极坐标系
数学公式知识：极坐标系的定义与性质
数学公式知识：极坐标系的定义与性质极坐标系是一种在平面直角坐标系下，用极径和极角两个参数来描述平面点坐标的方式。
极坐标系的定义与性质对于理解极坐标系的使用与应用非常重要。
本文将会详细介绍极坐标系的定义和性质，以帮助读者更好地理解和应用极坐标系。
极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，由极轴和极角两个参数描述点的位置。
极轴是一个固定的直线，通常选择平面上与x轴正方向交点为起点的线段，极角是该点和极轴之间的夹角，取值范围一般为0到360度或者-180度到180度之间。
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，其中x和y分别代表该点到x轴和y轴的距离，而在极坐标系中，点的坐标用(r，θ)表示，其中r为该点到极点的距离，即该点的极径，而θ为该点到极轴的夹角，即该点的极角。
极坐标系的性质极坐标系具有以下性质：1.点的极坐标系有唯一性每一个点都有唯一的极坐标系表示方法。
因为每个点到极点的距离和到极轴的夹角都是唯一的，所以用(r，θ)表示一个点的坐标时具有唯一性。
2.点的平面直角坐标系与极坐标系之间的联系一个点的坐标可以用平面直角坐标系和极坐标系两种方式表示。
平面直角坐标系表示时，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，而在极坐标系表示时，则用(r，θ)来表示同一个点的坐标。
两种表示方式之间具有以下关系：x = rcosθ，y = rsinθr² = x² + y²，tanθ = y/x在使用极坐标系进行计算时，可以通过这些公式将极坐标系的坐标转换为平面直角坐标系的坐标。
同样，我们也可以通过将平面直角坐标系的坐标转换为极坐标系的坐标来进行计算。
3.数学公式的简化在某些情况下，使用极坐标系可以使公式的计算更简便。
与平面直角坐标系存在的复杂公式不同，极坐标系中的公式通常非常简单而容易推导。
例如，圆的极坐标公式为r = a，其中a为圆的半径。
在平面直角坐标系下，圆的公式是(x-a)² + (y-b)² = a²，其中a和b分别是圆心的坐标。
极坐标系
极坐标系在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
如何表示点点(3,60°) 和点（4,210°）正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。
r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。
比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。
（−3,240°）和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。
通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（−r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。
[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。
使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。
航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。
两坐标系转换极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x = rcos（θ），y = rsin（θ），由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：θ = arctan(y/x)在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90° （radians)；若y为负，则θ = 270° (在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为方程为r（θ）=1的圆方程为 r（θ） = 2 sin 4θ的玫瑰线得到其镜像，就是另一条螺线。
极坐标系
§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。
在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。
当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。
事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。
根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。
三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。
指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。
极坐标系的基本概念
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它以点到原点的距离和点与正半轴的夹角来表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系更适用于描述圆形或球形的几何问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念及其在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系用两个数表示点的位置，分别是极径和极角。
极径表示点到原点的距离，用正实数表示；极角表示点与正半轴的夹角，以弧度为单位。
在极坐标系中，原点表示极径为0的点，也是极角为任意值的点。
在直角坐标系中，一个点的位置由X坐标和Y坐标确定，即(x,y)。
而在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ确定，即(r,θ)。
二、极坐标系与直角坐标系的转换公式在极坐标系和直角坐标系之间，可以通过一些公式进行坐标的转换。
1. 从直角坐标系到极坐标系的转换：极径r可以通过以下公式计算：r = √(x² + y²)极角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数。
2. 从极坐标系到直角坐标系的转换：X坐标可以通过以下公式计算：x = r * cos(θ)，其中cos为余弦函数。
Y坐标可以通过以下公式计算：y = r * sin(θ)，其中sin为正弦函数。
三、极坐标系的应用极坐标系在数学和物理中有着广泛的应用。
1. 极坐标方程一些图形在直角坐标系中难以描述，而在极坐标系中可以用较简单的方程表示。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为 r = a，其中a为圆的半径。
其他曲线如椭圆、双曲线等也可以用极坐标方程表示。
2. 极坐标系中的积分在计算一些特殊曲线的弧长、曲面积分和体积等问题时，极坐标系更加方便。
利用极坐标系进行积分计算可以简化问题并提高计算效率。
3. 物理中的应用极坐标系在力学、电磁学、流体力学等领域都有广泛应用。
例如，在描述质点的运动轨迹时，如果运动轨迹呈现出旋转或对称性，极坐标系更适用于描述和分析。
结语极坐标系作为一种描述平面上点位置的坐标系，具有简洁、直观的特点，被广泛应用于数学和物理学科中。
极坐标系
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
图1。
极坐标系的概念
极坐标系的概念一、极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.二、极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.三、极坐标和直角坐标的互化1、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:2、互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.3、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.练习题：1．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2π(ρ∈R) 对称 D ．重合2.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈3．极坐标方程 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )。
极坐标系
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值
3 4 5 6
2
2
C
4
6
M
E D O B
P
A X
3 M (5, 4 ) 5 N(3.5, 3 )
P(3, 6 )
N
F
G
4 3
5 3
探讨： 在同一极坐标系中,有如下极坐标： 1：这些极坐标之间有何异同？
( 3,0)
( 3, )
( 3, 3 ) ( 3 ,1) (5,0)
5 (2 3 , ) 6
7 ( 2, ) 6
(5,0)
例2：已知两点 A(2, ) ， B(3, ) 3 2 求两点间的距离。 B 解： AOB A 6
用余弦定理求 AB的长即可。 o x
小结1、极坐标系的建立 Nhomakorabea表示 2、极坐标平面上的点与其极坐标对 应时应注意的几个方面 3、极坐标与直角坐标的互化公式
4, , 4, 2 , 4, 4 , 4, 2 6 6 6 6
2：这些极角有何关系？ 3：这些极坐标所表示的点有什么关系?
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) 利用三角函数、勾股定理 的知识，写出x、y 、ρ、 θ之间的关系。
§1.2.1极坐标系
Y
y
· M (x，y)
O
x
X
极坐标是用“距离”和“角度”来刻画平面上 点的位置的坐标形式。极坐标与平面直角坐 标系一样都是刻画点的位置和运动的参照物。 因此比较这两种坐标系，可以获得点与坐标 之间对应关系的整体认识。
极坐标系 课件
将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)；(3)(32π，32π)． 【思路探究】 利用公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但 求角 θ 时，要注意点所在的象限．
【自主解答】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝yx＝－ 3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π. ∴点的直角坐标(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝yx＝－ 33，θ∈[0,2π)， 由于点( 6，－ 2)在第四象限， ∴θ＝116π. ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为(2 2，116π)．
(3)∵ρ＝ x2＋y2＝ 32π2＋32π2＝3 22π，tan θ＝xy＝1， θ∈[0,2π)．
直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为 B(2，－π3)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点
在第几象限． (1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－π3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsionsθθ ―→点
的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．
极坐标系
极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.例题训练：1．(教材习题改编)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．2．在极坐标系中，圆ρ＝4表示 ．θ＝π3表示________． 3．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．4.在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值？1.(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．2．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．3.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．4. 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x ，（ϕ为参数），一坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系。
极坐标系 课件
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
极坐标系定义
极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。
它由两个数
值组成，分别是极径和极角。
在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。
极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。
而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。
极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。
在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。
这是因为极角的定义具有周期性。
极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。
例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。
在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。
但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示极坐标系是一种在数学和物理中常用的坐标系，它可以用来描述平面上的点的位置。
本文将介绍极坐标系的概念、极坐标的表示以及极坐标系的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系。
极轴是指从原点到点的有向线段，通常用正方向表示。
而极角是指极轴与固定参考线之间的夹角，通常用弧度表示。
极坐标系的标准位置通常以极轴平行于x轴的正方向并通过原点的直线来表示。
二、极坐标的表示在极坐标系中，点的位置可以用极径和极角来表示。
极径是指从原点到点的距离，而极角则是指从极轴到线段所经过的角度。
通常，极径用大写字母r表示，极角用希腊字母θ表示。
因此，一个点可以用（r，θ）来表示。
三、极坐标系的转换在直角坐标系和极坐标系之间可以进行转换。
如果已知一个点在直角坐标系中的坐标（x，y），那么可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的坐标：r = √（x² + y²）θ = arctan（y / x）反之，如果已知点在极坐标系中的坐标（r，θ），则可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标：x = r * cosθy = r * sinθ四、极坐标系的应用极坐标系在许多应用中起着重要的作用。
例如，极坐标系常用于描述极坐标图，这些图形在科学研究、工程设计和技术绘图中广泛应用。
此外，极坐标系还可以用于描述极坐标方程的图形，如极坐标方程r =a +b * cosθ和r = a + b * sinθ等。
在物理学中，极坐标系也被用来描述旋转和循环运动。
总结：通过本文的介绍，我们对极坐标系和极坐标的表示有了更深入的了解。
极坐标系通过极轴和极角描述平面上的点的位置，其转换关系可以方便地将点在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
极坐标系在科学研究、工程设计和技术绘图中具有广泛的应用。
通过掌握极坐标系的概念和表示方法，我们能更好地理解和应用相关的数学和物理知识。
极坐标系及其运算
极坐标系及其运算引言在数学和物理学中，极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统。
与直角坐标系相比，极坐标系更适合描述圆形或径向对称的问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念、转换公式以及一些常见的极坐标系运算。
一、极坐标系的基本概念极坐标系由两个参数组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与正极轴（通常为x轴）之间的角度。
在极坐标系中，点的坐标表示为（r，θ）。
其中，r可以是非负实数，θ可以是任意实数。
极坐标系中的点可以通过极坐标转换为直角坐标系中的点，转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)二、极坐标系的运算1. 极坐标系的加法在极坐标系中，两个点的加法可以通过将两个点的极径和极角相加得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的和的坐标为（r1 + r2，θ1 + θ2）。
2. 极坐标系的减法与加法类似，两个点的减法可以通过将两个点的极径和极角相减得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的差的坐标为（r1 - r2，θ1 - θ2）。
3. 极坐标系的乘法和除法在极坐标系中，两个点的乘法可以通过将两个点的极径相乘，极角相加得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的乘积的坐标为（r1 * r2，θ1 + θ2）。
类似地，两个点的除法可以通过将两个点的极径相除，极角相减得到。
假设点A的坐标为（r1，θ1），点B的坐标为（r2，θ2），则点A与点B的商的坐标为（r1 / r2，θ1 - θ2）。
4. 极坐标系的平方根和幂运算在极坐标系中，点的平方根可以通过将点的极径开方，极角除以2得到。
假设点A的坐标为（r，θ），则点A的平方根的坐标为（√r，θ / 2）。
类似地，点的幂运算可以通过将点的极径的幂次方，极角乘以幂次方得到。
假设点A的坐标为（r，θ），则点A的幂运算的坐标为（r^n，n * θ）。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
极坐标系的定义及其转换公式
极坐标系的定义及其转换公式极坐标系是一种非常常用的坐标系，它常用于描述圆心对称或轴对称的曲线以及天文学上的星座等。
在这篇文章里，我们将会学习极坐标系的定义及其转换公式。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种由极径和极角两个量组成的坐标系，它表示平面上一点的位置。
极径指该点到极点的距离，极角则是从极轴正方向（通常取x轴正方向）到点P对应线段与极轴之间形成的夹角。
极坐标系的极点是一个固定点，通常取为坐标系原点。
极坐标系的坐标表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
而极径和极角都是由数值表示的。
在极坐标系中，曲线的方程通常表示为：f(r,θ)=0其中，r表示曲线上的点到极点的距离，θ表示曲线上的点与极轴正方向的夹角。
二、极坐标系的转换公式在实际应用中，我们经常面临需要将极坐标系转换为直角坐标系的问题。
而这就需要我们熟掌握极坐标系与直角坐标系之间的转换公式。
1. 极坐标系转换为直角坐标系假设点P在极坐标系中的坐标为(r,θ)，它也可以表示为(x,y)。
我们可以通过以下两个公式将极坐标系转换为直角坐标系：x=r*cosθy=r*sinθ即点P的坐标(x,y)与(r,θ)的关系为：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
其中，cos和sin分别是三角函数中计算角度的函数，可以通过计算器查询其值。
2. 直角坐标系转换为极坐标系同样地，我们也需要将直角坐标系转换为极坐标系，以便更好地描述曲线的形状。
对于在直角坐标系中的点P(x,y)，它的极坐标形式可以表示为(r,θ)。
我们可以通过以下公式将直角坐标系转换为极坐标系：r=sqrt(x^2+y^2)θ=arctan(y/x)即点P的坐标(r,θ)与(x,y)的关系为：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=arctan(y/x)。
其中，arctan是反三角函数中的函数，用于计算斜率的夹角。
三、总结极坐标系的定义及其转换公式，在解决曲线描述问题时非常有用。
我们需要学习和掌握极坐标系的定义，以及将其转换为直角坐标系和反之的方法。
极坐标系知识点
极坐标系知识点关键信息项：1、极坐标系的定义2、极坐标的表示方法3、极坐标与直角坐标的转换公式4、极坐标系中的曲线方程5、极坐标系下的面积计算6、极坐标系在物理学和工程学中的应用11 极坐标系的定义极坐标系是一个二维坐标系，在平面内取一个定点 O，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对（ρ,θ) 就叫点 M 的极坐标。
111 极坐标系的特点极坐标系中的点与极径和极角一一对应。
但极角的取值范围一般规定在0, 2π) 内。
112 极坐标系与直角坐标系的区别直角坐标系通过横坐标和纵坐标确定点的位置，而极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。
12 极坐标的表示方法点 M 的极坐标可以表示为（ρ,θ)，其中ρ 为正数时，表示点 M 在极轴的逆时针方向上与极点 O 的距离为ρ；ρ 为负数时，表示点 M 在极轴的顺时针方向上与极点 O 的距离为｜ρ|。
121 极坐标的多值性由于极角的周期性，同一个点在极坐标系中的表示不唯一。
13 极坐标与直角坐标的转换公式设点 M 的直角坐标为（x, y)，极坐标为（ρ,θ)，则有：x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθρ² ＝ x²＋ y²tanθ ＝ y ／ x （x ≠ 0）131 转换公式的应用通过这些公式，可以在极坐标和直角坐标之间进行相互转换，便于解决不同类型的问题。
14 极坐标系中的曲线方程常见的极坐标曲线方程有：圆：ρ ＝ a （以极点为圆心，a 为半径的圆）直线：θ ＝α （过极点且与极轴夹角为α 的直线）141 特殊曲线的极坐标方程推导例如，对于圆心在（a, 0) 且半径为 a 的圆，其极坐标方程为ρ ＝2a cosθ。
15 极坐标系下的面积计算对于由极坐标曲线围成的区域，其面积可以通过积分来计算。
极坐标系
极坐标系（重定向自极坐标）在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。
该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。
极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。
在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。
对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
历史主条目：三角函数的历史众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。
天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC ）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。
并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。
在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。
希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。
关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。
格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。
圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。
卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。
布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（Method of Fluxions ）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。
牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。
在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum ）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。
极坐标系通俗解释
极坐标系通俗解释
极坐标系是一种二维坐标系，它使用极径和极角来描述平面上的点。
极径表示点到坐标系原点的距离，极角表示点在坐标系中的方向。
极坐标系通俗解释就是通过极径和极角来确定平面上的点的位置。
极坐标系常用于描述圆形、对称图形和极坐标方程的图形。
在极坐标系中，极径通常用正数表示，表示点到坐标系原点的距离，而极角通常用弧度表示，以x轴正方向为0度，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
在极坐标系中，我们可以很容易地描述圆形。
一个圆的极坐标方程为r=a，其中a为圆的半径。
如果我们想画一个以坐标系原点为圆心，半径为2的圆，我们可以将它的极坐标方程写成r=2，然后在极坐标系中画出来。
极坐标系还可以用来描述对称图形。
例如，如果我们想画一个六边形，我们可以先确定一个顶点的极坐标，然后通过对称性不断地旋转这个顶点来确定其他顶点的极坐标。
总之，极坐标系是一种非常有用的坐标系，可以用来描述平面上的点的位置，特别是圆形和对称图形。
极坐标系怎么理解
极坐标系怎么理解什么是极坐标系？极坐标系也称为极坐标系统，是一种用于描述平面上点的系统。
与常用的直角坐标系不同，极坐标系使用距离和角度两个参数来确定点的位置。
在极坐标系中，每个点都可以通过一个距离值（r）和一个角度值（θ）来表示。
在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来定位一个点，其中x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
而在极坐标系中，我们选择一个原点作为参考点，从该点出发，使用一个长度为r的射线来表示距离，射线的方向则由与正x轴之间的夹角θ来决定。
极坐标系的转换公式要从直角坐标系转换为极坐标系，我们可以利用一组简单的公式：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，sqrt表示开平方根的操作，arctan表示反正切函数。
这组公式可以根据给定的x和y坐标计算得出对应的r和θ值。
通过这样的转换，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
极坐标系的特点和优势极坐标系相比直角坐标系具有一些独特的特点和优势。
首先，极坐标系更加直观和直观。
通过使用距离和角度这两个可视化参数，我们可以更容易地理解和描述点之间的相对位置和方向。
例如，在极坐标系中，我们可以直接通过角度的大小判断两个点之间的方向关系。
其次，极坐标系在某些情况下更加简洁和方便。
对于一些对称图形和周期性运动的描述，极坐标系常常可以提供更加简洁的表达方式。
例如，描述一个圆形可以仅通过一个参数r来实现，而不需要在直角坐标系中同时指定x和y的值。
此外，极坐标系也有一些特殊的应用场景。
在物理学、工程学和极坐标应用模型中，极坐标系常常被用于描述旋转运动、波动现象和电场分布等问题。
在这些领域中，极坐标系的使用可以简化问题的描述和计算过程。
极坐标系的局限性和注意事项尽管极坐标系具有一些独特的优势和应用场景，但也存在一些局限性和注意事项。
首先，极坐标系并不适用于所有场景。
在某些情况下，直角坐标系仍然是更为合适的选择。
例如，在需要精确描述点的位置和方向的情况下，直角坐标系的数学计算更加简单并且易于理解。
极坐标系
极坐标系知识点：1．极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.3．极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，， 有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．4.极坐标中的弦长公式：1122A(,),B(,)AB ρθρθ=设，三角形的面积公式12121sin()2AOB S ρρθθ∆=-.5.常用的极坐标方程： 直线方程：圆的方程：一、极坐标的概念知识精讲：（1）极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.1.__________________.(1),,(2),,(3)0,[0,2),ρθπ>∈（一星）下列判断正确的有在极坐标平面中给定一个点的极坐标则能确定该点的位置在极坐标平面中一个点的位置确定则其极坐标唯一确定若规定可使极坐标与平面内的点一一对应答案：（1）（3）2.(3,)(,)4M R πρθ∈写出点的所有极坐标规定答案：略4.2,3,32.A B O AOB ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二星）已知两点的极坐标，，为极点，求两点间的距离及三角形的面积2.(5,),(5,),(),623.ABC A B C πππ∆-已知的三顶点的极坐标分别为判断三角形的形状并求出面积 备注：套距离公式就可以了.二、极坐标与直角坐标互化()2:2,0:1.1,3)2(32,5)1.(3πθπθπρπ≤≤<-≥--⎪⎭⎫⎝⎛若限定；变若限定变化成极坐标的直角坐标将点化为直角坐标；的极坐标将点M M答案：略3.（二星）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1-，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．3π,4⎫⎪⎭ B．5π,4⎫-⎪⎭ C．11π,4⎫⎪⎭ D．π,4⎫-⎪⎭备注：极坐标的多种表示方法5.（一星）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为． 备注：圆的极坐标的应用6.（一星）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为，圆心的直角坐标为．27.4sin 5.2θρ=（三星）判断极坐标方程表示的曲线，求其准线极坐标方程 备注：抛物线方程互化、直线化极坐标221cos 4sin 54522cos 522252555()455cos .22x x y x x θθρρρρθρθ-=∴=-==+=+=-=-解：由，，即：平方整理：，表示抛物线准线方程：，即2.（二星）（2015广东理）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .解：依题已知直线：可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．9.（二星）（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径.1.（二星）（2016北京）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 解：转化成直角坐标做，答案为2.l 24sin(2=-）πθρA 74A π⎛⎫⎪⎝⎭A l l 2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10x y -+=()2,2A -A l 2d ==cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =三、常用的直线与圆的极坐标4.（一星）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 备注：圆的极坐标的应用7.cos sin .ρθρθ==求极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距离10.（二星）（2012陕西）直线与圆相交的弦长为 . 备注：极坐标的简单应用解：是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.4．（二星）（2013安徽理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．0()cos 2R θρρθ=∈=和B ．()cos 22R πθρρθ=∈=和C ．()cos 12R πθρρθ=∈=和D ．0()cos 1R θρρθ=∈=和备注：极坐标系的直接应用2cos 1ρθ=2cos ρθ=2cos 1ρθ=⎪⎭⎫⎝⎛0,212cos ρθ=()0,1321122=⎪⎭⎫⎝⎛-四、极坐标的应用(1)2cos (2)2cos()(3)2cos()66(4)sin 1(5)sin()1(6)sin() 1.66ππρθρθρθππρθρθρθ==-=+=-=+=9.（三星）画出以下图形：；备注：注意常用的旋转技巧答案：（1）略；（2）（1）的图形逆时针旋转6π；（3）（1）的图形顺时针旋转6π；（4）略；（5）（4）的图形逆时针旋转6π；（6）（4）的图形顺时针旋转6π.10.()sin().4πρθ+三星直线的极坐标方程为求极点到该直线的距离解：sin 2ρθ=绕极点顺时针旋转4π单位即可.答案：25.极坐标系中(3)6P π-，，若规定0,[,)ρθππ>∈-，（1）求点P 关于极点对称的点的极坐标；（2）求点P 关于极轴对称的点的极坐标；（3）过极点作垂直于极轴的直线l ，求点P 关于直线l 对称的点的极坐标. 答案：略.)(43sin 2cos 4.6对称的曲线方程关于极点、极轴、直线分别写出曲线R ∈=+=ρπθθθρ备注：代入转移法10.（二星）已知曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为πcos 34cos 0,02ρθρθρθ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为． 备注：极坐标的直接应用23.（三星）(2015全国1卷)在直角坐标系xOy 中.直线1C :2x ＝－，圆2C ：22(1)(2)1x y －＋－＝，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积.备注：极坐标的简单应用解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。
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极坐标系
一、 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O ，叫极点，引一条射线Ox ，
叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M ，用 ρ 表示线
段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径，θ 叫做点M 的极角，对应 (ρ,θ)就叫点M 的
极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
二、极坐标与直角坐标的转化：
在直角坐标系中一点M 0为(x 0,y 0)则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系
中其极径ρ0=√x 02+y 02 , 极角θ0=tan −1(y
0x 0) （极角所在象限由原角而定），得M 0极坐标为(√x 02+y 02,tan −1(y
0x 0))。
那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式： {ρ=2+y 2
θ=tan −1(y x ) {x =ρcos θ y =ρsin θ
三、极坐标系的运用及简单图像的方程：
1) 极坐标系中两点的距离：
若在极坐标系中存在不同的两点A (ρ1,θ1)、B (ρ2,θ2)则
其距离d 为：
d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2) 推导过程: 由余弦定理
c 2=a 2+b 2−2abcosC
得:
|AB |2=|OA |2+|OB |2−2|OA ||OB |cos ∠AOB
其中有：|OA |=ρ1 , |OB |=ρ2 ∠AOB =θ1−θ2
则有：
|AB |2=ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)
即：
d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)
2) 极坐标系中直线的方程：
若在极坐标系中存在过极点的直线l 0，其倾斜角为φ，则该直线的的极坐标方程为：
θ=φ (ρ ∈R )
3) 极坐标系中圆的方程：
若在极坐标系中存在一个圆，圆心在极点上，半径为r ,则该圆的的极坐标方程为：
ρ=r (θ ∈R )
若其圆心在点O (ρ1,θ1)则该圆的的极坐标方程为：
ρ2+ρ12−2ρρ1cos (θ−θ1)=r 2 M (ρ,θ)
x θρ
极坐标系
O )
4)极坐标系中圆锥曲线的方程：
圆锥曲线的极坐标方程为
ρ=±ep
1−ecosθ或ρ=±ep
1−esinθ
p表示准线到焦点的距离。
以椭圆为例，进行推导：
以椭圆的左焦点为F为极点，向右为正方向，, 设其离心率为e=|FP|
|PN|
， F到左准线l的距离为|MF|=p (由椭圆的定义可知，若该椭圆的长半轴长为a，焦距
为2c，结合图像可得p=a2
c
−c
2
.)，左准线的垂线的
垂足为N交椭圆于点P(ρ,θ)，则有
|PN|=|MF|−|PF|∙cosθ=p−ρcosθ |FP|=ρ得：
e=|FP|
|PN|
=
ρ
p−ρcosθ
稍加整理便可得：ρ=
ep
1−ecosθ
.
5)
N。