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2018高三数学离散型随机变量的均值、方差和正态分布练习题

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专题68 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(原卷版)

专题68 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(原卷版)

专题68离散型随机变量的均值与方差、正态分布最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.基础知识融会贯通1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )22()2x μσ−−，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.重点难点突破【题型一】离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差【典型例题】X是离散型随机变量，E（X）＝6，D（X）＝0.5，X1＝2X﹣5，那么E（X1）和D（X1）分别是（）A．E（X1）＝12，D（X1）＝1 B．E（X1）＝7，D（X1）＝1C．E（X1）＝12，D（X1）＝2 D．E（X1）＝7，D（X1）＝2【再练一题】已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是（）A．B．C．D．命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值【典型例题】设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b，又X的数学期望为E（X）＝3，则a ﹣b（）A．B．0 C．D．【再练一题】已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X），则n＝，p＝．思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．【题型二】均值与方差在决策中的应用【典型例题】2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”．某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A种产品；项目二使用乙种机器生产B种产品．甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台．该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率．（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产．据统计：当投入项目一的生产专用资金为a万元时，生产A产品获利的概率是，且一年获利a 万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．当投入项目二的生产专用资金为a万元时，生产B产品获利的概率是，且一年获利a万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由．【再练一题】某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【题型三】正态分布的应用【典型例题】已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N （1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间 （3，5）的概率为 （附：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545）（ ） A ．0.3174 B ．0.2718C ．0.1359D ．0.0456【再练一题】某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩X ～N （100，σ2）．统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为 ．思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.基础知识训练1．设ξ是随机变量，且(5)20D ξ=，则()D ξ=（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．4D ．202．设随机变量(3,)B p ξ:，若19(1)27P ξ≥=，则D ξ=( ) A ．13 B ．23C ．1D ．23．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中15P =，则方差()53D X +等于( ) A ．15B ．20C ．50D ．604．已知随机变量X 的分布列如下表所示则()25E X −的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知随机变量X 服从正态分布2()N μσ，，且(22)0.9544P X μσμσ<≤－＋＝，0().6826P X μσμσ<≤－＋＝ ，若41μσ＝，＝，则()56P X <<等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27186．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ）A ．11009B ．12018C ．14 D ．127．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==−=，若12112p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X > 8．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大 9．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大10．已知离散型随机变量ξ的分布如下，若随机变量31ηξ=+，则η的数学期望为（ ）A ．3.2B ．3.4C ．3.6D ．3.8 11．设01p <<，随机变量ξ的分布列为那么，当p 在(0,1)内增大时,()D ξ的变化是（ ） A ．减小 B ．增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小12．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布()2100N σ，，且()801000.4P ξ<=….若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（ ）A ．20份B ．15份C ．10份D ．5份13．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______．14．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1.3则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示）15．已知X 是服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，设2~(1,)X N σ，(3)0.2P ξ≥=,则(11)P ξ−<<＝______．（用数字作答）16．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ−<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ−<<+≈.17．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？18．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附参考公式及数据:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++, 其中n a b c d =+++19．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：将频率作为概率，解答下列问题：(1)当15,25a b ==时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率； (2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求,,a b c 的值(每组数据以中点值代替)；(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．20．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“很幸E X．福”的人数,求X的分布列及()21．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ.1.16≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ−<<+≈，(22)0.955P X μσμσ−<<+≈,(33)0.997P X μσμσ−<<+≈.22．每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取人，再在人中抽取人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为，求的分布列和数学期望. 附：能力提升训练1．从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则方差__________．2．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()D X =______. 3．设随机变量，且，则_____．4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=_____.5．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望______．6．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称RMM ）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克（IMO ）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式与数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++7．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在[50,55]的有5人.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在[65,75]学生中任选3人，设X表示体重超过70kg的学生人数，求X的分布列和数学期望.8．新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4a b=.（Ⅰ）估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）（Ⅱ）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在[60,70)的人数为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取n人作调查，记成绩在[60,70)，[90,100]D X ，求n的最大值.的人数为X，若() 2.29．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望. 附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++.10．有两种理财产品A 和B ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A ：产品B ：注：0,0p q >>（1）若甲、乙两人分别选择了产品,A B 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于34，求实数p 的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.。

专题12-6 离散型随机变量的均值与方差测-2018年高考数学理一轮复习讲练测 含解析 精品

专题12-6 离散型随机变量的均值与方差测-2018年高考数学理一轮复习讲练测 含解析 精品

2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【测】第十二章 概率与统计第06节 离散型随机变量的期望和方差班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1. 已知随机变量X 的分布列为()13P X k ==， 1,2,3k =，则()35D X +等于( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】由题意， ()()112323E X =++⨯=， ()()()()2221212223233D X ⎡⎤∴=-+-+-⨯=⎣⎦，()()2359963D X D X ∴+==⨯=，故选A. 2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A. 2,x s B. 2200,x s + C. 22,200x s D. 22200,200x s ++ 【答案】B3. 节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布：若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ） A. 754元 B. 720元 C. 706元 D. 690元 【答案】C4. 在—次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（）A. 3B. 4C. 1D. 15 16【答案】A【解析】抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为4341124C⎛⎫=⎪⎝⎭,因为116,4Bξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,所以ξ的方差是11161344⎛⎫⨯⨯-=⎪⎝⎭，选A.5. 某竞猜活动有54人参加.设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品.假定每位参与者答对每道填空题的概率为12，答对每道选择题的概率为13，且每位参与者答题互不影响.设参与者中可获得纪念品的人数为X，则均值（数学期望）EX=（）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】由题意得某位参与者得4分的概率为22311212339C⎛⎫=⎪⎝⎭,得5分的概率为31112354⎛⎫=⎪⎝⎭,所以参与者获得纪念品的概率为11795454+= ,因为754,54X B⎛⎫~ ⎪⎝⎭,所以7547,54EX=⨯=选B.6. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A．0.4 B．1.2 C．0.43D．0.6【答案】B【解析】∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.7. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )(A)A1(B)A2(C)A3(D)A4【答案】C.8. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差()D X=（）A. 2B. 1C. 23D.34【答案】C【解析】试题分析：每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以取出红球的概率服从二项分布，即23,3x B⎛⎫~ ⎪⎝⎭,所以()22231333D x⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，故选C.9.一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该远动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，[)0,1c∈），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当1019a b+取最小值时，c的值为（）A．111B．211C．511D．0【答案】A10. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B 【解析】试题分析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为22215+=.339（）（） 若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.所以()()()25542041624699981981P P P ξξξ====⨯====，，（），所以()52016266=2+4+6=.9818181E ξ⨯⨯⨯故选B. 11. 如图, 将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割成125个同样大小的小正方体, 经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（ ）A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75【答案】B 【解析】试题分析：X 的可能取值为0,1,2,3.（1）8个顶点处的8个小正方形涂有3个面，所以8125PX （=3）=； （2）每条棱上除了两个顶点处的小正方形，还有3个，一共有412=36⨯个小正方形涂有2个面，所以36125P X （=2）=； （3）每个面上除去棱上的还有9个小正方形，因此有96=54⨯个小正方形涂有一面，所以54125P X （=1）=； （4）还有125-++=（83654）27个没有涂漆的小正方形，所以27125P X （=0）=； 故()275436860+++=1251251251255E X =⨯⨯⨯⨯123.选B. 二、填空题12. 【2018浙东北联盟模拟】已知随机变量ξ的分布列为：若()13E ξ=，则a b +=__________， ()D ξ=__________． 【答案】 12 119【解析】由题意可得： 11111,10123663a b a b +++=-⨯++⨯+=，解得52,189a b ==， ()2222151111121110123183336399D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为13， 119.13. 一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X ，则X 的期望)(X E = ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= 3631820816C C =，P （X=1）= 12126318180816C C C =， P （X=2）= 21126318396816C C C =， P （X=3）= 312318220816C C =，∴E （X ）=0×20816+1×180816+2×396816+3×220816=2 14. 某工厂生产A ，B 两种元件，现从一批产品中随即抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A ，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy=__________ 【答案】72三、解答题15. 【2018甘肃武威第六中学模拟】某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23. （Ⅰ）求比赛三局甲获胜的概率； （Ⅱ）求甲获胜的概率；（Ⅲ）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望. 【解析】记甲n 局获胜的概率为n P ， 3,4,5n =，（Ⅰ）比赛三局甲获胜的概率是： 333328327P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （Ⅱ）比赛四局甲获胜的概率是： 32432183327P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 比赛五局甲获胜的概率是： 3225421163381P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；甲获胜的概率是： 3456481P P P ++=. （Ⅲ）记乙n 局获胜的概率为'n P ， 3,4,5n =.333311'327P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3243122'3327P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 32254128'3381P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故甲比赛次数的分布列为：所以甲比赛次数的数学期望是：()188216810734527272727818127E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯++⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 16. 【2018四川省德阳市联考】为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；以表中抽到的10户作为样本估计全市．．的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.【解析】（1）()()2100.54002100.64104000.8227⨯+-⨯+-⨯=元设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3()373107024C p C ξ=== ()217331021140C C p C ξ=== ()12733107240C C p C ξ=== ()3331013120C p C ξ===故ξ的分布列是所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知()10103255kkk p X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,1,2,3,10k =32321555510103232155551010(((({((((k k k k C C C C+-≥≥,解得283355k ≤≤， *k N ∈ 所以当6k =时，概率最大，所以6k =17. 【2018四川南充市嘉陵一中模拟】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位: ,100150t X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量， T (单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率），求T 的数学期望. 【解析】（1）当[)100,130X ∈时， ()50030013080039000T X X X =--=-， 当[]130,150X ∈时， 50013065000T =⨯=.所以80039000,100130,{65000,130150.X X T X -≤<=≤≤（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T 的分布列为所以450000.1530000.2610000.3650000.459400ET =⨯+⨯+⨯+⨯=.18. 【2018河南漯河市高级中学模拟】汽车4S 店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。

专题练 第22练 随机变量及其分布

专题练 第22练 随机变量及其分布

第22练随机变量及其分布1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p 等于()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.2．(2019·浙江)设0<a<1，则随机变量X的分布列是X 0 a 1P 131313则当a在(0,1)内增大时，() A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝13(a＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误．4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P (ξ＝2)＝________，E (ξ)＝________. 答案1635 127解析 由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4， P (ξ＝1)＝C 26C 37＝1535＝37，P (ξ＝2)＝C 12C 24＋C 22C 14C 37＝1635， P (ξ＝3)＝C 23C 37＝335，P (ξ＝4)＝1C 37＝135，所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与均值． 解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ，B ，C ， 所以甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30， 所以P (X ＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P (X ＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 则X 的分布列为E (X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值E (X )． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142E (X )＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.9．(2022·温州模拟)已知随机变量X 的分布列是X －1 0 1 Pa13b若E (X )＝0，则D (X )等于( ) A ．0 B.13 C.23 D ．1答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13＝1，E (X )＝－a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝13，因此，D (X )＝13[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝23.10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p ，则A310飞机能成功飞行的概率为C 22p 2＝p 2，A340飞机能成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋C 44p 4＝－3p 4＋4p 3， 令－3p 4＋4p 3>p 2，即－3p 2＋4p >1， 解得13<p <1.所以0<1－p <23，所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N (μ1，σ21)，η～N (μ2，σ22)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ21＝2 500，σ22＝1 600，两正态密度曲线在直线x ＝μ2左侧交于点M (x 0，y 0)，则下列说法正确的是( )A ．P (ξ<μ1)<P (ξ<μ2)B ．P (η<μ1)>P (η<μ2)C ．P (ξ>x 0)<P (η>x 0)D ．P (ξ>1 250)>P (η<1 050) 答案 BC解析 由图可知P (ξ<μ1)>P (ξ<μ2)，故A 错误； 由图可知P (η<μ1)>P (η<μ2)，故B 正确； ∵P (ξ>x 0)＝1－P (ξ≤x 0)，P (η>x 0)＝1－P (η≤x 0)， 由图可知P (ξ≤x 0)>P (η≤x 0)， ∴P (ξ>x 0)<P (η>x 0)，故C 正确； μ1＝1 150，σ1＝50，μ2＝1 130，σ2＝40， P (ξ>1 250)＝P (ξ>μ1＋2σ1)， P (η<1 050)＝P (η<μ2－2σ2) ＝P (η>μ2＋2σ2)，根据正态密度曲线的性质和3σ原则，应该有P (ξ>1 250)＝P (η<1 050)，故D 错误． 12．(多选)(2022·唐山模拟)下列说法正确的是( )A ．某投掷类游戏闯关规则是参加游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则闯关成功的概率为3132B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为C 15C 314C 415C ．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a i (i ＋1)(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝29D ．若随机变量η～N (2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P (η<2)＝0.5，E (δ)＝6 答案 AC解析 选项A,5次都没投中的概率为⎝⎛⎭⎫125＝132.所以闯关成功的概率为1－132＝3132，故A 正确； 选项B ，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生分为1名女生、3名男生，2名女生、2名男生，3名女生、1名男生，4名都是女生4种情况．共有C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45＝1 155(种)情况．而C 15C 314＝1 820，所以其中至少有1名女生的概率为C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45C 415≠C 15C 314C 415，故B 不正确； 选项C ，由P (X ＝i )＝ai (i ＋1)(i ＝1,2,3)， 则a ⎝⎛⎭⎫12＋16＋112＝1，解得a ＝43， 所以P (X ＝2)＝43×12×3＝29，故C 正确；选项D ，随机变量η～N (2，σ2)，则P (η<2)＝0.5，E (η)＝2，所以E (δ)＝E (3η＋1)＝3E (η)＋1＝7，故D 不正确．13．(2022·咸阳模拟)经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为________． 答案 0.35解析 ∵学生成绩X 服从正态分布X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3， ∵P (X ≥90)＝12[1－P (80<X <90)]＝12(1－0.3)＝0.35， ∴从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35.14．(2022·绍兴模拟)袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立．设此过程中取到红球的个数为ξ，则P (ξ＝1)＝______，E (ξ)＝______. 答案1225 45解析 有放回地取球，每次取一球， 则每次取到红球的概率为C 12C 15＝25，P (ξ＝1)＝C 12×25×35＝1225， 在此过程中取到的红球个数为ξ，ξ的可能取值为0,1,2. 则ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，25，则E (ξ)＝2×25＝45. 15．(2022·武汉模拟)某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前40分钟，晚餐后30分钟各做一套试卷．小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对两位同学过去100天的安排统计如下：假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：(1)请预测在今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率；(2)记X 为两位同学在一天中选择科目的个数，求X 的分布列和均值E (X )；(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由．解 (1)由表格数据知，小红中午和晚上都选数学的概率为25100＝14，∴今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫143×⎝⎛⎭⎫342＝45512. (2)由表格数据知，小红选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为14，选择物理1科的概率为110；选择2科的概率为1120；小明选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为15，选择物理1科的概率为310；选择2科的概率为25；则X 所有可能的取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×⎝⎛⎭⎫15＋310＋110×⎝⎛⎭⎫14＋110＋14×15＋110×310＝33200， P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－1100－33200＝3340，∴X 的分布列为E (X )＝0×1100＋1×33200＋2×3340＝363200.(3)记事件A 1：小红晚上做物理试卷；事件A 2：小明晚上做物理试卷； 事件B 1：小红中午做数学试卷； 事件B 2：小明中午做数学试卷； 由表格数据可得 P (A 1)＝30100＝310，P (A 2)＝55100＝1120，P (A 1B 1)＝20100＝15，P (A 2B 2)＝25100＝14；∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝15310＝23，P (B 2|A 2)＝P (A 2B 2)P (A 2)＝141120＝511，∵23>511，即P (B 1|A 1)>P (B 2|A 2)， ∴在晚上做物理试卷的条件下，小红更有可能中午选择做数学试卷．16．(2022·桂林模拟)某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化、精细化管理，使得葡萄产量有较大提高．葡萄采摘并去掉残次品后，随机按每箱10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量(单位：kg)，将称量结果分成5组：[1.0，1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)，[1.8，2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x (残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表)；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布N (μ，0,04)，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值x ，请估计10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数；(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过1.8 kg 的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为ξ，求ξ的均值．附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解 (1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4＋1.0＋2a ＋2.0)＝1，解得a ＝0.8. 估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x ＝1.1×0.4×0.2＋1.3×1.0×0.2＋1.5×2.0×0.2＋1.7×0.8×0.2＋1.9×0.8×0.2＝1.524. (2)由题意可知，μ＝1.524，σ＝0.2， 所以μ－2σ＝1.124，μ＋2σ＝1.924， μ－σ＝1.324，μ＋σ＝1.724.所以P (1.124<X <1.724)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋σ)＝12[P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＋P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)]≈0.818 6. 所以10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数的估计值为 10 000×0.818 6×10＝81 860.(3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8 kg 的频率为0.8×0.2＝0.16， 因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为P ＝0.16＝425，依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…，10，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，425， 所以ξ的均值为E (ξ)＝10×425＝85.[考情分析] 高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．一、分布列的性质及应用 核心提炼1．离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n离散型随机变量X 的分布列具有两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．2．E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i ；D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i .3．均值、方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． (3)X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 练后反馈题目 2 4 7 9 正误错题整理：二、随机变量的分布列 核心提炼1．n 重伯努利试验与二项分布X ～B (n ，p )，P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ， m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 练后反馈题目 1 5 6 8 10 12 14 15 正误错题整理：三、正态分布 核心提炼 正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(3)曲线与x 轴之间的区域的面积总为1.(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 练后反馈题目 3 11 13 16 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下表：ξ 1 a 9 Pb1－2bb其中1<a <9,0<b <12，则下列说法正确的是( )A ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而增大B ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而减小C ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最小值D ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最大值答案 C解析 若a ＝5，则E (ξ)＝1×b ＋5×(1－2b )＋9b ＝5，故A ，B 均错误； 若b ＝13，则E (ξ)＝1×13＋a ×13＋9×13＝a ＋103，D (ξ)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－a ＋1032＝127(6a 2－60a ＋438)， 其对称轴为直线a ＝6012＝5，则a ＝5时，D (ξ)有最小值，故C 正确，D 错误．2．[T12补偿]某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设小王正确完成的面试题数为X ，则X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝420＝15；P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝1220＝35；P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝420＝15.∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.3．[T10补偿](2022·重庆模拟)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.000 5.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当0<p <0.001时，(1－p )n ≈1－np (n ∈N *)，据此计算E (X )∶E (Y )的近似值为( ) A.12 B.1427 C.611 D.59 答案 B解析 由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行“10合1”混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次， 概率分别为(1－p )10和1－(1－p )10，故10人组检测次数的均值为11－10(1－p )10，相当于每个个体平均检测[1.1－(1－p )10]次， 同理，采用“5合1”混检，每个个体平均检测 [1.2－(1－p )5]次，∴E (X )∶E (Y )＝1.1－(1－p )101.2－(1－p )5≈1.1－(1－10p )1.2－(1－5p )＝0.1＋10p 0.2＋5p ＝0.1＋0.0050.2＋0.002 5＝1427.4．[T6补偿]盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案 131解析 当ξ＝0时，有两种情况： 第一种为第一次拿到红球，第二种为第一次拿到绿球，第二次拿到红球， 故P (ξ＝0)＝14＋14×13＝13.当ξ＝1时，有三种情况，即黄红、绿黄红、黄绿红， 故P (ξ＝1)＝24×13＋14×23×12＋24×13×12＝13.当ξ＝2时，有四种情况，即黄黄红、黄绿黄红、绿黄黄红、黄黄绿红， 故P (ξ＝2)＝24×13×12＋24×13×12＋14×23×12＋24×13×12＝13.所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.5．[T8补偿]某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响． (1)当p ＝15时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；(2)乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p (0<p <1)的最小值．解 (1)①记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲自己答对”， 则P (A )＝12＋12×15＝35，P (AB )＝12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1235＝56.②根据题意得，X 的可能取值为0,1,2,3,4， 甲答对某道题的概率P (A )＝12＋12×15＝35，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， P (X ＝k )＝C k 4×⎝⎛⎭⎫35k ×⎝⎛⎭⎫254－k (k ＝0,1,2,3,4)， 故随机变量X 的分布列为E (X )＝4×35＝125.(2)记事件A i 为“甲答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 事件B i 为“乙答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 其中甲答对某道题的概率为12＋12p ＝12(1＋p )，答错某道题的概率为1－12(1＋p )＝12(1－p )，则P (A 1)＝C 12×12(1＋p )×12(1－p ) ＝12(1－p 2)， P (A 2)＝⎣⎡⎦⎤12(1＋p )2＝14(1＋p )2， P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， P (B 1)＝C 12×23×13＝49， 所以P (A 1B 0∪A 2B 1∪A 2B 0)＝12(1－p 2)×19＋14(1＋p )2×49＋14(1＋p )2×19＝136×(3p 2＋10p ＋7)≥1536， 又0<p <1，所以23≤p <1，则p 的最小值为23.。

离散型随机变量的均值、方差和正态分布

离散型随机变量的均值、方差和正态分布

10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布[知识梳理]1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D(X )(a ，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差4．正态曲线(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x (即x＝a ，x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.[诊断自测] 1．概念思辨(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－3P 68T 1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 答案 A解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.故选A. (2)(选修A2－3P 75A 组T 1)正态分布密度函数为 φμ，σ(x )＝18πe －x 28，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别为()A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2答案 C解析 根据已知条件可知μ＝0，σ＝2，故选C.3．小题热身(1)(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 答案 B解析 P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.(2)(2018·张掖检测)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 设涂0个面的小正方体有x 个，涂1个面的小正方体有y 个，涂2个面的小正方体有z 个，涂3个面的小正方体有w 个，则有0·x ＋1·y ＋2·z ＋3·w ＝25×6＝150，所以E (X )＝0·x 125＋1·y 125＋2·z125＋3·w 125＝150125＝65.故选B.题型1 与二项分布有关的期望与方差典例(2017·山西太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？解 (1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9. 即顾客A 所奖资金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5. 若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w3元，则E(w3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E(w1)＝E(w3)<E(w2)．所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法1．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．冲关针对训练(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.题型2 离散型随机变量的均值与方差角度1 求离散型随机变量的均值与方差典例(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×( 14×23×34×23＋34×13×34×23 )＝23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×( 34×13×14×13＋14×23×14×13 )＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×( 34×23×34×13＋34×23×14×23 )＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 角度2 均值与方差的应用问题典例(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.方法技巧1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示，再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组)，然后求解．3．利用均值、方差进行决策的方法：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．提醒：均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值的平均水平．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.题型3正态分布典例(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() (附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544) A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)＝12×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C.[条件探究]若将本典例中条件“曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线”变为“曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线”，则结果如何？解对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3<X≤1)－P(－2<X≤0)]＝12×[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.13591＝0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.方法技巧正态分布下两类常见的概率计算1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．冲关针对训练(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知X ～B (100,0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26.1．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) 答案 A解析 ∵E (ξ1)＝0×(1－p 1)＋1×p 1＝p 1， 同理，E (ξ2)＝p 2，又0<p 1<p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)．D (ξ1)＝(0－p 1)2(1－p 1)＋(1－p 1)2·p 1＝p 1－p 21，同理，D (ξ2)＝p 2－p 22.D (ξ1)－D (ξ2)＝p 1－p 2－(p 21－p 22)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)．∵0<p 1<p 2<12，∴1－p 1－p 2>0， ∴(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0. ∴D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.2．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误；P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错误；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )，∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错误．故选C.3．(2018·安徽模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ≤320)] ＝12×(1－95.44%)＝0.0228， 0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.答案 1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝ －2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝a b 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案 B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B.10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B. 二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)．故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．解(1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7.X可取0,1,2，P(X＝0)＝C213C220＝78190，P(X＝1)＝C113C17C220＝91190，P(X＝2)＝C27C220＝21 190，故X的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar 评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分， 评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar 评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设A i 表示所抽取的3名新生儿中有i 名的评分不低于9分， “至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A ，则由表格中数据可知P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝14，由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35，方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为 1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12， 该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13， 所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题 【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（ ）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（ ）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题 【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。

2018高三数学离散型随机变量的均值、方差和正态分布练习题

2018高三数学离散型随机变量的均值、方差和正态分布练习题

《离散型随机变量的均值、方差和正态分布》1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A. 0.477B. 0.628C. 0.954D. 0.977解析：由题意，可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y 轴对称．又知P(ξ>2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.答案：C2.已知离散型随机变量X 的分布列为则X A. 32 B. 2 C. 52D. 3 解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A3.现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A. 6B. 7.8C. 9D. 12解析：P(ξ＝6)＝C 38C 310，P(ξ＝9)＝C 28C 12C 310，P(ξ＝12)＝C 18C 22C 310，则E(ξ)＝6×C 38C 310＋9×C 28C 12C 310＋12×C 18C 22C 310＝7.8.答案：B4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B(3，14)．∴D(X)＝3×14×(1－14)＝916.答案：9165.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B ＋A B ＋AB)C.∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案：38欢迎访问“高中试卷网”——。

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。

3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。

4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。

5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。

8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。

10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。

5B。

9C。

10D。

25.答案：C。

10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。

高三复习数学231_离散型随机变量的均值与方差(一)(有答案)

高三复习数学231_离散型随机变量的均值与方差(一)(有答案)

2.3.1 离散型随机变量的均值与方差(一)一、解答题。

1. 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，且取这些值的概率分别是p 1，p 2，⋯，p n ，⋯ ，那么，________．称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．2. 标准差：__________________________________．3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．4. 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？5. 已知随机变量X 的分布列是试求D(X)和D(2X −1)．6. 已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：若离散型随机变量X 的分布列为则常数c 的值为（ ） A.23或13B.23C.13D.17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．求三种粽子各取到1个的概率；设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．8. （2018·天津，理16）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．9. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．10. 有一批零件共10个合格品，2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．求最多取2次零件就能安装的概率；求在取得合格品前已经取出的次品数X的分布列，并求出X的均值E(X)和方差D(X)（方差计算结果保留两个有效数字）．11. 小结与反思___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________参考答案与试题解析2.3.1 离散型随机变量的均值与方差(一)一、解答题。

2018届苏教版 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 单元测试

2018届苏教版 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 单元测试

第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．若离散型随机变量X则X 的数学期望EX ＝( )A ．2B ．2或12 C.12 D ．1解析：选C.因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以EX ＝12. 2．(2016·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在[80，120]内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2解析：选B.P (0<ξ<80)＝12[1－P (80≤ξ≤120)]＝12(1－0.8)＝0.1. 3．(2016·嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6解析：选B.由题意可知，X 可以取3，4，5，6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320， P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12. 由数学期望的定义可求得EX ＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25. 4．(2016·河北省监测)已知某高级中学高三学生有2 000 名，在第一次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布N (120，σ2)，已知P (100<ξ<120)＝0.45，若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分及以上的试卷中抽( )A ．4份B ．5份C ．8份D ．10份解析：选B.因为P (ξ>140)＝1－2P （100<ξ<120）2＝0.05，所以从140分及以上的试卷中抽0.05×2 0002 000×100＝5份． 5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0. 1)，所以EY ＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以EX ＝E (2Y )＝2EY ＝200.答案：2006．(2016·邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的．设男子身高X 服从正态分布N (170，72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________cm.解析：因为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，所以P (X ≥μ＋2σ)＝1－0.954 42＝0.022 8， 所以车门的高度至少设计为μ＋2σ才符合要求，即为170＋2×7＝184 cm.答案：1847．(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23， P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114， P (X ＝1)＝1－114－23＝1142. 所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×114＋1×42＝21. 8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格相互不影响. (1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X 的分布列和数学期望.解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝13， 所以至少有一人面试合格的概率为1－P (A － B －C －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79. (2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝P (A － B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝49； P (X ＝1)＝P (A B －C )＋P (AB C －)＋P (A B －C －)＝49；P (X ＝2)＝P (A －BC )＝118；P (X ＝3)＝P (ABC )＝118.所以X 的分布列为EX ＝0×49＋1×49＋2×18＋3×18＝18. 9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X所以EX ＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5， DX ＝(0－1.5)2×12＋ (1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由DY ＝a 2DX 得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.1．(2016·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望EY .解：(1)由题知，P (80≤X <85)＝12－P (X <75)＝0.2， P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X <75)＝0.4，所以Y 服从二项分布B (3，0.4)，P (Y ＝0)＝0.63＝0.216，P (Y ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (Y ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (Y ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量YEY ＝3×0.4＝1.2.2．(2016·西安地区八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E ξ1＝120；2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0＜p ＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2(1)求m ，n 的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若E ξ1＜E ξ2，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2，P (ξ2＝204)＝p (1－p )，所以ξ2(3)由(2)可得：E ξ2＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6， 由E ξ1＜E ξ2，得120＜－10p 2＋10p ＋117.6，解得：0.4＜p ＜0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)．。

专题12.6+离散型随机变量的均值与方差-2018年高三数学(理)

专题12.6+离散型随机变量的均值与方差-2018年高三数学(理)

1【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.若最高气温低于20，则错误！未找到引用源。

；因此错误！未找到引用源。

.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【考点解读】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望。

离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是p i≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋p n＝1检验分布列的正误.2.【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含错误！未找到引用源。

高考数学离散型随机变量的均值与方差(理科专用)测试题

高考数学离散型随机变量的均值与方差(理科专用)测试题

高考数学离散型随机变量的均值与方差（理科专用）测试题一、单选题（共12题；共24分）1.已知随机变量的分布列如下，则的最大值是( )-1A. B. C. D.2.设随机变量x~B（12, ），则D（X）=（）A. B. C. D. 33.口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则( )A. B. C. D.4.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为，则（）A. B. C. D.5.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（）A. 30B. 40C. 60D. 806.设，随机变量的分布列如下：则当在内增大时（）A. 减小，减小B. 增大，增大C. 增大，减小D. 减小，增大7.设是随机变量，且，则（）A. 0.4B. 0.8C. 4D. 208.已知随机变量，且，，则与的值分别为（）A. 16与0.8B. 20与0.4C. 12与0.6D. 15与0.89.口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为，，，，，从中任取个球，以表示取出球的最大号码，则=（）A. B. C. D.10.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 分，则的值为( ) A.B.C. D.11.某导弹发射的事故率为 ，若发射次，记出事故的次数为 ，则（ ）A.B. C. D.12.随机变量，满足：，，若，则（ ）A. 5B. 4C. 7D. 9二、填空题（共5题；共8分）13.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为 ，且有 个女生的成绩在 中，则________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为 ，则 的数学期望是________．14.随机变量X 的分布列是 则EX,DX 分别是________15.以下 个命题中，所有正确命题的序号是________. ①已知复数，则；②若，则③一支运动队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为 的样本，则样本中男运动员有 人；④若离散型随机变量的方差为，则.16.已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球，从袋中无放回地随机取出3个球，记取出黑球的个数为，则________，________．17.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为________ ，这两个数字和的数学期望为 ________．三、解答题（共5题；共40分）18.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终监督评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为），并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有人.（Ⅰ）求频率分布直方图中的值及不满意的人数；（Ⅱ）在等级为不满意的师生中，老师占，现从等级的师生中按分层抽样的方法抽取人了解不满意的原因，并从这人中抽取人担任整改督导员，记为整改督导员中老师的人数，求的分布列及数学期望.19.某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：附：．0.10（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．20.大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；（2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．21.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．22.某理财公司有两种理财产品和，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品投资结果获利20% 获利10% 不赔不赚亏损10%概率0.2 0.3 0.2 0.3产品（其中）投资结果获利30% 不赔不赚亏损20%概率 0.1（1）已知甲、乙两人分别选择了产品和产品进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于0.7，求的取值范围；（2）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品和产品之中选其一，应选用哪种产品？答案一、单选题1. B2. B3. A4. B5. C6. B7. B8. D9. B 10. A 11. B 12. B二、填空题13. ；14.2,0.8 15. ①③④ 16. ；17. ；5三、解答题18. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：设不满意的人数为，则解得.（Ⅱ）按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，则的可能取值为0，1，2，3，，则的分布列为故.19.（1）解：设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，（2）解：列联表如下：的观测值，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．（3）解：的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以20. （1）解：设表示事件“水果产量为”，表示事件“水果市场价格为元/ ”，则，．∵利润产量市场价格成本，∴的所有可能取值为：，，，．；；；．∴的分布列为：（万元）．（2）解：设表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则．21. （1）解：由题意知之间的频率为:，∴获得参赛资格的人数为（2）解：在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2.（3）解：的可能取值为0，1，2，则故的分布列为：∴22. （1）解：记事件为“甲选择产品且盈利”，事件为“乙选择产品且盈利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，，，所以，所以又因为，，所以.故.（2）解：假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：则假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：则当时，，选择产品和产品一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品和产品中任选一个；当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品；当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品.。

最新高考数学必备独家专题离散型随机变量的均值与方差、正态分布

最新高考数学必备独家专题离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布A 组 基础题组1.已知随机变量X 服从正态分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,则P(1<X<3)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2答案 C 由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X ≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X ≤1)=0.5-0.2=0.3.2.(2018衡水一模)已知ξ~B (4,13),并且η=2ξ+3,则方差D(η)=( ) A.329B.89C.439D.599答案 A 由题意知,D(ξ)=4×13×(1-13)=89, ∵η=2ξ+3,∴D(η)=4·D(ξ)=4×89=329.3.(2018合肥一模)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X 为取出3个球的总分值,则E(X)=( ) A.185B.215C.4D.245答案 B 由题意知,X 的所有可能取值为3,4,5, 且P(X=3)=C 33C 53=110, P(X=4)=C 32·C 21C 53=35, P(X=5)=C 31·C 22C 53=310,所以E(X)=3×110+4×35+5×310=215.4.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.45%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 586答案 D ∵X~N(1,1),∴μ=1,σ=1,μ+σ=2. ∵P(μ-σ<X<μ+σ)=68.27%,∴则P(0<X<2)=68.27%, 则P(1<X<2)=34.14%,∴阴影部分的面积为0.658 6.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点,落入阴影部分的点的个数的估计值是6 586. 故选D.5.有10张火车票,其中3张是卧铺,其他是硬座,从这10张火车票中任取两张,用ξ表示取到卧铺的张数,则E(ξ)等于 . 答案 35解析 ξ服从超几何分布,则P(ξ=x)=C 3x C 72-x C 102(x=0,1,2).所以P(ξ=0)=C 72C 102=2145=715,P(ξ=1)=C 71C 31C 102=2145=715,P(ξ=2)=C 32C 102=345=115.所以E(ξ)=0×715+1×715+2×115=915=35.6.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数为ξ,则ξ的期望值为 . 答案 1解析 将四个小球放入四个盒子,每个盒子放一个小球,共有A 44种不同放法,放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中,P(ξ=0)=9A 44=38,P(ξ=1)=C 41×2A 44=13,P(ξ=2)=C 42A 44=14,P(ξ=4)=1A 44=124,所以E(ξ)=0×38+1×13+2×14+4×124=1.7.(2018郑州第二次质量预测)光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术,具有资源的充足性及潜在经济性等优点,在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起,国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点.在某县居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(1)在该县居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X 的数学期望;(2)在总结试点经验的基础上,将村级光伏发电站确定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度,试估计该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?解析 (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A,则P(A)=7+8+1550=35.由题意可知X 服从二项分布,即X~B (10,35), 故X 的数学期望E(X)=10×35=6.(2)设该村居民每户的年均用电量为E(Y),由样本数据可得E(Y)=100×750+300×850+500×1550+700×1350+900×750=520,则该村年均用电量约为300×520=156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度,所以该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能剩余电量约144 000度,能为该村创造直接收益144 000×0.8=115 200元.8.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望; (ii)设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C 4k ·C 33-kC 73(k=0,1,2,3).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B ∪C,且B 与C 互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B ∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A 发生的概率为67.B 组 提升题组1.将3个小球随机放入3个盒子中,记放有小球的盒子个数为X,则X 的数学期望E(X)=( ) A.199B.53C.195D.175答案 A 将3个小球随机放入3个盒子中,有3×3×3=27种方法.X 的取值可能为1,2,3,P(X=3)=A 3327=29,P(X=2)=C 32A 22C 3227=23,P(X=1)=C 3127=19.所以E(X)=3×29+2×23+1×19=199.2.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时,( ) A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小 答案 D 由题意得E(ξ)=0×1-p 2+1×12+2×p 2=12+p,D(ξ)=[0-(12+p)]2·1-p 2+[1-(12+p)]2·12+[2-(12+p)]2·p2=18[(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·p] =-p 2+p+14=-(p -12)2+12.由{ 0<1-p2<1,0<p2<1,1-p 2+12+p2=1,得0<p<1, ∴D(ξ)在(0,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减, 故选D.3.(2018河南开封高三定位考试)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,…,8,其中X ≥5为标准A,X ≥3为标准B,已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示, 且X 1的数学期望EX 1=6,求a,b 的值;(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2,从该厂生产的产品随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X 2的数学期望; (3)在(1),(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价; ②“性价比”大的产品更具可购买性.解析 (1)∵EX 1=6,∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2,又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5,∴由{6a +7b =3.2,a +b =0.5,得{a =0.3,b =0.2.(2)由已知,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X 2的概率分布列如下:∴EX 2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件, ∴其性价比为66=1,乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件, ∴其性价比为4.84=1.2,1.2>1,∴乙厂的产品更具可购买性.4.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析 (1)设顾客所获的奖励额为X 元. (i)依题意,得P(X=60)=C 11C 31C 42=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. (ii)依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P(X=60)=12,P(X=20)=C 32C 42=12,所以X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40.(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为X1的期望为E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2元,则X2的分布列为X2的期望为E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.虽然两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.。

高三数学(理)高考总复习课时跟踪检测 (六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 Word版含解析

高三数学(理)高考总复习课时跟踪检测 (六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 Word版含解析

课时跟踪检测(六十五)离散型随机变量的均值与方差、正态分布一保高考，全练题型做到高考达标1．已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：选B因为X～B(10,0.6)，则n＝10，p＝0.6，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，则Y＝8－X，所以E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4×1＝2.4.2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0<X<2)＝() A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6解析：选C∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，∴P(2<X<4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故选C.3．已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A．1 B．0.6C．2.44 D．2.4解析：选C因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.4.(2016·武汉市武昌区调研)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<x ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X ≤－1＋1)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以落入阴影部分的个数为0.1359×10 000＝1 359，故选B.5．(2016·浙江重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681 C.27481D.670243解析：选B 依题意，知X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681. 6．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为________． 解析：由题意可知(k －4)＋k2＝5，解得k ＝7.答案：77．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望为________；方差为________．解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.答案：2020038．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为Y ，若Y 的数学期望E (Y )>74，则p 的取值范围是________．解析：由已知得P (Y ＝1)＝p ，P (Y ＝2)＝(1－p )p ， P (Y ＝3)＝(1－p )2，则E (Y )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.10．(2017·青岛模拟)某中学根据2004～2016年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n .(1)求m 与n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．解：(1)依题意有，⎩⎨⎧13mn ＝124，1－(1－m )⎝⎛⎭⎫1－13(1－n )＝34，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P (X ＝0)＝12×23×34＝14；P (X ＝1)＝12×23×34＝14；P (X ＝2)＝12×13×34＝18；P (X ＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524；P (X ＝4)＝12×23×14＝112；P (X ＝5)＝12×13×14＝124；P(X＝6)＝12×13×14＝124.故X的分布列为：于是，E(X)＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝2312.二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资结算方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．解：(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a＝40时，X＝40×4＝160；当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172. 故X的分布列为：所以E(X)＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)．由①得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．2．(2017·衡水调研)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．解：(1)设落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布B(n，p)，其中n＝3.由(1)得，落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P(X＝2)＝C23×0.62×0.41＝0.432，P(X＝3)＝C33×0.63×0.40＝0.216.所以X的分布列为：所以X的数学期望为E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)＝np＝3×0.6＝1.8)。

高三数学一轮复习 离散型随机变量的均值与方差、正态分布巩固与练习 试题

高三数学一轮复习 离散型随机变量的均值与方差、正态分布巩固与练习 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校稳固1．某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ＝，那么a 的值为( )C ．7D ．8解析：选C.由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且Eξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝，因此b ＝0.4，a ＝7，选C. 2．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，假设P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，那么c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2.应选B.3．假设X ～B (n ，p )，且EX ＝6，DX ＝3，那么P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：选C.EX ＝np ＝6，DX ＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12， 那么P (X ＝1)＝C 121·12·(12)11＝3·2－10. 4．(原创题)假设p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布列如下表，那么Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.解析：Eξ＝p ＋1≤32(0≤p ≤12)；Dξ＝－p 2－p ＋1≤1. 答案：321 5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，那么A 邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________. 解析：当ξ＝1时，P (ξ＝1)＝C 21×C 2132＝49，P (ξ＝2)＝132＝19，∴Eξ＝1×49＋2×19＝23.答案：236．在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互HY 的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获100分，答对问题B 可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否那么终止答题．答题终止后，获得的总分将决定获奖的档次．假设你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14.(1)记先答复以下问题AX ，求X 的分布列和数学期望； 解：(1)X 的分布列为：∴EX ＝0×12＋100×38＋300×18＝8. (2)设先答问题BY ，那么Y 的分布列为∴EY ＝0×34＋200×18＋300×18＝8. ∴EX ＞EY .∴先答复以下问题A 所得的分较高．练习1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎨⎧1 A 发生0 A 不发生，那么X 的方差DX ＝( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.显然X 服从两点分布，DX ＝m (1－m )． 2．X 的分布列为，且Y ＝aX ＋3，EY ＝73，那么a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.先求出EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13. 再由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3. ∴73＝a (－13)＋3，解得a ＝2. 3.正态总体N (0，49)中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是( ) A ．0.46 B ．0.997 C ．0.03 D ．0.0026 解析：选D.由题意μ＝0，σ＝23， ∴P (－2＜X <2)＝P (0－3×23＜X <0＋3×23)＝0.9974， ∴P (X ＜－2)＋P (X ＞2)＝1－P (－2≤X ≤2)＝1－0.9974＝0.0026. 4．随机变量X 的分布列为那么E (6X ＋8)＝( ) A ．1 B ．2 C ．20.2 D ．2解析：选B.EX ＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4 ＝0.2＋0.8＋＝，∴E (6X ＋8)＝6EX ＋8＝6×＋8＝1＋8＝2.5．设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如以下图，那么有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A.由正态分布N (μ，σ2)性质知，x ＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.6．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，那么其中含红球个数的数学期望是( )A.65B.25C.35D.75解析：选A.记“同时取出的两个球中含红球个数〞为X ， 那么P (X ＝0)＝C 30C 22C 52＝110，P (X ＝1)＝C 31C 21C 52＝610， P (X ＝2)＝C 32C 20C 52＝310， EX ＝0×110＋1×610＋2×310＝65.7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，假设X 表示取到次品的次数，那么DX ＝________.解析：∵X ～B (3，14)， ∴DX ＝3×14×34＝916. 答案：9168．设一次试验成功的概率为p ，进行100次HY 重复试验，当p ＝________时，成功次数的方差最大，其最大值是________．解析：由Dξ＝npq ≤n (p ＋q2)2＝n 4，当p ＝q ＝12时取等号，此时Dξ＝25. 答案：12259．均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________． 解析：在密度函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R 中， μ＝2，σ＝2π，故f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R .答案：f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R10．(2021年高考卷)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，HY 地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持〞或“不支持〞的概率都是12.假设某人获得两个“支持〞，那么给予10万元的创业资助；假设只获得一个“支持〞，那么给予5万元的资助；假设未获得“支持〞，那么不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列； (2)求数学期望Eξ.解：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.(2)Eξ＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15. 11．在奥运会期间，4位志愿者方案在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点效劳，每位志愿者在每个景点效劳的概率都是14，且他们之间不存在相互影响． (1)求恰有3位志愿者在长城效劳的概率；(2)设在故宫效劳的志愿者人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望． 由此可得X 的概率分布列为所以变量X EX ＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1. 12.(2021年高考全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．假设从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，那么从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.B 表示事件：从乙组抽取的是1名男工人． A i 与B HY ，i ＝0,1,2.P (ξ＝2)＝1－[P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)]＝3175.故ξ的分布列为Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝85.。

【K12教育学习资料】2018届高考数学一轮复习配餐作业72离散型随机变量的均值与方差含解析理

【K12教育学习资料】2018届高考数学一轮复习配餐作业72离散型随机变量的均值与方差含解析理

配餐作业(七十二)离散型随机变量的均值与方差(时间：40分钟)1．为了响应上级号召，某省级重点中学准备从学校30至50岁(包括30岁，但不包括50岁)的15名数学高级教师中选取3名参加送教下乡活动，其年龄分布的茎叶图如图所示。

(1)若教师年龄分布的极差为15，求教师年龄的平均数与众数；(2)若选取的3名教师中有2名男教师和1名女教师，将他们分配到甲、乙两所学校，每校至少有1名教师，记分配到甲学校的男教师人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望。

解析 (1)因为教师年龄分布的极差为15，所以40＋x －30＝15，解得x ＝5。

所以教师年龄的平均数为115×(30＋31＋32＋34×2＋35＋36＋37×3＋40＋41＋42＋44＋45)＝37，众数为37。

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝1C 13C 12＝16， P (ξ＝1)＝C 12C 12C 13C 12＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 13C 12＝16。

故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×16＋1×3＋2×6＝1。

答案 (1)平均数为37，众数为37 (2)见解析2．据《中国新闻网》报道，全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注。

为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表：。

(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E (ξ)。

解析 (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120＋x3 600＝0.05，解得x ＝60。

【配套K12】2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计64离散型随机变量的均值与方差正态分布试题

【配套K12】2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计64离散型随机变量的均值与方差正态分布试题

考点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是( )A.809B.559C.509D.103 答案 C解析 由题意，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509.故选C. 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000,0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (ξ)＝200.4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E (5ξ＋1)＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析 ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝A 313A 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213A 33A 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113A 33A 315＝135.所以，ξ的分布列为：于是E (ξ)＝0×2235＋1×35＋2×35＝5，故E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝5×25＋1＝3.6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：答案 甲解析 设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X ，Y ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E (Y )＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E (X )>E (Y )，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．7．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ<30)＝0.2，则P (30<ξ<50)＝________. 答案 0.6解析 根据正态分布曲线的对称性，可得P (30<ξ<50)＝1－2P (ξ<30)＝0.6.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：答案 4760元解析 由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．二、高考小题9. [2015·湖南高考]在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.)A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772 答案 C解析 由于曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线，所以P (－1<X <1)＝0.6826，由正态分布密度曲线的对称性知P (0<X <1)＝0.3413，即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P ＝0.34131＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.10．[2015·湖北高考]设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 答案 C解析 由曲线X 的对称轴为x ＝μ1，曲线Y 的对称轴为x ＝μ2，可知μ2>μ1. ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错； 由图象知σ1<σ2且均为正数， ∴P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，由题中图象知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，故C 正确，D 错．11．[2014·浙江高考]已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 答案 A解析 取m ＝3，n ＝3，则p 1＝36×1＋36×12＝34＝912，p 2＝C 23C 26×1＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝15＋35×23＋15×13＝23＝812， ∴p 1>p 2. ξ1的分布列为：∴E (ξ1)＝1×2＋2×2＝2；ξ2的分布列为：∴E (ξ2)＝1×15＋2×35＋3×5＝2，∴E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.12．[2016·江苏高考]已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．答案 0.1解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则该组数据的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.13．[2014·浙江高考]随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35. 故D (ξ )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.三、模拟小题14．[2017·长春质监]已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.15．[2016·杭州考试]现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ 的数学期望E (ξ)为( )A.179B.199 C ．2 D.73 答案 A解析 由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝A 3333＝627，P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827，P (ξ＝3)＝C 1333＝327， ∴E (ξ)＝1×627＋2×1827＋3×327＝179，故答案为A.16．[2016·安徽模拟]某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ<320)]＝12×(1－95.44%)＝0.0228，∴用电量在320度以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23，故选B.17．[2017·厦门四校联考]某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800 答案 A解析 P (X <90)＝P (X >110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1000×25＝400.故选A.18．[2016·长沙二模]一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝1，a 2＝a 4＝0，则A ＝10101)，其中二进制数A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83B.113C.89D.119 答案 B解析 解法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.解法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.一、高考大题1．[2016·山东高考]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.2．[2015·安徽高考]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ， P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为：E (X )＝200×10＋300×10＋400×10＝350(元)．二、模拟大题3．[2017·河北保定月考]小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．解 (1)设“甲恰得一个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝3(元)．4．[2017·河南豫南联考]假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)， 故μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544， 由正态分布的对称性，得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772.(2)设A 型车、B 型车的数量分别为x ，y ，则 相应的营运成本为1600x ＋2400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7及P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 过点P 时在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．5．[2016·湖南益阳调研]某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元. 在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解 (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)①随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为：最新K12教育教案试题所以E (X )＝1902＋4＋6－12＝125(元)． ②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫23413＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. 6．[2016·郑州二测]某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)(1)名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解 (1)设事件B 为“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”，则P (B )＝C 14C 12C 26＝815. (2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件．当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x 100＋150×6×70－x 100＝780－2x ， 由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为[45,70]，x ∈N *.。

高三复习数学232_离散型随机变量的均值与方差(二)(有答案)

高三复习数学232_离散型随机变量的均值与方差(二)(有答案)

2.3.2 离散型随机变量的均值与方差(二)一、解答题。

1. 一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=________为随机变量X的均值或X的数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2. 离散型随机变量X的均值（数学期望）的性质若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=________．三个特殊分布的均值①两点分布：若X服从两点分布，则E(X)=________；②二项分布：若X∼B(n,p)，则E(X)=________；③若X服从参数为n，M，N的超几何分布，（在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品），则E(X)=________．3. 成都七中为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵．它们移栽后的成活率分别为2 3，12，且每棵树是否存活互不影响，求移栽的5棵树中：银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；成活的棵树ξ的分布列与期望．4. 某工厂为检验产品质量，从第一天生产的产品中随机抽取5件作为甲组样品，从第二天生产的产品中随机抽取10件作为乙组样品．经检验两组样品中均有2件次品，其他均为正品．现采用分层抽样从甲、乙两组样品中共抽取3件作为标本进行详细的技术分析．设抽取的标本中次品件数为ξ，求ξ的分布列和期望E(ξ)．5. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100)分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70,80)分数段的人数X的分布列和数学期望．6. 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：试分别估计元件A，元件B为正品的概率；生产1件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产1件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，①记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．7. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3．从盒中任取3张卡片．求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）．8. （2019年高考全国Ⅰ卷理数）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．求X的分布列；若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2⋯,7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．（ⅰ）证明：{p i+1−p i}(i=0，1，2，…，7)为等比数列；（ⅱ）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．9. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．求X=n+2的概率；设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）.10. （2018·北京，理17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影第一类第二类第三类|第四类第五类第六类类型好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢，"ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1,2,3,4,5,6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．11. 小结与反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________参考答案与试题解析2.3.2 离散型随机变量的均值与方差(二)一、解答题。

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《离散型随机变量的均值、方差和正态分布》
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A. 0.477
B. 0.628
C. 0.954
D. 0.977
解析：由题意，可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y 轴对称．又知P(ξ>2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.
答案：C
2.已知离散型随机变量X 的分布列为
则X A. 32 B. 2 C. 52
D. 3 解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝3
2.
答案：A
3.现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A. 6
B. 7.8
C. 9
D. 12
解析：P(ξ＝6)＝C 38C 310，P(ξ＝9)＝C 28C 12
C 310
，
P(ξ＝12)＝C 18C 22C 310，则E(ξ)＝6×C 38C 310＋9×C 28C 12C 310＋12×C 18C 2
2
C 310
＝7.8.
答案：B
4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
解析：由题意知取到次品的概率为1
4，
∴X ～B(3，1
4
)．
∴D(X)＝3×14×(1－14)＝9
16.
答案：9
16
5.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．
解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝1
2
，
∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A B ＋A B ＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝3
8.
答案：38
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