高考数学模拟复习试卷试题模拟卷21167
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。
高考数学模拟考试试卷.doc
高考数学模拟考试试卷理科数学一、选择题：（每小题5分，共50分）1．设复数z 满足关系式i z z +=+2，那么z 等于 A.i +-43 B.i -43 C.i --43 D.i +432．已知等差数列}{n a 中，1697=+a a ，14=a ，则16a 的值是A.15B.22C.31D.64 3．若命题p ：B A x ⋃∈，则p ⌝是A.B x A x ∉∉且B.B x A x ∉∉或C.B A x ⋂∉D.B A x ⋂∈4．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同 的参观路线种数共有 A. 6种B. 8种C. 36种D. 48种5．已知空间直角坐标系O xyz -中有一点)2,1,1(--A ，点B 是xOy 平面内的直线 1x y +=上的动点，则,A B 两点的最短距离是B. C.3 D.1726．若不等式na nn )1(2)1(1-+<-+对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是A. )1,2[-B. )1,2(-C. )1,25[-D. )1,25(- 7．点),(b a M 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x 确定的平面区域内，则点),(b a b a N -+所在平面区域的面积是A. 1B. 2C. 4D.88．如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AB ⊥，1==AB PA ，2=BC ，则三棱锥ABC P -的外接球表面积为A. π4B. π3C. π2D. π9．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=⋅BAC AC AB 设MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是10．对于集合P 、Q , 定义},|{Q x P x x Q P ∉∈=-且，()()P Q P Q Q P ⊕=--，设集合},4|{2R x x x y y A ∈-==，},3|{R x y y B x∈-==，则A B ⊕等于 A. (]4,0- B. [)4,0- C. ()[),40,-∞-+∞ D. (](),40,-∞-+∞二、填空题（每小题5分，共25分）11．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域 内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区 域内的概率为 ．12．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为 .13．设121112084)3()3()4()1(a x a x a x x +++++=++ ，则=++++12420a a a a .14．点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 和圆22222:b a y x C +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠,其中21,F F 是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 。
高三数学模拟试题含答案
高三数学模拟试题含答案第一题：计算题已知 a = 3，b = 5，c = 7，d = 9，请计算以下表达式的值，并给出计算过程。
1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答：1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题：选择题在下面的选项中，选择一个正确答案。
1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是：A. a > 0，开口向上B. a > 0，开口向下C. a < 0，开口向上D. a < 0，开口向下解答：B. a > 0，开口向下第三题：解方程请求解以下方程，并给出解的步骤。
1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答：1) 2x - 5 = 3x + 1移项得：2x - 3x = 1 + 5化简得：-x = 6解得：x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式，因此使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1，b = -4，c = 3，得：x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得：x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得：x = (4 ± √4) / 2化简得：x = (4 ± 2) / 2分解得：x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3，x2 = 1第四题：证明请证明勾股定理，即直角三角形中，直角边平方和等于斜边平方。
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试(II卷)理科数学
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试（II 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i )1()3(-++=m m z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. )1,3(-B. )3,1(-C. ),1(+∞D. )3,(--∞2. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | (x + 1)(x 2) < 0，x ∈Z}，则A ∪B =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,0,1,2,3}3. 已知向量a = (1, m)，b = (3,2)，且(a + b)⊥b ，则m =A. 8B. 6C. 6D. 84. 圆x2 + y2 2x 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y 1 = 0的距离为1，则a =A. 34-B. 43- C. 3D. 25. 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为 A. 24 B. 18 C. 12 D. 96. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. π20B. π24C. π28D. π327. 若将函数y = 2sin2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. )(62Z ∈-=k k x ππ B. )(62Z ∈+=k k x ππ C. )(122Z ∈-=k k x ππ D. )(122Z ∈+=k k x ππ 8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a 为2、2、5，则输出的s = A. 7 B. 12 C. 17 D. 349. ==-ααπ2sin 53)4cos(，则若A.257 B. 51C. 51- D. 257- 10. 从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1、x2、…、xn 、y1、y2、…、yn ，构成n 个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π的近似值为A.m n 4 B. m n 2 C. n m 4 D. nm 2 11. 已知F1、F2是双曲线E ：12222=-b y a x 的左、右焦点，点M 在E 上，MF1与x 轴垂直，sin ∠MF2F1 =31，则E的离心率为A. 2B.23C. 3D. 2 12. 已知函数)(2)())((x f x f x x f -=-∈满足R ，若函数)(1x f y xx y =+=与图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)，则=+∑=mi iiy x 1)(A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
高考模拟复习试卷试题模拟卷高考数学模拟试卷二
高考模拟复习试卷试题模拟卷高考数学模拟试卷（二）1. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. [2，＋∞)D.［1，＋∞)2．设向量()6,a x =，()2,2b =-，且()a b b -⊥，则x 的值是（ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2- 3.复数z 满足(1＋i)2·z ＝－1＋i(i 为虚数单位)．则z ＝A.1+iB.1iC.12+12i D.1212i 4.在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{an}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为 () A.100B.120C.150D.2005. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等6．棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．45π B ．87π C ．π D ．47π 7、数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则有（ ） A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+C ．39410a a b b +≠+D ．39410a a b b ++与大小不确定8．已知ABC ∆和点M 满足=++，若存在实数m ，使得m =+成立，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．59.下图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为1A 、2A 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、16A ，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A ．6B ．10C ．91D ．9210.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是( )11.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A ．16π3B ．8π3B ．C ．43D ．23π12. 若函数(x)f 的零点与(x)422xg x =+-的零点之差 的绝对值不超过14，则(x)f 可以是（ ）A.(x)4x 1f =-B.2(x)(x 1)f =-C.(x)1xf e =- D.1(x)ln(x )2f =- 13、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =_________14. 已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足x f x x f ln )1(2)(+'=，则=')1(f ________15.在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是_____________16. 双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的离心率是2，则213b a +的最小值是.17、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA －2cosC cosB ＝2c －ab.(1)求sinC sinA的值；(2)若cosB ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S.18（文）．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）设1222AA AC CB AB ====，1BC 与D A 1所成角的大小．19. 为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生 参加“汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．20. 已知函数ax x e x f x --=2)(．(Ⅰ)若函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程为，b x y +=2求，a b 的值； (Ⅱ)若函数)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的最大值．21. 已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.（1）求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取值范围.22．如图，P 为⊙O 外一点，PC 交⊙O 于F ，C ，PA 切⊙O 于B A ，为线段PA 的中点，BC 交⊙O 于D ，线段PD 的延长线与⊙O 交于E ，连接FE ．求证：（Ⅰ）PBD ∆∽CBP ∆； （Ⅱ）FE AP //．23. （本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C5 1 2 3 4 5678 6 7 89 3 4方程为2sin ρθ=．2C 的参数方程为11232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.高考数学模拟试卷（二）参考答案1.【答案】B2.【答案】C3. 答案：C4. 【答案】A 设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.5.答案D6.【答案】A ．解析：S=41π·12×3+81×4π·12=45π。
高考数学第二次模拟考试卷
高考数学第二次模拟考试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{1A =，2，3}，{2B =，5，6}，则()(U A B = )A ．{4}B ．{1，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，3，4，5，6}2．设x R ∈，则“|1|2x -<”是“111x >-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数||1()||x f x ln x x-=，其图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．605．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为( ) A ．6B ．9C ．32D ．186．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为36π，圆柱的高为2，则圆锥的体积为( )A ．5πB ．53πC ．16πD ．163π 7．已知双曲线22122:1(0,0)y x C a b a b -=>>的焦点为1(0,)F c -，2(0,)F c ，抛物线221:4C y x c =的准线与1C 交于M ，N 两点，且三角形2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为( ) A 3B 6C 15D 10 8．如图所示的曲线为函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=->><的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再把所得曲线向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( )A ．函数()g x 在513[,]2424ππ上单调递减 B ．点3(,0)8π为()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在3[,]4ππ上单调递增D ．2x π=为()g x 图象的一条对称轴9．已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C ．[23-2]D ．[23-39]16第Ⅱ卷二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年新高考数学模拟卷(二)含答案解析
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()2i i z a =+，若z 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】A【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，再令其实部小于0，虚部大于0即可求解.【详解】因为()()()()()2222i 1i i i 2i 21i ii i 2a z a a a aa a +-⨯-⨯-+===-++=--，因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以()22010a a <⎧⎪⎨-->⎪⎩得10a -<<，所以实数a 的取值范围为()1,0-，故选：A.2．已知实数集R ， 集合{}{}2435A xx B x x =≤≤=≤≤∣，∣， 则 ()R A B = ð（ ）A ．{45}xx <≤∣ B ．{2x x <∣ 或 3}x ≥ C ．{}45x x ≤≤∣ D ．{2x x ≤∣ 或 3}x ≥【答案】B【详解】因为集合{}24A x x =≤≤∣，所以(,2)(4,)R A =-∞+∞ ð，而{}35B xx =≤≤∣，所以()R A B = ð{2xx <∣ 或 3}x ≥，故选：B 3．设O 、F 分别是抛物线24y x =的顶点和焦点，点P 在抛物线上，若10OP FP ⋅=，则FP = A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】设2,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OP FP ⋅=，求出点P 的坐标，最后求FP2023年新高考模拟卷（二）【详解】解：()1,0F ，设2,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,1,01,44y y FP P y F y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为10OP FP ⋅=，22,1,1044y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，42121600,y y +-=28,y y ==±(21,1,4y FP y ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，3FP = 故选：B【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题.4．若正三棱台111ABC A B C -的各顶点都在表面积为65π的球O的表面上，且AB =11A B =111ABC A B C -的高为（ ）AB ．4C3D ．3或4【答案】D【分析】由外接球的表面积可得2654R =，分别求出正三棱台111ABC A B C -的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质分别求出球心到上下两个面的距离，再分三棱台的上下底面在球心O 的同侧和异侧两种情况求解即可.【详解】解析：设点1O ，2O 分别是正111A B C △，ABC V 的中心，球的半径为R ，则2465R ππ=，即2654R =，且1O ，2O ，O 三点共线，正三棱台111ABC A B C -的高为12O O ，在等边ABC V中，由AB =22sin 60AB AO ==︒，得24AO =在等边111A B C △中，由11A B =：11112sin 60A B AO ==︒，得112AO=在11Rt OO A V 中，222111OO O A R +=，即216544OO +=，得172OO =，在2Rt OO A △中，22222OO O A R +=，即2265164OO +=，得212=OO ，如果三棱台的上下底面在球心O 的两侧，则正三棱台的高为121271422O O OO OO =+=+=，如果三棱台的上下底面在球心O 的同侧，则正三棱台的高为121271322O O OO OO =-=-=，所以正三棱台111ABC A B C -的高为3或4，故选：D ．5．医用口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率~(0.94x N ，20.01)，((22)0.954P x μσμσ-<+=…，(33)0.997P x μσμσ-<+=…，1000.99850.86)≈．则( )A ．(0.9)0.5P x <…B ．(0.4)( 1.5)P x P x <<>C ．(0.96)0.023P x >=D ．假设生产状态正常，记X 表示抽取的100只口罩中过滤率大于3μσ+的数量，则(1)0.14P X ≈…【解析】解：对于A ，(0.9)(0.94)0.5P x P x <=……，故选项A 正确；对于B ，因为(0.4)(0.94)(0.4(0.94)P x P x P x <=-………，又( 1.5)(0.38)P x P x >=<，所以( 1.5)(0.94)(0.380.94)P x P x P x >=-………，显然(0.4)( 1.5)P x P x <>>，故选项B 错误；对于C ，10.954(0.96)(0.940.02)(2)0.0232P x P x P x μσ->=>+=>+==，故选项C 正确；对于D ，10.997(3)0.00152P x μσ->+==，则(3)1(3)10.00150.9985P x P x μσμσ+=->+=-=…，由100(1)1(0)10.998510.860.14P x P x =-==-≈-=…，故选项D 正确．故选：ACD ．6．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】B【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.7．已知()42e ,4(16)143,4x xf x x x -⎧≤=⎨-->⎩，则当0x ≥时，()2x f 与()2f x 的大小关系是（ ）A ．()()22x f f x ≤B ．()()22x f f x ≥C ．()()22x f f x =D ．不确定【答案】B【详解】解：由函数()42e ,4(16)143,4x x f x x x -⎧=⎨-->⎩…，得函数()f x 在(),4∞-上递增，在()4,16上递减，在()16,+∞上递增，作出函数2x y =和2y x =的图像，如图所示，令22x x =，得2x =或4，结合图像可知，当02x ≤<时，2420x x >>≥，则()()22x f f x >，当24x ≤≤时，24216x x ≤≤≤，则()()22x f f x ≥，当4x >时，2216x x >>，则()()22x f f x >，综上所述，当0x ≥时，()()22x f f x ≥.故选：B.8．已知函数()tan sin cos f x x x x =-，现有下列四个命题：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于(2π，0)对称；④f (x )的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①②④【答案】C【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】因为tan y x =与1sin cos sin 22y x x x ==的最小正周期均为π，所以f (x )的最小正周期是π.因为()()f x f x -=-，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称.因为()()tan sin cos fx x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(2π，0)对称.因为()()2tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(π，0)对称.所以①②③④均正确，故选：C二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个表述中，正确的是（）A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B ．设有一个回归方程 35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；C ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么r 越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高；D ．在一个22⨯列联表中，根据表中数据计算得到2K 的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．【答案】AD【解析】A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数C 后()()D X C D X +=，方差不变，正确；B ．设有一个回归方程 35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，错误；C ．设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么r 越接近于1，x ，y 之间的线性相关程度越高，错误；D ．在一个22⨯列联表中，根据表中数据计算得到2K 的观测值k ，若k 的值越大，两个变量有关系的出错概率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．故选：AD10．如图，点N 为边长为1的正方形ABCD 的中心，ECD V 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．直线BM 、EN 是异面直线B ．BM EN≠C ．直线BM 与平面ECD D ．三棱锥N ECD -【答案】BD【详解】对于A 选项，连接BD ，则点N 为BD 的中点，E ∴、N ∈平面BDE ，EN ∴⊂平面BDE ，同理可知BM ⊂平面BDE ，所以，BM 与EN 不是异面直线，A 选项错误；对于C 选项， 四边形ABCD 是边长为1的正方形，BC CD ∴⊥，平面ABCD ⊥平面ECD ，交线为CD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ECD ，所以，直线BM 与平面ECD 所成角为BMC ∠，M 为DE 的中点，且CDE △是边长为1的正三角形，则CM =BM ∴sin BC BMC BM ∴∠==，C 选项错误；对于B 选项，取CD 的中点O ，连接ON 、OE ，则//ON BC 且1122ON BC ==，OE =BC ⊥ 平面CDE ，ON ∴⊥平面CDE ，OE ⊂ 平面CDE ，ON OE ∴⊥，1EN ∴==，BM EN ∴≠，B 选项正确；对于D 选项，ON ⊥ 平面CDE ，CDE △的面积为21CDE S ==V 所以三棱锥N ECD -的体积为111332N ECD CDE V S ON -=⋅==V D 选项正确.11．已知圆()22:21M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形PAMB周长的最小值为2+B ．AB 的最大值为2C ．直线AB 过定点D ．存在点N 使CN 为定值【答案】ACD 【详解】如图示：设||MP t =，则||||AP BP ==，所以四边形PAMB周长为2+，当P 点位于原点时，t 取值最小2，故当t 取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值2，故A 正确；由2PAMB PAM S S =V 可得：11||||2||122MP AB PA ⨯⨯=⨯⨯⨯ ，则||AB == ，而2t ≥||2AB ≤< ,故B 错误；设01122(,0),(,),(,)P x A x y B x y ，则PA 方程为：11(2)(2)1x x y y +--= ，PB 的方程为22(2)(2)1x x y y +--=，而0(,0)P x 在切线PA ，PB 上，故101(2)(2)1x x y +--=，202(2)(2)1x x y +--=，故AB 的直线方程为0(2)(2)1xx y +--=，当0x =时，32y =，即AB 过定点30,2（） ，故C 正确；由圆的切线性质可知MP AB ⊥ ,设AB 过定点为D302（，）,则D 点位于以MD 为直径的圆上，设MD 的中点为N ，则7(04N ， ,则||CN 为定值，即D 正确，故选：ACD.12．对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=，则（ ）A ．()777log 76log 6ϕ=+B ．数列(){}3nϕ为等比数列C ．数列(){}2n ϕ单调递增D ．数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和恒小于4【答案】ABD【详解】因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有76777=个，所以()()776777log 7log 776log 6ϕ=-=+，故A 正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，所以()1323nn ϕ-=⋅，则数列(){}3nϕ为等比数列，故B 正确；因为()21ϕ=，()42ϕ=，()62ϕ=，所以数列(){}2n ϕ不是单调递增数列，故C 错误；因为()122nn ϕ-=，所以()11122222nn ni i ii i i i i iϕ=====∑∑∑.设21122222nn i n i i n S ===+++∑，则231112122222n n n n nS +-=++++ ，所以1231111111121222112222222212n n n n n n n n n S ++++-+=++++-=-=-- ，所以222n n n S +=-，从而数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为122442n n n S -+=-<，故D 正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.【答案】(答案不唯一) 【分析】通过得出，即可求出的最小正周期；通过得出函数关于点对称，然后列举一个满足关于点对称以及最小正周期为的方程即可.【详解】因为，所以，的最小正周期为.因为，所以函数关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为的方程可以为.故答案为：；（答案不唯一）.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）【答案】252【解析】由题意得212MF MF a -=，故212MF MF a =+，如图所示，()f x R ()()11f x f x =+-()()11f x f x -+=()f x ()f x 2()1cos 2f x x π=+()()11f x f x =+-()()2f x f x =-()f x ()()11f x f x -+=()f x 11,22⎛⎫⎪⎝⎭11,22⎛⎫⎪⎝⎭2()()11f x f x =+-()()2f x f x =-()f x 2()()11f x f x -+=()f x 11,22⎛⎫⎪⎝⎭11,22⎛⎫⎪⎝⎭2()1cos 2f x x π=+2()1cos 2f x x π=+则211222MF MN MF a MN F N a b a +=++≥+=+，当且仅当M ，1F ，N 三点共线时取等号，∴2MF MN +的最小值为210b a +=，∴10≥，即252ab ≤，当且仅当25b a ==时，等号成立，而()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离1b N b F cc==，又1OF c =，故ON a =，∴12111252222F NF F NO S S NF NO ab ==⨯⋅=≤△△，即12F NF △面积的最大值为252.15．已知c为单位向量，平面向量,a b 满足||||1c a b c -=-= 则a b ⋅ 的最小值为_______．【答案】12-【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】不妨设(1,0)c =，1122(,),(,)a x yb x y ==则||11c a -=⇒= ，||11b c -=⇒= 即2211(1)1x y -+=，2222(1)1x y -+=所以1122(,),(,)x y x y 在圆22(1)1x y -+=上 1212a b x x y y ⋅=+设圆的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）则(1,sin ),(1cos ,sin )a cosb ααββ=+=+ (1)(1cos )sin sin a b a cos αβαβ⋅==+++1cos cos()αβαβ=+++-cos 212coscos2cos 12cos(coscos222222αβαβαβαβαβαβ+---+-=++-=+令2222()222(+22n n a b m m n m mn m ⋅=+=+=- ，,[1,1]m n ∈- 所以当2n m =-时，2min ()2n a b ⋅=- ，[1,1]n ∈-所以min 1()2a b ⋅=- ， 故答案为：12-【点睛】运用平面向量数量积的运算性质及换元思想是解题的关键.16．已知1()22x x e f x e=-的图象在点A 处的切线为11,()(ln 1)2l g x x x x =--的图象在点B 处的切线为2,l 若12l l ⊥，则直线AB 的斜率为_________【答案】32-【分析】分别对()(),f x g x 求导，确定11()()122x x f x e e -=+≥'⋅=，再由12l l ⊥得出121k k =-，进一步确定()ln g x x x =-'的值域，从而确定211,1k k =-=，最后求出A B 、的坐标，再求斜率.【详解】解：易知12,l l 的斜率均存在，设直线12,l l 的斜率分别为1211,,()()122x x k k f x e e -=+≥⋅='，当且仅当0x =时等号成立，则1 1.k ≥因为12l l ⊥，所以121k k ×=-，所以210.k -≤<()ln ,g x x x ='-令()ln ,h x x x =-则1()1h x x'=-，令()0h x '>，则01x <<，()h x 递增，令()0h x '<，则1x >，()h x 递减，易知()h x 在1x =处取得最大值1-，所以21k ≤-.因为210k -≤<，所以211,1k k =-=，当11k =时，即1()()12x xf x e e -+'==，则0x =，即0A x =，当21k =-，()ln 1g x x x '=-=，则1x =，即1B x =，所以0,1,A B x x ==可得A (0，0)，3(1,)2B -，所以3.2AB k =-故答案为：32-.【点睛】考查曲线在某一点的切线斜率就是该点的导数，本题的难点在于确定导函数的值域，从而确定出切线斜率的具体值；难题.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．从以下条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并作答.①()sin 2sin B A C =+；②cos sin B b A =；③S =且B 为锐角.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若3b =， ______，sin sin 2sin a A c C b B +=.(1)求角B ；(2)求ABC V 的周长.注：如果选多个条件分别作答，则按第一个解答记分.【解析】(1)选条件① ∵()sin 2sin B A C =+，∴2sin cos sin B B B =，又()0,B π∈，sin 0B ≠∴1cos 2B =，故3B π=选条件②（1cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，又()0,A π∈，sin 0A ≠sin B B =，即tan B =又()0,B π∈，故3B π=.选条件③（1）∵S =且1sin 2S ac B =，∴1sin 2ac B =，即sin B =，又B 为锐角，故3B π=.(2)根据（1）的结果可得：3B π=∵sin sin 2sin a A c C b B +=且3b =，∴由正弦定理得：222218a c b +==，①又由余弦定理有：2222cos b a c ac B =+-，即23182cos183ac ac π=-=-，∴9ac =，②由①②解得：3a c ==，故ABC V 的周长9a b c ++=.18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+.（1）设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【解析】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Z a a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+，其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列.所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121n n n b a -==-，22122(21)nn n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n nn S =-+-+-++-+-+-+-++- 1233[(21)(21)(21)(21)]n=-+-+-++- 1233(2222)3nn =++++- 2(12)3312n n-=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.(1)求证：AB BC ⊥；(2)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，请问在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π，若存在请求出E 的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E 为线段1A C 中点【分析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明BC ⊥侧面11A ABB ，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面EAB 的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.(1)证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，则1AD A B ⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面111A ABB A B =，得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥.三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥.又1AA AD A = ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB Ì侧面11A ABB ，故AB BC ⊥.(2)由(1).AD ⊥平面1A BC ，则ACD ∠直线AC 与平面1A BC 所成的角,所以6π∠=ACD ，又AD =2AC BC ==假设在线段1A C 上是否存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π,由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以AC ､1AA 所在直线分别为x ，z 轴,以过A 点和AC 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()10,0,2A，()()1,(220),2,2,2C B B ，，且设()1101A E AC λλ=≤≤，12)AC =-，得(),0,22E λ-所以(),0,22AE λ=- ，()2,2,0AB = 设平面EAB 的一个法向量()1,,n x y z =，由1AE n ⊥，1AB n ⊥得：(22)0220x z x y λ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，取11,n ⎛=- ⎝ ,由(1)知1AB ⊥平面1A BC ，所以平面CEB 的一个法向量()12,2,2AB =,所以111121cos 32AB n AB n π⋅===，解得12λ=,∴点E 为线段1A C 中点时，二面角A BE C --的大小为23π.20．某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n 位密接者，每位密接者被感染的概率为p ，（1）若3n =，13p =，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X 的分布列和均值：（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k 份血液样本需要检验k 次；②混合检验，即将k 份（*k N ∈且2k ≥）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份血液样本全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k 份血液样本再逐份检验，此时这k 份血液样本的检验次数为k +1次.假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为1p =-合检验需要的检验的总次数ς的期望值比逐份检验的总次数η的期望值更少，求k 的取值范围.参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln 5 1.6094≈，ln 6 1.7918≈.【解析】（1）若n ＝3，p ＝13，依题意可知X 服从二项分布，即X ～B (3，13)，从而3-312()((33iiiP X i C ==，i ＝0，1，2，3．随机变量X 的分布列为：X123P8274929127随机变量X 的均值为1()313E X =⨯=．（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，1k+，且()(11)k P p ζ==-，()1)+11(k P k p ζ==--，∴()()()()()1++111+11k k kE p k p k k p ζ⎡⎤=---=--⎣⎦，又∵E (η)＝k ，依题意E (ζ)＜E (η)，即：k ＋1－k (1－p )k ＜k ，∴1k＜(1－p )k ，∵p ＝1，∴1k ＜)k ，∴ln k ＞13k ．设()1ln 3f x x x =-，则()'11333x f x x x -=-=，所以03x <<时，()'>0f x ，>3x 时，()'0f x <，所以f (x )在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f (1)＝13-＜0，f (2)＝ln2－23＞0，f (4)＝ln4－43＝0.0530＞0，f (5)＝ln5－53＝－0.0573＜0，故k 的取值范围为24k ≤≤且k ∈N *21．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如下图)步骤 1： 设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤 2： 把纸片折叠， 使圆周正好通过点F ；步骤 3： 把纸片展开， 并留下一道折痕；步骤 4： 不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片， 设定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸．（1）以点F E 、 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，交该椭圆于A ，B 两点，AB 中点为Q ，射线 (OQ O 为坐标原点)交椭圆于P ，若3QP OQ =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）210x y ±-=【分析】（1）以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，根据椭圆的定义+==4=2MF ME AE a 求出a 的值，根据2EF c =求出c 的值，再由2223b ac =-=求出b 的值即可得椭圆的方程；（2）由已知可得4OP OQ = ，当AB 斜率不存在时，2OP OQ =，不合题意；当 AB 斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为()1y k x =-，利用点差法求出34AB OP k k ⋅=-，可得直线OP 的方程为：34y x k =-分别与椭圆、()1y k x =-联立求出点P ，Q 横坐标，再结合4OP OQ =列方程求出k 的值即可求解.（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知+==42MF ME AE EF >=，所以M 点轨迹是以,F E 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22c =，24a =，所以1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）因为3QP OQ = ，所以4OP OQ = ，当AB 斜率不存在时，2OP OQ =，不合题意； 当AB 斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121234-+⋅=--+y y y y x x x x ，即34AB OP k k ⋅=-， 故直线OP 的方程为：34y x k =-，联立2234143y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221634P k x k =+， 联立34(1)y x k y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得22434Q k x k =+，因为4OP OQ = ，所以4=P Q x x ，即224434=⨯+k k ，则214k =，解得：12k =±， 所以直线AB 的方程为1(1)2=±-y x ．即210x y ±-=.22．设函数()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R .(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，记直线PQ 的斜率为k ，求证：122k x x +<+.【答案】(1)1y a =- (2)证明见解析【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出()1f ，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设12x x <，所以1201xx <<<，根据两点斜率公式得到()()2212121213ln12232x x k x x x x x x =+++---+，即证()()2212121211403ln122x x x x x x x x +++---+<，根据对数平均不等式可得212121l 63n xx x x x x -<-+-，只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，依题意即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；(1)解：因为()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R ，所以()3213ln111211f a a a =-++⨯-⨯=-，()23322f x x ax a x'=-++-，所以()10f '=，所以切点为()1,1a -，切线的斜率0k =，所以切线方程为1y a=-(2)解：因为()()()23221332333223322x x a x x ax ax f x x ax a x x x⎡⎤-++++--⎣⎦'=-++-==因为12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，所以()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，所以()21212Δ3236032031a a x x x x ⎧=+->⎪+⎪+=->⎨⎪⋅=⎪⎩，所以92<-a ，不妨设12x x <，所以1201x x <<<，所以()()()2323222211112121213ln 23ln 2x x x x x x x x f x f x k a x x x a a a x -++--+=+--=---()()()()()2222122112121211213ln2a a x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+++-+---()()221212121213ln 2a x x x x x x x x x x a =++-+---+()()()()222121212*********ln3123x x x x x x x x x x x x =--++--+++-++()()2212121213ln 12232x x x x x x x x =+++---+要证122k x x +<+即证()()222121211123ln122232x x x x x x x x x x -+--+<++++，即()()2212121211403ln122x x x x x x x x +++---+<，令2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++，所以当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，即2(1)ln 0(1)x x x -->+，所以ln 211x x x >-+在(1,)+∞上恒成立，因为1201x x <<<，所以211x x >，所以212211ln211x x x x x x >-+，即21212111ln2x x x x x x x x >-+，即212121l ln 2n x x x x x x ->-+，所以212121l 63n xx x x x x -<-+-，下面只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，因为211x x ⋅=，所以121x x =，所以122212x x x x +=+>=，所以2t >，即证21142260t t t --+<+，()2,t ∈+∞，即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，令()32812g t t t t =-++-，()2,t ∈+∞，()()()23283420g t t t t t '=-++=-+-<，所以()g t 在()2,+∞上单调递减，所以()()20g t g <=，得证。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
全国高考数学模拟试卷(4套)
全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。
高考模拟数学试卷带答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = 2x + 3在区间[1, 4]上单调递增，则下列结论正确的是：A. f(1) > f(2)B. f(2) > f(3)C. f(3) > f(4)D. f(4) > f(1)2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10为：A. 28B. 55C. 82D. 1273. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是：A. x轴B. y轴C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^45. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10等于：A. 50B. 55C. 60D. 656. 若等比数列{bn}的公比为q，且b1 = 1，b3 = 8，则q的值为：A. 2B. 4C. 8D. 167. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为：A. ±1B. ±2C. ±3D. ±48. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则cosB的值为：A. 3/5B. 4/5C. 5/7D. 7/59. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数的对称轴为：A. x = 2B. x = 4C. y = 2D. y = 410. 若sinA + sinB = 1，cosA + cosB = 1，则sin(A + B)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 211. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = -1，则S10等于：A. -10B. -20C. -30D. -4012. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是：A. x轴B. y轴C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高考数学模拟试卷附答案解析
高考数学模拟试卷附答案解析请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)=f(2一x)，当x e[0,1]时，f(x)=x，则函数F(x)=f(x)+x+4在区间[一9,10]上零点的个数为() 1一2xA．9B．10C．18D．202．如图，ABC中经A=2经B=60。
，点D在BC上，经BAD=30。
，将△ABD沿AD旋转得到三棱锥B,一ADC，分别记B,A，B,D与平面ADC所成角为C，β,则C，β的大小关系是()A．C<β<2C B．2C<β<3CC.β<2C，2C<β<3C两种情况都存在D．存在某一位置使得β>3a3．为计算S=1一2x2+3x22一4x23+...+100x(一2)99，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()A．i<100B．i>100C．i<100D．i之1004．已知定义在[1,+伪)上的函数f(x)满足f(3x)=3f(x)，且当1<x<3时，f(x)=1一x一2，则方程f (x )=f (2019)的最小实根的值为()A ．168B ．249C ．411D ．5615．已知抛物线C :x 2=4y ,过抛物线C 上两点A ,B 分别作抛物线的两条切线PA ,PB ,P 为两切线的交点O 为坐标原点若PA .PB =0,则直线OA 与OB 的斜率之积为()11A ．—-B ．—3C ．—-486．在复平面内，复数z =a +bi （a ，b e R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ =r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ,则z =r (cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z 1=r (cos θ+isin θ)，111z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1z 2=r 2cos r (cos θ+isin θ)n =r n (cos n θ+isinn θ)(θ+θ)+isin (θ+121,已知z =(3+i )4θ2)，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：,则z =()A ．23B ．4C ．83D ．167．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18C ．240，208．直角坐标系xOy 中，双曲线边三角形，则该双曲线的离心率x 2y 2—a 2b 2e =()A .43B .54B ．200，20D ．200，18=1（a ，b >0）与抛物线y 2=2bx?相交于A 、B 两点，若ΔOAB 是等C .65D .76119．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =2,AP =AB,AQ =AD,若CP .CQ =12,则经ADC =()32A .5π6B .3π4C .2π3D .π210．在ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为a ,b,c ，若c —a cos B =(2a —b)cos A ，则ABC 的形状为()D ．—4A ．直角三角形C ．等腰或直角三角形B ．等腰非等边三角形D ．钝角三角形11．若复数z =21+i,其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A ．z 的虚部为-iB ．z =2C ．z 的共轭复数为-1-iD ．z 2为纯虚数12．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为()A .C .3336B .D .63336二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学模拟试题及答案
高考数学模拟试题及答案[说明：以下是一份数学模拟试卷，包含20道题目和对应的答案解析。
请按照试题进行答题，并在答案解析中查看详细的解题过程。
希望对您的备考有所帮助。
]Part I 选择题（共10题，每题4分，共40分）1. 若集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = ( )。
A. {1, 2, 3, 4}B. {3, 4}C. {3, 4, 5, 6}D. {}2. 函数 y = 2^(x-1) 的图像是一条( )。
A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 指数曲线3. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(3) = ( )。
A. -2B. 0C. 2D. 44. 若sinθ = 0.8，0<θ<π/2，则cosθ = ( )。
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.85. 已知一边长度为 a 的正方形的对角线长为 d，则 a/d = ( )。
A. √2B. 1C. 1/√2D. √2/26. 若函数 f(x) 为奇函数，则 f(-2) = ( )。
A. -f(2)B. f(2)C. 0D. -f(-2)7. 一枚硬币正面向上的概率为 0.6，抛掷该枚硬币10次，正面向上次数是 4 的概率是 ( )。
A. 0.2508B. 0.3024C. 0.2016D. 0.40328. 空间直角坐标系中，已知直线L1: 3x + 4y + λ = 0，L2: 2x + 5y - 1 = 0 相交于点 P(1, -1)，则λ = ( )。
A. 3B. 4C. -3D. -49. 设复数 z 满足 |z-1| = |z-2|，则 z 等于 ( )。
A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知对数函数y = logₐx 的图像经过点 (2, 1/3)，则 a 的值为 ( )。
A. 2B. 1/2C. 1/3D. 3Part II 解答题（共10题，每题6分，共60分）11. 已知三角形 ABC，其中∠B = 100°，∠C = 25°，AD 为高，垂足为 D。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。
高考模拟卷数学试卷及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，是奇函数的是：A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = x^3 \)2. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 在直角坐标系中，点P(3,4)关于直线y=x的对称点是：A. (3,4)B. (4,3)C. (3,-4)D. (-4,3)4. 若\( a^2 + b^2 = 25 \)，且\( a - b = 3 \)，则\( ab \)的最大值为：A. 12B. 15C. 18D. 205. 在三角形ABC中，若\( \angle A = 30^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则\( \angle C \)的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°6. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，则\( f(2) \)的值为：A. 3B. 5C. 7D. 97. 在等比数列中，若前三项分别为2，6，18，则该数列的公比是：A. 2B. 3C. 6D. 98. 若\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，则\( \tan(\alpha + \beta) \)的值为：A. 1B. -1C. 0D. 无解9. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \)，则该圆的半径是：A. 2B. 3C. 4D. 510. 在直角坐标系中，点A(2,3)到直线\( 2x - y + 1 = 0 \)的距离是：A. 1B. 2C. 3D. 411. 若\( \log_2(x - 1) = 3 \)，则\( x \)的值为：A. 3B. 4C. 5D. 612. 若\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，且\( a \neq 0 \)，\( b \neq 0 \)，\( c \neq 0 \)，\( d \neq 0 \)，则\( \frac{a + c}{b + d} \)的值为：A. 1B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{2}{3}\)D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的极值点是______。
高三数学高考模拟试题及答案
高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。
则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。
则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。
2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。
3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷117
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【高频考点突破】考点一已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sinB ＋cosB ，cosC)，ON →＝(sinC ，sinB －cosB)，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos2A2－3sinA －12sin A ＋π4的值． 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值． 考点二已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【变式探究】已知向量a ＝(sinθ，－2)与b ＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值． 考点三正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S. 【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB ，用c 替换sinC.sinA ，sinB ，sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2csinA. (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值． 考点四解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【变式探究】如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？【真题感悟】【高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【押题专练】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知sin α＝55，则cos4α的值是() A.425 B ．－725 C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是() A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为() A.35 B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝() A. 1－a 2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 26．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝()A ．－12 B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin2α＝________. 8．sin 2B1＋cos2B －sin2B＝－3，则tan 2B ＝________. 9．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________. 10．化简：2sin(π4－x)＋6cos(π4－x) 11．求3tan 10°＋14cos210°－2sin 10°的值．12．已知函数f(x)＝3sin2x －2sin2x. (1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质．2.了解幂函数的概念．3.结合幂函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况． 【热点题型】题型一二次函数的图象与性质例1、(1)设函数f(x)＝x2＋x ＋a(a>0)，已知f(m)<0，则() A ．f(m ＋1)≥0B ．f(m ＋1)≤0 C ．f(m ＋1)>0D ．f(m ＋1)<0(2)已知函数h(x)＝4x2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是() A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析 (1)∵f(x)的对称轴为x ＝－12，f(0)＝a>0， ∴f(x)的大致图象如图：由f(m)<0结合图象可知f(m ＋1)>0.(2)函数h(x)的对称轴为x ＝k 8，要使h(x)在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k8≥20，则k≤40或k≥160，故选C.答案 (1)C(2)C【提分秘籍】二次函数的图象要结合开口方向、对称轴位置及与x 、y 轴交点等来研究，综合二次函数的特征解决问题．【举一反三】已知二次函数的图象如右图所示，那么此函数的解析式可能是()A ．y ＝－x2＋2x ＋1B ．y ＝－x2－2x －1C ．y ＝－x2－2x ＋1D ．y ＝x2＋2x ＋1解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 由题图象得a<0，b<0，c>0. 答案：C题型二二次函数的综合应用例2、已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3x x≤－3或x≥0－x2－3x －3<x<0.令g(x)＝a|x －1|， 如图所示，当g(x)＝a|x －1|(x≤1)与y ＝f(x)有四个交点时，f(x)与g(x)有四个交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2－3x y ＝a 1－x得x2＋(3－a)x ＋a ＝0，Δ＝(3－a)2－4a>0得a<1或a>9，由图可知0<a<1.答案：(0,1)∪(9，＋∞) 【提分秘籍】与其他图象的公共点问题．解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数的图象，要注意其相对位置关系．【举一反三】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a2－ab ，a≤b ，b2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－x ，x≤0，－x2＋x ，x>0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1、x2、x3.由y ＝－x2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 当y ＝14时，代入y ＝2x2－x ，得14＝2x2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x2＋x 的对称轴为x ＝12， ∴x2＋x3＝1，且x2，x3>0， ∴0<x2x3<⎝⎛⎭⎫x2＋x322＝14. 又∵0<－x1<3－14，∴0<－x1x2x3<3－116，∴1－316<x1x2x3<0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0题型三幂函数的图象与性质例3、已知幂函数f(x)＝xm2－2m －3(m ∈N*)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a)－m3的a 的取值范围．解析 ∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m －3<0，解得－1<m<3. ∵m ∈N*，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f(x)＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a)－13等价于a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a. 解得a<－1或23<a<32.故a 的范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a<－1或23<a<32. 【提分秘籍】(1)若已知幂函数图象上一个点的坐标用待定系数法求解析式；若给出性质时，可由图象和性质推断解析式．(2)解幂底含参数的不等式要结合对应幂函数的图象求解． 【举一反三】 如图是函数(m ，n ∈N*，m ，n 互质)的图象，则()A ．m ，n 是奇数且mn <1 B ．m 是偶数，n 是奇数且mn >1 C ．m 是偶数，n 是奇数且mn <1 D ．m 是奇数，n 是偶数且mn >1解析：将分数指数式化为根式的形式为y ＝nxm ，由定义域为R ，值域为[0，＋∞)知n 为奇数，m 为偶数．在幂函数y ＝xα中，当α>1时，图象在第一象限的部分下凸，当0<α<1时，图象在第一象限的部分上凸，故选C.答案：C 【高考风向标】 【高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg . 【答案】1【解析】原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-1．（·江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，02．（·全国卷）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 【答案】32【解析】因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sinx2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.3．（·全国新课标卷Ⅰ）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】当x<1时，由ex －1≤2，得x<1；当x≥1时，由x 13≤2，解得1≤x≤8，综合可知x 的取值范围为x≤8.3．（·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax2－x|，若a ＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y ＝ax2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y ＝ax2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a 上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．4．（·湖南卷）函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x2－4x ＋5的图像的交点个数为() A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B5．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是() A ．x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【答案】C【解析】x→－∞ 时，f(x)<0 ，x→＋∞ 时，f(x)>0，f(x) 连续，x0∈R ，f(x0)＝0，A 正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确；若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，则f(x)在区间(x1，x0)单调递减．C 错误．D 正确．故答案为C.6．（·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝ex 关于y 轴对称，则f(x)＝()A ．ex ＋1B ．ex －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 【答案】D【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x －1)的图像，又y ＝ex 的图像关于y 轴对称的图像的解析式为y ＝e －x ，所以f(x －1)＝e －x ，所以f(x)＝e －x －1.【高考押题】1．已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f(2)＝()A.14 B ．4 C.22D.2解析设f(x)＝xα，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f(2)＝2－12＝22.答案C2．若函数f(x)是幂函数，且满足f4f 2＝3，则f(12)的值为() A ．－3 B ．－13 C ．3D.13解析设f(x)＝xα，则由f4f 2＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f(12)＝(12)α＝12α＝13. 答案D3．已知函数f(x)＝ex －1，g(x)＝－x2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为()．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f(a)＝g(b)⇔ea －1＝－b2＋4b －3⇔ea ＝－b2＋4b －2成立，故－b2＋4b －2>0，解得2－2<b<2＋ 2.答案 B4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于()．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 答案 A5 .函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p ＝0的解集都不可能是()．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf (x)＋p ＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b 2a 对称，因而f(x)＝t1或f(x )＝t2的两根也关于x ＝－b2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642.答案 D6．二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，a 为正整数，c≥1，a ＋b ＋c≥1，方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是()． A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C7．对于函数y ＝x2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案①②⑤⑥8．若二次函数f(x)＝ax2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，4ac －164a＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>0，ac －4＝0. 答案 a>0，ac ＝49．方程x2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝⎛⎭⎫2，52.答案 ⎝⎛⎭⎫2，5210．设f(x)是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y ＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点⎝⎛⎭⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z)上的表达式．11．已知函数f(x)＝x2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f(|x|)的单调区间．解(1)当a ＝－2时，f(x)＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 由于x ∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a ＝1时，f(x)＝x2＋2x ＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋3，x ∈0，6]x2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．12．设函数f(x)＝ax2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围．13．已知函数f(x)＝x －k2＋k ＋2(k ∈Z)满足f(2)<f(3)． (1)求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数． 故－k2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k2＋k ＋2＝2，∴f(x)＝x2. (2)假设存在q>0满足题设，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q，4q2＋14q 处取得．而4q2＋14q －g(－1)＝4q2＋14q －(2－3q)＝4q －124q ≥0，∴g(x)max ＝4q2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4. 解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1162
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ． cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα．cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． tan 2α＝2tan α1－tan2α．3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2． (3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin 2α＝(sinα－cosα)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一 三角函数式的化简与给角求值【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．【答案】(1)cos α (2)6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos 2αcos 2β＝________．【答案】(1)C (2)12考点二 三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.考点三 三角变换的简单应用【例3】 (·广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【真题感悟】【高考重庆，文6】若11tan ,tan()32,则tan =（） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.【答案】π【高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．1．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D2． (·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．3.(·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-44．(·江西卷) 已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．5．(·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B.6．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 【答案】17．(·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．8．(·四川卷) 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 【答案】C9．(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．10．(·重庆卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos2B 2＋si n Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．【押题专练】1．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－3 C.33D ．－33【答案】A2．已知sin α＋cos α＝13，则sin2⎝⎛⎭⎫π4－α＝ ( )A.118 B.1718 C.89D.29【答案】B3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于 ( )A ．7B.17C ．－17D ．－7【答案】B4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】C6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A·tan B ，则C 等于 ( ) A.π3B.2π3C.π6D.π4【答案】A7．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( )A ．－18 B ．－116 C.116D.18【答案】A8．设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＋sin x ＋a2sin⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________．【答案】±39．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________．【答案】－72510．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin2x 的最小正周期是________．【答案】π11．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．【答案】2－15612．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．13．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcos x ，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4.知道指数函数是一类重要的函数模型．5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．6.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．7.知道对数函数是一类重要的函数模型．8.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数(a>0，且a≠1)． 【热点题型】题型一指数式与根式的计算( 例1、计算(1)733－3324－6319＋4333＝________. (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748＝________.【提分秘籍】化简指数幂的一般步骤是：有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数的，先要化成假分数；若是根式，应化为分数指数幂，然后再尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．【举一反三】若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.题型二指数函数的图象问题(例2、若方程|ax －1|＝2a(a>0，且a≠1)有两解，则a 的取值范围是________．【提分秘籍】y ＝ax ，y ＝|ax|，y ＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：y ＝ax 与y ＝|ax|是同一函数的不同表现形式．函数y ＝a|x|与y ＝ax 不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x≥0时两函数图象相同．【举一反三】已知c<0，下列不等式中成立的一个是()A ．c>2cB ．c>⎝⎛⎭⎫12c C ．2c<⎝⎛⎭⎫12c D ．2c>⎝⎛⎭⎫12c题型三指数函数性质的应用例3、设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a>b>c B ．b>a>cC ．c>a>bD ．c>b>a【提分秘籍】(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a 的分类讨论．【举一反三】若函数f(x)＝⎩⎨⎧ 1x ，x<0，⎝⎛⎭⎫13x ，x≥0，则不等式－13≤f(x)≤13的解集为()A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)题型四对数运算例4、(1)(3＋2)2log(3－2)5＝( )A ．1B.12C.14D.15(2)＝________.(3)若log147＝a,14b ＝5，则a ，b 表示log3528＝________.【提分秘籍】对数式的化简与求值的常用思路： (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底数真数的积、商、幂再运算．【举一反三】lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝()A ．1B ．2C ．3D ．4题型五对数函数的图象及应用例5、(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()(2)设方程10x ＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A ．x1x2<0B ．x1x2＝0C ．x1x2>1D ．0<x1x2<1【提分秘籍】在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．【举一反三】若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()题型六对数函数的性质及应用例6、对于函数f(x)＝log 12(x2－2ax ＋3)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．【提分秘籍】对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起．要注意两点：(1)要认清复合函数的构成，判断出单调性．(2)不要忽略定义域．【举一反三】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x ＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．(2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【高考风向标】1.【高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14- 2.【高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( ) （A ）() (B)() （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）3.【高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜（B ）a cb ＜＜（C ）b ac ＜＜（D ）b c a ＜＜4.【高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ）1-（B ）1（C ）2（D ）45.【高考浙江，文9】计算：22log 2=，24log 3log 32+=．6.【高考四川，文12】lg0.01＋log216＝_____________.7.【高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.8.【高考上海，文8】方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.9．（·天津卷）设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a10．（·四川卷）已知b ＞0，log5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c11．（·安徽卷）设a ＝log37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则()A ．b<a<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．a<c<b12．（·福建卷）若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()ABCD13．（·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则()A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b14．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________．15．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A ．x3>y3B ．sin x>sin yC ．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)D.1x2＋1>1y2＋116．（·陕西卷）下列函数中，满足“f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()A ．f(x)＝x3B ．f(x)＝3xC ．f(x)＝x 12D ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x18．（·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．19．（·四川卷）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是()A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]20．（·天津卷） 函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．21．（·安徽卷） ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log354＋log345＝________.22．（·浙江卷） 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x ＞0)，g(x)＝logax 的图像可能是( )A BC D23．（·福建卷） 若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )A BC D24．（·广东卷） 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．25．（·辽宁卷） 已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b26．（·山东卷）已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是()图1-1A．a>1，x>1 B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<127．（·四川卷）已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c28．（·重庆卷）若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋4 3 D．7＋43【高考押题】1．函数y＝a|x|(a>1)的图像是()2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ log3x ，x>02x x≤0，则f(9)＋f(0)＝()A ．0B ．1C ．2D ．33．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是 ()．A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B.⎝⎛⎭⎫1，12 C.⎝⎛⎭⎫－1，－12 D.⎝⎛⎭⎫－1，124．定义运算：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a≤b ，b ，a>b ，如1*2=1,则函数f(x)=2x*2x 的值域为()．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)5．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值为()A. 6B ．2或－2C ．－2D ．26．若函数f(x)＝(k －1)ax －a －x(a>0且a≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x ＋k)的图象是下图中的 ()．7．已知实数a ＝log45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log30.4，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．b<c<aB ．b<a<cC ．c<a<bD ．c<b<a8．设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是()． A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)9．若函数y ＝loga(x2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是()．A ．0<a<1B ．0<a<2，a≠1C ．1<a<2D ．a≥210．若函数f(x)＝loga(x2－ax ＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤a 2时，f(x1)－f(x2)>0，则实数a 的取值范围为()． A ．(0,1)∪(1,3) B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)11．已知函数f(x)＝2x －12x ＋1. (1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证f(x)在R 上为增函数．12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13ax2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值．14．已知定义在R 上的函数f(x)＝2x －12|x|.(1)若f(x)＝32，求x 的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．15．若函数y ＝lg(3－4x ＋x2)的定义域为M.当x ∈M 时，求f(x)＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．16．已知函数f(x)＝loga x ＋b x －b(a ＞0，b ＞0，a≠1)． (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；17．已知函数f(x)＝loga x ＋1x －1，(a>0，且a≠1)． (1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga x ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f(x)＝logax ＋1x －1>loga m x －127－x 恒成立，求m 的取值范围．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考数学仿真试题2
高考数学仿真试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B)用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ａ＝｛θ｜sin θ＋cos θ＞１，０≤θ≤２π｝，Ｂ＝｛θ｜cos θ≤sin θ｝，则Ａ∩Ｂ的区间是A.（０，4π）B.（4π，2π） C.（０，]4πD.（2π， 2.若数列｛a n ｝的前n 项之和Ｓｎ＝a n －１（ａ≠０），则数列｛a n ｝是A.等比数列B.C.不是等比数列D.3.若方程ｘ＋ｋ＝有惟一解，则实数ｋ的范围为A.（－１，１]B.C.（－１，１]∪｛－2｝ D ［－１，１)∪｛24.设偶函数f （x ）＝log a ｜ｘ－ｂ｜在（－∞，０）单调递增，则f （ａ＋１）与f （ｂ＋２）的大小关系是A.ｆ（ａ＋１）＜ｆ（ｂ＋２）B.ｆ（ａ＋１）＞ｆ（ｂC.ｆ（ａ＋１）＝ｆ（ｂ＋２）D.不能确定5.在极坐标系中，点P （２，）到直线ρsin （θ＋）＝１的距离等于 A.1 B.2 C.3 D.１＋36.已知函数f （ｘ）＝log 31ｘ＋２的定义域为(0，3]，则它的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域为A.［－１，１］B.（－∞，１]C.［１，＋∞)D.［23，＋∞) 7.在复平面上，等腰直角三角形ABC 中，Ｃ＝90°，顶点A 、C 对应的复数分别为z 1、 z ２，且z １＝5＋3i ，z ２＝3＋ｉ，则顶点B 对应的复数为A.－２＋２ｉ或２－２ｉB.１＋３ｉC.５－ｉD.１＋３ｉ或５－i8.若ｆ（ｘ）为奇函数，且在（－∞，０）内是增函数，又ｆ（－２）＝０，则ｘｆ（ｘ）＜０解集为A.（－２，０）∪（０，２）B.C.（－∞，－２）∪（２，＋∞）D.9.正方体ABCD —A １B １C １D １中，E 、G 是A １A 和C １C 的中点，F 在AB 上，且C １Ｅ⊥ＥＦ，则EF 与GD 的夹角是A.30°B.45°C.60°D.90°10.椭圆＝１的两个焦点为F １、Ｆ２，点P 在椭圆上，若PF １⊥PF ２，则点P 到x 轴的距离为 A.316 B.516 C.332 D.532 11.半径为RA. B. C. D.12.某工厂9年来生产某产品的产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，下面四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越快；②前三年中，产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变.A.②③B.②④C.①③D.①④第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.已知（１－３ｘ）９＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ９ｘ９，则｜ａ１｜＋｜ａ２｜＋…＋｜ａ９｜的值为______.14.已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若ｎ⊥α，ｍ⊥β，ｎ∥ｍ，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若ｎ⊂α，ｍ⊂α，ｎ∥β，ｍ∥β，则α∥β；⑤若m、n为异面直线，且ｎ⊂α，ｎ∥β，ｍ⊂β，ｍ∥α，则α∥β.则其中正确的命题是______.(把你认为正确的命题序号都填上)15.与y轴平行的直线l与双曲线＝１相交于M、N两点，又与它的渐近线相交于E、F两点，M、N三等分线段EF，那么l与对应的准线距离为______.16.四个班级的四个团支书检查卫生时，一人检查一个班级，要求每个团支书均不检查本班，则安排检查的方法总数是______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数ｆ（ｘ）＝Ａsin（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜图象在y轴上的截距为3，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（ｘ０，２）和（ｘ０＋２π，－２）.(1)求ｆ（ｘ(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换就得到ｙ＝sinｘ的图象?18.(本小题满分12分)若函数ｆ（ｘ）＝logｂ｜ａｘ－１｜（ａ≠０），且满足ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（２－ｘ），解不等式ｆ（ｘ）＞ｆ（０）．19.(本小题满分12分)如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，C是底面圆周上一点，∠ASC＝90°，CD⊥AB于D.(1)求证：平面SAC⊥平面SCD(2)若圆锥的底面半径为3，高为，求二面角B—AS—C的大小.20.(本小题满分12分)数列｛ａｎ｝中，ａ２＝８，前10项和为185，且满足ａｎ＋２－２ａｎ＋１＋ａｎ＝０（ｎ∈Ｎ）.(1)求数列｛ａｎ｝的通项公式；(2)若从数列中依次取出第2项、第4项、…、第2ｎ项、…，按原来的顺序排成一个新的数列，求此数列的前n项和Sｎ，并求的值；(3)设ｂｎ＝（ｎ∈Ｎ），Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ（ｎ∈Ｎ），是否存在最大的整数m，使得任意ｎ∈Ｎ，均有Ｔｎ＞总成立.若成立，求出m的值；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)如图所示，河宽1千米，两岸各有一座工厂A 和B ，A 、B 间的直线距离为4千米，今要铺设一条电缆线连接A 、B ，已知地下电缆铺费是2(万元/千米)，水下电缆铺设费是4(万元/千米)，假设河岸是两平行直线，地下电缆铺在A 的一边(图中的AC )，问下水点C 的位置在何处时使总费用最少，最少总费用为多少万元?22.(本小题满分14分)如图，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋１）（ｐ＞０），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边. (1)(2)设直线与抛物线的交点为Q 、R ，且OQ ⊥OR ，求p 关于m的函数ｐ＝ｆ（ｍ）的表达式;(3)在(2)的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于22，求p 的取值范围.。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【热点题型】题型一平面向量的有关概念 【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是()A ．②③B ．②④C ．③④D ．②③④【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【举一反三】 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案 C题型二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析 (1)∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255， ∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b. (2)因为ABCD 为平行四边形， 所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →， 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.答案 (1)D(2)2 【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a.(2)由题意知：AD →＝FE →，BE →＝DF →，CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0，∴AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 (1)D(2)A题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【举一反三】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析 (1)由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋mj ＝λ(ni ＋j)＝λni ＋λj.又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ， 即有mn ＝1.(2)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b)，PQ →＝OQ →－OP →＝nb －ma ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.答案 (1)C(2)3 【高考风向标】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4(。
【答案】①④⑤ 【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,a AB 2=∴＝21=⇒,故①正确；∵+=+=2∴2=⇒=b BC ，故②错误，④正确；由于b a b BC a AB 与⇒==,2夹角为 120，故③错误；又∵04)21(2144)4()4(=+-⨯⨯⨯=+⋅=⋅+=⋅+∴BC b a ⊥+)4(，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤1．（·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p)∧(綈q)D ．p ∨(綈q)【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°【解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.3．（·四川卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】2【解析】c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a·c |a|·|c|＝b·c |b|·|c|，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.4．（·江苏卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12 【解析】如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23， 即λ1＋λ2＝12.5．（·陕西卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a ∥b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a 与b 同向或反向，所以a ∥b.又因为由a ∥b ，可得|cos 〈a ，b 〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos 〈a ，b 〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a ∥b 的充分必要条件．6．（·四川卷） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B 2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35， 即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35， 则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22. 由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（·四川卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2 【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（·重庆卷）在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【解析】根据条件知A ，B1，P ，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a ，|AB2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y)，则点P 的坐标为(a ，b)，由|OB1→|＝|OB2→|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋y2＝1，x2＋（y －b ）2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＝1－y2，（y －b ）2＝1－x2. 又由|OP →|＜12，得(x －a)2＋(y －b)2＜14，则1－x2＋1－y2＜14，即x2＋y2＞74①. 又(x －a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1； 同理由x2＋(y －b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②. 由①②知74＜x2＋y2≤2，所以72＜x2＋y2≤ 2. 而|OA →|＝x2＋y2，所以72＜|OA →|≤2，故选D. 【高考押题】1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是 () A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立点D ．一个圆解析 由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．答案 D2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa|≥|a|D ．|－λa|≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案 B3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是() A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析 a |a|表示与a 同向的单位向量，b |b|表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a|a|＝b|b|，观察选项易知C 满足题意．答案 C4．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是 () A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a2解析 依题意得BD →－BA →＝2(BC →－BD →)，BC →＝32BD →－12BA →＝32b －12a ，故选D. 答案 D5．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为() A.12B.13C.14D ．1解析 ∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12. 答案 A6．向量e1，e2不共线，AB →＝3(e1＋e2)，CB →＝e2－e1，CD →＝2e1＋e2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e1＋2e2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．答案 ④7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)． 解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b)，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b)－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b.答案 －14a ＋14b8．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案 －19．已知向量a ＝2e1－3e2，b ＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c ＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？10.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b.又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b. 高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。