基本不等式(2)
2.基本不等式
则x y 的最大值是
。
解决最大（小）值问题
结论：利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等Βιβλιοθήκη 求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．
注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成 立的条件．
创设应用基本不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而 拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正 必 要时需出现积为定值或和为定值．
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式(定理一）：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、基本不等式（定理二）
如果a, b>0, 那么
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a b为a,b的 算术平均数 2
2.基本不等式 (2)
法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴1a＋1b＋1c≥9.
5．若正数a，b满足a＋b＝1，求3a1＋2＋3b4＋2的最小值． 解：因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.
所以3a1＋2＋3b4＋2＝17·3a1＋2＋3b4＋2[(3a＋2)＋(3b＋2)] ＝17·1＋33ba＋ ＋22＋433ba＋＋22＋4
≥17·5＋2
a＝b .
2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋2 b2； (2)ab≤a2＋2 b2； (3)ab≤a＋2 b2； (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2； (5)(a＋b)2≥4ab.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式 来证明．
[解] (1)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x.
∵x＋1x≥2，∴0<x＋1 1x≤12.
∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．即f(x)＝
2x x2＋1
的值域为(0,1]．
(2)∵0<x<32，∴3－2x>0.
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92.
2．基本不等式
1．基本不等式的理解
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋2 b≥ ab，成立的条
件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为
基本不等式
际 数 会
址
学 北
京
——
D
a2 b2
正方形ABCD的面积大于四个小 直角三角形的面积和。
b
GF a
C
A
E
H
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
新起点
基本不等式2
a+b ≥ 如果a,b都是正数，那么 2
x3
解 : x 0,3x 0, 2 0 x
y 3x 2 2 3x • 2 2 6
x
x
当3x 2 ,即x x
6 3
时,
ym in
2
6
y x 1 x 3 1 3 2 (x 3) • 1 3 2 3 5
x3
x3
x3
当x
3
x
1
3
,即x
4时,
ymin
5
应用二：解决最大（小）值问题
ab，当且仅当
a=b时，等号成立.
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
新起点
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
变2:若a 0, b 0,求 y b a 的最小值. ab
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变3:若 x 3 ,求 y x 1 的最小值. x 3 构造条件
解 : x 0, 1 0 x
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)
2.2 基本不等式A 级 必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级 关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级 学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。
基本不等式(二)
基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
2.2基本不等式(二)
例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3, 深为3m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为x m， 的总造价为y元，根据题意，得
则水池的宽为1600
x
m
,水池
y 150 4800 120(23x 23 1600)
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面 积是多少?
例3 (1)用篱笆围成一个面积为100 m2的矩形菜园，问这 个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆长 是多少？
解： (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱 笆的长为2(x+y) m.
小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的 关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用基本不等式求函数的最值，是值得重视的一种方 法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为 定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用 均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正 二定三取等。
解： 设矩形菜园的长为x m，宽为ym，则2 (x+y)=36，
其中x+y=18，矩形的面积为xy m. 2
由 xy x y 18 9, 22
可得xy 81,
当且仅当x y 9时，等号成立.
题后反思：通 过这道例题的 学习，你有什 么收获？
即菜园长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面 积为81 m2.
3.4基本不等式(二)
二定
三相等
反思:由例1例2我们可 以得到什么启示呢？
已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时， 积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
极值定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点： 一正
二定
三相等
练习(1)求函数 y
1
(3)已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 求x y 的最大值. (4)已知直角三角形的面积等于50,两条直角 边各为多少时,两条直角边的和最小,最小值 是多少? (5)做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸 盒,底面的长与宽取什么值时用纸最少?
小结
2
1.常用结论: 1
a
1 b
ab
a b 2
a
2
b 2
2
2.极值定理:积定和最小，和定积最大。 已知x，y∈R＋，则有： (1)若和x＋y＝S为定值，则当且仅当x＝y时， 积xy有最大值则有
S 4
2
(2)若积xy＝P为定值，则当且仅当x＝y时，和 x+y有最小值2 P
应用要点：一正
2
b 2
2
a b 2
应用二 ：解决最大（小）值问题
例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？
例题讲解
高中数学《基本不等式》(2课时)教学设计
基本不等式（2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容：基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.2. 内容解析：相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关. 从数与运算的角度，是两个正数a，b的“算术平均数”，是两个正数a,b，的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算. 从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”，等等，都是基本不等式的直观理解.其次，基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等. 这些方法也是代数证明和推导的典型方法.此外，基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值. 基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值. 同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法. 因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.本单元教学建议课时数：2课时.二、目标和目标解析1.目标：（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养.（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义.（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.四、教学支持条件分析在进行基本不等式的几何解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解.五、教学过程设计第一课时（一）课时教学内容本节课的主要教学内容有：基本不等式的定义；基本不等式的证明；基本不等式的几何解释；运用基本不等式求最值；基本不等式求最值的两种模型.（二）课时教学目标1.理解基本不等式，发展逻辑推理素养；2.了解基本不等式的几何解释；3.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养.（三）教学重点与难点教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点为：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.（四）教学过程设计1.基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题.问题1：提到两个数的乘法，在上一节我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？2.基本不等式的证明问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？预设方案一：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明.教师给予肯定，是否还有其它证法？预设方案二：由于没有已知条件，学生不知从何入手.追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答由⑤→④，由④→③，由③→②，由②→①的依据.追问3：上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答.教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”.追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果a<0或b<0基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现，a,b均为非负数，如果a,b存在负数时，该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.追问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件.例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.（五）目标检测设计设计意图：考查学生对基本不等式的理解，及运用“分析法”证明问题的能力.第二课时（一）课时教学内容利用基本不等式解决实际问题中最值问题.（二）课时教学目标1.运用基本不等式解决生活中的最值问题，发展数学建模素养；2.理解基本不等式的数学模型，提高学生模型思想解决问题的能力.（三）教学重点与难点教学重点：运用基本不等式的模型思想解决生活中的最值问题.教学难点：应用基本不等式解决实际问题.（四）教学过程设计1.复习引入问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？师生活动：学生根据教师提出的问题梳理上节课的知识，教师对学生遇到的困难给予帮助.特别是强调利用基本不等式求最值的方法，即两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.2.利用基本不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解决生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值.基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义.问题2：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于哪类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于。
3.2基本不等式与最大(小)值 (2)
3. 消元与整体代换的应用
4.在连续使用不等式时要注意等号条件的一致性
练习：
-8-
(1).已知向量AB (1, x 2),CD (2, 6 y),其中x 0, y 0，且AB / /CD,
则 3 1 的最小值等于(
)
xy
A、4B、6C、8D、12(2).已知x, y都是非负实数，且x y 2,则
即(t y6)(t1x1y8) 0,又y t x0,t 6
2
探究：3x当xx34y的y3,最y1小(1值时2 为，46x9)3y的5，最其小最值小为值6 为5. 5
如何应用基本不等式求含有等式条件的最值?
课堂小结
-7-
1. 不含等式条件的最值的常见方法.
2. 含等式条件的最值的常见方法.
当3x9且x3仅(4yx当y3x91y15)33(yyy1yx时y3等3xy)13号(3x1x成132立y4y.y)133((1x152(y33)yyx)62,429 11122xyy)3(1 y) 6 6
当又设且t 仅3xx当 1312y2y0,2则3(1t32xy11)，22ty即1y0182,1当, x0且, 仅3时当等x号 1成, y立 1 时等号成立
考向2 求含有等式条件的最值
例2、(1).若正数x, y满足x 3y 5xy,则3x 4 y的最小值是
(2).(2017江西南昌模拟)已知x 0, y 0,且x 3y xy 9, 则x 3y的最小值为
解析：(12))..(方x法 0二一, y)由已0x，知且0得,xyx30y9，x35yx3yy, x1y09,3,y50，0 y 3, 1 y y x
2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题.
《基本不等式》第二课时精品教案
教学重点难点应用理解基本不等式，学会用基本不等式 求函数最值及求最值应注意的条件。
教学过程
设计意图
活动一:知识回顾
（1）重要不等式_________________
（2）基本不等式__________________
活动二：问题探索
《基本不等式》应用教学设计
课型：新授课授课人：张露授课班级：高二（3）班
教学目标
1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照提出问题→剖析归纳证明→应用（最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
小结：一般地，型如
活动三：课堂合作学习
活动四：能力训练
活动五：课后练习
总结：（1）从特殊到一般，总结方法，举一反三，提高能力。
（2）掌握配凑法
（3）基本不等式求最值条件：一正，二定，三等
活动六：作业书P100A组B组
活动一的设计意图让同学们快速进入课堂，复习均值不等式，特别注意等号
探究1设计意图:
通过类比，引导学生对均值不等式求最值应该注意哪些条件。
探究2设计意图
给出函数形式求最值，
掌握用不等式求函数最值中的拼凑技巧,意在介绍求最值中的“定掌握一定的技巧，让学生学会用均值不等式求解。同时意在介绍求最值中的“等”。
基本不等式
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+， 理解四个“平均数”的大小关系； ， ∈ 理解四个
则
a +b a +b 2ab ≤ ≤ ab ≤ 2 2 a +b
2
2
其中当且仅当a 时取等号. 其中当且仅当 ＝b时取等号 时取等号
3.已知两个正数 ，y，求x+y与积 的最值 已知两个正数x， ， 与积xy的最值 已知两个正数 与积 的最值. (1)xy为定值 ，那么当 ＝y时， 为定值p，那么当x 为定值 时 x+y有最小值 2 p ； 有最小值 积定和小 (2)x+y为定值 ，那么当 ＝y时， 为定值s，那么当x 为定值 时 积xy有最大值 1 s2 . 有最大值 4 和定积大
正：两项必须都是正数； 两项必须都是正数； 求两项和的最小值，它们的积应为定值； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。 求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等号成立的条件必须存在. 等哪里？ 错在哪里
1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 最小值和此时x的取值 的取值． 最小值和此时 的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个 条件． 条件．
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
2
10 是＿＿＿．
x − 2x +1 练习:求函数 的最大值； 练习 求函数 y = x − 2 ( x < 2 ) 的最大值；
2
例 2 、 已 知 a 、 b ∈ R +， 且 a + 2 b = 1 ， 1 1 求 + 的 最 小 值. a b
13基本不等式(2)
x
例 3 过点 1,2 的直线 l与 x的正半径、 y轴 的正半轴分别交于 A, B两点,当AOB 的面 积最小时, 求直线 l的方程.
解 设点Aa,0, B0, ba 0, b 0, 则直线 l x y 1 2 的方程为 1, 点1,2在l上, 故 1.
2）解决实际问题注意：
审题——建模——求解——评价
3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
练习 练习(1)求周长为 12的直角三角形面积的最大值.
(2)、若直角三角形的内切圆半径为，求其面积的 1
半径为，求其面积的最小值。 1 (3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后， 交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积及 相应的x值。
Thursday, September 25, 2008
知识回顾
1、基本不等式的内容：
ab ab (a, b R ) 2 2、基本不等式的条件：
一正 、二定 、三相等
3、基本不等式的变形：
x y 2 xy ( x R , y R )
x y 2 xy ( ) (x R , y R ) 2
4 (3)已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
D : 练1.下列函数的最小值为2的是 ____
1 A. y x x
C. y x 2
1 1 变式(2) : 设0 x , y x(1 2 x)最大值是 ____ . 2 8
例1 用长为4 a 的铁丝围成一个矩形 , 怎样才能 使所围矩形的面积最大 . 解 设矩形长为 x 0 x 2a , 则宽为2a x, 矩形
基本不等式二级结论
基本不等式二级结论
基本不等式二级结论是指数的性质，以下用中文描述：
1. 正数的平方大于它自身，即对于任意正数a，有a^2 > a。
2. 两个正数的乘积大于它们的和，即对于任意正数a和b，有ab > a + b。
3. 两个负数的乘积大于它们的和的相反数，即对于任意负数a和b，有ab > -(a + b)。
4. 零与任意实数的乘积等于零，即对于任意实数a，有0 * a = 0。
5. 正数的平方根小于它自身，即对于任意正数a，有√a < a。
6. 两个正数的平方根的和大于它们的和的平方根，即对任意正数a和b，有√(a+b) < √a + √b。
7. 平方根与倒数的关系，即对于任意正数a，有√(1/a) = 1/√a。
这些基本不等式二级结论可以在数学推导和证明中使用，帮助我们解决不等式的问题。
2.2 基本不等式
2．要制作一个体积为9 m3，高为1 m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价 是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，问：该容 器的长为多少时，容器的总造价最低？总造价最低为多少元？ 解：设该长方体容器的长为 x m，则宽为9x m， 设该容器的总造价为 y 元，
则 y＝9×10＋2x＋9x×1×5＋100＝190＋10x＋9x，因为 x＋9x≥2 x·9x＝ 6，当且仅当 x＝9x，即 x＝3 时取“＝”，所以 ymin＝250. 故该容器的长为 3 米时，容器的总造价最低，总造价最低为 250 元．
提醒：注意使实际问题有意义的变量的取值范围．
【对点练清】 1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的
总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－ 25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是 ________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18 －2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求 的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条 件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应 凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质．
[典例 2] (1)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值；
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
基本不等式
2.已知a 0,b 0,c 0, d 0,求证：
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
注意： （1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数
a b 称为它们的算术平均数。 2
粗俗的橙白色柠檬模样的神态仿佛特别帅气却又透着一丝神气。…………那个身穿镶着银宝石的圣祖衫的老爷是
Ｓ．腾爱契思游民。他出生在玛希波奥世界的画册遗
址，绰号：泥腿梨核！年龄看上去大约四五岁，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『棕鸟疯精盾牌钩』，有一身奇
儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！……突然间Ｒ．布基希大夫疯鬼般地使了一套盘坐蠕动搂轨道的怪异把戏，，只见她彪悍的淡白色海星一样的脸中，萧洒地涌出四
道冰崖煤腿猫状的肥肠，随着Ｒ．布基希大夫的晃动，冰崖煤腿猫状的肥肠像风扇一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着Ｒ．布基希大夫又发出九声古冰朦胧色的粗
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
Q 1 (lg a lg b), R lg(a b)
2
2
，则（
B）
A、RPQ B、PQR C、RPQ D、PQR
利用基本不等式证明不等式
1.已知a、b是正数，且a x
b y
1(x,
y
R )，
求证：x y ( a b)2
十度外加蛙啸纸条旋三周半的招数！接着又耍了一套，云体羊窜冲天翻七百二十度外加狂转两千周的艺术招式。最后扭起飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发一叫，狂傲
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基本不等式（二）
教学目标：掌握基本不等式2
a b +（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题），重点解决如何出现定值，验证等号成立条件；2010年考试说明要求C 。
知识点回顾：
○
1基本不等式中第一条件x 为负值，那么-x 为正值，再用基本不等式。
○
2构造定值是重点。
○
3一定要验证等号成立条件，不满足用单调性求最值。
○
4函数)0(>+=a x a x y 的图像要作为重点；函数)0(>-=a x a x y 用单调性求最值。
基础训练：
1.若x ∈+R 则x x 42-
-的最大值 .
2. 已知－
2π＜x ＜2π，则函数y=cosx+x cos 2的最小值是 .
3．若4x >，则函数14y x x =-+
-的值域为____________
4. 若点（a ，b ）在直线的最小值是则上b a y x 22,2+=+____________.
5.函数2
++
=x a x y 的图像过点（2，6），2-≠x ，则此函数的值域为__________
典型例题：
设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数A a A y cos 1cos 1-+=的最小值是9，则a =___
某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足 ，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元。
厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。
（I ）将2008年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（II ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
课堂检测：
1. 若|(2)|0x x ->，则234x x y x
-+=的取值范围是 ．
2. 函数y=1
82-+x x ，x ≠1时的值域为
3．若函数2()x f x x a
=
+(0a >)在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为 .
4.已知不等式（x+y ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y a x 1≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为______
5. 已知0,0x y >>，且211x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 14.已知函数b a b f a f b a x
x f +=<<-=2),()(,0,11)(则且若的最小值为________。