第2章 2.1 2.1.1 离散型随机变量

2.1离散型随机变量及其分布列

2.1.1离散型随机变量

学

习目标核心素养

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重

点)

2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)

3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)通过学习随机变量及离散型随机变量，培养数学抽象的素养.

1．随机变量

(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量．

(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

2．离散型随机变量

(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

(2)特征：

①可用数值表示．

②试验之前可以判断其出现的所有值．

③在试验之前不能确定取何值．

④试验结果能一一列出．

思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？

[提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也

可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….

1．下列变量中，是离散型随机变量的是()

A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数

B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高

C．某人在车站等出租车的时间

D．某人投篮10次，可能投中的次数

D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]

2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()

A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7

C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5

B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]

3．下列随机变量不是离散型随机变量的是________．

①某景点一天的游客数X；

②某手机一天内收到呼叫次数X；

③水文站观测到江水的水位数X；

④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.

③[①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．]

随机变量的概念

【例1】件，则下列可作为随机变量的是()

A．取到产品的件数B．取到正品的件数

C．取到正品的概率D．取到次品的概率

(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；

②2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

③2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

④体积为1 000 cm3的球的半径长．

(1)B[A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C，D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．]

(2)[解]①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．

②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．

③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．

④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；

(2)标准大气压下，水沸腾的温度；

(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；

(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．

[解](1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，

因此是随机变量．

(2)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量．

(3)获得的奖次可能是一等奖、二等奖、三等奖，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．

(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm为定值，不是随机变量.

离散型随机变量的判定

【例2

(1)某教学资源网站一天内的点击量；

(2)你明天上学进入校门的时间；

(3)某市明年下雨的次数；

(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．

[思路点拨]根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．

[解](1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．

(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．

(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．

(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．

离散型随机变量判定的关键及方法

1．关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．

2．具体方法：

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的试验结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．