您的位置：360文档中心› 直线与圆的方程、数列检测题

直线与圆的方程、数列检测题

合集下载

高二数学圆试题答案及解析

高二数学圆试题答案及解析

高二数学圆试题答案及解析1.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。

（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点。

若点的坐标为（3，），求。

【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由得即（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|==。

【考点】直线的参数方程、圆的极坐标方程点评：本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力2.（本题满分12分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（1）求实数的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．【答案】（1）（2）（3）圆恒过点（0,1）【解析】解：（1）由题意可知，方程有两不等3根，（2）设圆C 的方程为：圆C与轴的交点和二次函数的图象与轴的交点相同，所以在圆的方程中令，得应为，所以；因为圆C过点，在圆的方程中令，得方程有根，代入得：，所求圆C的方程为：（3）圆C的方程可改写为：，所以圆恒过点（0,1）。

【考点】二次函数，圆的方程点评：解决该试题的关键是利用一般是待定系数法求解圆的方程，属于基础题。

3.圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知条件，圆的标准方程中，圆心为（-2，0），那么关于点P（0，0）的对称点即为所求的圆的圆心，（2，0），那么可知圆心坐标为（2，0），半径不变还是，那么可知圆的方程为，选A.【考点】本试题考查了求解圆的方程的知识。

点评：对于求解圆的方程问题，理解圆与圆的对称变换中，半径不变，因此找个确定，同时关于点的对称，就是要用中点公式求解对称后圆心的坐标即可，属于基础题，4.（本小题满分10分）已知圆O：，圆C：，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.（Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系；（Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；（Ⅲ）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)2(3)不存在符合题设条件的圆P【解析】（Ⅰ）连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，∴|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为：. ………………3分（Ⅱ）由，得∴当时，………………3分（Ⅱ）∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有且于是有：即从而得两边平方，整理得……………2分将代入上式得：故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P………………2分【考点】本试题考查了直线与圆的位置关系的运用。

高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线和圆的方程 章末质量检测 文 试题

高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线和圆的方程 章末质量检测 文 试题

·创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔 为2，且与点B (3,1)的间隔 为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由． 答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256， 应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直， 设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时． 二、填空题13．【解析】 直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】 以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切， 公切线只有一条． 【答案】 1 15．【解析】 如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔 为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】 区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形． 【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)， 那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】 直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360， 作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】 圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |， 即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2， 同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝ －k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。

2022-2023学年江苏省苏州中学高二年级上册学期12月阶段质量评估数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省苏州中学高二年级上册学期12月阶段质量评估数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省苏州中学高二上学期12月阶段质量评估数学试题一、单选题1．若方程2220x y y m +--=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞- D ．()1,-+∞【答案】D【分析】将方程化为标准式即可计算求解.【详解】解：方程2220x y y m +--=可变形为()2211x y m +-=+， 因为方程表示圆，则10m +>，所以1m >-. 故选：D.2．若直线4mx ny 与圆224x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y+=的交点的个数为（ ） A ．0或1 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【分析】由直线与圆相离得到P 点位置后判断 222m n>+，得224m n +<，故点(),P m n 在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过P 点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B3．过点(3,1)A 的圆C 与直线0x y -=相切于点(1,1)B ，则圆C 的方程为（ ） A ．22(2)2x y -+= B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(3)(4)9x y -+-= D ．22()(31)8x y -++=【答案】A【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程. 【详解】设圆心为(),a b ，半径为r ， 则()()()()22223111111a b a b b a ⎧-+-=-+-⎪⎨-=-⎪-⎩，解得2,0a b ==，所以圆心为()2,0， 半径r ==所以圆C 的方程为22(2)2x y -+=. 故选：A4．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2C ．1(2，1)D ．()0,1【答案】D【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得22k>，求解此不等式可得k 的取值范围. 【详解】由方程222x ky +=，可得22122x y k+=， 因为方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，可得22k>，解得01k <<. 所以实数k 的取值范围是0,1. 故选：D.5．已知等比数列{}n a 满足12a =，23564a a a ⋅=，则3a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据23564a a a ⋅=，利用等比数列的性质求得2q ，再利用通项公式求解.【详解】在等比数列{}n a 中，12a =，23564a a a ⋅=，所以46224a a =，所以4211,42q q ==，所以2311a a q ==，故选：C6．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若()*5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】C【分析】当1n =时，由122n n S +=-可得1a ，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1a 是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果.【详解】解：当1n =时，211222a S ==-=，当2n ≥时，()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，12a =，符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =5222232p q q p q p a a +=⋅===，故选：C.7．如图，已知抛物线22y x =，过点()10P ，和()3,0Q 分别作斜率大于0的两平行直线，交抛物线于A ，B 和C ，D ，连接AD 交x 轴于点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率是（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】D【分析】由题知3D A y y =-，进而设直线AD 的方程为()302x my m =+>，与抛物线联立方程得2,3A D A D y y m y y +=⋅=-，进而可得113A D m y y =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求斜率即可.【详解】解：因为()10P ，，()3,0Q ，3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以13,22PM QM ==， 因为//AB CD ， 所以AMP ∽DMQ △， 所以13A D PM AM y MQ MQ y ===，即3D A y y =-，因为过点()10P ，和()3,0Q 两平行直线,AB CD 斜率大于0 所以，直线AD 斜率大于0， 故设直线AD 的方程为()302x my m =+>， 联立方程2322x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2230y my --=， 所以2,3A D A D y y m y y +=⋅=-所以，233A D A D A D y y my y y y +=⎧⎪⋅=-⎨⎪-=⎩，解得113A D m y y =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以102112AB AP k k --===-，即直线AB 的斜率是2. 故选：D8．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，M 为C 的一条渐近线上一点，延长FM 交y 轴于点N ，直线AM 经过ON （其中O 为坐标原点）的中点B ，且2ON BM =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．52D．【答案】A【分析】由中点B ，且2ON BM =得NF OM ⊥，由点到直线距离公式得FM b =，从而得OM OA a ==，通过三角形全等证得△MNB 为等边三角形，然后得ba ，从而计算出离心率．【详解】记M 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=上的点，因为2ON BM =，且OB BN =，所以BOM BMO ∠=∠，BMN BNM ∠=∠．所以NF OM ⊥．因为右焦点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离MF b ==，所以OM OA a ==．所以BMO BAO ∠=∠，所以BOM BAO ∠=∠， 所以Rt AOB Rt OMN ≌，所以ABO ONM ∠=∠， 又因为MNB NMB ∠=∠，ABO NBM ∠=∠．所以△MNB 为等边三角形，所以60FNO ∠=︒，所以30MFO ∠=︒，即tan 603b a =︒=，所以2212be a=+=． 故选：A ．二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，公差0d ≠，690S =，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．122a =B ．2d =-C ．当且仅当10n =时，n S 取得最大值D ．当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BD【分析】先求出2d =-，120a =，从而可判断AB 的正误，再求出通项公式，根据其符号可判断C 的正误，求出n S 并解不等式0n S >，故可判断D 的正误.【详解】因为690S =，故161590a d +=，又()()()2111628a d a d a d +=++，整理得到：12125301000a d a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪≠⎩，故2d =-，120a =，故A 错，B 正确.又222n a n =-，当12n ≥时，0n a <；当110n ≤≤时，0n a >；当11n =时，0n a =， 故当且仅当10n =、11n =时，n S 取得最大值，故C 错误. 又()21202212n n n S n n n -=-⨯=-+，令0n S >，则021n <<即n 的最大值为20，故D 正确 故选：BD.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且111(2)n n n n a a S S n +--=-+≥，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =-B ．若1n n b a =+，则2202221012b b b =C ．数列{}n S n +为等比数列D ．11n n S n a +++= 【答案】ABD【分析】对于选项A ，因为11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，所以112(1)(2)n n a a n ++=+≥，从而判断出{}1n a +为等比数列，从而求出{}n a 的通项公式；对于选项B ，通过选项A 中{}1n a +为等比数列，判断出{}n b 为等比数列，从而得到答案；对于选项C ，因为{}n a 的通项公式已知，通过分组求和得到n S ，从而判断出{}n S n +是否为等比数列； 对于选项D ，通过选项A 和D 可以得到n a 和n S ，从而判断11n n S n a +++=是否正确. 【详解】对于选项A ，111(2)n n n n a a S S n +--=-+≥，则112(1)(2)n n a a n ++=+≥，又21121a a +=+，故数列{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，即21nn a =-，故A 正确；对于选项B ，12n n n b a =+=，则{}n b 为等比数列，所以2202221012b b b =，故B 正确；对于选项C ，由1122nn n i i S a n +===--∑，得122n n S n ++=-，又2132(1)(3)(2)S S S ++≠+，则数列{}n S n +不是等比数列，故C 错误；对于选项D ，易得11222(21)21n nn n n S n n a n a n ++=--=--=-=--，即11n n S n a +++=，故D 正确.故选：ABD11．已知点O 为坐标原点，直线1y x =-与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，则（ ） A ．||8AB =B ．OA OB ⊥C ．AOB的面积为D ．线段AB 的中点到直线0x =的距离为2【答案】AC【分析】先判断直线过焦点，联立方程组214y x y x =-⎧⎨=⎩结合韦达定理得两根关系，再根据选项一一判断即可．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线2:4C y x =，则2P = ，焦点为()1,0，则直线1y x =-过焦点；联立方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得2610x x -+=， 则12126,1x x x x +==， ()()()121212121114y y x x x x x x =--=-++=-所以12628AB x x P =++=+= ，故A 正确；由12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-≠，所以OA 与OB 不垂直，B 错；原点到直线1y x =-的距离为d ==，所以AOB 的面积为11822S d AB =⨯⨯==，则C 正确；因为线段AB 的中点到直线0x =的距离为126322x x +==，故D 错 故选：AC【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为1r ，12BF F △的内切圆2I 的半径为2r .若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】对于A ，由切线长定理结合双曲线定义可判断正误；对于B ，由A 分析，结合212r r a =可判断正误；对于C ，联立直线AB 方程与双曲线方程，利用韦达定理表示出内切圆半径，后可判断正误；对于D ，利用几何知识得到12r r +表达式，后利用函数知识可判断正误.【详解】设()()12,0,0F c F c -，，其中222c a b =+. 设()()112212,，,I I I I I x y I x y ，()()1122,,A x y B x y ，.对于A ，过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，所以由切线长定理有1122，，AD AE F D F F F E F F ===，则121212122AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF a -=+--=-=-=， 又因为12122F F FF FF c =+=，所以1FF a c =+.又()1,0F c -，所以1I x a =，同理可得2I x a =.则1I 、2I 在直线x a =上，故A 正确； 对于B ，因21F I 平分2FF A ∠，22F I 平分2FF B ∠，2πAF B ∠=，则122π2I F I ∠=. 在122I I F △中，122π2I F I ∠=，2F F c a =-.由射影定理可得2122I F I F F F ⋅=， 即2212()r r c a a =-=2202c ac c a ⇒-=⇒=，则双曲线离心率为2，故B 错误；对于C ，因112ABF S lr =，则内切圆半径12ABF S r l=. 其中112121211222ABF SF F y y c y y =⋅⋅-=⋅⋅-， 又由B 分析可知2c a =.则1122ABF Sa y y =-.其中1122l AF F B AF BF =+++，又12122AF AF BF BF a -=-=， 则42l a AB =+.故12442a y y r a AB-=+.设直线AB 方程为2xmy a ，将其与双曲线联立有：2222132x y a a x my a ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：()222311290m y may a -++=，则21212221293131，am a y y y y m m -+==--，()()222221212121212224344243131，a a m a x x m y y a x x m y y am y y a m m ---+=++==+++=--.又A B ，两点在双曲线右支，则1221203100x x m m x x ⎛+>⎧⇒-<⇒∈ ⎨ >⎩⎝⎭.又12y y -===()()()2222121212261113a m AB xx y y m y y m +=-+-=+⋅-=-.代入12442a y y r a AB -=+，有()2222222614241313132211246113a m a a m a m m r a a a m m a -+⋅++-===≥++. 当且仅当0m =，即直线AB 与x 轴垂直时取等号.故C 正确；对于D ，设12I F F ∠α=，又由对称性设直线AB 的倾斜角为θ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则2112π2πFF I I F A θαθ∠+∠+=⇒+=.又由C 分析知，1303,tan m θ⎡⎫=∈⎪⎢⎪⎢⎣⎭，则πππ2,32θα⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦，所以ππ,43α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，得)tan 1,3α⎡∈⎣，则112tan tan r I F FF a ===αα， 2222πtan tan 2tan a r FF I F F a αα⎛⎫=∠=-= ⎪⎝⎭，所以121tan tan r r a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭αα，又()1f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在)1,3⎡⎣上单调递增， 则12143tan 2,tan 3r r a a a αα⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭.故D 错误. 故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题涉及双曲线焦点三角形的内切圆，难度较大. 对于A 选项，关键为利用切线长定理得到122F F FF a -=； 对于B 选项，关键为利用射影定理； 对于C 选项，关键为利用112ABF Slr =结合双曲线定义得到12442a y y r a AB -=+.对于D 选项，关键为找到12I F F ∠α=范围，后表示出121tan tan r r a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭αα.三、填空题13．设P 为椭圆M ：22110x y +=和双曲线N ：2218y x -=的一个公共点，且P 在第一象限，F 是M 的左焦点，则PF =______.1##1+【分析】先求出F 点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P 点坐标，运用两点距离公式即可.【详解】对于椭圆M ，()2222210,1,9,3,0a b c a b F ==∴=-=- ；联立方程222211018x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得22108,99x y == ， 因为P在第一象限，P ∴⎝⎭，1PF =；1 .14．n S 是公差为2的等差数列{}n a 的前n项和，若数列也是等差数列，则1a =________. 【答案】1-或3【解析】可由特殊值求出1a ，再验证对所有正整数n，都有数列是等差数列 【详解】由题意211(1)2(1)2n n n S na n a n -=+⨯=+-， ∵数列是等差数列∴11a =-或13a =，11a =-1n -，13a =1n +，均为n 的一次函数，数列是等差数列， 故答案为：1-或3.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是n 的一次函数，则数列一定是等差数列．15．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm ，下底直径为9cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为______cm ．【答案】42【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出,a b 之间的关系，由题意底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.【详解】由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由已知可得，5ce a==222c a b =+，所以224a b =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，底直径为6cm ，所以双曲线过点()3,m ，下底直径为9cm ，高为9cm ，所以双曲线过点9,92m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得：()222222914819414m aa m aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：2m a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以喉部（最细处）的直径为cm.故答案为：四、双空题16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=-，则n a =______；若不等式2n a ≥对任意+N n ∈恒成立，则k 的最小值为______.【答案】 ()423nn + 136k ≥【分析】利用题设条件可得1132322nn n a a -=+⨯，化简后可得1122323n n n n a a --=+⨯⨯，从而可求{}n a 的通项，再利用数列单调性求出3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项，从而可求参数的取值范围.【详解】因为1332n n n S a +=-，故11932a a =-即118a =.因为1332n n n S a +=-，故当2n ≥时，11332nn n S a --=-，故11333322n n n n n a a a +--=+-，整理得到1132322nn n a a -=+⨯，所以1122323n n n n a a --=+⨯⨯，故23n na ⎧⎫⎨⎬⨯⎩⎭为等差数列且首项为1233a ⨯=，公差为2， 故()3212123n na n n =+-=+⨯，故()423nna n =+.又2n a ≥即为()2423nn +≥3n n .设()3n nf n =，则当2n ≥时，()()113210333n n nn n n f n f n -----=-=<， 故(){}f n 为单调递减数列，故()max 13f n =，故13即136k ≥. 故答案为：()423nn +，136k ≥.五、解答题17．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，2145n n n a a a +++=（*n ∈N ）．(1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)n a 23*1(21)()3n n N -=+∈【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可； (2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵*2145n n n a a a n +++=∈N ，， ∴*2114()，n n n n a a a a n +++-=-∈N ， ∵12112，a a ==，∴2112a a -=， ∴数列{1n n a a +-}是以12为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）知，12311422n-n n n a a -+-=⨯=， 当2n ≥时，112211()()()+n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-2527291122222n n n -----=+++++()()123114112212143n n ---=+=+-当n =1时，1111(21)32a -=+=满足上式．所以，n a 23*1(21)()3n n N -=+∈． 18．在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程； (2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程. 【答案】(1)2340x y --=或3260x y --= (2)270x y --=【分析】（1）因为点A ，B 到l 的距离相等，所以直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，分直线l 过线段AB 的中点和//l AB 两种情况讨论即可；（2）因为直线m 为角C 的内角平分线，所以点A 关于直线m 的对称点A '在直线BC 上，求出点A '的坐标，即可求出直线方程．【详解】（1）解：因为点A ，B 到l 的距离相等，所以直线l 过线段AB 的中点或//l AB ， 当直线l 过线段AB 的中点时，线段AB 的中点为(1,2)--，l 的斜率202123k --==--，则l 的方程为2(2)3y x =-，即2340x y --=， 当//l AB 时，l 的斜率513312AB k k --===--， 则l 的方程为3(2)2y x =-，即3260x y --=，综上：直线l 的方程为2340x y --=或3260x y --=；（2）因为直线m 为角C 的内角平分线，所以点A 关于直线m 的对称点A '在直线BC 上， 设(,)A s t '，则有11260221112s t t s ++⎧⨯--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得51s t =⎧⎨=-⎩，即(5,1)A '-，所以直线BC 的斜率为151532k -+==+， 则直线BC 的方程为11(5)2y x +=-，即270x y --=．19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=．1=，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-．∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=． 又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤+， 由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈. (1)若12a =，2n n b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？【答案】(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴==，()2n ≥，又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ，则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-=，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m =，2a t =，则3a t m =-，4a m =-，5a t =-，6a m t =-，1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒=， 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=.21．已知椭圆2214x y +=的左右顶点为A 、B ，直线l ：1x =.已知O 为坐标原点，圆G 过点O 、B 交直线l 于M 、N 两点，直线AM 、AN 分别交椭圆于P 、Q .(1)记直线AM ，AN 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k ⋅的值； (2)证明直线PQ 过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1)1219k k ⋅=-(2)证明见解析，10,013⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）首先设出点,M N 的坐标，根据OM ON ⊥，利用斜率公式表示12k k ⋅； （2）当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示()()12121229AP AQ y y k k x x ⋅==-++，从而得到k 与m 的关系，计算定点坐标，并验证当直线的斜率不存在时，也过此定点.【详解】（1）由已知可得MN 为圆G 的直径，所以OM ON ⊥，则1OM ON k k ⋅=-， 根据题意不妨设()1,M m ，()1,N n ，()2,0A - 则1mn =-，所以()()11212339AM AN m n m n k k ⋅=⋅=⋅=-----，所以1219k k ⋅=-.（2）证明：当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222148440k x kmx m +++-=，所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+， ()()()222121212122414m k y y kx m kx m k x x km x x k -=++=++=+， 所以()()()121212121219240229AP AQ y y k k y y x x x x x x ⋅==-⇒++++=++， 所以22222222444892401316200141414m k m km m km k k k k --⎛⎫⨯++-+=⇒--= ⎪+++⎝⎭， ()()131020m k m k +-=即1013m k =-，或2m k =， 当1013m k =-时，直线l 的方程为1013y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点10,013⎛⎫⎪⎝⎭，当2m k =时，直线l 的方程为()2y k x =+，过定点()2,0A -，舍去. 当直线PQ 斜率不存在时，()1,1M ，()1,1N -，()2,0A -，直线AM 方程是()123y x =+与椭圆方程2214x y +=联立得1012,1313P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得1012,1313Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程是1013x =，过定点10,013⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上可知，直线PQ 过定点，该定点坐标是10,013⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知{}n a 为等比数列，124a a +=，记数列{}n b 满足31log n n b a +=，且11n n b b +-=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设()228,,n nn n n n n b a n c b b a b n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求{}n c 的前2n 项的和2n S .【答案】（1）13n n a -=，n b n =；（2）22431359322132n n n S n -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分析可知0q >，根据已知条件可求得q 的值，金额可求得1a 的值，利用等比数列的通项公式可求得等比数列{}n a 的通项公式，在利用对数的运算性质可求得数列{}n b 的通项公式；（2）分析可得出11133,23,n n n n n c n n n n -+-⎧-⎪=+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，利用裂项相消法可求得奇数项的和，利用错位相减法可求得偶数项的和，由此化简可得2n S 的表达式.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，对任意的n N *∈，则31log n n b a +=，则0n a >，所以，0q >， 因为21323131log log log 1n n n n n n a b b a a a +++++-=-==，可得213n n a q a ++==， 因为1211144a a a a q a +=+==，则11a =，1113n n n a a q --∴==，所以，3log 3nn b n ==；（2）当n 为奇数时，()()()()111129283333222n n n n n n n n c n n n n n n --+-+-⎡⎤-⎣⎦==⨯=-+++，前2n 项中所有的奇数项的和为022422223333333911133521212121n n n nS n n n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-=--+++奇 当n 为偶数时，13n n c n -=⋅，记213523436323n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅偶，()2121359234322323n n S n n -+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅偶，两式相减得()()()2212135212161381338232333323194n n n n n n S n n ++-+--⋅+=⋅-++++=⋅-=-偶， 所以，()2439332n n S -⋅+=偶. 故数列{}n c 的前2n 项和22431359322132n n n S S S n -⎛⎫=+=-+⎪+⎝⎭奇偶.。

高中数学直线与圆习题精讲精练

高中数学直线与圆习题精讲精练

圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。

分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。

要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。

例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。

分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。

高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案

高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案

高考数学专题《圆与方程》一、单选题1．若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c 与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2．直线210kx y -+=与圆22(1)1y x +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 4．圆22460x y x y ++-=和圆2260x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．3590x y ++=B ．3590x y --=C ．3590x y -+=D ．3590x y +-= 5．已知圆C ：()()22114x y -+-=，过直线l ：()0y m m =>上一点Р作圆C 的切线，切点依次为A ，B ，若直线l 上有且只有一点Р使得2PC AC =，O 为坐标原点．则OP PC ⋅=（ ） A ．-20 B ．20或12 C ．-20或-12 D ．12 6．已知圆C ：221x y +=，则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知圆C ：()()22261x y ++-=，直线l ：3450x y -+=，则圆C 关于直线对称的圆是（ ） A ．()()22421x y ++-=B ．()()22421x y -+-= C ．()()22421x y +++= D ．()()22421x y -++= 8．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A B 1 C ．1 D 9．已知圆22:9O x y +=，过点()2,1C 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，则当OAB 的面积最大时，直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=或7150x y --=B ．30x y ++=或7150x y +-=C ．30x y +-=或7150x y -+=D ．30x y +-=或7150x y +-= 10．若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y =x +b 的距离等于1，则b 的取值范围是A ．((2,22-B ．(()2,32-C ．(D ．(-12．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是A ．2⎡⎤--⎣⎦B ．(2⎤--⎦C ．(-D ．2,⎡⎣ 13．若直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是 A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 14．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7415．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 17．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．圆22(2)(3)9x y ++-=上到直线0x y +=的距离等于2的点有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知两圆相交于()()A 1,3B ,1m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则2m c +的值为A ．1B ．1-C ．3D ．020．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．321．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为领边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹为（ ）A ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆B ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆C ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．在平面直角坐标系中，已知定点()0,4A ，()2,0B ，若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的最大值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4523．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－D ．14＋24．若直线l 将圆22(2)(1)9x y ++-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．20x y -=或10x y +-=D ．20x y +=或10x y ++=25．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．3C ．5+D ．5+26．若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+=-有三条公切线，则m 的值为A ．2BC ．4D ．627．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A．4 B ．5 C ．1 D ．28．曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．重合 D ．相离29．已知(),,0A B C ABC ≠成等差数列，直线0Ax By C ++=与圆22260x y tx ty +++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化 30．已知直线:3l y x =+与x 轴的交点为()30A -,，P 是直线l 上任一点，过点P 作圆()22:14E x y -+=的两条切线，设切点分别为C ､D ，M 是线段CD 的中点，则AM 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．31．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心32．圆221:(1)(3)1C x y ++-=，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值（ ）A ．6B ．C ．7D ．1033．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A．B ．6 C ．D ．334．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ）A ．12 B ．27 C ．23 D 35．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+36． 实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2BC ．8D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 所成角正弦值为定值，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D 38．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．8D ．16 39．已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆1C ()()22:414x y -+-=与圆2C ：()2221x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 40．过点()1,2总可以作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A ．()()32,-∞-+∞，B ．()8332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．()32,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题41．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：225x y +=有公共点(1,2)P -，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 42．已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.43．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的外接圆的方程是____________.44．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为____________．45．过圆2225x y +=上一点P 作圆222(05)x y m m +=<<的两条切线，切点分别为A 、B ，若120AOB ∠=︒，则实数m 的值为______.46．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．47．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．48．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________. 49．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.50．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 及圆22:24270C x y x y +---=，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，则ABC ∆的面积的最大值为________.51．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是________. 52．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：2220x y y +-=与圆2C：220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为实数a 的值为___________.53．若圆22211()()x y R -++=上有且仅有三个点到直线4311x y +=的距离等于1，则半径R 的值为______．54．已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________．55．22sin )x dx -+=⎰___________56．若直线y x t =+被圆228x y +=，则实数t 的取值范围为______． 57．直线20ax y +-=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，若2CA CB ⋅=-，则a =__________． 58．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．59．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．60．若直线l ：2y x =+与圆C ：224x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为_____．61．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______62．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________.63．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A （2，2）的距离为1且与点B （m ，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为______．64．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______．65．已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ，使22PA PB 10+=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________.三、解答题66．已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，点P 在圆224x y +=上运动，求222PA PB PC ++的最大值和最小值．67．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点.68．已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>过点P ，上、下焦点分别为1F 、2F ， 向量12PF PF ⊥．直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 中点为13(,)22M -． （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程；（3）记椭圆在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ，若曲线 2222440x mx y y m -+++-=与区域D 有公共点，试求m 的最小值．69．已知直线过点，并与直线和分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．70．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=；（2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．71．已知直线:220l ax by -+=(0,0)a b >>，圆22:2410C x y x y ++-+=. （1）若1,2a b ==，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求14a b+的最小值.72．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.73．已知直线l 过点()1,1且与直线210x y ++=垂直.（1）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，求AB ；（2）求圆心在直线l 上且过两点()()1,1,3,1M N 的圆的标准方程.74．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.75．从圆C :22(2)(2)4-++=x y 外一动点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且PM PO =(O为坐标原点)，求PM 的最小值和PM 取得最小值时点P 的坐标．76．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．77．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+3=0，圆M 的极坐标方程为ρ=4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）写出直线l 与圆M 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆M 交于A 、B 两点，求AB 的长．78．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．79．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.80．已知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，且圆C 的一条直径的两个端点M ，N 分别在x 轴和y 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 为直角三角形，求直线l 的方程．81．已知圆22:80C x y y +-=与动直线:22l y kx k =-+交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）已知点()2,2P ，当OP OM =时，求l 的方程及POM 的面积.82．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围．83．如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．84．已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点， （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．85．求半径为2，圆心在直线12:l y x =上，且被直线2l ：10x y --=所截弦的长为圆的方程.86．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．87．已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.88．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程：()222411211k x k k y k ⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程；（2）过曲线2C 上一点P 作直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，中点为D，AB =求PD 的最小值.89．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； ②设l 与圆C 交于A 、B两点，若AB l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.90．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【详解】试题分析：因为直线0ax by c 与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 2．A 【分析】确定直线过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，点在圆内，得到答案.【详解】210kx y -+=过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2211(110)24+-=<，故10,2⎛⎫⎪⎝⎭在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ． 4．D 【分析】求出两圆的连心线所在直线的方程，即为AB 的垂直平分线的方程. 【详解】圆22460x y x y ++-=的标准方程为()()222313x y ++-=，圆心为()2,3M -，圆2260x y x +-=的标准方程为()2239x y -+=，圆心为()3,0N ，由于两圆关于直线MN 对称，所以，A 、B 两点也关于直线MN 对称， 所以，AB 的垂直平分线为直线MN ， 直线MN 的斜率为303235MN k -==---，则直线MN 的方程为()335y x =--，即3590x y +-=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两圆相交弦的垂直平分线所在直线的方程，解题的关键就是由两圆关于连心线所在直线对称，进而得出相交弦被连心线垂直平分，解题时应充分分析圆的几何性质，结合几何性质来解题. 5．A 【分析】由题设易知PC l ⊥且||PC 为C 到直线l 的距离，再根据圆心坐标及半径、2PC AC =即可确定m 的值，进而可得()1,5P ，应用向量数量积的坐标运算求OP PC ⋅. 【详解】∵这样的点P 是唯一的，则PC l ⊥，即||PC 为C 到直线l ：()0y m m =>的距离，而圆C 的半径为2且(1,1)C ，∴要使2PC AC =，则4PC =，又0m >，即5m =， ∴()1,5P ，故()()1,50,420OP PC ⋅=⋅-=-． 故选：A ． 6．C 【分析】根据题意，求出圆C 的圆心与半径，求出圆心到直线的距离125=，分析可得3r d +>，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：221x y +=，圆心为()0,0，半径1r =，则圆心()0,0C 到直线l ：34120x y +-=距离1215d r ==>=， 圆的半径为1，有12135+>，即3r d +>， 则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有2个. 故选C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题． 7．D【分析】对称圆的圆心C '与C 关于l 对称，且CC '所在直线垂直于直线l ，据此求解出对称圆的圆心C '坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程. 【详解】设对称圆的圆心(),C a b '，()2,6C -，所以CC '中点为26,22a b -+⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2634502263124a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 关于直线对称的圆的方程为：()()22421x y -++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线. 8．B 【详解】直线()220ax a b y b +++=整理得()()220a x y b y +++= 可知直线过定点T ()1,2-，所以点H 落在以QT 为直径的圆上，点H 的轨迹为()()22111x y -++=，圆心为C ()1,1-半径为1，PH的最小值为r 1PC -;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想. 9．D 【分析】当直线l的斜率不存在时，易求得OAB S =l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，进而得弦长AB =,A B的距离dOAB S ∆=.【详解】当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为2x =，则,A B 的坐标分别为在时，所以122OABS=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则圆心到直线,A B 的距离d =由平面几何知识得AB =119222OABS AB d ∆=⨯⋅=⨯， 当且仅当229d d -= ，即292d =时， OAB S ∆取得的最大值为92，因为92，所以OAB S ∆的最大值为92.此时292=，解得1k =-或7k =-， 此时直线l 的方程为: 30x y +-=或7150x y +-= 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题. 10．C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 11．B 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列出不等式可解得． 【详解】依题意可得圆心到直线的距离()1,3d ∈.∵d =3<，解得b -<b <B . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题． 12．B 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =<，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A 时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2=，解得：b =±B 时，b =-结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】 13．D 【详解】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1M ，而点()0,1M 在圆22:230C x y x +--=内，根据圆的几何性质可知，当直线l 与MC 垂直时,直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，由圆的方程可得()1,0C ，于是可得101,101MC k k -==-=-，直线l 的方程是1,y x =+化为10x y -+=，故选D. 14．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C15．C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r +≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-==故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解. 16．D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值， 而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故d ==故1sin 302r PC ==︒=，解得r =故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17．B【分析】根据“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”求出1a =-，由211a a =⇒=±，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线l 与圆22210x y ay +--=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心()0,a=1a =-，又211a a =⇒=±，所以“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的必要不充分条件.故选：B.18．A【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断2d +，2d -与r 的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为()2,3-，半径为3圆心到直线的距离d ==可知23<，232+<由上图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.19．A【详解】由圆的性质知：AB 与直线0x y c -+=垂直且被平分，所以3111AB k m+==--，解得5m =，又AB 中点(3,1)在直线上，代入可求得2c =-，所以21m c +=故选A.20．B【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE =，(0,2)AD =，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以001212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点， 所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈， 所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.21．C【分析】 首先设()()00,,,P x y N x y ，根据平行四边形的性质，求得003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆的方程，求得点P 的轨迹，同时注意去掉不能满足平行四边形的点.【详解】设()()00,,,P x y N x y ，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，所以003,22422x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，从而003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩又点()3,4N x y +-在圆224x y +=上，所以()()22344x y ++-=.当点P 在直线OM 上时，22443x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：912,55x y =-=或2128,55x y =-=. 因此所求轨迹为以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：C.22．D【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以()0,4A ，()2,0B 两点为直径的圆的方程为()()22125x y -+-=，设圆心为N ，所以()1,2N若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则圆M 与圆N 有公共点，又圆22:245M x y x y m ++++=，所以()1,2M --)0m >，所以MN =≤545m ≤≤，所以m 的最大值为45.故选：D23．D【解析】圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(32＝14＋故选D.24．D【分析】由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，分直线l 过原点和直线l 不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，当直线l 过原点时，其方程为20x y +=；当直线l 不过原点时，设l ：x y a +=，则211a =-+=-，此时方程为10x y ++=. 故选：D.25．A【分析】先求出AC AB ⊥，然后以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的方程丹凤 出M 点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值．【详解】 由题意3ABC π∠=，所以22212212cos 33AC π=+-⨯⨯=，即222AC AB BC +=，所以2CAB π∠=，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，C ，(D -．直线BD 方程为111x -=--20y +-=，所以圆C 半径为7r ==C 方程为223(7x y +=，设()77M αα，21()AM αα=，(BD =-，所以3AM BD αα⋅=+，33=．故选：A ．26．C【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值．【详解】由题意可知两圆外切，圆C 的圆心为()0,0，圆E 的圆心为()3,4，半径为4，4，解得4m =.故答案为C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题． 27．A【解析】【详解】由题意可得圆心(2,3)C ,半径为1r =,点A 关于x 轴的对称点(1,1)A -'-,求得5A C =',则要求的最短路径的长为514A C r -=-=',故选A.28．B【详解】将sin 20ρθ-=化为直角坐标方程得，20y -= ，由4cos 0ρθ-=可得，24cos ρρθ=化为直角坐标方程可得，()2224x y -+= ，圆心()2,0 到直线20y -=的距离为2 ，等于圆的半径，所以直线20y -=与()2224x y -+=相切，即曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是相切，故选B.29．A【分析】若,,A B C 公差为d ，结合直线方程可得(1)(2)0A x y d y ++++=，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可.【详解】若,,A B C 公差为d ，则()(2)(1)(2)0Ax A d y A d A x y d y ++++=++++=，∴直线恒过定点(1,2)-，将代入圆中，可得522610t t +--=-<，∴(1,2)-在圆22260x y tx ty +++-=内，故直线与圆相交.故选：A30．B【分析】先求出M 点的轨迹为圆，然后问题转化为圆外的点到圆上的点的距离最大问题求解即可【详解】设点M 坐标为(),x y ，P 点坐标为()00,x y ，因为P ，M ，E 共线所以//PE ME ，得()()0011y x y x -=-因为003y x =+，得0033141y x x y x y y y x +-⎧=⎪-+⎪⎨⎪=⎪-+⎩① CD 的直线方程为()()00114x x y y --+=②将①代入②得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 点的轨迹是以N 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，AM的最大值为2AN r +=+=故选：B31．C【详解】圆心到直线的距离()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项.32．C【详解】圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标C 3（﹣1，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（5，5），半径为2， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，31037=-=． 故选C ．33．A【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =18PF =，从而可求出c 的值 【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =． 设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF =8=，c =2c = 故选：A 【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 34．B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：。

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)

(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．354．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13297．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．28．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）．A ．2B ．1C ．32D ．129．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202210．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-11．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________． 15．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .24．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.（1）求证数列{}1n a +是等比数列； （2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272nn n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.4．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 7．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26． 【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++， 依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-， 故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-.【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，所以2332n nn S +=-． 【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2nn n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭，得324522b b b =+， 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，解得2q，或12q =，由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意， 所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =，则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，122n n S +∴=-当2n ≥时，()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时，12b =也满足上式.2n n b =（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用定义证明12n n b b +=即得证；（2）分析得到211321n n a -≤⋅-，再利用等比数列求和得证. 【详解】 解：（1）121n n b a n =+-，1223241n n n a a n ++-=-， 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--， 又11312b a =+=， 所以数列{}n b 是等比数列； （2）由（1）得，1232322n n n b --=⋅=⋅，N n *∈， 213221n n a n -∴=⋅--，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，211321n n a -∴≤⋅-， 当2n ≥时，21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-，又11123S a ==<， 综上，3n S <，n *∈N . 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）数学归纳法；（5）放缩法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=， 所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12.【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n=++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。

(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案).doc

(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案).doc

高二直线和圆的方程单元测试卷班级： 姓名：一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A （2， 1）、B （ 1，m 2） (m ∈ R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是A ． [0, )B ． [ 0, ] [3 C ． [0, ], )444D ． [0, ](, ) 422. 如果直线 (2a+5) x+( a － 2)y+4=0 与直线 (2－ a)x+(a+3)y － 1=0 互相垂直，则 a 的值等于 A ． 2 B ．－ 2C ． 2,－ 2D ．2,0,－ 2 3.已知圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2，点 P （ a ，b ）（ ab ≠ 0）是圆 O 内一点，以P为中点的弦所在的直线为 m ，直线 n 的方程为 ax ＋by ＝ r 2，则A ．m ∥n ，且 n 与圆 O 相交B ． m ∥ n ，且 n 与圆 O 相 离C ． m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D ．m ⊥ n ，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax2by 2 0( a,b 0) 始终平分圆 x 2y 2 4x 2 y8 0 的周长，则12a b的最小值为A ．1B ． 5 C．4 2D ． 3 225. M (x 0 , y 0 ) 为 圆 x 2 y 2a 2 ( a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x 0 x y 0 y a 2 与该圆的位置关系为A ．相切 B．相交C．相离 D ．相切或相交6. 已知两点 M （ 2，－ 3）， N （－ 3，－ 2），直线 L 过点 P （ 1， 1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A ．3≤k ≤ 4B ． k ≥ 3或 k ≤－ 4C ． 3≤ k ≤ 4D ．－34444≤ k ≤45) 2 1)27. 过直线 y x 上的一点作圆 (x ( y 2 的两条切线 l 1， l 2 ，当直 线 l 1， l 2 关于 yx 对称时，它们之间的夹角为A ． 30oB ． 45oC ． 60oD ． 90ox y 1 01x 、yy1 0，那么 xy8满足条件4()的最大值为．如果实数2xy 1 0A ． 2B． 1C．1D．19 (0, a),1x 2 y224其斜率为 ，且与圆2相切，则 a 的值为．设直线过点Ａ．4Ｂ． 2 2Ｃ．2Ｄ．210．如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l 2 间的距离是 1，l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、l 2 、l 3 上，则⊿ ABC的边长是A. 23 4 63 172 21B.3 C.4D.3一、选择题答案123 45 678910二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上．11．已知直线 l 1 : x y sin 1 0 ， l 2 : 2x siny 1 0 ，若 l 1 // l 2 ，则．12．有下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线的斜率乘积为－ 1, 则其必互相垂直；③过点（－ 1，1），且斜率为 2 的直线方程是y 1 2 ；x1④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行 ;⑤若直线的倾斜角为 ，则 0 .其中为真命题的有 _____________( 填写序号 ).13．直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相交于两点 M 、 N ，若满足 C 2＝ A 2＋ uuuuruuurB 2，则 OM · ON （ O 为坐标原点）等于 _ .14．已知函数 f ( x) x 22x 3 ，集合 Mx, y f ( x) f ( y) 0 ， 集 合 N x, y f ( x) f ( y) 0 ， 则 集 合 MN 的 面 积是；15．集合P ( x, y) | x y 5 0，x N*，y N*｝，Q ( x, y) | 2x y m 0 ，M x, y) | z x y ， ( x, y) ( P Q)，若z 取最大值时，M(3,1) ，则实数m的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知ABC 的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x 10 y 59 0， B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分12 分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元， 2 千元。

2023-2024学年山东省青岛市胶州市第三中学高二上学期第二次阶段性检测数学试题

2023-2024学年山东省青岛市胶州市第三中学高二上学期第二次阶段性检测数学试题

2023-2024学年山东省青岛市胶州市第三中学高二上学期第二次阶段性检测数学试题1.直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2.“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（）A．7.5B．8C．8.5D．93.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（）A．B．C．D．4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中“义”不在首位的概率为（）A．B．C．D．5.等差数列中的前项和分别为，则（）A．B．C．D．6.已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．7.一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（）A．至多有一次中靶B．至多有两次中靶C．恰好有一次中靶D．三次都中靶8.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A．B．C．D．9.若过点有两条直线与圆相切，则实数m的可能取值是（）A．－3B．3C．0D．10.对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（）A．事件与事件互斥B．C．事件与事件相互独立D．11.已知直线，则（）A．若，则的一个方向向量为B．若，则或C．若，则D．若不经过第二象限，则12.已知直线：与圆：，则（）A．直线与圆相离B．直线与圆相交C．圆上到直线的距离为1的点共有2个D．圆上到直线的距离为1的点共有3个13.在等比数列中，已知，，则______．14.14.已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．15.如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．16.已知圆C :，点M 的坐标为(2，4)，过点N (4，0)作直线交圆C 于A ，B 两点，则的最小值为________17.已知圆和圆．（1）当时，判断圆和圆的位置关系；（2）是否存在实数m ，使得圆和圆内含？18.2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节.现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．19.已知点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程：(2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程；20.已知圆的方程为．(1)求过点且与圆相切的直线的方程；(2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．21.已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.22.已知圆，点.(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.。

安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题含答案

安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题含答案

2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i i (1)2+=z ，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由题21iz i=+,利用除法法则整理为a bi +的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z 在复平面内对应的点为()1,1,故选:A【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（）A.144B.120C.100D.80【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前n 项和公式计算即可.【详解】因为3233S a ==，所以21a =，又33a =，所以322d a a =-=，则121a a d =-=-，所以()12121112121202S ⨯=⨯-+⨯=，故选：B .3.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 1.5)P X >等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=,所以(1.52)0.36P X ≤<=，()1( 1.5)10.3620.142P X <=-⨯=，所以( 1.5)10.140.86P X >=-=，故选:D .4.双曲线222:1y C x b-=的焦距为4，则C 的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.15y x =±D.3y x =±【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程以及焦距可得b =，可得渐近线方程.【详解】由焦距为4可得24c =，即2c =，所以2214c b =+=，可得23b =，即b =；则C 的渐近线方程为by x a=±=.故选：B5.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】给()2cos 2b C a c =-两边同时乘以a ，结合余弦定理求解即可.【详解】因为()2cos 2b C a c =-，两边同时乘以a 得：()22cos 2ab C a c =-，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，则()22222a b c ac +-=-，所以有2222a c b a c +-=，又2222cos a c b ac B =+-，所以22cos a c ac B =，又因为π3B =，所以1a =.故选：A6.已知四面体ABCD 的各顶点都在同一球面上，若AB BC CD DA BD =====ABD ⊥平面BCD ，则该球的表面积是（）A.100πB.40πC.20πD.16π【答案】C 【解析】【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.【详解】过三角形ABD 的中心E 作平面ABD 的垂线，过三角形BCD 的中心F 作平面BCD 的垂线，两垂线交于点O ，连接OD ，依据题中条件可知，O 为四面体ABCD 的外接球球心，因为AB BC CD DA BD =====，所以2,1DF OF ==,则OD ==,则该球的表面积为24π20π=，故选：C .7.已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A.3⎡+⎣B.1⎤-+⎦C.22⎡-+⎣D.1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111x y -++=，从而求出动点M 的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM 的取值范围.【详解】22:2440C x y x y +-+-= 即()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，半径3r =，直线:10l x ay --=，令100x y -=⎧⎨-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点()1,0，又()()22110249-++=<，所以点()1,0在圆内，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，由22102440x ay x y x y --=⎧⎨+-+-=⎩，消去x 整理得()221450a y y ++-=，显然0∆>，则12241y y a +=-+，则()21212224221a a x x a y y a -++=++=+，所以21222121x x a a a +-+=+，122221y y a +=-+，则212022121x x a a x a +-+==+，1202221y y y a +==-+则()()2222200222111111a a x y a a ⎛⎫--⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又直线:10l x ay --=的斜率不为0，所以M 不过点()1,0，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=（除点()1,0外），圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，半径11r =，又ON ==，所以11ON r OM ON r -≤≤+，11OM -≤≤，即OM 的取值范围为1⎤-+⎦.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M 的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON ，最后根据圆的几何性质计算可得.8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==，记()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 满足的表达式以及()1e f =，利用赋值法即可计算出,,a b c 的大小.【详解】由()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==可得，令12x y ==，代入可得()21111=e 222f f ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即12a f ⎛⎫==± ⎪⎝⎭，令1x y ==，代入可得()()22221e f f ==，即()2e22b f ==，令1,2x y ==，代入可得()()()23e 32122e e 23f f f ==⨯=，即()3e 33c f ==；由e 2.71828≈⋅⋅⋅可得23e e 23±<<，显然可得a b c <<.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件M 表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5D.事件,M N 互为对立事件【答案】BD 【解析】【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，甲机构测评分数的平均分9098909295935x ++++==甲，乙机构测评分数的平均分9395929194935x ++++==乙，所以选项A 错误，对于选项B ，甲机构测评分数的方差2222211[(9093)(9893)(9093)(9293)(9593)]9.65D =-+-+-+-+-=，2222221[(9393)(9593)(9293)(9193)(9493)]25D =-+-+-+-+-=，所以选项B 正确，对于选项C ，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，又50.25 1.25i np ==⨯=，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C 错误，对于选项D ，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件,M N 互为对立事件，所以选项D 正确，故选：BD.10.函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2220mf x x x=+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()20f x x '=>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.11.已知椭圆22:142x y C +=的左､右顶点分别为,A B ，左焦点为,F M 为C 上异于,A B 的一点，过点M 且垂直于x 轴的直线与C 的另一个交点为N ，交x 轴于点T ，则（）A.存在点M ，使120AMB ∠=B.2TA TB TM TN ⋅=⋅C.FM FN ⋅ 的最小值为43-D.FMN 周长的最大值为8【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，判断ACB ∠与2π3的大小即tan a OEB b ∠===即可；对于B ,设(),M m n ，(),0T m ，(),N m n -，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C ，求出FM FN ⋅，利用二次函数求最值即可；对于D ，利用椭圆的定义，转化求()8MF MF MN '-+'-的最大值，即可.【详解】对于A ,设椭圆的上顶点为E ，则直角三角形BOE 中，tana OEBb ∠===，则2π3AEB ∠<，故A 错误；对于B ，设(),M m n ，则(),0T m ，(),N m n -，且22142m n +=，即2242m n -=，又()()2,0,2,0A B -,则()()()()2,02,022TA TB m m m m ⋅=--⋅-=-+- ()2242m n =--=-，又222TM TN n ⋅=- ，故2TA TB TM TN ⋅=⋅，则B 正确；对于C ，()F ，()()FM FN m n m n ⋅=+⋅+-((222242m m n m -=+-=+-232m =+，22m -<<，则当3m =-时，FM FN ⋅ 取最小值为43-，故C 正确；对于D ，设椭圆的右焦点为F ',FMN 的周长为：44MF NF MN MF NF MN ++=-+-+''()88MF MF MN =-+-'≤',当且仅当,,M N F '三点共线时，等号成立，故D 正确，故选：BCD .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是__________.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .13.已知函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，则t 的最大值为__________.【答案】π2【解析】【分析】根据条件得到π4ϕ=-，从而得到()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π34x t -=，再利用2sin y t =的图象与性质，即可求出结果.【详解】因为函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，所以ππ3π(Z)42k k ϕ⨯+=+∈，得到ππ(Z)4k k ϕ=-+∈，又π0ϕ-<<，所以π4ϕ=-，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，令πππ3,3444x t t ⎡⎤-=∈--⎢⎥⎣⎦，则2sin y t =，由2sin y t =的图象与性质知，π5π344t -≤，得到π2t ≤，故答案为：π2.14.已知点()()1122,,,A x y B x y ，定义AB d =为,A B 的“镜像距离”.若点,A B 在曲线()ln 2y x a =-+上，且AB d 的最小值为2，则实数a 的值为__________.【答案】11+【解析】【分析】依题意求出()ln 2y x a =-+的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数()ln 2y x a =-+可得()2ln y x a -=-，即2e y x a -=+；所以()ln 2y x a =-+的反函数为2e x y a -=+；由点()22,B x y 在曲线()ln 2y x a =-+上可知点()122,B y x 在其反函数2e x y a -=+上，所以AB d =相当于2e x y a -=+上的点()122,B y x 到曲线()ln 2y x a =-+上点()11,A x y 的距离，即1AB AB d d ==，利用反函数性质可得2e x y a -=+与()ln 2y x a =-+关于y x =对称，所以可得当1AB 与y x =垂直时，1AB AB d d =取得最小值为2，因此1,A B 两点到y x =的距离都为1，过点1,A B 的切线平行于直线y x =，斜率为1，即11y x a'==-，可得()1,ln 122x a y a a =+=+-+=，即()1,2A a +；A 点到y x =的距离1d ==，解得1a =；当1a =()(ln 2ln 12y x a x =-+=-++与y x =相交，不合题意；因此1a =.故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()e x ax b f x +=，当1x =时，()f x 有极大值1e.（1）求实数,a b 的值；（2）当0x >时，证明：()1x f x x <+.【答案】（1）1,0a b ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为(),∞∞-+，且()ex a b ax f x -='-，因为1x =时，()f x 有极大值1e，所以()()11e 10f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，解得1,0a b ==，经检验，当1,0a b ==时，()f x 在1x =时有极大值1e ，所以1,0a b ==；【小问2详解】由（1）知，()e xx f x =，当0x >时，要证()1x f x x <+，即证e 1x x x x <+，即证：e 1x x >+.设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，因为0x >，所以()e 10xg x ='->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10x x -->，即e 1x x >+，故当0x >时，()1x f x x<+.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，N 为1C E 上一点.（1）证明：BN //平面1A DC ；（2）若11,3AB AC C E C N == ，求直线DN 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接1,,BE BC DE ,则有平面1BEC //平面1A DC ，可得BN //平面1A DC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.【小问1详解】连接1,,BE BC DE .因为AB //11A B ，且11AB A B =，又,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，所以BD //1A E ，且1BD A E =，所以四边形1BDA E 为平行四边形，所以1A D //EB ，又1A D ⊂平面1,A DC EB ⊄平面1A DC ，所以EB //平面1A DC ，因为DE //1BB //1CC ，且11DE BB CC ==，所以四边形1DCC E 为平行四边形，所以1C E //CD ，又CD ⊂平面11,A DC C E ⊄平面1A DC ，所以1C E //平面1A DC ，因为11,,C E EB E C E EB ⋂=⊂平面1BEC ，所以平面1BEC //平面1A DC ，因为BN ⊂平面1BEC ，所以BN //平面1A DC .【小问2详解】四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，所以11,CC AC CC BC ⊥⊥.所以1CC ⊥平面ABC .因为DE //1CC ，所以DE ⊥平面ABC .从而,DE DB DE DC ⊥⊥.又AB AC =，所以ABC 为等边三角形.因为D 是棱AB 的中点，所以CD DB ⊥.即,,DB DC DE 两两垂直.以D 为原点，,,DB DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设AB =则()(()((110,0,0,0,0,,0,3,0,0,3,,2D E C C A ，所以()(10,3,0,DC DA == .设(),,n x y z =为平面1A DC 的法向量，则100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取()2,0,1n = .因为113C E C N =，所以((0,2,,0,2,N DN = .设直线DN 与平面1A DC 所成角为θ，则||sin |cos ,|10||||n DN n DN n DN θ⋅=〈〉===⋅ ，即直线DN 与平面1A DC所成角正弦值为10.17.2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.【答案】（1）分布列见解析，()56E X =（2）0.4【解析】【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据题意结合全概率公式运算求解.【小问1详解】由题意知：X 所有可能取值为0,1,2，则有：()0257212C C 70C 22P X ===，()1157212C C 351C 66P X ===，()2057212C C 52C 33P X ===，可知X 的分布列为：X012P 7223566533所以X 的数学期望为：()735550122266336E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记事件A 为“游客乙乘坐观光车游园”，事件B 为“游客乙骑自行车游园”，事件C 为“游客乙步行游园”，事件M 为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，由题意可知：()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===，()()()0.8,0.4,0.2P MA P MB P MC ===∣∣∣，由全概率公式可得()()()()()()()0.4P M P A P MA PB P M B PC P M C =++=∣∣∣，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.18.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 的直线l 与C 交于,A B 两点，过,A B 作C 的切线12,l l ，交于点M ，且12,l l 与x 轴分别交于点,D E .（1）求证：DE MF =；（2）设点P 是C 上异于,A B 的一点，P 到直线12,,l l l 的距离分别为12,,d d d ，求122d d d的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线12,l l 的表达式，得出,,D E M 三点的坐标，联立直线l 与抛物线方程根据韦达定理得出DE MF =；（2）利用点到直线距离公式可求得122122d d d =≥，可求出122d d d 的最小值.【小问1详解】因为抛物线C 的焦点为()0,1F ，所以2p =，即C 的方程为：24x y =，如下图所示：设点()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设:1l y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-.由24x y =，得211,42y x y x '==，所以()1111:2x l y y x x -=-，即21124x x y x =-.令0y =，得12x x =，即1,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理2222:24x l x y x =-，且2,02x E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1212DE x x =-==.由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即()2,1M k -.所以MF ==故DE MF =.【小问2详解】设点()00,P x y ，结合（1）知()1111:2x l y y x x -=-，即2111:240l x x y x --=因为2211004,4x y x y ==，所以21d -==.同理可得22d -=，所以()2222221244kx x x x x x x x d d ⎡⎤--+-++--==又d==所以()()22212222004416112244kx x kd dd kx x--++==-+.当且仅当0k=时，等号成立；即直线l斜率为0时，122d dd取最小值12；19.“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意*n∈N，定义“q-数”1()1nqn q q-=+++利用“q-数”可定义“q-阶乘”()()!(1)(2)(),0! 1.q q q q qn n==且和“q-组合数”，即对任意*,,k n k n∈∈≤N N，()()()!!!qq qqnnk k n k⎛⎫=⎪-⎝⎭（1）计算：253⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：对于任意*,,1k n k n∈+≤N，111kq q qn n nqk k k--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）证明：对于任意*,,,1k m n k n∈∈+≤N N，1.11mn k iiq q qn m n n iqk k k-+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑【答案】（1）155（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中定义，直接进行计算即可；（2）根据题中定义计算出等式左右两边的值，化简后即可证明；（3）根据题中的定义化简题中的条件，得到111n kq q qn n nqk k k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用此等式，等到1m+个等式，相加即可.【小问1详解】由定义可知，()()()[][]2222222222222255!(1)(2)(3)(4)(5)33!2!(1)(2)(3)(1)(2)⎛⎫==⎪⎝⎭()()()232342222122212222(4)(5)155(1)(2)112+++++++===⨯+.【小问2详解】因为()()()()()()!()1!!!!!q q q q q q qq n n n n k k n k k n k ⋅-⎛⎫== ⎪--⎝⎭，()()()()()()1!1!1111!!!1!k q q k q q q q q q n q n n n q k k k n k k n k -⋅---⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭()()()1!()()!!q k q q q qn k q n k k n k -⎡⎤=+⋅-⎣⎦-.又()11()()11k k k n k q q k q n k q q q q q ---+⋅-=+++++++ 11()n q q q n -=+++= ,所以111k q q qn n n q k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】由定义得：对任意*N,N ,,q qn n k n k n k n k ⎛⎫⎛⎫∈∈≤= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.结合（2）可知111n k q q q q n n n n q k n k n k n k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n k q qn n q k k ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111n m k q q q n m n m n m q k k k +-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111n m k q q qn m n m n m q k k k +--++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……111n k q q q n n n q k k k -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.上述1m +个等式两边分别相加得：0111m n k i i q q qn m n n i q k k k -+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用题中的定义进行运算.。

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学文试题 Word版含解析

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学文试题 Word版含解析

成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。

必修二《直线与圆的方程 》过关测试题

必修二《直线与圆的方程 》过关测试题

必修二《直线与圆的方程 》过关测试题本卷满分150分 ：时间120分钟一．选择题（每小题5分，共10小题，共50分）1.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( C )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----= 2、两圆221:4440c x y x y ++-+=，222:410130c x y x y +--+=的公切线有（A ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．1条3．过两圆：x 2+ y 2+ 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程 （A ）A ．x+y+2=0B ．x+y-2=0C ．5x+3y-2=0D ．不存在4．已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形 （ B ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在5. 与圆22(2)1x y +-=相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ C ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条6. 若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( B )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜197. 直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 （ B ）A ．|b|=2B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错8．．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ B ） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝19．已知点),(b a M （0≠ab ）是圆C ：222r y x =+内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l '的方程是2r by ax =+，那么 （ A ） A ．l ∥l '且l '与圆C 相离 B ．l ⊥l '且l '与圆C 相离 C ．l ∥l '且l '与圆C 相切B ．l ⊥l '且l '与圆C 相切210．已知k∈[－2,2]，则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( B ) A.12 B.14 C.34 D ．不确定 二．填空题（每小题5分，共35分）11．两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是201012.若直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率k =_21________ ． 13、过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为___14. 从点P(m ，3)向圆C ：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值是15.若圆(x-1)2+(y+1)2=R 2上有仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R 的取值范围是1<R<3 16.已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 相交于A 、B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为 18)1(22=++y x ． 17．在圆x 2+y 2＝5x 内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差]31,61[∈d ，那么n 的取值集合为 {4，5，6，7}三．解答题（共5小题，共65分）18. （ 本题满分12分）已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．18、解: 26542=--=BH k ∴ 21-=AC k ∴直线AC 的方程为)10(212+-=-x y 即x+2y+6=0 (1)又∵0=AH k ∴BC 所直线与x 轴垂直 故直线BC 的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C 的坐标为C(6,-6)19. （ 本题满分13分）已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时, 求 （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）求过点)5,3(并与圆C 相切的切线方程.19、解：（Ⅰ）依题意可得圆心2),2,(=r a C 半径，则圆心到直线:30l x y -+=的距离21)1(13222+=-++-=a a d由勾股定理可知222)222(r d =+，代入化简得21=+a 解得31-==a a 或，又0>a ，所以1=a（Ⅱ）由（1）知圆4)2()1(:22=-+-y x C ， 又)5,3(在圆外∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为)3(5-=-x k y由圆心到切线的距离2==r d 可解得125=k∴切线方程为045125=+-y x②当过)5,3(斜率不存在直线方程为3=x 与圆相切 由①②可知切线方程为045125=+-y x 或3=x20.（ 本题满分13分）已知方程04222=+--+m y x y x . （Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.20、解：（Ⅰ）04222=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=mF E D 422-+=20-m 40>， 5<m（Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得 081652=++-m y y51621=+y y ，5821m y y += ∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m （Ⅲ）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a 半径554=r 圆的方程516)58()54(22=-+-y x21．（本题满分13分）已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．21．解：圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥L ，∴k CM ⋅k L =－1 ∴k CM =112-=-+a b ，4即a+b+1=0，得b= －a －1 ①直线L 的方程为y －b=x －a ，即x －y+b －a=0 ∴ CM=2|3|+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM+=∴2222)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线L 的方程为：x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线L 的方程为：x －y+1=0故这样的直线L 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0．22. （本题满分14分）已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷(4)

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷(4)

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷（4）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()3sin ,f x xa x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -3．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．22D ．64．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 5．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．96．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-8．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,29．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．31011．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A B C ．52D ．512．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海上海中学必修二第二章《解析几何初步》检测题(有答案解析)

上海上海中学必修二第二章《解析几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且33OA OB AB +≥，则k 的取值范围是() A ．)+∞B． C ．)2,⎡+∞⎣D．2．P 为⊙C ：22220x y x y +--=上一点，Q 为直线l ：40x y --=上一点，则线段PQ 长度的最小值（） AB ．3C ．3D ．3．若等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则关于,x y 的二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组有唯一解B ．对任意q ∈R (0)q ≠，方程组无解C ．当且仅当23q =-时，方程组有无穷多解 D ．当且仅当23q =-时，方程组无解 4．在平面直角坐标系xOy 中，过x 轴上的点P 分别向圆221(1)(4)7:C x y -++=和圆222:(2)(5)9C x y -+-=引切线，记切线长分别为12,d d ．则12d d +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．46．在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ） A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：38．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且,,PA PB PC 的长分别为,,a b c ，又2()a b c +=，侧面PAB 与底面ABC 成45︒角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．10πB ．40πC ．20πD ．18π9．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则（ ）A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为2D ．若AEB △是直角三角形，则BE ⊥平面ADE10．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1AB 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）（参考数据）π 3.14≈，2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45≈． A ．101gB ．182gC ．519gD ．731g12．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ） A ．//BC 平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC二、填空题13．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________14．经过圆C ：2220x y x ++=的圆心，且与直线320x y +-=垂直的直线方程是______. 15．已知圆()2221x y +-=上一动点A ，定点()6,1B ，x 轴上一点W ，则AW BW+的最小值等于______.16．已知(3,1)P 为圆224x y +=上的一点，,E F 为y 轴上的两点，PEF 是以P 为顶点的等腰三角形，直线,PE PF 分别交圆于点,D C ，直线CD 交y 轴于点A ，则CAO ∠=_______．17．若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于点()1,2P -，则a b +=________.18．若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AB =3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.21．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 22．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值（2）点M 在某个球面上运动 （3）存在某个位置，使1DE AC ⊥ （4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE23．在正三棱锥S ABC -中，3AB =4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为_________.24．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题25．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆22AB =，O ，D 分别是AB ， PB 的中点.（1）求证://OD 平面PAC （2）求证:OP ⊥平面ABC （3）求三棱锥D OBC -的体积.26．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．27．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1B C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA AC ===.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面1BB C ； （2）求四棱锥11C ABB A -的体积.28．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【详解】设AB 中点为D ，则⊥OD AB ，∵33OA OB AB +≥，∴323OD AB ≥，∴23AB OD ≤，∵221||44OD AB +＝，∴2||1OD ≥，∵直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴224,4||1OD OD <∴≥>，∴241>≥，∵0k >，∴k ≤< B.2．A解析：A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求解出圆心和半径，然后根据圆上一点到圆外直线的距离最小值等于圆心到直线的距离减去半径求解出结果. 【详解】因为圆22:220C x y x y +--=，即()()22:112C x y -+-=，所以圆心()1,1C，半径r =又因为PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径，且圆心到直线距离d ==所以min PQ d r =-== 故选：A. 【点睛】结论点睛：圆上点到一条与圆相离直线的距离最值（圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ）：（1）最大值：圆心到直线的距离加上半径，即d r +； （2）最小值：圆心到直线的距离减去半径，即d r -.3．C解析：C 【分析】消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+，利用等比数列的性质可知14230a a a a -=， 讨论4332a a +，得到选项. 【详解】解方程组，132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩，消去y ，得到()14234332a a a a x a a -=+数列{}n a 的公比为q (0)q ≠的等比数列，14230a a a a ∴-=，当43320a a +=，即4323a q a ==-时，方程组由无穷多解， 当43320a a +≠，即23q ≠-时，方程组无解.故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质和方程组解的情况，意在考查讨论的思想和变形能力，属于基础题型.4．D解析：D 【分析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解. 【详解】221(1)(4)7:C x y -++=，圆心()1,4-，半径1r = 222:(2)(5)9C x y -+-=，圆心()2,5，半径33r =设点P ()0,0x ，则12d d +===即()0,0x 到()1,3-与()2,4两点距离之和的最小值， 当()0,0x 、()1,3-、()2,4三点共线时，12d d +的和最小，即12d d +==故选：D 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.5．B解析：B 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a ，半径1r 22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意圆与圆外切的判断条件，属于基础题．7．A解析：A 【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案． 【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：1r =r =， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--．当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π． 内切球体积为43π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1． 故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8．A解析：A 【分析】将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和2()162a b c +=a b =，进而得到22c a =，带入体积公式求得2,2a b c ===，根据公式24S R π=求出外接球的表面积. 【详解】 解：21116211622266()643V abc ab ab a b ab ==⋅⋅=+，当且仅当a b =时取等号， 因为侧面PAB 与底面ABC 成45︒角， 则22PC a c ==， 21222623V a a ∴=⨯=， 2,2a b c ∴===所以2222410R a b c =++=， 故外接球的表面积为10π. 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．C解析：C 【分析】对A ，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B ，由>=EC EB DC 可判断；对C ，可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，即可求出；对D ，EAB ∠（或EBA ∠）为直角时，BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则22DE EC ==，//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求2cos 422CDE ∠==，故C 正确； 对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确．故选：C. 【点睛】本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.10．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，2222111112cos =22AP D P AD x AP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a= 设正四面体外接球半径为R，则2222(()3R R =+，解得R= 所以3D打印的体积为：3233411332V a ππ⎫=-⋅=⎪⎪⎝⎭， 又336216a ==，所以207.71125.38182.331182V =-≈-=≈， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．12．C解析：C【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】 对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE 平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.二、填空题13．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位 解析：340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-3030(1)BC k -==--，13k ∴=-又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.14．【分析】求出圆心坐标所求直线与垂直则点斜式写出直线方程【详解】因为所求直线与垂直则又圆心坐标所以直线方程为：即故答案为：【点睛】(1)在求直线方程时应选择适当的形式并注意各种形式的适用条件(2)对于 解析：1133y x =+ 【分析】求出圆心坐标(1,0)C -，所求直线与320x y +-=垂直，则13k = ，点斜式写出直线方程. 【详解】因为所求直线与320x y +-=垂直，则13k =，又圆心坐标(1,0)C - 所以直线方程为：10(1)3y x -=+ 即1133y x =+ 故答案为：1133y x =+【点睛】(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．15．【分析】根据题意画出示意图进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆以及点B （61）的图象如图作B 关于x 轴的对称点连接圆心与则与圆的交点A 即为的最小值为点（02）到点（6-1）的距离减圆的半径即故答案 解析：351-【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解； 【详解】根据题意画出圆()2221x y +-=，以及点B （6，1）的图象如图，作B 关于x 轴的对称点B '，连接圆心与B '，则与圆的交点A ，AB 即为AW BW +的最小值，AB 为点（0，2）到点B '（6，-1）的距离减圆的半径， 即22(60)(12)1351AB =-+--=，故答案为：351． 【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点；16．或【分析】根据题意作出图形过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点再根据中垂线结合平面几何知识求解【详解】过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点所以所以如图1：所以如图2:解析：30︒或150︒ 【分析】根据题意，作出图形，过点(3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G - PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，再根据中垂线 OG CD ⊥，结合平面几何知识求解. 【详解】过点(3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G -PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，所以 OG CD ⊥ ，tan 3GOE ∠=60GOE ∠= ，如图1：090GOA CA ∠+∠= ， 所以030CA ∠=， 如图2:0150CA ∠= 故答案为：30︒或150︒ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及平面几何的知识，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.17．3【分析】根据题意先由圆的方程求出圆心为根据直线和圆相切的性质列出方程组求出即得解【详解】根据题意的圆心为：若直线与圆相切于则有故答案为：3【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系考查了学生转化与划归数解析：3 【分析】根据题意，先由圆的方程求出圆心为()2,0-，根据直线和圆相切的性质列出方程组，求出,a b ，即得解.【详解】根据题意22410x y x ++-=的圆心为：()2,0-，若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=相切于()1,2P -，则有2301,2302()1(2)(1)a b a b a b a b -+-=⎧⎪∴==∴+=-⎨⨯-=-⎪---⎩故答案为：3 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为：【点睛 解析：165-【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】 解：因为圆1C ：220xyax by c ，即22224224ab a b cxy ， 圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r =由题意，得111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C 的半径2r ==，解得165c =-. 故答案为：165- 【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等【分析】利用余弦定理求得AC ，利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ，可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，圆柱的母线长为h ， 则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，所以，圆柱12O O 的外接球直径为2R =本题中，作出ABC 的外接圆2O ，由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中，在ABC 中，22AB =3BC =，4ABC π∠=，由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠由正弦定理可知，ABC 的外接圆直径为5210sin 2ACr ABC===∠， 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为33442613263323V R ππ⎛==⨯= ⎝⎭. 1326. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.21．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面解析：2． 【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又23GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB == 连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC 根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG 所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹， 因为1223GE EF GF ====所以动点P 的运动轨迹周长为232GE EF GF ++==2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.22．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4） 【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE AC ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）. 【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠ 所以MB 是定值，故（1）正确；B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =，则2DE CE ==若存在某个位置,使1DE AC ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1ACE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾， 故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4） 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.23．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的 解析：217【分析】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//lDE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===，227EF DE DF =+=，故321cos 77DE DEF EF ∠===，进而得答案. 【详解】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ， 依题意：//l BC ，//DE BC ， 所以//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥， 又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ， 所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥. 因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点， 所以//DF SA . 所以DEDF ⊥.Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===， 所以227EF DE DF =+=.所以321cos 77DE DEF EF ∠===. 故异面直线l 和EF 所成角的余弦值为：217故答案为：217【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.24．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形解析：15,66⎛⎫⎪⎝⎭【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法三、解答题25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）112. 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明//OD PA ，利用线面平行的判定定理证明； （2）根据条件，证明PO OC ⊥，PO AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明； （3）利用转化法求体积. 【详解】(1)证明:O ，D 分别为AB ，PB 的中点//OD PA ∴PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC ，//OD ∴平面PAC .(2)证明: 2AC BC == 2AB =，AC BC ∴⊥O 为AB 的中点，2AB =，OC AB ∴⊥，1OC =同理， PO AB ⊥，1PO =.2PC =2222PC OC PO ∴=+=，则90POC ︒∠=，即PO OC ⊥ PO OC ⊥，PO AB ⊥，AB OC O ⋂= OP ∴⊥平面ABC .(3)解:由()2可知，OP ⊥平面ABC .OP ∴为三棱锥P ABC -的高，且1OP=11112111212212D OBC ABC V S OP -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求体积，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.。

高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)-11(精选.)

高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)-11(精选.)

2 2 2(Xa) (y b) r(圆心为 A(a,b),半径为 r )X 2 y 2 DXEyF 0( D 2 E 2 4F O )点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离 d与r 在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法（1） 几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。

d=r 为相切，d>r 为相交,离。

适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。

禾U 用这种方 法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、 最近距离等。

（2） 代数法：由直线与圆的方程联立得到关于 X 或y 的一元二次方程，然后由判别式△来判断。

相切，△ >0为相交，△ <0为相离。

禾U 用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

4. 圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为 I ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:1）当l r1 r2时，圆CI与圆C 2相离；2）当l r1 r2时，圆C I 与圆C 2外切；3）当|r1 r 21 l r1 r2时，圆C I 与圆C 2相交；4）当l |r1 r 21时，圆CI 与圆C 2内切；5）当l |r1 r2 |时，圆CI与圆C 2内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于 X 或y 的一元二次方程，然后由判别式△来判断。

△ 切或内切，△ >0为相交，△ <0为相离或内含。

若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系知识点圆与直线圆心（-2,-2 ）半径√D 2E 24F圆的方程：（1）标准方程:（2）圆的一般方程:d<r 为相=0为=0为外选择题1•圆（X 1）2（y 3）21的切线方程中有一个是（）A . x—y= 0B . x+ y = 0 C. X= 0 D. y= 02.若直线ax 2y 1 0与直线x y 2 0互相垂直，那么a的值等于（）1 2A. 1B. -C. -D. 23 33.设直线过点（0, a）,其斜率为1 ,且与圆x2y2 2相切，则a 的值为（）A. 4B. 2.2C. 2D.4 .平面的斜线AB交于点B ,过定点A的动直线I与AB垂直，且交于点C , 则动点C的轨迹是( )A .一条直线B .一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支X 5.参数方程2（为参数）所表示的曲线是( )y ta n COtA .圆B .直线C.两条射线 D .线段6.如果直线h,∣2的斜率分别为二次方程x2 4x 1 0的两个根，那么h与J的夹角为（）A .B .—3 4 C . D .-6 87.已知M {(x, y)| y 9 x2 ,y 0}, N {(x, y) | y X b},若MnN ,则b( ）A . [3ι2,3ι2]B . (3 一2,3「2)C . (3,3 &]D . [3,3、&]( ) A. 4 B . 5 C. 32 1 D . 2.69.若直线ax 2by 2 0(a,b 0)始终平分圆 2 2Xy 4x12y 8 0的周长，贝U -2a b的最小值为( )A. 1 B . 5 C. 42 D. 3 22& 一束光线从点A( 1,1)出发，经X轴反射到圆C :(X 2)2(y 3)21上的最短路径是穷多个点x, y可使目标函数Z X my取得最小值，则m ( )A . 2B . 1C . 1D . 410.已知平面区域D由以A 1,3、B 5,2、C 3,1为顶点的三角形内部和边界组成11、设M2000102001101,N 2001 ’10 12002101O20009102001 10010 20019102002100则M与N、P与Q的大小关系为( )A. M N, P QB. M N, P QC.M N, P QD. M N,P Q12、已知两圆相交于点A(1,3和点B(m, 1),两圆圆心都在直线I:XyC 0上，贝U m C的值等于A .-1B . 2C . 3D .013、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为A.15B.30C.36D.以上都不对14、设m 0 ,则直线.2( X y) m 1 0与圆X22y m的位置关系为A.相切 C.相切或相离相交或相切B. 相交 D.15、已知向量(2cos ,2sin ), (3cos ,3sin ),若的夹角为60 ,则直线.若在区域D上有无它与两定点A(4, - 1), B(3, 4)的距离之差最大，贝U P 点坐标是2y 1 2 ,则C 上各点到l 的距离的最大值与最小值之差为l : XCoS ysin交但不过圆心 B1 2 2 1-0与圆C : (X cos ) (y Sin ) —的位置关系是(2 2•相交过圆心 C •相切 D •相离 )A •相2 2 -6、已知圆 O: (X 3) (y 5) 536和点A(2,2), B( 1, 2),若点C 在圆上且 ABC 的面积为兰,则满2( )A.1B.2C.3D.4 17、若圆 G : (X a)2 (y b)2足的关系是A • a 22a 2b 3 0 C • a 2 2b 2 2a 2b 1 0 足条件的点C 的个数是 18、在平面内,与点A(1,2)距离为 2 2b 1始终平分圆C 2: (X 1) (y ()2 B • a 2a 2b 5 0D • 3a 2 2b 22a 2b 1 1,与点B(3,1)距离为2的直线共有 21) 4的周长，则实数a, b 应满A.1 条B. 2条 C. 3 条 D. 4 条 填空题X 4、直线 2 1t 2(t 为参数)被圆1 1t 2 X 24截得的弦长为5、已知圆M :(X cos )2 (y Sin )2直线l :y kx ,以下命题成立的有①对任意实数 ,直线I 和圆M 相切;②对任意实数 ,直线I 和圆M 有公共点;③对任意实数,必存在实数k ,使得直线I 和圆 M 相切④对任意实数 k ,必存在实数 ，使得直线I 和圆 M 相切1、直线2x - y -4=0上有一点 P ,2、设不等式2x 1 m(x 21)对一切满足m2的值均成立，贝U X 的范围为3、已知直线l : X y 40与圆C :6、点A（— 3, 3）发出的光线I射到X轴上被X轴反射，反射光线与圆C :x2 y2 4x 4y 7 0相切，则光线I所在直线方程为一r , ∩∏ 2 27、直线y X与圆X y mx ny 4 O交于M、N两点，且M、N关于直线X y 0对称，2则弦MN的长为____________________ 。

吉林省长春市普通高中2024年高三第五次月检测试题数学试题

吉林省长春市普通高中2024年高三第五次月检测试题数学试题

吉林省长春市普通高中2024年高三第五次月检测试题数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A ．4B ．4C D ．52．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A ．2B C ．52D ．54．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.155．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1BCD ．06．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．2238．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π9．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数；③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭12．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)(2)

新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 2．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定3．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞4．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．205．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．7．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，9．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=10．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．411．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 12．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．已知两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，则c 的值为______.15．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．16．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 17．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．18．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；20．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程. 22．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．23．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标.24．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，半径为2，且圆心C 到直线l 的距离为65. （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.25．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||221a b<+，即为221a b +>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.3．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d ==，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.4．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ．本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.8．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 9．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2242b b +=-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.11．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．C解析：C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．或【分析】根据两平行线间的距离公式得到即可求解【详解】由题意两条平行直线与间的距离为3根据两平行线间的距离公式可得解得或即的值为或故答案为：或【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条平行线间解析：9-或21. 【分析】3=，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线1:3460l x y -+=与2:340l x y c -+=间的距离为3，根据两平行线间的距离公式，可得3d ==，解得21c =或9c =-，即c 的值为9-或21. 故答案为：9-或21. 【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式求解.15．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则解析：1λ=或17λ=. 【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大， 即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l x y 的距离为21d λ=+，则2|12|2211d λλ-==+，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.16．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.17．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积解析：1 2【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S，再求极限即可。

直线和圆的方程单元测试卷

直线和圆的方程单元测试卷

直线和圆的方程单元测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)π11．若0≤θ≤，当点(1，coθ)到直线某inθ＋ycoθ－1＝0的距离是时，这条直线的斜率是()243A．1B．－1D．－232．设A、B为某轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为某－y＋1＝0，则直线PB的方程为()A．2某＋y－7＝0B．2某－y－1＝0C．某－2y＋4＝0D．某＋y－5＝03．(2022·北京市西城区)已知圆(某＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．过点M(2,1)的直线l与某轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()A．某－2y＋3＝0B．2某－y－3＝0C．2某＋y－5＝0D．某＋2y－4＝05．直线某－2y－3＝0与圆C：(某－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()3335A.B.C．5D.2456．若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线inA·某＋ay＋c＝0与b某－inB·y＋c＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直3π7．已知直线l1：b某－2y＋2＝0和l2：2某＋6y＋c＝0相交于点(1，m)，且l1到l2的角为，则b、c、m的4值分别为()3333A．1，，－11B.1，－11C．1，－11D．－11122228．已知A(－3,8)和B(2,2)，在某轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()2222A．(－1,0)B．(1,0)C．(0)D．(0，)559．把直线某－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆某2＋y2＋2某－4y＝0相切，则实数λ的值为() A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－1310.在如右图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，若是目标函数z=a某+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个，则a的值等于()1A.B．1C．632某－y＋2≥011．如果点P在平面区域某－2y＋1≤0某＋y－2≤0A.5－1D．3上，点Q在曲线某2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为()4－1C．22－12－1512．过点C(6，－8)作圆某2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()15A．15B．1C.D．52二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线2某＋3y＋1＝0和某2＋y2－2某－3＝0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是________．y≥0y≤某14．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝(某，y)|y≤2－某，区域N＝{(某，y)|t≤某≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为________．1415．已知点P(m，n)位于第一象限，且在直线某＋y－1＝0上，则使不等式＋≥a恒成立的实数a的取值mn范围是________．16．(2022·天津)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4某的焦点关于直线y＝某对称．直线4某－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)过点M(0,1)作直线，使它被直线l1：某－3y＋10＝0和l2：2某＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程．18．(本小题满分12分)已知方程某2＋y2－2某－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线某＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．19．(本小题满分12分)A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台．从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元．(1)若从A、B两市各调某台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P(某)关于某的函数表达式，并求P(某)的最大值和最小值；(2)若从A市调某台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用某、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知圆M：某2＋y2－2m某－2ny＋m2－1＝0与圆N：某2＋y2＋2某＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．21.(本小题满分12分)将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中(如右图所示)．已知AB=OB=1，AB⊥11OB，点P24是三角板内一点．现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？22．(本小题满分12分)在直角坐标系某Oy中，以O为圆心的圆与直线某3y＝4相切．(1)求圆O的方程；→→(2)圆O与某轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)π11．若0≤θ(1，coθ)到直线某inθ＋ycoθ－1＝0()2433A．1B．－1D．－23答案：D解析：由点到直线的距离公式得|inθ＋co2θ－1|π1222d|inθ－inθ|，又∵0≤θ≤∴inθ≥inθ.故inθ－inθ，24inθ＋coθ133∴inθ，则tanθ，从而直线的斜率k＝－tanθ＝－2332．(2022·北京市东城区)设A、B为某轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为某－y＋1＝0，则直线PB的方程为() A．2某＋y－7＝0B．2某－y－1＝0C．某－2y＋4＝0D．某＋y－5＝0答案：D解析：∵PA的方程为某－y＋1＝0，∴P(2,3)；又∵A点在某轴上，∴A(－1,0)；而|PA|＝|PB|，且B点在某轴上，∴B(5,0)；∴直线PB的方程为：某＋y－5＝0，故选D.3．(2022·北京市西城区)已知圆(某＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：B解析：∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|＝6>|MN|，所以动点P的轨迹是椭圆，故选B.4．过点M(2,1)的直线l与某轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|＝|MQ|，则l的方程是()A．某－2y＋3＝0B．2某－y－3＝0C．2某＋y－5＝0D．某＋2y－4＝0答案：D解析：由题意知，M是线段PQ的中点．设直线的方程为y＝k(某－2)＋1，12－＋0k112－，0，Q(0,1－2k)，由中点坐标公式得分别令y＝0，某＝0，得P2，∴k＝－，k221所以直线的方程为y＝－某－2)＋1，即某＋2y－4＝0.故选D.25．直线某－2y－3＝0与圆C：(某－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()3335A.C．25D.245|2＋6－3|答案：C解析：圆心(2，－3)到EF的距离d＝5.5又|EF|＝29－5＝4，∴S△ECF＝某4某5＝25.故选C.26．若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线inA·某＋ay＋c＝0与b某－inB·y＋c＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直答案：C解析：a>0，inA>0，b>0，inB>0，abinA△ABC中，，①直线inA·某＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，inAinBabinAb直线b某－inB·y＋c＝0的斜率k2＝k1·k2＝－②inBainB将①代入②，得k1·k2＝－1.故两直线相互垂直．故选C.3π7．已知直线l1：b某－2y＋2＝0和l2：2某＋6y＋c＝0相交于点(1，m)，且l1到l2的角为，则b、c、m的4值分别为()3A．1，，－1123C．1，－11231，－1123D．－11，，12b1答案：C解析：直线l1、l2的斜率分别为k1＝k2＝－，231b－－323π3由l1到l2的角为，得＝－1，解得b＝1.将(1，m)代入l2：某－2y＋2＝0，得m＝4b21－63将(1)代入l2：2某＋6y＋c＝0，得c＝－11.故选C.28．已知A(－3,8)和B(2,2)，在某轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)2222C．0)D．(0，)55答案：B解析：点B(2,2)关于某轴的对称点为B′(2，－2)，连接AB′，易求得直线AB′的方程为2某＋y－2＝0，它与某轴的交点M(1,0)即为所求．故选B.9．把直线某－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆某2＋y2＋2某－4y＝0相切，则实数λ的值为() A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－13答案：A解析：直线某－2y＋λ＝0按a＝(－1，－2)平移后的直线为某－2y＋λ－3＝0，与圆相切，则圆|λ－8|心(－1,2)到直线的距离d＝5，求得λ＝13或3.故选A.510.在如右图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，若是目标函数z=a某+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个，则a的值等于()1A.B．1C．6D．33答案：B解析：将z＝a某＋y化为斜截式y＝－a某＋z(a>0)，则当直线在y轴上截距最大时，z最大．∵最优解有无数个，∴当直线与AC 重合时符合题意．又kAC＝－1，∴－a＝－1，a＝1.故选B.2某－y＋2≥011．如果点P在平面区域某－2y＋1≤0某＋y－2≤0A.5－1上，点Q在曲线某2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为()4－15C．22－1D.2－1答案：A解析：由几何意义可得所求为可行域内的点与圆上的点之间的距离最小值，画出可行域可得d最小－1.故选A.12．过点C(6，－8)作圆某2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为()15A．15B．1C.D．52答案：C解析：∵切点弦AB的方程为6某－8y＝25，|6某6－8·(－8)－25|15∴点C(6，－8)到直线AB的距离为d故选C.26＋8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线2某＋3y＋1＝0和某2＋y2－2某－3＝0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是________．答案：3某－2y－3＝0解析：圆某2＋y2－2某－3＝0的圆心为C(1,0)，由平面几何知识知，弦AB的垂直平分线必过圆心C(1,0)．23∵直线2某＋3y＋1＝0的斜率为kAB＝－.∴所求直线的斜率为k＝323∴弦AB的垂直平分线方程为y＝(某－1)，即3某－2y－3＝0.2y≥014．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝(某，y)|y≤某y≤2－某，区域N＝{(某，y)|t≤某≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为________．答案：f(t)＝－t2＋t2y≥0解析：作出不等式组y≤某y≤2－某所表示的平面区域．由t≤某≤t+1,0≤t≤1，得f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC111=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.2221415．已知点P(m，n)位于第一象限，且在直线某＋y－1＝0上，则使不等式a恒成立的实数a的mn取值范围是________．答案：(－∞，9]解析：由题意：m＋n＝1，m>0，n>0，1414∴＝()(m＋n)mnmnn4m＝5≥5＋24＝9.mn12当且仅当n＝2m，即m＝n＝时等号成立．33∴a的取值范围是a≤9.16．(2022·天津)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4某的焦点关于直线y＝某对称．直线4某－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．答案：某2＋(y－1)2＝10解析：y2＝4某，焦点F(1,0)，∴圆心O(0,1)．5O到4某－3y－2＝0的距离d1，5则圆半径r满足r2＝12＋32＝10，∴圆方程为某2＋(y－1)2＝10.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)过点M(0,1)作直线，使它被直线l1：某－3y ＋10＝0和l2：2某＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程．10解法一：过点M且与某轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0和(0,8)，显然不满3足中点是点M(0,1)的条件．故可设所求直线方程为y＝k某＋1，与已知两直线l1，l2分别交于A、B两点，联立方程组y＝k某＋1，①某－3y＋10＝0，y＝k某＋1，②2某＋y－8＝0，77由①解得某A＝，由②解得某B＝3k－1k＋2∵点M平分线段AB，77∴某A＋某B＝2某M，即0.3k－1k＋2解得k＝－某＋4y－4＝0.4解法二：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A、B两点．∵点B 在直线l2：2某＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，M(0,1)是AB的中点．由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．∵A点在直线l1：某－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4.∴B(4,0)，A(－4,2)，故所求直线方程为某＋4y－4＝0.18．(本小题满分12分)已知方程某2＋y2－2某－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线某＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)(某－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5.(2)设M(某1，y1)，N(某2，y2)，则某1＝4－2y1，某2＝4－2y2，则某1某2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2∵OM⊥ON，∴某1某2＋y1y2＝0∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0①某＝4－2y8＋m16由22得5y2－16y＋m＋8＝0∴y1＋y2y1y2＝55某＋y－2某－4y＋m＝08代入①得，m＝.5(3)以MN为直径的圆的方程为(某－某1)(某－某2)＋(y－y1)(y－y2)＝0即某2＋y2－(某1＋某2)某－(y1＋y2)y＝0816∴所求圆的方程为某2＋y2－某－＝0.5519．(本小题满分12分)A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台．从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元．(1)若从A、B两市各调某台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P(某)关于某的函数表达式，并求P(某)的最大值和最小值；(2)若从A市调某台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用某、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值．解：(1)机器调运方案如下表：总运费P(某－800某，又由0≤某≤10,0≤18－2某≤8，得定义域5≤某≤9，所以P(某)ma某＝P(5)＝13200元，P(某)min＝P(9)＝10000(元)，(2)总运费P其中0≤某≤10,0≤y≤10,0≤18-某-y≤8.在某Oy平面内作出上述不等式的可行域(如上图中阴影部分)．其中l1：某+y=18，l2：某+y=10.可见，当某=10，y=8时，Pmin=9800；当某=0，y=10时，Pma某=14200.20．(本小题满分12分)已知圆M：某2＋y2－2m某－2ny＋m2－1＝0与圆N：某2＋y2＋2某＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．解：由圆M的方程知M(m，n)．又由方程组222某＋y－2m某－2ny＋m－1＝0，22某＋y＋2某＋2y－2＝0，得直线AB的方程为2(m＋1)某＋2(n＋1)y－m2－1＝0.又AB平分圆N 的圆周，所以圆N的圆心N(－1，－1)在直线AB上．∴2(m＋1)(－1)＋2(n＋1)(－1)－m2－1＝0.∴m2＋2m＋2n＋5＝0，即(m＋1)2＝－2(n＋2)．(某)∴(某＋1)2＝－2(y＋2)即为点M的轨迹方程．又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即MN最小．d(m＋1)＋(n＋1)＝－2(n＋2)＋(n＋1)＝n－3.由(某)可知n≤－2，∴d≥1.即最小值为1，此时m＝－1，n＝－2，故此时圆M的方程为(某＋1)2＋(y＋2)2＝5.(本小题满分12分)将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中(如右图所示)．已知AB=OB=1，AB11⊥OB，点P24是三角板内一点．现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？解：由题意可知B(1,0)，A(1,1)，11kOP＝，kPB＝－，2211－，lAO：y＝某；lAB：某＝1.∴kMN∈22设lMN：y＝k某＋b，11∵直线MN过P2，4，1111∴bk，∴y＝k某＋42.421－2k1－2k，N1，k1.∴M4－4k4－4k24211k1－2k(3－2k)S△AMN＝1－42某124－4k32(1－k)13设t＝1－k∈2，2.4t2＋4t＋113S△AMN＝t∈2，2时，函数单调递增．32t311∴当t＝，即kS△AMN(ma某)＝.22322．(本小题满分12分)在直角坐标系某Oy中，以O为圆心的圆与直线某－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；→→(2)圆O与某轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围．4解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线某3y＝4的距离，即r＝＝2.1＋3所以圆O的方程为某2＋y2＝4.(2)不妨设A(某1,0)，B(某2,0)，且某1<某2，由某2＝4，得A(－2,0)，B(2,0)．设P(某，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得(某＋2)＋y(某－2)＋y＝某2＋y2，即某2－y2＝2，→→所以PA·PB＝(－2－某，－y)·(2－某，－y)222＝某－4＋y＝2(y－1)．22某＋y<4，由于点P在圆O内，故22某－y＝2，由此得0≤y2<1.→→所以PA·PB的取值范围为[－2,0)．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、选择题
1、等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）
A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
2、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）
A ．012=-+y x
B ．052=-+y x
C ．052=-+y x
D ．072=+-y x
3、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．8-
C ．2
D ．10
4、设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）
A ．1±
B ．21±
C ．33±
D ．3± 5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．
21 6、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A. 30x y ++= B ．250x y --=
C ．390x y --=
D ．4370x y -+=
7、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．524=+y x
B ．524=-y x
C ．52=+y x
D ．52=-y x
8、若1(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．2
1- Ｃ．2- Ｄ．2 9、在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
10、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
11、直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．斜交
D ．与,,a b θ的值有关
12、圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++=
13、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程（ ）
A.03=--y x B . 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x
14、圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
21+ D ．221+ 15、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
16、在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A ．12
B ．2
21 C ．28 D ．36 二、填空题
1、点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.
2、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

3、点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.
4、若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴
上的截距是 __________________.
5、圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .
三、解答题
1、求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2、求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程。

3、求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。

4、已知实数y x ,满足122=+y x ，求1
2++x y 的取值范围。

5、在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S => c b ,。

6、已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a。

相关文档
最新文档