乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次诊断性测验数学(文)试卷

乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次诊断性测验文科数学试卷注意事项：本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必写在答卷的指定位置处第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答卷的相应位置上） 1.已知sin α<0且cos α>0,则α是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限的角D. 第四象限角 2.设a ,b 为两条直线，α、β为两个平面. 下列四个命题中，不正确．．．的是 A. a ∥b , b ⊥α⇒a ⊥α B. a ⊥α, a ∥β⇒α⊥βC.,α∥β, a ⊥α⇒a ⊥βD. α⊥β, a ∥α⇒a ⊥β 3.若a , b 是整数，则“a +b 是偶数”是“a 2-b 2是偶数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知等边三角形ABC 的边长为1，且→BC = a ，→AC = b ，则|a +b |= A.32B. 1C. 3D. 2 5.圆x 2+y 2=1上的点到两坐标轴的距离之积的最大值是A. 12B. 22C. 1D. 26.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机的抽取4个，那么恰有2个是好螺丝钉的概率等于A. 12B. 310C. 710D. 20461047. 已知函数f (x )=lo g 3 1x ，则f (1-1x)>1的解集是A. (0, 32 )B. (1, 32) C. (1, 3 ) D. (0, 3 )8.有两个大小一样的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，且这两个球的交线长为 3π，则球的半径是A. 1B. 2C. πD. 2π 9若f (x )=a sin(x +π4)+b sin(x-π4) (ab ≠0)是偶函数，则A. a -b =1B. a +b =1C. a-b =0D. a +b =010. 若点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y-1≥0x+y-2≤0上，点Q 在曲线(x -2)2+y 2=1上，则|PQ |的取值范围是A. [2-1, 2+1]B. [2-1, 5]C.[ 1, 7]D. [2-1,22+1]11.ΔABC 中，已知a =3， b =2， sin B =22，则符合此条件的三角形个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定12. F 1, F 2是双曲线22221x y a b-= （a , b >0）的左、右焦点，过点F 1作一斜率为k 的直线，交双曲线右支于点P ，且∠F 1PF 2为锐角，M 为线段F 1P 的中点，过坐标原点O 作OT ⊥F 1P 于点T ，且|OM | - |TM |=b -a ，则k = A. b a B. a b C. a a 2+b 2 D. b a 2+b 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（请将正确答案直接填在答卷中相应各题的横线上）13. 集合A ={3, lo g 2a }, B ={a , b }，若A ∩B =={1}，则A ∪B = ；14. 已知( x 2+1x3 )n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 （用数字作答）.15. 若直线y = 12x 关于y =x 对称的直线与抛物线y =-x 2-2x +m 相交于两点A 、B ，则线段AB的中点坐标是 . 16. 数列{a n }中，a 1=5, 11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且53111116a a =+++，则数列{a n }中是整数的各项之和等于 .三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数f (x )=sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x . （Ⅰ）求f (π8)的值；（Ⅱ）求f (x )在[0, π]上的单调递减区间.如图所示，已知ABCD是正方形，PC⊥平面ABCD，AB=1，PC=2.（Ⅰ）求异面直线P A与CD所成角的大小；P（Ⅱ）求平面P AB与平面P AC所成二面角的大小.C BD A19.（本题满分12分）相关统计资料表明：某社区一万人中血型为O，A，B，AB的人数分别为4600，4000，1100，300，现随机抽取4人. 求：（Ⅰ）4人中O型血的人数超过半数的概率；（Ⅱ）4人血型均不相同的概率.（以上问题的结果均精确到0.0001）20.（本题满分12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=n-1n(n-1)(n∈N*).（Ⅰ）求a1 , a2；（Ⅱ）证明{S n-1n+1}是等比数列，并写出{a n}的通项公式；焦点为F1(-1, 0 )，F2(1, 0 )的椭圆经过点(0, 1 ).（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若过点F2的直线交椭圆于P、Q两点，且F P FQ=0，试求直线PQ的方程.1122.（本题满分12分）已知函数f (x)=3ax3+(a+2)x2+x (x∈R).（Ⅰ）若a=1时，判断f (x)的单调性；（Ⅱ）若函数f (x)有两个不同的极值点M ( x1, y1 )、N ( x2, y2 )，求直线MN的斜率k的取值范围.乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选D 2．选D ．【解析】αβ⊥，a ∥αa ⇒与β可能平行、相交，或a β⊂，故命题D 错误． 3．选C ．【解析】∵()()22a b a b a b -=+-，,a b 是整数，若a b +是偶数，则()()a b a b +- 是偶数；若()()a b a b +-是偶数，则a b +，a b -中至少有一个偶数，若a b -是偶数，必有,a b 同为奇数或同为偶数，此时仍有a b +是偶数．4．选C ．【解析】设O 是AB 的中点，连接CO ，()()22CO ====a b a b +-+- 5．选A ．【解析】∵x y ⋅≤22122x y+=，当且仅当2x y ==时取等号．6．选B ．【解析】恰有2个是好螺丝钉的概率等于2273410310C C C =． 7．选B ．【解析】3331111log 1log log 331111x x f x x x x⎛⎫->⇒>⇒>⇒> ⎪--⎝⎭-， 2301x x -⇒<-()()3123012x x x ⇒--<⇒<<． 8．选A ．【解析】是半径为2的截面圆的周长，于是在由r 、12r 、Rt △中可得1r =． 9．选D ．【解析】由偶函数定义()()f x f x -= 得 sin sin 44a x b x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 4a x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 4b x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，整理得)sin 0a b x +=，∴0a b +=．∵当0≤x ≤2π时，()f x 单调递增，∴12x x >，即2212x x >.10. 选D ．【解析】在坐标平面画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形，可知PQ 的最小值是点()1,1与圆心()2,0的距离减去半径1，1；PQ 的最大值是点()0,2与圆心()2,0的距离加半径1，即1． 11．选C ．【解析】由已知得a b >，∴A B >，又sin B =B 为锐角，即45B =︒，由正弦定理得sin sin A B =，即sin 2A = ∵0A π<<，∴60A =︒或120A =︒． 12．选B ．【解析】连结2PF ，∵O 是线段12F F 的中点，M 为线段1F P 的中点．∴212OM PF =且OM ∥2PF ，∴11290F MO F PF ∠=∠<︒ ∴点T 在线段1F M 上，而111112MT F M FT F P FT =-=-， ∴()2112111111222OM TM PF F P FT PF F P FT a FT -=-+=-+=-+， 又OM TM b a -=-，∴1FT b =，OT a ===．∴11tan OT ak OFT FT b =∠==． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13.填{}1,2,3．【解析】由{}1AB =知2log 12a a =⇒=，于是只有1b =．14.填210．【解析】由已知得10n =．由()1022051101031rrrr rr T Cx C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令2050r -=，得4r =，常数项为4510210T C ==.15.填(2,4)--．【解析】直线12y x =关于y x =对称的直线为2y x =代人抛物线方程中得 240x x m +-=，1222x x x +==-，12122()422y y x x y ++===-，故线段AB 的中点坐标为(2,4)--．16.填11．【解析】由题意知11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项11116a =+，公差d 有531112116d a a =-=++，即112d =，∴()111111111212n n n a a +=+-⋅=++， ∴1211n a n =-+，要使n a 是整数，需12能被1n +整除，而n ∈*N ，故1,2,3,5,11n =，所以12351111a a a a a ++++=．三、解答题（共6小题，共70分）17．（Ⅰ）∵()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …2分∴222884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； …5分（Ⅱ）∵[]0,x π∈ ∴92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故2π≤24x π+≤32π，即5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()f x 单调递减． …10分 18．解法一（Ⅰ）∵AB ∥CD ∴PAB ∠（或其补角）就是异面直线PA 与CD 所成的角．在Rt PCB ∆中，∵PC =1BC AB ==，∴PB =∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC AB ⊥，又AB BC ⊥，∴AB ⊥平面PBC ，故AB PB ⊥．在Rt PBA ∆中，90PBA ∠=︒，PB =1AB =．∴tan PBPAB AB∠== ∴60PAB ∠=︒． 即异面直线PA 与CD 所成角的大小是60︒； …6分 （Ⅱ）连结BD ，设BDAC O =，过点O 作OE PA ⊥于E ，连结BE ．∵BD AC ⊥，BD PC ⊥，ACPC C = ∴BD ⊥平面PAC ，∴OE 是BE 在平面PAC 上的射影，∴BE PA ⊥， 故BEO ∠就是二面角B PA C --的平面角．在Rt ABC ∆中，1,90BC AB ABC ==∠=︒，∴AC =．在Rt PCA ∆中，PC AC ==45PAC ∠=︒．∴1sin 452OE AO PAC =∠=︒=．在Rt BOE ∆中，tan OBBEO OE∠==BEO ∠=即平面PAB 与平面PAC 所成二面角的大小为． …12分解法二如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0C D A B P ．（Ⅰ）(1,1,)PA =，(1,0,0)CD =，∴1cos ,2PA CD PA CD PA CD⋅〈〉===，故异面直线PA 与CD 所成角的大小为60︒； …6分（Ⅱ）(1,1,)PA =，(1,0,0)AB =-，设平面PAB 的法向量为()a,b,c =n ．则有0000PAPA a b a AB AB ⎧⎧⎧⊥⋅=+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎪⊥⋅=⎪⎪⎩⎩⎩n n n n ，令b =，则有1c =．∴()=n ，易知平面PAC 的法向量为()1,1,0DB =-， ∴3cos ,3DB DB DB⋅〈〉==n n n ． 故平面PAB 与平面PAC 所成二面角的大小为arccos3． …12分 19．（Ⅰ）依题意，4人中有3人或4人出现O 型血型．若有3人出现O 型血型，其余1人是非O 型（A 型、或B 型、或AB 型）概率是3340.46(10.46)0.21025C ⨯⨯-，若4人都出现O 型血型，概率是40.460.04477，∴4人中O 型血型的人数超过半数的概率为0.210250.044770.2550+；…6分（Ⅱ）4人血型均不相同的概率为 440.460.40.110.030.0146A ⨯⨯⨯⨯． …12分20．（Ⅰ）当1n =时，由110S a +=得120a =，∴10a =，当2n =时，2216S a +=，得2126a =，解得2112a =； ……4分 （Ⅱ）当n ≥2时，由1n n n a S S -=-代人1(1)n n n S a n n -+=+中，得：1111212(1)1(1)1n n n S S n n n n n n n---==-=-++++，∴11121n n S S n n -⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，且11122S -=-， 所以11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为12-，公比为12的等比数列． 即111111222n n nS n -⎛⎫-=-=-⎪+⎝⎭⇒ 1112n n S n =-+，于是 1(1)n n n a S n n -=-+111(1)12n n n n n -=-+++112(1)n n n =-+； …12分21．（Ⅰ）由题意知1b c ==，∴2222a b c =+=，故所求椭圆方程为2212x y +=； …4分 （Ⅱ）由题意得()()121,0,1,0F F -，设()()1122,,,P x y Q x y ， ①若k 不存在，直线PQ 的方程为1x =，则1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和1,Q ⎛ ⎝⎭ 或1,2P ⎛- ⎝⎭和1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，此时11702F P FQ ⋅=≠，∴1x =不符合题意； ②当k 存在时，设直线PQ 的方程为()1y k x =-，则,P Q 满足方程组()221,1.2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k ⇒+-+-=． 于是2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， []2212121212(1)(1)()1y y k x x k x x x x =--=-++由111122121212(1,)(1,)()1F P FQ x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++ 2221212(1)1()1k x x k x x k =++-+++（）2222222(1)(22)4(1)12121k k k k k k k +--=+++++2271021k k -==+．即k =．∴所求直线PQ的方程为)1y x =-． …12分 22．（Ⅰ）当1a =时，()22()96131f x x x x '=++=+≥0，∴1a =时，函数32()3(2)f x ax a x x =+++在(),-∞+∞上单调递增； …4分（Ⅱ）∵2()92(2)1f x ax a x '=+++，又函数()f x 有两个不同的极值点，∴△24(2)364(1)(4)0a a a a =+-=-->，⇒4a >，或1a <.且122(2)9a x x a ++=-，1219x x a=， 于是221211221212()()3()(2)()1f x f x k a x x x x a x x x x -==++++++-21212123()3(2)()1a x x ax x a x x =+-++++22(2)12(2)33(2)1999a a a a a a a a ++⎡⎤⎡⎤=--⋅++-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 2210827a a a -+-=24527a a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.在4a >，或1a <时，45a a +>，或44a a +<-. ∴0k <，或23k >. 故k 的取值范围是2(,0),3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. …12分 以上各题的其它解法，限于篇幅，从略.请相应评分.。