非平稳时间序列模型教材
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第五章 非平稳时间序列模型
5.1 ARIMA模型
5.2 季节模型 5.3 残差自回归模型 5.4 条件异方差模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的 建模和预测方法，即所讨论的时间序列都 是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均 值和方差都是常数，并且它的协方差有时 间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt
此外，均值函数还可能是指数 函数、正弦—余弦波函数等，这些 模型都可以通过标准的回归分析处 理。处理方法是先拟合出μt的具体 形式，然后对残差序列yt={xt－ μt} 按平稳过程进行分析和建模。
☆ 趋势平稳过程
若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画， 则称此过程为趋势平稳过程. ＊趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导； ＊对于趋势平稳过程，应选用退势的方 法获得平稳过程； ＊趋势平稳过程的差分过程是过度差分
过程；
＊对于趋势平稳过程，随机冲击只具 有有限记忆能力，其影响会很快消 失，由其引起的对趋势的偏离只是 暂时的；（旋转）
＊对于趋势平稳过程，只要正确估计 出其确定性趋势，即可实现长期趋 势与平稳波动部分的分离。
随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平 ARMA模型。为理解齐次非平稳 ARMA模型，可先对ARMA模型的 性质作一回顾。
2、均值非平稳过程的描述
（1）确定性趋势模型—刻画确定性时 间趋势
（2）随机趋势模型—刻画随机性时间 趋势
确定性趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个 特定的时间趋势表示时，一个标准 的回归模型曲线可用来描述这种现 象。
☆ 思路 将非平稳过程的均值函数用一个时间的
确定性函数来描述. ☆ 模型表达式
考虑如下例子：
yt yt1 t y0 0 , t ~ WN (0, 2 )
当 1 时 ， 序 列 yt 平 稳
如 果 1， 则 序 列 的 方 差 为 ：
Var( yt ) Var( yt1 t ) Var( yt2 t1 t )
Var(1 2 t1 t ) t 2
4
2
0
-2
-4
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
(b) yt 0.7 yt1 t ,t ~ WN (0, 2 )
6
4
2
0
-2
-4
-6
10
20
30
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(c) yt yt1 t ,t ~ WN (0, 2 )
（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或 阻尼正弦波）衰减或截尾.
非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情 形，如它们具有非常数的均值μt，或非常 数的二阶矩，如非常数方差σt2，或同时具 有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性
变化)
例1 ①美国1961年1月至1985年12月16—19
岁女性失业人数的月度序列如图所示：
显然，均 值水平是 随时间改 变的.
②美国1871年至1979年的年度烟草生产 量序列如图所示：
非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减， PACF一般呈截尾.
3、 从建模要求看
平稳序列具有许多优良性质，一般可满足 建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检 验等，传统方法均能获得良好效果.
非平稳序列，因不满足若干统计分析方法 的基本假定，传统方法不再适用.
（二） 均值非平稳过程
1、均值非平稳的表现 （1）均值非平稳是指序列均值随时间的变 化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈 现某种时间趋势. （2）时间趋势依其内在属性，分为确定性 时间趋势和随机性时间趋势. （3）对均值非平稳进行分析的首要工作是： 由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相 应的时间依赖现象.
当 t 时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的
2、从图像特征看
（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性 与周期性：序列的振动是短暂的，经过一 段时间以后，振动的影响会消失，序列将 会回到其长期均值水平；在不同时刻或时 段，序列偏离均值的程度基本相同.
非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期 性.
(a) yt t ,t ~ WN (0, 2 )
k
wk.baidu.com
Zt t t jt j (B)at
(1)
j0
其中(B)
(B) (B)
,
at
iid
~
WN
(0,
2 a
)，
{t }为平稳过程.
＊数字特征
因为 E(t ) E((B)at ) (B)E(at ) 0
k
所以 E(Zt ) E(t t ) jt j j0
此时 系数 j恒定不变.
因此，称均值的这种趋t 势为确定性趋势.
均值水平 是随时间 改变的， 同时方差 也随均值 水平的增 长而增长.
③某地1987年至1996年某商品月销售量 序列如图所示：
该序列的 季节特征 是明显的， 季节周期 为12.
5.1 ARIMA模型
※ 非平稳过程 ※ 非平稳性的检验
※ ARIMA模型 ※ ARIMA模型的建立
※ 疏系数模型
一 非平稳过程
VarZt Var(t t ) Var(t ) 2
2 为平稳过程 {t} 的方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定 性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述. 对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
（一）平稳过程与非平稳过程的差异
1、从统计属性看 平稳时间序列具有如下特性： （1）具有常定均值，序列围绕在均值周围 波动； （2）方差和自协方差具有时间不变性； （3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数 的增加而衰减.
非平稳时间序列不具有上述特性：
（1）或者不具有常定的长期均值； （2）或者方差和自协方差不具有时间不变 性； （3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶 数的增加而衰减.
5.1 ARIMA模型
5.2 季节模型 5.3 残差自回归模型 5.4 条件异方差模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的 建模和预测方法，即所讨论的时间序列都 是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均 值和方差都是常数，并且它的协方差有时 间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt
此外，均值函数还可能是指数 函数、正弦—余弦波函数等，这些 模型都可以通过标准的回归分析处 理。处理方法是先拟合出μt的具体 形式，然后对残差序列yt={xt－ μt} 按平稳过程进行分析和建模。
☆ 趋势平稳过程
若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画， 则称此过程为趋势平稳过程. ＊趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导； ＊对于趋势平稳过程，应选用退势的方 法获得平稳过程； ＊趋势平稳过程的差分过程是过度差分
过程；
＊对于趋势平稳过程，随机冲击只具 有有限记忆能力，其影响会很快消 失，由其引起的对趋势的偏离只是 暂时的；（旋转）
＊对于趋势平稳过程，只要正确估计 出其确定性趋势，即可实现长期趋 势与平稳波动部分的分离。
随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平 ARMA模型。为理解齐次非平稳 ARMA模型，可先对ARMA模型的 性质作一回顾。
2、均值非平稳过程的描述
（1）确定性趋势模型—刻画确定性时 间趋势
（2）随机趋势模型—刻画随机性时间 趋势
确定性趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个 特定的时间趋势表示时，一个标准 的回归模型曲线可用来描述这种现 象。
☆ 思路 将非平稳过程的均值函数用一个时间的
确定性函数来描述. ☆ 模型表达式
考虑如下例子：
yt yt1 t y0 0 , t ~ WN (0, 2 )
当 1 时 ， 序 列 yt 平 稳
如 果 1， 则 序 列 的 方 差 为 ：
Var( yt ) Var( yt1 t ) Var( yt2 t1 t )
Var(1 2 t1 t ) t 2
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(b) yt 0.7 yt1 t ,t ~ WN (0, 2 )
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(c) yt yt1 t ,t ~ WN (0, 2 )
（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或 阻尼正弦波）衰减或截尾.
非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情 形，如它们具有非常数的均值μt，或非常 数的二阶矩，如非常数方差σt2，或同时具 有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性
变化)
例1 ①美国1961年1月至1985年12月16—19
岁女性失业人数的月度序列如图所示：
显然，均 值水平是 随时间改 变的.
②美国1871年至1979年的年度烟草生产 量序列如图所示：
非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减， PACF一般呈截尾.
3、 从建模要求看
平稳序列具有许多优良性质，一般可满足 建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检 验等，传统方法均能获得良好效果.
非平稳序列，因不满足若干统计分析方法 的基本假定，传统方法不再适用.
（二） 均值非平稳过程
1、均值非平稳的表现 （1）均值非平稳是指序列均值随时间的变 化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈 现某种时间趋势. （2）时间趋势依其内在属性，分为确定性 时间趋势和随机性时间趋势. （3）对均值非平稳进行分析的首要工作是： 由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相 应的时间依赖现象.
当 t 时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的
2、从图像特征看
（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性 与周期性：序列的振动是短暂的，经过一 段时间以后，振动的影响会消失，序列将 会回到其长期均值水平；在不同时刻或时 段，序列偏离均值的程度基本相同.
非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期 性.
(a) yt t ,t ~ WN (0, 2 )
k
wk.baidu.com
Zt t t jt j (B)at
(1)
j0
其中(B)
(B) (B)
,
at
iid
~
WN
(0,
2 a
)，
{t }为平稳过程.
＊数字特征
因为 E(t ) E((B)at ) (B)E(at ) 0
k
所以 E(Zt ) E(t t ) jt j j0
此时 系数 j恒定不变.
因此，称均值的这种趋t 势为确定性趋势.
均值水平 是随时间 改变的， 同时方差 也随均值 水平的增 长而增长.
③某地1987年至1996年某商品月销售量 序列如图所示：
该序列的 季节特征 是明显的， 季节周期 为12.
5.1 ARIMA模型
※ 非平稳过程 ※ 非平稳性的检验
※ ARIMA模型 ※ ARIMA模型的建立
※ 疏系数模型
一 非平稳过程
VarZt Var(t t ) Var(t ) 2
2 为平稳过程 {t} 的方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定 性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述. 对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
根都在单位圆外.
（一）平稳过程与非平稳过程的差异
1、从统计属性看 平稳时间序列具有如下特性： （1）具有常定均值，序列围绕在均值周围 波动； （2）方差和自协方差具有时间不变性； （3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数 的增加而衰减.
非平稳时间序列不具有上述特性：
（1）或者不具有常定的长期均值； （2）或者方差和自协方差不具有时间不变 性； （3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶 数的增加而衰减.