高等数学(上册)-电子教案 6.6常系数非齐次线性微分方程
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
高等数学上教学设计
高等数学上教学设计一、教学目标高等数学作为一门重要的数学科目，涵盖了微积分、线性代数等多个分支，是各个工科及基础学科必修的课程。
本教学设计的目标是，使学生在学习高等数学上具备以下能力和知识：1.理解微积分基本概念及应用；2.掌握微积分以及线性代数的相关定理和公式；3.将已知问题转换为数学模型，并运用所学知识解决问题；4.能够利用计算机软件辅助计算和解决数学问题。
二、教学内容1. 微积分微积分是高等数学的重要组成部分，包括以下内容：•一元函数微积分：极限、导数、微分、积分、应用。
•重要定理：中值定理、泰勒公式、罗尔定理等。
•多元函数微积分：偏导数、多元函数微分法、多元函数的Taylor公式。
2. 线性代数线性代数是应用数学中的重要学科，包括以下内容：•向量与矩阵的基本概念：向量、列向量、矩阵、行列式。
•矩阵运算及其几何意义：矩阵的加法、矩阵的乘法、矩阵的逆矩阵。
•线性方程组的解法：高斯消元法、LU分解法、矩阵的特征值和特征向量。
三、教学方法1.理论讲授结合实例分析：在教学过程中，教师要注重理论与实例结合，充分展现数学的实用性及美感。
2.提倡自主学习：鼓励学生自主学习，积极思考、动手练习，掌握数学的基本方法和技能。
3.课堂互动：教师应引导学生积极参与课堂互动，帮助学生发现问题、解决问题，并激励学生在学习上取得更好的成绩。
4.引导学生使用计算机软件：引导学生熟练掌握数学软件及其使用方法，更好地计算和解决数学问题。
四、教学评估1.课堂讨论评估：开展课堂讨论，教师或同学评估，评估题目紧密贴近教学内容。
2.作业和实验报告：设计符合教学要求的作业，作为衡量学生掌握程度的一种方法。
3.数学建模：组织小组或个人开展数学建模，鼓励学生独立思考、解决实际问题。
五、教学资源1.课件：使用PPT或者PDF等课件，将理论内容、公式、实例呈现给学生。
2.数学软件：使用Mathematica、Maple等数学软件辅助教学，提高教学质量。
高数同济六版课件D78常系数非齐次线性微分方程
直接积分法：通过积分求解微分方程 常数变易法：通过变换常数求解微分方程 幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程 拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数 确定方程的特解形式
确定方程的系数 代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特 解形式，代入原方程，求解 待定系数
待定系数法：通过设定特解 的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原 方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易 行，适用于求解线性微分方
程的特解
添加项标题
应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、 工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
添加项标题
求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分 法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的 微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分 方程的解更复杂
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
常微分方程：只含有一个自变量 的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于 物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、 化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广 泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微 分方程
求解方法：变系数法、积分 因子法等
应用：工程、物理、化学等 领域
添加项标题
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
高等学6.6常系数非齐次线性微分方程-精品文档
高等数学
主讲人 宋从芝
6.5 二阶常系数非齐次线性微分方程 本讲概要
( x ) e Px () 型 一、 f m
x
x f ( x ) e a c o sx b s i n x 二、 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 : y p y q y fx ()( p , q为 常 数 ) 根据解的结构定理 , 其通解为 y Y y 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 ,设出特解
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
x 2 . yp y q y e [ a c o s x b s i n x ]
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y * xQ ( x ) e m
k
x
y * x e
比较系数, 得 a 5 , b 3 ,
x ( 5 c o s 3 x 3 s i n 3 x ) 因此特解为 y
所求通解为
x ( 5 c o s 3 x 3 s i n 3 x ) y C c o s 3 xC s i n 3 x 1 2
本讲小结
x 1 . y p yq yP ( x ) e m
k
x [ A c o s xB s i nx ]
作业
习题6.5
1
(, p q , a , b , , 为 常 数 )
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解
: yx e Ax c o s Bx s i n
高等数学(上册)常微分方程
比较同幂次项系数, 得 a0 2, a1 0, a2 7 于是 y 2x2 7, 方程通解为
y C1 cos x C2 sin x 2x2 7 其中C1,C2 为任意常数.
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
特点：不用积分就可以求出y* 来.
1. y ay by Pn( x) 型方程
Q( x) aQ( x) bQ( x) Pn( x)
(9 34)
当b 0 时, Q( x) 应为 n 次多项式, 即设
y* Qn ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an ,
当b 0, 且 a 0 时, Q( x) 应为 n 1 次多项式, 即设
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
若 u0, 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
y* Q( x) xQn( x) a0 xn1 a1xn an1x2 an x ,
当b 0, 且 a 0时,
直接由方程 y Pn( x) 直接积分得到.
高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程
再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1
x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后，将初始条件代入，解得关系式：
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h
设
t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时
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x y py q y e Pm ( x) 型 一、
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 .
设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x) 为待定多项式 ,
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
f ( x) 0 f ( x)
二阶常系数非齐次线性微分方程 :
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )
根据解的结构定理 , 其通解为
①
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
结论： 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
例1. 解: 特征方程: 齐次方程通解 ∴ 设所求特 解为
的通解. 特征根
0不是特征方程的根 .
代入方程 ,得
(1) (2) y* x e Rm cos x Rm sin x k
x
其中
例6. 求方程
解: 特征方程为 r 2 5r 6 0, 特征根 对应齐次方程的通解为
的通解 .
设一个特解为
代入方程得
比较系数得 原方程的特解为 ∴原方程的通解为
内容小结
x 1. y p y q y Pm ( x) e
比较系数, 得 一个特解为 于是所求通解为
2 1 b0 , b1 3 9
的通解. 例2. 解: 2 , 特征方程： r 2 5 r 6 0 , 特征根
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
y* x ( b0 x b1 ) e 2 x
1 b0 , b1 1 2
y py qy f1 x
y py qy f 2 x
则
是方程
的特解,
y py qy f1 x f 2 x 的特解.
注： 设Biblioteka 都是方程的特解，则 是所对应齐次方程的特解
例5. 求方程 解: 求方程 一个特解为 而
的一个特解.
mg kh(t ) mh(t )
代入方程得
故
原方程通解为
h(t ) C1 C2e
k t m
mg t k
由 h(0) 0, h(0) 0 得 所求函数关系为
k t m2 g m mg h(t ) 2 (e 1) t k k
定理 2.
分别是方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) ②
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得
( Y y * ) p ( Y y * ) q( Y y *)
( Y pY qY )
Q ( x)
(2 p q ) Q ( x) Pm ( x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y* x Qm ( x) e 则 Q ( x)
解: 1, 特征方程：
设非齐次方程特解为 故 原方程通解为
特征根 代入方程得
故对应齐次方程通解为 Y (C1 C2 x) e x
y (C1 C2 x) e x
由 y |x 0 1 得 由 y |x 0 0 得
1 2 x 所求特解为 y (1 x x )e 2
的一个特解为
于是原方程的特解为
二*、f ( x) e x Pl ( x)cos x Pn ( x)sin x 型
对非齐次方程
y p y q y e x Pl ( x)cos x Pn ( x)sin x ( p, q 为常数 )
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
1 2 0, 1 , (22 )x
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
2x 因此特解为 y* x ( 1 x 1) e . 2
k 所求通解为
y* x Qm ( x) e
x
(k
x ) e2 x .
y 2 y y e x 例3. 求解定解问题 y |x 0 1, y |x 0 0
例4 一质量为m的潜水艇从水面由静止状态开始下 降，所受水的阻力与下降的速度成正比(比例系数为k) 求潜水艇下降深度h与时间t 的函数关系. 解: 潜水艇下降深度h与时间t 的函数关系h(t). 由牛顿第二定律得 即 先解对应的齐次方程得 h(t ) C1 C2e 设非齐次方程特解为
k t m
第六章
第六节 二阶常系数非齐次线性微分 方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二*、 f ( x) e [ Pl ( x) cos x
x
Pn ( x)sin x]型
定理 1.
设 y * ( x) 是二阶常系数非齐次方程
y p y q y f ( x)
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则
y p y q y f ( x) Q (x )x 为 m 次待定系数多项式 2 从而得到特解 e [ Q ( x) ( 2 p ) Q ( x) ( p q ) Q ( x) ] x 形式为 y* e Qm ( x) . x e Pm ( x)