八年级数学上册第十二章12.3《角的平分线的性质》PPT课件

角的平分线的性质教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册

第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC，截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？

人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质优秀课件

求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.
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证明（1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.

人教版初中数学《角的平分线的性质》_课件-推荐

Biblioteka 点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
P
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）
∴点F在∠DAE的平分线上. ∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM 又∵点F在∠CBD平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC.
∴FM=FH. ∴FG=FH，
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A
F
D
C
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课堂练习
已知：如图,在△ABC中， BD ＝CD, ∠1= ∠2. 求证：AD平分∠BAC
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人教版
八年级数学上册
12.3 角的平分线的性质（第2课时）
学习目标
进一步熟悉并掌握角平分线的知识，并用角平分线解决问题。
理解掌握角平分线的逆定理，并能灵活运用
复习导入
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB

人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3

OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经；历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ，追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E

人教版数学八年级上册第十二章 12.3 角的平分线的性质第一课时课件(共33张PPT)

PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等）即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明：在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的

《角的平分线的性质》PPT优质课件

E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾旧知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，

人教版八年级上册第十二章12.3角平分线的性质课件(共15张PPT)

A B C
（×）
D
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
√
B
A D
不必再证全等
C
例：在△OAB中，OE是∠AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证： O AC=BD。
O P
C
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
E
B
1、∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
2、∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，(
在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
B
C E
活动 1
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
A E C N
N
C
E
O
M
O
B M
活动 2
角的平分线有什么性质呢？
如图： OC 是 ∠ AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意一点，过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、 E为垂足，猜想PD、PE有什么数量关系，为什么？
A C P B E O
D
2、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______ 。 2
N
0 A C B
P
M
小结
拓展
回味无穷
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( O 已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.

12.3角的平分线的性质课件(人教版八年级上册)5

E
B
A
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E。求证: PD=PE。证明： PD OA ,PE OB
D
1 2
P E
C B
O
∠ODP=∠OEP=90 OC平分∠AOB ∠1= ∠2 在△ ODP和△OEP中 ∠ODP=∠OEP ∠1 = ∠2 OP=OP △ ODP PD=PE △OEP AAS S
A
BБайду номын сангаас
M
A
练一练
填空：
1 2
E C D B
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
④ ① ②
③
由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
练习３：
如图：在△ ABC 中，∠ C=90 ° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF；求证：CF=EB
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路

八年级数学上册教学课件《角的平分线的性质(第2课时)》

于点D，PC＝3 cm，当PD＝__3__cm时，点P在∠AOB
的平分线上． 3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是∠ABC 的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
12.3 角的平分线的性质
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
3 P
4
∴∠1＝∠3．
12
同理，∠2＝∠4．
B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
在何处（比例尺为1︰20000）？
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
巩固练习
12.3 角的平分线的性质
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB
数学八年级上册
12.3 角的平分线的性质
12.3 角的平分线的性质（第2课时）
导入新知
12.3 角的平分线的性质
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？
素养目标
12.3 角的平分线的性质
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.

人教版八年级上册数学课件：1角平分线的性质

作业布置
课本51页习题12.3第4、5题。
探究新知
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E。
O
求证：PD=PE。
D C
P
B E
探究新知
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
八年级上册
第十二章全等三角形角的平分线的性质
温故知新
1.什么是角平分线？角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？
学习目标：
1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性。
2．探索并证明角的平分线的性质。 3．能用角的平分线的性质解决简单问题。
归纳总结
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何语言：
A
∵OC是∠AOB的平分线，
D
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE。
C P·
O
E B
归纳总结
由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
1．明确命题中（已知）和（求证）的。 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示（已知）和（求证）。 3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
A
B C E
探究新知
A
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
D
B
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）

人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课

人教版数学八年级上册ABDCE下图是一个平分角的仪器，其中AB = AD ，BC =DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？导入新知3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.1. 学会角平分线的画法.2. 探究并认知角平分线的性质.素养目标在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？用量角器度量，也可用折纸的方法．如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？探究新知知识点 1角平分线的画法问题1：问题2：提炼图形如图，是一个角平分仪，其中AB=AD ，BC=DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗?AB C(E )D其依据是SSS ，两全等三角形的对应角相等.问题3：【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC ，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC 是∠AOB 的平分线吗？做一做ABMNCO 已知: ∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N .（2）分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C .（3）画射线OC .射线OC 即为所求.12半径小于MN 或等于MN ，可以吗？1212已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB 的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1. 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D,E 为垂足，测量PD,PE 的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结果：__________PD PE第一次第二次第三次COBAPD=PE pDEOC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质知识点 2已知：如图， ∠AOC= ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E .求证：PD=PE .PA OB CDE证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO 和△PEO 中，∠PDO= ∠PEO ，∠AOC = ∠BOC ，OP= OP ，∴ △PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.归纳总结u性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. u应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.u定理的作用：证明线段相等.u应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，PE⊥OB，BADO PEC判一判：（1）∵ 如下左图，AD 平分∠BAC （已知），∴ =，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC(2)∵ 如上右图， DC ⊥AC ，DB ⊥AB （已知）. ∴ = ，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB 于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( ) A. OD>OE B．OD＝OEC. OD<OE D．不能确定B 巩固练习例1已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC .垂足分别为E ，F .求证：EB=FC.ABCDEF 证明： ∵AD 是∠BAC 的角平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ DE=DF ， ∠DEB=∠DFC =90 °.在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中，DE=DF ，BD=CD ，∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF (HL).∴ EB=FC .探究新知角平分线的性质的应用素养考点 1如图，已知：OD 平分∠AOB ，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB ，∠1＝∠2，又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4，又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)巩固练习例2 如图，A M 是∠B A C 的平分线，点P 在A M 上，P D ⊥A B ，PE ⊥AC ，垂足分别是D,E ，PD=4cm ，则PE =______cm.BACP MDE4提示：存在两条垂线段——直接应用.探究新知利用角平分线的性质求线段的长度素养考点 2AB CP 如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC 交BC 于点P ，若PC ＝4， AB =14.（1）则点P 到AB 的距离为_______.D4提示：存在一条垂线段——构造应用.巩固练习1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解探究新知归纳总结如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°B解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=12∠DAB=35°.N连接中考2.△ABC 中， ∠C=90°，AD 平分∠CAB ，且BC =8，BD =5，则点D 到AB 的距离是 .ABC D3E1. 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥BG ，垂足分别是E ，F ， DE =DF ， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF =度，BE = .60BF EBDFACG 基础巩固题3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（）A.SSS B.ASA C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等AB MCOA4.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的是( )A.PC ＝PD B. OC ＝OD C. ∠CPO ＝∠DPO D. OC ＝PCD 5. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．3D BC EADFEA68101. 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则：(1)哪条线段与DE 相等？为什么？(2)若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长.解：(1)DC=DE .理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt △CDB 和Rt △EDB 中，DC=DE ，DB=DB ，∴Rt △CDB ≌Rt △EDB (HL)，∴BE ＝BC =8.∴ AE ＝AB–BE =2.∴△AED 的周长=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升题CD2.如图所示，D 是∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F . 求证：CE ＝CF .证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF .,,=⎧⎨=⎩CD CD DE DF如图，已知AD ∥BC ，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE ⊥AB 于E ，且PE=3，求AD 与BC之间的距离.解：过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N.∵ AD ∥BC ，∴ MN ⊥BC ，MN 的长即为AD 与BC 之间的距离.∵ AP 平分∠BAD ， PM ⊥AD ， PE ⊥AB ，∴ PM= PE .同理， PN= PE .∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD 与BC 之间的距离为6.拓广探索题角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课堂小结为证明线段相等提供了又一途径课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。

12.3角的平分线的性质++课件2024—2025学年人教版数学八年级上册+

例、如图，OC是∠AOB 的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E.F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证 DF=EF.
例、如图，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗?证明你的结论.
已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证： PD=PE.
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：
∵OP平分∠AOB，（∠AOP＝∠BOP） PD⊥OA于的D， PE⊥OB于点Ｅ
∴PD=PE
角平分＋双垂直
推等距
例、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.求证EB=FC.
尺规作角的平分线的依据是什么？
SSS
课堂小结：
角平分线有什么性质？
（1）平分角（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等。
课堂小结：使用角平分线性质时：
角平分、双垂直，角平分、一垂直，
得等距
补垂直，得等距
角平分、无垂直，作双垂，得等距
如果只要求度假村到三条公路的距离相等，那可供选择的地址有几处？
例、如图，△ABC 的三边AB,BC,CA的长分别是 20，30，40,其三条角平分线将△ABC分为三个小三角形，则
S△ABO:S△BCO:S△CAO等于＿＿＿
B
角平分、无垂直，
C
作双垂，得等距
O A
课堂小结：
回忆用直尺和圆规怎么平分一个角？
(3)画射线OC.射线OC 即为所求
思考：为什么∠AOC=∠BOC呢？

八年级数学上册第十二章角平分线的判定教学课件新版新人教版ppt

D
D
C
┌
F E
∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
┌
A
B
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
BE=CF，DB=DC.
E
D
B
┐
A
F
C
新课讲解
练一练
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求
证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
E
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC，
B
E PC
┐
D
A
新课讲解
知识点1 角平分线的判定定理
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD，
PO=PO，
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上.
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
几何表示：
如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 O
分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
第十二章全等三角形
12.3 角平分线的性质课时二角平分线的判定
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时角平分线的性质课件

O （3）垂直距离.
C P
定理的作用：证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个，必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A

人教版八年级数学上册1《角的平分线的性质》教学课件

P
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质（第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点：探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？

角平分线的性质ppt课件

（1）寻找角平分线上的点（2）根据角平分线性质，你能得到_D_E_ =__D_F_ （3）求证：BE=CF.
证明：∵ AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE=DF,∠E=∠DFC=90° 在Rt△DBE和Rt△DCF中 DE=DF， BD=CD
∴ Rt△DBE≌Rt△DCF（HL） ∴ BE=CF
➢【自学】自学教材P48页完成《学习任务单》的活动1、2（5分钟②标记疑问.
学习探究
活动2：利用尺规作角的平分线
1．以点O为圆心，适当长为半径画弧,交OA于
点M，交OB于点N．
1
2．分别以点M，N为圆心．大于2 MN的长为
半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
注意：“ 一平分，两垂直，得相等 ”
学习测评
独立完成下列各题（4分钟） 1．判断正误，并说明理由.
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB ，则PE=PF.( × )
（2）如图2，P在∠AOB的平分线OC上，E，F分别在OA，OB上，则
PE=PF.( × )
（3）如图3，P在∠AOB的平分线OC上，PE⊥OC，PF⊥OC ，则
人教版数学八年级上册
第十二章全等三角形
12.3.1 角平分线的性质
情境导入
学习目标
1．学会角平分线的画法. 2．探究并认知角平分线的性质. 3．会运用角平分线的性质解决实际问题.
情景导入 A
活动1：已知：AB =AD，BC =DC 请问：AE 就是∠DAB 的平分线吗？
D
B
C E
学习探究任务一用尺规作角的平分线
OP = OP
∴ △PDO ≌△PEO（AAS）. ∴PD = PE .