4.1因式分解北师大版ppt
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4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
课堂小结
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
北师大版八年级数学下册：4.1因式分解课件(共22张PPT)
因式分解
对象？
结果？
作用？
2、因式分解与整式乘法的关系？
当堂检测
1.下列由左到右的变形，哪些是分解因式？为什么？
1).(x+3)(x-3)＝ x2-9 2). x2+x-5＝(x-2)(x+3)+ 否 ) 否 ) 是 ) 是 ) 否 )
4).
5).
做一做
计算下列各式:
2-3x (1)3x(x-1)= 3x _____
根据左面算式填空:
3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______
(2)ma+mb-m=________ (2)m(a+b-1) =__________ ma+mb-m m(a+b-1）
m2-16 (3)(m+4)(m-4)= ____ y2-6y+9 (4)(y-3)2= _______ (m+4)(m-4) (3)m2-16=__________ (y-3)2 (4)y2-6y+9=______
a2b+ab2
= ab(a+b)
=(a+b)2
1 x
a2+2ab+b2
(
(
6). x2 +1＝x(x+
)
2.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，
求ab-ac的值 解: 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, ab-ac=a(b-c) =3.14×(2.386-1.386)
积
整式乘法
和
和
因式分解
积
整式乘法与因式分解:互为逆变形.
快速辨别
下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 整式乘法 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) 2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解
对象？
结果？
作用？
2、因式分解与整式乘法的关系？
当堂检测
1.下列由左到右的变形，哪些是分解因式？为什么？
1).(x+3)(x-3)＝ x2-9 2). x2+x-5＝(x-2)(x+3)+ 否 ) 否 ) 是 ) 是 ) 否 )
4).
5).
做一做
计算下列各式:
2-3x (1)3x(x-1)= 3x _____
根据左面算式填空:
3x(x-1) (1) 3x2-3x=_______
(2)ma+mb-m=________ (2)m(a+b-1) =__________ ma+mb-m m(a+b-1）
m2-16 (3)(m+4)(m-4)= ____ y2-6y+9 (4)(y-3)2= _______ (m+4)(m-4) (3)m2-16=__________ (y-3)2 (4)y2-6y+9=______
a2b+ab2
= ab(a+b)
=(a+b)2
1 x
a2+2ab+b2
(
(
6). x2 +1＝x(x+
)
2.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，
求ab-ac的值 解: 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, ab-ac=a(b-c) =3.14×(2.386-1.386)
积
整式乘法
和
和
因式分解
积
整式乘法与因式分解:互为逆变形.
快速辨别
下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 整式乘法 (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) 2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解
北师大版八年级数学下册【教学课件】 第四章 4.1 因式分解 (共11张PPT)
北京师范大学出版社 八年级 | 下册
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ 2、计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100·(-1)=-2100
）
±140
3、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
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y 2.
(x2+2xy+y2)
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
解:原式 =
=
(x+y)2
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2
(4)81a4-b4
解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法
（3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
（1）、提公因式法：
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如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c） 例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
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分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去
2、分组后可以运用公式
例题：把下列各式分解因式
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版八年级数学下册教学PPT课件4.1 因式分解
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
1
知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形
计算下列各式：
(1)3x(x－1)＝
(3)(m＋4)(m－4)＝
(2)m(a＋b－1)＝
(4)(y－3)2＝
根据上面的算式进行因式分解:
(1)3x2－3x＝(
(3)m2－16＝(
)(
)(
)； (2)ma＋mb－m＝(
)； (4)y2－6y＋9＝( )(
)(
)
)
知2－讲
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念， 因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ；
(2) m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
整数整除？
知1－导
议一议 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式 吗？与同伴交流.
知1－导
做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
知1－导
归
纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都
知1－练
3 【2017· 常德】下列各式由左到右的变形中，属 于分解因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
北师大版八年级下册数学因式分解课件
议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
3x2 -3x
；
（2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ； （3）(m+4)(m-4)= m2-16 ；
（4）(y-3)2 = y 2-6y+9 ； （5）a(a+1)(a-1)= a3 -a ．
根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c)； （2）3x 2-3x= 3x(x-1) ； （3）m2-16= (m+4)(m-4)； （4）a3-a= a(a+1)(a-1) ； （5）y 2-6y+9= (y-3)2 ．
以下两种运算有什么联系与区分? （1）a(a+1)(a-1)= a 3-a （2）a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？ 联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算； 区分：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积情势。
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
复习：
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn
北师大版 八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)
4.1因式分解新北师大版ppt
分解因式。 只有多项式才可能进行
要求：１.是一因种式恒分等解变形 2.变形对象：是 多项式 ;
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式
4.变形的结果：是几个 整式 的积 2020年2月29日星5期.六1分1 解结果中的每个因式不能再分
时58分7秒
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
(6) 2 R+ 2 r = 2
(R+r)
(7) bx－bx3=bx(1－x2)=bx(1＋x)（1－x)
2020年2月29日星期六系的应
用
1、检验下列分解因式是否正确:
(1) x2 y xy2 xy( x y) 正确
(2) 2 x2 1 (2 x 1)(2 x 1) 错误
= 99×100×98
(6)、把a3－a化成几个整式的乘积的形 式。
a3－a= a·a2 － a·1 = a (a2－1) = a (a＋1) (a－1)
2020年2月29日星期六11 时58分7秒
做一做
速战速决
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)=_3_x_2_-_3_x, (1) 3x2-3x=__3_x_(x__-1_)
要求：１.是一因种式恒分等解变形 2.变形对象：是 多项式 ;
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式
4.变形的结果：是几个 整式 的积 2020年2月29日星5期.六1分1 解结果中的每个因式不能再分
时58分7秒
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
(6) 2 R+ 2 r = 2
(R+r)
(7) bx－bx3=bx(1－x2)=bx(1＋x)（1－x)
2020年2月29日星期六系的应
用
1、检验下列分解因式是否正确:
(1) x2 y xy2 xy( x y) 正确
(2) 2 x2 1 (2 x 1)(2 x 1) 错误
= 99×100×98
(6)、把a3－a化成几个整式的乘积的形 式。
a3－a= a·a2 － a·1 = a (a2－1) = a (a＋1) (a－1)
2020年2月29日星期六11 时58分7秒
做一做
速战速决
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)=_3_x_2_-_3_x, (1) 3x2-3x=__3_x_(x__-1_)
八年级数学下册 4 因式分解 4.1 因式分解课件 (新版)北师大版.pptx
3
1.请完成课本第93页“做一做”,并小组讨论:因式分解与 整式乘法有什么关系? 它们是互逆运算.
2.图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀 把它平均分成四块小长方形,然后按图b的形状,拼成一个 正方形. (1)图b中阴影部分的面积为 (m+n)2-4mn或(m-n)2 ; (2)观察图b,请你写出三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间 的等量关系: (m+n)2=(m-n)2+4mn ;
4
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图c, 它表示了2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n),试画出一个几何图形的 面积是a2+4ab+3b2,并能利用这个图形将a2+4ab+3b2进行因式 分解.
5
解:(3)a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b). 几何图形如下:
6
1.整式乘法与因式分解的区别与联系:
因式分解 整式乘法
区别Leabharlann 左边右边多项式 整式乘积
整式乘积 多项式
联系
因式分解和整式乘法是
两种 互逆 的恒等变形
2.因式分解的对象是_多__项__式__,分解的结果要用__积__的形式表示.
7
第四章 因式分解
4.1 因式分解
1
1.知道什么是因式分解,知道它与整式乘法的互逆关系. 2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
2
我们知道,2×3×5=30,这是数的乘法,30=2×3×5,这 是将数30质因数分解;那么一个多项式是否也能化成几个整 式的乘积的形式呢?比如:多项式 a2-b2 可写成哪几个整式 的乘积的形式呢?
1.请完成课本第93页“做一做”,并小组讨论:因式分解与 整式乘法有什么关系? 它们是互逆运算.
2.图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀 把它平均分成四块小长方形,然后按图b的形状,拼成一个 正方形. (1)图b中阴影部分的面积为 (m+n)2-4mn或(m-n)2 ; (2)观察图b,请你写出三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间 的等量关系: (m+n)2=(m-n)2+4mn ;
4
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图c, 它表示了2m2+3mn+n2=(2m+n)(m+n),试画出一个几何图形的 面积是a2+4ab+3b2,并能利用这个图形将a2+4ab+3b2进行因式 分解.
5
解:(3)a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b). 几何图形如下:
6
1.整式乘法与因式分解的区别与联系:
因式分解 整式乘法
区别Leabharlann 左边右边多项式 整式乘积
整式乘积 多项式
联系
因式分解和整式乘法是
两种 互逆 的恒等变形
2.因式分解的对象是_多__项__式__,分解的结果要用__积__的形式表示.
7
第四章 因式分解
4.1 因式分解
1
1.知道什么是因式分解,知道它与整式乘法的互逆关系. 2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
2
我们知道,2×3×5=30,这是数的乘法,30=2×3×5,这 是将数30质因数分解;那么一个多项式是否也能化成几个整 式的乘积的形式呢?比如:多项式 a2-b2 可写成哪几个整式 的乘积的形式呢?
4.1因式分解北师大版ppt
回顾 & 思考
2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (a+b)(a-b)= a - b . (2)完全平方公式 2 2 (a±b)2= a 2ab b .
2 2
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
小明是这样想的: 993 99 99于x的二次三项式 分解因式的结果为 (3x 2)(x 1) ,求m，n的 值。
2
2、若多项式
( x 2)(x b)
x ax 1
2
可以分解为 ，则 a+b 的值为
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
1 (5) x 1 x (1 ) x 2
(6) x +1=(x-1)(x+1) (7) 6x2y3=3xy· 2xy2
(4) x2+x+1=x(x+1)+1
不是整式
两边不相等
思考：因式分解与整式乘法有什么 联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
1．(3分)(2014·海南)下列式子从左到右变 形是因式分解的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2．(3分)把多项式a2－4a因式分解， 结果正确的是( ) A A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2)D．(a－2)2－4 3．(3分)多项式 ax＋A 可分解为a(x ＋y)，则A是 （ ay ） .
4、下列多项式可分解成 (2x＋1)(2x－1)的是( ) B A ．4 x 2＋1 B ．4 x 2－1 C．－4x2＋1 D．－4x2－1 5、多项式x2－4x＋m可以分解为(x＋ 3)(x－7)，则m的值为( ) C A．3 B．－3 C．－21 D．21
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》ppt课件
分解因式
= 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
随堂演练
1、将下列代数式因式分解。
(1) ax ay a(x y) (2) x2 4x 4 (x-2)2 (3) a2 1 (a 1)(a 1)
2、993 99能被100整除吗？
3.自己设计一道整数乘法的计算，并算出一 个多项式。把你的所得的多项式给你的同桌 进行多项式的因式分解。
例如：(2a c)(a b) 2a2 2ab ac cb
把2a2 2ab ac cb给你的同桌因式分解
课堂小结
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什么样的方法来理解和掌 握今天的概念？ 3、谈谈你明天的打算？
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
特征：积
和
和
积
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ 哪些不是因式分解？为什么？
（1） 18a3bc 3a2b 6ac
（ 不是 ）
（2） (3x 1)2 9x2 6x 1
（ 不是 ）
（3） 2x2 1 2x 12x 1 （ 不是 ）
第四章 因式分解
1 因式分解
北师大版 八年级下册
新课讲解
整式乘法
因式分解
① a(b c) ab ac
ab ac a(b c)
② (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 (a b)2
③ (a b)(a b) a2 b2 a2 b2 (a b)(a b)
北师大版八年级下册4.1因式分解课件(共18张PPT)
x2+2x+p=0，即32+2x3+P=0 解：设另一个因式为x+a,则有
∴P=-15
x2+2x+p=(x-3)(x+a)
∴ x2+2x+p=x2+(a-3)x-3a
∴a-3=2, p=-3a
∴a=5, p=-15
意义
因式分解是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是和差化积
与整式乘法关系
因式分解与整式乘法是方向相反的 两种恒等变形，即互逆关系 整式的乘法运算是积化和差； 多项式因式分解是和差化积
解：∵ab-ac=a(b-c) ∴当a=3.14,b=2.386,c=1.386时 原式=3.14X(2.386-1.386)
=3.14X1
=3.14
2、已知多项式x2+2x+p因式分解后 有一个因式为x-3，求p的值
解：∵多项式x2+2x+p因式分 解后有一个因式为x-3
∴当x-3=0，即x=3时
把左右两边对应的式子连起来，并说明哪些变
==939. (99+1)(9形9-1) 是因式分解，哪些是整式乘法.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
1、若 —x—m=（x+2)(x-3)
解：∵ab-ac=a(b-c) 67× 132+25×2.
x2-y2 解：∵x2-x-m=(x+2)(x-3)
2、（3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式分解因式
的结果( C ).
Ａ.9a2+y2
B.-9a2+y2
Ｃ.9a2-y2
Ｄ.-9a2-y2
1、若 x —x—m=（x+2)(x-3) 则a=___,b=___
北师大版八年级下册数学课件：4.1 因式分解(共18张PPT)
1999 2000 ∴ 19992 1999 可以被2000整除.
小结
（1）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （2）分解后的每个因式必须是整式. （3）因式分解与整式的乘法是一种互逆恒等变形；
拓展训练
1.已知多项式ax2 bx c(a,b,c均为常数)
分解因式的结果为 3x 1x - 2 ,则a= 3 ,b=-5,
① 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式 ② am+bm+c=m(a+b)+c 结果不是积的形式
③ x2-1=(x+1)(x-1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
x)
每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
例2
把多项式 x2 mx 5 因式分解得 x 5x 1，
①x2 1 y2 x 1x 1 y2
③x2 1 x 1 x 1 y y y y
⑤aa b a2 ab ⑦4 a4 a 16 a2
②x2 1 x 1x 1
④x 2
x
1
x
1
2
4 2
⑥6x2 y3 2xy 3xy2
⑧ห้องสมุดไป่ตู้mR r 2mR 2mr
课堂检测
c= -2 .
3x 1x - 2 3x x 6x x 2
3x2 5x 2
拓展训练
2关于x的多项式 x2 5x m,分解因式后
有一个因式是x-3,试求m .
解：设另一个因式为（x+a），则
x a(x 3) x2 5x m,
小结
（1）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （2）分解后的每个因式必须是整式. （3）因式分解与整式的乘法是一种互逆恒等变形；
拓展训练
1.已知多项式ax2 bx c(a,b,c均为常数)
分解因式的结果为 3x 1x - 2 ,则a= 3 ,b=-5,
① 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式 ② am+bm+c=m(a+b)+c 结果不是积的形式
③ x2-1=(x+1)(x-1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
x)
每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
例2
把多项式 x2 mx 5 因式分解得 x 5x 1，
①x2 1 y2 x 1x 1 y2
③x2 1 x 1 x 1 y y y y
⑤aa b a2 ab ⑦4 a4 a 16 a2
②x2 1 x 1x 1
④x 2
x
1
x
1
2
4 2
⑥6x2 y3 2xy 3xy2
⑧ห้องสมุดไป่ตู้mR r 2mR 2mr
课堂检测
c= -2 .
3x 1x - 2 3x x 6x x 2
3x2 5x 2
拓展训练
2关于x的多项式 x2 5x m,分解因式后
有一个因式是x-3,试求m .
解：设另一个因式为（x+a），则
x a(x 3) x2 5x m,
4.1 因式分解 课件(14张PPT) 2023—2024学年北师大版数学八年级下册
四、典型例题
例1.下列从左到右的变形中，是因式分解且结果正确的有______.
①24x2y=4x•6xy ③x2-6x+9=(x-3)2
②(x+5)(x﹣5)=x2﹣25 ④9x2﹣6x+1=3x(x﹣2)+1
⑤x2+1=x(x+ )
⑥3xn+2-27xn=3xn(x2-9)
⑦x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
第四章 因式分解 4.1 因式分解
一、学习目标
1.理解因式分解的概念及因式分解与整式乘法的关系 2.利用因式分解求解未知数的值
二、新课导入
在小学，我们学过整数的因数分解，如9=3×3,28=2×2×7； 那么对于一个多项式是否也能进行类似地分解呢？
三、概念剖析
完成下列题目：
根据左边，解决下列问题：
③等式右边=x2-6x+9，等于等式左边，故③符合题意；
⑦等式右边=x2-16y2，不等于等式左边，故⑦不符合题意；
综上所述：下列从左到右的变形中，是因式分解且结果正确的有③.
四、典型例题
归纳: （1）因式分解与整式乘法是一种互逆关系； （2）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积的形式表示； （3）分解后的每个因式必须是整式； （4）必须分解到每个因式不能再分解为止.
的积，它们的运算是相反的.
三ห้องสมุดไป่ตู้概念剖析
归纳总结： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这
个多项式分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2+2x+1
因式分解 (x+1)2
4.1 因式分解-2020春北师大版八年级下册数学课件(共28张PPT)
随堂练 习
1．下列因式分解正确的是( B ) A．x2－xy＋x＝x(x－y) B．a3－2a2b＋ab2＝a(a－b)2 C．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3 D．ax2－9＝a(x＋3)(x－3)
2．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C ) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x 3．由(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则 x2－3x＋2 分解因式的结果为 (x－2)(x－1).
【点悟】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解．应用因 式分解的概念时一定要注意：①因式分解专指多项式的恒等变形；②因式分解的 结果必须是几个整式的积的形式；③因式分解与整式乘法互为逆变形．
【变式跟进 1】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
解： (1)原式＝3.141 6×(6.495 5－5.495 5) ＝3.141 6×1＝3.141 6. (2)原式＝2.5×(1.13＋2.25＋0.62) ＝2.5×4＝10.
2 0152＋2 016 能被 2 015 整除吗？ 解： ∵2 0152＋2 016＝2 015×(2 015＋1)＋1＝2 015×2 016＋1， ∴2 0152＋2 016 不能被 2 015 整除． 【点悟】 利用因式分解，可以把算式中的数化成积的形式，达到简便计算 的目的．
(2)(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn；
(3)x2－x－6＝(x＋2)(x－3)；
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速战速决
m(a+b (2) m(a+b+c) =_____,(2)ma+mb+mc=___ 2-b2=________ (a+b)(a-b) (3) a ma+mb+mc
a2 –b2 (4) x2(3) (a+b)(a-b)=_____, 2 (x-3) 6x+9=________ 2 x -6x+9 (4) (x-3)2=_________, 3(5) a 3-a a (5) a(a+1)(a-1)=____, a=___________ a(a+1)(a-1)
2 2 1、已知x-y=2,x -y =12,
求x+y的值.
2 2 2、已知a -4a+9b +6b+5=0,
求a2+b2的值
拓展与提高
• • • • • • •
(1) 已知：a =2007，则a2+a能被2008整除吗？ a2+a=a(a+1)=2007（2007+1）=2007 ×2008 (2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400 (3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值 a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000； (4) 已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。 a2b-ab2=ab(a-b)=14
观察与思考
观察分解前多项式的次数与分解后每个 因式的次数，你有什么发现？
(1). (2). (3). (4).
1-x2 =(1+x)(1-x) 4x2-8x =4x(x-2) 1-4x2 =(1- 2x)(1+2x) 2 2 =(x-7) x -14x+49
分解后，每个因式 的次数都低于原来 的多项式
因式分解的作用：降次
即：将高次转化为低次
实战考场
下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？ 哪些不是？为什么？ (1) 2m(m－n)=2m2－2mn
(2) 5x2y －10xy2=5xy(x － 2y)
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
1 (5) x 1 x (1 ) x (6) x2+1=(x-1)(x+1) 两边不相等
新旧相联
联系2：分解质因数与因式分解
分解质因数
6＝ 2× 3
18＝2×32 90＝2×32×5
100＝22×52
因式分解 1-x2 =(1+x)(1-x) 4x2-8x =4x(x-2) 1-4x2 =(12x)(1+2x) =(x-7)2 x2-14x+49
1、结果都是以积的形式出现 2、积中的每个因式（数）都不能再分
崔楼初中
崔尚丰
请同学们完成下列计算， 看谁算得又准又快． （1）-1.2568×(-3)+0.2568×(-3)
2 2 （2）101 -99
（3）572+2×57×43+432
做一做
根据左面算式填空: 2-3x=_______ 3x(x-1) 2 (1) 3x (1) 3x(x-1)=______, 3x - 3x
(4) x2+x+1=x(x+1)+1
不是整式
因式分解的应用:
2 2 (1)101 －99 = 2 (2)87 +87×13= 2 (3)51 －2×51+1=
(4)2.5×19.7－44.5×2.5+2.5×25.9
如果多项式ax＋B可分解为a(x＋ y), B 则B等于( ) A.a C.ax B. ay D. y
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
明确新知
一般地，把一个多项式表示成几个 整式的乘积的形式，称为把这个多项式 因式分解，有时我们也把这一过程叫做 只有多项式才可能进行 因式分解 要求：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 多项式 ;
分解因式。
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
3 3、99 -99能被100整除吗?
你是怎样想的？
聪明的小明是这样想的: 解决问题 的关键： 3 2 99 -99=99×99 -99×1 将数式993=99×(992-1) 99化成了99、 100、98三 =99 (99+1)(99-1) 个数 = 99×100×98 的积的形式！ 3 所以, 99 -99能被100整除.
（1）x 则
mx n能分解成 ( x 2)( x 5) m= ______, n= ______.
2
( 2 )已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因 1 式分解的结果是(2x-1)(x+ ),求m,n的 4 值.
1、a2－a 能被a－1整除么？ 请写出你的理由。
2、32002－32001－32000能被5 整除吗？为什么？
我们的收获……
结合本堂课内容，请用下列句式造句。 我学会了…… 我明白了…… 我认为…… 我会用…… 我想……
旧知回顾
一个 多项式
因式分解
整式乘法
几个
整式积
只有多项式才可能进行因式分解
要求：１.是一种恒等变形
2.变形对象：是 多项式 ; 3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
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联系1： 整式乘法与因式分解
整式的积
多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2 =(a+b)2 m(a+b+c) =am+bm+cm am+bm+cm =m(a+b+c)
下列由左边到右边的变形，哪些是分解 因式？
1)（a +3)(a –3)= a2 –9
2）x 2 –y 2 +1=(x +y )(x -y )+1 3）6x2y3=3xy· 2xy2
4） a2 + a – 1=a(a + 1 5) 2∏R-2∏r =2∏(R-r)
)
因式分解
6) m 2 –81n2=(m +9n) (m -8n)
m(a+b (2) m(a+b+c) =_____,(2)ma+mb+mc=___ 2-b2=________ (a+b)(a-b) (3) a ma+mb+mc
a2 –b2 (4) x2(3) (a+b)(a-b)=_____, 2 (x-3) 6x+9=________ 2 x -6x+9 (4) (x-3)2=_________, 3(5) a 3-a a (5) a(a+1)(a-1)=____, a=___________ a(a+1)(a-1)
2 2 1、已知x-y=2,x -y =12,
求x+y的值.
2 2 2、已知a -4a+9b +6b+5=0,
求a2+b2的值
拓展与提高
• • • • • • •
(1) 已知：a =2007，则a2+a能被2008整除吗？ a2+a=a(a+1)=2007（2007+1）=2007 ×2008 (2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400 (3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值 a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000； (4) 已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。 a2b-ab2=ab(a-b)=14
观察与思考
观察分解前多项式的次数与分解后每个 因式的次数，你有什么发现？
(1). (2). (3). (4).
1-x2 =(1+x)(1-x) 4x2-8x =4x(x-2) 1-4x2 =(1- 2x)(1+2x) 2 2 =(x-7) x -14x+49
分解后，每个因式 的次数都低于原来 的多项式
因式分解的作用：降次
即：将高次转化为低次
实战考场
下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？ 哪些不是？为什么？ (1) 2m(m－n)=2m2－2mn
(2) 5x2y －10xy2=5xy(x － 2y)
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
1 (5) x 1 x (1 ) x (6) x2+1=(x-1)(x+1) 两边不相等
新旧相联
联系2：分解质因数与因式分解
分解质因数
6＝ 2× 3
18＝2×32 90＝2×32×5
100＝22×52
因式分解 1-x2 =(1+x)(1-x) 4x2-8x =4x(x-2) 1-4x2 =(12x)(1+2x) =(x-7)2 x2-14x+49
1、结果都是以积的形式出现 2、积中的每个因式（数）都不能再分
崔楼初中
崔尚丰
请同学们完成下列计算， 看谁算得又准又快． （1）-1.2568×(-3)+0.2568×(-3)
2 2 （2）101 -99
（3）572+2×57×43+432
做一做
根据左面算式填空: 2-3x=_______ 3x(x-1) 2 (1) 3x (1) 3x(x-1)=______, 3x - 3x
(4) x2+x+1=x(x+1)+1
不是整式
因式分解的应用:
2 2 (1)101 －99 = 2 (2)87 +87×13= 2 (3)51 －2×51+1=
(4)2.5×19.7－44.5×2.5+2.5×25.9
如果多项式ax＋B可分解为a(x＋ y), B 则B等于( ) A.a C.ax B. ay D. y
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
明确新知
一般地，把一个多项式表示成几个 整式的乘积的形式，称为把这个多项式 因式分解，有时我们也把这一过程叫做 只有多项式才可能进行 因式分解 要求：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 多项式 ;
分解因式。
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
3 3、99 -99能被100整除吗?
你是怎样想的？
聪明的小明是这样想的: 解决问题 的关键： 3 2 99 -99=99×99 -99×1 将数式993=99×(992-1) 99化成了99、 100、98三 =99 (99+1)(99-1) 个数 = 99×100×98 的积的形式！ 3 所以, 99 -99能被100整除.
（1）x 则
mx n能分解成 ( x 2)( x 5) m= ______, n= ______.
2
( 2 )已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因 1 式分解的结果是(2x-1)(x+ ),求m,n的 4 值.
1、a2－a 能被a－1整除么？ 请写出你的理由。
2、32002－32001－32000能被5 整除吗？为什么？
我们的收获……
结合本堂课内容，请用下列句式造句。 我学会了…… 我明白了…… 我认为…… 我会用…… 我想……
旧知回顾
一个 多项式
因式分解
整式乘法
几个
整式积
只有多项式才可能进行因式分解
要求：１.是一种恒等变形
2.变形对象：是 多项式 ; 3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
新旧相联
联系1： 整式乘法与因式分解
整式的积
多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2 =(a+b)2 m(a+b+c) =am+bm+cm am+bm+cm =m(a+b+c)
下列由左边到右边的变形，哪些是分解 因式？
1)（a +3)(a –3)= a2 –9
2）x 2 –y 2 +1=(x +y )(x -y )+1 3）6x2y3=3xy· 2xy2
4） a2 + a – 1=a(a + 1 5) 2∏R-2∏r =2∏(R-r)
)
因式分解
6) m 2 –81n2=(m +9n) (m -8n)