高中数学第六章数列第一节数列的概念与简单表示

第一节 数列的概念与简单表示

[基本知识]

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．

2．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式

如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．

4．S n 与a n 的关系

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2，

这个关系式对任意数列均成立．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )

(3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1

2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

二、填空题

1．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝1

2

a n －1，则a 5的值为________．

解析：由a 1＝2，a n ＋1＝12a n －1，得a 2＝12a 1－1＝1－1＝0，a 3＝12a 2－1＝0－1＝－1，a 4＝12a 3－1＝－12－1＝－3

2，a 5

＝12a 4－1＝－34－1＝－7

4

. 答案：－74

2．数列{a n }定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

1＋a 2n

，n 为偶数，

1a n －

1，n 为奇数，

若a n ＝1

4

，则n 的值为________．

解析：困为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝2

3，a 8＝1＋a 4

＝4，a 9＝1a 8＝1

4

，所以n ＝9.

答案：9

3．数列{a n }的通项公式a n ＝

1n ＋n ＋1

，则10－3是此数列的第________项．

解析：a n ＝

1

n ＋1＋n ＝n ＋1－n

(n ＋1＋n )(n ＋1－n )

＝n ＋1－n ，

∵10－3＝10－9，∴10－3是该数列的第9项． 答案：9

4．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．

答案：a n ＝⎩⎨⎧

2，n ＝1，

2n －1，n ≥2

[全析考法]

考法一 利用a n 与S n 的关系求通项

数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎨⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2，

通过纽带：a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，根据题目已知

条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．

[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．

(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝____________.

[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧

3，n ＝1，2n ，n ≥2.

(2)∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2

n .

当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.

当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.

∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，

∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．

[答案] (1)a n ＝⎩⎨⎧

3，n ＝1，2n ，n ≥2

(2)n

[方法技巧]

已知S n 求a n 的3个步骤

(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

考法二 利用递推关系求通项