函数方程的几种解法

解函数方程的几种方法

李素真

摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。

关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法

含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。

1.换元法

换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。

例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。

解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222

u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2

)(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x

x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111

2

ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1

2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。

解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2

--=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法

待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。

例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。

解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有

由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a

根据两个多项式相等的条件得

22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。

例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。

解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222

将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++

比较对应项的系数有

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-=++==0

0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法

此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。

例6 设)(x f 是对0x =及1x =以外的一切实数有定义的实值函数，并且1()()1x f x f x x

-+=+，求()f x 。 解：以1x x -代换x ， 得 1121()()1x x f f x x x

--+=-。 以

11x -代换x ， 得 12()()11x f f x x x -+=--。 由 1()()1x f x f x x -+=+ 1121()()1x x f f x x x

--+=- 12()()11x f f x x x -+=-- 消去1()x f x -，1()1f x

- 得 321(),(0,1)2(1)x x f x x x x --=≠-。 例7 解函数方程13()2()4f x f x x +=

解：函数方程中的未知函数()f x 和1()f x 不能用x 的同一个解析式表达出，若把它们看作是方程中的两个未知元，就必须设法消去一个才能解出另一个。

为此，分别以t 和1t 代替方程中的x ，相应地得到 13()2()4f t f t t

+= 和143()2()f f t t t

+=。 将该两式看作是关于未知元()f t 和1()f t 的二元一次方程组，即可求解。得85()12f t t t

=-。于是2128()5t f t t -=。即2128()5x f x x -=为函数方程的解。 例8 ()f x 是定义在()0,+∞上的实值函数，且1()()lg 1f f x x x =+，求()f x 。

解：以

1x 代替x ，得1()()(lg )1f x f x x =-+ 消去1()f x ，得1lg (),(0)1lg x f x x x -=>+。 4.参数法

参数法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出)(x f 的表达式。 例9 已知2(1cos )sin f x x +=，求()f x 。

解：设所求函数()y f x =的参数表达式为 21cos sin x t

y t =+=，所以 2cos 1sin t x t y =-=。 联立方程组消去参数t ，得2(1)1x y -+=，所以[]21(1),0,2y x x =--∈。

即[]2()1(1),0,2f x x x =--∈。

例10 已知2(2cos )5sin f x x -=-，求()f x 。

解：设所求函数()y f x =的参数表达式为：

22cos 5sin x t y t =-=-，所以 2cos 2sin 5t x t y =-=-。 联立方程组消去参数t ，得248y x x =-+，即[]2()48,1,3f x x x x =-+∈。

参考文献：

【1】高夯，现代数学与中学数学（第二版）[M]，北京：北京师范大学出版社，2010.

【2】姚开成，函数方程的几种解法[J]，新疆石油教育学院学报，2000.

【3】聂锡军，函数方程的解法及应用[J]，丹东师专学报，1997.

【4】胡皓，函数方程的一些解法[J]，西昌师范高等专科学校学报，2002.

【5】刘维江，函数方程的解法及应用[J]，安顺师专学报，2001.

【6】徐凤林，几类函数方程的解法[J]，山东轻工业学院学报，2007.