最新东南大学2002——数学分析试题(缺03)
东南大学 2002 年数学分析试题解答
东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1．()+∞=−∞→x f x lim ． 解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．解：二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，0≠∂∂z g ，求dxdu ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y，从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx xx 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()20lim x a x a xx x −+→()0>a ． 解：()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=． 5．计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2． 6．求常数λ，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．解：7．在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．解：设14),,(222−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫， 又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ． 解：,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．3．证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．4．证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。
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最新2002考研数三真题及解析资料
⑴设常数a =丄，则lim In2 n世n -2na 1[n(1—2a) 一f(x；R = e'0, ，若X ",2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)1 y1 1⑵交换积分次序：4dy y f (x, y)dx亠『dy 2f (x, y)dx二°y —y42 -21 2 ，三维列向量a = (a,1,1「.已知A与a线性相关，则0 4」则X2和Y2的协方差cov(X2,Y2) = ____________(5)设总体X的概率密度为而X1,X2」l(,X n是来自总体X的简单随机样本，则未知参数二的矩估计量为 ________二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f (x)在闭区间［a,b］上有定义，在开区间(a,b)内可导，则()(A) 当f(a)f(b) -0时，存在(a,b)，使f ( ) = 0.(B) 对任何- (a,b)，有lim[ f (x) - f ( )] = 0.(C) 当f(a)二f(b)时，存在(a,b)，使f ( ) =0 .(D) 存在(a,b)，使f (b) - f (a) = f ( )(b - a).5分)x u 20 0lim arctan(1 t)dt du x —0x(1-cosx)7分)(3)设A 是m n 矩阵，B 是n m 矩阵，则线性方程组AB x = 0 ()(A)当n • m 时仅有零解 (B)当n • m 时必有非零解 (C)当m • n 时仅有零解(D)当m • n 时必有非零解⑷ 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量〉是A 的属于特征值•的 彳 T特征向量，则矩阵 P AP 属于特征值■的特征向量是 ()1T1T(A) P :- (B) P :-(C) P ：(D) P _:(5)设随机变量X 和丫都服从标准正态分布，则( )(A) X Y 服从正态分布 (B) X 2 • 丫2服从2分布(C) X 2和丫2都服从2分布(D) X 2/Y 2服从F 分布三、 (本题满分求极限 四、 (本题满分设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z- z(x, y)由方程xe x —ye y = ze z 所确定，求du . 五、 (本题满分6分)、 2 xVx设 f (sin x),求 f (x)dx .sin x- x六、 (本题满分7分)设D 1是由抛物线y =2x 2和直线x =a,x =2及y =0所围成的平面区域；D ?是由抛物2线y = 2x 和直线y =0 , x =a 所围成的平面区域，其中0 ：：： a ：：： 2.(1)试求D 1绕x 轴旋转而成的旋转体体积V ； D 2绕y 轴旋转而成的旋转体体积V ；设幕级数 QOZanX n 与 7 bnX n的收敛半径分别为 —与1，则幕级数 cOZn 4n 43 3i 4径为()11(A) 5(B) (C)-(D)-⑵ 2即x n的收敛半b 2n(2)问当a为何值时，V1 V2取得最大值？试求此最大值⑴验证函数y(xf3 6x x.+ +----6!9 31X X |+—创4-—,tll(9! 3 !::x < : 满足微分方程七、(本题满分7分)xy y y 二e°°x3n⑵利用⑴的结果求幕级数的和函数.^o(3n)!八、(本题满分6分)设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，且g(x) 0.利用闭区间上连续函数性质，证明存b b在一点匚-[a, b]，使& f (x)g(x)dx = f ( ) a g(x)dx .九、(本题满分8分)设齐次线性方程组宓+bx2 +bx3+ 川+bx n=0,严+ax2 +bx3 +川+bX n =0,|lll III III IIIbx2bx3川ax n=0,其中a =0,b = 0,n _2，试讨论a, b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解十、(本题满分8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2，2A = 0，已知A的秩r(A)=2(1) 求A的全部特征值(2) 当k为何值时，矩阵A kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.、(本题满分8分)假设随机变量U在区间1-2,2 1上服从均匀分布，随机变量丄1,若U - -1 丄-1,若U汨X 丫3 卄11,若U A—1；11,若U A1；试求：(1)X和丫的联合概率分布；(2) D(X Y).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E(X)为5小时•设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间丫的分布函数F (y).2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题1(1)【答案】 ------1 -2a【详解】“ln ”里面为“T ”型, 通过凑成重要极限形式来求极限,1x(2)【答案】02dx x 2 f(x,y)dy【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D 1与D 2，将它们的并集记为 D .1 厂1 丄 于是 『dy 『f (x, y)dx +『dy 『f (x, y)dx = " f (x, y)d^ .4D12再将后者根据积分定义化为如下形式，即x 从0 , y 从x —■ x ，所以limlnn‘： n( 1 -2a)啊n 1占n(1 J2a)n(1-2a)11 _2a— In 1 = lim ------- 1 , nY 1 — 2a [ n (1—2a)_1 1------- In e 二 -----1 -2a 1 -2a1 Aa =〔23-2¥a )( 2 1 4丿I 1」(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例 )，所以有=| 2a +3(3aa2a+33a +4,得 2a +3=3aa1'1或Ad =kot,(kH0)(两个非零向量线性相关，(a 、a = ka即2a + 3 =k 1 ，得丿 2a +3 = k ，得® + 4< 1丿3a +4 = k ■-则其中一个可以由另一个线性表出⑶【答案】-1【详解】2 2 2 2【详解】X 、丫和X Y 都是0-1分布，而0-1分布的期望值恰为取1时的概率p .由离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布表可得 X 2的可能取值为0和1,且Y 2的可 能取值也为0和1,且X 和Y 的边缘分布为PlX =0X 0.07 0.18 0.15=0.4； P 「X =1=0.08 0.32 0.20 = 0.6；P 〈Y 二-1 =0.07 0.08 = 0.15 ； P 「Y =0心0.18 0.32 = 0.5 ；p{Y=1}=0.15 十 0.20=0.35 ；-1 0 1 故有YX 0 10.4 0.60.15 0.50.35P 〈X 2 =0,Y 2 =0、P 〈X =0,Y =0心0.18,4, a - -1 a = -1.K= 1)由于A 与〉线性相关, ⑷【答案】-0.02.期望4^0E(X)xf(x)dx 二「xe^dx "1用样本均值估计期望有EX 二 X , 即P 〈x 2 =0,Y 2 =1 =P\X =0,Y = -1 P\X = 0,Y = 1 =0.07 0.15=0.22, P 〈X 2 =1Y 2 =01 = P ；.X =1Y =0 =0.32,PlX 2 =1,Y 2 =1； = PlX =1,Y =「门 P 「X =1 Y=1； =0.08 0.20 = 0.28,而边缘分布律：plx 2 =0； = p]x =0；=0.4, plx 2 "；=P 「X "=0.6, p 〈Y 2 =0｝二p^Y =0亠0.5,p 〈Y 2 =1 = py = _1 P 〈Y =1 =0.15 0.35 = 0.522所以，(X ,Y )的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得 的分布律为所以由分布的期望值恰为取 1时的概率得到：E(X 2) =0.5, E(Y 2) =0.60,E(X 2Y 2) = 0.28cov(X 2，Y 2)E(X 2Y 2)-E(X 2)E(Y 2) =0.28-0.6 0.5一0.02（5）【答案】X-1.【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个， 故只需要用样本一阶原点矩（样本均值）来估计总体的一阶原点矩（期望）样本均值【详解】方法1:论证法•由题设因此，对于(a,b)内的任意一点，必有limf(x) = f().即有lim[ f (x^ f ( 0 •故1 n _ 解得未知参数二的矩估计量为乡= Xj_i = X_i.n y二、选择题(1)【答案】(B)f(x)在开区间(a,b)内可导，所以f(x)在(a,b)内连续,选(B) •方法2:排除法.(A)的反例：f(x)=『x&(a，b]，有f(a)=__ f(b _ fafb 40c-1 x = a但f (x)在(a,b)内无零点.(C)与(D)的反例，f(X)二x x ("，1] f(-1)=f (_)，但f(x) = 1(当_ X = -1(-1,1))，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论•故选(B).⑵【答案】(D)【详解】方法1: A是m n矩阵，B是n m矩阵，贝U AB是m阶方阵，因r(AB)空min(r(A),r(B)).当m • n时，有r(AB)乞min( r(A), r(B))乞n ：：：m .(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组AB x=0必有非零解，故应选(D).方法2：B是n m矩阵，当m・n时,，则r(B)二n ,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组Bx =0必有非零解，即存在x0= 0 ,使得Bx0=0，两边左乘A，得ABx0=0 ,即ABx =0有非零解，故选(D).⑶【答案】(B)【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义，A〉= • : , A是n阶实对称矩阵，T 1 T故A T=A •设P AP 二B，贝UB 二P T A T P，T二P T AP『二P T A(P T)，T -1 T上式左乘P T，右乘p T，得T 1 T T 1 T T 1 T T 丄T(P 厂BP =(P 厂P A(P 厂P，即A = P "BP ,所以A: =(P T丄BP T): = ■:1两边左乘P T，得(p T pJ B P)：•二旦(「•得B(P I)= ■ P T：1 T根据特征值和特征向量的定义，知B=(P AP)的对应于特征值■的特征向量为P K，即应选(B).方法2:逐个验算(A) , (B) , (C), (D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A, - ■ , A是n阶实对称矩阵，故A T-A .设P J AP 丁属于特征值■的特征向量为•，即P」AP 丁「，其中P’AP 丁二P T A T P "二P T AP 耳对(A)，即令■ = ，代入P T AP J T(P J：- P J：对(B), P T AP”(P T： ) =P T A(P耳P T)；: =P T A[(P T)」P T)]；:=P T A：「(P T：) 成立.故应选(B).⑷【答案】C【分析】(i) 2变量的典型模式是：2 = X；• X；• |1| • X：，其中X i要求满足：X i相互独立，Xi L N(0,1) •称2为参数为n的2变量.(ii) F变量的典型模式是： F ="比，其中X,Y要求满足：X与Y相互独立，Y/n2xL 2(口),丫」2(匕)，称F为参数为的F变量.【详解】方法1根据题设条件，X和Y均服从N(0,1).故X2和Y2都服从2(1)分布，答案应选(C).方法2：题设条件只有X和Y服从N(0,1)，没有X与Y的相互独立条件.因此，X2与Y2的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确.题中条件既没有X与Y独立，也没有(X,Y)正态，这样就不能推出X Y服从正态分布的选项(A) •根据排除法，正确选项必为(C).三【详解】(1 t)dt du洛limx_0 x2o arctan(1 t)dt 2arctan(1 x ) 2x 洛limx )0 3xx u2x u20 0arctan(1t)dt du0 0arctan lim 等lim -xJ x(1 - cosx) x px x z z zxe e (ze e) ,ex解出dz^xg Jye z (z 1)所以dur dxfdy / ex (x U 1)d ye z (z 1)…f3铝取F方法2:出ex"f 3兰出 ex cy(根据多元函数偏导数的链式法则 )F 面通过隐函数求导得到 — ex 工.由■yxe x - ye y = ze z 两边对x 求偏导数，有四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.du = £ dx • f 2 dy • f 3 dz二z(x, y)由xe x - ye y =ze z 所确定，两边求全微分，有x y z x y zd (xe - ye ) = d (ze )二 d (xe ) _ d (ye ) = d (ze )=■ xe x dx e x dx - ye y dy -e y dy 二 ze z dz e z dz ,得二=:xx “ xxe e z zzee，(设z • 1 = 0) •类似可得,y. ■ y「z_匹厂弓，代入二ze z e z:x表达式再代入 -X 丄 X xe e 、 f1f 3 (zz),zxze e-：u ：:u・y"f3 ( y . yye e )z z )， ze edu - dx Udy 中，得汝 cye y (y e z (zdu =-dx f 2e z (z.1「x」©(yT )〕dy .e z (z 1),arcs in 仮,dx dx五【详解】首先要从f (sin 2 x)—求出f (x).sin x命 u =sin 3 x ，则有 sin x = JU ，x = arcsin JU ，于是 f (u) = .(通过换元求出函数的表达式)3693 n二 3 nf(x)dx =•衣超ntrcsin 、x xV 2 二躺山2 - ■:是极大值点，所以是 V 的最大值点， maxV 二5= 一 2sintcostdt (换元积分法) ' cost=? tsintdt = 2 -tcost sint 1 C (分部积分法)=2六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线】：y = f (x)(a _ x_ b), f(x)_0 与直线b2X 二a, x=b 及x 轴围成平面图形绕 x 轴旋转一周产生旋转体的体积V = f (x) dx .a224応【详解】(1) V j=和(2x 2 )dx = ^(32-a 5)a 52a 224x dy =二 a 0 ：： a ：： 2 .4兀 5 4(2) V -V 1 V 2(32 -a 5)二 a 6 5根据一元函数最值的求法要求驻点，令二 4二 a 3(1 -a)=0,dapl\ /pl\ /得a =1 •当0 ：：： a ：：： 1时—— 0，当1 ：： a 2时——：：：0，因此a = 1是V 的唯一极值点且dada 129-由收敛半径的求法知收敛半径为：：，故由幕级数在收敛区间上逐项可导公式得 七【解】(1) y(xT 釘6r 話川話別n ：話，同理得从而这说-- 3 ny(x)=d 、品)na(3n)!x 3ny鳥(3^y (x) y (x) y(x)oO n z ! 3n J £°3nxn 丄(3n ”::v 3n -i x _ n 4 oO = (nj(3 n-2)!3n_2x::x 3n 」)L 时::x 3n)f (由e x 的麦克劳林展开式) n4 n!::x 3n y(x) •-是微分方程z (3n)!y ' y* y 二e x 的解，并且满足初始条件y(0)" ' 和 n =1 (3n)!=1，y (0) =「一 =0. 心(3 n-1)! (2)微分方程 目 y y = e 对应的齐次线性方程为y ' y ' y = 0，其特征方程为•2—其特征根为冷一弓，所以其通解为X-3 -cos G e另外，该非齐次方程的特解形式为y 二ce ,代入原非齐次方程得 ce ce ce = e ,1所以cj.故微分方程-3-21 - 3 + -3^2-e x3由初始条件y(0) =1,y (0) =0 得2[0] co^-3 x C 2sin 3x] e 2[—G 3 sin 3 x3C 2 cosx] 2 2 2 2 2e 2(C 2—2G -^)sin 乜x —1 e^(G —2C 2 乜)cos-^x 〕e x2 2 2 2 2 3解得4°J3 J3 1 0 11 =e 2[G cosl 汉0+C2sin ——:<0]+ — e =C1+2 23 31 _o J3 J31-0 e 2(C2 -2G )sin 0 e 2(G -2C22 2 2 23 12 3O0ix3n(3n)!=-ecos三X2 3 :::x-：-).i C1宁1*戶2宁0于是得到惟一的一组解：2G ,C2二0.从而得到满足微分方程、 y y二e x及初始3条件y(0) =1,y(0) =0的解，只有一个，为2 舟.3 1 xy e 2 cos x e3 2 3唱x3n另一方面，由⑴已知y(x) 也是微分方程y y，y = e及初始条件心(3n)!y(0) =1,y(0) =0的解，由微分方程解的唯一性，知八【详解】方法1:因为f (x)与g(x)在la,b 1上连续，所以存在x1 x2使得f (xj = M = max f (x)，f (x2) = m = min f (x)，x 爭a,b] x 爭a,b]满足m乞f(x)乞M .又g(x) 0 ,故根据不等式的性质mg(x)乞f(x)g(x) ^Mg(x)根据定积分的不等式性质有b b bm f g(x)dx 兰J f(x)g(x)dx 兰M f g(x)dx,a a ab(f(x)g(x)dx所以m岂旦齐M.a g(x)dxab由连续函数的介值定理知，存在■ [a,b]，使f( a f(x)g(x)dxb ag(x)dx即有bL f (x)g(x)方法2：因为 f(x)与g(x)在la,b 1上连续，且g(x) .0，故bbf f (x )g (x )cX 与［g (x )dx 都aa存在，且bg (x )dx • 0.abf(x)g(x)dx记—h , g(x)dxaqp Hf £于是^ab(x)g(x)dx = h & g(x)dx 二 a hg(x)dx,即ba (f (x) -h)g(x)dx =0因此必存在一 (a,b)使f 「)二h •不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理知要么bf (x) -h 恒为正，从而根据积分的基本性质得 .(f (x)-h)g(x)dx 0 ;要么f (x) - h' ab{ (f(x)-ab恒为负，同理得(f(x)-h)g(x)dx ：：0，均与 h)g(x)dx=0不符•由此推知存在―(a,b)使f 「)=h ，从而b. bf (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx • a a九【详解】方法1：对系数矩阵记为a b b 川" 2行 J 行3行 4行 a b b HI III b 、 b a b III b n 行4行 b -aa-b 0 0 b + + b + a + III b1 Tb -ana-b ■ III 0r + 2■1b +b 4III a jlb — a dIII ra —b 』当 a =b(=0)时,x 1 x^I x^ 0 ,基础解系中含有n-1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 X 2,X 3,...,X n 为自由未 知量，分别取 x 2 = 1,x 3 = 0,..., x n =0 , X 2 = 0, X 3 = 1,..., x n = 0 ,-X 2 =0, X 3 =0,...,X n =1得方程组n-1个线性无关的解1」1,1,0,川0「，2 - 丨-1,0,1,0,川,0「川1, n 「1,0」1|,0,订,bA 作初等行变换A - r A =1,AX -0的同解方程组为方法为基础解系，方程组AX = 0的全部解为X = k1 r k 2k(i =1,2,||(n -1)是任意常数.a b b b、 2 行/( a_b)3行/( a_b)a-a a —b 0 0 n行/( a_b) -1-a 0 a —b 0 T-1++■I-a卜卜0 出a _b丿-1a + (n -1)b 0 0 III 0、-1 1 0 III 0-1 0 1 III 0*■+-1F卜+III 1A >bbb1行_2行》b1行_3行b1行』行》bT当a=b 且a = -( n-1)b 时，A =a (n- 1)b = 0, r(A)当a=—(n- 1)b时，r A二n- 1,AX=0的同解方程组是-x1x2_X1 X3-X1 X n=0,二0,=0,基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x1为自由未知量,非零解二1,1川,1 T，即其基础解系，故方程组的全部解为X =k ，其中k是任意常数.2:方程组的系数行列式把第2, , n列'加到第例a (n-1)ba (n -1)ba (n-1)b\\\ a (n-1)bIH川川b'二n,AX=0仅有零解.X i =1 ,川IHIHIII得方程组1个III III IIIal 第2行-第1行a第3亍-第1行lh in in al 00第1行沃」 in in in110 IH in in二[a (n -1)b](a -b)nJL(1)当a = b 且a -(n 「1)b 时，A=0， r(A)二n 方程组只有零解.方程组的同解方程组为为 X 2 |l( X n =0基础解系中含有n -1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取X 2,X 3，…，X n 为自由未知量，分别取 X 2 =1,X^ 0,..., X n =0 , X ? = 0, X 3 = 1，…，X . = 0 ,…, X 2 =0,X 3 7…,X n -1得方程组n-1个线性无关的解1- 1-1,1,0,川0 1T, 2 - 丨-1,0,1,0,川,0『川1, n 「一 1,0」I|,0,1T ,为基础解系，方程组AX =0的全部解为X = k 1 < k 2 2山 k^；_ ,其中 k(i =1,2,川n -1)是任意常数.(1)当 a =-(n - 1)b(b = 0)时,提取第1列的公因子[a - (n -1)b]IH川川IH第2行-第1行 第3行一第1行[a (^1)b]b a -b 0b 0a-b IH IHIHIH©- n)b b b (1- n)bA= bb IIIb b川b(1- n)b 川b q k b III q(1_n )b 」2,…,r 行分别丄■彳-n1 11 -1 0 卜 卜1川 0川 -1川0川一1丿把第2,...,n 行都 依次加到第1行 ‘0 1 1 0 -1 0 ■ ■I 00山0山 -1山卜 卜0山0、 0 0■r-1.;十【详解】（1）设，是A 的任意特征值,:-是A 的属于■的特征向量，根据特征值、特征‘1-n 1 1 III 1、‘1 -n 1 1 IH1、 1,2，…n行2行-1行分别i 1 1 -n 1 III 1n _n0 IHb3行-1行T 1 1 4 1 p 1 -n 4 III 1 F +n +0 q _n ■ III 0F4 4 <1 b P 1■i ■1 1 III fa r—n」 行 + + <niR 0■ ■0 III h f—n 」r A 二n -1，其同解方程组是X —x 2 =0,严-X 3 =0, ……XI -X n =0,基础解系中含有1个线性无关的解向量，取 X 1为自由未知量，取X 1 =1，得方程组1个非零解• =〔1,1）11,1T ，即其基础解系，故方程组的全部解为X =k ，其中k 是任意常数.向量的定义，有 两边左乘A ，得②+2*①得A22A i：「i；-2 2，._. 2 2 2 因A - 2 A = 0 , 〕= 0，从而上式A - 2A 一 -■2^ : - 0 ,所以有2- =0 ,故A的特征值■的取值范围为0, -2 .因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵上，且上的主对角线上元素由A的特征值组成，且r(A)二r(上)=2，故A的特征值中有且只有一个0.4 1二1 (若没有0，则-2 ,故r(A) =r(A) =3与已知矛盾；若有两个0，则人= 0: 21 -0_ 0 〕故r(A)=r(A)=1与已知矛盾；若三个全为0，则A= 0 ，故r(A)=r(A)=0与已知0」矛盾).故「-2 〕AL A = -2:. 0」即A有特征值=苍--2,匕=0 •(2) A kE是实对称矩阵，A有特征值= -2, =0，知A • kE的特征值为k -2,k-2,k .因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故「k-2>0 [^>2A kE正定k 2[k>0 1心0故k 2时A kE是正定矩阵.卜一【分析】(X,Y)有四个可能值，可以逐个求出•在计算过程中要注意到取值与U的值有关.U的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可.【详解】(X,Y)只有四个可能值(-1,-1),(-1,1),(1,-1)和(1,1).依照题意，有— 1—.(—.2) 1 plx - -1,Y - -1 ； = - -1,u — 1.；= P「U - -1.；=2_(_2) 4P 〈x 二 一1,丫 =1 = P 「U 乞-1,U 1 二 P 「_ / =0; P1X =1 丫 =-仆=P7U •-1,U 叮二 P!-1 ：：U 叮， ; 21 P 〈x =1 Y=1； = P 「U -1,U 1；=P 「U 14于是，(X,Y)分布为2 2 2(2)因为D(X ，Y) = E(X Y) -[E(X Y)],所以我们应该知道 X Y 和(X Y) 的分布律.对离散型随机变量，X Y 的取值可能有-2,0,2; (X Y)2的取值可能有0和4；1 Plx Y = -2[=P 「X 二 -1,丫二-1 , 41 1 P 〈X Y =0> p 〈x=1,Y = -仁 P 〈X = -1,Y =1, 0 , 2 2P 〈X Y =2 ；=p f x =1,Y =1, 4p{(X +Y f =0} = p{x +Y =0}=1，2i1p{(X +Y ) =4>=p{x +Y = -2} + p{x +Y = 2} = —.2n E(X)=為 x k P 「Xk=i2 22 4 所以有，E(X Y)二—=0, E(X Y)2 = — =2 .4 42X Y 和（X Y ）2的分布律分别为所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：-P ^Y < y g P C min(X,2)乞 y ； = PlX 乞 y;F(y) 1 1 yy1 xyf x (x)dx = 0£e dx =1-e0 乞 y ：： 2十二【详解】首先找出随机变量 Y 的表达式.Y 由X 和2(小时)来确定，所以丫二min(X,2).1 1指数分布的X 的分布参数为，其密度函数为：E(X) 5丄1 4x _ e 花x 0f X (x) = « 5其中九> 0是参数(0x 兰 0由分布函数的定义：F(y) = PfY 乞y .； = P 〈min(X,2)乞y ：(1) 当y <0时，F Y (y) =0(因为丫二min 〈X,2?，其中X 和2都大于0，那么小于0是 不可能事件)(2) 当y 一2时，F y (y) -1(因为丫 =mi 最大也就取到2,所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当0乞y ：：2时， 所以F Y (y)二 1-eh1xJJf(x, y)d —J ：dx (2f(x, y)dy.D。
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）
东南⼤学⾼数（上）⾄年期末考试（附答案）东南⼤学⾼数(上)⾄年期末考试(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：03～10级⾼等数学（A ）（上册）期末试卷2003级⾼等数学（A ）（上）期末试卷⼀、单项选择题（每⼩题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由⽅程+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所⽰，则导函数)(x f y '=的图形为（）4．微分⽅程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===⼆、填空题（每⼩题3分，共18分）2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ?+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分⽅程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每⼩题6分，共36分）1．计算积分dx x x+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ?5cos sin3. 计算积分dx e x x ?-2324. 计算积分?5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3→6.求微分⽅程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分⽅程xxe y y y 223-=+'-''满⾜条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平⾯图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转⼀周所⽣成的旋转体的体积。
东南大学数学分析试题解答
东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
02-03-3非电期中试卷答案 东南大学高等数学试卷
，
PAa
9，d
PAa
9
3
2。
a 32 2
解法 2：过点 P 垂直于直线L的平面方程为0(x 3) 0(y 1) 3(z 2) 0 ，
即 y z 10，把 直线L的方程代入平面方程得： 3t 23t 410 ， t 5 。 6
∴平面与直线 L 的交点为 B(1, 1 , 3) ， PB {2, 1 , 1} ， d PB 3 2 。
PM1a1 {3, 5, 0}{1, 1, 1}{5, 3, 8}， ∴ 由 点 P 与 L1 所 确 定 的 平 面 为 1 ： 5(x 3) 3( y 1) 8(z 2) 0 ， 即
5x 3y 8z 34 0 。
3
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
L2的参数方程为 x 5t 4, y 2t 3, z t ，代入平面 1，得 t 1，
L2 与 1 的交点为M (9,1,1) ，PM {6, 2, 3}，∴ L的方程为x
3 y 1 z 2 。 6 2 3
解 法 2 ： M 2 (4, 3, 0)L2 ， PM 2 {1, 4, 2} ， L2的方向向量a2 {5, 2,1} ，
2
y2 b2
1；（C）z
x2 a2
y2 b2
；（D）z
x2 a2
y2 b2
1 。
3．设
a
{1,
2,
1} ， b {1,
1,
2}
，
c
{3,
4,
5}，则（
D
）
（A）
a
b
；
（B）
b
c
；
最新2002考研数四真题及解析
精品资料2002考研数四真题及解析........................................2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2) 已知f (x )的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '=⎰.(3) 设矩阵1123-⎛⎫⎪⎝⎭,232B A A E =-+,则1B -=.(4) 设向量组123(,0,),(,,0), (0,,)a c b c a b ααα===,线性无关,则,,a b c 必须满足关系式. (5) 设随机变量,X Y 的联合概率密度分布为则,X Y 的相关系数ρ=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=.(D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设函数()f x 连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )(A)0[()()]xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()]xt f t f t dt --⎰(C)2()xf t dt ⎰ (D)20()xf t dt ⎰(3) 设,A B 为n 阶矩阵, ,A B **分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的伴随矩阵C *= ( )(A)00A AB B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (B)00B B A A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (C)00A B B A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (D)00B A A B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(4) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数. (C)12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (5) 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,12n n S X X X =+++则根据列维—林德柏格()Levy Lindberg 中心极限定理, 当n 充分大时,n S 近似服从正态分布, 只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差. (C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设闭区域22:,0.D x y y x +≤≥(,)f x y 为D 上的连续函数,且8(,)(,).Df x y f u v dudv π=⎰⎰求(,)f x y . 七、(本题满分7分)设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数:()Q Q p =,其需求弹性2220.192p pη=>- (1) 设R 为总收益函数,证明(1).dRQ dpη=- (2) 求6p =时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义. 八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使 ()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设四元齐次方程组()I 为1231234230,20,x x x x x x x +- =⎧⎨++-=⎩且已知另一四元齐次线性方程组()II 的一个基础解系为12(2,1,2,1),(1,2,4,8)T T a a αα=-+=-+. (1) 求方程组()I 的一个基础解系;(2)当a 为何值时,方程组()I 与()II 有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解. 十、(本题满分8分)设实对称矩阵111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角形矩阵,并计算行列式A E -的值. 十一、(本题满分8分)设A , B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：(|) (|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限，1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】22ln ln x x C -+ 【详解】用分部积分法()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '==-⎰⎰⎰由题设知22ln ()(ln )xf x x x'==， 所以 212ln ()2ln ln ln ,xf x dx dx xd x x C x===+⎰⎰⎰ 所以 2()()()2ln ln xf x dx xf x f x dx x x C '=-=-+⎰⎰．(3)【答案】01211⎛⎫⎪--⎝⎭【详解】1123A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故11221A E --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0122A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以 232(2)()B A A E A E A E =-+=--110121212220-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0B ≠，故B 可逆，()()1B E E B -→初等行变换(B 经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为1B -)[]21102001B E --⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦2001122110⎡⎤⎢⎥--⎣⎦交换，行的顺序 2001210111⎡⎤+ ⎢⎥-⎣⎦行行1121001201112(1)⨯⎡⎤⎢⎥--⨯-⎣⎦行行 故 1B -=01211⎛⎫⎪--⎝⎭．(4)【答案】0abc ≠【详解】方法1：由题设条件三个三维向量123,,ααα线性无关，则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3123,,0,ααα⇔≠(n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是0A ≠)1230,,00a b c a c bααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯2abc =故0abc ≠．方法2：123,,ααα线性无关则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3⇔齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组[]112233123,,0x x x x αααααα++==只有零解．⇔当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有123,,0(())m n A r A n ααα⨯≠=时，故 1230,,00a b c a c b ααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯20abc =≠(5) 【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=；{}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+={}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，X0 10.4 0.6 Y1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则()[()()]xF x t f t f t dt --=+-⎰，令t u =-，则dt du =-，所以()[()()]()[()()]x xF x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-⎰⎰[()()](),xu f u f u du F x =-+=⎰所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出C *因为准对角矩阵12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆的充要条件是(1,2,,)iA i n =均可逆，且有111121n A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故,A B 均可逆. 又1212n nA A A A A A A ==⋅，故1111000000A A A C C C AB B B B --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110000A B A B A A B B A B -*-*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故应选(D)．方法2：对四个选项逐个验算，选使2n CC C E *=(C 为22n n ⨯矩阵，故这里的单位矩阵为2n 阶方阵)成立的C *即可．对(D)有000000A B A B AA CC B A B A BB *****⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(矩阵的乘法) 00n n A B E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(AA A E *=，BB B E *=)nn EA B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(提取公因子) 2n C E =(因为12nA A A 12n A A A =⋅，故C AB =)(4) 【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减； (2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim [()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.(5)【答案】C ．【分析】列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理要求随机变量12,,,n X X X 相互独立、同分布且方差存在．当n 充分大时，12n n S X X X =+++才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机变量方差存在的，答案应选(C)． 方法2：条件(A)、(B)均不能保证12,,,n X X X 具有相同的分布．条件(D)不能保证方差的存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等价无穷小 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛必达法则洛必达法则20arctan(1)2lim 3x x xx→+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y ze x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y ze x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+ 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，zy∂∂．由x y z xe ye ze -=两边对x 求偏导数，有(),x x z z zxe e ze e x∂+=+∂ 得x x z z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y yz zz ye e y ze e∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【详解】令(,),Df u v dudv A =⎰⎰ 于是8(,).f x y A π=把8(,)f u v A π=代入(,),Df u v dudv A =⎰⎰得8D A A dudv π⎫=⎪⎭⎰⎰8D D A dudv π=-⎰⎰． 而区域D 是以(0,12)为圆心，以12为半径的半圆面(如图所示)，所以 211228Ddudv D ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰的面积sin 20Dd πθθ ⎰⎰极坐标3sin 22201(1)3d d r πθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰sin 322201(1)3r d θπθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰3201(1cos )3d πθθ=-⎰32011cos 323d ππθθ=⨯-⎰22011(1sin )sin 323d ππθθ=⨯--⎰32200111sin |sin |3239πππθθ=⨯-+12(),323π=- 得到 12(),323A A π=--解得 12()623A π=-所以42(,)().323f x y ππ=-七【分析】弹性公式：||()p dQQ p dpη=【详解】(1) 总收益()(),R p pQ p = 两端对p 求导得()()1()dR dQ p dQ Q p p Q p dp dp Q p dp ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ (1) 又因为()Q p 是p 的单调减函数，故0dQdp<，按弹性公式有()p dQ Q p dp η=-，即()p dQQ p dpη=-，代入(1)，得 ()(1).dRQ p dpη=- (2) 总收益R 对价格p 的弹性(1)1ER p dR pQ Ep R dp R ηη==-=-2222219231192192p p p p-=-=-- 所以670.54.13p ER Ep==≈ 经济意义：当6p =时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有 ()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()b abaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),b b baaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0ba f x h g x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有：23101211A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1212112310-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦交换，行的顺序21212110132-⨯-⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦行行 系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选34,x x 为自由未知量，分别取3410x x ==，及3401x x ==，，求得方程组的两个线性无关解12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T T ββ=-=-，由此可得方程组(I)的基础解系为12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T T ββ=-=-，．(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组(II)的通解为11221221122418k k k k a a αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1212121222(2)4(8)k k k k a k k k a k -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥++⎣⎦ (数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)方程组(I)与(II)有非零公共解，即方程组(II)的有些解也是(I)的解，把(II)的通解表达式代入方程组(I)，整理后得112(1)0()(1)(1)0a k a k a k +=⎧*⎨+-+=⎩要使方程组(I)(II)有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组()*有非零解．所以，当1a ≠-时，由()*知120k k ==，方程组(I)与(II)无非零公共解；当1a =-时，无论12,k k 为何值，()*恒成立，(II)的通解满足方程组(I)，即方程组(II)的全部解都是(I)的解，故1a =-时，11221221121417k k k k αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是方程组(I)、(II)的全部非零公共解(12,k k 为不全为零的任意常数)． 方法2：方程组(I)的通解为1122λβλβ+，(II)的通解为1122k k αα+，则方程组(I)(II)的公共解应满足11221122k k ααλβλβ+=+，即112211220k k λβλβαα+--=方程组(I)与(II)有非零公共解，即存在不全为零的1212,,,k k λλ使得上式成立，把1212,,,k k λλ看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式11221212112253213212[,,,]0()10240118k k a k k a λλλλββαα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==*⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦对系数矩阵做初等变换5321321210240118a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦122111321210240118a a +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行212111*********118a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行 121103************a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦交换，的顺序212311103011701270118a a +⨯+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行32421103011700100001a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行当1a ≠-时，系数矩阵的秩为4，()*只有零解，方程组(I)与(II)无非零公共解．若1a =-时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组()*有无穷多解，一定有非零解，即方程组(I)(II)有非零公共解，其同解方程组为1222123070k k k λλλ-+-=⎧⎨--=⎩，取12,k k --为自由未知量， 分别取1122,k c k c -=-=，解得2127,c c λ=--122122373k c c c λλ=-=--+124c c =--此时11221122k k ααλβλβ+=+，故1122c c αα--(或1122λβλβ+)，其中12,c c 是不同时为零的任意常数，为方程组(I)(II)的非零公共解．十【详解】矩阵A 的特征多项式111111aE A aaλλλλ----=----101131111a a aaλλλλ----+----行行 13112111a aa λλλ-------+列列112(1)(1)11aa a λλλ+-=----+(按第1行展开，其中11(1)+-中的两个1分别指(1)a λ--所在的行数和列数)(1)[()(1)2]a a a λλλ=----+-2(1)[()()2]a a a λλλ=---+-- (1)(1)(2)a a a λλλ=-----+2(1)(2)a a λλ=---+令0E A λ-=，得矩阵A 的特征值1231, 2.a a λλλ==+=-对于特征值121,a λλ==+ 由[(1))]0a E A X +-=，即1231111110111x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 系数矩阵进行初等行变换2131111111111000111000++----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行行行行，故1111111110001111000r r ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为1230x x x --=，选23,x x 为自由未知量，取231,0x x ==和230,1x x ==， 可得对应的两个线性无关的特征向量T T 12(1,1,0),(1,0,1)ξξ==对于特征值32a λ=-，由[(2))]0a E A X --=，即1232111210112x x x ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，系数矩阵做初等行变换211121112---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12112211112--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭交换，行的顺序12121203331033--⎛⎫-⨯ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭行行行-行 1213-2033000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭行行121130113000--⎛⎫⎪⨯- ⎪ ⎪⎝⎭行，故2111211210112112000r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为12323200x x x x x --+=⎧⎨-=⎩，选3x 为自由未知量，取31x =，可得对应的特征向量T 3(1,1,1)ξ=-令矩阵123111()101,011P ξξξ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦有1112a P AP a a -+⎡⎤⎢⎥=Λ=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 由A 的特征值为1,1,2a a a ++-，可得A E -的特征值为,,3a a a -. n 阶矩阵的行列式等于它的n 个特征值的乘积，所以2(3).A E a a -=-十一【详解】本题涉及条件概率及独立性．应熟记有关的公式()(|) ()P AB P B A P A = 及()()()P AB P A P B =； 方法1：由(|) (|)P B A P B A =()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -⇔==- [][]()1()()()()P AB P A P A P B P AB ⇔-=-()()()P AB P A P B ⇔= 所以，(|) (|)P B A P B A =是A 与B 独立的充分必要条件． 方法2：A 与B 独立，等价于A 与B 也独立， 由A 与B 独立有()()()(|) =().()()P AB P A P B P B A P B P A P A == 同理，,A B 独立有 (|) ()P B A P B =．总之，A 与B 独立，等价于A 与B 也独立，又等价于 ()(|)P B A P B A =．十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为： 1510()500x X e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰ 所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
2002考研数一真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1)2eln dxx x+∞=⎰(2) 已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则''(0)y = . (3) 微分方程2'''0yy y +=满足初始条件11,'2yy x x ====的特解是 . (4) 已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py =可化成标准型216f y =，则a = .(5) 设随机变量X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>且二次方程240y y X ++=无实根的概 率为12，则μ=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质：①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续， ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微， ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出Q ，则有 ( ) (A) ②⇒③⇒①. (B)③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①. (D)③⇒①⇒④.(2) 设0(1,2,3,...),n u n ≠=且lim1,n nnu →∞=则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ ( ) (A) 发散. (B)绝对收敛.(C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定.(3) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则 ( )(A) 当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim '()0x f x →+∞=.(B)当lim '()x f x →+∞存在时，必有lim '()0x f x →+∞=.(C) 当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim '()0x f x +→=. (D)当0lim '()x f x +→存在时，必有0lim '()0x f x +→=.(4) 设有三张不同平面的方程123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )(5) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数分别为1()F x 和2()F x ，则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (C) 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D) 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且(0)0,'(0)0,f f ≠≠若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.四、(本题满分7分)已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ().n nf n→∞五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,},x y De dxdy ⎰⎰其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤.六、(本题满分8分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d .记2221[1()][()1],L x I y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰ (1)证明曲线积分I 与路径L 无关； (2)当ab cd =时，求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数3693()13(3)!nx x x x y x x n =+++++∞<<+∞L L +（-）！6！9！满足微分方程''';x y y y e ++=(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为{}22(,)75D x y x y xy =+-≤，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+.(1)设00(,)M x y 为区域D 上的一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此反向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中的(,)g x y 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵，(1)如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.十一、(本题满分8分)设随机变量X 的概率密度为1cos0()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.十二、(本题满分8分)其中0<<)2θθ（是未知参数，利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩阵估计值和最大似然函数估计值.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】 1【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.222ee e ln 11lim lim lim lim 11ln ln ln ln ln b b b b b b b dx dx d x e x x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤===-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰(2)【答案】 -2【详解】y 是由2610ye xy x ++-=确定的x 的函数，两边对x 求导，6620,y e y xy y x ''+++=所以 62,6yy xy e x+'=-+两边再对x 求导，得 2(6)62(62)(6),(6)y y y e x y y x e y y e x ''++++''=-+（）- 把0x =代入，得(0)0y =，(0)0y '=，代入y ''，得(0)2y ''=-.(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型. 命,dp dp dy dp y p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠ 所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y= 由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==. 于是得12dy dx y=解之得，22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=“+”号且21C =.于是特解是y =方法2：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=. 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=. 即21yy '=，改写为2()1y '=. 解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =. 于是特解y =(4)【答案】2【详解】方法1：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有600T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，故1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦:因为矩阵的n 个特征值之和等于它的主对角元素之和，33113iii i i aa λ====∑∑，相似矩阵具有相同的特征值，316006ii λ==++=∑故有36a =，得2a =.方法2：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦:相似矩阵具有相同的特征值，知0是A 的特征值，根据特征值的定义，有00E A A -==222222a A a a =4222314242a a a a a+++把第，列加到第列 1221(4)1212a a a +提取第列的公因子12221(4)02031002a a a -+---行行行行2(4)(2)0a a =+-=，得 4a =-或2a =， (1) 又6是A 的特征值，根据特征值的定义，有60E A -=，由6226226622262622226a a E A a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，6226262226aE A a a----=------222231262226a a aa a---------把第，列加到第列1221(2)162126a a a -------提取第列的公因子12221(2)08031008a a a -------行行行行2(2)(8)0a a =--=得 2a =或8a = (2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得2a =.方法3：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 600000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦:相似矩阵具有相同的特征值，知A 的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，直接求A 的特征值，即由222222222222a a E A a a a a λλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，222222aE A a a λλλλ----=------4222342142a a a a aλλλλλ------------把第，列加到第列1221(4)1212a aa λλλ--------提取第列的公因子12221(4)0(2)03100(2)a a a λλλ----------行行行行2[(4)][(2)]a a λλ=----其中单根为4a +，二重根为2a -，故46a +=，及20a -=，故知2a =.方法4：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:故()()1r A r =Λ=，222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22122322a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u u u u u u u u u u u u r 交换第和第行的顺序222210223120222a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⨯⎢⎥--⎣⎦u u u u u u u u u u u u u r 行行行行222320220042a a a a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦u u u u u u u u u u r 行行2223202200(28)a a a a a ⎡⎤⎢⎥⨯--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦u u u u u u u r 行2202200(2)(4)a a a a a ⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦因()1r A =，故20a -=，且(2)(4)0a a -+=，故应取2a =.(5)【答案】4.【详解】二次方程无实根，即240y y X ++=的判别式1640X ∆==-<，也就有4X >. 此事发生概率为12，即{}142P X >=， 对于2(,)(0),X N μσσ>:{}12P X μ>=，因为正态分布的密度函数为22()()2x f x μσ⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭x -∞<<+∞ 关于x μ=对称；另一方面，由概率的计算公式，()f x 与x 轴所围成的面积是1，所以x μ=将面积平分为两份 {}12P X μ>=，所以4μ=.二、选择题(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中A B ⇒表示由A 可推出B . 无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立.(,)x f x y '与(,)y f x y '连续(,)f x y ⇒可微(,)(,)(,)xy f x y f x y f x y ⎧''⎪⇒⎨⎪⎩与存在连续 其中均指在同一点处. 记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).(2)【详解】首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.考察原级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑的前n 项部分和1122334111111111()()()(1)()n n n n S u u u u u u u u ++=+-+++-+-+L 11111(1)n n u u ++=+- 由lim10n n n u →∞=>知，当n 充分大时，0n u >且lim n n u →∞=+∞. 所以11lim n n S u →∞=(收敛)，另一方面，1111()n n n u u ∞=++∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim1n nnu →∞=的启发，考虑1111111()(1)lim lim lim 1121(21)1(1)n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u n n n u u n n n n n ++++→∞→∞→∞+++++==+++++ 11(1)(1)[](1)lim21n n n n n u u n n n n n n n u u n +→∞+++++=+11(1)(1)lim 1211n nn nn u u n n n nu u n n n n+→∞++++==+⋅⋅+ 而级数1111111()11n n n n n n n ∞∞∞===+=+++∑∑∑是发散的，所以1111()n n n u u ∞=++∑也发散，所以选(C).(3)【详解】方法1：排斥法.令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B). 方法2：证明(B)正确. 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =.用反证法，若0A >，则对于02Aε=>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+=由此可知，()f x '有界且大于2A.在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2Af x f X f x X f X x X ξ'=+->+-从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾.类似可证当0A <时亦有矛盾. 故0A =.(4) 【答案】(B)【详解】三张不同平面的方程分别为123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==判断三个平面有无公共点即判断方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无公共解，且方程组有多少公共解平面就有多少公共点，由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是23<(未知量的个数)，所以方程组有解且有无穷多解，故三个平面有无穷多个公共点，故应排除(A)三平面唯一交点(即方程组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程组无解).故应选(B)，三个平面相交于一条直线，直线上所有的点均是平面的公共点，即有无穷多个公共点.(5)【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减； (2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim[()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.三【详解】方法1：由题设条件知有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 又由洛必达法则，00()(2)(0)limlim(()2(2))(2)(0)h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''=+=+由于()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由'(0)0,f ≠ 得20a b +=.解1020a b a b +-=⎧⎨+=⎩联立方程组得，2,1a b ==-.方法2：分别将(),(2)f h f h 按佩亚诺余项泰勒公式展开到()o h ，有1()(0)(0)()f h f f h o h '=++，2(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++从而 3()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af h bf h f a b f a b f h o h '+-=+-+++ 由题设条件知，10,20,a b a b +-=+= 所以2,1a b ==-. 方法3：由题设条件，有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 再将1a b =-代入01lim [()(2)(0)]h af h bf h f h→+-，并凑成导数定义形式，有000()(2)(0)(1)()(2)(0)0limlim()(0)()(0)(2)(0)lim[2]2(0)(0)2(0)1)(0)h h h af h bf h f b f h bf h f h hf h f f h f f h f b b h h h f bf bf b f →→→+--+-==---=-+''''=-+=+（ 从而 2,1a b ==-.四【详解】由2arctan 0xt y e dt -=⎰知(0)0y =，由变上限积分的求导公式得2(arctan )(arctan )x y e x -''=⋅2(arctan )21,1x e x-=+g 所以 2(arctan0)210110y e -'==+g （）因此，过点(0,0)的切线方程为.y x = ()y f x =在点(0,0)处与上述曲线有相同的切线方程，于是(0)0,(0)1f f '==.2()(0)2lim ()lim 1n n f f nnf nn→∞→∞-=2()(0)2lim 2n f f n n →∞-=2(0)2f '==五【详解】应先将{}22max ,x y e写成分块表达式. 记{}{}12(,)01,0,(,)01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是 {}2222max ,12(,);(,).x x y y ex y D e ex y D ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而{}{}{}222222221212max ,max ,max ,x y x y x y x y DD D D D ed ed ed e d e d σσσσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx y dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰2211x y e xdx e ydy =+⎰⎰212x e xdx =⎰212x e dx =⎰21x de =⎰210|x e =(1)e =-六【详解】(1) 记21(,)[1()]P x y y f xy y =+，22(,)[()1]xQ x y y f xy y=- 22([()1])x y f xy Qy xx∂-∂=∂∂2222()([()1])([()1])x x y f xy y y f xy x y x ∂∂-=⨯-+⨯∂∂22221(()([()1])x y f xy y f xy y y x ∂=⨯-+⨯∂21()()()xy f xy x f xy y x∂'=-+⨯∂ 21()()f xy xyf xy y '=+-21([1()])y f xy P yyy ∂+∂=∂∂221()1([1()])([1()])y f xy y y f xy y y y∂∂+=++∂∂222211()1(())([1()])()y f xy y f xy f xy y y y y y y∂∂=-+++⨯⨯∂∂21()()()f xy f xy xyf xy y'=--++ 所以，(0)Q Py x y∂∂=>∂∂当. 故在上半平面(0y >)，该曲线积分与路径无关. (2)方法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端点连接起来. 先从点(,)a b 到点(,),c b 再到点(,)c d . 有2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dy by =++-⎰⎰()]()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b-=+++-⎰⎰经积分变量变换后，()cd ab c a I f t dt d b =-+⎰. 当ab cd =时，推得c aI d b=-.方法2:原函数法.2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰2()()()()()LL L L ydx xdy xf xy ydx xdy d f xy d xy y y-=++=+⎰⎰⎰⎰ 由原函数法计算第二型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似)，有(,)();(,)L c d x x c ad a b y y d b ==-⎰(,)()()()()()0,(,)Lc d f xy d xy F xy F cd F ab a b ==-=⎰其中()F u 为()f u 的一个原函数，即设()()F u f u '=.由此有c aI d b=-. 方法3：由于与路径无关，又由ab cd =的启发，取路径xy k =，其中k ab =. 点(,)a b 与点(,)c d 都在此路径上. 于是将kx y=代入之后，22221[(1())()(()1)]d a k kI y f k y f k dy y y y=+-+-⎰32()dbk dy y =-⎰2dk by =22k k d b =-22cd ab d b =-.c a d b =-七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!n nn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑L L +！6！9！， 由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[]xy e C x C -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022*********[cos 0sin 0]22331110(20(2022222231123e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-⨯+⎨⎪⎪⎪=-+⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】(1)根据方向导数和梯度的定义，知方向导数的最大值是梯度的模长，()00,(,)x y gradh x y {}0000(,)(,)0000|,|2,2.y x y x h hy x x y x y ⎧⎫∂∂==--⎨⎬∂∂⎩⎭()()0000,,max(,)x y x y u gradh x y l∂==∂00(,).x y =(2) 命2(,)(,)f x y g x y ==22558x y xy +-，求f 在约束条件22750x y xy --+=下的最大值点. 为此，构造拉格朗日函数2222(,,)558(75)F x y x y xy x y xy λλ=+-+--+则 108(2)0x F x y y x λ'=-+-令，108(2)0y F y x x y λ'=-+-令，22750F x y xy λ'=--+令.由第1、第2 两式相加可得 ()(2)0x y λ+-=. 从而得y x =-或2λ=，再分别讨论之.若2λ=，则解得1(,)x y = 或 2(,)(x y =-- 若y x =-，则解得3(,)(5,5)x y =- 或 4(,)(5,5)x y =- 于是得到如上4个可能极值点. 将(,)i x y 记为(1,2,3,4)i M i =. 由于1234()()150,()()450f M f M f M f M ====故点34(5555M M =-=-，）,（，）可作为攀登起点.九【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα=====M系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解.对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.(其中k 是任意常数) 方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =，则线性非齐次方程为[]1234,,,Ax x αααα=[]12123434,,,x x x x αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11223344x x x x ααααβ=+++=已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++⇒21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+ ⇒12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--= ⇒12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 其系数矩阵为210010100001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(其中k 是任意常数)十【详解】(1) 因A B :，由定义知，存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，故1111()E B E P AP P P P AP P E A P λλλλ-----=-=-=-1P E A P E A λλ-=-=-故,A B 有相同的特征多项式.(2) 取0001,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2201,00E A E B λλλλλλλλ--==-==，则有2,,E A E B A B λλλ-==-有相同的特征多项式，但A 不相似于B ，因为对任何的2阶可逆阵P ，均有11P AP P OP O B --==≠，故(1)的逆命题不成立.(3) 即要证如果,A B 的特征多项式相等，则,A B 相似.当,A B 都是实对称矩阵时，,A B 均能相似于对角阵，且该对角阵的对角线元素由,A B 的特征值组成. 若,A B 有相同的特征多项式，则,A B 有相同的特征值(包含重数)，故,A B 将相似于同一个对角阵. 设特征值为12,,,n λλλL ，则有1122,n n A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦::O O 由相似的传递性，知A B :. (1)的逆命题成立.十一【答案】5.【详解】如果将观察值大于3π这事件理解为试验成功的话，则Y 表示对X 独立地重复试验4次中成功的次数.即是(4,)Y B p :，其中{}p P X π=>由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有3311()cos 3222x p P X f x dx dx ππππ+∞⎧⎫=>===⎨⎬⎩⎭⎰⎰，所以，1(4,)2Y B ~.由公式22()[()]()D Y E Y E Y =-以及若(,)Y B n p ~，其数学期望和方差分别为();()E Y np D Y npq ==，其中1.q p =-得 2222111()()[()]()4(4) 5.222E Y D Y E Y npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.【详解】矩估计：由离散型随机变量期望的定义1()()niii E X x P X x ===∑，有：22()012(1)23(12)34E X θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-样本均值11n i i X X n ==∑1(31303123)28=⨯+++++++=用样本均值估计期望有 EX X =，即342θ-=. 解得的矩估计值为1.4θ∧=由离散型随机变量似然函数的定义：设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：精选文库-- 21 121()(,,,;)(;)nn i i L P x x x P x θθθ===∏L由于样本值中0出现一次，故用0的对应概率2θ一次. 样本值中数值1出现二次，故用两个21-θθ（）相乘，数值2出现一次，故用2的对应概率2θ一次，数值3出现四次，故用1-2θ4（）.总之，对于给定的样本值的似然函数为： []2224624()21-(12)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=⋅⋅⋅-=--（）()0L θ>，等式两边同取自然对数得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L θθθθ=++-+-ln ()L θ和()L θ在θ的同一点取得最大值，所以2ln ()62862824112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=，解得1,2712θ±=因71122+>与题目中10<<2θ矛盾，不合题意，所以θ的最大似然估计值为θ∧=。
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)
3.求 (
ln x 2 ) dx x
t t
解：令 t ln x, 则x e , dx e dt , (
t2 ln x 2 ) dx 2t e t dt = t 2 e t dt t 2 e t 2te t x e
2e t C
(ln x) 2 2 ln x 2 C x
f ' ( x)
1 1 1 1 f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] f (2) f (0) 2 2 2 2 1 1 1 (2 x) 2 x 2 2 2
( x 1) 2 2
，
1 1 f ' ' ( ) (2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 2 2
和发散，并证明 F ( p) 在 p > 0 上连续． 五、(本题满分 12 分) 证明级数
å
¥
(- 1)n- 1 ( n n - 1) 条件收敛．
n= 1
六、(本题满分 12 分) 设函数项级数
å
¥
un ( x) 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，且对每个 n ， un ( x) 在上 I 上一
解 ：
f ' ' ( ) (0 x ) 2 , 2 f ' ' ( ) f (2) f ( x) f ' ( x)(2 x) ( 2 x) 2 2 1 f (2) f (0) 2 f ' ( x) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 1 2 f ' ( x) f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 f (0) f ( x) f ' ( x)(0 x)
2002年考研数学(三)真题及详细解析
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim 1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]lim lim 11(12)12n n n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关，则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。
东南大学 02 03 数学分析 高等代数 04 高代 04数分_少一页
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分)1.()+∞=-∞→x f x lim.解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2121222122213ln )11111(11)12(1dx xxdx xx dx xx2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dx du zg 求≠∂∂解：由xz zf xy yf xf dxdu dz g dy g e dx xg z e x g y y ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx x x 2)ln (解：令⎰====dx xx dt e dx e x x t tt 2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e ett t22=⎰=-dt e t t 2ttteet ----22C et+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 24.求()2limxax a xxx -+→()0>a解：()2li mxax a xxx -+→==2222222)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{limxx o a xa x x o aa xa x x +++-+++++=→=aa 21+5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。
东南大学高等数学B2002高数(下)期中试卷
2002级（非电类）高等数学（下）期中试卷一、 单项选择题（2143'=⨯'）在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是：（A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。
1．∑∞=-2ln )1(n n n n （ C ）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n n u （ D ）； 3．3sin 313π∑∞=n n n n （ A ）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p xdx （ C ）。
二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设π 平面：01472=-++z y x 及1L 直线：32 ,1 ,3-=+==t z t y t x ，2L ：332111--=+=--z y x ，则（ C ） （A ）π∥1L ； （B ）1L ⊥π； （C ）π∥2L ； （D ）2L ⊥π。
2．曲线12222=+b y a x ，0=z 绕轴旋转而成 x 的曲面方程为（ A ）（A ）122222=++bz y a x ； （B ）122222=++b y a z x ； （C ）2222b y a x z +=； （D ）12222-+=b y a x z 。
3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c ，则（ D ）（A ）b a ⊥； （B ）c b ⊥； （C ）a c ⊥； （D ）共面 , ,c b a 。
4．两非零向量γ'β'α'γβα , , , , 及的方向角分别为及b a ，则=) ,cos(b a （ B ）（A ）γ'β'α'+γβαcos cos cos cos cos cos ； （B ）γ'γ+β'β+α'αcos cos cos cos cos cos ；（C ）)cos()cos()cos(γ'+γ+β'+β+α'+α；（D ）)cos()cos()cos(γ'-γ+β'-β+α'-α。
2002考研数一真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1)2eln dxx x+∞=⎰(2) 已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则''(0)y = . (3) 微分方程2'''0yy y +=满足初始条件11,'2yy x x ====的特解是 . (4) 已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py = 可化成标准型216f y =，则a = .(5) 设随机变量X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>且二次方程240y y X ++=无实根的概 率为12，则μ=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质：①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续， ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微， ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出Q ，则有 ( ) (A) ②⇒③⇒①. (B)③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①. (D)③⇒①⇒④.(2) 设0(1,2,3,...),n u n ≠=且lim1,n nnu →∞=则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ ( ) (A) 发散. (B)绝对收敛.(C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定.(3) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则 ( )(A) 当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim '()0x f x →+∞=.(B)当lim '()x f x →+∞存在时，必有lim '()0x f x →+∞=.(C) 当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim '()0x f x +→=. (D)当0lim '()x f x +→存在时，必有0lim '()0x f x +→=.(4) 设有三张不同平面的方程123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )(5) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数分别为1()F x 和2()F x ，则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (C) 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D) 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且(0)0,'(0)0,f f ≠≠若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.四、(本题满分7分)已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ().n nf n→∞五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,},x y De dxdy ⎰⎰其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤.六、(本题满分8分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d .记2221[1()][()1],L x I y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰ (1)证明曲线积分I 与路径L 无关； (2)当ab cd =时，求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数3693()13(3)!nx x x x y x x n =+++++∞<<+∞+（-）！6！9！满足微分方程''';x y y y e ++=(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为{}22(,)75D x y x y xy =+-≤，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+.(1)设00(,)M x y 为区域D 上的一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此反向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中的(,)g x y 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵，(1)如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.十一、(本题满分8分)设随机变量X 的概率密度为1cos0()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.十二、(本题满分8分)其中0<<)2θθ（是未知参数，利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩阵估计值和最大似然函数估计值.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】 1【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.222ee e ln 11lim lim lim lim 11ln ln ln ln ln b b b b b b b dx dx d x e x x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤===-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰(2)【答案】 -2【详解】y 是由2610ye xy x ++-=确定的x 的函数，两边对x 求导，6620,y e y xy y x ''+++=所以 62,6yy xy e x+'=-+两边再对x 求导，得 2(6)62(62)(6),(6)y y y e x y y x e y y e x ''++++''=-+（）- 把0x =代入，得(0)0y =，(0)0y '=，代入y ''，得(0)2y ''=-.(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型. 命,dp dp dy dp y p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠ 所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y= 由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==. 于是得12dy dx y=解之得，22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=“+”号且21C =.于是特解是y =方法2：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=. 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=. 即21yy '=，改写为2()1y '=. 解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =. 于是特解y =(4)【答案】2【详解】方法1：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有600T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为矩阵的n 个特征值之和等于它的主对角元素之和，33113iii i i aa λ====∑∑，相似矩阵具有相同的特征值，316006ii λ==++=∑故有36a =，得2a =.方法2：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知0是A 的特征值，根据特征值的定义，有00E A A -==222222a A a a =4222314242a a a a a+++把第，列加到第列 1221(4)1212a a a +提取第列的公因子12221(4)02031002a a a -+---行行行行2(4)(2)0a a =+-=，得 4a =-或2a =， (1) 又6是A 的特征值，根据特征值的定义，有60E A -=，由6226226622262622226a a E A a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，6226262226aE A a a----=------222231262226a a aa a---------把第，列加到第列1221(2)162126a a a -------提取第列的公因子12221(2)08031008a a a -------行行行行2(2)(8)0a a =--=得 2a =或8a = (2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得2a =.方法3：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知A 的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，直接求A 的特征值，即由222222222222a a E A a a a a λλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，222222aE A a a λλλλ----=------4222342142a a a a aλλλλλ------------把第，列加到第列1221(4)1212a aa λλλ--------提取第列的公因子12221(4)0(2)03100(2)a a a λλλ----------行行行行2[(4)][(2)]a a λλ=----其中单根为4a +，二重根为2a -，故46a +=，及20a -=，故知2a =.方法4：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故()()1r A r =Λ=，222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22122322a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦交换第和第行的顺序222210223120222a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⨯⎢⎥--⎣⎦行行行行222320220042a a a a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行2223202200(28)a a a a a ⎡⎤⎢⎥⨯--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦行2202200(2)(4)a a a a a ⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦因()1r A =，故20a -=，且(2)(4)0a a -+=，故应取2a =.(5)【答案】4.【详解】二次方程无实根，即240y y X ++=的判别式1640X ∆==-<，也就有4X >. 此事发生概率为12，即{}142P X >=， 对于2(,)(0),XN μσσ>{}12P X μ>=，因为正态分布的密度函数为22()()2x f x μσ⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭x -∞<<+∞ 关于x μ=对称；另一方面，由概率的计算公式，()f x 与x 轴所围成的面积是1，所以x μ=将面积平分为两份 {}12P X μ>=，所以4μ=.二、选择题(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中A B ⇒表示由A 可推出B . 无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立.(,)x f x y '与(,)y f x y '连续(,)f x y ⇒可微(,)(,)(,)xy f x y f x y f x y ⎧''⎪⇒⎨⎪⎩与存在连续 其中均指在同一点处. 记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).(2)【详解】首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.考察原级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑的前n 项部分和1122334111111111()()()(1)()n n n n S u u u u u u u u ++=+-+++-+-+11111(1)n n u u ++=+- 由lim10n n n u →∞=>知，当n 充分大时，0n u >且lim n n u →∞=+∞. 所以11lim n n S u →∞=(收敛)，另一方面，1111()n n n u u ∞=++∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim1n nnu →∞=的启发，考虑1111111()(1)lim lim lim 1121(21)1(1)n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u n n n u u n n n n n ++++→∞→∞→∞+++++==+++++ 11(1)(1)[](1)lim21n n n n n u u n n n n n n n u u n +→∞+++++=+11(1)(1)lim 1211n nn nn u u n n n nu u n n n n+→∞++++==+⋅⋅+ 而级数1111111()11n n n n n n n ∞∞∞===+=+++∑∑∑是发散的，所以1111()n n n u u ∞=++∑也发散，所以选(C).(3)【详解】方法1：排斥法.令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B). 方法2：证明(B)正确. 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =.用反证法，若0A >，则对于02Aε=>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+=由此可知，()f x '有界且大于2A.在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2Af x f X f x X f X x X ξ'=+->+-从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾.类似可证当0A <时亦有矛盾. 故0A =.(4) 【答案】(B)【详解】三张不同平面的方程分别为123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==判断三个平面有无公共点即判断方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无公共解，且方程组有多少公共解平面就有多少公共点，由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是23<(未知量的个数)，所以方程组有解且有无穷多解，故三个平面有无穷多个公共点，故应排除(A)三平面唯一交点(即方程组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程组无解).故应选(B)，三个平面相交于一条直线，直线上所有的点均是平面的公共点，即有无穷多个公共点.(5)【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减； (2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim[()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.三【详解】方法1：由题设条件知有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 又由洛必达法则，00()(2)(0)limlim(()2(2))(2)(0)h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''=+=+由于()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由'(0)0,f ≠ 得20a b +=.解1020a b a b +-=⎧⎨+=⎩联立方程组得，2,1a b ==-.方法2：分别将(),(2)f h f h 按佩亚诺余项泰勒公式展开到()o h ，有1()(0)(0)()f h f f h o h '=++，2(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++从而 3()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af h bf h f a b f a b f h o h '+-=+-+++ 由题设条件知，10,20,a b a b +-=+= 所以2,1a b ==-. 方法3：由题设条件，有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 再将1a b =-代入01lim [()(2)(0)]h af h bf h f h→+-，并凑成导数定义形式，有000()(2)(0)(1)()(2)(0)0limlim()(0)()(0)(2)(0)lim[2]2(0)(0)2(0)1)(0)h h h af h bf h f b f h bf h f h hf h f f h f f h f b b h h h f bf bf b f →→→+--+-==---=-+''''=-+=+（ 从而 2,1a b ==-.四【详解】由2arctan 0xt y e dt -=⎰知(0)0y =，由变上限积分的求导公式得2(arctan )(arctan )x y e x -''=⋅2(arctan )21,1x e x-=+ 所以 2(arctan0)210110y e-'==+（） 因此，过点(0,0)的切线方程为.y x = ()y f x =在点(0,0)处与上述曲线有相同的切线方程，于是(0)0,(0)1f f '==.2()(0)2lim ()lim 1n n f f n nf nn →∞→∞-=2()(0)2lim 2n f f nn→∞-=2(0)2f '==五【详解】应先将{}22max ,x y e写成分块表达式. 记{}{}12(,)01,0,(,)01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是 {}2222max ,12(,);(,).x x y y ex y D e ex y D ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而{}{}{}222222221212max ,max ,max ,x y x y x y x y DD D D D ed ed ed e d e d σσσσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx y dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰2211x y e xdx e ydy =+⎰⎰212x e xdx =⎰212x e dx =⎰21x de =⎰210|x e =(1)e =-六【详解】(1) 记21(,)[1()]P x y y f xy y =+，22(,)[()1]xQ x y y f xy y=- 22([()1])x y f xy Qy xx∂-∂=∂∂2222()([()1])([()1])x x y f xy y y f xy x y x ∂∂-=⨯-+⨯∂∂22221(()([()1])x y f xy y f xy y y x ∂=⨯-+⨯∂21()()()xy f xy x f xy y x∂'=-+⨯∂ 21()()f xy xyf xy y '=+-21([1()])y f xy P yyy ∂+∂=∂∂221()1([1()])([1()])y f xy y y f xy y y y∂∂+=++∂∂222211()1(())([1()])()y f xy y f xy f xy y y y y y y∂∂=-+++⨯⨯∂∂21()()()f xy f xy xyf xy y'=--++ 所以，(0)Q Py x y∂∂=>∂∂当. 故在上半平面(0y >)，该曲线积分与路径无关. (2)方法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端点连接起来. 先从点(,)a b 到点(,),c b 再到点(,)c d . 有2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dy by =++-⎰⎰()]()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b-=+++-⎰⎰经积分变量变换后，()cd ab c a I f t dt d b =-+⎰. 当ab cd =时，推得c aI d b=-.方法2:原函数法.2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰2()()()()()LL L L ydx xdy xf xy ydx xdy d f xy d xy y y-=++=+⎰⎰⎰⎰ 由原函数法计算第二型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似)，有(,)();(,)L c d x x c ad a b y y d b ==-⎰(,)()()()()()0,(,)Lc d f xy d xy F xy F cd F ab a b ==-=⎰其中()F u 为()f u 的一个原函数，即设()()F u f u '=.由此有c aI d b=-. 方法3：由于与路径无关，又由ab cd =的启发，取路径xy k =，其中k ab =. 点(,)a b 与点(,)c d 都在此路径上. 于是将kx y=代入之后，22221[(1())()(()1)]d a k kI y f k y f k dy y y y=+-+-⎰32()dbk dy y =-⎰2dk by =22k k d b =-22cd ab d b =-.c a d b =-七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-，所以其通解为 212[]xy e C x C -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022*********[cos 0sin 0]22331110(20(2022222231123e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-⨯+⎨⎪⎪⎪=-+⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】(1)根据方向导数和梯度的定义，知方向导数的最大值是梯度的模长，()00,(,)x y gradh x y {}0000(,)(,)0000|,|2,2.y x y x h hy x x y x y ⎧⎫∂∂==--⎨⎬∂∂⎩⎭()()0000,,max(,)x y x y u gradh x y l∂==∂00(,).x y =(2) 命2(,)(,)f x y g x y ==22558x y xy +-，求f 在约束条件22750x y xy --+=下的最大值点. 为此，构造拉格朗日函数2222(,,)558(75)F x y x y xy x y xy λλ=+-+--+则 108(2)0x F x y y x λ'=-+-令，108(2)0y F y x x y λ'=-+-令，22750F x y xy λ'=--+令.由第1、第2 两式相加可得 ()(2)0x y λ+-=. 从而得y x =-或2λ=，再分别讨论之.若2λ=，则解得1(,)x y = 或 2(,)(x y =-- 若y x =-，则解得3(,)(5,5)x y =- 或 4(,)(5,5)x y =- 于是得到如上4个可能极值点. 将(,)i x y 记为(1,2,3,4)i M i =. 由于1234()()150,()()450f M f M f M f M ====故点34(5555M M =-=-，）,（，）可作为攀登起点.九【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα=====系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解.对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.(其中k 是任意常数) 方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =，则线性非齐次方程为[]1234,,,Ax x αααα=[]12123434,,,x x x x αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11223344x x x x ααααβ=+++=已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++⇒21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+ ⇒12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--= ⇒12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 其系数矩阵为210010100001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(其中k 是任意常数)十【详解】(1) 因AB ，由定义知，存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，故1111()E B E P AP P P P AP P E A P λλλλ-----=-=-=-1P E A P E A λλ-=-=-故,A B 有相同的特征多项式.(2) 取0001,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2201,00E A E B λλλλλλλλ--==-==，则有2,,E A E B A B λλλ-==-有相同的特征多项式，但A 不相似于B ，因为对任何的2阶可逆阵P ，均有11P AP P OP O B --==≠，故(1)的逆命题不成立.(3) 即要证如果,A B 的特征多项式相等，则,A B 相似.当,A B 都是实对称矩阵时，,A B 均能相似于对角阵，且该对角阵的对角线元素由,A B 的特征值组成. 若,A B 有相同的特征多项式，则,A B 有相同的特征值(包含重数)，故,A B 将相似于同一个对角阵. 设特征值为12,,,n λλλ，则有1122,n n A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由相似的传递性，知A B . (1)的逆命题成立.十一【答案】5.【详解】如果将观察值大于3π这事件理解为试验成功的话，则Y 表示对X 独立地重复试验4次中成功的次数.即是(4,)YB p ，其中{}p P X π=>由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有3311()cos 3222x p P X f x dx dx ππππ+∞⎧⎫=>===⎨⎬⎩⎭⎰⎰，所以，1(4,)2Y B ~.由公式22()[()]()D Y E Y E Y =-以及若(,)Y B n p ~，其数学期望和方差分别为();()E Y np D Y npq ==，其中1.q p =-得 2222111()()[()]()4(4) 5.222E Y D Y E Y npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.【详解】矩估计：由离散型随机变量期望的定义1()()niii E X x P X x ===∑，有：22()012(1)23(12)34E X θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-样本均值11n i i X X n ==∑1(31303123)28=⨯+++++++=用样本均值估计期望有 EX X =，即342θ-=. 解得的矩估计值为1.4θ∧=由离散型随机变量似然函数的定义：设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：21 / 21 121()(,,,;)(;)nn i i L P x x x P x θθθ===∏由于样本值中0出现一次，故用0的对应概率2θ一次. 样本值中数值1出现二次，故用两个21-θθ（）相乘，数值2出现一次，故用2的对应概率2θ一次，数值3出现四次，故用1-2θ4（）.总之，对于给定的样本值的似然函数为： []2224624()21-(12)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=⋅⋅⋅-=--（）()0L θ>，等式两边同取自然对数得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L θθθθ=++-+-ln ()L θ和()L θ在θ的同一点取得最大值，所以2ln ()62862824112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=，解得1,2712θ±=因71122+>与题目中10<<2θ矛盾，不合题意，所以θ的最大似然估计值为θ∧=。
2002年高考试题——数学(江苏)及答案[1]
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A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（ ）。
A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ）。
A.21 B. 23 C. 1 D. 3 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x xD. }11|{-≠<x x x 且 （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃ B. ),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ⋃ （5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A.43 B. 54 C. 53 D. 53- （7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（ ）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（ ）。
A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a （9）函数111--=x y A. 在（+∞-,1）内单调递增 B. 在（+∞-,1）内单调递减 C. 在（+∞,1）内单调递增 D. 在（+∞,1）内单调递减（10） 极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（ ）。
东南大学(有10试题)
东南大学建筑系规划设计1995——1996城市规划设计1999城市规划原理1995——1998，2002中外建筑史和城建史2003中、外建筑史1991——1999，2001外国建筑史1991，1995——2000，2002中国建筑史1995——2001建筑构造1996，2002建筑技术(构造、结构)1998——1999，2002建筑设计1995——2000建筑设计基础2004建筑设计原理1995——1996建筑物理1999，2002素描1995——1998素描色彩1999素描与色彩画2002色彩画1995——1998西方美术史1999中、西美术史1997——1998中西美术史1995——1996，1998中西美术史及其理论1999创作与设计1999无线电工程系专业基础综合（信号与系统、数字电路）2004——2006专业基础综合（含信号与系统、计算机结构与系统、线性电子线路）2003 通信原理1994，1999——2003（1999有答案）信号与系统1997——2002数字电路与微机基础1998——2002模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002电磁场理论2001，2003——2004微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）应用数学系高等代数1997——2005数学分析1995——2005概率论2003常微分方程2004物理系量子力学2001——2005普通物理2001——2005光学1997——1998，2000——2004热力学统计物理2001电磁场理论2001，2003——2004人文学院政治学原理2008法学理论2004法学综合（法理学）（含刑法学与刑事诉讼法学、宪法学、行政法学与行政诉讼法学）2004法学综合（民商法学）（含宪法学、法理学、行政法学与行政诉讼法学）2004 法学综合（宪法学与行政法学）（含刑法学与刑事诉讼法学、法理学、民商法学与民事诉讼法学）2004民商法学2004宪法和行政法学2004外语系二外日语1999——2004二外法语2000——2004（2003有答案）（注：2004年试卷共10页，缺第9页和第10页）二外德语2000——2002，2004二外俄语2000，2002基础英语1999——2002语言学1999——2002翻译与写作1999——2002基础英语与写作2003——2004（2003——2004有答案）语言学与翻译2003——2004英美文学与翻译2004（2004有答案）二外英语2004日语文学与翻译2004交通学院材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005结构力学1993——2006土力学及土质学1993——1997，1999——2005道路交通工程系统分析1994——2004（1994——1998，2003——2004有答案）电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003交通工程学基础1992——2001生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1995——1997流行病学2005卫生综合2004——2005内科学1995——1998建筑研究所中外建筑史和城建史2003中、外建筑史1991——1999，2001外国建筑史1991，1995——2000，2002中国建筑史1995——2001建筑构造1996，2002建筑技术(构造、结构)1998——1999，2002建筑设计1995——2000建筑设计基础2004建筑设计原理1995——1996建筑物理1999，2002学习科学研究中心（无此试卷）远程教育学院计算机软件基础（含数据结构、操作系统、软件工程、编译原理、离散数学）2003 计算机专业基础2002，2004——2005计算机结构与逻辑设计2001年本科生期末考试试题离散数学考研试题集（含97——00年）10元编译原理1993——2001编译原理与操作系统2002操作系统1994——2001数据结构1992——2002机械工程系机械原理1993——2005机械设计2002——2004电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003制冷原理2003——2004制冷原理与设备2000——2002材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005结构力学1993——2006材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005土力学及土质学1993——1997，1999——2005工程结构设计原理2005工程经济2003——2005工程流体力学1998——2005工程热力学2000——2004工程施工与管理2002工程力学2003——2005工程力学2002（样题）钢结构1997——1999环境微生物学2005水污染控制工程1997——2002流行病学2005普通化学1997——1998，2000——2005有机化学2004——2005卫生综合2004——2005管理原理1998——2005，2010（2010为回忆版）（注：2004年试卷共2页，缺第2页）自动控制系自动控制理论1997——2002自动控制原理2004高等代数1997——2005生物科学与医学工程系生物信号处理1999——2003现代生物学2003经济管理学院西方经济学1999——2003，2005，2010（2002——2003有答案）（注：2005、2010年试卷为回忆版）金融学基础2002——2005，2005答案管理原理1998——2005，2010（2010为回忆版）（注：2004年试卷共2页，缺第2页）管理学2000——2002，2005，2007（2000——2002有答案）现代管理学2003——2004，2010（2003有答案）（2010为回忆版）市场营销学1999，2000——2001高等代数1997——2005自动控制理论1997——2002自动控制原理2004运筹学2001体育系（无此试卷）仪器科学与工程系电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003自动控制理论1997——2002自动控制原理2004电磁场理论2001，2003——2004微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）公共卫生学院西方经济学1999——2003，2005，2010（2002——2003有答案）（注：2005、2010年试卷为回忆版）卫生综合2004——2005有机化学2004——2005分析化学1992——2005（1992——2005有答案）物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1996流行病学2005高等教育研究所（无此试卷）软件学院（无此试卷）集成电路学院模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）电磁场理论2001，2003——2004动力工程系结构力学1993——2006土力学及土质学1993——1997，1999——2005工程经济2003——2005工程流体力学1998——2005工程热力学2000——2004工程施工与管理2002热工自动调节原理2001——2004制冷原理2003——2004制冷原理与设备2000——2002电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003传热学2000——2004普通化学1997——1998，2000——2005电子工程系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002半导体物理1996——2005，2010（2010为回忆版）模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002电子线路基础2001——2004电磁场理论2001，2003——2004高等代数1997——2005微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）计算机科学与工程系计算机软件基础（含数据结构、操作系统、软件工程、编译原理、离散数学）2003 计算机专业基础2002，2004——2005计算机结构与逻辑设计2001年本科生期末考试试题离散数学考研试题集（含97——00年）10元编译原理1993——2001编译原理与操作系统2002操作系统1994——2001数据结构1992——2002材料科学与工程系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005钢结构1997——1999金属学2003——2004金属学及热处理1999——2002，2005卫生综合2004——2005电气工程系电工基础2000——2006模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）电磁场理论2001，2003——2004化学化工系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002艺术学系素描1995——1998素描色彩1999素描与色彩画2002色彩画1995——1998西方美术史1999中、西美术史1997——1998中西美术史1995——1996，1998中西美术史及其理论1999创作与设计1999临床医学院生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1995——1997流行病学2005卫生综合2004——2005内科学1995——1998情报科学技术研究所（无此试卷）职业技术教育学院（无此试卷）英语（单考）1999——2000。
东南大学2002年信号与系统考研试卷
东南大学二〇〇二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷请考生注意：试题解答务请考生作在随试题发放的我校专用“答题纸”上！坐在其他答题纸上的解答将被视为无效答题，不予评分试题编号：422 试题名称：信号与系统一、选择题（每题5分，供25分）1、一个线形时不变的连续时间。
其在某激励信号作用下的自然相应为（e-3t+e-t）ε(t),受迫响应为（1-e-2t）ε(t)则下面的说法正确的是：a、该系统一定是二阶；b、该系统一定是稳定系统c、零输入相应中一定包含(e-3t+e-t)ε(t)d、零状态响应中一定包含(1-e-2t)ε(t)2、脉冲信号f(t)与2f(2t)之间具有相同的：a、频宽宽度b、脉冲宽度c、直流分量d、能量e、以上都不对3、假设信号f1(t)的奈奎斯特取样率为ω1，f2(t)的奈奎斯特取样率为ω2，且ω1>ω2 。
则信号f(t)=f1(t+2)f2(t+1)的奈奎斯特取样率为：a、ω1b、ω2c、ω1+ω2d、ω1*ω2e、以上答案都不对4、信号序列{k=0 32，551，438，2323，57}与{k=023,2332,3345,3939,9}的线形卷积等于：a、{736，87297，1402046，3043988，9054334，9633600，9344904，245430，513}b、{513，87297，1402046，3043988，9054334，9633600，9344904，245430，736}c、{9634336，9432201，1647476，3044501，9054334}d、{9054334，9634336，9432201，1647476，3044501}5、对于离散时间系统H(z)=(z-2)/(z-0.5)，下面说法不对的是：a、这是一个一阶系统b、这是一个稳定系统c、这是一个全通系统d、这是一个最小相位系统二、计算题1、（10分）已知信号f(t)的傅利叶变换为F(jω)，求信号d (f(2t+2))/dt的傅利叶变换。
2002考研数一真题解析
P1AP
0
0
，即
淘宝店铺：光速考研工作室
6 0 0 A 0 0 0
0 0 0 相似矩阵具有相同的特征值，知 0 是 A 的特征值，根据特征值的定义，有 0E A A 0
a22
a4 2 2
A 2 a 2 把第2，3列加到第1列 a 4 a 2
22a
a4 2 a
12 2
12 2
提取第1列 (a
解之得， y2 x C2, y x C2 .以 y x0 1 代入，得1 C2 ，所以应取“+”号
且 C2 1. 于是特解是 y x 1 .
方法 2：将
yy
y2
0 改写为 ( yy) 0 ，从而得
yy C1 .
以初始条件
y(0) 1, y(0)
1 2
代
入
，
有
1
1 2
(2) lim F (x) 0, lim F (x) 1; (3) F (x) 右连续.
x
x
我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.
【详解】方法 1：
(A)选项不可能，因为
[ f1(x) f2 (x)]dx f1(x)dx f2 (x)dx 11 2 1
n1
un un1
淘宝店铺：光速考研工作室
淘宝店铺：光速考研工作室
Sn
1 ( u1
1 u2
)( 1 u2
1 u3
)
( 1 u3
1 u4
)
(1)n1( 1 un
1 )
un1
1 u1
(1)n1 1 un1
n 由 lim
u n n
1 0 知，当 n 充分大时， un
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东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1.«Skip Record If...».解：设«Skip Record If...»2.当«Skip Record If...»解：设«Skip Record If...»二、计算（9分×7=63分）1．求曲线«Skip Record If...»的弧长。
解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»2．设«Skip Record If...»偏导数，«Skip Record If...»解：由«Skip Record If...»=«Skip Record If...»3.求«Skip Record If...»解：令«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»4.求«Skip Record If...»(«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»==«Skip Record If...»=«Skip Record If...»5.计算第二型曲面积分«Skip Record If...»其中S是曲面«Skip Record If...»夹于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的部分，积分沿曲面的下侧。
解：记«Skip Record If...»，«Skip Record If...»则«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»6．求常数«Skip Record If...»，使得曲线积分«Skip Record If...»对上半平面的任何光滑闭曲线L成立。
解：7．在曲面«Skip Record If...»«Skip Record If...»上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。
解：设«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»,故所求切平面方程为：«Skip Record If...»,求得在三个坐标轴上的截距分别为:«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»令«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»16三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．讨论级数«Skip Record If...»的敛散性。
解:2．设«Skip Record If...»在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»。
证明对一切«Skip Record If...»，成立«Skip Record If...»。
解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»3．证明积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不一致收敛。
证明:«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»取«Skip Record If...»«Skip Record If...»>«Skip Record If...»)4．证明函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续。
证明：«Skip Record If...»«Skip Record If...»由拉格郎日中值定理,«Skip Record If...»<«Skip Record If...»东南大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明．本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．区间«Skip Record If...»上有无穷多个间断点的函数在«Skip Record If...»上必定不是黎曼可积的．2．对正项级数«Skip Record If...»，若存在«Skip Record If...»，使得当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，那么级数«Skip Record If...»收敛，反之也成立．3．连续函数把有限闭区间映成有限闭区间，即若函数«Skip Record If...»连续，则«Skip Record If...»也必定是某个有限闭区间«Skip Record If...»．4．«Skip Record If...»到«Skip Record If...»得连续可逆变换都是保面积的，即若«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»和它的逆都连续，则对«Skip Record If...»内任一可求面积的区域«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»的面积«Skip Record If...»«Skip Record If...»的面积．二、计算题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)1．求极限«Skip Record If...»2．求极限«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»．3．设在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．令«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．4．求二重积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为正方形区域． 5．求由方程组«Skip Record If...»确定的隐函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的一阶导数«Skip Record If...»．6．将函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处展成幂级数．7．计算曲线积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是椭圆«Skip Record If...»沿顺时针一周．8．计算曲面积分«Skip Record If...»．其中«Skip Record If...»为下半椭球面«Skip Record If...»的上侧．三、(本题满分10分)(1) 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶连续可微，«Skip Record If...»．证明：存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»(2)又若在(1)中只假定«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么(1)的结论是否成立？四、(本题满分12分)设«Skip Record If...»，判别积分«Skip Record If...»的敛散性，包括绝对收敛，条件收敛和发散，并证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续．五、(本题满分12分)证明级数«Skip Record If...»条件收敛．六、(本题满分12分)设函数项级数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上一致收敛于«Skip Record If...»，且对每个«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在上«Skip Record If...»上一致连续，求证«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续．七、(本题满分12分) 讨论方程«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内实根个数．八、(本题满分12分)设«Skip Record If...»(1)证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内有界，并求出上确界．(2)讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内的上确界是否能取到，即«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内是否存在最大值．东南大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例说明．本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上严格单调递增当且仅当对任何«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．2．对«Skip Record If...»上的连续函数«Skip Record If...»，积分«Skip Record If...»为正当且仅当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上恒为正．3．若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都收敛，则级数«Skip Record If...»也收敛．4．若«Skip Record If...»是平面定向光滑曲线，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»．二、计算题(本题共8小题，每小题7分，满分56分)1．求极限«Skip Record If...»．2．记«Skip Record If...»时曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的弧段绕«Skip Record If...»轴旋转所得到的体积，试求常数«Skip Record If...»，是«Skip Record If...»．３．设«Skip Record If...»由方程«Skip Record If...»所确定，试求值«Skip Record If...»．４．设«Skip Record If...»为可微函数，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．记«Skip Record If...»为圆心在原点，半径为«Skip Record If...»的圆．若«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，试求常数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的值．５．已知曲面«Skip Record If...»上点«Skip Record If...»处的切平面平行于平面«Skip Record If...»，求点«Skip Record If...»的坐标及过该点的法线方程．６．求幂级数«Skip Record If...»的收敛域与和函数．７．计算曲线积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为平面«SkipRecord If...»被三个坐标平面所截三角形的边界，并且若从«Skip Record If...»轴正向看去为逆时针方向．８．计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为下半球面«Skip RecordIf...»的上侧，«Skip Record If...»为大于零的常数．三、(本题满分10分)若数列«Skip Record If...»有界，则称«Skip Record If...»为有界变差数列，证明有界变差数列一定是收敛的数列．四、(本题满分10分)设悬链线方程为«Skip Record If...»．它在区间«Skip Record If...»上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为«Skip Record If...»与«Skip Record If...»．该曲边梯形绕«Skip Record If...»轴旋转一周所得旋转体的体积，侧面积和«Skip RecordIf...»处的端面积（即截面面积）分别记为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»．证明：(1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»,«Skip Record If...»;(2) «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,«Skip Record If...»;(3)«Skip Record If...»．五、(本题满分10分)若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且对任何«Skip RecordIf...»，积分«Skip Record If...»与«Skip Record If...»«Skip Record If...»无关，证明«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为常数．六、(本题满分10分)证明正项级数«Skip Record If...»收敛．七、(本题满分10分)令«Skip Record If...»为连续的，满足«Skip Record If...»，假设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内存在，且具有«Skip Record If...»．证明对所有«Skip Record If...»成立．八、(本题满分12分)设积分«Skip Record If...»绝对收敛，证明函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续．东南大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．若定义在«Skip Record If...»上的函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且有«Skip Record If...»<0，则必有«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．2．若函数«Skip Record If...»恒正且连续，反常积分«Skip Record If...»收敛，则必有«Skip Record If...»．3．如果«Skip Record If...»是任一实数数列，且满足«Skip Record If...»«Skip Record If...»,那么«Skip Record If...»一定是基本列．4．函数项基数«Skip Record If...»在其定义区间«Skip Record If...»上市连续函数．二、计算题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)1．求极限«Skip Record If...»．2．求极限«Skip Record If...»．3．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»且«Skip Record If...»o«Skip Record If...»«Skip Record If...»，计算积分«Skip Record If...»．4．求二重积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»．5．设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是由方程«Skip Record If...»所定义的«Skip Record If...»的函数，且«Skip Record If...»与«Skip Record If...»具由连续的一阶偏导数，求«Skip Record If...»．6．设«Skip Record If...»，计算«Skip Record If...»．7．计算曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转而成的曲面的外侧．8．计算曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是从«Skip Record If...»沿«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的一段曲线．三、(本题满分12分)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二次可导，«Skip Record If...»，又存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有且仅有两个零点．四、(本题满分12分)设«Skip Record If...»，试分析«Skip Record If...»在原点处的连续性和可微性．五、(本题满分12分)(1) 设«Skip Record If...»定义于区间«Skip Record If...»上，请叙述«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续的定义；(2)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»以«Skip Record If...»为渐近线，证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续．六、(本题满分12分)讨论级数«Skip Record If...»的敛散性．七、(本题满分12分)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，令«Skip Record If...»，证明：若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上非负，且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续．八、(本题满分10分)设«Skip Record If...»中的数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，证明：(1)若«Skip Record If...»有界，则«Skip Record If...»有界；(2)若«Skip Record If...»收敛，则«Skip Record If...»收敛．东南大学200７年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．定义函数«Skip Record If...»，则其在闭区间«Skip Record If...»上黎曼可积．２．若函数«Skip Record If...»均在某有界区间上一致连续，则它们的积«Skip Record If...»也在该有界区间上一致连续．３．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致收敛，则对任意«Skip Record If...»，«Skip Record If...»收敛．４．如果«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，那么有如下等式成立：«Skip Record If...»．二、计算题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)1．求极限：«Skip Record If...»．２．求极限：«Skip Record If...»．３．求«Skip Record If...»的«Skip Record If...»展开式．４将函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处展开成幂级数．５．设«Skip Record If...»，计算积分«Skip Record If...»．６．设方程«Skip Record If...»，求隐函数的偏导数«Skip Record If...»．７．求曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．８．计算曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»．从«Skip Record If...»轴正向往«Skip Record If...»轴负向看，«Skip Record If...»的方向是顺时针的．三、(本题满分10分)设«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，证明数列«Skip Record If...»收敛．四、(本题满分12分)设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在«Skip Record If...»阶导数，满足«Skip Record If...»，证明：存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．五、(本题满分12分)讨论反常积分«Skip Record If...»的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛），其中«Skip Record If...»．六、(本题满分12分)在«Skip Record If...»上定义函数«Skip Record If...»如下：«Skip Record If...»(1)求该函数的连续点与间断点；(2)讨论不连续点的类型，能否重新定义函数在其不连续点的值，使之在«Skip Record If...»上连续？七、(本题满分12分)设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明：«Skip Record If...»．八、(本题满分12分)设连续函数序列«Skip Record If...»在有界闭区域«Skip Record If...»上一致收敛于«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...»．一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．区间«Skip Record If...»上的一致连续的函数总是有界的．2．若有界函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»可积，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上至多有有限个间断点．３．若«Skip Record If...»的收敛半径为«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»收敛，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上一致连续．４．若函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处不可微，则函数«Skip Record If...»在该点的所有方向导数不可能都存在．二、(本题共6小题，每小题8分，满分48分)5．求极限«Skip Record If...»．６．求函数«Skip Record If...»的极值及曲线«Skip Record If...»的拐点．７．令«Skip Record If...»，变换方程«Skip Record If...»．８．求二重积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»围成．９．设曲线«Skip Record If...»是由球面«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»的交线，求积分«Skip Record If...»．10．计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为抛物面«Skip Record If...»在平面«Skip Record If...»下面的部分，方向去下侧．三、证明题(本题共6小题，每小题10分，满分60分)11．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可导，假定«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，证明存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．12．证明«Skip Record If...»．13．设«Skip Record If...»为连续偶函数，试证明«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为正方形：«Skip Record If...»．14．证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»上可微．15．设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上连续可微函数，证明：曲面«Skip Record If...»上任一点«Skip Record If...»处的法向量与向量«Skip Record If...»及«Skip Record If...»共面．16．设«Skip Record If...»是非空集合，定义«Skip Record If...»上的函数«Skip Record If...»为，«Skip Record If...»称它为点«Skip Record If...»到集«Skip Record If...»的距离．证明(1)当且仅当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．(2)对任意«Skip Record If...»，有不等式 «Skip Record If...»．四、讨论题(本题共2小题，每题9分，满分18分)17．讨论级数«Skip Record If...»的敛散性，其中«Skip Record If...»为实数．18．讨论反常积分«Skip Record If...»的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．东南大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试卷一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题6分，满分24分)1．«Skip Record If...»上每个单调函数至多有可列个间断点．2．在有界闭区间«Skip Record If...»上«Skip Record If...»可积的函数必在«Skip Record If...»上有原函数．3．若«Skip Record If...»非负、单调递减，且«Skip Record If...»，则级数«Skip Record If...»收敛．4．曲线«Skip Record If...»上每一点的某邻域内都可确定隐函数«Skip Record If...»．二、计算题(本题共6小题，每小题8分，满分48分)5．求极限 «Skip Record If...»．6．求极限«Skip Record If...»．７．求幂级数«Skip Record If...»的和函数．«Skip Record If...»．８．求曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线方程．９．计算曲线积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»的一段．１０．计算曲面积分«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是由曲线«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转所成的旋转曲面，取外侧．三、解答题(本题共8小题，前6小题每题10分，后2小题每题9分，满分78分)11．给定实数«Skip Record If...»及«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»．(1)证明极限«Skip Record If...»存在，记为«Skip Record If...»；(2)证明«Skip Record If...»是开普勒方程«Skip Record If...»的唯一解．(3)记«Skip Record If...»是由开普勒方程确定的，试证明«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的连续可微函数，并求出«Skip Record If...»．12．设函数«Skip Record If...»是上半连续的，即对任意给定的«Skip Record If...»及«Skip Record If...»，存在一个«Skip Record If...»，使得若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有上界，且在某个点«Skip Record If...»处达到它的最大值．13．设«Skip Record If...»在开区间«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内必定是非一致连续的．若«Skip Record If...»是有限开区间，且«Skip Record If...»，问«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内也必定是非一致连续的？14．设«Skip Record If...»，求证：(1)«Skip Record If...»,(2)极限«Skip Record If...»存在，并求出此极限值．15．设«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内有二阶导数，且«Skip Record If...»．证明：(1)函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内恰有两个零点；(2)至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．16．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某邻域内有二阶连续导数，且«Skip Record If...»．证明：级数«Skip Record If...»绝对收敛．17．设«Skip Record If...»，讨论«Skip Record If...»在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数是否存在．18．证明反常积分«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»一致收敛，其中«Skip Record If...»为常数．。