第九章第三节三重积分

n
几点说明：
（1）三重积分中各符号的含义及名称与二重积分 的情形相似。 ( 2) 在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面 的平面来划分 , 则 vi x j yk zl , 所以
f ( x , y , z )d v =

f ( x , y, z )dxdydz .

其中 dxdydz叫做直角坐标系中的体 积元素.
n
（3）记 max{ 1, 2 , , n }, 若极限
i 1
( i , i , i ) 的取法无关， 则称此极限为 f ( x , y, z )
在闭区域 上的三重积分，记为
n
0 i 1
lim f ( i ,i , i ) vi 存在，且与 的分法及点
解 如图，
y
y x2
1x
Dxy : 1 x 1 x2 y 1 1
0 z x2 y2 .
1 Dxy
0
: 1 x 1, x 2 y 1,
1 1 x2 y2
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .例2Dzcc2
S Dz
z a (1 2 ) b (1 2 ) ab(1 2 ), c c c
2
Dz
z
2
2
z
2
例 3 计算三重积分 z dxdydz ，其中

2
是
x2 y2 z2 由 椭球面 2 2 2 1所成的空间闭区域. a b c
解：被积函数为 z 的一元函数
Dz
z
f ( x , y , z )dv c2 F ( z )d z c1

c2 c1 d z Dz
f ( x , y , z )dxdy
f ( x , y , z )dv

c2 c1 d z Dz
f ( x , y , z )dxdy
上述方法称为截面法，在下面两种情形下，比较 适合用此方法。 （1）被积函数是一个一元函数，或计算二重 积分 比较容易。
z ( x, y)

D xy

d x2 ( y ) z2 ( x , y ) c dyx1 ( y ) dxz1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
过程：先定积分，再二重积分，并将二重积分化 为累次积分。
有时上述过程也可反过来：先二重积分，再定积分 其步骤如下：
（1）将 投影到某个坐标轴上， 如 z 轴，得一投影区间 [c1 , c2 ]
f ( x , y , z )dv

而后者又可进一步化为三次积分。
对于 y 轴的情形同理。
x2 ( y , z ) d x1 ( y , z ) D yz
f ( x , y , z )dx
例1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三

2 2 次积分，其中 积分区域 为由曲面 z x y , 2 y x , y 1 , z 0 所围空间立体.
f ( x , y , z )dz
将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算 积分次序是先定积分，后二重积分
（3）进一步，若 Dxy是 X 型区域
f ( x , y , z )dv

z2 ( x , y ) d z1 ( x , y ) D xy
f ( x , y , z )dz
c c 2 c 原式 c z dz dxdy c z 2 S Dz dz
Dz { ( x , y ) |
x a
2 2

y b
2
2
1
z
2 2
}
c z z
o
Dz
y
S Dz ab(1
c 2
Dz
z c
2
x
c
), 2

2
是
x2 y2 z2 由 椭球面 2 2 2 1所成的空间闭区域. a b c
解：被积函数为 z 的一元函数
a b c 原式 c dz z 2dxdy
c
Dz { ( x , y ) |
x
2 2

y
2
2
1
z c
2 2
}
x
c z z
o
Dz
y
c z 2dz dxdy c z 2 S Dz dz
F ( x, y)

记为
z2 ( x , y )
Dxy
F ( x , y )d
D xy
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2

z2 ( x , y ) [ z ( x , y ) 1
f ( x , y , z )dz ]d .
(2) 对任意 z [c1 , c2 ] , 用过z 轴且平行 xoy 平面的平面 去截 ，得截面Dz ;
z
（1）将 投影到某个坐标轴上，如 z 轴，得一 投影区间 [c1 , c2 ]
(2) 对任意 z [c1 , c2 ] , 用过z 轴且平行 xoy 平面 去截 ，得截面Dz ;
（3）当 f ( x , y, z ) 在 上连续时，三重积分一定存在
（4）三重积分与二重积分具有完全类似的性质。 （5）若 f ( x , y, z ) 是 上的体密度函数，则 M f ( x , y , z )dv

二、三重积分的计算
1、利用直角坐标计算三重积分 如图， 闭区域 在 xoy 面上的投影为闭区域 D xy , z { ( x , y , z ) | z1 ( x , y ) z
n
f ( x, y, z )dv

即
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y , z )dv lim 0 i 1

f ( i , i , i )vi . f ( x, y, z )dv lim 0 i 1
f ( x , y , z )dz
z2 S 2

z1
b y2 ( x ) z2 ( x , y ) a dx y1 ( x ) dyz1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
a
b
S1
z z1 ( x , y )
o
( x, y)
将三重积分化为三次积分
D
y
y y2 ( x )
计算三重积分 xdxdydz，其中 为三个

坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D xy {( x , y ) | 1 x y 0, 0 x 1} 解 {( x , y , z ) | 0 z 1 x y , ( x , y ) D xy }
f ( x , y , z )dz
b
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
( 2) 再计算 F ( x , y ) 在闭 区间 D xy上的二重积分
Dxy
x
y y1 ( x )
F ( x , y )d
D xy
z2 ( x , y ) [ z ( x , y ) 1
f ( x , y , z )dz ]d .
z2 ( x , y ), ( x , y ) D xy }
z z2 ( x , y )
z2 S 2
(1) 先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )从 z1 到 z2 作定积分

z1
S1
z z1 ( x , y )
F ( x, y)
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
（3）进一步，若 D xy 是 X 型区域 D xy { ( x , y ) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b}
则
f ( x , y , z )dv


z
z2 ( x , y ) d z1 ( x , y ) D xy
z z2 ( x , y )
Dz
f ( x , y , z )dxdy
z
（2）截面 Dz 的形状比较简单
例 3 计算三重积分 z dxdydz ，其中

2
是
x2 y2 z2 由 椭球面 2 2 2 1所成的空间闭区域. a b c
解：被积函数为 z 的一元函数 在 z 轴上的投影区间为 [ c , c ]
a
z1
S1
z z1 ( x , y )
o
( x, y)

z2 ( x , y ) d z1 ( x , y ) Dxy

f ( x , y , z )dz
b
y y1 ( x )
D
y
y y2 ( x )
x
f ( x , y , z )dv
z2 ( x , y ) d z1 ( x , y ) D xy
质量记为： M1, M 2 ,, M n 则 M M i ,
n
,
（3）取极限，记 max{ 1, 2 , , n },
则 M lim f ( i ,i , i ) vi .
0 i 1
n
定义：设 f ( x , y, z ) 为有界闭区域 上的有界函数
则 {( x, y, z ) | c1 z c2 , ( x, y ) Dz } （3）先将 z 看作常数，对 f (x, y ) 在 Dz 作二重积分 记为 f ( x , y , z )dxdy F ( z )