2013人教版A数学必修二综合测试题(含答案)[1]

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人教版A数学必修二综合测试题(含答案)(20200930112756)

数学必修二综合测试题*3.已知点A （x,1,2）和点B （2,3,4）,且|AB 2 6 ,则实数x 的值是（）• （A ）-3 或 4 （B ）- 6或 2 （C ）3 或-4（D ）6 或-2*4.长方体的三个面的面积分别是.一 2、3、. 6，则长方体的体积是（）•A. 3、2B . 2 . 3C. . 6D. 6*5.棱长为a 的正方体内切一球，该球的表面积为（）Aa 2 B 2 a 2 C 3 a 2 D 4 a 2*6.若直线a 与平面不垂直，那么在平面内与直线a 垂直的直线（）（A ）只有一条（B ）无数条（C ）是平面内的所有直线（D ）不存在①若 nV/ I , n // I ，贝U m // n②若ml , n V , 则丄③若 m//, n // ，贝U n V n其中假命题是（）.**9 .如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正方形,俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（* ）.**7.已知直线I 、m 、n 与平面，给出下列四个命题: （A ）① （B ） ② （C ）③(D)④**8.在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与y x a 正确的是（)•*1. 下列叙述中，正确的是（)(A ) 因为 P ,Q，所以 PQ(B )因为P, Q，所以=PQ(C ) 因为 AB ,C AB, D AB, 所以CD(D ) 因为 AB,AB, 所以 A ( )且B ( )*2 .已知直线l 的方程为y x 1, 则该直线 l 的倾斜角为（ ).(A) 30：(B)n45(C)60：(D)135 -左视图④若ml, 丄，贝U mil 或m选择题(A)4 (B)(C) (D)**10.直线x2y 0与圆(x 2)2(y 3)29交于E、F两点，贝U EOF(O是原点)的面积为()•A. 2 56,5"5-**11.已知点A(2, 3)、B( 3, 2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线I的斜率的取值k范围是***12 若直线y kx 4 2k与曲线、4 x?有两个交点，则k的取值范围是( ).B.[1, 4)二•填空题：本大题共4小题，每小题4分, 共16分，把答案填在题中横线上.**13.如果对任何实数k,直线(3 + k)x + (1-2k)y + 1 + 5k=0都过一个定点A,那么点A的坐标是**14.空间四个点P、A、BC在同一球面上，PAPBPC两两垂直，且PA=PB=PC=a那么这个球面的面积是A BV- ABCD的体积.***19 .(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E、F为棱AD AB的中点.(1)求证：EF//平面CBD;(2)求证：平面CAAC i丄平面CBD.***20.(本小题满分12分)已知直线11: mx-y=0 , l2: x+my-m-2=0-(I)求证：对m€ R, I1与12的交点P在一个定圆上；(H)若11与定圆的另一个交点为P1,12与定圆的另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，" PRP2面积的最大值及对应的m.***21.(本小题满分12分)如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1 ABCD 中,(1)作出面ABC1与面ABCD的交线I，判断I与线AG位置关系，并给出证明;(2)证明BQ丄面A1BC1；(3)求线AC到面ABG的距离；(4)若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD i所在的直线为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系，试写出B, B1两点的坐标.****22 .(本小题满分14分)已知圆O x2 y2 1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ 切点为Q,且满足P Q|PA .(1)求实数a、b间满足的等量关系；⑵求线段PQ长的最小值；(3)若以P为圆心所作的圆P与圆o有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程.参考答案.选择题DBACA BDCCD AB二.填空题13. (1, 2)14. 3 a215. 相离16. (1三.解答题17.解：(1) ：点0(0, 0),点C (1, 3),OC所在直线的斜率为k OC -13.(2)在OABC 中，AB//OC,一CDL AB CD 丄OCCD所在直线的斜率为k C D18.解法且S ABC DCD 所在直线方程为y 311(x1),即x 3y 10 0.1：：正四棱锥V - ABCD中，ABCD1正方形,1 1 1MC AC — BD— 6 3(cm).2 2 21 1AC BD 6 62 2218 (cm).-VM是棱锥的高，Rt VMC CMBVM .VC2MC2、5232 4 (cm).113正四棱锥V — ABCD 的体积为-S ABCD VM 18 4 24 (cm).3 3解法2 ::正四棱锥V - ABCD 中，ABC ［是正方形,111 MC —AC — BD — 6 3(cm ). 2 2 2且 AB BC -AC 3 2 (cm). 2S ABCD AB 2(3.2)2 18(cm).VM 是棱锥的高，Rt △ VMC 中，VM,VC 2—MC 2,52一32 4(cm).19.(1)证明：连结BD在长方体 AC —中，对角线 BD//ED-又:E 、F 为棱AD AB 的中点，EF//BD .EF// B —D —.又 B —D平面 CB —D —，EF 平面 CB D —,EF//平面 CBD .(2) T 在长方体 AC —中，AA 丄平面 ABCD ,而BD 平面ABCD ,AA 丄 BD .又叮在正方形 A —B —CD 中，A —C 丄BD ,BD 丄平面CAAC .又二B i D平面CBD ,平面CAAC 丄平面CBD .20.解：(I) 1—与12分别过定点(0,0 )、( 2,1 ),且两两垂直，••• 1—与12的交点必在以(0,条直径的圆：x(x 2) y(y 1)0 即2 2x y 2x y 0 -(□)由(1 )得 P — ( 0,0 )、P 2 (2,1 ),1正四棱锥V - ABCD 的体积为—S ABCD30)、( 2, 1 )为1(4) C(a,a,O), G(a, a, a)由（1）知，点P 在直线l : 2x + y — 3 = 0 上.min = | PA | min ，即求点A 到直线l 的距离•J a 2 b 2 J a 2 ( 2a 3)2』5(a £)2 9 ,••/ PR P ?面积的最大值必为一2r2此时OP 与RF 2垂直，由此可得 m=3或21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线I , ••• AC //AG , AC // I ,••• I // AC ,. （2）易证 AG 丄面DBB ,D , ,• AQ 丄B i D ，同理可证 A ,B 丄B ,D , 又AG AB = A , • RD 丄面 A BC （3）线AC 到面A 1BC 1的距离即为点三棱锥B 1 BAG 中有 A 到面A 1BC 1的距离，也就是点 B 到面A 1BC 1的距离，记为h ，在% BA 1C 1VB A 1B 1C 1，即 ^S ABC h3A ] BC [3SA ] B^ C [,3a 322.解：（1）连OP,；Q 为切点，PQPQ OPOQ|2.又由已知|PQ PA ，故 PQ|2 |PA 2 .即: (a 2 b 2)2 2 21 (a 2) (b 1).化简得实数a 、 b 间满足的等量关系为:2a b 3 0.(2)由 2a b 3 0 ,得 b 2a 3.PQ.a 2 b 2 1 ,a 2 ( 2a 3)2 1• 5a 2 12a 8= 5(a 6)2 4V 55故当a6时,522Pg 評即线段PQ长勺最小值为护. min解法2: PQ | min =| 2 X 2 + 1 — 3 |2 “55<2 2 + 1(3) 设圆 P 的半径为R ,-圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1,OPR 1.即 R OP 1 且 R OP 1.PQ | 而OP故当a6时，OP i5mil minOQ ，由勾股定理有3此时，b 2a 33, R min ^5 1. 5 5得半径取最小值时圆 F 的方程为(x 6)2 (y ?)2 (3 5 1)2 •5 55解法2：圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线I 的距离减去1,圆心F 为过原点与I 垂直的直线I '与I 的交点F 0.又 I ' : x — 2y = 0,解方程组x 2y °, 2x y 3 0，得65'.即 3 56 3F o( 5，5 ).所求圆方程为(x 6)2 (y 53 2 3 —2-)(「5 1)2 5 53*55-1.。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(56)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(2,λ)，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数 λ= ( ) A ． 3 B ． −3 C ． 7 D ． −12. 袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球编号之和是偶数的概率为 ( ) A ． 25B ． 35C ． 13D ． 233. 下列命题正确的是 ( ) A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．梯形可确定一个平面4. 复数 1+i 2= ( ) A ． 0B ． 2C ． 2iD ． 1−i5. 已知 ∣a ⃗∣=1，∣b ⃗⃗∣=2，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π3，则 a ⃗⋅b ⃗⃗ 等于 ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 已知平面向量 a ⃗=(1,x )，b ⃗⃗=(y,1)，若 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x ，y 一定满足 ( ) A ．xy −1=0B ．xy +1=0C ．x −y =0D ．x +y =07. 在平行四边形 ABCD 中，A (1,2)，B (3,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A ． (−2,4)B ． (4,6)C ． (−6,−2)D ． (−1,9)8. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,b )，则 a +b = ( ) A ． −1B ． 0C ． 1D ． 29. 已知直线 a 在平面 γ 外，则 ( ) A ． a ∥γ B ． a 与 γ 至少有一个公共点 C ． a ∩γ=AD ． a 与 γ 至多有一个公共点10. 下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 ( )A．B．C．D．二、填空题（共6题）11.思考辨析判断正误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )12.复数加法与减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则（1）z1+z2=；（2）z1−z2=．13.利用“斜二测”法作多面体直观图时，需考虑个方向上的尺度．14.若向量a⃗与b⃗⃗的夹角为120∘，且∣a⃗∣=1，∣∣b⃗⃗∣∣=1，则∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=．15.当时，λa⃗=0⃗⃗．16.“直线a经过平面α外一点P”用集合符号表示为．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.画出如图水平放置的直角梯形的直观图．19.按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图．20. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点 P 与直线 AB ； (2) 点 C 与直线 AB ； (3) 点 M 与平面 AC ； (4) 点 A 1 与平面 AC ； (5) 直线 AB 与直线 BC ； (6) 直线 AB 与平面 AC ； (7) 平面 A 1B 与平面 AC ．21. 有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？22. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴 x ，y 的交点为 O ，与 x ，y 轴正方向同向的单位向量分别是 i ⃗，j ⃗，且 i ⃗ 与 j ⃗ 的夹角为 θ，其中 θ∈(0,π2)∪(π2,π)．由平面向量基本定理，对于平面内的向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，存在唯一有序实数对 (x,y )，使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗，把 (x,y ) 叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在斜坐标系 xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 θ=45∘ 时，方程x−24=y−1−5表示斜坐标系内一条过点 (2,1)，且方向向量为(4,−5)的直线．)，a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(m,6)，且a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，求实数m的取值(1) 若θ=arccos(−13范围；(2) 若θ=60∘，已知点A(2,1)和直线l:3x−y+2=0．①求l一个法向量；②求点A到直线l的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】由a⃗⊥b⃗⃗，所以有a⃗⋅b⃗⃗=1×2+2×λ=0⇒λ=−1．【知识点】平面向量数量积的坐标运算2. 【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{1,3}，{2,4}，共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为26=13，故选：C．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．故选：D．【知识点】平面向量的概念与表示4. 【答案】A【解析】因为i2=−1，所以1+i2=0．故选：A．【知识点】复数的乘除运算5. 【答案】A【解析】a⃗⋅b⃗⃗=∣a⃗∣∣b⃗⃗∣cosπ3=1×2×cosπ3=1．【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】A【解析】因为a⃗∥b⃗⃗，所以1×1−xy=0，即xy−1=0．【知识点】平面向量数乘的坐标运算7. 【答案】A【解析】在平行四边形ABCD中，因为 A (1,2)，B (3,5)，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，又 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,−1)，所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,4)，故选A ．【知识点】平面向量和与差的坐标运算8. 【答案】A【解析】 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)−(1,1)=(−1,0)，故 a =−1，b =0，所以 a +b =−1．【知识点】平面向量和与差的坐标运算9. 【答案】D【解析】直线在平面外，故直线与平面相交或直线与平面平行，直线 a 与平面 γ 平行时没有公共点，直线 a 与平面 γ 相交时有一个公共点，故选D ．【知识点】直线与平面的位置关系10. 【答案】A【解析】根据题图中纸板的形状及特殊面的阴影部分可以判断B ，C ，D 不正确，故选A ．【知识点】棱柱的结构特征二、填空题（共6题） 11. 【答案】 √【知识点】平面向量和与差的坐标运算12. 【答案】 (a +c)+(b +d)i ； (a −c)+(b −d)i【知识点】复数的加减运算13. 【答案】三【知识点】直观图14. 【答案】 √3【解析】因为向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，∣a ⃗∣=1，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cos120∘=−12，因此 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√(a ⃗−b ⃗⃗)2=√∣a ⃗∣2+∣∣b ⃗⃗∣∣2−2a⃗⋅b ⃗⃗=√1+1+1=√3．【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗【解析】若 λa ⃗=0⃗⃗，则 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义16. 【答案】 P ∈a ，P ∉α【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0，所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )，所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π，所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ，所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘，所以 C =120∘−A ，所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA+1，又 △ABC 为锐角三角形，所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘，即 30∘<A <90∘，又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA +1)，30∘<A <90∘，因为30∘<A<90∘，所以tanA>√33，得√3tanA <3，即1<√3tanA+1<4，所以S△ABC=√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的xʹ轴和yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘，如图①②所示．（2）在xʹ轴上截取OʹBʹ=OB，在yʹ轴上截取OʹDʹ=12OD，过点Dʹ作xʹ轴的平行线l，在l上沿xʹ轴正方向取点Cʹ，使得DʹCʹ=DC．连接BʹCʹ，如图②所示．（3）所得四边形OʹBʹCʹDʹ就是直角梯形OBCD的直观图，如图③所示．【知识点】直观图19. 【答案】画法：（1）在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．（2）在图②中画相应的xʹ轴与yʹ轴，两轴相交于点Oʹ，使∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的xʹ轴上取OʹBʹ=OB，OʹGʹ=OG，OʹCʹ=OC，OʹHʹ=OH，yʹ轴上取OʹEʹ=1 2OE，分别过Gʹ和Hʹ作yʹ轴的平行线，并在相应的平行线上取GʹAʹ=12GA，HʹDʹ=12HD．（4）连接AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ轴与yʹ轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图五边形AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）．【知识点】直观图20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】构成三棱锥，这6条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2条长为a的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2，此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2．取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ，在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3，等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3，所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积22. 【答案】(1) 由已知 a ⃗=2i ⃗+j ⃗，b ⃗⃗=mi ⃗+6j ⃗，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=2m +6+(12+m )(i ⃗⋅j ⃗)=53m +2>0，得 m >−65；若 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 同向，则存在正数 t ，使得 t (2i ⃗+j ⃗)=mi ⃗+6j ⃗，由 i ⃗ 和 j ⃗ 不平行得，{2t =m t =6 得 m =12．故所求为 m >−65，m ≠12．(2) ①方程可变形为x−01=y−23，方向向量为 d⃗=(1,3)，设法向量为 n ⃗⃗=(a,b )，由 n ⃗⃗⋅d ⃗=0 得 a +3b +12(3a +b )=52a +72b =0，令 a =−7，b =−5，n ⃗⃗=(−7,5)；②取直线 l 上一点 B (0,2)，则 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1)，所求为 ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗∣∣∣n⃗⃗∣=∣√(⃗+5j ⃗)2=7√3926．【知识点】直线的点法向式方程（沪教版）、平面向量数量积的坐标运算。

人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)

高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么（）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直 D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .QP C'B'A'CBA15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ，又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.20.(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21[分析] (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED . [解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。

人教A版高中数学必修二综合检测(含答案)

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．(2019年河南二模)已知复数z ＝2＋a i(a ∈R )，若|(1－i)z |＝4，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．0D ．±1【答案】B 【解析】∵z ＝2＋a i ，∴(1－i)z ＝(1－i)(2＋a i)＝(2＋a )＋(a －2)i ，由|(1－i)z |＝4，得(2＋a )2＋(a －2)2＝4，解得a ＝±2.故选B ．2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则sin B ＝( ) A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】A 【解析】由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13.3．(2019年淄博月考)样本量为100的样本数据被分为6组，如表：第5组的频率是(A ．0.15 B ．0.16 C ．0.18D ．0.20【答案】B 【解析】由图表可知，第5组的频数为100－14－17－18－20－15＝16，∴第5组的频率为16100＝0.16.故选B ．4．(2019年南昌期末)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，则|b|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，∴(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)＝2＋2b 2＝10，∴b 2＝4，∴|b|＝2.故选B ．5．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D 【解析】根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4.∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选D ．6．(2019年河南月考)市场调查发现，大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A ．67B ．56C ．45D ．25【答案】A 【解析】由题意，网上购买的家用小电器被投诉的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－1720＝12100，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－910＝2100，故所求概率为p ＝1210012100＋2100＝67.故选A ．7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C 【解析】设在△ABC 中，a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513，∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥A -BCD 中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2015π，则△ABC 边长为( )A ．332 B ．634 C ．633D ．6【答案】D 【解析】如图，取BC 中点M ，连接AM ，DM .设等边三角形ABC 与等边三角形BCD 的外心分别为N ，G ，三棱锥外接球的球心为O ，连接OA ，OD ，ON ，OG .由V ＝4π3R 3＝2015π，得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ，则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ，AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中，由ON 2＋AN 2＝R 2，得a 212＋a 23＝15，解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥，则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD 【解析】若事件A 与事件B 互斥，则有可能P (A )＋P (B )<1，故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件，且P (A )＝0.5，则满足P (A )＋P (B )＝1，但事件A 与事件B 不是对立事件，B 不正确；互斥不一定对立，对立一定互斥，故C 正确；某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立，D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC 【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD 【解析】由AB →＝2a ，得a ＝12AB →，又AB ＝2，所以|a|＝1，即a 是单位向量，A 正确；a ，b 的夹角为120°，B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，所以BC →＝b ，C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a·b ＋b 2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0，D 正确．故选ACD ．12．如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则( )A ．三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD 【解析】连接BD 交AC 于点O ，连接DC 1交D 1C 于点O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P -AD 1C 的体积不变，又因为V 三棱锥P -AD 1C ＝V 三棱锥A -D 1PC ，所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，B 正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C ，又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，D 正确．故选ABD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝1＋3i1－i，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为________．【答案】－2 【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i ，得z ＝－1－2i ，∴复数z 的虚部为－2.14．(2019年郑州高一期末)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，这5个班级中抽取的人数分别为5，a,7,7,10，若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，则样本数据中的方差是________．【答案】2.8 【解析】由15×(5＋a ＋7＋7＋10)＝7，得a ＝6.所以样本数据的方差s 2＝15×[(5－7)＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(10－7)2]＝2.8.15．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，A ＝45°，a ＝2，则c ＝________.【答案】4105 【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab ＝2cosC ＝－2cos(A ＋B )，整理，得3cos A cos B ＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°，所以tan A ＝1，tan B ＝3.由sin B cos B ＝3，sin 2B ＋cos 2B ＝1，得sin B ＝31010，cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫31010＋1010＝255.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．(2020年北京期末)在平行四边形ABCD 中，已知AB →·AC →＝AC →·AD →，|AC →|＝4，|BD →|＝2，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】4 【解析】如图，∵AB →·AC →＝AC →·AD →，∴AB →·(AB →＋AD →)＝(AB →＋AD →)·AD →，∴AB →2＋AB →·AD →＝AD →2＋AB →·AD →，∴AB →2＝AD →2，∴|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 为菱形．又|AC →|＝4，|BD →|＝2，∴四边形ABCD 的面积为12×4×2＝4.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R )，若|z |＝2，且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i ，|z |＝2，∴m 4＋m 2＝2，得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴m ＝－1，即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i ，∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. ∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4.18．(2019年揭阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即12＝a 2＋b 2－42ab，化简得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为12ab sin C ＝3，所以ab ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋sin B cos A －cos B sin A ＝2sin A cos A ，化简得sin B cos A ＝sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形．当cos A ≠0时，得sin B ＝sin A ，即b ＝a ，△ABC 为等腰三角形．19．(2019年重庆期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是边长为3的正方形，E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点，P A ＝6，∠P AD ＝60°.(1)求证：平面EFG ∥平面P AD ； (2)求三棱锥B -EFG 的体积．解：(1)证明：∵E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点， ∴EF ∥P A ，FG ∥BC ．∵底面ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ．∴AD ∥FG . ∵AD ⊂平面P AD ，FG ⊄平面P AD ，∴FG ∥平面P AD ．同理可证EF ∥平面P AD ．又EF ∩FG ＝F ，∴平面EFG ∥平面P AD ．(2)∵底面ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ． ∵P A ⊥AB ，且AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ．由(1)知平面EFG ∥平面P AD ，∴BE ⊥平面EFG . ∴V B -EFG ＝13S △EFG ·BE .易知∠EFG ＝120°，EF ＝12P A ＝3，FG ＝12BC ＝32，BE ＝12AB ＝32.∴S △EFG ＝12·EF ·FG ·sin ∠EFG ＝938.∴V B -EFG ＝13×938×32＝9316.20．(2020年昆明月考)某冰糖橙为甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表：(1)(2)按照分层抽样的方法，从这100箱橙子中抽取10箱，试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起，再从中抽取2箱，求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知，样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)．(2)依题意，珍品抽到110×40＝4(箱)，特级抽到110×30＝3(箱)，优级抽到110×10＝1(箱)，一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱，编号为A 1，A 2，A 3，抽到的一级有2箱，编号为B 1，B 2. 从中抽取2箱，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种可能，两种等级均有的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共6种可能，∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数f (x )＝a·b . (1)若函数f (x )的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3(cos 2ωx ＋1)2＋sin 2ωx 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π，得π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝2π3，解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－bc . 联立b ＋c ＝5，得bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，解得x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

(人教版A版)高中数学必修第二册第六章综合测试试卷02及答案

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（）2.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB u u r u u rg 取最小值时，P 点的坐标是（）A.(2,0)B.(4,0)C.10,03æöç÷èøD.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=u u r u u u r u u u r ，圆O 的半径为2，则OB CB =u u u r u u rg （）A.1-B.2-C.1D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +ÎR u u r u u u r的最小值为（）A.B.5C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（）A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+×-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角q 为（）A.34p B.4pC.3pD.23p 9.已知sin 1sin cos 2a a a =+，且向量(tan ,1)AB a =u u u r ，(tan ,2)BC a =u u u r ，则AC u u u r 等于（）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0u u r u u r u u u r，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sl ==，则23l l ×取到最大值时，2x y +的值为（）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c p=+=，则ac=（）A.2B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，则ABC △的形状不可能是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12×=12e e .若向量b 满足1×=×=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-≤a b ，则×a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ^，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB l m =+u u r u u u r u u u r，则l =________，m =________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==u u r u u u r a b 为邻边作OADB Y ，11,33BM BC CN CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，用,a b 表现,,OM ON MN u u u r u u u r u u u r.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =.（1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC SD =，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4p +，试求AC BC u u u r u u u rg 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ^；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x p æöæö=-ç÷ç÷èøèøb ，函数()2f x =×a b ，()4g x f x pæö=ç÷èø.（1）求()f x 在,2p p éùêúëû上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++L 的值；（3）已知t ÎR ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a \=可化为sin sin A B =又sin 22sin cos 2,sin sin B B B A B B B =\==，cos B \=.2.【答案】A【解析】由已知可得111122×=´´=a b ，211()122-×=-×=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-××=a b a a a a .3.【答案】D【解析】Q 点P 在x 轴上，\设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x \=--=-u u r u u r，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x \×=---=-+=--u u r u u r ，\当3x =时，PA PB ×u u r u u r 取最小值.P \点的坐标是(3,0).4.【答案】D【解析】OA OC OB +=u u r u u u r u u u rQ ，OA OC =u u r u u u r ，\四边形OABC 是菱形，且120AOC Ð=°，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB \×=´´°=u u u r u u r.5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++u u r u u u r，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t \+=+++=++=++u u r u u u r ≥，\当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +u u r u u u r取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ÐÐÐ，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ì+-=ï´´ïï+-=í´´ïï+-=ï´´î＞即()()222100,280,680,a a a a a ì-ïï-íï+ïî＞＞＞解得a ，故选B .7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====Q，sin 8cC \=，1sin 216ABC abc S ab C D \====.8.【答案】C【解析】22(2)(54)5680+×-=+×=-Q a b a b a a b b ，又11,63,cos 2q ==\×=\=a b a b ，又[0,],3pq p q Î\=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2a a a =+Q ，cos sin a a \=，tan 1a \=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC a \=+==u u u r u u u r u u u r .故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P \到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S l l ++===.由此可得223231216l l l l +æö×=ç÷èø≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF \+=u u r u u u r .由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=u u r u u r u u r ，2PA PC PF +=u u r u u u r u u u r ，两式相加，得20PA PB PC ++=u u r u u r u u u r.0PA xPB yPC ++=u u r u u r u u u r Q ，\根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=.二、11.【答案】AC 【解析】3B p=Q，a c +=，2222()23a c a c ac b \+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb p+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c æöæö-+=ç÷ç÷èøèø，解得2a c =或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD【解析】P Q 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=u u r u u u r u u r u u u r u u r，|||()()|0CB PB PA PC PA \--+-=u u r u u r u u r u u u r u u r，即||||CB AC AB =+u u r u u u r u u u r ，||||AB AC AC AB \-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方并化简得0MC AB ×=u u u r u u u r ，AC AB \^u u u r u u u r，90A °\Ð=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为q .1cos cos 2q q \×=×==1212e e e e ，又0q °°≤≤180，60q \=°.()0×-=Q 12b e e ，\b 与,12e e 的夹角均为30°，从而1||cos30°=b .14.【答案】52【解析】|4|-==a b ，52×≥a b ，即×a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=u u r u u u r u u u r，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB l m l m =+\-=-+u u r u u u r u u u rQ ，22,22,l m l m -+=-ì\í+=î解得6,52.5l m ì=ïïíï=ïî16.km /h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE Ð=°，150EAC Ð=°.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=Ð，sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x°Ð\===g .在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=°，sin sin120BC C AB \===°g 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE °=+-=+-=g g，故BE =.\船速的大小为/h)BEt==.四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-u u r u u r u u u rQ a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA \=+=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r a b .又OD =+u u u r a b ，222333ON OC CN OD \=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，221511336626MN ON OM \=-=+--=-u u u r u u u r u u u r a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B =Q ，且0B p ＜＜，4sin 5B \==.由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a BA b´\===.（2）1sin 42ABC S ac B D ==Q ，142425c \´´´=，5c \=.由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-´´´=，b \=.19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C=-，sin 02C Q ＞，1cos sin 222C C \-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =.（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C p\＞，2C p\＞，cos C \==.易得2sin c R C =，22294sin (44c R C \==，由余弦定理得，2229(42214c a b ab ab ææ=+=+-+ççççèè≥g g ，902ab \＜≤，cos AC BC ab C éö\=Î÷ê÷ëøu u u r u u u r g g ，即AC BC u u u r u u u r g的取值范围是éö÷ê÷ëø.20.【答案】解：如图所示，设ACD a Ð=，CDB b Ð=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD b +-+-===-´´g，sin b \==()11sin sin 60sin cos60sin 60cos 27a b b b °°°æö\=-=-=--=ç÷èøg在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD a=°，21sin 15sin 60AD a \==°（千米）.\这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-u u r u u u r u u u r Q ，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--u u u r u u u r u u u r ，(1)(2)2(1)0BE CF \×=-´-+´-=u u r u u u r ，BE CF \^u u r u u u r ，即BE CF ^.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-u u r ，(2,)BP x y =-u u r ，由（1）知(2,1)CF =--u u u r ，(1,2)BE =-u u r ，FP CF u u r u u u r Q ∥，2(1)x y \-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE u u r u u r ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-ì\í=-+î解得6,58,5x y ì=ïïíï=ïî即68,55P æöç÷èø.222268455AP AB æöæö\=+==ç÷ç÷èøèøu u u r u u u r ，||||AP AB \=u u u r u u u r ，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x p ö=×=-+=+=÷øab 1sin 22sin 223x x x p æö-+=-+ç÷èø,2x p p éùÎêúëûQ，252333x p p p \-≤，1sin 23x p æö\--ç÷èø≤，\当3232x p p -=，即1112x p =时，()f x 取得最小值1，当2233x p p -=，即2x p =时，()f x .（2）由（1）得()sin 23f x x p æö=-+ç÷èø()sin 423g x f x x p p p æöæö\==-ç÷ç÷èøèø4T \=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g \+++=+++==+++L .又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g \++++=´++=L=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ÎZ 时，由图象可知，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++ÎZ ＜≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++ÎZ ≤≤时，sin 23x y p p æö-çè=÷ø与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

(人教版A版)高中数学必修第二册第九章综合测试试卷03及答案

第九章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C ．从某连队200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从l0个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）2．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m 跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（）A ．l20名学生B ．1200名学生C ．120名学生的成绩D ．1200名学生的成绩3．简单随机抽样和分层随机抽样之间的共同点是（）A ．都是从总体中逐个抽取的B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D ．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取4．某市有大型、中型与小型商店共1 500家，它们的数量之比为l:5:9，用分层随机抽样的方法抽取其中的30家进行调查，则中型商店应抽取（）A ．10家B ．18家C ．2家D ．20家5．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A ．88.5B ．89C ．91D ．89.56．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图9-4-1，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则（）A ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＜B ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＞C ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＜D ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＞7．某校高中三个年级的人数扇形统计图如图9-4-2所示，按年级用分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本量为（）A ．24B ．30C ．32D ．358．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635790033709160162038827757495032114919730649167677873399746732274861987164414870862888851916207477011l 163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．499．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取女生的人数是（）A ．12B ．15C ．20D ．2111．如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 1+2，…n + ）A ，2s B +，2sC +，23s D +212．在去年某地区的足球比赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法：①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球，其中正确的有（）A．l个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种福利彩票的中奖号码是从1~36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，从36个号码中选出7个号码，适宜的抽样方法是________．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”、现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的相关记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2这三地肯定进入夏季的地区有________个．16．某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6．据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）某电视台举行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机挑选10人，从18名B地区演员中随机挑选6人，从10名C地区演员中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演顺序．18．（12分）某市组织了一次普法知识竞赛，从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，统计如下：甲单位职工的成绩（分）8788919193甲单位职工的成绩（分）8589919293根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定．19．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？20．（12分）某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护仍是百姓最为关心的问题，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,56，得到的频率分布直方图如图9-4-3所示。

2013-2014学年度第二学期期末考试高一数学(必修2)试卷及答案

510158正视图侧视图俯视图数学（必修2）试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题恰有一项．．．．是符合题目要求的.）1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为（）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．经过点)3,4(P ，倾斜角为045的直线方程是（）A ．07y xB ．07y xC ．07y xD ．07y x 3.下列命题：①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面；⑤梯形一定是平面图形. 其中正确的个数有（）A ．5个B ．4个 C．3个 D．2个4.直线0732y x 与直线095y x 的交点坐标是（）A.21， B.12， C.13， D.31，5.已知直线013:1y ax l 和02:2aya xl ，若21l l ，则a 的值为（）A.23 B.3 C.34 D.46.直线031ky kx ，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A.01， B.10， C.13， D.31，7.一个正方体的各个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的边长为2, 则该球的体积为（）A.4B.2 C.34 D.48.设m ，n 是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ，n //，则m n ；②若//，//，m，则m；③若m //，n //，则m n //；④若，，则//.其中正确命题的序号是 ( )A ．①和④B ．①和②C ．③和④D ．②和③9.圆0222x yx和圆0422y y x的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切 D.内切10.在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 、GH 相交于点P ，那么( )A ．点P 必在直线AC 上 B.点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 内D.点P 必在平面ABC 外11.已知圆的方程为042422yx yx，则该圆关于直线x y 对称圆的方程为（）A.012222y x y x B.074422y x y x C.042422yxyxD.44222yxyx12．若斜线段AB 是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是()A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是201，，，130，，，则||AB ___ _.14.两条平行直线1043yx与01586y x的距离是 .15.已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．16.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直. 其中，正确命题的序号是______________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.）17.（本小题满分10分）分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点)1,0(，且平行于0124:1y xl 的直线；（2）与2l 01:y x垂直，且与点)0,1(P 距离为2的直线.18.（本小题满分12分）右图是一个几何体的三视图（单位：cm ）.（1）计算这个几何体的体积；（2）计算这个几何体的表面积.。

高中数学必修一和必修二第一二章综合试题(人教A版含答案)

高一数学第二次月考模拟试题（必修一+二第一二章）时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝log 2x 3．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞) 4．梯形1111A B C D （如图）是一水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测），若11A D ∥/y 轴，11A B ∥/x 轴，1111223A B C D ==， 111A D =，则平面图形ABCD 的面积是（） A.5 B.10 C.52 D.1025．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（） A.120︒ B.150︒ C.180︒ D.240︒ 6．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值，为( )A.37－1B.37＋1 C ．3 D ．2 7．已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295等于( )A ．a 2－b B ．2a －b C.a 2b D.2ab8．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是( )A ．[0,12]B ．[－14，12]C ．[－12，12]D ．[34，12]9．下列四个图象中，表示函数f (x )＝x －1x的图象的是( )A 1B 1C 1D 1O 110．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )A．没有零点 B．有一个零点 C．有两个零点 D．有无数个零点11．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．112．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( ) A．x>1 B．x<1 C．0<x<2 D．1<x<2二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A∪B＝__________.14．函数y＝log23－4x的定义域为__________．15．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km2)与时间t(年)可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16 km2降至0.04 km2，则污染区域降至0.01 km2还需要__________年．16．空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC= 4、BD=25那么AC与BD所成角的度数是_________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}，(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．18．(12分)(1)计算：(279)12＋(lg5)0＋(2764)-13；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.19．(12分)判断函数f (x )＝1a x－1＋x 3＋12的奇偶性．20．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ． (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.21．(12分)已知正方体1111ABCD A B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）O C 1∥面11AB D ；D 1ODB AC 1B 1A 1C（2）1A C 面11AB D ．22．( 12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1，(1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S(x)＝xf(x)＋g(12)在(0，＋∞)上是增函数．高一数学期末考试模拟试题（答案）一、选择题(每小题5分，共60分)1．解析：U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}，∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，有3个元素，故选A.答案：A2．解析：A 为偶函数，C 、D 均为非奇非偶函数．答案：B 3．解析：要使函数有意义，自变量x 的取值须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋3>0，解得x >－3且x ≠0.答案：D4．解析：梯形1111A B C D 上底长为2，下底长为3腰梯形11A D 长为1，腰11A D 与下底11C D 的夹角为45︒ ，所以梯形1111A B C D 的高为2，所以梯形1111A B C D 的面积为1+=224（23），根据S =4直观平面可知，平面图形ABCD 的面积为5.答案：A 5．解析：由22r r 3r l πππ+=知道2l r =所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角度数为13603601802r l ⨯︒=⨯︒=︒，故选C 答案：C 6．解析：令x 3－1＝7，得x ＝2，∴f (7)＝3.答案：C7．解析：log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b .答案：B8．解析：画出函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的图象，由图象得值域是[－14，12]．答案：B9．解析：函数y ＝x ，y ＝－1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，故满足条件的图象为A.答案：A10．解析：∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.答案：B 11．解析：因为①②④正确，故选B ．12．解析：由题目的条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0x >2－x，解得1<x <2，故答案应为D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分) 13．答案：{x |x <4}14．解析：根据对数函数的性质可得log 2(3－4x )≥0＝log 21，解得3－4x ≥1，得x ≤12，所以定义域为(－∞，12]．答案：(－∞，12]15．解析：设S ＝a t ，则由题意可得a 2＝14，从而a ＝12，于是S ＝(12)t ，设从0.04 km 2降至0.01 km 2还需要t 年，则(12)t ＝14，即t ＝2.答案：2 16、解析：如图，取AD 中点Q ，连PQ ，RQ ，则5PQ =，2RQ =，而PR =3，所以222PQ RQ PR +=，所以PQR 为直角三角形，90PQR ∠=︒，即PQ 与RQ 成90︒的角，所以AC 与BD 所成角的度数是90︒.答案：90︒三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |x －a <0}， (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}，则有A ∩B ＝{x |1≤x <3}． (2)B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }，当A ⊆B 时，有a ≥4，即实数a 的取值范围是[4，＋∞)． 18．(12分)(1)计算：(279)12 ＋(lg5)0＋(2764)-13 ；(2)解方程：log 3(6x－9)＝3.解：(1)原式＝(259)12 ＋(lg5)0＋[(34)3]－13＝53＋1＋43＝4.(2)由方程log 3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解． 19．(12分)判断函数f (x )＝1a x－1＋x 3＋12的奇偶性．解：由a x－1≠0，得x ≠0，∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝1a －x －1＋(－x )3＋12＝a x1－a x －x 3＋12＝a x －1＋11－a x－x 3＋12＝－1a x －1－x 3－12＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．20．(12分) 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ． (2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第20题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5． 21.(12分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =D 1ODBAC 1B 1A 1C11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴1C O 面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111A C B D ⊥， 1111B D AC C ∴⊥面111AC B D ⊥即同理可证11A C AB ⊥，又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D22．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1， (1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S (x )＝xf (x )＋g (12)在(0，＋∞)上是增函数．解：(1)设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x(k 2≠0)．∵f (1)＝1，g (1)＝1，∴k 1＝1，k 2＝1.∴f (x )＝x ，g (x )＝1x.(2)由(1)得h (x )＝x ＋1x，则函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，h (－x )＝－x ＋1－x ＝－(x ＋1x)＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数． (3)证明：由(1)得S (x )＝x 2＋2.设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则S (x 1)－S (x 2)＝(x 21＋2)－(x 22＋2)＝x 21－x 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0. ∴S (x 1)－S (x 2)<0.∴S (x 1)<S (x 2)．∴函数S (x )＝xf (x )＋g (12)在(0，＋∞)上是增函数．。

高中数学必修二综合测试题(全册含答案)

高中数学必修二综合测试题第一章至第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关3.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A. B.3 C. D.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )A.外离B.相交C.外切D.内切5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④6.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( )A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=07.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)【变式训练】已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射影,则线段PQ的长等于( ) A.2 B.3 C.4 D.58.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )A.4B.3C.2D.19.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为( )A.4x+3y+5=0B.4x+3y-5=0C.3x+4y+5=0D.3x+4y-5=010.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=111.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm312.方程=lgx的根的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【延伸探究】曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知△ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边BC上的中线长为.14.已知直线a和两个不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,则α,β的位置关系是.15.已知一个球的表面积为36πcm2,则这个球的体积为cm3.16.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,(1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值.(2)当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.18.(12分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.19.(12分)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.20.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.21.(12分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离.22.(12分)已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上.(2)证明曲线C过定点.(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.【补偿训练】已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.(1)求圆C的方程.(2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB恒过定点.高中数学必修二综合测试题(第一至第四章)参考答案(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d==2>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A. B.3 C. D.【解析】选A.==. 4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0【解析】选A.由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由=1,得k=±.由切点在第一象限知,k=.故所求的直线方程y=-x+,即x+y-=0.【补偿训练】过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( )A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=0【解析】选 A.依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=0.7.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )A.(-2,1,-4)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)【解析】选C.点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).【变式训练】(2014·宁波高一检测)已知点Q是点P(3,4,5)在平面xOy上的射影,则线段PQ 的长等于( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由题意,Q(3,4,0),故线段PQ的长为5.8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选 B.两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圆心O 1(-2,2),O2(2,5),半径r1=1,r2=4,所以|O1O2|==5,r1+r2=5.所以|O1O2|=r1+r2,故两圆外切,故有3条公切线.9.已知直线l与直线4x-3y+5=0关于y轴对称,则直线l的方程为( )A.4x+3y+5=0B.4x+3y-5=0C.3x+4y+5=0D.3x+4y-5=0【解析】选B.直线l的斜率与直线4x-3y+5=0的斜率互为相反数,且过点,所以直线l 的方程为4x+3y-5=0.【拓展延伸】直线关于直线对称问题的两种情形(1)两直线平行,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解.(2)两直线相交.一般解题步骤是:①在所求曲线上选一点M(x,y);②求出这点关于中心或轴的对称点M'(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;③利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.10.(2015·大连高一检测)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1【解析】选C.设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=,y=,所以x 1=2x-3,y1=2y.又点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.11.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3【解析】选 C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm3).12.(2015·潍坊高一检测)方程=lgx的根的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选B.设f(x)=,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.由图可得函数f(x)=与g(x)=l gx仅有1个交点,所以方程仅有1个根.【延伸探究】曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.如图所示,曲线y=1+变形为x2+(y-1)2=4(y≥1),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当直线l与半圆相切时,有=2,解得k=.当直线l过点(-2,1)时,k=.因此,k的取值范围是<k≤.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知△ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边BC上的中线长为.【解析】BC的中点为D(1,-2,3),则|AD|==2.答案:214.已知直线a和两个不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,则α,β的位置关系是. 【解析】垂直于同一直线的两个平面互相平行.答案:平行15.已知一个球的表面积为36πcm2,则这个球的体积为cm3.【解析】设球的半径为r,因为4πr2=36π,所以r=3,故体积为πr3=36π.答案:36π16.(2015·大庆高一检测)方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是.【解析】已知方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0),圆心坐标为(-a,a),它在直线x+y=0上,所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l1:ax+by+1=0(a,b不同时为0),l2:(a-2)x+y+a=0,(1)若b=0且l1⊥l2,求实数a的值.(2)当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.【解题指南】(1)当b=0时,直线l1的斜率不存在,此时l1⊥l2,即l2的斜率为0,a-2=0.(2)l1∥l2,即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,求出a的值,利用平行线间距离公式d=求解. 【解析】(1)当b=0时,l1:ax+1=0,由l1⊥l2知a-2=0,解得a=2.(2)当b=3时,l1:ax+3y+1=0,当l1∥l2时,有解得a=3,此时,l1的方程为:3x+3y+1=0,l2的方程为:x+y+3=0,即3x+3y+9=0,则它们之间的距离为d==.18.(12分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.【解析】连接OP,则OP⊥BC,设P(x,y),当x≠0时,k OP·k AP=-1,即·=-1.即x2+y2-4x=0.①当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程①的解,所以BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).【一题多解】由上述解法可知OP⊥AP,取OA中点M,则M(2,0),|PM|=|OA|=2,由圆的定义,知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心,2为半径的圆.故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).19.(12分)(2015·滁州高一检测)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.【解析】由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1).两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m2-1=0.因为A,B两点平分圆N的圆周,所以AB为圆N的直径,所以AB过点N(-1,-1).所以2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0,解得m=-1.故圆M的圆心M(-1,-2).20.(12分)(2015·湖北高考)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由.(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=S ABCD·PD=BC·CD·PD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BC⊥CE,所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE.在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是===4.21.(12分)(2015·广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离.【解析】(1)因为四边形ΑΒCD是长方形,所以ΒC∥ΑD,因为ΒC⊄平面ΡDΑ,ΑD⊂平面ΡDΑ,所以ΒC∥平面ΡDΑ.(2)因为四边形ΑΒCD是长方形,所以ΒC⊥CD,因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΒC⊂平面ΑΒCD,所以ΒC⊥平面ΡDC,因为ΡD⊂平面ΡDC,所以ΒC⊥ΡD.(3)取CD的中点Ε,连接ΑΕ和ΡΕ,因为ΡD=ΡC,所以ΡΕ⊥CD,在Rt△ΡΕD中,ΡΕ===,因为平面ΡDC⊥平面ΑΒCD,平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΡΕ⊂平面ΡDC,所以ΡΕ⊥平面ΑΒCD,由(2)知:ΒC⊥平面ΡDC,由(1)知:ΒC∥ΑD,所以ΑD⊥平面ΡDC,因为ΡD⊂平面ΡDC,所以ΑD⊥ΡD,设点C到平面ΡDΑ的距离为h,因为V三棱锥C-ΡDΑ=V三棱锥Ρ-ΑCD,所以S△ΡDΑ·h=S△ΑCD·ΡΕ,即h===,所以点C到平面ΡDΑ的距离是.22.(12分)(2015·杭州高一检测)已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上.(2)证明曲线C过定点.(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.【解析】(1)原方程可化为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.因为k≠-1,所以5(k+1)2>0.故方程表示圆心为(-k,-2k-5),半径为|k+1|的圆.设圆心的坐标为(x,y),则消去k,得2x-y-5=0.所以这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.(2)将原方程变形为(2x+4y+10)k+(x2+y2+10y+20)=0,所以上式对于任意k≠-1恒成立,所以解得所以曲线C过定点(1,-3).(3)因为圆C与x轴相切,所以圆心(-k,-2k-5)到x轴的距离等于半径.即|-2k-5|=|k+1|.两边平方,得(2k+5)2=5(k+1)2.解得k=5±3.【补偿训练】已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.(1)求圆C的方程.(2)点P在直线x=8上,过P点引圆C的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB恒过定点. 【解题指南】求出圆的半径即可写出圆的方程,而公共弦的方程只需将两圆的方程相减即可得到.【解析】(1)依题意得:圆C的半径r==4,所以圆C的方程为x2+y2=16.(2)因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为,b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆方程为+=42+,b∈R, 化简得:x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,所以直线AB恒过定点.。

人教a版必修2高中数学测试题全套含答案(K12教育文档)

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(数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A组］一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ）A.棱台B。

棱锥 C.棱柱 D。

都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）。

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125π D．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为( ）AB2 C．2: D35．在△ABC中，02, 1.5,120AB BC ABC==∠=,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ )A。

92π B.72π C.52π D。

32π视图6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点,顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱.2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

(人教版A版)高中数学必修第二册第九章综合测试01(含答案)

第九章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列两个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱（每箱12盒）牛奶中抽取4盒进行质量检查.则应采用的抽样方法依次为（）A.简单随机抽样；简单随机抽样B.分层随机抽样；分层随机抽样C.分层随机抽样；简单随机抽样D.简单随机抽样；分层随机抽样2.某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人.现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A.193B.192C.191D.1903.2019年4月，某学校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现从该校参加考试的学生数学成绩在100分及以上的试卷中随机抽取了20份试卷，这20份试卷的得分情况如下：109，112，120，128，135，139，142，150，118，124，127，135，138，144，114，126，126，135，137，148.则这组数据的第75百分位数是（）A.120B.138C.138.5D.1394.在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形；若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（）A.32B.0.2C.40D.0.255.小波一星期的总开支分布如图甲所示，一星期的食品开支如图乙所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A.1%B.2%C.3%D.5%6.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1 000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（）A.650B.660C.680D.7007.在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差8.某校将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全市100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成表格如下：甲乙丙丁平均数59 57 59 57方差12 12 10 10根据表中的数据，应选哪位选手参加全市的比赛（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.某地区某村的前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y，预计今年该村经济收入将在上年基础上翻番，则在这4年里收入的统计数据中，下列说法正确的是（）A.中位数为x，平均数为1.5y B.中位数为1.25x，平均数为yC.中位数为1.25x，平均数为1.5yD.中位数为1.5x，平均数为2y10.某部门对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于，，，，五个层次，根据抽样结果得到如图所示统计图，则从图中不能得出的信息是（）A B C D EA.样本中男生人数少于女生人数B.样本中B层次身高人数最多C.样本中D层次身高的男生多于女生D.样本中E层次身高的女生有3人二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，-的值为________.方差为2，则x y12.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________.，，三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，研究人员用分层随机抽样的13.某教研部门对本地区A B C方法从这三所学校中共抽取20个班级进行调查，得到这三所学校所抽取班级的数量、平均数和方差如下：学校A B C数量（个） 5 10 5平均数85 90 95方差14 30 26则抽取到的20个班级的平均数是________，方差________.14.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a=________.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]的学生中选取的人数应为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频率第1组[160,165) 0.05第2组[165,170) 0.35第3组[170,175) ①第4组[175,180) 0.2第5组[180,185) 0.1（1）请先求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进人第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进人第二轮面试.16.[12分]甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶所得的环数如图所示.填写下表，请从下列角度对这次结果进行分析.命中9环及平均数中位数方差以上的次数甲乙（1）命中9环及以上的次数（分析谁的成绩好些）；（2）平均数和中位数（分析谁的成绩好些）；（3）方差（分析谁的成绩更稳定）；（4）折线图上两人射击命中环数的走势（分析谁更有潜力）.17.[13分]某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）.（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.18.[13分]蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量，绘制如图所示频率分布直方图. （1）求a的值，并求100个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）.（2）若经销商在下个销售周期购进了190吨该蔬菜，设T为该销售周期的利润（单位：元），X为该销售周期的市场需求量（单位：吨）.求T与X的函数解析式，并估计销售的利润不少于86 000元的频率.第九章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】①中商店的规模不同，所以应采用分层随机抽样；②中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(21)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，则 A 的取值范围是 ( ) A ． (0,π6]B ． [π6,π)C ． (0,π3]D ． [π3,π)2. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√323. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=√3，∣∣b ⃗ ∣∣=2√3，a ⋅b ⃗ =−3，则 a 与 b ⃗ 的夹角是 ( ) A ． 150∘ B ． 120∘ C ． 60∘ D ． 30∘4. 甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数比为 1:3．已知从甲袋中摸到红球的概率为 13，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为23．则从乙袋中摸到红球的概率为 ( ) A ． 79B ． 1945C ． 1330D ． 22455. 下列各组向量组成的集合 {e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ } 中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A ． e 1⃗⃗⃗ =(0,0)，e 2⃗⃗⃗ =(1,−2)B ． e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(5,7)C ． e 1⃗⃗⃗ =(3,5)，e 2⃗⃗⃗ =(6,10)D ． e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)6. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( ) A ．甲获胜的概率是16 B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是127. 在 △ABC 中，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，AB =2，AC =1，E ，F 为 BC 的三等分点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． 89B ．109C ．259D ．2698. 设复数 2−i 和 3−i 的辐角的主值分别为 α 和 β，则 α+β 等于 ( ) A ． 135∘B ． 315∘C ． 675∘D ． 585∘9. 一组数据从小到大排列依次为 3，5，6，7，8，9，x ，12，13，13，且该组数据 70% 分位数不超过 11，则 x 的取值范围是 ( ) A ． [9,12]B ． (9,11]C ． (9,10)D ． [9,10]10. 如图，在四边形 ABCD 中，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为A ．2B ．2√2C ．4D ．4√2二、填空题（共6题）11. 已知某次考试有 4 道选择题，每道选择题有 4 个选项．若某人做对每道题的概率都是 14，且完成每道题相互独立，则该人至少做对 1 题的概率是．12. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为．13. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 A:B:C =1:2:3，a =1，则a−2b+c sinA−2sinB+sinC= ．14. 若a1−i =1−bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则∣a +bi ∣= ．15. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 [20.5,26.5]，样本数据的分组为 [20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于 22.5∘C 的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5∘C 的城市个数为．16. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，a =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =ke 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，若 a⋅b ⃗ =0，则实数 k 的值为．三、解答题（共6题）17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 asinA+C 2=bsinA ．(1) 求 B ；(2) 若 △ABC 为锐角三角形，且 c =1，求 △ABC 面积的取值范围．18. 有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：① 50%；② 2%；③ 90%．试将以上数据分别与下面的文字描述相匹配： (1) 很可能送你回家，但不一定送． (2) 送与不送的可能性一样大． (3) 送你回家的可能性极小．19. 已知定点 F (2,0)，直线 l:x =−2，点 P 为坐标平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )．设动点 P 的轨迹为曲线 C ． (1) 求曲线 C 的方程；(2) 过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ，求证：1∣AF∣+1∣BF∣=12；(3) 记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 θ（O 为坐标原点，A ，B 为（2）中的两点），求 cosθ 的取值范围．20. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB =60∘，∠ADP =90∘，平面ADP ⊥平面ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点．(1) 在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，并说明理由； (2) 当二面角 D −FC −B 的余弦值为 √24时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．21. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率 e =√22，右准线为 l ，M 、 N 是 l 上的两个动点，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1) 若 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5，求 a 、 b 的值；(2) 证明：当 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值时，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．22. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 bcosC +(2a +c )cosB =0．(1) 求内角 B 的大小；(2) 若 b =2，求 △ABC 面积的最大值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【知识点】余弦定理、正弦定理2. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ，因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形，又 AD 平分 ∠BAC ，所以四边形 AFDE 为菱形．因为 AD =2√3，∠BAC =60∘，所以 AE =2，则 AC =6．设 FB =x ，因为 DF ∥AC ，所以DF AC=FB AB，即 26=x2+x，解得 x =1，即 FB =1，所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】A【解析】设甲袋中的总球数为 x ，则甲袋中有 x 3 个红球，2x3 个白球，乙袋中的总球数为 3x ，因为甲、乙两袋中共有 4x ×23=8x3个红球，所以乙袋中有 7x 3个红球，因此从乙袋中摸到红球的概率为7x 33x=79．【知识点】古典概型5. 【答案】B【解析】由基底的概念可知，作为基底的两个向量不能共线．A 中向量 e 1⃗⃗⃗ 为零向量，零向量与任意向量都共线，故 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；B 中 e 1⃗⃗⃗ 与 e 2⃗⃗⃗ 不共线，故可以作为基底；C 中 e 1⃗⃗⃗ =12e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；D 中 e 1⃗⃗⃗ =4e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ．【知识点】平面向量数乘的坐标运算6. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件分别求出甲获胜、甲不输、乙输和乙不输的概率，由此能得到正确选项同．【解析】解：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13， ∴甲获胜的概率是：1−12−13=16，故A 正确；甲不输的概率是：1−13=23，故B 不正确；乙输了的概率是：1−13−12=16，故C 不正确；乙不输的概率是：12+13=56．故D 不正确．故选：A ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．7. 【答案】B【解析】解法一：因为 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以点 A 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为 x ，y 轴正方向建立直角坐标系，设 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23)，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)⋅(23,23)=109，故选B ．解法二：若 ∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29×(1+4)+0=109.故选B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】C【解析】根据题意有 2−i =√5(cosα+isinα)，3−i =√10(cosβ+isinβ)，则 √5(cosα+isinα)⋅√10(cosβ+isinβ)=5√2[cos (α+β)+isin (α+β)]．又 (2−i )(3−i )=5−5i ，所以 cos (α+β)=√22， sin (α+β)=−√22，而 270∘<α<360∘， 270∘<β<360∘，所以 α+β=675∘．【知识点】复数的三角形式9. 【答案】D【解析】因为 10×70%=7，所以 70% 分位数为 x+122，所以 {x+122≤11,9≤x ≤12,解得 9≤x ≤10．【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】由 {(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4. 解得 {∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2,∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2.因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠CAB =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=4. 【知识点】平面向量的数量积与垂直二、填空题（共6题） 11. 【答案】 175256【解析】设事件 A i ={做对第i 题}(i =1,2,3,4)，则 P (A i )=14，P(A i )=1−P (A i )=34，由于 A 1，A 2，A 3，A 4 相互独立，所以 P(A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)=(34)4=81256，故至少做对一题的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)=1−P(A 1A 2A 3A 4)=1−81256=175256．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】138【解析】如图，由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB ⃗⃗⃗⃗ ．设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6，所以 CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y (IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ．因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0，点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式．所以 IC ⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ．因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y7):(x6−5y42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算13. 【答案】 2【解析】因为 A:B:C =1:2:3，A +B +C =180∘，所以 A =30∘，B =60∘，C =90∘，因为a sinA=b sinB=c sinC=1sin30∘=2，所以 a =2sinA ，b =2sinB ，c =2sinC ，所以 a−2b+csinA−2sinB+sinC =2．【知识点】正弦定理14. 【答案】√5【解析】【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b 的值．【解析】解：a1−i =a(1+i)(1−i)(1+i)=a2+a2i =1−bi ∴a =2，b =−1∴∣a +bi ∣=√a 2+b 2=√5故答案为：√5．【点评】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．【知识点】复数的几何意义15. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图16. 【答案】54【解析】因为e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 为两个夹角为2π3的单位向量，a=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗=ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗所以a⋅b⃗=0即为(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=ke1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =2k−52=0，所以k=54．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 解法一：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA．因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB．由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0，所以sin B2=12，所以B=60∘．解法二：由asin A+C2=bsinA得sinAcos B2=sinBsinA，则cos B2=2sin B2cos B2．所以sin B2=12．所以B=π3．(2) 解法一：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=√34a．由正弦定理得 a =csinA sinC=csin (120∘−C )sinC=√32tanC +12．由于 △ABC 为锐角三角形，故 0∘<A <90∘，0∘<C <90∘．由（1）知 A +C =120∘，所以 30∘<C <90∘，故 12<a <2，从而√38<S △ABC <√32．因此，△ABC 面积的取值范围是 (√38,√32)．解法二：作出图形，如图．由题意知，点 C 在射线 BD 上，且 △ABC 为锐角三角形．观察得 ∠A =90∘ 时，S △ABC 最大； ∠ACB =90∘ 时，S △ABC 最小．故 S △ABC 的取值范围是 (√38,√32)．【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 90%．(2) 50%． (3) 2%．【知识点】频率与概率19. 【答案】(1) 设点 P 的坐标为 (x,y )．由题意，可得 Q (−2,y )，FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,y )，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,0)．由 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即 (−4,y )⋅(−2x,−y )=0，所以 y 2=8x (x ≥0)．所以所求曲线 C 的方程为 y 2=8x (x ≥0)．(2) 因为过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ，所以直线 l 1 的斜率不为 0，故设直线 l 1 的方程为 x =my +2．于是 A ，B 的坐标为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2) 为方程组 {y 2=8x,x =my +2 的实数解．消去 x 并整理得 y 2−8my −16=0．于是 y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16，所以 x 1+x 2=8m 2+4，x 1x 2=4．又因为曲线 y 2=8x (x ≥0) 的准线为 x =−2，所以1∣AF∣+1∣BF∣=1x 1+2+1x 2+2=4+x 1+x 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=12.(3) 由（2）可知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)．所以cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2=√x x √(x +8)(x +8)=√64m 2+100当 m =0 时，cosθ 有最小值 −35．所以 cosθ 的取值范围为 [−35,0)．【知识点】抛物线中的动态参数问题、抛物线中的动态性质证明、平面向量数量积的坐标运算20. 【答案】(1) 在棱 AB 上存在点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，点 E 为棱 AB 的中点．理由如下：取 PC 的中点 Q ，连接 EQ ，FQ ，EC ，因为 F ，Q 分别是 PD ，PC 的中点，所以 FQ ∥DC 且 FQ =12CD ，又因为 AE ∥CD 且 AE =12CD ，所以 AE ∥FQ 且 AE =FQ ，所以四边形 AEQF 为平行四边形，所以 AF ∥EQ ，又 EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以 AF ∥平面PEC ．(2) 由题意知 △ABD 为正三角形，所以 ED ⊥AB ，亦即 ED ⊥CD ，又 ∠ADP =90∘，所以 PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，所以 PD ⊥平面ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 FD =a ，则由题意知 D (0,0,0)，F (0,0,a )，C (0,2,0)，B(√3,1,0)，所以 FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设平面 FBC 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则由 {m ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {2y −ax =0,√3x −y =0,令 x =1，则 y =√3，z =2√3a，所以得 m ⃗⃗ =(1,√3,2√3a)，显然可取平面 DFC 的法向量 n ⃗ =(1,0,0)，由题意：√24=∣cos ⟨m,n ⟩∣=√1+3+12a2，所以 a =√3，由于 PD ⊥平面ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ，所以 ∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，易知在 Rt △PBD 中，tan∠PBD =PDBD =a =√3，从而 ∠PBD =60∘，所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60∘．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定、二面角21. 【答案】(1) 由已知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)．由 e =√22，得a 2=2c 2.结合 a 2=b 2+c 2，解得b 2=c 2,a 2=2b 2.所以右准线方程为x =2c,因此可设 M (2c,y 1)，N (2c,y 2)．延长 NF 2 交 MF 1 于 P ，记右准线 l 交 x 轴于 Q ．因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以F 1M ⊥F 2N,结合 ∣F 1M ∣=∣F 2N ∣ 及平面几何的知识得Rt △MQF 1≌Rt △F 2QN,从而∣QN∣∣=∣F 1Q∣∣=3c,∣QM∣∣=∣F 2Q∣∣=c,即∣y 1∣=c,∣y 2∣=3c.由 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5, 得9c 2+c 2=20,解得c 2=2,故a =2,b =√2.(2) 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,y 1)⋅(c,y 2)=0,所以y 1y 2=−3c 2<0,从而∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=∣y 1−y 2∣2=y 12+y 22−2y 1y 2≥−2y 1y 2−2y 1y 2=−4y 1y 2=12c 2.当且仅当 y 1=−y 2=√3c 或 y 2=−y 1=√3c 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值 2√3c ，此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．另解：因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以y 1y 2=−3c 2.设 MF 1 、 NF 2 的斜率分别为 k 、−1k ．由 {y =k (x +c ),x =2c, 解得y 1=3kc,由 {y =−1k (x −c ),x =2c, 解得y 2=−c k ,于是∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣y 1−y 2∣=c ⋅∣∣3k +1k ∣∣≥2√3c.当且仅当 3k =1k ，即 k =±√33 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 最小．此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,3kc )+(c,−ck )=(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程22. 【答案】(1) bcosC +(2a +c )cosB =0，根据正弦定理 sinBcosC +(2sinA +sinC )cosB =0，化简得 sin (B +C )=−2sinAcosB ，所以 cosB =−12⇒B =23π．(2) 根据余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB 得到 4=a 2+c 2+ac ≥2ac +ac =3ac ，所以 ac ≤43，所以 S =12acsinB ≤√33，当且仅当 a =c =2√33时取到等号．【知识点】三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题 7.1.1数系的扩充和复数的概念(含答案)

人教A 版高中数学必修第二册第七章　复数7.1　复数的概念7.1.1　数系的扩充和复数的概念基础过关练题组一　复数的概念1.(2024湖南常德津市第一中学月考)复数1-5i 的虚部是( )A.5B.-5C.5iD.-5i2.(2023湖南株洲期中)已知复数x+y+(2-x)i 的实部和虚部分别为3和 4,则实数x 和y 的值分别是( )A.2,-4B.2,5C.-2,4D.-2,53.下列命题中,正确的个数是( )①-1没有平方根;②复数5i-1的虚部是5i;③复数2i 没有实部;④i 表示虚数单位,所以它不是一个复数;⑤若x,y ∈C,且x 2+y 2=0,则x=y=0.A.0B.1C.3D.5题组二　复数的分类4.(2024重庆部分学校月考)若复数a 2-a-2+(|a-1|-1)i(a ∈R)是纯虚数,则( )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠25.(2023河北唐山月考)设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},则下列结论正确的是( )A.A ∪B=CB.A=BC.A∩(∁C B)=⌀D.(∁C A)∪(∁C B)=C6.(多选题)(2024江苏泰州兴化期中)对于复数z=a+bi(a,b ∈R),下列说法中错误的是( )A.若a=0,则a+bi 为纯虚数B.若z=3-2i,则a=3,b=2C.若b=0,则a+bi 为实数D.若a=b=0,则z 不是复数7.已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,若z 1>z 2,则a=( )A.0B.-1C.-32D.168.(教材习题改编)已知复数z=x 2-x-6x +3+(x 2-2x-15)i,则实数x 取什么值时,z 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?题组三　复数相等的充要条件及其应用9.(2024河南驻马店联考)已知复数z1=2-ai,z2=b-1+2i(a,b∈R,i为虚数单位),且z1=z2,则( )A位答案与分层梯度式解析第七章　复数7.1　复数的概念7.1.1　数系的扩充和复数的概念基础过关练1.B2.D3.A4.A5.D6.ABD7.A9.D10.D1.B　2.D　由复数x+y+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,x,y∈R,可得x+y=3,2−x=4,解得x=−2, y=5.故选D.3.A　i2=-1,所以-1的平方根为±i,①错误;5i-1的虚部为5,②错误;2i的实部为0,③错误;④显然错误;当x=i,y=1时,x2+y2=i2+12=0,但x,y都不为0,⑤错误.4.A　由题意得a2-a-2=0,且|a-1|-1≠0,解得a=-1.5.D　集合A,B,C的关系如下图,由图可知,只有(∁C A)∪(∁C B)=C正确.故选D.6.ABD　对于A,当且仅当a=0,b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中说法错误;对于B,若z=3-2i,则a=3,b=-2,故B中说法错误;对于C,若b=0,则a+bi为实数,故C中说法正确;对于D,若a=b=0,则z=0,是复数,故D中说法错误.故选ABD.7.A　由z1>z2知z1,z2是实数,则2a2+3a=0,a2+a=0,-4a+1>2a,解得a=0.8.解析　(1)当x满足x 2-2x-15=0,x+3≠0,即x=5时,z是实数.(2)当x满足x 2-2x-15≠0,x+3≠0,即x≠-3且x≠5时,z是虚数.(3)当x =0,≠0,即x=-2或x=3时,z是纯虚数.9.D　因为z1=z2,所以2-ai=b-1+2i(a,b∈R),所以2=b-1,-a=2,解得a=−2,b=3.故选D.10.D　因为2+ai=b-i,a,b∈R,所以a=-1,b=2,故复数z=a+bi=-1+2i,其虚部为2,故选D.11.答案　1解析　由A⊆B,得2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,易知①无解,由②可得m=1.故m=1.12.答案　-2;[2,6]解析　若z1为纯虚数,则4−m2=0,m-2≠0,解得m=-2.若z1=z2,则4−m2=λ+2sinθ, m-2=cosθ-2,∴λ=4-cos2θ-2sinθ=sin2θ-2sinθ+3=(sinθ-1)2+2.∵-1≤sinθ≤1,∴当sin θ=1时,λmin=2,当sin θ=-1时,λmax=6,∴实数λ的取值范围为[2,6].。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(52)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ． 3√322. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 3bcosC =c (1−3cosB )，则 c:a = ( ) A ． 1:3 B ． 4:3 C ． 3:1 D ． 3:23. 已知 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c 且 acosC +√32c =b ，若 a =1，√3c −2b =1，则角 B 为 A ．π4B ．π6C ．π3D ．π124. 已知向量 a =(2,x )，b ⃗ =(1,2)，若 a ∥b ⃗ ，则实数 x 的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45. 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020 年 5 月，中国珠峰高程测量登山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇标高 10 米，攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 70∘，80∘，则 A ，B 的高度差约为 ( )A ． 10 米B ． 9.72 米C ． 9.40 米D ． 8.62 米6. 在 △ABC 中，A =120∘，AB =5，BC =7，则 sinB sinC= ( )A ． 37B ． 35C ． 57D ． 857. 若 O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 32e 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． AO ⃗⃗⃗⃗⃗B ． BO ⃗⃗⃗⃗⃗C ． CO ⃗⃗⃗⃗⃗D ． DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗8. 在 △ABC 中，AB =2AC =6，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，点 P 是 △ABC 所在平面内的一点，则当 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 取得最小值时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． 35B ． −9C ． 7D ． −259. 在 △ABC 中，点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 t =(λ−1)2+μ2 的最小值是 ( ) A ．3√1010B ．√824C ． 910D ．41810. 已知 a ，b ⃗ ，c 是三个不共线的向量，a 为给定向量，那么下列叙述中正确的是 ( )A ．对任何非零实数 λ 及给定的向量 b ⃗ ，c ，均存在唯一的实数 μ，使得 a =λb ⃗ +μcB ．对任何向量 b ⃗ 及给定的非零实数 λ，μ，均存在唯一的向量 c ，使得 a =λb ⃗ +μcC ．若 ∣b ⃗ ∣=1，则对任何实数 λ，均存在单位向量 c 和实数 μ，使得 a =λb ⃗ +μcD ．若 ∣b ⃗ ∣=1，则对任何实数 μ，均存在单位向量 c 和实数 λ，使得 a =λb ⃗ +μc二、填空题（共6题）11. 已知复数 a+i2−i 为纯虚数，那么实数 a = ．12. 如图所示，三棱锥 P −ABC 外接球的半径为 1，且 PA 过球心，△PAB 围绕棱 PA 旋转 60∘后恰好与 △PAC 重合．若 PB =√3，则三棱锥 P −ABC 的体积为．13. 思考辨析判断正误频率分布直方图中所有小长方形面积之和为 1．14. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=3，且已知向量 a，b ⃗ 的夹角为 60∘，(a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，则 ∣c ∣ 的最小值是．15. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(2,−2)，c =(1,λ)．若 c ∥(2a +b ⃗ )，则 λ= ．16. 在相距 2 km 的 A ，B 两点处测量目标点 C ，若 ∠CAB =75∘，∠CBA =60∘，则 A ，C 两点之间的距离为．三、解答题（共6题）17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EF ∥平面ABCD ，EF =1，FB =FC ，∠BFC =90∘，AE =√3，H 是 BC 的中点．(1) 求证：FH ∥平面BDE ； (2) 求证：AB ⊥平面BCF ； (3) 求五面体 ABCDEF 的体积．18. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0．(3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）19. 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？20. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是内角 A ，B ，C 的对边，且 A =π6，a =2．(1) 若 B =π4，求 b 的值；(2) 若 △ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．21. 已知函数 f (x )=12sin2x −√3cos 2x ．(1) 求函数 y =f (x ) 的最小正周期．(2) 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若锐角 A 满足 f (A )=1−√32，C =π6，c =2，求 △ABC 的面积．22. 在直角 △ABC 中，A =π2，D 为 AC 边上的一点，BD =√3．(1) 若 BC =3，∠BDC =2π3，求 △BDC 的面积．(2) 若 C =π3，求 △BCD 周长 l 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ，因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形，又 AD 平分 ∠BAC ，所以四边形 AFDE 为菱形．因为 AD =2√3，∠BAC =60∘，所以 AE =2，则 AC =6．设 FB =x ，因为 DF ∥AC ，所以 DFAC =FBAB ，即 26=x 2+x ，解得 x =1，即 FB =1，所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 3bcosC =c (1−3cosB ) 及正弦定理可得 3sinBcosC =sinC (1−3cosB )，化简可得sinC=3sin(B+C)．又A+B+C=π，所以sinC=3sinA，所以c:a=sinC:sinA=3:1．【知识点】正弦定理3. 【答案】B【解析】因为acosC+√32c=b，由正弦定理得sinAcosC+√32sinC=sinB=sin(B+C)，整理得cosA=√32，所以A=π6，又因为a=1，√3c−2b=1，所以√3sinC−2sinB=sinA=12，即√3sin(5π6−B)−2sinB=12，整理得cos(B+π6)=12，所以B=π6．【知识点】正弦定理4. 【答案】D【解析】向量a=(2,x)，b⃗=(1,2)，a∥b⃗，可得x=4．【知识点】平面向量数乘的坐标运算5. 【答案】C【解析】根据题意画出如图的模型，则CB=10，∠OAB=70∘，∠OAC=80∘，所以∠CAB=10∘，∠ACB=10∘，所以AB=10，所以在Rt△AOB中，BO=10sin70∘≈9.4（米）．【知识点】解三角形的实际应用问题6. 【答案】B【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cosA，因此49=25+AC2+5AC，解得AC=3或AC=−8（舍去），因此由正弦定理得sinB sinC=AC AB=35．【知识点】正弦定理、余弦定理7. 【答案】B【解析】由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得 3e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 2(32e 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】C【解析】如图，设存在实数 m 使得 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤m ≤1)，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3m 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 {λ=m 4,μ=3m 4,所以t =(λ−1)2+μ2=(m4−1)2+(3m 4)2=58m 2−m2+1=58(m −25)2+910,当 m =25 时，t 取得最小值，为 910．【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】对于A，由平面向量基本定理可得，有且仅有一对实数λ，μ，使得a=λb⃗+μc成立．故条件中的“对任何非零实数λ”说法不正确．故A错误．对于B，由平面向量基本定理可得结论正确，故B正确．对于C，当λ=0时，a=μc，与题设a，b⃗，c是三个不共线的向量矛盾．故C错误．对于D，当μ=0时，a=λb⃗，与题设a，b⃗，c是三个不共线的向量矛盾．故D错误．【知识点】平面向量的分解二、填空题（共6题）11. 【答案】12【知识点】复数的乘除运算12. 【答案】√38【解析】如图所示，由题意，PA过球心，故取PA中点为O，O即为球心．连接BO，CO，有△PAC由△PAB绕PA轴60∘后重合，故PC=PB，过B作BH⊥PA于H点，同理过C作CH⊥PA于H点，由于r=1，PB=PC=√3，过O点作OG⊥PB于G点，OP=OB=1，故有OG=√(PB2)2−OP2=12⇒∠BPH=π6，即有BH=PB⋅sinπ6=√32，又且∠BHC=60∘，BH=CH，故S△BHC=12×√32×34=3√316，则有V P−ABC=V P−BHC+V A−BHC=13S△BHC(PH+AH)=13×3√316×2=√38，故三棱锥P−ABC的体积为√38．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】 √【知识点】频率分布直方图14. 【答案】√19−√72【解析】如图所示，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，由题，得 ∠AOB =π3，∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =a −c ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ，a ⋅b ⃗ =2×3×cos60∘=3，又 (a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，所以 CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点 C 在以 AB 为直径的圆上，取 AB 的中点为 M ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，设以 AB 为直径的圆与线段 OM 的交点为 E ，则 ∣c ∣ 的最小值是 ∣∣OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，因为∣∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√14(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12√OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×√4+2×3+9=√192,又 AB =√OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cos60∘=√4+9−2×2×3×12=√7，所以 ∣c ∣ 的最小值是 ∣∣OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=OM −ME =OM −12AB =√19−√72．【知识点】平面向量的数量积与垂直、余弦定理15. 【答案】 12【解析】 2a +b⃗ =2(1,2)+(2,−2)=(4,2)，又因为 c ∥(2a +b ⃗ )，所以 4×λ−2×1=0，所以 λ=12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算16. 【答案】√6km【知识点】正弦定理三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，因为H是BC的中点，AB=1．所以OH∥AB，OH=12因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，所以EF∥AB．因为EF=1，所以OH∥EF，OH=EF．所以四边形EOHF是平行四边形．所以EO∥FH，EO=FH．因为EO⊂平面BDE，FH⊄平面BDE，所以FH∥平面BDE．(2) 证法1：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，所以四边形EMBF是平行四边形．所以EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=√2．所以EM=√2．在△AME中，AE=√3，AM=1，EM=√2，所以AM2+EM2=3=AE2．所以AM⊥EM．所以AM⊥FB，即AB⊥FB．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因为FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，所以AB⊥平面BCF．证法2：在Rt△BFC中，H为BC的中点，BC=1．所以FH=12AC=√2，EO=FH=1，在△AEO中，AE=√3，AO=12所以AO2+EO2=AE2．所以AO⊥EO．因为 FH ∥EO ，所以 AO ⊥FH ．因为 FH ⊥BC ，BC ⊂平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，AO ∩BC =C ，所以 FH ⊥平面ABCD ．因为 AB ⊂平面ABCD ，所以 FH ⊥AB ．因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB ⊥BC ．因为 BC ⊂平面BCF ，FH ⊂平面BCF ，BC ∩FH =H ，所以 AB ⊥平面BCF ． (3) 连接 EC ，在 Rt △BFC 中，FH =12BC =1，所以 EO =FH =1．由（2）知 AB ⊥平面BCF ，且 EF ∥AB ，所以 EF ⊥平面BCF ．因为 FH ⊥平面ABCD ，EO ∥FH ，所以 EO ⊥平面ABCD ．所以四棱锥 E −ABCD 的体积为 V 1=13⋅EO ⋅S 正方形ABCD =13×1×22=43．所以三棱锥 E −BCF 的体积为 V 2=13⋅EF ⋅S △BCF =13×1×12×(√2)2=13．所以五面体 ABCDEF 的体积为 V =V 1+V 2=53．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0，当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0，所以必要性得证．反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0，当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时，不妨设 c ≠0，则 b =adc，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =ac q ，所以 p ∥q ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ，所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线，充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab c d ∣∣∣=0． (3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣．【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式19. 【答案】不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确定的复数是 z =0+0i =0，表示的是实数．【知识点】复数的几何意义20. 【答案】(1) 2√2． (2) 4+2√3．【知识点】余弦定理、正弦定理21. 【答案】(1) f (x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −x3)−√32， T =π．(2) sin (2A −π3)=12，2A −π3=16π， A =π4，C =π6，B =712π， asinA =csinC ， a =2√2，S =12acsinB =12×2√2×2×sin 712π=1+√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理22. 【答案】(1) 由余弦定理得：BC 2=DB 2+DC 2−2DB ⋅DC ⋅cos2π3，即 DC 2+√3DC −6=0，解得 DC =√3，DC =−2√3（舍去）．S △BDC =12BD ⋅DC ⋅sin∠BDC =12×√3×√3×sin 2π3=3√34.(2) 在 △BCD 中，C =π3，∠ABC =π6，BD =√3，设 ∠DBC =α，所以BDsin π3=CD sinα=BC sin(2π3−α)，故 CD =2sinα，BC =2sin (α+π3)，所以 △BCD 的周长 l =BD +BC +CD =√3+2sinα+2sin (α+π3)，即 l =√3+2√3sin (α+π6)，因为 α∈(0,π6]，所以 l ∈(2√3,3+√3]．【知识点】余弦定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理。

(人教版A版)高中数学必修第二册第七章综合测试试卷02及答案

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i iz z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22æöç÷èøB .(1,1)C .11,22æö-ç÷èøD .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21iz +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S Î，必有xy S Î”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ÎR g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++ÎR ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ÎR ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ÎR ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ÎR ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ÎR ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z w q q Î+=+=-C （q 为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z w -的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z \+=-++-=-+，12z z \+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+ÎR ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z \在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +\==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A 【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22æöç÷èø.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，\设i z b =（b ÎR 且0b ¹），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b \+=，即2b =-，2i z \=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S Î，必有xy S Î”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d \++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，\“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ×ÎR ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ÎR ，则z z ×ÎR .\“z z ×ÎR ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t æö+-=+--ç÷èø＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ì+-=ïí++¹ïî即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、13.16【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，240,20,a a ì-=ï\í-¹ïî解得2a =-，4i z \=-，4i z =，114i z \+=-=，z z ×.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z \=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++\===---+，其共轭复数为i -，\其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM Ð为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM ==u u u r ，所以1210M M =u u u u u u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==u u u r u u u r u u u u u u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+ÎR ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b +-=\-=ïî解得4,3,a b =-ìí=î43iz \=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++\====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ì--=ïí--¹ïî即251,53,m k m m m ì==-ïí¹¹-ïî或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)z +=-+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m \--+=，10,20,n m m --=ì\í=î解得1,0,n m =ìí=î1m n \+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m \--+-=，40,240,n m m --=ì\í-=î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，\12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-ìí-+--=-î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ìï-íï-î＜解得1,5,2a a ìïíïî＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2æöç÷èø.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a \=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a éù\+=+-+--=++---ëû-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a \---=¹¹且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a \=+-=-+-，1z \=.21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos 2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22pp ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，\点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。