2015年高二数学椭圆双曲线专项练习含答案

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==．在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =，由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=，即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅，化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确；在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确；若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误，将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±，故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ，因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，因为，所以的周长，因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为，当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ，所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____，双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝．其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2，焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)

椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。

（1）求椭圆C的方程。

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。

完整word版,高二数学椭圆双曲线同步测试题

高二数学椭圆双曲线同步测试题命题：审核：使用时间： 2015年月日一、选择题：1、椭圆1162522=+y x 上一点M 到一个焦点1F 的距离是2，则点M 到另一个焦点2F 的距离是（）A. 10B. 8C. 6D. 12、已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点为()0,2，则椭圆的方程是（） A. 12422=+y x B. 12322=+y x C. 1222=+y x D. 12622=+y x3、椭圆19422=+y x 的焦点坐标是（）A. ()0,5±B. ()5,0± C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,65 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,365 4、焦点分别为（-2，0）、（2，0）且经过点（2，3）的双曲线标准方程为（）A 、1322=-y x B 、1322=-y x C 、1322=-x y D 、12222=-y x 5、设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或236、椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是（） A 5± B 3± C 5 D 97、已知直线y=x+1与椭圆12422=+y x 交于A 、B 两点，则 |AB| =（） A 、 54 B 、52 C 、352 D 、354 8、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 9、椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的取值是（） A.21 B. 2 C.41 D. 410、矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．26C ．4 2D ．4 3二、填空题：11、已知椭圆方程14822=+y x ，离心率为。

高二数学--椭圆训练试卷(含答案)

高二数学椭圆一．选择题1．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．4．椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为_________．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为_________．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最_________值为_________．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程_________．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为_________．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是_________．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．21.已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2015•兴国县一模）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（2012•香洲区模拟）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得焦点在y轴上的椭圆方程中，x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．解答：解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴，解之得1＜k＜2实数k的取值范围是（1，2）故选：C点评：本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆，求参数k的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题．3．（2007•安徽）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选A点评：此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．4．（2006•东城区二模）椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．考点：椭圆的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据题意，可得右焦点F（1，0），由点到直线的距离公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，可得右焦点F（1，0），y=x可化为y﹣x=0，则d==，故选B．点评：本题考查椭圆的性质以及点到直线的距离的计算，注意公式的准确记忆．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程．解答：解：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B得，，解得m=1，n=，∴所求椭圆方程为x2+=1．故选：B．点评：本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得出a、b、c的值，由∠F1PF2=90°得出点P在以F1F2为直径的圆（除F1、F2），且r＜b，得出圆在椭圆内，点P不存在．解答：解：∵椭圆+=1中，a=4，b=2，∴c==2；∴焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）；又∵∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=4上（除F1、F2），又∵r=2＜2=b，∴圆被椭圆内含，点P不存在．点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆的标准方程的应用问题，解题时应灵活利用∠F1PF2=90°，是基础题．7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆方程化为标准方程，再利用c=即可得出．解答：解：椭圆4x2+9y2=1化为，∴a2=，b2=，∴c==∴椭圆的焦点坐标为（±，0）．故选：C．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦点坐标为（0，4）可得k＞0，化椭圆方程为标准式，求出c，再由c=4得答案．解答：解：由2kx2+ky2=1，得，∵椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），∴，，则，．∴，解得．故选：C．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到答案．解答：解析：设另一焦点为D，∵Rt△ABC中，AB=AC=1，∴BC=∵AC+AD=2a，AC+AB+BC=1+1+=4a，∴a=又∵AC=1，∴AD=．在Rt△ACD中焦距CD==．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求得a和b的大小，进而利用椭圆的基本性质，确定最大角的位置，求出∠F1PF2的最大值．解答：解：根据椭圆的方程可知：+=1，∴a=2，b=，c=1，由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，此时△F1PF2是正三角形，∴∠F1PF2的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最大值为16．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=8，再由基本不等式，即可求得|PF1|•|PF2|的最大值．解答：解：椭圆+=1的a=4，则|PF1|+|PF2|=2a=8，则|PF1|•|PF2|≤（）2=16，当且仅当|PF1|=|PF2|=4，则|PF1|•|PF2|有最大值，且为16．故答案为：大，16点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程=1．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点P1（），P2（0，）代入，能求出结果．解答：解L：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）把两点P1（），P2（0，）代入，得：，解得m=5，n=4，∴椭圆方程为5x2+4y2=1，即=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为，或．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦距是8，离心率0.8，先求出a=5，c=4，b，由此能求出椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的焦距是8，离心率0.6，∴，解得a=5，c=4，b2=25﹣16=9，∴椭圆的标准方程为，或．故答案为：，或．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要避免丢解．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，根据PF1⊥PF2得=0，与椭圆方程联立解得即可．解答：解：由椭圆+=1，得F1（﹣5，0），F2（5，0）设P（x，y），=0，①即（x+5）（x﹣5）+y2=0因为P在椭圆上，所以+=1，②两式联立可得x=±3，∴P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）故答案为：P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质，向量的应用．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（1，2），即可求得椭圆C的方程．解答：解：设椭圆方程为，椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的离心率为，∴，∴，①∵椭圆过点（1，2），∴②由①②解得：b2=，a2=49∴椭圆C的方程为．点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题的关键是待定系数法．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．分析：首先，设椭圆的标准方程为：=1 （a＞b＞0），然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．解答：解：设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是﹣，∴弦的中点的纵坐标是﹣，设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）．则有+=1 ①+=1 ②①﹣②，化简得+=0 ③x1+x2=2×（﹣）=﹣，y1+y2=2×（）=﹣，且=﹣1，∴由③得a2=2b2，又由题意2c=，有c=，则可求得c2==b2，a2=，∴椭圆的标准方程为：+=1．点评：本题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，由此能求出椭圆方程．解答：解：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，解得，b2=1，∴椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．点评：本题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于基础题．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接根据焦点的坐标设出椭圆的方程，再根据点的坐标求出结果．解答：解：椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），所以：设椭圆的方程为：由于：椭圆经过点（2，），则：，且a 2=b 2+4，则：，解得：．椭圆方程为：．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，属于基础题型．21. 以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+。

椭圆、双曲线测试题(含答案)

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是()A.14B.12C ．2D ．4 A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.]2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y22＝1D.x 22－y 2＝1【解析】法一由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以为x 2－y 24＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 24－x 2＝1，舍去. 法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.【答案】 A3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43， ∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [点P 在线段AB 上时|PA |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]5．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程是( )A ．x 22－y 214＝1(x ≥2). B. x 22－y 214＝1(x ≤-2).C ．x 22－y 214＝1 D. y 214－x 22＝1(x ≤-2). 【解析】x 22－y 214＝1(x ≥2).6.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.34 B [2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－(m 2－1)＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.]7．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4. S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2， ∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B8．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦,F 1为一个焦点，则△ABF 1的最大面积是(c 为半焦距)( )A ．acB ．abC ．bcD ．b 2【解析】 △ABF 1的面积为c ·|y A |，因此当|y A |最大，即|y A |＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( ,0),直线y=x-1与其相交于M,N 两点,MN 中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是 ( )A. -=1 B. - =1 C. -=1D. -=1 【解析】选B.设双曲线方程为 -=1,将y=x-1代入 -=1,整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0, 由根与系数的关系得x 1+x 2=,则 = =- .又c 2=a 2+b 2=7,解得a 2=2,b 2=5, 所以双曲线的方程为 -=1.10．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72. 【答案】 B11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22 C ．±1D ．±2【解析】由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ， ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C12．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。

高二数学椭圆双曲线专项练习含答案审批稿

高二数学椭圆双曲线专项练习含答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（） A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） D ．(－a a 1-, 0), (aa 1-, 0) 2、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则该双曲线的离心率为（）A ．5BCD ．5/43．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （） A ．3/2B ．3C ．4 了D ．7/24．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于（） A32 B 22 C 21 D 32 5．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝± y 43 D ．y ＝±x 436．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（） A ．1 B ．25C ．2D ．5 7．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（） A ．221≥e eB ．42221≥+e e C ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 8．已知方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 9．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形10．椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 一、填空题： 11．对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题：①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____________12．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__13．双曲线16922y x -＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离____14．若A （1，1），又F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|＋|P F 1|的最小值_______15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是二、解答题：16、设椭圆方程为422y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足→→→+=)(21OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.17、已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．18、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；图19、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

椭圆双曲线练习题参考答案

椭圆练习题参考答案一、选择题：ACDD ADBD BBDC二、填空题13、3或31614、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x三、解答题 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19、设椭圆：12222=+by ax （a ＞b ＞0），则a 2＋b 2=50…① 又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=21，∴y 0=23－2=－21由220022212122221222212222222212213311b a y x b a x x y y k b x x a y y b x ay b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①，②得：a 2=75，b 2=25，椭圆为：257522x y +=120、 ∵e 2==ba ab a b a243)(12222=⇒=-=- ∴椭圆方程可设为：)0(142222 b b y b x =+设A （x ，y ）是椭圆上任一点，则：│PA │2=x 2+（y －23）2=－3y 2－3y+4b 2+49∆f （y ）（－b ≤y ≤b ）讨论：1°、－b ＞－21⇒0＜b ＜21时，│PA │2max = f （－b ）=（b ＋23）2=237)7(2-=⇒b但b ＞21，矛盾。

不合条件。

2°、－b ≤－21⇒b ≥21时，│PA │2max = f （－21）=4b 2+3=7⇒ b 2=1∴所求椭圆为：1422=+y x双曲线练习答案一、选择题CBCCD AACCA 二、填空题11、4 ， ()),， ()()2,0,2,0-，， y x =。

12、2212016y x -=。

13、 -1 。

椭圆双曲线抛物线练习题及答案

X-V1、椭圆方程为一+—=1,那么这个椭圆的焦距为（）2332A.6B.3C.3正D.6正2、椭圆4d+2y2=1的焦点坐标是（）A .(-5^,0),(√2,0)B .(0,-4),(0,4)3、η,F2是定点，且忻引=6,动点M 满足IM 用+1M 用=6,那么M 点的轨迹方程是（）A.椭圆B.直线C.圆D∙线段4、方程/+浜/=i 表示焦点在,轴上的椭圆，那么根的取值范围是（）A.m <1B.-∖‹m <1C.m>∖D.OVmVl5、过点（3,・2）且与椭圆4/+9y2=36有相同焦点的椭圆方程是（）v 2…2Ay B.—rHr=1152IO 22 2Λy. C.—+—=11015 D .4÷4=ι IO 21526、假设直线y=mx+l 与椭圆32+4_/=1只有一个公共点，那么相？的值是（）13 24A.-B.—C.-D.一2 435χ22X7、椭圆C ：—H —=1»直线/： ------------ Fy=I ,点P （2,-1）,那么（9 2 10A.点P 在C 内部，/与C 相交B.点P 在C 外部，/与C 相交C.点P 在C 内部，/与C 相离D.点P 在C 外部，/与C 相离χ2V 28、过椭圆c ：r+—=l 的焦点引垂直于X 轴的弦，那么弦长为（）a~b~2b 2 b 2b 2bA. ------B.—C.-D. aaτ9、抛物线X +2y 2=0的准线方程是（）1A.X ——11B.X=——C.X=——D.X=—8 84 4C(Ov),(0,；) °-A.15 1010、抛物线y2=2px （p>0）上一点M 与焦点F 的距离IMH=2〃，那么点M 的坐标是（ 3 3 3B. (]P,-6p)c.(√3p,-p)D.(-p,±√3p)11、假设抛物线y2=；X 上一点P 到焦点F 的距离为5,那么P 点的坐标是（12、抛物线％2=4y,过焦点E 倾斜角为一的直线交抛物线于A,B 两点，那么线段AB 的长为（）4A.8B.4Λ万C.6D.3应313、抛物线6x-0y2=o 的准线方程是工=一^,那么。

椭圆和双曲线练习题及答案解析

第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D 由a 2＞a ＋6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以⎩⎨⎧a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P －c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33.11．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24. 12．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12B.32C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.14．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 16．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．17．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜5 ，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C ．离心率相等 D. 焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k4. 又e ∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k ＜0.20．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝bax 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题21．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5. 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 答案：3或522．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝123．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝125．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m ＝12⇒m ＝163.综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝127．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1628．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝129．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝130．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0)31．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：232．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.三、解答题33．设F 1，F 到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2||F 1F 2＝||PF 1＋||PF 2. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)由已知得||F 1F 2＝2，∴||PF 1＋||PF 2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1||PF 2cos 120°，即4＝()||PF 1＋||PF 22－||PF 1||PF 2，∴4＝(2a )2－||PF 1||PF 2＝16－||PF 1||PF 2，∴||PF 1||PF 2＝12，∴S △PF 1F 2＝12||PF 1||PF 2sin 120°＝12×12×32＝3 3.35．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a22，所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 37．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 38．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)． 39.已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.40．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。

椭圆、双曲线测试含答案

椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=．设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=．故选C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=，又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =，故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ．二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得；【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________．【答案】9 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故答案为：220x y +-=．三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，，则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -，即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=，代入得22343(4)()1622x y+-+=，化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=，该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===，所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。

椭圆、双曲线测试题(含答案)

椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。

一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。

1.B。

2.C。

4.D。

11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。

故选D。

2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。

$x^2-4y=1$。

B。

$4x^2-y=1$。

C。

$x^2-2y=1$。

D。

$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。

故选 A。

3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。

$\sqrt{3}/5$。

B。

$4/3$。

C。

$\sqrt{5}/3$。

D。

$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。

4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。

充分不必要条件。

B。

必要不充分条件。

C。

充要条件。

D。

既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。

5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案-

11 高中数学、选择题（每小题只有一个正确答案，每题 6分共36分）1. 2 2 椭圆' _L 1的焦距为。

25 9 A.2. B. 3 已知双曲线的离心率为 C. 4 D 2,焦点是(-4,0), 8 (4,0), 则双曲线的方程为2 2 x y 4 12 2 2 x y . B. 1 12 4C. 2x102y10,x 23.双曲线—— 3 1的两条准线间的距离等于 B.3.7 7 18 C. — 5 1652x 4.椭圆一 4 1上一点 P 到左焦点的距离为 3,则P 到y 轴的距离为 A. 1 B .C. 5.双曲线的渐进线方程为 2x 3y F （0, 5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

2A.工 4 2 x —1 9B.一 9C.叱 100 13x 2 —— 1 225 D 曳 225 13x 2 100 2 ..... x 6.设F I ,F 2是双曲线-y a 2-y2- 1的左、 b 2 右焦点，若双曲线上存在点 A,使 F 1AF 2 90 AF 1| 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为 --- C. 2 7.设斜率为2的直线 l 过抛物线 y 2=ax ( aw0)的焦点 F,且和y 轴交于点 A,若^ OAFO 为坐标原点）的面积为4, 则抛物线方「程为（） A. y 2=±4 B .y 2=±8x C . y 2= 4x 2D. y = 8x8.已知直线 1I ：4x- 3y+6=0 和直线 l2： x=- 1, 抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线11和直线l 2的距离之和的最小值是（A. 2B. 3C.537D.— 1629 .已知直线l i ： 4x — 3y+6=0和直线l 2： x=—1,抛物线y=4x 上一动点 P 到直线l l 和直线l 2的距离之和的最小值是（）10 .抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l ,经过F 且斜率为J 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AK!l ,垂足为K,则4AKF 的面积是（）A. 4B. 3审 C . 4斓 D. 8二.填空题。

椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)

1．双曲线222x y -=的焦距为（）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-，、()20，，并且过点(233，，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==，双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2．【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8．【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0，则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题6_第2讲_椭圆、双曲线、抛物线(含答案)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1．以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2．以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1 （1）若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值．思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．（1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1 C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1（2）如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x热点二圆锥曲线的几何性质例2 （1）已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A ．52 B ．52 C ．62D ．3 （2）设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎝⎛⎦⎤0，33 C ．⎣⎡⎭⎫22，1 D ．⎣⎡⎭⎫33，1 思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．（1）已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C ． 2 D ． 3（2）已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A ． 3 B ．3 C ．3m D ．3m热点三直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求F 2P →·F 2Q →的取值范围．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；（3）S △AOB ＝p 22sin α；（4）1|F A |＋1|FB |为定值2p；（5）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．433 B ．233C ．3D ．22．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12 B ．23C ．34 D ．43押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B ． 2 C ．32D ． 32．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233B ．6或233C ．2或 3D ．3或 63．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝14．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A ．463 B ．433 C ．863 D ．2335．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．946．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( ) A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1)二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______．三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2. （1）求曲线C 的方程；（2）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例1 (1)C (2)5－1 变式训练 (1)D (2)C 例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)A变式训练3 解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1.由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．AD 1．2642．(1)解设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0. 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2，②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.DABCDB 7．x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．2 9．11 10．211．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB |故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2 化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2，解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2. 综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， ∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。