排列与组合
《排列与组合》教学设计优秀9篇
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排列与组合的基本概念知识点总结
排列与组合的基本概念知识点总结在数学中，排列与组合是一种常见且重要的概念，用于解决计数问题。
它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行总结。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
常用的符号表示为P。
排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类：有重复排列和无重复排列。
1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个不同的对象，如果要选取r个对象进行排列，则无重复排列数记为P(n, r)。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，并按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个对象中，其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行排列的过程，有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象，不考虑顺序进行组合的过程。
常用的符号表示为C。
组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类：有重复组合和无重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。
无重复组合数记为C(n, r)。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，不考虑顺序进行组合的过程。
其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行组合的过程，有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
排列与组合
排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质规定：二、疑难知识导析1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。
从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.③恰当分类，合理分步.④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.解排列应用题的基本思路：①基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5．排列与组合的区别与联系：①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数.根据分步计数原理，得到＝.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.三、经典例题导讲[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[例5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？。
排列与组合
[例1]
(1)解不等式：A9x>6A6x－2；
9！ 6！ [课堂记录] (1)原不等式化为 >6× . 9－x！ 6－x＋2！ 9！ 6！ >6× ⇒x>－75. 9－x8－x！ 8－x！
x－2≥0， 又x≤9， 得 2≤x≤8，又 x 为整数， 6≥x－2，
原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}．
第三步：为这3人安排工作有A33.
由分步乘法计数原理共有
C71·C51·C62·C41·A33＝12600种选法． [思维拓展] 在解组合问题时，常遇到至多、至少问题，此时
可考虑用间接法求解以减少运算量，如果同一个问题涉及排列组 合问题应注意先选后排的原则．
即时训练 从10名大学毕业生中选3人担任村长助 2009· 湖南高考
2．2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射
升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体
学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共各1篇)依次排成一列进行展览，
若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有( A．576种 C．720种 B．1152种 D．1440种 )
A．C82A32 B．C82A66 C．C82A62 D．C82A52
(2)在数字7,8,9与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列 中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( A．6 B．12 C．18 D．24 )
解析：(1)从后排8人中选2人有C82种，这2人插入前排4人中且 前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的 一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A62.∴所求总数为C82A62. (2)在数字7,8,9与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列 中，先排 “ ＋ ” ， “ － ” 两个符号，有 A22 ＝ 2 种方法； “ ＋ ” ， “ － ” 这两个符号排好后就产生三个空位，再将 7,8,9 插入这三个
排列与组合定理和公式
排列与组合定理和公式定义: 1、从S中有序选取的r个元素称作S的⼀个r排列。
S的不同r排列总数记作P（n，r），r=n时，称为S的全排列。
2、从S中⽆序选取的r个元素称作S的⼀个r组合。
S的不同r组合总数记作C（n，r）。
推论 1、元素⼀次排成⼀个圆圈的排列称为环排列。
S的环排列数等于 P（n，r）/r，其实就是线性排列数的1/r。
推论 2、C（n，r）= C（n-1，r-1）+C（n-1，r）。
该公式就是杨辉三⾓形，也称作Pascal公式。
定义：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集，n=n1+n2+...+nk表⽰S中的元素总数。
（1）从S中有序选取的r个元素称为S的⼀个r排列。
r=n的排列称为S的全排列。
（2）从S中⽆序选取的r个元素称为S的⼀个r组合。
定理：设S=｛n1*a1，n2*a2，n3*a3，....，nk*ak｝为多重集（1）S的全排列数是n!/（n1! n2! n3!...nk!）.（2）若r<=ni, i=1，2，3，...，k,那么S的 r 排列数是k^r。
（3）若r<=ni, i=1,2,3,..k，那么S的 r 组合数是C（k+r-1 , r）.即T={R*1, (K-1)**},等于（k+r-1）!/（r! *（k-1）!）.格路径数：定理：从（r，s）到（p，q）的矩形格路径的条数等于⼆项式系数C（p-r+q-s, p-r）=C（p-1+q-s, q-s）.定理：令n为⾮负整数，则从（0，0）到（n，n）的下对⾓线矩形格路径的条数等于第n个Catalan数Cn=1/(n+1) *C(2n，n).定理：从（0，0）到（p，q）的下对⾓线矩形格路径的条数等于（q-p+1）/(q+1)*C（p+q。
q）。
前100个Catalan数：“1”“1”"2","5","14","42","132","429","1430","4862","16796","58786","208012","742900","2674440","9694845","35357670","129644790","477638700","1767263190","6564120420","24466267020","91482563640","343059613650","1289904147324","4861946401452","18367353072152","69533550916004","263747951750360","1002242216651368","3814986502092304","14544636039226909","55534064877048198","212336130412243110","812944042149730764","3116285494907301262","11959798385860453492","45950804324621742364","176733862787006701400","680425371729975800390","2622127042276492108820","10113918591637898134020", "39044429911904443959240", "150853479205085351660700", "583300119592996693088040", "2257117854077248073253720", "8740328711533173390046320", "33868773757191046886429490", "131327898242169365477991900", "509552245179617138054608572", "1978261657756160653623774456", "7684785670514316385230816156", "29869166945772625950142417512", "116157871455782434250553845880", "451959718027953471447609509424", "1759414616608818870992479875972", "6852456927844873497549658464312", "26700952856774851904245220912664", "104088460289122304033498318812080", "405944995127576985730643443367112", "1583850964596120042686772779038896", "6182127958584855650487080847216336", "24139737743045626825711458546273312", "94295850558771979787935384946380125", "368479169875816659479009042713546950", "1440418573150919668872489894243865350", "5632681584560312734993915705849145100", "22033725021956517463358552614056949950", "86218923998960285726185640663701108500", "337485502510215975556783793455058624700", "1321422108420282270489942177190229544600", "5175569924646105559418940193995065716350", "20276890389709399862928998568254641025700", "79463489365077377841208237632349268884500", "311496878311103321137536291518809134027240", "1221395654430378811828760722007962130791020", "4790408930363303911328386208394864461024520", "18793142726809884575211361279087545193250040", "73745243611532458459690151854647329239335600", "289450081175264899454283846029490767264392230", "1136359577947336271931632877004667456667613940", "4462290049988320482463241297506133183499654740", "17526585015616776834735140517915655636396234280", "68854441132780194707888052034668647142985206100", "270557451039395118028642463289168566420671280440", "1063353702922273835973036658043476458723103404520", "4180080073556524734514695828170907458428751314320", "16435314834665426797069144960762886143367590394940", "64633260585762914370496637486146181462681535261000", "254224158304000796523953440778841647086547372026600", "1000134600800354781929399250536541864362461089950800", "3935312233584004685417853572763349509774031680023800", "15487357822491889407128326963778343232013931127835600", "60960876535340415751462563580829648891969728907438000", "239993345518077005168915776623476723006280827488229600", "944973797977428207852605870454939596837230758234904050", "3721443204405954385563870541379246659709506697378694300", "14657929356129575437016877846657032761712954950899755100", "57743358069601357782187700608042856334020731624756611000", "227508830794229349661819540395688853956041682601541047340", "896519947090131496687170070074100632420837521538745909320"。
排列与组合ppt课件
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
排列与组合的区别技巧
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
排列与组合的计算
排列与组合的计算中学数学中的一个重要概念就是排列与组合的计算。
排列与组合是数学中的两个基本概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握排列与组合的计算方法，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
一、排列的计算排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方法数。
排列的计算方法有两种：全排列和部分排列。
全排列是指从一组元素中选取所有元素按照一定的顺序排列的方法数。
假设有n个元素，要求全排列的方法数为n!（n的阶乘）。
例如，从1、2、3三个元素中选取所有元素按照一定的顺序排列，方法数为3! = 3 × 2 × 1 = 6。
部分排列是指从一组元素中选取部分元素按照一定的顺序排列的方法数。
假设有n个元素，要求选取m个元素进行排列，方法数为A(n, m) = n! / (n-m)!。
例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行排列，方法数为A(3, 2) = 3! / (3-2)! = 3! /1! = 6。
二、组合的计算组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方法数。
组合的计算方法有两种：全组合和部分组合。
全组合是指从一组元素中选取所有元素不考虑顺序的方法数。
假设有n个元素，要求全组合的方法数为2^n。
例如，从1、2、3三个元素中选取所有元素不考虑顺序，方法数为2^3 = 8。
部分组合是指从一组元素中选取部分元素不考虑顺序的方法数。
假设有n个元素，要求选取m个元素进行组合，方法数为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!）。
例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行组合，方法数为C(3, 2) = 3! / (2! × (3-2)!) = 3! / (2! × 1!) = 3。
三、应用举例排列与组合的计算方法在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在一个班级中，有10个学生，要选取3个学生作为班级干部，那么可以使用部分组合的计算方法来计算。
排列和组合的区别 有哪些不同
排列和组合的区别有哪些不同排列和组合的区分主要体现在意思不同、侧重点不同、出处不同这三个方面上，详细区分如下，供大家参考。
排列和组合的区分一、意思不同1、排列：按次序站立或摆放。
例句：哥哥把需要用的参考书排列在桌子上。
2、组合：组织成为整体。
例句：全部这些替代的组合，构成一个补偏救弊的系统。
二、侧重点不同1、排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重复排列。
例句：代表们的名单是按姓氏笔画的挨次排列的。
2、组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的挨次，称为从n个中取r个的无重组和。
例句：台上的这个组合是五位光荣夺目的二八佳人组成的。
三、出处不同1、排列：清·采蘅子《虫鸣漫录》卷二：“观看亲执桴鼓，一击而排列如墙。
”白话译文：一边观看一遍击战鼓，打了一下就排列成一堵墙。
2、组合：徐特立《读书日记一则》：“就是由于农夫没有比在城市的同学与工人的简单组合。
”排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，根据肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从排列的意义可知，假如两个排列相同，不仅这两个排列的元素必需完全相同，而且排列的挨次必需完全相同，这就告知了我们如何推断两个排列是否相同的方法。
(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从组合的定义知，假如两个组合中的元素完全相同，不管元素的挨次如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部组合的个。
1.2 排列与组合
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用 C(n,r) 表示，
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
例1.2.2 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成一列合影， 如果要求B单位的3人排在一起，问有多少种不同的排列方 案。若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻， 问有多少种不同的排列方案？
B单位3人按一个元素参加排列，则有
例1.2.3 求由{1,3,5,7}组成的不重复出现的整数的总和 解：这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数, 若设 Si，i=1,2,3,4，是i位数的总和，则
S=S1+S2+S3+S4,
于是我们只需要计算Si即可。 显然，一位数之和 S1=1+3+5+7=16； 两位数有：13,15,17,31,35,37,51,53,57,71,73,75, 所以 S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是(取球模型): 从n个有区别的球中,取出r个,放入r个有标志的盒子里,且无 一空盒。 第1个盒子有n种不同选择； 第2个有n-1种选择； · · · · · · ， 第r个有n-r+1种选择。故由乘法原理有 P(n,r)=n(n-1)· · · · · · (n-r+1) =n!/(n-r)!
排列与组合
C ＋C
m n
m－1 n
＝C
m n＋1
计算：
(1)
( 2)
(3)
C
198 200
；
2 99
3
C C ； 2C C C
99
3 8 9
3
2 8
.
2 6 9 13
（）计算 1 C C C C ； 2 2 2 2 （2）计算C2 C3 C4 C10 ；
0 4 1 5
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A.C A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
► 探究点二 有关排列与组合问题 例2 (1)[2012· 辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家 人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人， 至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方 法共有( ) A．78种 B．36种 [答案] (1)C (2)D C．60种 D．72种
m
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
因此： 这里 m、n N，且 m n，这个公式叫做组合数 公式．
*
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 :
m n m m
A
C n Am
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧导言：在高中数学中，排列与组合是一个重要的数学概念和工具。
它们不仅在数学中具有重要的地位，还在现实生活中有广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行解析，并介绍一些解题技巧和实际应用。
一、排列与组合的基本概念1. 排列：排列是指从n个不同的元素中，取出r个元素进行排序的方法总数，用P(n, r)表示。
其中，n表示元素的总数，r表示要取出的元素个数。
排列问题中，元素的顺序是重要的。
2. 组合：组合是指从n个不同的元素中，取出r个元素的组合方式的总数，用C(n, r)表示。
与排列不同的是，组合问题中，元素的顺序并不重要。
二、排列与组合的关系和计算公式排列与组合之间有以下关系：P(n, r) = n! / (n - r)!C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，"!"表示阶乘运算，即某个正整数n的阶乘为1*2*3*...*n。
三、排列与组合的应用举例1. 从一组人中选出一个委员会：假设有10个人，从中选出一个由3人组成的委员会。
这是一个组合问题，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)进行计算。
结果为C(10, 3) = 120种不同的选委员会方式。
2. 买彩票中奖的概率计算：假设彩票中有50个号码，要中3个号码的一等奖。
这是一个排列问题，可以使用排列公式P(50, 3) = 50! / (50 - 3)!进行计算。
结果为P(50, 3) = 19,600种不同的中奖号码排列方式。
四、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意：在解决排列与组合问题时，首先要准确理解题意。
明确元素的总数和要取出的个数，确定问题的类型是排列还是组合。
2. 熟练运用计算公式：排列与组合的计算公式是解决问题的基础，需要熟练掌握。
在计算过程中，可以利用阶乘的定义，将问题化简为简单的数学运算。
3. 注意特殊情况：有些排列与组合问题中存在特殊情况，需要注意。
数学中的排列与组合
数学中的排列与组合在数学中，排列和组合是重要的概念，它们在许多领域中都起着关键作用。
排列与组合是数学中的一种选择与排列方式，它们的应用广泛，不仅仅局限于数学领域，在实际生活中也有重要的应用。
一、排列排列是指将一组事物按照一定的顺序进行安排。
在数学中，我们常常用n!（n的阶乘）来表示n个元素的全排列。
n的阶乘表示从1乘到n的连乘积。
例如，当n=4时，4!的值为4×3×2×1=24。
这意味着对于4个元素的排列，共有24种不同的排列方式。
排列的个数会随着元素的增加而增加得非常快，这也反映了排列的复杂性。
排列的应用非常广泛。
在组织比赛时，我们经常需要确定选手的出场顺序，这就是一个排列的问题。
另外，在密码学中，我们常常使用排列来生成随机密码，以增强安全性。
二、组合组合是指从一组事物中选择若干个事物的方式。
与排列不同，组合并不考虑元素的顺序。
在数学中，我们用C(n, k)来表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
例如，当n=5，k=3时，C(5, 3)表示从5个元素中选择3个元素的组合数。
计算公式为C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 10。
这意味着从5个元素中选择3个元素的组合数为10种。
组合的应用也非常广泛。
在购买彩票时，我们常常需要选择若干个号码进行投注，这就是一个组合的问题。
另外，在统计学中，组合也常常被用来计算概率和确定样本空间。
三、排列与组合的联系尽管排列和组合是两个不同的概念，但是它们之间存在着紧密的联系。
具体来说，排列是考虑元素的顺序的，而组合则不考虑元素的顺序。
举个例子来说明这个概念。
假设有5个人，需要从中选择3个人组成一个小组。
如果考虑到人员之间的职位，那么不同的职位分配也将产生不同的排列。
但是如果只关注选出的3个人的组合方式，那么就是一个组合的问题。
在实际应用中，我们常常需要同时考虑排列和组合的方式。
例如，在分配座位时，我们不仅要考虑到座位的顺序，还需要考虑到不同人员的组合方式。
排列与组合的计算
排列与组合的计算排列与组合是数学中的一个重要概念，用于计算对象的不同排列或组合方式。
这个概念在各个领域都有广泛的应用，例如概率统计、计算机算法等。
在本文中，我们将介绍排列与组合的基本概念以及它们的计算方法。
一、排列的计算排列是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选取若干对象的方式。
在排列中，每个对象只能选取一次，且选取的顺序很重要。
假设我们有n个对象，要从中选取r个对象进行排列，那么排列的总数可以通过以下公式计算：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
可以看出，排列的计算需要使用阶乘运算。
例如，现有5个人要选取3个人进行排列，那么排列的总数可以计算为：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5*4*3*2*1) / (2*1) = 60因此，从5个人中选取3个人进行排列，总共有60种不同的排列方式。
二、组合的计算组合是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选取若干对象的方式。
在组合中，每个对象只能选取一次，但选取的顺序不重要。
假设我们有n个对象，要从中选取r个对象进行组合，那么组合的总数可以通过以下公式计算：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。
可以看出，组合的计算同样需要使用阶乘运算。
例如，现有5个人要选取3个人进行组合，那么组合的总数可以计算为：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = (5*4*3*2*1) / ((3*2*1)(2*1)) = 10因此，从5个人中选取3个人进行组合，总共有10种不同的组合方式。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中有很多应用。
以概率统计为例，当我们需要计算某个事件发生的概率时，就需要考虑不同事件的排列或组合方式。
例如，在一副扑克牌中，从中抽取5张牌，计算出现顺子的概率，就需要考虑顺子牌的不同排列方式。
排列组合的例子
排列和组合是组合数学中的两个重要概念，它们用于描述对象的不同排列方式和选择方式。
以下是一些排列和组合的例子：
1. 排列的例子：
- 字母排列：考虑单词"ABC" 的字母排列，可以有以下排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
这是3个字母的全排列。
- 座位排列：在一个圆桌上安排5个人的座位，有5人的排列方式。
如果座位有固定方向，则有5个不同的排列。
- 书籍排列：如果有6本不同的书，它们在书架上的排列方式是6的阶乘(6!)，即720种排列方式。
2. 组合的例子：
- 选课：一个学生可以从10门不同的课程中选择5门修读。
这是一个组合问题，确定有多少种不同的选课方式。
- 抽奖：在一次抽奖活动中，有20个人参与，但只有3个人可以获奖。
这是一个组合问题，确定有多少种不同的获奖组合。
- 水果选择：如果有5种不同的水果，你想选择2种水果来制作水果沙拉，这是一个组合问题，确定有多少种不同的水果组合。
3. 排列和组合的混合：
- 密码：考虑一个四位数的数字密码，其中不能重复使用相同的数字。
这涉及到排列，因为顺序很重要，但也有一些组合元素，因为数字不能重复。
- 团队选拔：在一个体育团队中，需要选择5名主力球员和2名替补球员。
这涉及到排列（对主力球员的顺序很重要）和组合（对替补球员的顺序不重要）。
排列和组合问题在数学、统计学、计算机科学和实际生活中都有广泛的应用，帮助我们理解对象的不同排列和选择方式。
它们的计算通常涉及阶乘、二项系数等组合数学工具。
排列与组合
排列与组合课上讲解： 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． (4)全排列数公式A nn ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式 C m n＝A mn A m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n . 3.排列与组合的区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 4.处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
题型一：排列问题有条件的排列问题分四种类型：(1)某元素不在某个位置上问题：（特殊元素优先考虑）①直接法：可从位置考虑用其它元素占上该位置；②间接法：间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．1.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数2.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
第一讲 排列与组合
第一讲 排列与组合【基础知识】1）排列：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序(或不同的位置)排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．注意：排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素（不重复取）”；二是“选出的元素与顺序有关”2）从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数． 3) 排列数公式： 4) 全排列5）一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．6）排列与组合的共同点与不同点共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而 7）组合数公式8）组合数的性质【典型例题】一、两个基本原理例1．由数字1,2,3,4（1） 可以组成多少个3位数；（2） 可组成多少个没有重复数字的三位数；（3） 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。
例2.用5种不同的颜色给途中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？),(,*N n m n m A m n ∈≤、记为：)!(!)1()2)(1(n m n m m n n n n A m -=+---= 12)1(n ⋅-= n n A n m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C 10=n C变式训练1：1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方式的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有多少种？2. 将3种作物种植在如右图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方式有多少种？3. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方式有多少种？4. 如图，一个环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？5. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144二．排列与组合例3.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排列种数.(1) 甲不排在头、乙不在排尾；(2) 甲不在第一位，乙不在第二位，丙不在第三位，丁不在第四位；(3) 甲一定在乙的右端（可以不邻）.例4. 由数字0,1,2,3,4,5可组成（各位上的数字不允许重复）（1）多少个6位数；（2）多少个6位偶数；（3）多少个被5整除的五位数.变式训练2：1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览。
数学中排列和组合的区别
排列与组合的区别是：
一、侧重点不同
1、排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取知r个的无重复排列。
2、组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
二、符号表示不同
1、排列符号A(n,r)。
2、组合符号C(n,r)。
比如在3个数中选择2个数,组合方法有C（3,2）=3种,是12、13、23。
而排列方法有12、21、13、31、23、32共A（3,2）=6种，组合对数据顺序无关,排列对数据顺序有关联。
排列组合的发展：
虽然数学始于结绳计数的远古时代，由于那时社会的生产水平的发展尚处于低级阶段，谈不上有什么技巧。
随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产生了各种数数的技巧。
小学数学认识排列和组合
小学数学认识排列和组合在小学数学学习中，排列和组合是重要的概念。
通过学习排列和组合，学生可以培养逻辑思维能力，提高问题解决能力。
接下来，我们将详细介绍排列和组合的概念以及它们在数学中的应用。
一、排列的概念及应用排列是指从给定元素中取出若干个元素进行排序的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
以小学生选取三个班委为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过排列确定选取班委的不同方式。
排列的表示方法通常使用P表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行排列。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，在上述小学生选取三个班委的例子中，可以计算出排列的数目：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。
排列的应用非常广泛，例如在密码学中，排列可以用来生成密码；在比赛中，排列可以用来确定选手的名次等等。
二、组合的概念及应用组合是指从给定元素中取出若干个元素的方式，与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。
以小学生选取三个同学合作为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过组合确定合作的不同方式。
组合的表示方法通常使用C表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)例如，在上述小学生选取三个同学合作的例子中，可以计算出组合的数目：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
组合的应用也非常广泛，例如在概率统计中，组合可以用来计算事件的可能性；在数学建模中，组合可以用来确定问题的解空间等等。
三、排列和组合的区别与联系排列和组合都是数学中的基本概念，它们在计算方式上有所不同。
排列强调元素的顺序，而组合不强调元素的顺序。
排列和组合的联系在于它们都可以用于确定从给定元素中取出若干个元素的方式，它们都是离散数学中的重要分支。
四、小学数学中排列和组合的教学应用在小学数学教学中，可以通过生活实例向学生介绍排列和组合的概念，并结合具体问题进行实际计算。
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不同个数和不同重量的砝码是否能称出所有的重量？
十八级台阶
• 问题：欲登上第十八级台阶，如果规定 每步只能跨上一级或两级，共有多少种 不同的走法？ 递推公式： an an1 an2 , a1 1, a2 2 问题：你能写出这个公式的通项吗？ 本书将给出回答.
The Game of Nim
推论 n元集的全排列的个数为n !.
例 求由n个相异元a1 , a2 , 不相邻的全排列的个数.
第一章 排列与组合
§1 计数的基本原则
三条原则
• 相等原则 equivalence principle • 加法原则 addition principle • 乘法原则 multiplication principle
相等原则
设A，B是两个有限集，如果存在由A到B上 的一个一一对应（双射），则|A|=|B|，即， 若存在双射，
• Game rules:
There are k≥1 heaps of coins that contain, respectively, n1,n2,…nk coins The players alternate turns Each player, selects one of the heaps and removes at least one of the coins from the selected heap. The player who takes the last coin(s)-is the winner
定义 （全排列- total perm utati on） n元集A {a1 , a2 , , an }的n 排列称为n元集A的一个 , an 作成的一个全排列 全排列，亦称为由a1 , a2 ,
定理 设n, r ( n r )是正整数，以P ( n, r )表示n元集的 r 排列的个数，则 P ( n, r ) n( n 1)( n 2) n! ( n r 1) ( n r )!
组合数学 Combinatorial mathematics or combinatorics
参考书
• 组合数学习题解答，曹汝成，华南理工大学出版社； • 组合数学，Richard，机械工业出版社； • 应用组合数学(applied combinatorics), Fred S. Roberts, 冯速 译，机械工业出版社； • 组合数学，卢开澄，清华大学出版社。 • 组合数学，南基洙，高等教育出版社 • Introductory Combinatorics (fifth edition), Richard A. Brualdi
f : A B x
则
f ( x)
|A|=|B|.
例 n名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打 多少场比赛才能产生冠军？
例 已知序列a1 , a2 , 需要做多少次比较？
, a100 , 从中找出最大者，试问
加法原则
设A是有限集，Ai A ( i 1, 2, A
k n
, k ),Aj (1 i j k ),
则 | A | | Ai |
i 1
例 设n为大于1的正整数，求满足条件 x y n 的所有的有序正整数对 ( x , y )的个数.
当
xk
时
| Ak | n k
n 1
1 k n1
于是
n( n 1) N (n k ) 2 k 1
问题
• • • • 存在性？ 如何构造？ 多少个？！！！ 最优？
内容简介
• 排列组合: permutation and combination • 容斥原理: inclusion and exclusion principle • 递推关系: recurrence relation • 生成函数: generation function • 整数分拆: partition of integer • 鸽笼定理: pigeonhole principle
例 把4个人分成两组，每组至少一人，求不同 的分组方法数。
1 2
3 2
4 3
乘法原则
已知做一件事要依次经过k 个步骤，且在已完 成前面i 1,(1 i k )个步骤的情况下，完成 第i 个步骤有ni中方法，则做这件事的方法共有
n .
i 1 i
n
例 求n元集A {a1 , a2 ,
, an }的子集的个数.
Step1 确定a1
Y/N
Step2 确定a2
Y/N
…
Y/N
Stepn 确定an
例 设自然数n ( n 2)的质因数分解式为
1 2 n p1 p2 k pk
求n的不同正约数的个数 .
解：n的每个约数可以表示为 其中 0 i i 答案
2 p11 p2 k pk
幻 方
17 8 3 4 1 5 9 6 23 7 4 2 10 11 是否存在3维幻方体？ 6 12 18 13 19 25 20 21 2 22 3 9 5 7 14 16 24 1 8 15
称重问题
• 实验室有1g砝码2枚，2g的3枚，4g的2枚， 问能称出哪些重量？各有几种方案？
G ( x ) (1 x x 2 )(1 x 2 x 4 x 6 )(1 x 4 x 8 ) 1 x 2 x2 x3 3 x4 2 x5 4 x6 2 x7 4 x8 x 9 4 x10 2 x11 3 x12 x13 2 x14 x 15 x 16
(
i 1
n
i
1)
§2 排列 permutation
• n元集合r-排列 • n元集的r-可重复排列 • 多重集的排列
n元集合r-排列
定义 ( r 排列) 设A是n元集，如果序列a1a2 ar中的r 个元都 ar 是n元集A的 属于A且彼此互异，则称序列a1a2
一个r 排列，并称ak (1 k r )是该r 排列的第 k 个元，或称ak 在该r 排列中排在第k 位.