．A ．AC ＝AB ＋AD B ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12AD D ．AE ＝53AB ＋AD4．在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM 在向量BC 方向上的投影是( )．A ．1B ．－1C ．355D ．－3555．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形6．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM PN ⋅＝0，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]7．已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝⎝⎛⎭⎫32，32.在△ABC 中，AB ＝2m ＋2n ，AC ＝2m－6n ，D 为BC 边的中点，则AD 等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．88．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(1，3)，若m ∥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( )．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，且a ，b ，c 两两夹角均为120°，则|a ＋b ＋c |＝( )．A ．7B ．7C ．35D ．7或7 10．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a b ＝(a 1，a 2)(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P 在y ＝sin x 的图像上运动，点Q 在y ＝f (x )的图像上运动，且满足OQ ＝m OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )． A ．2，π B ．2,4πC ．12，πD ．12，4π二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(3,3),2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝__________.12．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，AD ＝1，则AC AD ⋅＝__________.13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝__________.14．已知向量m ＝(1,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫0，15，设向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[0，π])且m ⊥(OA －n )，则tan α＝__________.15．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，重心为G ，若a GA ＋b GB ＋33c GC ＝0，则∠A ＝______.三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB AD ⋅＝5，2AD ＝10. (1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB ，AD 表示AC ；(3)AE ＝(m,2)，若3AB ＋AC 与AE 垂直，求AE 坐标．17.(12分)已知角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝⎝⎛⎭⎫1－cos(A ＋B )，cos A －B 2，n ＝⎝⎛⎭⎫58，cos A －B 2，且m ·n ＝98.(1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin Ca 2＋b 2－c2的最大值．18．(12分)已知点M (1＋cos 2x,1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON ⋅(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求此时f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值． 19．(12分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．20．(13分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)若向量n 与向量q ＝(1,0)的夹角为π2，向量p ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，试求|n ＋p |的取值范围．21．(14分)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA ，OB 满足OA OB OA OB +=-，设圆C 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明线段AB 是圆C 的直径；(2)当圆C 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．参考答案一、选择题1．C 解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，又a 与b －c 都是非零向量， ∴a ⊥(b －c )．又由a ⊥(b －c )得a ·(b －c )＝0，即a ·b ＝a ·c . 故a ·b ＝a ·c 是a ⊥(b －c )的充分必要条件． 2．A 解析：设D (x ，y )，∵BC ＝(4,3)，AD ＝(x ，y －2)，且BC ＝2AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2y －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72. 3．D 解析：排除法．如题图，AC ＝AB ＋AD ，故A 正确．而BD ＝AD －AB ，故B 正确．AO ＝12AC ＝12(AD ＋AB )＝12AB ＋12AD .故C 正确．4．D 解析：如图所示，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则M (2,1)，AM ＝(2,1)，＝(－4,2)，向量AM 在向量BC 方向上的投影是||AM BC BC ⋅＝－8＋216＋4＝－355.5．C 解析：∵(AB ＋AC )·BC ＝0， ∴(AB ＋AC )·(AC －AB )＝0，∴2AC －2AB ＝0，即AC ＝AB ，又A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝60°，从而C ＝60°，A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．6．D 解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－1－x ，－y )，PN ＝(1－x ，－y )， PM ·PN ＝(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝x 2＋y 2－1＝0.∴x 2＋y 2＝1，因此P 的轨迹为单位圆． 又P 点在直线3x －4y ＋m ＝0上，∴原点到直线的距离d ＝|m |5≤1，∴|m |≤5.∴－5≤m ≤5，∴实数m 的取值范围是[－5,5]．7．A 解析：由D 为BC 边的中点，得AD ＝()12AB AC +，∵12()AB AC +＝12(4m －4n )＝2m －2n ＝(1，－3)，∴AD ＝2，故选A.8．A 解析：∵m ∥n ，则有cos A ·3－s in A ·1＝0，即tan A ＝3，A ＝60°. 又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C .整理，得sin C ＝1，即C ＝90°. 又A ＋B ＋C ＝180°，A ＝60°，C ＝90°， 故B ＝30°.9．A 解析：|a ＋b ＋c |2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2|a |·|b |·cos 120°＋2|b |·|c |·cos 120°＋2|a |·|c |·cos 120°＝1＋4＋16＋2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＋2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1×4×⎝⎛⎭⎫－12＝21－2－8－4＝11－4＝7. ∴|a ＋b ＋c |＝7.10．D 解析：设点P (x 0，sin x 0)，点Q (x ，y )，则有(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫2x 0，12sin x 0＋⎝⎛⎭⎫π3，0＝⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3，12sin x 0，故⎩⎨⎧x ＝2x 0＋π3，y ＝12sin x 0，消去x 0得y ＝12sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， 即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， 因此y ＝f (x )的最大值是12，最小正周期是4π.二、填空题11．31010解析：∵a ＝(3,3),2b －a ＝(－1,1)，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝932×5＝31010.12．3解析：∵AC ＝AB ＋BC ＝AB ＋3BD ＝AB ＋3(BA ＋AD )＝(1－3)AB ＋3AD .∴AC ·AD ＝[(1－3)AB ＋3AD ]·AD ＝(1－3)AB ·AD ＋32AD ＝32AD ＝ 3.13．2 解析：∵|a ＋b |＝22， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8.又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2.14．－43解析：由题意得OA －n ＝⎝⎛⎭⎫cos α，sin α－15， ∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝cos α＋sin α－15＝0，即cos α＋sin α＝15，两边平方得cos αsin α＝－1225.∴cos αsin αcos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α＝－1225， 整理得12tan 2α＋25tan α＋12＝0，解得tan α＝－43或tan α＝－34.由cos αsin α＝－1225，α∈[0，π]可得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，又cos α＋sin α＝15， ∴|cos α|＜|sin α|.∴⎪⎪⎪⎪sin αcos α＞1.即|tan α|＞1故tan α＝－43.15．π6解析：由G 为△ABC 的重心知GA ＋GB ＋GC ＝0，GC ＝－GA －GB .因此由题意有a GA ＋b GB ＋33c (－GA －GB )＝⎝⎛⎭⎫a －33c GA ＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB ＝0；又GA 、GB 不共线，因此有a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－a 22×33c 2＝32；又0＜A ＜π，所以A ＝π6.三、解答题16．解：(1)设D (x ，y )，AB ＝(1,2)，AD ＝(x ＋1，y )．由题得222125(1)10AB AD x y AD x y ⎧⋅=++=⎪⎨=++=⎪⎩，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，(x ＋1)2＋y 2＝10. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ∴D 点坐标为(－2,3)或(2,1)．(2)∵D 点在第二象限，∴D (－2,3)．∴AD ＝(－1,3)．∵AC ＝(－2,1)，设AC ＝m AB ＋n AD ，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝ 1. ∴AC ＝－AB ＋AD .(3)∵3AB ＋AC ＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，AE ＝(m,2)，∴(3AB ＋AC )·AE ＝0. ∴m ＋14＝0.∴m ＝－14. ∴AE ＝(－14,2)．17．解：(1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98，∴cos A cos B ＝9sin A sin B ，得tan A tan B ＝19.(2)∵tan A tan B ＝19＞0，∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正．tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34，当且仅当tan A ＝tan B ＝13时，取得等号．ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38，∴所求最大值为－38.18．解：(1)依题意得OM ＝(1＋cos 2x,1)，ON ＝(1，3sin 2x ＋a )∴y ＝1＋c os 2x ＋3sin 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a . ∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1，y min ＝－1＋1＋1＝1.19．解：(1)m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得： (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 20．解：(1)设n ＝(x ，y )，由m ·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①又m 与n 夹角为34π，有m ·n ＝|m ||n |cos 34π，∴|n |＝1，有x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. 即n ＝(－1,0)，或 n ＝(0，－1)． (2)由n 与q 垂直知n ＝(0，－1)．由2B ＝A ＋C 知B ＝π3，A ＋C ＝23π，0＜A ＜2π3.若n ＝(0，－1)，则n ＋p ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2C2－1＝(cos A ，cos C )， ∴|n ＋p |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫43π－2A ＝1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3， ∵0＜A ＜23π，π3＜2A ＋π3＜5π3.∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＜12. 12≤1＋12cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＜54， 即|n ＋p |2∈⎣⎡⎭⎫12，54，∴|n ＋p |∈⎣⎡⎭⎫22，52.21．解：(1)证法一：∵OA OB +＝OA OB -，∴()2OA OB +＝2()OA OB -，即2OA ＋2OA ·OB ＋2OB ＝2OA －2OA ·OB ＋2OB ，整理得OA ·OB ＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.①设点M (x ，y )是以线段A B 为直径的圆上的任意一点，则MA ·MB ＝0，即(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.展开上式并将①代入得x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.故线段AB 是圆C 的直径． 证法二：∵OA OB +＝OA OB -， ∴()2OA OB+＝2()OA OB -，即2OA ＋2OA ·OB ＋2OB ＝2OA －2OA ·OB ＋2OB ，整理得OA ·OB ＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.②以AB 为直径的圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2122y y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]，展开，并将②代入得x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.∴线段AB 是圆C 的直径．(2)设圆C 的圆心为C (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.∵21y ＝2px 1，22y ＝2px 2(p ＞0)，∴x 1x 2＝221224y y p. 又∵x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＝－y 1y 2.∴－y 1y 2＝221224y y p .∵x 1x 2≠0，y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2.∴x ＝x 1＋x 22＝14p 2212()y y ＋＝14p 221212(2)y y y y ＋＋－y 1y 22p ＝1p(y 2＋2p 2)．∴圆心的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.设圆心C 到直线x －2y ＝0的距离为d ，则d ＝|x －2y |5＝⎪⎪⎪⎪1p(y 2＋2p 2)－2y 5＝|(y －p )2＋p 2|5p.当y ＝p 时，d 有最小值p5，由题设得p 5＝255，∴p ＝2.。
2016届高考数学理专题复习导练测第5章平面向量章末检测(新人教A版)
2016高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新人教A 版(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则 ( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝02．(2011·金华月考)已知a ＝(cos 40°，sin 40°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，则a·b等于 ( )A ．1 B.32 C.12 D.223.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若a·b <0，则△ABC 是 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形4．(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是 ( )A ．若a 与b 共线，则a⊙b ＝0B ．a⊙b ＝b⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a⊙b )D ．(a⊙b )2＋(a·b )2＝|a |2|b |25．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 ( )A ．6B ．2C ．2 5D ．276．(2010·广东)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．37.（2010·辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a|2|b|2－a·b 2B.|a|2|b |2＋a·b 2C.12|a|2|b|2－a·b 2D.12|a|2|b |2＋a·b 2 8.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB→＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．已知a ＝(sin θ，1＋cos θ)，b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则一定有 ( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a 与b 的夹角为45°D ．|a |＝|b |10．(2010·湖南师大附中月考)若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°11．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．912．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C. ⎛⎪⎫7，7 D. ⎛⎪⎫－7，－713．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.14．(2010·舟山调研)甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．15.（2010·天津）如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.16.（2011·济南模拟）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC→＝1，那么c ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2,3)、C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．18．(12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为A (4,0)，B (0,4)，C (3cos α，3sin α)．（1）若α∈,且|AB →|＝|BC →|，求角α的大小；（2）若AC →⊥BC →，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．19．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．20（12分）已知向量OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，－1，OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos 2x ，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC的面积S .21．(12分)(2011·衡阳月考)在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以 103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？22．(12分)(2010·天津一中高三第四次月考)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，m ＝(sinB ＋sin C,0)，n ＝(0，sin A )且|m |2－|n |2＝sin B sinC .(1)求角A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的取值范围．2．B [由数量积的坐标表示知a·b ＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20° ＝sin 60°＝32.]4．B [∵a⊙b ＝mq －np ，b⊙a ＝np －mq ，∴a⊙b ≠b⊙a .]5．D [因为F 23＝F 21＋F 22－2|F 1||F 2|cos(180°－60°)＝28，所以|F 3|＝27.]6．C [∵(8a －b )＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，∴(8a －b )·c ＝6×3＋3x ＝30，∴x ＝4.]7．C [S △OAB ＝12|a ||b |sin 〈a ，b 〉 ＝12|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉 ＝12|a ||b | 1－a·b 2|a|2|b|2＝12|a |2|b |2－a·b 2.]9．B [a·b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b ＝0，∴a ⊥b .]10．A [由a ⊥(a －b )，得a 2－a·b ＝0，即a 2＝a·b ，所以|a |2＝|a ||b |cos θ.因为|a |＝1，|b |＝2，所以cos θ＝22， 又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.] 11．C [由a ＋b ＝(sin x ＋1，cos x ＋3)，得|a ＋b |＝x ＋2＋x ＋32＝2sin x ＋23cos x ＋5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋5 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋5≤4＋5＝3.] 12．D [设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73.] 13. 3解析 如图，a ＝OA →，b ＝OB →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →，由余弦定理得，|a －b |＝ 3.14．北偏东30° 3a解析 如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°，由正弦定理知BCsin ∠CAB ＝AC sin B ， ∴tvsin ∠CAB ＝3tv sin 120°， ∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°， ∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴AC ＝3a .15. 3.16. 2解析 设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，由AB →·AC →＝BA →·BC →得：cb cos A ＝ca cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝cos B sin A ，即sin(B －A )＝0，因为－π<B －A <π所以B ＝A ，从而b ＝a .由已知BA →·BC →]＝1 得：ac cos B ＝1，由余弦定理得：ac a 2＋c 2－b 22ac＝1， 即a 2＋c 2－b 2＝2，所以c ＝ 2.17．方法一 由题意知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．……………………………………………………(3分) 所以，＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210、4 2.…………………………………………(6分) 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，E (0,1)，又E (0,1)为A 、D 的中点，所以D (1,4)．故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42，AD ＝210.……………………………………………………………………(6分)（2）由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．………………………………………………………………(8分) 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.…………………………………………………………(10分)19．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .………………………………………………………………………(4分)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，∵A ∈(0°，180°) ∴A ＝120°.………………………………………………………………………………(6分)(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.………………………………………………(9分)因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C ＝30°.所以△ABC 是等腰的钝角三角形．……………………………………………………(12分)20．解 （1）f (x ) ＝OP →·OQ →＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，…………………………………………………………………………(4分)∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2.……………………………………………(6分)(2)∵f (A )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝22. ∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π4.∴A ＝π4或A ＝π2.…………………………………………………………………………(9分) 又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π4.∵bc ＝8， ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×22＝2 2.……………………………………(12分) 21．解 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图(如图所示)，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6，……………………………………(4分)∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．………………………………………………(8分) ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD＝10t sin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…………………(12分)22．解 (1)∵|m |2－|n |2＝(sin B ＋sin C )2－sin 2A＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin B sin C ……………………………………………………(3分) 依题意有，sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＋2sin B sin C ＝sin B sin C ，∴sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝－sin B sin C ，…………………………………………………(6分)由正弦定理得：b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∵A ∈(0，π) 所以A ＝2π3.………………………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知，A ＝2π3，∴B ＋C ＝π3， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3.………………………………………………………(10分)∵B ＋C ＝π3，∴0<B <π3，则π3<B ＋π3<2π3，则32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3≤1， 即sin B ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.……………………………………………(12分)。
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)阶段性测试题5(平面向量)
阶段性测试题五(平 面 向 量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·皖南八校联考)已知点A (2，－12)，B (12，32)，则与向量AB →方向相同的单位向量是( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] C[解析] AB →＝(－32，2)，|AB →|＝(－32)2＋22＝52， ∴AB →|AB →|＝(－35，45)．2．(2014·韶关市曲江一中月考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝22，a ·b ＝12，∴A 、B 错；∵1×12－0×12≠0，∴a ∥b 不成立；∵(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，选C ．3．(2014·湖南省五市十校联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵m ∥n ，∴(a ＋c )(a －c )－b (a －b )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.4．(2015·沈阳市一模)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[解析] 由a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，得b ＝(1，－3)，从而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－55×10＝－22.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝135°.5．(文)(2014·安徽程集中学期中)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |等于( )A ．2B ．3C ．3D ．4 [答案] A[解析] 设|b |＝m ，则a ·b ＝m cos π3＝m2，|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋m 2＋m ＝7，∴m 2＋m－6＝0，∵m >0，∴m ＝2.(理)(2014·哈六中期中)已知向量a 、b 满足，|a |＝2，a ⊥(a －2b )，2|a2－b |＝3|b |，则|b |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3 [答案] B[解析] 设|b |＝m ，∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝4－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝2，将2|a2－b |＝3|b |两边平方得，4(|a |24＋|b |2－a ·b )＝3|b |2，即4(1＋m 2－2)＝3m 2，∴m 2＝4，∴m ＝2.6．(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2,1)，c ＝(－4，－2)，则下列结论中错误．．的是( )A ．向量c 与向量b 共线B ．若c ＝λ1a ＋λ2b (λ1、λ2∈R )，则λ1＝0，λ2＝－2C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数k 1、k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为0 [答案] C[解析] ∵c ＝－2b ，∴向量c 与向量b 共线，∴选项A 正确；由c ＝λ1a ＋λ2b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －4＝λ1＋2λ2－2＝－2λ1＋λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝0，λ2＝－2，∴选项B 正确；向量c 与向量b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，∴选项C 错误；a ·b ＝0，所以a ⊥b ，夹角是90°，向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos90°＝0，∴D 正确．7．(2015·湖南师大附中月考)若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM →＝12CB →＋23OA →，则MA →·MB →＝( )A ．－1B ． 2C ．－2D ．2 3[答案] C[解析] 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知：A (0,3)，B (－3，0)，C (3，0)，设M (a ，b )，CM →＝12CB →＋23OA →＝12(－23，0)＋23(0,2)＝(－3，2)，又CM →＝OM →－OC →＝(a ，b )－(3，0)＝(a －3，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－3，b ＝2，∴a ＝0，b ＝2， ∴M (0,2)，所以MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)， 因此MA →·MB →＝－2.故选C ．8．(2015·石光中学阶段测试)已知m >0，n >0，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，且a ∥b ，则1m ＋2n的最小值是( ) A ．2 B ．2＋1 C ．22－1 D ．3＋2 2[答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，∴m ＋n ＝1，∵m >0，n >0，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2 2.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝2m n ，m ＋n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2－1，n ＝2－ 2.9．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min ＝－2，故选A ．(理)(2015·成都市树德中学期中)已知a ＝(x 5，y 26)，b ＝(x 5，－y 26)，曲线a ·b ＝1上一点M到F (7,0)的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则|ON |＝( )A ．112B ．212C ．12D ．212或12[答案] B[解析] 由a ·b ＝1得，x 225－y 224＝1，易知F (7,0)为其焦点，设另一焦点为F 1，由双曲线的定义，||MF 1|－|MF ||＝10，∴|MF 1|＝1或21，显然|MF 1|＝1不合题意，∴|MF 1|＝21，ON 为△MF 1F 2的中位线，∴|ON |＝212. 10．(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )A ．最大值为16B ．最小值为4C ．为定值8D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD →|2＝8.11．(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC →＋2PD →|的最小值为( )A ．2B ．4C ．522D ．252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°， ∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)， ∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252， ∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C ．12．(文)(2015·遵义航天中学二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为( ) A ．23B ．13C ．－13D ．－23[答案] A[解析] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD→＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23，故选A ．(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOC →＋βOD →(α，β∈R )，则α＋β的最大值等于( )A ．14B ．43C ．13D ．1[答案] B[解析] 以O 为原点，OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C (0,1)，A (1,0)，B (1,1)，D (3,0)，OP →＝αOC →＋βOD →＝(3β，α)，设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3β，y ＝α，∵P 在△BCD 内，∴⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，x ＋2y －3≤0，y ≤1.∴⎩⎨⎧β＋α－1≥0，3β＋2α－3≤0，α≤1.作出可行域如图，作直线l 0：α＋β＝0，平移l 0可知当移到经过点A (1，13)时，α＋β取最大值43，故选B ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2015·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量a ，b ，c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则a ·(b ＋c )＝________.[答案] 3[解析] 如图建立平面直角坐标系，则a ＝(1,3)，b ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c ＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b ＋c ＝(0,1)， ∴a ·(b ＋c )＝(1,3)·(0,1)＝3.(理)(2015·山西忻州四校联考)已知m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝t m ＋(1－t )n ，若n ⊥a ，则实数t ＝________.[答案] 23[解析] ∵m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝t m ＋(1－t )n ，n ⊥a ，∴n ·a ＝n ·[t m ＋(1－t )n ]＝t m ·n ＋(1－t )n 2＝t cos120°＋1－t ＝1－32t ＝0，∴t ＝23.14．(2014·三亚市一中月考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为________．[答案] 12[解析] ∵〈a ，b 〉＝120°，a ⊥c ，c ＝a ＋b ，∴a ·c ＝a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝|a |2－12|a |·|b |＝0，∴|a ||b |＝12. 15．(文)(2015·湖北教学合作十月联考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若(a ＋b )⊥(a －2b )且|a |＝2，则b 在a 上的投影为________．[答案] －33＋18[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos120°＝－|b |， ∵(a ＋b )⊥(a －2b )，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0， ∴2|b |2－|b |－4＝0，∴|b |＝33＋14，所以b 在a 上的投影为a ·b |a |＝－|b ||a |＝－33＋18.(理)(2015·合肥市两校联考)若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．[答案] (0,2)[解析] a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)， 设a ＝x m ＋y n ＝(y －x ，x ＋2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝2，x ＋2y ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.16．(文)(2015·开封市二十二校大联考)已知向量OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] 设OC →＝(x ，y )，∵OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)， ∴AB →＝(－3,3)．由向量的运算可知OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，∴x ＝y ， AC →＝(x －3，y ＋1)＝λOB →＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，∴λ＝2. (理)(2015·娄底市名校联考)如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →＝(3,2)，则|OP →|＝________.[答案]7[解析] 由题意可得e 1·e 2＝cos120°＝－12.|OP →|＝(3e 1＋2e 2)2＝9|e 1|2＋4|e 2|2＋12e 1·e 2＝9＋4－6＝7.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·皖南八校联考)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →； (2)求向量MN →的模．[解析] (1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →，两式相加，并注意到点M 、N 分别是线段A 1B 1、A 2B 2的中点，得MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)．(2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2→·B 1B 2→＝1，由MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)得，|MN →|＝14(A 1A 2→＋B 1B 2→)2 ＝12A 1A 2→2＋B 1B 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→＝72.18．(本小题满分12分)(文)(2014·宝鸡市质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围．[解析] (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos2C1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin2C －cos2C ＝2sin(2C －π4)． ∵0<C <2π3，∴－π4<2C －π4<13π12， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， 即三角函数式－2cos2C 1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]． (理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)，OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)． 19．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32. ∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形．20．(本小题满分12分)(2014·西工大附中四模)已知向量a ＝(cos x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝2a ·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值． [解析] (1)f (x )＝2(cos x sin x －cos 2x )＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)． 因此，函数f (x )的最小正周期为π.(2)因为f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数，又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1， 故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1. 21．(本小题满分12分)(2015·东北育才学校一模)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos2x )，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)． 当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2时，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3， ∴f (x )＝sin(2x －π6)的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (2)当x ∈[0，π2]时，(2x －π6)∈[－π6，5π6]， ∴sin(2x －π6)∈[－12，1]， 所以，f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值分别为1，－12. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·成都七中模拟)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB→＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋m .(1)若f (x )的定义域为[－π2，π]，求y ＝f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求m 的值． [解析] (1)f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6)＋2＋m ， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3， ∴y ＝f (x )在R 上的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，又f (x )的定义域为[－π2，π]， ∴y ＝f (x )的增区间为[－π2，－π3]，[π6，2π3]． (2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6， ∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12， ∴1＋m ≤f (x )≤4＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝2，4＋m ＝5，∴m ＝1. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． ∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)． (1)由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： 4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3， ∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。
高考数学复习演练 第五章 平面向量(含真题)-人教版高三全册数学试题
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·某某，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·某某，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·某某，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A.1<r <R <3 B.1<r <3≤R C.r ≤1<R <3 D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•某某,15）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣|= ，则x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max = × =．综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6.（2017•某某,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m +n （m ，n ∈R ），则m+n=________．6.3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin（α+45°）=（sinα+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+ n ，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋→＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·某某，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·某某，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•,6）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 1. A ，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件．故选A．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ +μ ，则λ+μ的最大值为（）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C 为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•某某,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞• ＞• ，• ＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选C ．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•（+）的最小值是（ ） A.﹣2B.﹣ C.﹣ D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0，），B （﹣1，0），C （1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则•（+ ）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选B.5.(2016·某某，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ，同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心.DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494， 当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·某某，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·某某，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·某某，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·某某，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－→＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·某某，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t－1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·某某，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·某某，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B.2C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·某某，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18.∵向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴= +4 •+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017•某某,12）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．19.， 是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且• =0；又﹣ 与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）• ﹣λ=××，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．20.（2017·某某,13）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为________．20. 如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴=+=+ = + （﹣）= + ，又=λ ﹣（λ∈R ），∴=（+）•（λ ﹣）=（λ﹣）•﹣+ λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·某某，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·某某，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·某某，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•某某,16）已知向量=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x 的值；（Ⅱ）记f （x ）= ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx+3sinx=0，∴tanx=，∵x ∈[0，π]，∴x= ，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣sinx=2 （cosx ﹣sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x=时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·某某，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]27.(2014·某某，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·某某，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·某某，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD→－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。
高考数学课标通用(理科)一轮复习真题演练：第五章平面向量5-2Word版含解析
真题操练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8 C．6B．－ 6 D．8答案： D分析：由向量的坐标运算，得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得 m＝8，应选 D.2．[2015 ·四川卷 ] 设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数 x＝()A ．2B．3C．4D．6答案： B分析：∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.3． [2014 ·福建卷 ] 在以下向量组中，能够把向量a＝(3,2)表示出来的是()A ．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－ 2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－ 3)，e2＝(－2,3)答案： B分析：解法一：若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，而 a 不可以由 e1，－1 2e 2 表示，清除 A ；若 e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－ 2)，由于 5 ≠－2，所以 e 1，e 2 不共线，依据共面向量的基本定理，能够把向量a ＝(3,2)表示出来，应选 B.解法二：由于 a ＝(3,2)，若 e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a ＝λe 1＋μe 2，清除 A ；若 e 1＝(－ 1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数 λ， μ，使得 a ＝λe 1 ＋μe 2 ，则 (3,2)＝(－λ＋ 5μ，2λ－ 2μ)，因此3＝－ λ＋5μ，λ＝ ，2 解得因此 a ＝2e 1＋e 2，应选 B.2＝2λ－2μ，μ＝1，4．[2015 ·新课标全国卷Ⅱ]设向量 a ，b 不平行，向量 λa ＋b 与 a＋ 2b 平行，则实数 λ＝________.1答案： 2分析： ∵λa ＋b 与 a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t(a ＋2b )，1λ＝t ，λ＝2，即 λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴解得1＝2t ， 1t ＝2.．·北京卷 在△中，点， 知足 →→ → →ABC AM＝2MC ，BN ＝NC5 [2015]M N .→ → →若MN ＝xAB ＋yAC ，则 x ＝________，y ＝________.11答案： 2 －6→→→ ＝2→分析： ∵AM ＝，∴2MC AM 3AC.→ →→1→→∵BN ＝NC ，∴AN ＝2(AB ＋AC)，→ → →1 →→2 →∴MN ＝AN －AM ＝2(AB ＋AC)－3AC→→1 1→ → →又 MN ＝xAB ＋yAC ，1 1∴x ＝2，y ＝－ 6.课外拓展阅读向量问题坐标化向量拥有代数和几何的两重特点， 比方向量运算的平行四边形法例、三角形法例、 平面向量基本定理等都能够以为是从几何的角度来研究向量的特点．而引入座标后，就能够经过代数运算来研究向量，突显出了向量的代数特点，为用代数的方法研究向量问题确立了基础．在办理好多与向量相关的问题时，坐标化是一种常有的思路，利用坐标能够使很多问题的解决变得更为简捷．[ 典例 1]向量a，b，c在正方形网格中的地点如下图．若cλ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.μ[ 分析 ] 设 i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则 a ＝－ i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－ i －3j ，因此－ i －3j ＝λ(－ i ＋j )＋μ(6i1 λ ＋2j )，依据平面向量基本定理得， λ＝－ 2，μ＝－，因此 ＝4.2μ[答案 ]4典例 给定两个长度为的平面向量 → →[ 2]1和OB ，它们的夹角为OA2π︵→→3 .如下图，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动．若 OC ＝xOA ＋ →yOB ，此中 x ，y ∈R ，求 x ＋y 的最大值．[ 思路剖析 ]→[ 解] 以 O 为坐标原点， OA所在的直线为 x 轴成立平面直角坐标系，如下图，1 3则 A(1,0)，B －2，2，2π设∠AOC＝α，α∈0，3，则 C(cos α，sin α)，→→→由 OC＝xOA＋yOB，得1cos α＝x －2y ，3sin α＝ 2 y ，32 3因此 x ＝cos α＋3sin α，y ＝ 3 sin α，因此 x ＋y ＝cos α＋ 3sin α＝2sin α＋π6 ，2π又 α∈0， 3 ，π因此当 α＝3时， x ＋y 获得最大值 2.方法研究典例 2 第一经过成立平面直角坐标系， 引入向量的坐标运算， 然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得此题比较简单解决，表现了坐标法解决问题的优势．。
高考数学总复习闯关密训地卷专题5 平面向量 理
选题表：将试题题号按照知识点填到下表基础 中档 稍难 1.（填知识点） 向量的概念2、7、613、142.（填知识点） 向量的运算 1、3、4、6、8 9、10、15、17 19、203.（填知识点） 向量的运用5、1211、15、1821、22说明：试题选择回归基础，典型试题，体现了新课改的思想，侧重于能力的运用,需要用心来体会和掌握实质。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1 ．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A ．5B ．10C ．25D ．101. 【答案】B【解析】0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,22|||(2,1)(1,2)|3(1)10a b +=+-=+-= 2、（2012厦门市高三上学期期末质检）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1,－2)共线，则实数λ等于（ ）A 2- 1B 3- C 1- 2D 3-3．设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=+b a （ ）A ．5B ．10C ．25D ．104、已知平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、【答案】C ．【解析】解析：()=1-0m m =a -b a ，1m =，选Ｃ5、若20AB BC AB ⋅+=，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6、设向量a ，b 满足||1,||3,a a b =-=()0a a b ⋅-=，则|2|a b +=（ ）A ．2B ．23C ．4D ．437 ．已知两个非零向量,a b 满足+=-a b a b ，则下面结论正确 A ．//a b B ．a b ⊥ C ．=a bD ．+=-a b a b8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形9.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A ．0B ．BEC ．AD D ．CF9、【答案】D【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 10、在边长为1的正三角形ABC 中，13BD BA =，E 是CA 的中点，则CD BE ⋅= （ ） 2A 3- 1B 2- 1C 3- 1D 6-11 ．在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．211、【答案】 B【解析】设c AC b AB ==, ,则0,2,1=•==c b c b ,又cb AQ BA BQ )1(λ-+-=+=,bc AP CA CP λ+-=+=,由2-=•CP BQ 得2)1(4)1()(])1([22-=--=--=+-•-+-λλλλλλb c b c c b ,即32,23==λλ,选B.12 ． (向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．52二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。
【高考调研】高考数学总复习 第五章 平面向量配套单元测试(含解析)理 新人教A版
第五章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是 ( )A ．(5，－12)B ．(－513，1213)C ．(12，－32)D ．(513，－1213)答案 D解析 与a 方向相反的向量只能选A ，D ，其中单位向量只有D. 也可用公式n ＝－a |a |＝－－5，－2＋122＝(513，－1213)求得． 2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4答案 C解析 如图，四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为1的等边三角形，记AB →＝a ，AD →＝b ，则a 与b 的夹角为2π3，故选C.3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →答案 A解析 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.4．已知复数z ＝＋23－4i，则1|z |＋z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2答案 A 解析 z ＝＋23－4i＝－＋25＝－16－925＝－1，所以1|z |＋z ＝1－1＝0.故选A.5．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 方法一 由(z －i)(32－12i)＝1可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.方法二 (z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i. 6．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于 A ．(2,1) B ．(1,0) C ．(32，12)D ．(0，－1)答案 A解析 设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0，y ＋1＝x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，因此c ＝(2,1)．7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝ ( )A ．2B ．3C. 3 D ．4答案 A解析 由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)．故选A.8．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C解析 由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|. ∴AB ＝AC .9．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为A ．(2,14)B ．(2，－27)C ．(－2，－27)D ．(3,6)答案 B解析 方法一 (验证排除法) ∵b 在x 轴上的投影为2，∴b 的横坐标为2，排除C ，D 项；又|b |≤14，排除A 项；故选B.方法二 设向量b ＝(2，y )，由题意得a ·b |a ||b |＝cos α＝522|a |＝22.将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14不合题意，舍去．则y ＝－27，即b ＝(2，－27)．故应选B.10．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，－13)答案 B解析 方法一 |a |＝|b |，要使所求向量e 与a 、b 夹角相等，只需a ·e ＝b ·e . ∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C 、D. 又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二 设a ＝OA →，b ＝OB →.由已知得|a |＝|b |，a ⊥b ，则与向量a ，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角平分线上，与a ＋b 共线．∵a ＋b ＝(4，－3)，∴与a ＋b 共线的单位向量为±a ＋b |a ＋b |＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)． 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．已知复数z ＝1－3i 3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．答案 1解析 z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i＝－＋33＋i＝－i ，|z |＝|i|＝1.12．已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →＝________. 答案 －32解析 由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC ＝60°，AB ＝3，∴AB →·OA →＝3×1×cos150°＝－32.13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝________. 答案 3解析 易知a ＋b ＝(3，n ＋1)，a ·b ＝2＋n .∵|a ＋b |＝a ·b ，∴32＋n ＋2＝2＋n ，解得n ＝3.14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝________.答案 3解析 方法一 如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°， ∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴mn＝333＝3.方法二 由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝(m ，3n )，故由tan30°＝3n m ＝33，可知mn＝3. 15．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．答案 ±2解析 如图，作平行四边形OADB ，则OA →＋OB →＝OD →，OA →－OB →＝BA →，∴|OD →|＝|BA →|.又|OA →|＝|OB →|，∴四边形OADB 为正方形，易知|OA →|为直线在y 轴上的截距大小，a ＝2.验证a ＝－2时，成立．16．对于向量a ，b ，c ，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ＝|c |·b ，c ＝|b |·a ，则|a |＝|b |＝|c |＝1； ③若|a |＝|b |＝2，则(a ＋b )⊥(a －b )； ④若|a ·b |＝|b ·c |且b ≠0，则|a |＝|c |. 其中正确的命题序号是________． 答案 ③解析 当b ＝0时，①不正确；当b ＝0时，且c ＝0时，②不正确；③中，∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )，故③正确；④中取a ≠0且a ⊥b ，而c ＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 答案 (1)－12(2)2解析 (1)∵m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1，∴2cos 2A2－2sin 2A2＝－1，∴cos A ＝－12.(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3.∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin2π3＝2sin B.∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6.∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，若实数k 使|k a ＋b |＝|a －k b |成立，求满足不等式a ·b ≥0的k 的取值范围．解析 由|k a ＋b |＝|a －k b |，得(k a ＋b )2＝(a －k b )2. 即有k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2. ∴8k cos(α－β)＝3(k 2－1)． 若k ＝0，则有|a |＝|b |，与已知矛盾． ∴k ≠0，∴cos(α－β)＝k 2－8k.而a ·b ＝cos α·2cos β＋sin α·2sin β＝2cos(α－β)＝k 2－4k，且a ·b ≥0.∴0≤k 2－4k≤2.解得－1≤k ≤－13或1≤k ≤3.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )．(1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？(2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．解析 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.这与|cos2x |<1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x .又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]．于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝22，当2sin x ＝1sin x，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )·BC →·BA →＋c ·CA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2 3.试求AB →·CB →的最小值． 答案 (1)23π (2)－2解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0. 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0. 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3， 所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2.即AB →·CB →的最小值为－2.21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解析 (1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0，m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)． 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
高三数学一轮(北师大版)第五章 平面向量：教案+基础达标+专题整合+阶段测试卷阶段性测试题5
阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝( ) A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1) D ．(－1，－1)[答案] D[解析] 因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，即AD →＝BC →＝(－1，－1)．选D ．2．(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算． b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选C ．3．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →[答案] A[解析] 由题意知AC →＝－AB →，故OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →. 4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．2 2 C ． 2 D ．3[答案] B[解析] 由题意得，a ＋b ＝c ，且|c |＝2， ∴|a ＋b ＋c |＝|2c |＝2 2.5．已知a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－16B ．16C ．－17D ．17[答案] C[解析] 向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则(λa ＋b )(a －2b )＝0，又因为a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.6．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式． c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)， a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.由两向量的夹角相等可得a ·c |a |＝b ·c|b |，即为5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.7．(2015·皖南八校联考)已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] (BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)·BA →＝0，所以BC →·BA →＝CA →·BA →，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．8．(2015·保定调研)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A ．{－1}B ．∅C ．{0}D ．{0，－1}[答案] A[解析] ∵BC →＝OC →－OB →， ∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →＋(1－x )OB →，∴－x 2＋(1－x )＝1，即x ＝0或x ＝－1(x ＝0舍去)，∴x ＝－1.9．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A ．π2B ．－π2C ．π4D ．－π4[答案] A[解析] 由|2a ＋b |＝|a －2b |知 3|a |2－3|b |2＋8a ·b ＝0. 而|a |＝1，|b |＝1，故a ·b ＝0， 即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π， 故－π<α－β<0，故β－α＝π2，选A ．10．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于 ( )A ．32B ． 3C ．3D ．2 3[答案] C[解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋AB →＋OA →＋AC →＝OB →＋OC →＝0，所以OB →＝－OC →＝CO →，即O 是BC 的中点，所以BC 为外接圆的直径，BC ＝2，则∠BAC ＝90°，因为|OA →|＝|AB →|，所以△ABO 为正三角形，所以∠ABO ＝60°，∠ACB ＝30°，且|AC |＝3，所以CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos30°＝2×3×32＝3，选C ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)若A 、B 、C 、D 四点共线，且满足AB →＝(3a,2a )(a ≠0)，CD →＝(2，t )，则t ＝________. [答案] 43[解析] 因为A 、B 、C 、D 四点共线，所以3at －4a ＝0， 又a ≠0，所以t ＝43.(理)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥B ．则锐角θ＝________.[答案] 45°[解析] 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，cos θ＝±22，锐角θ为θ＝45°.12．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是________．[答案] 4,0[解析] 2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2 ＝8＋4sin θ－43cos θ＝8＋8sin (θ－π3)，最大值为4，最小值为0.13．(2014·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.14．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．[答案] 22[解析] 本题考查向量的线性运算及向量的数量积． 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.借助AD →·AB →表示出AP →·BP →是解决本题的关键所在．15．以下命题：①若|a ·b |＝|a |·|b |，则a ∥b ；②a ＝(－1,1)在b ＝(3,4)方向上的投影为15；③若△ABC 中，a ＝5，b ＝8，c ＝7，则BC →·CA →＝20；④若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |>|a ＋2b |.其中所有真命题的标号是________．[答案] ①②④[解析] 由|a ·b |＝|a |·|b ||cos<a ，b >|＝|a |·|b |，所以cos<a ，b >＝±1，即<a ，b >＝0或<a ，b >＝π，所以a ∥b ，所以①正确．a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝a ·b |b |＝－3＋45＝15，所以②正确．cos C ＝52＋82－722×5×8＝12，即C ＝60°，所以BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|cos120°＝5×8×(－12)＝－20，所以③错误．由|a ＋b |＝|b |得，a 2＋2a ·b ＝0，即2a ·b ＝－a 2，若|2b |>|a ＋2b |，则有4b 2>a 2＋4a ·b ＋4b 2，即a 2＋4a ·b ＝a 2－2a 2＝－a 2<0，显然成立，所以④正确．综上真命题的标号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(－2,1)，c ＝(7，－4)，是否能以a ，b 为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c 用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．[解析] ∵a ＝(3，－2)，b ＝(－2,1)． ∴3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.∴a 与b 不共线，故一定能以a ，b 作为平面内的所有向量的一组基底． 设c ＝λa ＋u b 即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u ，u )＝(3λ－2u ，－2λ＋u )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ－2u ＝7－2λ＋u ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，u ＝－2.∴c ＝a －2B ． 17．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围． [解析] (1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 18．(本小题满分12分)A 、B 、C 是△ABC 的内角，a 、b 、c 分别是其对边，已知m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n ，B 为锐角．(1)求B 的大小；(2)如果b ＝3，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)－(－3)cos2B ＝0，∴sin2B ＋3cos2B ＝0，∴2sin(2B ＋π3)＝0，∴2B ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴B ＝k π2－π6，∵B 为锐角，∴B ＝π3.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴9＝a 2＋c 2－ac ，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤9.等号在a ＝c 时成立， ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9×32＝934.故△ABC 的面积的最大值为934. 19．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3.(1)求|a ＋2b |；(2)若向量a ＋2b 与t a ＋b 垂直，求实数t 的值．[解析] (1)∵向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，∴|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×cos π3＋4＝2 3.(2)∵向量a ＋2b 与t a ＋b 垂直，∴(a ＋2b )·(t a ＋b )＝0， ∴t a 2＋(2t ＋1)a ·b ＋2b 2＝0，∴4t ＋(2t ＋1)×2×1×cos π3＋2＝0，解得t ＝－12.20．(本小题满分13分)如图所示，已知△OCB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，点D 是将OB →分成的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝B ．(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解析] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，可得OB →＋OC→＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53B ．(2)如题图，EC →∥DC →，又因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， 且DC →＝2a －53b ，所以2－λ2＝－1－53，所以λ＝45.21．(本小题满分14分)(文)已知向量OP ＝(2cos(π2＋x )，－1)，OQ ＝(－sin(π2－x )，cos2x )，定义函数f (x )＝OP ·OQ .(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .[解析] (1)f (x )＝OP ·OQ ＝(－2sin x ，－1)· (－cos x ，cos2x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2. (2)∵f (A )＝1，∴sin(2A －π4)＝22.∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π4.∴A ＝π4或A ＝π2.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π4，∵bc ＝8，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝12×8×22＝2 2. (理)已知O 为坐标原点，向量OA ＝(sin α，1)，OB ＝(cos α，0)，OC ＝(－sin α，2)，点P 满足AB ＝BP .(1)记函数f (α)＝PB ·CA ，α∈(－π8，π2)，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；(2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA ＋OB |的值． [解析] (1)AB ＝(cos α－sin α，－1)，设OP ＝(x ，y )， 则BP ＝(x －cos α，y )．由AB ＝BP 得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1， 故OP ＝(2cos α－sin α，－1)．PB ＝(sin α－cos α，1)，CA ＝(2sin α，－1)． f (α)＝PB ·CA ＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1) ＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－2sin(2α＋π4)，又α∈(－π8，π2)，故0<2α＋π4<5π4，当0<2α＋π4≤π2，即－π8<α≤π8时，f (α)单调递减；当π2<2α＋π4<5π4，即π8<α<π2时，f (α)单调递增， 故函数f (α)的单调递增区间为(π8，π2)，单调递减区间为(－π8，π8]，因为sin(2α＋π4)∈(－22，1]，故函数f (α)的值域为[－2，1)．(2)OP ＝(2cos α－sin α，－1)，OC ＝(－sin α，2)， 由O ，P ，C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43.sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425. ∴|OA ＋OB |＝(sin α＋cos α)2＋1 ＝2＋sin2α＝745.。
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2．(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()
A．－2B．－1
C．1D．2
答案D
解析 因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.
则OD⊥BC，＝(＋)，
＝－，
所以·＝(＋)·
＝·＋·＝·
＝(＋)·(－)
＝(2－2)＝×(32－22)
＝.故选B.
二、填空题
6．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
答案(4,7)
解析 由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.
设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，
即解得
所以向量的坐标是(4,7)．
7．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
A.a＋bB.a＋b
C.a＋bD.a＋b
答案B
解析 如图，＝＋，
由题意知，△ABE∽△FDE，
∴DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
∴＝，
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
5.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·的值是()
A.B.
C．2D．3
答案B
解析 取BC的中点D，连接AD，OD，
【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测第五章平面向量阶段测试（七）理新人教A版
(范围：§5.1～§5.4)
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，k)，若a与b共线，则|3a＋b|等于()
A.B．2C．5D．5
答案A
解析 因为a与b共线，所以－2×2－k＝0，
即k＝－4，所以＋b＝3×(1,2)＋(－2，－4)＝(1,2)．
3．已知A(，0)，B(0,1)，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则·等于()
A.B.C．－D．1
答案B
解析 由题意知|AB|＝2，|OC|＝，
∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，
所以·＝||||cos 60°
＝××＝.
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()