东南大学2001年数学分析考研试题
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ). (2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f +∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t 有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x x e e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可. 直接将arctan x展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑ =12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑. 六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==.于是由斯托克斯公式得 222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰ =(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dzdxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt =-将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ① (0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有 112211222132110,0,0,0.s s st k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (*) 因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A EB E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001考研数学一试题及答案解析
2001考研数学一试题及答案解析2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设12(sin cos )xy eC x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分の积分次序:--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X の方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =则)(x f y '=の图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A )(0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处の法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线??==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线?==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导の充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B ) 01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设111140011110000,,1111000011110000A B==则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 则X 和Y の相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x ?=?,(1,1)|3fy=?,()(,x f x ?= (,))f x x .求13)(=x x dxd ?.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +?≠?=?将)(x f 展开成x の幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn の和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=?,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x の交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内の任一0x ≠,存在惟一の)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程) ()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =の一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =の一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:(1)在发车时有n 个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率; (2)二维随机变量(,)X Y の概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(の数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解の形式可知特征方程の两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r=?. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r++=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --??是二重积分の一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=?.由累次积分の内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=?.(4)【分析】矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-?=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】当0x <时,()f x 单调增'()0f x ?≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ?:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导の关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数?(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ±-=±，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线の参数方程为,0,(,0),x t y z f t =??=??=?它在点(0,0,(0,0))f 处の切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=?00()()lim lim x x f x f x x x→+→-?=?.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim 1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=?=--,由此可知201lim (1cos )h f h h→-? ? '(0)f + ?. 若()f x 在0x =可导?(A )成立,反之若(A )成立?'(0)f + ??'(0)f ?.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不?.关于(D ):若()f x 在0x =可导,?''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ?(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →?-=?()f x 在0x =连续,?()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠?=?=?满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不?.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=?=?-(当它们都?时).注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ??(C )成立.反之若(C )成立?0()lim t f t t →(即 '(0)f ?).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不?. 因此,只能选(B ).(4)【分析】由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A の特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同の特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同の正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ??=与1003B ??=, 它们の特征值不同,故A 与B 不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】解本题の关键是明确X 和Y の关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρの绝对值等于1の充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数の定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+??=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e---++??=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ?===. 求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dx===,归结为求'(1)?.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dx=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ?=++. 注意'1(1,1)(1,1)2f f x ?==?,'2(1,1)(1,1)3f f y==?. 因此'(1)23(23)17=++=,31()|31751x d x dx==?=.五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑??,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121nnn xn n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-?=-=?-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L の定向,按右手法则S 取上侧,S の单位法向量(cos ,cos ,cos )n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ=---??=[(24(26(22Sy z z x x y dS --+--+--??=(423)(2)(6)S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是==按第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)D DI x y x y dxdy =+-=-+-??, 其中D 围S 在xy 平面上の投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴の对称性及被积函数の奇偶性得 ()0Dx y dxdy -=??21224DI dxdy =-=-=-??.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ?∈-,0,(0,1)x θ≠?∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f の定义.由题(1)中の式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---?=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆の体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.44,()()z x z yx h t y h t ??=-=-??.()xyxyD D S t dxdy ==??.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤. ?2(03()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==+=用先二后一の积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dz dxdy =?,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=?. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少の速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t の表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米の雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =の解.从12,,s ααα是0Ax =の基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关の条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=??+=??+=+=?(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ??=??-??,所以000103012B ??=-??.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Ym X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--?-≤≤=十二、【解】易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσの一个容量为n の简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n i i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差の无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001-数一真题、标准答案及解析
【】 【答】应选（D）
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】 应选(A) 【详解】 因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2
2001数学一考研真题
2001数学一考研真题2001数学一考研真题：探索数学的魅力2001年的数学一考研真题，是一道引人深思的数学难题，它不仅考察了考生的数学能力，更是向我们展示了数学的深奥和魅力。
在这篇文章中，我们将一起探索这道题目，并从中领悟到数学的美妙之处。
首先，让我们来看看这道考题的内容。
题目要求我们求解一个关于三角函数的方程，并给出了该方程的一个近似解。
我们需要使用牛顿法来逼近方程的解，并计算出该解的近似值。
这道题目看似简单，但其中隐藏着许多数学的原理和方法。
首先，我们需要了解牛顿法的基本原理。
牛顿法是一种用于求解方程近似解的数值计算方法，它基于泰勒级数展开的思想，通过不断迭代逼近方程的解。
在这道题目中，我们需要根据给定的近似解，利用牛顿法逐步逼近方程的解，直到满足给定的精度要求。
接下来，我们需要运用三角函数的性质和相关的数学知识来解决这道题目。
三角函数是数学中的重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在这道题目中，我们需要利用三角函数的周期性和对称性来简化计算过程，并提高计算的效率。
此外，解决这道题目还需要一定的数值计算能力和编程技巧。
在计算机科学的发展中，数值计算和编程已经成为了不可或缺的工具。
通过编程，我们可以利用计算机的高效计算能力，快速求解复杂的数学问题。
在这道题目中，我们可以使用Python等编程语言来实现牛顿法的迭代过程，并计算出方程的近似解。
通过解析这道考题，我们可以看到数学的美妙之处。
数学是一门抽象而又具体的学科，它不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的逻辑思维和分析能力。
数学的魅力在于它的严谨性和普适性，它是一种通用的语言，可以用来描述自然界的规律和人类思维的模式。
在解决数学问题的过程中，我们需要运用数学的方法和原理，并发挥我们的创造力和想象力。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过学习数学，我们可以培养我们的思维能力和创新能力，提高我们解决问题的能力。
2001-数一真题、标准答案及解析
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
（2）设函数
f
( x,
y)
在点 (0, 0)
附近有定义，且
f
' x
( 0, 0)
=
3,
f
' y
( 0, 0 )
= 1，则
| （A） dz = 3dx + dy. (0,0)
（B）曲面 z = f ( x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相
关系数等于
（A）-1
（B）0
（C） 1 2
（D）1 【】
-5-
【答】 应选（A）
【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1
∫ ∫ (3)交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f ( x, y)dx =
−1 2
.
∫ ∫ 【答】
2
dx
1− x
f
( x, y)dy .
1
0
【详解】 因为
∫ ∫ ∫ ∫ 0 dy
1−y f ( x, y)dx = −
0
dy
2
f ( x, y)dx,
−1 2
−1 1− y
积分区域为
D = {( x, y) | −1 ≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},
ex cos x 线性无关，故 b (c1 − c2 ) + cc1 = 2c2 , b (c1 + c2 ) + cc2 = −2c1 ，解得 b = −2, c = 2
2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 divgrad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂ =222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是 divgra d r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分是二重积0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵的元素没A 有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x>时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面在(,)z f x y =(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点处的切(0,0,(0,0))f 向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0l i m ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但在处不连续()f x 0x =,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t →(即 '(0)f ∃).因为只要有界()f t t ,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵的特征A 值是4,0,0,0.又因是实对称A 矩阵,A 必能相似对角化,所以与对角矩A 阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知与有相同的A B 特征值,从而二次型与T x Ax T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关XY系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数的绝XY ρ对值等于1的充要条件是随机变量与之间XY存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有(,)1XY Cov X Y DXDX DY DX DYρ-===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x x x xde de e e e e---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x xe e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将展成arctan x 幂级数,然后约去因子x ,再乘上并化简21x +即可. 直接将展开办arctan x不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n n n n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当时0x=取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记为平面上所S2x y z ++=L为围部分.由L的定向,按右手法则取S 上侧,S 的单位法向量1(cos ,cos ,cos )(1,1,1)3n αβγ== .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=111[(24)(26)(22)]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰ =22(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS -++++=-+-⎰⎰⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得2(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中围在平面D S xy 上的投影区域||||1x y +≤(图）.由关于轴的对D ,x y 称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒ 21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对使用的定义'()f x θ''(0)f .由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x ff x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=, 解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设时刻雪堆的t 体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒ 22222()16()()1()()()xyxyD D z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t ∂∂++=++=∂∂⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则1:02,0()2xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒12()2220013()222221()()16()2113[()16]|().()4812h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t πθππ=+=⋅+=⎰⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dz dxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即将与的表达0.9dV S dt =-()V t ()S t 式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于是线性组(1,2)i i s β= 12,,s ααα 合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为(1,2)i i s β= 0Ax =的解.从是的基础解12,,s ααα 0Ax =系,知()s n r A =-.下面来分析线12,,s βββ 性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于线性无关12,,s ααα ,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*) 因为系数行列式1221121122100000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而线性无关12,,s βββ .十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体的一个容2(2,2)N μσ量为的简单随n 机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001数一数三考研数学真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设生产函数为Q AL K αβ=,其中Q 是产出量,L 是劳动投入量,K 是资本投入量,而,,A αβ均为大于零的参数,则当1Q=时K 关于L 的弹性为.(2)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元,若以i W 表示第i 年的工资总额(单位:百万元),则t W 满足的差分方程是.(3)设矩阵111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩()3r A =,则k = .(4)设随机变量和的数学期望分别为2-和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-,则根据切比雪夫不等式{6}P XY +≥≤.(5)设总体X 服从正态分布2(0,2)N ,而1215,,,X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++L L 服从 分布,参数为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 的导数在x a =处连续,又'()lim1x af x x a→=--,则 (A ) x a =是()f x 的极小值点. (B ) x a =是()f x 的极大值点. (C ) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点(D ) x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.(2)设0()()xg x f u du =⎰,其中21(1),01,2()1(1),12,3x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内(A ) 无界(B ) 递减(C ) 不连续(D ) 连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中A 可逆,则1B -等于 (A ) 112A P P -.(B ) 112P A P -.(C ) 112P P A -.(D ) 121P A P -.(4)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭=秩()A ,则线性方程组(A ) AXα=必有无穷多解.(B ) AX α=必有唯一解.(C ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解. (D ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于(A ) 1-.(B ) 0.(C )12.(D ) 1.三、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续的一阶偏导数,又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin x txte dt t-=⎰, 求du dx.四、(本题满分6分)已知()f x 在(,)-∞+∞内可导,且lim '(),lim()lim[()(1)],xx x x x c f x e f x f x x c→∞→∞→∞+==---求c 的值.五、(本题满分6分) 求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成的平面区域.六、(本题满分7分)已知抛物线2y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且此抛物线与x 轴围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足110(1)()(1),x k f k xe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1)ξ∈,使得1'()(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7分) 已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数),且(1)n ef n =,求函数项级数1()n n f x ∞=∑之和.九、(本题满分9分)设矩阵111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,112β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.已知线性方程组Ax β=有解但不唯一,试求: (1)a 的值;(2)正交矩阵Q ,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A 为n 阶实对称矩阵,秩(),ij A n A =是()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(,1,2,i j =,)n L ,二次型1211(,,,)n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑L .(1)记12(,,,)Tn X x x x =L ,把12(,,,)n f x x x L 写成矩阵形式,并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2)二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范型是否相同?说明理由.十一、(本题满分8分)一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0,977.((2)0,977,φ=其中()x φ是标准正态分布函数.)十二、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形{(,)13,13}G x y x y ≤≤≤≤上的均匀分布,试求随机变量U X Y =-的概率密度()p u .2001年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 当1Q =时,1AL K αβ=,等式两边对L 求导得110.dK dK KAL K AL K dL dL Lαβαβααββ--=+⇒=- 由弹性计算公式知,当1Q =时K 关于L 的弹性为.dK L K L dL K L K ααββ⋅=-⋅=-(2)【分析】 由题设知第t 年的工资总额t W (百万元)是两部分之和,其中一部分是固定追加额2(百万元),另一部分比前一年的工资总额1i W -多20%,即是1t W -的1.2倍.于是可得t W 满足的差分方程是11.2 2.t t W W -=+(3)【分析】 由于11133331111111111111(3)111111111111111111k k k k k kk kA k kk kkkk++++===+311110100(3)(3)(1),00100001k k k k k k -=+=+--- 那么()30.r A A =⇒=而1k =时,显然()1r A =,故必有3k =-.(4)【分析】 ()0,E X Y EX EY +=+=()2cov()2D X Y DX X Y DY DX DY ρ+=+++=+143,=+=231{6}.612P X Y +≥≤=(5)【分析】 根据简单随机样本的性质,1215,,,X X X L 相互独立同分布2(0,2)N ,易见11022X X ++L 与111522X X ++L 也相互独立.并且由于2~(0,2)i X N ,故 1101522222101222221511111~(0,1),()()()~(10),22241()()()~(5).224i X X X N X X X X X X χχ++=++++=++L L L L从而有11011011151115222222221()104~(10,5).12()()54X X X X F X X X X ++++=++++L L L L 即~(10,5)Y F .因此第1空应填:F ,第2空应填:(10,5).二、选择题(1)【分析】 排除法.取21()()2f x x a =--,易验证()f x 满足题目条件,但x a =是()f x 的极大值点而不是极小值点,故(A )和(D )不正确,又(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点,故(C )也不正确.所以应选(B ).(2)【分析】 可直接用已有结论“若()f x 在[,]a b 上可积,于是0()()xg x f u du =⎰是[,]a b 上的连续函数”.本题中()f x 在[0,2]上分段连续,且有界,从而在[0,1]上可积,于是0()()xg x f u du =⎰在[0,2]上连续,故应选(D ).(3)【分析】 把矩阵A 的14、两列对换,23、两列对换即得到矩阵B ,根据初等矩阵的性质,有 12B APP =或21.B AP P =那么1121()B AP P --==11111212P P A PP A ----=.所以应选(C ).(4)【分析】 因为“0Ax =仅有零解”与“0Ax =必有非零解”这两个命题必然是一对一错,不可能两个命题同时正确,也不可能两个命题同时错误.所以本题应当从(C )或(D )入手.由于0TA αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦是1n +阶矩阵,A 是n 阶矩阵,故必有 () 1.0T A r r A n n αα⎡⎤=≤<+⎢⎥⎣⎦因此(D )正确.(5)【分析】 依题意Y n X =-,因此X 和Y 的相关系数等于1-,应选(A ).事实上,(,)(,),,Cov X Y Cov X n X DX DY DX =-=-=因此1.XY ρ===-三、【解】.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*)由2xyexy -=两边对x 求导,得()()0.xy dy dy dy y e y xy x dx dx dx x+-+=⇒=- ①又由0sin x txte dt t-=⎰两边对x 求导,得 sin()()(1)1.sin()x xx z dz dz e x z e x z dx dx x z --=⋅-⇒=---②将①、②两式代入(*)式,得()[1].sin()x du f y f e x z f dx x x y x z z∂∂-∂=-+-∂∂-∂四、【解】若0c =,则lim() 1.xx x c x c→∞+=-若0c ≠则 2222lim()lim[(1)].x c cxx c c xc x x x c c e x c x c--→∞→∞+=+=-- 由拉格朗日中值定理,有()(1)'()1f x f x f ξ--=⋅,其中ξ介于1x -与x 之间.那么当x →∞时也有ξ→∞,故lim[()(1)]lim '().x x f x f x f e ξ→∞→∞--==于是题设条件可改写为2ce e =,故1.2c =五、【解】积分区域D 如图所示.222211()()22[1]x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中111112(1),3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 22221111()()221x y x y yDxyedxdy ydy xedx ++-=⎰⎰⎰⎰2211(1)21[]0.y y y ee dy +-=-=⎰于是221()22[1].3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六、【分析】 先求出本题中的面积S .此时S 中有两个参数p 和q ,再根据抛物线2y px qx =+与5x y +=相切,求出p 和q 的关系,带入S 中只剩一个参数,最后求S 的最大值.【解】依题意,抛物线如图所示求.得它与x 轴交点的横坐标为10x =,2q x p=-. 面积323202()().326q qppp qq S px qx dx x x p --=+=+=⎰(*)因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切,故他们有唯一公共点,由方程组25,x y y px qx+=⎧⎨=+⎩得2(1)50px q x ++-=.其判别式必等于零,即221(1)200,(1)20q p p q =++==-+V . 将上式代入(*)式得34200().3(1)q S q q =+ 因250,03,200(3)'()0,3,3(1)0,3,q q q S q q q q ><<⎧-⎪===⎨+⎪<>⎩于是当3q =时,()S q 取最大值,此时45p =-.从而得S 的最大值是22532.七、【证明】 分析略令1()()xF x xef x -=,于是(1)(1)F f =,由积分中值定理得,存在满足101c k<<<的c ,使得 1110()()()x e k k xe f x dx ce f c F c --==⎰.由原式110(1)()x k f k xe f x dx -=⎰知,()(1)F c F =.从而()F x 在[,1]c 上满足罗尔定理条件,故存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂,使'()0F ξ=,即11['()(1)()]0.e f f ξξξξξ----=而10e ξξ-≠,故1'()(1)()0f f ξξξ---=,即1'()(1)().f f ξξξ-=-八、【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程'1()(),n xnn f x f x x e --=⇒其通解为()()nxn x f x e C n=+.由条件(1)n ef n=,得0C =,故()n x n x e f x n =.从而111().n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1()nn x S x n ∞==∑,其收敛域为[1,1)-,且(0)0S =,当(1,1)x ∈-时,有111'()1n n s x x x∞-===-∑. 故01()(0)'()ln(1).1xxS x S S t dt dt x t=+==---⎰⎰由()S x 与ln(1)x --在1x =-的连续性知,上述和函数公式在1x =-处也成立.于是,当11x -≤<时,有1()()ln(1).x x n n f x e S x e x ∞===--∑九、【分析】 方程组有解且不唯一,即方程组有无穷多解,故可由()()3r A r A =<来求a 的值.而T Q AQ Λ=即1Q AQ Λ-=,为此应当求出A 的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q .【解】对方程组Ax β=的增广矩阵作初等行变换,有211111111111101100110112011200(1)(2)2a a a A a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----++⎣⎦⎣⎦⎣⎦.因为方程组有无穷多解,所以()()3r A r A =<,故2a =-.112121121211211E A λλλλλλλλλ---=-+-=-+-----11110012113(3)(3)211233λλλλλλλλλ=-+-=-+=+-----,故矩阵A 的特征值为:13λ=,20λ=,33λ=-.当13λ=时,由212151(3)0,151090,212000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=的特征向量1(1,0,1)T α=-.当20λ=时,由112112(0)0,121033,211000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值0λ=的特征向量2(1,1,1)T α=.当33λ=-时,由412111(3)0,111012,214000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=-的特征向量3(1,2,1)Tα=-.实对称矩阵的特征值不同时,其特征向量已经正交,故只需单位化.1231110,1,2.111βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥===-⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦那么令123(,,)0,Q βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦得1.T Q AQ Q AQ Λ=-3⎡⎤⎢⎥==0⎢⎥⎢⎥-3⎣⎦十、【分析】 如果()T f X X AX =,其中A 是实对称矩阵,那么T X AX 就是二次型()f X 的矩阵表示,为此应读出双和号的含义.两个二次型如果其正负惯性指数相同,他们的规范形就一样,反之亦然.而根据惯性定理.经坐标变换二次型的正负惯性指数不变,因而规范形相同.【解】 由于1211(,,,)n n ij n i j i j A f x x x x x A ===∑∑L11121121222212121(,,,),n n n n n nn n A A A x A A A x x x x A A A A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L L M M M M L因为()r A n =,知A 可逆,又因A 是实对称的,有111()()T T A A A ---==. 得知1A A A*-=是实对称矩阵,于是A *是对称的,故二次型()f X 的矩阵是1A -. (2)经坐标变换1X A Y -=,有1111()()()()()T T T T T g X X AX A Y A A Y Y A Y Y Y A Y f Y ----=====,即()g X 与()f X 有相同的规范形.十一、【解】 设(1,2,,)i X i n =L 是装运的第i 箱的重量(单位:千克),n 是所求箱数.由条件可以把12,,,n X X X L 视为独立同分布随机变量,而n 箱的总重量12n n T X X X =+++L 是独立同分布随机变量之和.由条件知5;i EX ==50i ET n ==单位:千克). 根据列维-林德伯格中心极限定理,n T 近似服从正态分布(50,25)N n n .箱数n 决定于条件{5000}0.977(2)n p T P φφ≤=≤≈>=.2>,从而98.0199n <,即最多可以装98箱.十二、【解】 由条件知X 和Y 的联合密度为 1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若其他.以(){}()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数.显然,当0u ≤时,()0F u =,当2u ≥时,()1F u =.当02u <<时,如图,则(,)1()(,)4x y u x y ux y G F u f x y dxdy dxdy -≤-≤∈==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--. 于是,随机变量U 的概率密度为1(2),02,()20,.u u p u ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩若其他。
2001年考研数学一真题
f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数
f (0,0) f (0,0) ,不保证曲面 z f ( x, y ) 在 , x y
f (0,0) f (0,0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ， ， 1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x
f ( x) 单调增 f ' ( x) 0 ,(A),(C)不对;
f ( x) :增——减——增 f ' ( x) :正——负——正,(B)不对,(D)对.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系 .由 微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设
f ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 f ( x, y ) 在(0,0)处可
=(
于是
divgradr| (1, 2,2) =
2 2 |(1,2,2) . r 3
y 0时
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 1
1 y 2 .由此看出二次积分 dy
1
0
2
1 y
f ( x, y)dx 是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
y'' 2 y' 2 y 0 .
(2)【分析】 先求 gradr. gradr=
r r r x y z , , , , . x y z r r r
再求
divgradr=
x y z ( ) ( ) ( ) x r y r z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 y 2 z 2 2 3 )( 3 )( 3 ) . r r r r r r r r3 r
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）设)sin cos (21x C x C e y x +=（21,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ． 【答案】220y y y '''-+=【考点】二阶常系数线性齐次微分方程 【难易度】★★【详解】解析：由通解知对应的特征根为1,21,i λ=±从而特征方程为1)1(2-=-λ即0222=+-λλ于是所求方程为220y y y '''-+=. （2）设222z y x r ++=，则)2,2,1()grad (-r div ＝ ．【答案】23【考点】散度的计算 【难易度】★★★【详解】解析：根据定义有r r r x y z gradr i j k i j k x y z r r r∂∂∂=++=++∂∂∂ 2222222333322()x y z r x r y r z r r r r div gradr x y z r r r r r⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++==∂∂∂ 于是 (1,2,2)22222()|31(2)2div gradr -==+-+（3）交换二次积分的积分次序：=⎰⎰--x y x f y yd ),(d 1201．【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】解析：因为1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰积分区域为 {}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤又可将D 改写为{}(,)12,12,D x y x x y =≤≤-≤≤所以1022012111(,)(,)(,)yyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy -----=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰（4）设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则1)(--E A ＝ ．【答案】1(2).2A E + 【考点】逆矩阵的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 若E AB =，则A 与B 互逆； 解析：由题设，240,A A E +-= 有()()22,A E A E E -+=即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故()()1122A E A E --=+.（5）设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P ．【答案】12【考点】切比雪夫不等式 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：切比雪夫不等式：2}{εεDXEX X P ≤≥-或21}{εεDXEX X P -≥≤-解析：{}2()1()222D X P XE X -≥≤=. 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．）（1）已知函数)(x f y =在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数)(x f y '=的图形为（ ）【答案】D【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】解析：由图可知)(x f 有两个极值点，横坐标分别记作)(,2121x x x x <，故)(x f '在且仅在这两处的值为0，故选D 。
【高等数学 东南大学】2001级高数(下)期终试卷答[1]
![【高等数学 东南大学】2001级高数(下)期终试卷答[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/608a12d148d7c1c709a145a0.png)
1 n
x2n
n1
(1)n 2n 1
x2n
(1)n [
n1 2n 1
1 ]x2n 2n
x (1,1)
5、计算积分 ( y z)dS，其中 为下半球面 z R2 x2 y2。
解：zx
R2
x x2
y2
,zy
y R2 x2 y2
dS
1
zx2
z
2 y
dxdy
R
dxdy
R2 x2 y2
即 2x y 2z 7 0 切线方程为2x y 2z 7 0
x y z 4
3、计算三重积分[(x y)2 z2 ]dV，其中 是
曲面z 1 x2 y2 与 z 0 所围成的区域。
解：由对称性得[(x y)2 z2]dV ( x2 y2 z2 )dV
用球面坐标计算可得：
Fx 2x 2 yz, Fy 2xz, Fz 2xy ez
z x
|(1,0)
2x 2 yz 2xy ez
|(1,0,1)
2 e
z y
|(1,0)
2xz 2xy
e
z
|(1,0,1)
2 e
2、交换积分次序:
2
4 x2
dx f ( x, y)dy
0
x2
0
y2
4
4 y
(C ) x y 2 z 4
2 3
1
(D) 2x 3( y 2) (z 4) 0
二 填空题
1、设 z z( x, y)由方程 x2 2xyz ez e 1 确定，
则 dz |(1,0)
2 (dx dy) e
解：设 F ( x, y, z) x2 2xyz ez e 1
2001年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
= arctan ( sin t ) + C ⎛ x = arctan ⎜ 2 ⎝ 1+ x
x
⎞ ⎟ + C. ⎠
⎛ sin t ⎞ sin t −sin x , 记此极限为 f ( x ) , 求函数 f ( x ) 的间断点并指出其类型. 四、求极限 lim ⎜ ⎟ t → x sin x ⎝ ⎠
∫
π
2
−
3 2 2 2 2 π ( x cos x + sin x cos x )dx = ∫ π 2
1 2 sin 2 xdx − 4 2
π
= =
1 π 2 π (1 − cos 4 x )dx 8 ∫− 2
π
8
.
(4)过点 ⎜ 【答】
y ⎛1 ⎞ = 1 的曲线方程为 , 0 ⎟ 且满足关系式 y ' arcsin x + ⎝2 ⎠ 1 − x2
=
1 (c + x) , arcsin x
1 ⎛1⎞ y⎜ ⎟ = 0 ⇒ c = − . 2 ⎝2⎠
故曲线方程为：
1 y arcsin x = x − . 2
⎡ a 1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (5)设方程 1 a 1 x2 = 1 有无穷多个解,则 a = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 a ⎣ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ −2 ⎥ ⎦
(3)
∫ π (x
2 − 2
π
3
+ sin 2 x ) cos 2 xdx =
.
【答】
π
8
在区间 ⎢ −
【详解】 故
⎡ π π⎤ , ⎥ 上, x3 cos 2 x 是奇函数, sin 2 x cos 2 x 是偶函数, ⎣ 2 2⎦
数2--01真题初步答案
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 （1）1x →=【答】【详解】112(1)lim (1)(2)x x x x x →→-=-+112x x →=+6=-(2)设函数y =f (x )由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定,则曲线y =f (x )在点(0,1)处的法线方程为 . 【答】 x −2y +2=0. 【详解】在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导,得2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为11,2y x -=即 x −2y +2=0. (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰【答】8π 【详解】 在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故()()322322222222221sin cos cos sin cos sin 24xx xdx x x x x dx xdx ππππππ---+=+=⎰⎰⎰221(1cos 4)8x dx ππ-=-⎰ .8π=(4)过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x +=的曲线方程为 .【答】1arcsin .2y x x =- 【详解】 方法一:原方程'arcsin 1y x =可改写为()'arcsin 1,y x =两边直接积分,得arcsin .y x x c =+又由1()0,2y =解得1.2C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2y x x =-方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x=解得11(),arcsin arcsin y e C e dx C x x x -⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰又由1()0,2y =解得1.2C =-故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-(5)设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 【答】 -2【详解】 方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112a aA a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦()()()()1120113,001222a a a a a a -⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11a a a a a=+-= 解得a =−2 或a =1.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当a =1时,原方程无解,因此只能是a =−2.二、选择题(1)设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩（2）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比()1nx e -高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 （ C ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3（4）已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数，'()f x 严格单调减少，且(1)'(1)1,f f ==则 （ A ）（A ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <.（B ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.（C ）在(1,1)δ-内，()f x x <.在(1,1)δ+内，()f x x >. （D ）在(1,1)δ-内，()f x x >.在(1,1)δ+内，()f x x <.（5）设函数f (x) 在定义域内可导，y= f(x) 的图形如右图所示，则导函数y= f' (x) 的图 形为 （ ）三、求22.(21)1dxxx ++⎰解 设tan ,x u =则2sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du uduu u u u ==++⎰⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C =+ 2arctan()1x C x=++四、设函数z = f(x,y)在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=五、设()x ρρ=是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径，()s s x =使该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
2001考研数一真题答案及详细解析
一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )xy e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =±从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+=于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gr adr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度d ivA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222xx y z=++222x x y z =++xr=2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2rr xx r∂-∂=2x r x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -=类似可得r y y r ∂=∂，22r y ∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -=根据定义有()div gradr 222222r r r x y z ∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++222233r x y z r ---=2233r r r-=232r r =2r =2222x y z =++于是(1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy-=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E +【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E-+=Oxyx+y=1x=21即()()12,2A E A E E -⋅+=故()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=.因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1}，可排除(B)；曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x x y z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为{}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为001()()lim (1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅--0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0limx x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =,在0x =处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim lim h h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim (sin )lim h h h h f h h h h→→--=30sin lim h h h h h →-=⋅其中，30sin limh h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h hh → 等16=根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C).又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()11111000(4)000000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q ,使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.因此，A B 与也合同.即A B 与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ==即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故()DY D n X DX=-=由方差的定义：22()DX EX EX =-,所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：c ov(,)0X c =(c 为常数)；c ov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以c ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX=-=-=-=-由相关系数的定义，得c ov(,)(,)1X Y DX X Y DX DYDX DXρ-===-三【详解】2a rctan x x e dx e⎰2a rctan x x e e dx -=⎰()21arctan 22x xe e d x -=--⎰()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de ee -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰22211arctan 21x x x x x x e e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又(1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将a rctan x 展开.因为()a rctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰22100(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰，()1,1x ∈-于是21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x x n n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x xn n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑，()1,1,0x x ∈-≠又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立.进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛，2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctanx x xx x --→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =，2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x xx x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而221(1)2()114n n n f x x n ∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑因此21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n ∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式，I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dSαβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰[]18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰按第一型曲面积分的算法，将S 投影到x oy ，记为σ.d S 与它在x oy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在x oy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰由111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及{}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++知11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1S z z y z z x x y dxdyx y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy=-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+=把2x y z ++=代入I 中，1L 为L 在x oy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y ∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在y oz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤,可得到y z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤,可得到x z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)D I x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故12324.I I I I =++=-方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--,则,dy dx dz dx =-=-，x 从1到0.以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+---22[(1)1(2)(1)]x x dx=--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz-+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3=当0,0x y ≤≥,2:1,12L y x z x =+=-,则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1-于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx=+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰ 当0,0x y ≤≤,3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅2(2226)x x dx=+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤,4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx=-+所以412222220()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰ 所以123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1)因为()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<于是有[]'()()(0)xf x x f x f θ=-，即[]()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f x θ→-[]0'()'(0)lim ()()x f x x f x x x θθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的[]()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以[]21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+约去x ，有[]1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于[]0'()'(0)lim "(0)()x f x x f f x xθθ→-=，00lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在x oy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h tr h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()D x y dxdy h t +=+⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r r d h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π=由题意知0.9(),dVS t dt =-将上述()V t 和()S t 代入，得32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=-积分解得13()10h t t C =-+由()0130h =,得130C =.所以13()130.10h t t =-+令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ 线性无关.设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++= 由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- )由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,sst t +-≠，即12(),sst t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0A x =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -=，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(2)由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似.由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p .在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有{}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n en λλ-==故{}{}{},|(1)!m mn mn neP X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n n i n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+且1111nin i i i E Xnu E X E X u n nn ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此()()()221211()2nn i n i i n i i i E Y E X X XE X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X XX X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n ni i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑所以()2211(1)ni i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理()2221(1)nn i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而()()()()12121122n n i n i i n ii i E X X X X E X X XX ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,E X EY 都存在，则E XY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX E X u ==211n i n i E X X E X EX u ++==，21212E X X E X E X u ==故有()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()22221ni u u u u ==--+=∑即()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)1、设ye某(ain某bco某)(a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.【分析】这是二阶常系数线性齐次微分方程求解的逆问题，主要考查二阶常系数线性齐次微分方程特征方程与特征根的概念以及由通解形状要能看出对应的特征根。
由于二阶常系数线性齐次方程由其特征方程唯一确定，因此由通解表达式得到对应的特征值后，确定方程，从而得到待求微分方程。
【详解】根据二阶常系数线性齐次方程特征根与通解的对应关系可得：特征根为121i，于是特征方程为(1i)(1i)0，即2220。
故对应齐次微分方程为：y2y2y0。
2、r某2y2z2，则div(gradr)(1,2,2)=_____________.【分析】考查散度与梯度公式与计算。
直接套用公式即可。
【详解】由于gradr{某某yz222,y某yzy某yz222222,zz某yzz222}所以div(gradr)某某某2y2z2yy2z2(某yz)2223某yz某2y2222某2z2(某yz)2223(某yz)22232某yz(1,2,2)222因此div(gradr)233、交换二次积分的积分次序：01dy1y2f(某,y)d某＝_____________.【分析】考查直角坐标系下交换积分次序。
由于某的积分下限大于积分上限，无法画出积分区域的草图，只需先交换一下先积的定积分的上下限即可。
【详解】由于01dy21y2f(某,y)d某dy1021yf(某,y)d某对二次积分01dy1y21y0，于是f(某,y)d某对应的二重积分的积分域为D:1y某201某01dy21yf(某,y)d某d某1f(某,y)dy。
从而01dy1y2f(某,y)d某d某1201某f(某,y)dy。
4、设AA4E0，则(AE)1=_____________.【分析】考查矩阵的简单运算。
2001考研数学一真题及答案
2001考研数学一真题及答案2001考研数学一真题及答案2001年的考研数学一真题是考生们备考的重点之一。
本文将为大家详细解析该年的数学一真题，并提供相应的答案。
希望通过这篇文章的阅读，考生们能够更好地理解和掌握数学一的考试内容。
第一部分：选择题选择题是考研数学一中的常见题型，也是考生们需要熟练掌握的部分。
以下是2001年数学一的选择题部分。
1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，下列结论中正确的是：A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上恒大于 0B. f(x) 在 (-∞, +∞) 上恒小于 0C. f(x) 在 (-∞, +∞) 上有且仅有一个零点D. f(x) 在 (-∞, +∞) 上有两个零点答案：C解析：我们可以通过求导数来判断函数的单调性和极值点。
对 f(x) 求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。
令 f'(x) = 0，解得x = ±1。
将 x = -1 和 x = 1 代入 f(x) 的表达式，可以发现 f(x) 在 x = -1 和 x = 1 处取零值。
由于 f(x) 是一个三次函数，所以在整个实数范围内，f(x) 有且仅有一个零点。
2. 设 A 是一个 n 阶方阵，且满足 A^3 = A，则 A 的特征值可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都有可能答案：D解析：根据矩阵的特征值定义，特征值满足 |A - λI| = 0，其中λ 是特征值，I 是单位矩阵。
由于 A^3 = A，我们可以得到 A^3 - A = 0，即 A(A^2 - I) = 0。
所以 A 的特征值可能是方程 A^2 - I = 0 的根，即 1 和 -1。
同时，由于 A 是一个n 阶方阵，所以 A 的特征值可能还包括 0。
第二部分：填空题填空题是考研数学一中的另一种常见题型，考生们需要根据给定的条件填写相应的数值。
以下是2001年数学一的填空题部分。
1. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若对任意的 x，都有f(x) ≥ 0，则实数 a, b, c 满足的条件是 ______。
东南大学数学分析考研真题
一. 判断题(判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明.本题共4小题,每小题6分,满分24分)1. 若数列{}n a 收敛于0,则必存在正数α,使对一切充分大的n 有1||n a n α≤. 2. 若级数1n n a∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛,那么级数1n n n a b ∞=∑必收敛.3. 函数2()f x 在[,]a b 上黎曼可积当且仅当|()|f x 在[,]a b 上黎曼可积.4. 若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数'00(,)x f x y ,'00(,)y f x y 都存在,则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续.二. 计算题(本题共8小题,每小题7分,满分56分)5.~(0)n ax x →,求a 和n .6. 求函数122(6)()(4)arctan xx x e f x x x+-=-的所有渐进线. 7.求积分11[ln(()],x f x dx -+⎰其中()f x 满足'2()arcsin ,(0)0.f x x f ==8. 求幂级数211(1)2nn n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9. 数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值?并求此最大值.10. 设()z f u =可微,而(,)u u x y =是由方程()()xy u u p t d t ϕ=+⎰确定的函数,其中'(),()p t u ϕ连续且'()1u ϕ≠,求()().z z p y p x x y ∂∂+∂∂ 11. 设函数()f t 满足()1D f t f dxdy =+⎰⎰,其中D 为圆环222244,0a x y t a ≤+≤>为常数.求()f t . 12. 计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为曲面22(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.三. 证明题(本题共6小题,满分70分)13. (本题满分10分)证明()f x =[0,)+∞上一致连续.14. (本题满分12分)设()f x 在[0,1]上二次可微,且(0)(1)0f f ==,证明:存在(0,1ξ∈,使得'''()c o s ()s i n 0f f ξξξξ+=. 15. (本题满分12分) 证明级数111(1)[(1)]n n n e n ∞-=--+∑条件收敛. 16. (本题满分12分)设()f t 为连续函数,证明11()()()()1by b n n a a ady y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰. 17. (本题满分12分)设(,),(,)u x y v x y 是D 上的连续可微函数,D 是由分段光滑闭曲线围成的平面区域,D ∂表示其正向边界.证明D D D v u u dxdy uvdy v dxdy x x∂∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ . 18. (本题满分12分) 证明积分01cos x e xdx x α-+∞-⎰关于[0,1]α∈一致收敛,并由此计算积分01cos x e xdx x -+∞-⎰.。