高考新坐标高考数学总复习 第二章 第14节 定积分与微积分基本定理课后作业
【优化方案】高考数学 第二章 第14课时 定积分与微积分基本定理复习课件 新人教A版
a
1. dx＝( D ) 2 x A．－ 2ln 2 C．－ ln 2 B．2 ln 2 D． ln 2
41
2．下列值等于 1 的积分是( C ) A. 1xdx
0 1 0
B. 1 (x＋ 1)dx
0
C. 1dx
D. dx 2
0
11
3． (2014· 山东泰安调研 )由曲线 f(x)＝ x与 y 轴及直线 y＝ 8 m(m＞ 0)围成的图形的面积为 ，则 m 的值为 ( A ) 3 A． 2 C． 1 B．3 D． 8
2
(3) e dx＝ 2e |0＝ 2e－ 2.
0
x 2 2
x 22
定积分的几何意义
若定积分 A．－ 1 C． 1
－ 2
m
π －x －2xdx＝ ，则 m 等于( A ) 4
2
B．0 D． 2
[课堂笔记]
【解析】 根据定积分的几何意义知， 定积分
－ 2
m
－ x2－2xdx
的值， 就是函数 y＝ － x2－2x的图象与 x 轴及直线 x＝－ 2， x＝m 所围成图形的面积， y＝ － x2－2x是一个半径为 1 的 π m 半圆， 其面积等于 ， 而 2 － π － x －2xdx＝ ， 即在区间[－2， 4
2 ． (2014· 东北三校联合模拟考试 )已知 Ω＝ {(x， y)||x|≤1 ， |y|≤1}，A 是曲线 y＝ x2 与 y＝x 围成的区域，若向区域 Ω 上
1 随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为________ ． 12
1 2
【解析】曲线 y＝ x2 与 y＝ x 围成的区域面积为 2 2 1 3 1 1 1 2 (x － x )dx＝ ( x － x )|0＝ . 3 3 3
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()汇编
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169 B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，137[答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛0t(tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1[答案] B[解析] ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A[解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4，∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F (x )＝⎠⎛0x φ(t )d t 的导数F ′(x )＝φ(x )．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)[答案] D[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC＝22π＝1π. 9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.12[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52. 11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13. 二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|－42＝18.16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。
2022高考数学 课后作业 3-4 定积分与微积分基本定理（理）
3-4 定积分与微积分基本定理理12022·宁夏银川一中月考求曲线＝2与＝所围成图形的面积，其中正确的是A．S＝错误!2－d B．S＝错误!－2dC．S＝错误!2－d D．S＝错误!－错误!d[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是0,0，1,1，故积分上限是1，下限是0，由于在 [0,1]上，≥2，故函数＝2与＝所围成图形的面积S＝错误!－2d2．2022·辽宁锦州模拟如图，阴影部分面积等于A．2错误! B．2－错误![答案] C[解析]图中阴影部分面积为3．2022·山东烟台模拟错误!错误!d＝A．4π B．2πC．π[答案] C[解析]令＝错误!，则2＋2＝4≥0，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝错误!×π×22＝π4．已知函数＝2与＝>0的图象所围成的封闭区域的面积为错误!，则等于A．2 B．1 C．3 D．4[答案] C[解析]由错误!消去得2－＝0，所以＝0或＝，则所求区域的面积为错误!－2d＝错误!2－错误!3|错误!＝错误!即错误!3－错误!3＝错误!，解得＝5．2022·汕头模拟设f＝错误!，则错误!f d等于D．不存在[答案] C[解析]错误!f d＝错误!2d＋错误!2－d6．A．0 C．2 D．－2[答案] D[解析]7．2022·惠州模拟错误!2－|1－|d＝________[答案] 3[解析]∵＝错误!2f6a4a 4c错误!，∴错误!⊗错误!ind＝错误!⊗2＝错误!＝错误!。
高考定积分分类汇总及答案汇编
第十四节 定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)． 令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。
2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(年高考总复习)(最新整理)
5 答案
4
三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)
1
1
2
17
fx
∫ ∫ ∫ 10．若 f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝ ，求
6
x
0
0
1
dx 的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．
1
1
1
∫ ( ) 由 (ax＋b)dx＝5，得 ax2＋bx |10＝ a＋b＝5.①
0
0
1
2
∫ ∫ 解析 面积 S＝ (1－x2)dx＋ (x2－1)dx
0
1
2
2
∫ ＝ |x2－1|dx，故选 C. 0
答案 C 4．(2012·湖北卷)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为( )
2π
4
A.
B.
5
3
3
π
C.
D.
2
2
解析
答案 B
5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情
1
x2 x3 1 1 1
∫ ( ) S＝ (x－x2)dx＝ － |10＝ － ＝ . 2 3 236 0
又可得抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横坐标为 x′1＝0，x′2
＝1－k，
所以S＝∫1－0 k(x－x2－kx)dx 2
1－k x3
( ) ＝
x2－ |1－0 k
2
3
＝1(1－k)3. 6
B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1
解析 本题考查微积分基本定理．
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课后作业理(2021年整
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2．12 定积分与微积分基本定理［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·凉山州模拟)错误!错误!d x＝( )A．e2 B.错误! C.错误! D.错误!答案B解析错误!错误!d x＝错误!｜错误!＝错误!－错误!＝错误!,故选B.答案C3．(2017·抚州期中)曲线y＝2x与直线y＝x－1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为（）A。
错误! B。
错误! C．4－2ln 2 D．2ln 2－错误!答案D解析画图得三个交点分别为（1，0),（1,2），（2,1），故曲线y＝错误!与直线y＝x－1及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为S＝错误!错误!＝错误!|错误!＝2ln 2－2＋2＋错误!－1＝2ln 2－错误!，故选D。
4．（2018·南昌一模)若错误!错误!d x＝3＋ln 2(a〉1)，则a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6答案A解析由题意可知错误!错误!d x＝（x2＋ln x）|错误!＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.故选A.5．（2017·郑州质检)已知等比数列{a n｝，且a6＋a8＝错误!错误!d x，则a8(a4＋2a6＋a8）的值为( )A．π2 B．4π2 C．8π2 D．16π2答案D解析因为a6＋a8＝错误!错误!d x＝错误!×π×42＝4π，所以a8(a4＋2a6＋a8）＝a8a4＋2a6a8＋a错误!＝a错误!＋2a6a8＋a错误!＝(a6＋a8）2＝16π2，故选D.6．（2017·河南模拟）已知错误!＋错误!＝2错误!,若φ∈错误!,则错误!（x2－2x）d x＝（)A.13B．－错误! C。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。
定积分及微积分基本定理练习试题包括答案.docx
1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2与y＝ x所围成图形的面积，其中正确的是()A． S＝1(x2 － x)dx0B． S＝1(x －x2)dxC． S＝1(y2 － y)dy D0． S＝1(y －y)dy[0,1][ 答案 ]B[ 分析 ]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x1，下限是－x2)dx.0，由于在2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝2exdx ，c＝2sinxdx，则a、 b、c的大小关系是 ()A． a<c<bB． a<b<cC． c<b<aD． c<a<b[ 答案 ]D1[ 解读] a ＝2xdx ＝2x2|02 0＝ 2 ， b ＝2exdx ＝ex|02 0＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx＝－cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的封闭图形面积为() 1117A. 12B. 4C. 3D. 12[ 答案 ]Ay＝ x2[ 解读 ]由得交点为 (0,0)， (1,1) ．y＝ x3111∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x401＝12.[ 点评 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 移动，如果把由直线OP，直线 y＝ x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 如图所示，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ()A.416B.416 3，95，9C.415D.413 3，75，7[ 答案 ]At3 [ 解读 ]设 P(t ， t2)(0≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx－ x2)dx ＝6；S2＝8t344162(x2 － tx)dx＝3－ 2t ＋6，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .t4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为 () 418A． 4 B.3C. 5 D．6[ 答案 ]Ax4[ 解读 ]S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.5．(2010 ·湖南省考试院调研)1－1(sinx＋1)dx的值为()A． 0 B ． 2C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1[ 答案 ]B[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()A．2π B ．3π3πC. 2 D．π[ 答案 ]A[ 解读 ]如右图，S＝∫ 02π(1 － cosx)dx＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.[ 点评 ]此题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为π6 ，π ，则对称性就无能为力了．7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0 和最小值－332C．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值[ 答案 ]B[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，73225∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .32∴最大值为 0，最小值为－3 .[ 点评 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt的导数 F′(x) ＝φ (x) ．18．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)<a3，则 x1的取值范围是 ()3A.6，＋∞ B． (0 ， e21)C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)[ 答案 ] D1[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，t10<x<e11.9．(2010 ·福建厦门一中 ) 如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是()123πA. πB. πC. πD. 4[ 答案 ]A—[ 解读 ]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝ πsinxdx ＝－ cosx|0 π＝－ (cos π－ cos0) ＝ 2 ，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S 2＝1 .＝πS 矩形 OABC 2πx ＋ 2 －2≤ x<010．(2010 ·吉林质检 ) 函数 f(x) ＝ π的图象与 x 轴所围成的图形2cosx 0≤ x ≤ 2面积 S 为 ()31A. 2B ． 1 C ． 4 D. 2 [ 答案 ] C[ 解读 ]面积 S ＝∫ π－ 2f(x)dx ＝－2(x ＋ 2)dx ＋∫π02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2 211．(2010 ·沈阳二十中 ) 设函数 f(x) ＝ x －[x] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数， 如 [ －x1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1， [1]＝1. 又函数 g(x) ＝－ 3， f(x) 在区间 (0,2) 上零点的个数记为 m ，f(x) 与 g(x) 的图象交点的个数记为n ，则 ng(x)dx 的值是 ()m54A ．－ 2B ．－ 357C ．－ 4D ．－ 6[ 答案 ]A[ 解读 ]由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0， f(x) ＝ x ，当 1≤ x<2 时， [x] ＝ 1，f(x)＝x － 1，所以当 x ∈ (0,2) 时，函数 f(x) 有一个零点， 由函数 f(x)与 g(x) 的图象可知两个函xx25数有 4 个交点，所以 m ＝ 1， n ＝ 4，则 ng(x)dx ＝4 － 3 dx ＝ － 614＝－ 2.m111．(2010 ·江苏盐城调研 ) 甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下： 甲从区间 [0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等 ) ，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )1 2 13A. 3B. 3C. 2D. 4[ 答案 ]A[ 解读 ] 方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根的充要条件为＝ 4b2－ 4c ≥ 0，即 b2≥ c ，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12．(2010 ·吉林省调研 ) 已知正方形四个顶点分别为O(0,0) ，A(1,0) ，B(1,1) ，C(0,1) ，曲线 y＝ x2(x ≥ 0) 与 x 轴，直线 x＝1 构成区域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M内的概率是 ()11A. 2B. 412C. 3D.5[ 答案 ]C[ 解读 ]如图，正方形面积1，区域 M的面积为 S＝ 1x2dx111＝3x3|01 ＝3，故所求概率 p＝3.2．如图，阴影部分面积等于()A． 2 3B． 2－33235C. 3D. 3[ 答案 ]C[ 解读 ]图中阴影部分面积为132.S＝ 1(3 － x2－ 2x)dx ＝ (3x －3x3－ x2)|1－ 3＝ 3-33. 24－ x2dx ＝ ()A．4π B ．2ππC．π D.2[ 答案 ]C[ 解读 ]令 y＝4－ x2，则 x2＋y2＝ 4(y ≥0) ，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1∴ S＝4×π× 22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线( 假定为直线 ) 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙 ( 如图所示 ) ．那么对于图中给定的t0 和 t1 ，下列判断中一定正确的是 ()A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面B．在 t1 时刻，甲车在乙车后面C．在 t0 时刻，两车的位置相同D． t0 时刻后，乙车在甲车前面[ 答案 ]A[ 解读 ]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0 ， t1 时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数 v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在 t0时刻， v 甲的图象与 t轴和 t ＝ 0，t ＝ t0围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t ＝ 0， t ＝ t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D 错误；同样，在t1 时刻， v 甲的图象与 t 轴和t ＝ t1 围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与 t 轴和 t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在 t1 时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选 A.ππ5．(2012 ·山东日照模拟 ) 向平面区域Ω＝ {(x ，y)| －4≤ x≤4，0≤ y≤1} 内随机投掷一点，该点落在曲线y＝ cos2x 下方的概率是 ()π 1A. 4B. 2π2C. 2－ 1D. π[ 答案 ]D[ 解读 ]π平面区域Ω 是矩形区域，其面积是2，在这个区6．(sinx－ cosx)dx的值是 ()πA． 0 B. 4C． 2D．－ 2[ 答案 ]D[ 解读 ](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010 ·惠州模拟 )2(2 － |1 － x|)dx ＝ ________.[ 答案 ]3[ 解读 ]1＋ x 0≤ x≤ 1∵ y＝，3－ x 1<x ≤ 2∴ 2(2 － |1 － x|)dx ＝1(1 ＋ x)dx ＋ 2(3 － x)dx0011133＝(x ＋2x2)|10＋ (3x －2x2)|21＝2＋2＝ 3.8．(2010·芜湖十二中 ) 已知函数 f(x) ＝3x2 ＋ 2x＋ 1，若1－1f(x)dx ＝2f(a) 成立，则a＝ ________.1[ 答案 ]－ 1 或3[ 解读 ]∵1－ 1f(x)dx ＝1－ 1(3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)|1 － 1 ＝ 4 ，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴ 6a2＋4a＋2＝4，1∴ a＝－ 1 或3.π19．已知a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－x)6 的展开式中含x2项的系数是________．[ 答案 ]－192ππππ[ 解读 ]由已知得a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 2 0＝(sin2－cos2)－(sin0 － cos0) ＝ 2，1(2 x－ )6 的展开式中第 r ＋ 1 项是 Tr ＋ 1＝ ( －1)r ×C6r×26－r ×x3－r，令 3－ r ＝ 2 得，xr ＝ 1，故其系数为( －1)1 ×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝ x2 相交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积4恒等于3，求线段AB的中点 P 的轨迹方程．[ 解读 ]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a， a2) ， B(b ， b2) ，不妨设a<b，b2－ a2则直线 AB 的方程为y－ a2＝b－a (x － a) ，即y＝(a ＋ b)x － ab.a＋ b 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S＝b[(a ＋b)x － ab－x2]dx ＝(2x2－abx －ax313 )|ba＝6(b －a)3 ，14∴6(b － a)3 ＝3，解得 b－ a＝ 2. 设线段 AB的中点坐标为 P(x ，y) ，a＋ b其中x＝2，将 b－a＝ 2 代入得x＝a＋ 1，y＝ a2＋ b2.y＝ a2＋ 2a＋ 2.2消去 a 得 y＝ x2＋ 1.∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y＝ x2＋ 1.能力拓展提升11.(2012 ·郑州二测 ) 等比数列 {an} 中，a3＝ 6，前三项和 S3＝34xdx ，则公比 q 的值为()1A． 1 B ．－211C． 1 或－2D．－ 1 或－2[ 答案 ]C66[ 解读 ]因为 S3＝34xdx ＝ 2x2|30＝ 18，所以q＋q2＋ 6＝ 18，化简得 2q2－ q－1＝ 0，1解得 q＝ 1 或 q＝－2，故选 C.12． (20 12·太原模拟 ) 已知 (xlnx) ′＝ lnx ＋1，则elnxdx＝ ()1A． 1 B ． e C ． e－ 1 D ． e＋ 1[ 答案 ]A[ 解读 ]由(xlnx)′＝ lnx ＋ 1，联想到 (xlnx－x) ′＝ (lnx＋ 1) －1＝ lnx ，于是 elnxdx1＝(xlnx － x)|e1＝ (elne－ e) －(1 ×ln1 －1) ＝ 1.13．抛物线 y2＝ 2x与直线 y＝ 4－ x 围成的平面图形的面积为 ________．[ 答案 ]18[ 解读 ]y2＝ 2x，A(2,2) 、B(8 ，－4) ，选 y 作为积分变量 x 由方程组解得两交点y＝ 4－ x，y2＝2、 x＝ 4－y，2 [(4 － y) －y2y2y3∴ S＝2 ]dy ＝ (4y －2－6 )|2－ 4＝ 18.-414.已知函数 f(x)＝ ex－ 1，直线 l1 ： x＝ 1， l2 ： y＝et － 1(t 为常数，且 0≤ t ≤ 1) ．直线l1 ， l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2 表示．直线 l2 ，y 轴与函数 f(x) 的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1 表示．当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[ 答案 ]( e－ 1)2[ 解读 ]由题意得S1＋ S2＝ t(et － 1－ ex ＋ 1)dx ＋1(ex － 1－ et ＋ 1)dx ＝ t(et－0t0ex)dx ＋ 1(ex － et)dx ＝ (xet － ex)|t 0 ＋ (ex － xet)|1 t ＝ (2t－ 3)et＋ e＋ 1，令 g(t) ＝ (2t－t3)et ＋ e＋ 1(0 ≤ t ≤ 1) ，则 g′(t) ＝ 2et ＋ (2t －3)et ＝ (2t－ 1)et，令 g′(t) ＝ 0，得 t ＝1 2，11∴当 t ∈ [0 ，2) 时， g ′(t)<0 ， g(t) 是减函数，当 t ∈ ( 2，1] 时， g ′(t)>0 ， g(t)是增函数，1 1因此 g(t) 的最小值为g( 2) ＝ e ＋ 1－ 2e 2＝ ( e － 1)2. 故阴影部分的面积的最小值为( e －1)2.15．求下列定积分．(1)－ 1|x|dx 。
高中数学高考总复习计划定积分及微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分根本定理习题一、选择题1．a＝2xdx，b＝2e x dx，c＝2sinxdx，那么a、b、c的大小关系是()000 A．<<B．<<C．<<a D．<<acb abc cb cab2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()练习、设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作1，2.如下列图，当1＝2时，点P的坐标是()S S S S3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为() A．4D．64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A．0B．2C ．2＋2cos1D．2－2cos15．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πD．π6．函数F(x)＝x t(t－4)dt在[－1,5]上()32A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－332C．有最小值－3，无最大值D．既无最大值也无最小值7．等差数列2＋n，函数f(x)＝x1{a}的前n项和S＝2nt dt，假设f(x)<a，那么x的取值范围是()n n31B．(0，21)C．(－11，)D．(0，11)e e e e8．如下列图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下列图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是()x＋2－2≤x<09．函数f(x)＝π的图象与x轴所围成的图形面积S为()2cosx0≤x≤2B．1 C．410．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数x ng(x)＝－3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，那么g(x)dx的m值是()54C．－57A．－B．－D．－234611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规那么如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，假设关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，那么甲获胜，否那么乙获胜，那么在一场比赛中甲获胜的概率为()12．正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1) ，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域 M内的概率是( )二、填空题13．函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设1－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．＝∫π0(sinx＋cos)dx，那么二项式(a x－1)6的展开式中含x2项的系数是________．a2xx15．抛物线y 2＝2与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．x16．抛物线y 2＝(>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为4，假设直线l与抛物线相切且平行于直线axa32x－y＋6＝0，那么l 的方程为______．17．函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如下列图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数1图象所围成区域(图中阴影局部)的面积为12，那么a的值为________．三、解答题18．如下列图，在区间[0,1]上给定曲线2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影局部的面积1 y＝x S＋S2最小．122xx2221、[答案]D[解析]a＝2xdx＝2x|0＝2，b＝2edx＝e|0＝e－1>2，c＝2sinxdx＝－cosx|0＝1000－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.y＝x22、[答案]A[解析]由y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴＝1(23＝131411 x－x)dxx－x0＝.S3412 0练习；[答案]A[解析]设P(t，t2≤t≤2)，那么直线OP：y＝tx，∴S＝t2t32 )(0(tx－x)dx＝6；S＝120t8t 34416212，(x －tx)dx＝3－2t＋6，假设S＝S，那么t＝3，∴P39.3x423、[答案]A[解析]S＝2xdx＝40＝4.4、[答案]B[解析]1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案]A[解析]2π2π＝2π.如右图，S＝∫0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|06、[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，7322532∵F(－1)＝－3，F(0)＝0，F(4)＝－3，F(5)＝－3.∴最大值为0，最小值为－3.7、[答案]D；[解析]f(x)＝x1|x＝lnx，a＝S－S＝2111t dt＝lnt1－10＝11，由lnx<11得，0<x<e.33218、[答案]A[解析]由图可知阴影局部是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得＝πSsinxdx＝－cosx|πP＝S2＝1.0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率＝πS矩形OABC2π9、[答案]C[解析]面积＝∫πf()dx＝0－2(x＋2)dxπ02cosxd＝2＋2＝4.－2＋∫S2x2x10、[答案]A[解析]由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，n4x x245所以m＝1，n＝4，那么g(x)dx＝－3dx＝－61＝－2.m111、[答案]A；[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为＝4b2－4c≥0，即b2≥c，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12、[答案]C ；[解析]如图，正方形面积213|111 1，区域M的面积为S＝1x dx＝x＝，故所求概率p＝.3331232113、[答案]－1或3；[解析]∵1－1f(x)dx＝1－1(3x ＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，1－211f(x)dx＝2f(a)，∴6a＋4a＋2＝4，∴a＝－1或.14、[答案]－192；[解析]由得aπ0(sinx＋cos)dx＝(－cosxπ0＝(sinπ＝∫＋sin)|－2x x22π16的展开式中第r＋1项是T ＝(－1)r r6－r×x3－r，令3－r＝cos2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－x)×C×2r＋162得，r＝1，故其系数为115(－1)×C6×2＝－192.15、[答案]18[解析]由方程组y2＝2x 解得两交点(2,2)、(8，－4)，选y作为积分变量x＝y2、y＝4－x A B2x＝4－y∴S＝y2y2y322－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－4＝18.22616、[答案]16－8y ＋1＝0[解析]由题意知1x2axdx＝3，∴a＝1，2221设l：y＝2x＋b代入y ＝x中，消去y得，4x＋(4b－1)x＋b＝0，由＝0得，b＝8，∴l方程为16x－8y＋1＝0.17、[答案]－1[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S＝－0(32141阴影－x＋ax)dx＝12a＝12，∴a＝－1.a2t22318、[解析]由题意得S1＝t·t－xdx＝3t，2＝12d－t 2(1－)＝23－t2＋1，所以S x x t3t3t＝1＋2＝43－21≤≤1)．3t t＋(0SSS3t又′(＝4t 2－2t＝4tt－1，令′(＝，得t＝1或t＝.St)2St)021 1因为当0<t<2时，S′(t)<0；当2<t≤1时，S′(t)>0.所以()在区间，1上单调递减，在区间1t11，1上单调递增．所以，当＝时，min＝.St222S4。
3.3定积分与微积分基本定理 高三数学总复习讲义Word版含答案
§3.3 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1] ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 题组三 易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.6．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.题型一 定积分的计算1．(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23. 2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.3．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积典例 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6. 两切线交于点M ⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是 S ＝33222302[(43)(43)]d [(26)(43)]d x x x x x x x x ---+-+-+--+-⎰⎰33222302d (69)d x x x x x =+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94.题型三 定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.2．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( ) A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B.3.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.4．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 6．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 7．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝221201()|()|22x x x x -+-＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝243[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.9．π)d 4x x += ________.答案 2解析 由题意得π)d 4x x +＝ππ220(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33a x x a a ==-=⎰解得a ＝49.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积 31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A.14．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.15．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 答案 π2＋e －1e－2 解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2. 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝4320()|4x x ＝－4.。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(1)-推荐下载
D．既无最大值也无最小值 [答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令 F′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4，
7
∵F(－1)＝－3，F(0)＝0，F(4)＝－ 3 ，F(5)＝－ 3 .
32 ∴最大值为 0，最小值为－ 3 .
x
∫
[点评] 一般地，F(x)＝0φ(t)dt 的导数 F′(x)＝φ(x)．
∴c<a<b.
2．(2010·山东理，7)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面积为( )
A.12
1
[答案] A
B.4
1
[解析] 由Error!得交点为(0,0)，(1,1)．
1
∫
∴S＝ 0 (x2－x3)dx＝Error!01＝12.
C. 3
1
1
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函
7
2
∫
2
t
∫
t3 ∫
2
8
t3
dx＝3－2t＋ 6 ，若 S1＝S2，则 t＝3，∴P(3 9 ).
4 4 16
，
3．由三条直线 x＝0、x＝2、y＝0 和曲线 y＝x3 所围成的图形的面积为( )
A．4
B.3
4
C. 5
[答案] A
2
∫
[解析] S＝ 0 x3dx＝Error!02＝4.
1
∫ 4．(2010·湖南省考试院调研) －1(sinx＋1)dx 的值为( )
A．0
C．2＋2cos1
18
B．2
D．2－2cos1
[答案] B
1
∫ [解析] －1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
高考新坐标高考数学总复习 第二章 第14节 定积分与微积分基本定理课件
D.53t20
[解析] S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t2t00＝5t20. [答案] B
3．(2014·陕西高考)定积分∫10(2x＋ex)dx 的值为( ) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
[解析]
1
01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)0＝e.
a
在bf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
(2)定积分的几何意义.
f(x)
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线 x＝a ，x＝b ，y
f(x)≥0 ＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲
[答案] D
5．由直线 x＝－π3 ，x＝π3 ，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图 形的面积为________．
ππ [解析] 封闭图形的面积为 S＝∫3－3cos xdx＝
π
sin
3 x
＝sin π
π3 －sin－π3 ＝
3.
－
3
[答案] 3
考向 1 定积分的计算
1－x2＋12xdx＝14π＋14.
[答案]
π ＋1 (1)B (2) 4
【规律方法】 1．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数， 因为积分与求导互为逆运算，所以可运用导数的运算法则及导数公 式从反方向求原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函 数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解， 代入相应的解析式，分别求出积分值相加．aLeabharlann 形一定在 x 轴下方．( )
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高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．（2010·山东日照模考）a＝错误!x d x，b＝错误!e x d x，c＝错误!sin x d x，则a、b、c的大小关系是( )A．a〈c<b B．a<b〈cC．c<b〈a D．c<a〈b[答案］D［解析] a＝错误!x d x＝错误!x2|02＝2，b＝错误!e x d x＝e x｜02＝e2－1>2，c＝错误!sin x d x＝－cos x｜02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a〈b.2．(2010·山东理，7）由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为（）A。
112B.错误!C。
错误! D.错误![答案] A［解析］由错误!得交点为(0，0），（1,1）．∴S＝错误!(x2－x3)d x＝错误!01＝错误!.［点评］图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：（2010·湖南师大附中）设点P在曲线y＝x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2。
如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误
2021年高考数学 第二章 第14课时 定积分与微积分基本定理知能演练轻松闯关 新人教A 版1．设f (x )是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的定积分为⎠⎛－a a f (x )dx ，由定积分的几何意义和性质，得⎠⎛－aa f (x )dx 可表示为( )A ．－⎠⎛－a a f (x )dxB ．2⎠⎛－a0f (x )dxC ．12⎠⎛0a f (x )dxD ．⎠⎛－a0f (x )dx解析：选B ．偶函数的图象关于y 轴对称，故⎠⎛－aa f (x )dx 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2⎠⎛－a0f (x )dx .2．∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3D ． 3解析：选A ．∫π20(sin x －a cos x )dx ＝(－cos x －a sin x )|π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3．(xx·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A ．43B ．2C ．83D ．1623解析：选C ．∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24dx ＝4－2·x 312⎪⎪⎪2＝4－43＝83.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]1＋x 2，x ∈[2，4]，若⎠⎛k3f (x )dx ＝403，则k 的值为( ) A ．0 B ．0或－1 C ．0或1D ．－1解析：选B ．∵⎠⎛23f (x )dx ＝⎠⎛23(1＋x 2)dx ＝223＜403，∴当k ≥2时，⎠⎛k3f (x )dx ＜403，∴k＜2，∴⎠⎛k3f (x )dx ＝⎠⎛k2(2x ＋1)dx ＋⎠⎛23(x 2＋1)dx ＝403，化简得k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1.5．(xx·河北唐山模拟)已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )dx 等于( )A ．3B ．4C ．72D ．92解析：选C ．f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x （x ≥0），2＋x （x ＜0），∴⎠⎛－12f (x )dx ＝⎠⎛－10(2＋x )dx ＋⎠⎛02(2－x )dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22|0－1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22|20＝32＋2＝72. 6．(xx·湖南十校联合检测)⎠⎛01(e x＋x )dx ＝________．解析：⎠⎛01(e x ＋x )dx ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.答案：e －127．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________．解析：S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a ，解得a ＝94.答案：948．(xx·吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.答案：339．求下列定积分．(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x)dx ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x)dx .解：(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x)dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛121xdx＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx ＋⎠⎛－πe x dx＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10. 由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)，求其面积的最小值．解：S 1＝t 3－∫t 0x 2dx ＝t 3－13t 3＝23t 3，S 2＝∫1t x 2dx －(1－t )t 2＝13－13t 3－(1－t )t 2＝23t 3－t 2＋13， S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0，1)．可由导数求得当t ＝12时，S 1＋S 2取到最小值，其面积最小值为14.[能力提升]1．已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|dx ，则A 等于( )A ．0B ．6C ．8D ．223解析：选D ．A ＝⎠⎛03|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx ＝(x －13x 3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋（13x 3－x ）31＝(1－13)＋(6＋23)＝223.2．设a ＝⎠⎛121x dx , b ＝⎠⎛131x dx ，c ＝⎠⎛151xdx ，则下列关系式成立的是( )A ．a 2＜b 3＜c 5B ．b 3＜a 2＜c 5C ．c 5＜a 2＜b3D ．a 2＜c 5＜b3解析：选C ．因为a ＝⎠⎛12 1x dx ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛13 1x dx ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛15 1xdx＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.又(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.因为(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜ 2.综上，55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b 3.3．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则函数f (a )的最大值为________．解析：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－（23）24×（－12）＝29.答案：294．(xx·高考上海卷)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0，0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．解析：根据题意作出y ＝f (x )的图象，如图(1)所示，由图(1)可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ＜12，2－2x ，12≤x ≤1，∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ＜12，－2x 2＋2x ，12≤x ≤1，作出函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象如图(2)所示．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形如图(2)阴影部分，∴S 阴影＝∫1202x 2dx ＋∫112(－2x 2＋2x )dx＝23x 3|120－23x 3|112＋x 2|112＝14. 答案：145．(xx·广东广州质检)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋B ．由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝ax 2＋2－A ． 又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )dx＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋（2－a ）x |10＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6. (选做题)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)．若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如图阴影所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0，0)，(8，0)， 并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0. (2)由(1)得f (x )＝－x 2＋8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ， 得x 2－8x －t (t －8)＝0， ∴x 1＝t ，x 2＝8－t . ∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )． 由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]dx ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]dx＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－t 2＋8t ）x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2t⎪⎪⎪＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－（－t 2＋8t ）x 2t ＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.∴S (t )＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403(0≤t ≤2)．238502 9666 陦31443 7AD3 竓040735 9F1F 鼟 P % 34484 86B4 蚴'€26000 6590 斐|。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用212定积分与微积分基本定理课后作业理.doc
2. 12定积分与微积分基本定理E 课后作业夯关［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. (2017 •凉山州模拟)「(/+*=()答案2. （2017 •鄱阳县校级期中）设/（工）= cos2/cl/,则 J —X右㈢卜（＞A. 1B sinl C. sin2 D. 2sin4答案c•r 1 cos2/d/ = —sin2/ | [—X匕sin （ — 2.r ）] = sin2.r •A. e 2 3e 2+1e 2—1e?+3氏屮C.TD.中 解析》二伊+i)—£+0=宁故选B. 广扣岛―解析心)== sin2,故选 C.2故曲线与直线y=X -\及直线/=1所围成的封闭图形的面积为X4. （2018 •南吕一模）若「（2卄如=3 + ln 2Q>1）,则白的值是（1 2 2 —C — f) —— 3 3 3 答案CA .A. 2答案B. 3C. 4D. 6解析(x +ln x) \ i = a+ln 臼一1 = 3十In 2, 解得a=2.故选JI6-（2017 •河南模拟）已知侖+侖勺谑，若兀（0, yl,贝9(/—2%) d%=S=21n x —^x +^J|f=21 n 2 — 2 + 241 . 1 厂l=21n 2-?故选D.1A -3 B. 卄1解析由丄+丄= 2Qnsi 呼+ cos(p = 2 /2 • sin 伞•=>^/2sin^ 伞+ f ) =y/2sin2(p.因为 cpW ( 0 •守)「所 I ：A. -160B. 160C. -20D. 20 答案A解析 依题意得，臼=—cosx/； = —(cos n —cosO) =2,7=G • 26~z • (―1)r • x~r .令 3—z —0,得 z —3.因此'的展开式中的常数项为G ；・2'・ （—I ） —160,故选A.8. 如图，设抛物线y=-#+1的顶点为儿与％轴正半轴的交点为〃，设抛物线与两坐 标轴正半轴围成的区域为必sin 爭 cos 年TT（p= 丁亨所以tan^c= 1 °"lane(X 2— 2 才)dr =■ri9才2工）山=（斗故选C.7.设 a=随机往必内投一点化则点戶落在△血矽内的概率是（）开式的通项・（2草）…"sinxd 川of 的展开式屮常数项是（）5 A- 6答案43 2 B-5 C -4 D -3C 解析(-#+l)dx=(-討 + Io丄2 1 1 2 3=§, 'AOB 的面积为5=-XlXl=-,所以"点落在必内的概率为亍.故选C.39. （2018 •枣庄模拟）一辆汽车做变速直线运动，在时刻£的速度为 欠Z ）=2 + sinZ （Z 的单位：h,卩的单位：km/h ）,那么它在0WEW1这段时间内行驶的路程s （单位：畑）是（ ）A. 3 —coslB. 3 + coslC. 1 + cosl答案A解析 由r(6 =2 + si nr>0,故这辆车行驶的路程s=『u ⑺d F=『(2 + si iU )df=(2F 丿0 丿0— cosZ )o= (2 —cosl) — ( —cosO) =3 —cosl, 故选 A.y=cosx 与直线x=0, x=—f^Js 围成的平面图形（如图中的阴影部分所示）的面积是（A. 1JIB-C皿3D. 2y[2-2答案D根据图象的对称性•可知所求阴影部分的面积(cos.r — siikr ) cLr = 2( sin.r + cos.r)^ + cosf-sin0-cos0)=2#-2.故选 D.D ・ 1—cosl10.由曲线 y=sinx,解析由SULT —COS.T（疋（0冷）），得工=于・=2 sin二、填空题11. (2017 •安徽三模) (simr —GCOSH)ckr=—华9 则实J o /数a等于 ________ .答案^24 匹解析(siirr —acosj：) cLr = ( —COSJ— asiiLi ) | = J 012.(2017 •南开区二模)由曲线y=,, 围成的封闭图形的面积为答案I解析由曲线y = /jr和曲线y =X2可得交点坐标为(0,0),(1,1), 则曲线$=丘和曲线j^=j-围成的封闭图形的面积为rl / ? 3S= I 丘一工‘ )cLr = ( JC1—J 0 \ 3討)^=4_4=4■-13.(2017 •金版原创)若刃〉1,贝lj f(ni)= 44刃+-一524 —5 = —1,当且仅当m=2时等号成m4立14.(2017 •山西大学附中模拟)曲线y=2sinx(0W/W “)与直线y=l围成的封闭图形・的面积为答案2^3--^解析令2simr= 1 •得sin.r = •当才W [0.兀]时•得x—■ ~~=¥或工=罟，所以所求面积s= (2g- 1)山=三、解答题15.(2017 •阳东县校级月考)如图，过点＞4(6, 4)作曲线f'3 =彳心_8的切线Z(1)求切线/的方程；(2)求切线/, x轴及曲线代X)=A/乔耳所围成的封闭图形的面积S・•・切线/的斜率k=f f (6)=|,•:切线1的方程为y—4=~(^—6),即2y+2 = 0.⑵令f\x) =0 得x=2,把y— 0 代入x— 2y+ 2 = 0 得x=— 2,・••封闭图形的面积S=(—JT+ 1) dx一J4工一8cLr6 1616.(2017 •信阳调研)在区间［0, 1］上给定曲线试在此区间内确定Z的值，使图中的阴影部分的而积S与和最小，并求最小值.解面积$等于边长为r与产的矩形面积去掉曲线尸玄与/轴、直线x=t所围成的面积，即Si=t • t2—$的面积等于曲线尸=/与/轴，x=t, x=l围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为产1一七9 1即 $=『#山—产(1—广)=§#— /+§•所以阴影部分血积4 1S=S + $=护一£+§(0W W1).令S' ⑺ =4产一2十=4右一另=0时,111 2 方=0 时，5=-；广=空时，5=~；方=1时，$=§• 所以当Z=为寸，S最小，且最小值为*23.(2017 •抚州期中)曲线尸-与直线尸龙一1及直线尸1所围成的封闭图形的面积为X)3 5 1A.—B. —C. 4 —21n 2D. 21n 2——答案D解析画图得三个交点分别为仃，0), (1,2), (2,1),。
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【高考新坐标】2016届高考数学总复习 第二章 第14节 定积分与
微积分基本定理课后作业
[A 级 基础达标练]
一、选择题
1．(2014·山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A ．2 2
B ．4 2
C ．2
D ．4
[解析] 令4x ＝x 3
，解得x ＝0或x ＝±2，
∴S ＝⎠
⎛0
2(4x －x 3
)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 4
4⎪⎪⎪2
0＝8－4＝4.
[答案] D
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )
A .1
2g B ．g C .32
g D ．2g
[解析] 由题意知，电视塔高h ＝⎠
⎛1
2gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪2
1＝3
2g.
[答案] C
3．如图2145，直线y ＝2x 与抛物线y ＝3－x 2
所围成的阴影部分的面积是( )
图2145
A .353
B ．2 2
C ．－ 3
D .323
[解析] S ＝⎠⎛－3
1(3－x 2
－2x)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1
－3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1－13－1－[3×(－3)－13×(－3)3－(－3)2
]
＝32
3. [答案] D
4．(2015·泰安调研)已知t>0，若⎠⎛0
t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
[解析] 依题意，⎠⎛0t (2x －1)d x ＝⎠⎛0t 2x d x －⎠⎛0
t 1d x
＝x 2⎪⎪⎪t 0－x ⎪⎪⎪t
＝t 2
－t ，
由t 2
－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)． [答案] B
5．(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足⎠⎛－1
1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为
区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 1
2x ；②f(x)
＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2
.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] ①⎠⎛－1
1f(x)g(x)d x ＝⎠
⎛－1
1sin 12x cos 1
2x d x
＝12⎠⎛－1
1sin x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ⎪⎪⎪1－1
＝0，
故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－1
1(x ＋1)(x －1)d x
＝⎠⎛－1
1
(x 2
－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3－x ⎪⎪⎪1
－1＝－43≠0， 故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；
③⎠⎛－1
1f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－1
1x ·x 2
d x ＝⎠
⎛－1
1x 3
d x ＝x 4
4⎪⎪⎪
1
－1
＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正
交函数．
综上，满足条件的共有两组． [答案] C 二、填空题
6．(2015·威海模拟)设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2
，则a ＝________．
[解析] 求曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，
∴⎠⎛
a
x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23
a 3
2－0＝a 2
，
解得a ＝4
9.
[答案] 4
9
7．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2
＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ，力的单位：N )．
[解析] 变力F(x)＝x 2
＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为
W ＝⎠⎛110F(x)d x ＝⎠⎛1
10(x 2
＋1)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪10
1
＝342(J )． [答案] 342
8．(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2
和y ＝x 2
上，如图2146所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
图2146
[解析] 正方形内空白部分面积为⎠⎛－1
1
[x 2
－(－x 2
)]d x ＝⎠
⎛－1
1
2x 2
d x ＝23·x 3⎪⎪⎪1
－1
＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4
3
， 阴影部分面积为2×2－43＝8
3，
所以所求概率为834＝2
3.
[答案] 2
3
三、解答题
9．把函数f(x)＝sin x (x∈[0，2π))的图象向左平移π
3
后，得到g(x)的图象，求f(x)
与g(x)的图象所围成的图形的面积．
[解] 把函数f(x)＝sin x (x∈[0，2π))的图象向左平移π
3后，得到g(x)＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋π3，
得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3
，－32，则f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积为∫4π
3π
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3d x
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎪⎪⎪⎪4π
3π3
＝2. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m /s 2
刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？
[解] 由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m /s . 所以v(t)＝v 0＋at ＝15－3t.
令v(t)＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v(t)d t ＝⎠⎛0
5(15－3t)d t
＝⎝
⎛⎭⎪⎫15t －32t 2⎪⎪⎪5
0＝37.5(m )． 故汽车走了37.5 m .
[B 级 能力提升练]
1．(2015·潍坊模拟)若函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧f （x －4），x>0，2x ＋∫π
60cos 3t d t ，x ≤0，则f(2 016)＝( ) A ．1 B ．2 C .4
3 D .53
[解析] 当x≤0时，f(x)＝2x ＋13sin 3t ⎪⎪⎪⎪π
60
＝2x
＋13.
又f(x)＝f(x －4)知f(x)的周期为4. 故f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝20
＋13＝43.
[答案] C
2．用min {a ，b}表示a ，b 两个数中的较小的数，设f(x)＝min {x 2
，x}，那么由函数y ＝f(x)的图象、x 轴、直线x ＝1
2
和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为________．
[解析] 结合f(x)的图象，所求阴影部分的面积
S ＝∫112x 2
d x ＋⎠⎛1
4x d x ＝11924.
[答案]
11924
3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1
3
x 所围成图形的面积．
[解] 由⎩⎨⎧y ＝x ，
y ＝2－x ，
得交点A(1，1)；
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1)．
故所求面积S ＝⎠⎛0
1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛1
3⎝
⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x 32＋16x 2⎪⎪⎪1
0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪
3
1
＝23＋16＋43＝13
6.。