2019-2020年高三诊断考试数学理试题

2019-2020年高三诊断考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kn k n n P k C P -=-球的表面积公式24S R π=, 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球半径。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

） 1. 若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为 A.-7 B.17-C.7D.7-或17- 2．抛物线22y x =-的准线方程是A.12x =B. 18x =C.12y = D . 18y = 3. 设函数32()331f x x x x =-+-，则)(x f 的反函数)(1x f-为A. 1()1)f x x R -=+∈ B. 1()10)f x x -=+≥C. 1()1)f x x R -=∈D. 1()10)f x x -=≥4. “cos α =35”是“cos2α= -725”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A ．022=-+y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ． 022=+-y x6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于7.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CAC B ⋅等于A.323 D.8. 函数x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ=a (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 A ．2πB ．23πC ．πD ．43π9. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有A.5858A A 种 B. 812A 种 C. 8188A C 种 D.8189A C 种10．已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当20x -≤≤时，f ( x ) =log 2( 1 – x )，则f ( 2011 )的值是A ．2012B ．2C ．1D ．011．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：112．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是A.(0,)+∞B.1(,)3+∞ C. 1(,)5+∞ D. 1(,)9+∞ 二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。

把答案填写在答题卷上) 13．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2，则yx的最小值是 14. 如果随机变量2~(,),N ξμσ则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.已知随机变量~(3,1)x N ，则(45)P x <<= ；15. 在斜三棱柱111ABC A B C -中, 底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形, 点1A 在平面ABC上的射影为AC 的中点D , AC ＝2,1BB ＝3,则1AB 与底面ABC 所成角的正切值为 .16. 已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤) 17.（本题满分10分）若2()sin cos(0)2f x x x xωωωω=-->的图像与直线)0(>=mmy相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.(1)求ω和m的值；(2)在⊿ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。

若0)2A（，是函数)(xf图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC外接圆的面积。

18.（本小题共12分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p>，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19.（本小题满分12分）已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M、N分别为棱BE、AD 的中点，1=AB,2=AD，(1)证明：直线//AM平面NEC；(2)求二面角DCEN--的大小．20．（本小题满分12分）已知数列{},{}n na b满足：11233,6,a b a===*1122,(2,).nn n n n nb b b a na n n N+-=-=-≥∈B CD第19题图（I ）探究数列{}2nnb 是等差数列还是等比数列，并由此求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n na 的前n 项和.n S21．（本小题满分12分）已知抛物线28x y =的焦点为F ，其准线与y 轴交于点M ，过M作直线与抛物线在第一象限的部分交于,A B 两点，其中B 在,A M 之间。

直线AF 与抛物线的另一个交点为C 。

（Ⅰ）求12x x 的值,求证：点B 与C 关于y 轴对称。

（Ⅱ）若MAC ∆的内切圆半径1r =，求FA FB ⋅的值。

22．（本题满分12分）已知函数xxx f ln 1)(+=。

（Ⅰ）若函数在区间)21,(+a a 上存在极值(a ＞0)，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1≥x ，不等式1)(+≥x kx f 恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）求证：2])!1[(+n ＞)()1(2*-∈⋅+N n e n n 。

2012年西北师大附中高三年级诊断考试试卷理科数学 答案及参考评分标准一、选择题：1212r r >．112222c c e a r r ==双－21025c c c c ==-－；212222c c e a r r ==+椭21025c c c c ==++．52210,2c c c +>>三角形两边之和大于第三边， ∴2122211252531c e e c c ⋅==>--，因此选B 。

二、填空题：13、2 14、0.1362 15、5 16、27三、解答题(本大题有6个小题；共70分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤)17. （本小题满分10分）解：（1）2()sin cos f x x x x ωωω=--sin(2)3x πω-- ………………3分 由题意，函数)(x f 的周期为π，且最大值为m ，所以，1,ω=1m = ………………………………5分（2）∵（0)2A，是函数)(x f 图象的一个对称中心∴0)3sin(=-πA ,又因为A 为⊿ABC 的内角，所以3π=A ………………………7分⊿ABC 中，设外接圆半径为R ， 则由正弦定理得：3383sin4sin a2===πAR ，即：334=R则⊿ABC 的外接圆面积3162ππ==R S ………………………………10分 18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=，解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =．…………………6分（Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=，52016(6)198181P ξ==--=， 所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分 19. （本小题满分12分）方法一：（1）证明：取EC 的中点F ，连接FM ，FN ，则BC FM //，BC FM 21=，BC AN //，BC AN 21= ………………………2分 所以BC FM //且BC FM =，所以四边形AMFN 为平行四边形，所以NF AM //， …………………………………4分 因为⊄AM 平面NEC ，⊂NF 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ； …………………………………6分 （2）解：由题设知面面，，ADE CD 面⊥∴46223,cos -=⨯-=>=< ………………………………11分 因为二面角D CE N --的大小为锐角, 所以二面角D CE N --的大小为 46arccos ………………………………12分 20．（本小题满分12分）解: （I ）由122,nn n b b +=-得1+11-,222n n n n b b +-= 数列{}2n n b 是等差数列, =212n n n b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.--------------------------------------------4分 （II ）1n n n b a na -=-,得11-2-2nn n n a n a --=,∴ ()212111211121-2-2-2-2132-2-2-2-2n n n n n n n n n n a a a a n n a a a a ------=∙=-∙∴()13212!2n n n a n n n =-+=+-------------------------------------------8分∴()!21!!2n n n na n n n n n n =+=+-+()()()()()()()12122!1!3!2!1!!12222=1!-112222n n nS n n n n n =-+-++-+++++++------------------10分记12=12222n S n ++,由错位相减法,可得()1=122n S n +-+∴()()1=1!121n n S n n +++-+ -----------------------------------------12分21．（本小题满分12分） （Ⅰ）F(0,2),M(0,-2)设直线AB : 112(0)y k x k =->，直线AC ：22y k x =+设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y ，将112(0)y k x k =->代入28x y =得：218160x k x -+=，由0∆>21111k k ⇒>⇒>又121128,16,x x k x x +== ① ----------------------------------------------3分 同理：132138,16,x x k x x +==- ② 由①②12x x =13x x -，23x x ⇒=-由抛物线的对称性知：点B 与C 关于y 轴对称-----------------------------------------------6分 （Ⅱ）由1知Y 轴平分角AMC ，故三角形MAC 的内心必在Y 轴上，设为(0,)I a 则I 到边AC,AM 的距离都是11=1= ③把32x x =-代入②：1228x x k -=，所以22122()64x x k -=，2212122()464x x x x k +-=，结合①：2212121()46464x x x x k +-=-22211k k =-，④③④联立，1158k =所以FA FB ⋅=1212(2)(2)x x y y +--=121112(4)(4)x x k x k x +--=2112112(1)4()16k x x k x x +-++=213216k -=974- ------------------------------- 12分22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）定义域),0(+∞2ln )(',ln 1)(xxx f x x x f -=∴+= ，∴当0＜x ＜1，()f x '＞0，↑)(x f ，x ＞1，)('x f ＜0，↓)(x f1=∴x 处)(x f 取极大值，则⎪⎩⎪⎨⎧+1211＞a a ＜, 解得21＜a ＜1。