高二数学椭圆的简单几何性质

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椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质椭圆是一种具有特定几何性质的曲线。

在本文档中，我们将详细讨论椭圆的简单几何性质，并介绍其定义、焦点、半长轴、半短轴以及离心率等重要概念。

椭圆的定义椭圆可以通过以下方式进行定义：给定平面上的两个焦点F1和F2以及一条固定的长度2a的线段，椭圆是满足以下条件的点的集合：对于任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。

椭圆的焦点对于给定的椭圆，焦点F1和F2是椭圆上的两个点，且满足任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。

焦点对于椭圆的性质非常重要，并在许多应用中起着重要的作用。

椭圆的半长轴和半短轴椭圆的半长轴和半短轴是两个关键的几何性质。

半长轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最大的点的距离；半短轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最小的点的距离。

椭圆的半长轴和半短轴的关系可以用离心率来表示。

离心率定义为焦点到椭圆中心的距离除以半长轴的长度。

离心率也可以用半短轴除以半长轴来表示。

椭圆的离心率离心率是一个椭圆的重要几何性质，它描述了椭圆形状的圆度程度。

离心率范围在0和1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示长椭圆。

离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆形。

椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程来表示，其中x和y的值取决于参数t 的变化。

椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是半长轴和半短轴的长度。

椭圆与直线的交点椭圆与直线的交点是椭圆和直线相交的点的集合。

在平面几何中，椭圆和直线的交点有以下几种情况：1.椭圆内部：直线与椭圆相交于两个不同的点。

2.直线刚好接触椭圆：直线与椭圆相切于一个点。

3.椭圆外部：直线与椭圆没有交点。

椭圆的对称性椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。

具体来说，椭圆关于x轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(x, -y)也在椭圆上。

类似地，椭圆关于y轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(-x, y)也在椭圆上。

高二数学寒假作业专题04椭圆的简单几何性质背

专题04 椭圆的简单几何性质（背）一、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程2222=1x y a b + 2222=1y x a b + 范围a x ab y b ≤≤≤≤－，－ a y a b x b ≤≤≤≤－，－顶点(),0(0)a b ±±，， (),0(0)b a ±±，，轴长短轴长＝b 2，长轴长＝2a 焦点(),0c ± (0)c ±，焦距2c 对称性对称轴是坐标轴，对称中心是_原点_____ 离心率 e=ca 0<e<1二、点00P(x ,)y 与椭圆2222=1x y a b +的位置关系：00P(x ,)y 在椭圆内220022<1x y a b ⇔+；00P(x ,)y 在椭圆上220022=1x y a b ⇔+；00P(x ,)y 在椭圆外220022>1x y a b ⇔+已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a,b ，椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆，通过解关于a,b,c 方程或不等式可以求得离心率的值或范围，关键要充分挖掘题中隐含的数量关系，注意方程思想的应用.椭圆的焦半径公式：新课程里虽然没提到椭圆的第二定义，但是由椭圆第二定义（或两点之间距离公式）推导出来的焦半径公式在处理椭圆上点到焦点距离问题时大有帮助，设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan 2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a弦长公式：将直线方程和二次曲线方程联立得：20ax bx c ++=或20ay by c ++=，则直线被二次曲线所截得的弦长212122111AB k x x y y k =+-=+-。

高二数学椭圆的简单几何性质

教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】22a x +22by =1(a ＞b ＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里；即｜x ｜≤a ；｜y ｜≤b.2.对称性：椭圆关于x 轴；y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a ；0)；A 2(a ；0)；B 1(0；b)；B 2(0；-b)4.离心率：e=ac；(o ＜e ＜1)；e 越接近于1；则椭圆越扁；e 越接近于0；椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0；y 0)是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的任意一点；F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF 1｜=a+ex 0；｜PF 2｜=a-ex 0.⎩⎨⎧==ϕϕϕsin )(cos b y a x 是参数本节学习要求：椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b 和二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y ；得ax 2+bx+c=0；记△=b 2-4ac ；则弦长=ak )1(2+△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.【重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.例1 设直线l 过点P(-1；0)；倾角为3π；求l 被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦长. 解：直线l 的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x 2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88∴弦长=7)31(88+=7224 例2 求椭圆252x +812y =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cos θ；9sin θ)；则 d=564sin 36cos 53-θ+θ⨯=564cos 15sin 36-+θθ=564)125arctan sin(39-+θ∴d max =564139-⨯例3 已知椭圆42x +32y =1内有一点P(1；-1)；F 是右焦点；M 是椭圆上的动点；求|MP|+2|MF|的最小值；并求此时M 的坐标.解：过M 作右准线x=4的垂线；垂足为M 1；由椭圆第二定义；有1MM MF =21∴2｜MF ｜=｜MM 1｜∴｜MP ｜+2｜MF ｜=｜MP ｜+｜MM 1｜过P 作右准线的垂线交椭圆于N ；垂足为N 1；垂线方程为y=-1.显然｜MP ｜+｜MM 1｜≥｜NP ｜+｜NN 1｜(当M 与N 重合时等号成立)而｜NP ｜+｜NN 1｜=｜PN 1｜=3由方程组⎩⎨⎧==+1124322y y x 得N(362；-1)∴｜MP ｜+2｜MF ｜的最小值是3；此时M 的坐标是(362；-1)【难题巧解点拨】例1 P 是椭圆方程为162y +92x =1上的任意一点；F 1；F 2是椭圆的两个焦点；试求｜PF 1｜·｜PF 2｜的取值范围.解：设｜PF 1｜=t ；则t ∈［a-c ；a+c ］；即t ∈［4-7；4+7］且｜PF 2｜=2a-t=8-t. ∴｜PF 1｜·｜PF 2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t ∈［4-7；4+7］当t=4时；取最大值为16 当t=4±7时；取最小值为9.∴所求范围为［9；16］例2 F 1、F 2是椭圆的两个焦点；过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点；使PF 1⊥PQ ；且｜PF 1｜=｜PQ ｜；求椭圆的离心率e.解：如下图；设｜PF 1｜=t ；则｜PQ ｜=t ；｜F 1Q ｜=2t ；由椭圆定义有：｜PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a 即(2+2)t=4a ；t=(4-22)a ∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a 在Rt △PF 1F 2中；｜F 1F 1｜2=(2c)2∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴22ac =9-62 ∴e=a c =6-3例3 已知P 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的一点；F 1F 2为两焦点；且F 1P ⊥F 2P ；若P到两准线的距离分别为6和12；求此椭圆方程.解：(利用椭圆第二定义求解)∵点P 到两准线的距离分别是6和12∴2·ca 2 =6+12 即a 2=9c由椭圆第二定义知；e=11d PF =22d PF∵d 1=6；d 2=12 ∴｜PF 1｜=6e ；｜PF 2｜=12e又∵PF 1⊥PF 2 ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2∴36e 2+144e 2=4c 2∵e=ac ∴a 2=45 又a 2=9c ∴c=5 ∴b 2=a 2-c 2=20∴所求椭圆的方程的452x +202y =1例4 在椭圆3x 2+4y 2=12上；是否存在相异的两点A 、B 关于直线y=4x+m 对称并说明理由.解：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)；AB 的中点M(x 0；y 0) 直线AB ：y=-41x+t ；将AB 的方程代入椭圆的方程消去y 得；13x 2-8tx+16t 2-48=0 ∴△=(-8t)2-4×13×(16t 2-48)＞0 ∴-213＜t ＜213①且x 1+x 2=138t又AB 的中点M 在直线y=4x+m 上； ∴1312t=4×134t+m ∴t=-413m 代入①式得： -13213＜m ＜13213 解法二：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)是椭圆上关于直线l :y=4x+m 对称的两点；则421x +321y =1 ① 422x +322y =1 ② ①-②得42221x x -+32221y y -=0∴2121x x y y --=)(4)(32121y y x x +-+而K AB =2121x x y y -- =-41故有)(4)(32121y y x x +-+=-41设AB 的中点为(x ；y)；则有x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y 代入即得AB 中点的轨迹方程为y=3x. 由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+==my mx m x y x y 343 由于AB 的中点在椭圆内部∴4)(2m -+3)3(2m -＜1⇒m 2＜134⇒-13213＜m ＜13213 故当m ∈(-13213；13213)时；椭圆C 上有不同的两点关于直线对称. 例5 椭圆92522y x +=1上不同三点A(x 1；y 1)；B(4； 159)；C(x 2；y 2)与焦点F(4；0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ；求直线BT 的斜率k. 解：由题知a=5；b=3；c=4. (1)由椭圆的第二定义知：12x ca AF -=a c ⇒｜AF ｜=a-ac x 1=5-54x 1同理有｜CF ｜=5-54x 2 ∵｜AF ｜+｜CF ｜=2｜BF ｜且｜BF ｜=159 ∴(5-54x 1)+(5-54x 2)=518 即x 1+x 2=8(2)∵线段AC 的中点为(4；221y y +) ∴它的垂直平分线方程为y-221y y + =1221y y x x --(x-4)又点T 在x 轴上；设其坐标为(x 0；0)；代入上式得；x 0-4=)(2212221x x y y -- ①点A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)都在椭圆上∴y 21=259(25-x 21)；y 22=259 (25-x 22) ∴y 21-y 22=-259(x 1+x 2)(x 1-x 2) 将此式代入①并利用x 1+x 2=8得 x 0-4=-2536 ∴k BT =04059x --=45【命题趋势分析】1.熟练掌握椭圆的第二定义；两种形式的标准方程及几何性质；运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时；椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)；这样计算简洁；还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时；常用点差法.例1 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1；F 2；点P 在椭圆上；如果线段PF 1的中点在y 轴上；那么｜PF 1｜是｜PF 2｜的( )A.7倍B.5倍C.4倍解：设F 1(-3；0)；e=23；P(x 0；y 0) ∵线段PF 1的中点的横坐标为0；∴230-x =0 即x 0=3 ∴｜PF 1｜=a+ex 0=23+23×3=273∴｜PF 2｜=2a-｜PF 1｜=43 -273 =23 ∴｜PF 1｜=7｜PF 2｜故选A例2 设椭圆的中心是坐标原点；长轴在x 轴上；离心率e=23；已知点P(0；23)到这个椭圆上的点的最远距离为7；求这个椭圆方程；并求椭圆上到P 的距离等于7的点的坐标.解：设所求椭圆方程为22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)由e 2=22a c =222ab a - =1-22a b 和e=23得a=2b 设椭圆上的点(x ；y)到P 点的距离为d ；则d 2=x 2+(y-23)2=a 2(1-22by )+y 2-3y+49=-3(y+21)2+4b 2+3 (-b ≤y ≤b) 若b ＜21时；则当y=-b 时；d 2(从而d)有最大值；由题设得(7)2=(b+23)2；由此得b=7 -23＞21与b ＜21矛盾.若b ≥21时；当y=-21时；d 2有最大值；从而d 有最大值；有(7)2=4b 2+3；∴b=1；a=2∴所求椭圆方程为42x +y 2=1；椭圆上的点(-3；-21)；点(3；-21)到P 点的距离都是7.说明：本题体现了数学的转化与函数思想；本题关键是讨论距离函数d 2=-3(y+21 )2+4b 2+3在区间［-b ；b ］上的最值；二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.例3 已知椭圆的中心在原点O ；焦点在坐标轴上；直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ；且OP ⊥OQ ；｜PQ ｜=210.求椭圆方程. 分析设P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2；)由OP ⊥OQ 知x 1x 2+y 1y 2=0；再结合弦长公式与韦达定理求解.解：设椭圆的方程为22a x +22by =1(a ＞0；b ＞0；a ＞b 或a ＜b)；点P 、Q 的坐标别为P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2).由⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y b y a x 消去y 得 (a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2-a 2b 2=0；当△=(2a 2)2-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)＞0时由韦达定理得x 1+x 2=-2222ba a +；x 1x 2=22222b a b a a +-. 且y 1=x 1+1；y 2=x 2+1； ∵OP ⊥OQ ；∴11x y ·22x y=-1；即y 1y 2+x 1x 2=0； ∴(x 1+1)(x 2+1)+x 1x 2=0；∴2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0；①又｜PQ ｜=210；由弦长公式有： 211+｜x 2-x 1｜=210； ∴2［(x 1+x 2)2-4x 1x 2］=410； ∴4(x 1+x 2)2-16x 1x 2-5=0②解由①、②组成的方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,32,412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=•21412121x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-32241)1(2222222b a a b a b a ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+-,212,41)1(2222222b a a b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==23222b a故所求椭圆方程为22x +322y =1或322x +22y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题22a x +22b y =1与22a x +22by =k(a ＞b ＞0；k ＞0)一定具有相同的( )A.长轴B.焦点 C .离心率23；且过点(2；0)的椭圆标准方程为( ) A. 42x +y 2=1B. 42x +y 2=1或x 2+42y =1C. x 2+412y =1D. 42x +y 2=1或42x +162y =1m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则实数m 的取值范围是( )A.(-16；25)B.(29；25) C.(-16；29) D.(29；+∞) 4.若圆(x-a)2+y 2=9与椭圆92x +42y =1有公共点；则实数a 的取值范围是( )A.(-∞；+∞)B.［-6；6］C.［-35；35］ D.φ5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离；则椭圆的离心率为( )B.51C.3D.33二、填空题42+m x +82y =1的离心率e=21；则实数m 的值为 .52-k x +ky -32=-1表示椭圆；则实数k 的取值范围是 . 8.若椭圆的长轴长、短轴长；焦距依次成等差数列；则其离心率e= .三、解答题92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项；求P 点坐标.92x +42y =1上的点；且∠F 1PF 2=90°；求△F 1PF 2的面积.AA 级一、选择题1.不论k 为何值；直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆72x +my 2=1有公共点；则实数m的范围是( )A.(0；1)B.(0；7) C .［1；7］ D.(1；7］ 2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分；则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )A.4π B.3π C.2π D.32π 1、F 2是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点AB 是过F 1的弦；则△ABF 2的周长是( ) D.2a+2b4.已知(0；-4)是椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点；则实数k 的值是( )B.61D.241 2为圆心作圆；使这圆过椭圆的中心；且交椭圆于M 点；若直线MF 1是圆F 2的切线；则椭圆的离心率是( )A. 3-13C.22 D.23二、填空题6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点；若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形；则椭圆的离心率e= .1F 2是椭圆两焦点；P 是椭圆上一点；△PF 1F 2满足∠PF 1F 2：∠PF 2F 1：∠F 1PF 2=1∶2∶3；则此椭圆的离心率e=8.已知A(1；1) B(2；3)；椭圆C:x 2+4y 2=4a 2；如果椭圆C 和线段AB 有公共点；则正数a 的取值范围是 .三、解答题9.已知A 、B 是椭圆22a x +22925a y =1上的两点；F 2是椭圆的右焦点；若｜AF 2｜+｜BF 2｜=58a ；AB 中点到椭圆左准线距离为23；求椭圆方程.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ；若椭圆上存在一点P ；使∠OPA=2π；求椭圆离心率的取值范围.【素质优化训练】一、选择题1.已知M 为椭圆上一点；F 1F 2是两焦点；且∠MF 1F 2=2α；∠MF 2F 1=α(α≠0)；则椭圆的离心率是( )α α α α-12+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是( ) A. 3102- B. 3105- C. 432+ D.4108- 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)的一个焦点；PQ 是过其中心的一条弦；则△FQP 面积的最大值是( ) A.21ab22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的离心率等于53；若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转2π后；新位置的椭圆有一条准线方程是y=316；则原椭圆方程是( ) A.1292x +482y =1 B. 1002x +642y =1 C.252x +162y =1 D. 162x +92y =1 122x +62y =1的一个焦点为F 1；点P 在椭圆上；若线段PF 1的中点M 在y 轴上；则M 的纵坐标是( )A.±43B.±23C.±22D.±43二、填空题6.已知圆柱底面的直径为2k ；一个与底面成30°角的平面截这个圆柱；则截面上的椭圆的离心率是22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)上的点；且∠F 1PF 2=θ；则△F 1PF 2的面积是8.点P(0；1)到椭圆22x +y 2=1上点的最大距离是 .三、解答题9.已知椭圆长轴｜A 1A 2｜=6；｜F 1F 2｜=42；过椭圆焦点F 1作一直线；交椭圆于M 、N 两点；设∠F 2F 1M=α(0≤α≤π)；问当α取何值时；｜MN ｜等于椭圆的短轴长.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)与x 轴交于AB 两点；F 1F 2为焦点. (1)过一焦点F 2作垂直于长轴的弦MN ；求∠AMB 的大小范围(2)若椭圆上有一点P ；使得∠APB=120°；求P 点的纵坐标；并求椭圆离心率满足什么条件时；这样的点P 才存在.【生活实际运用】要把一个边长分别为52cm 和30cm 的矩形板锯成椭圆形；使它的长轴和短轴长分别为52cm 和30cm 用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.参考答案：【同步达纲练习】A 级 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6. 323或517 7.3＜k ＜5且k ≠4 8. 53 AA 级 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6. 3 -1 7.3-1 8.［25； 102+925y 2=1 10.22＜e ＜1 【素质优化训练】 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.212tan 2θ 8.2 9.α=6π或65π 10.(1) 2π＜∠AMB ＜π-arccot2 (2)e ∈［36；1］。

高二椭圆知识点总结

高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。

1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。

（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。

（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。

1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。

这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。

二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。

椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。

在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。

2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。

三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。

3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。

3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。

椭圆高中知识点总结

椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。

它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。

一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。

具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。

这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。

二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。

2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。

3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。

4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。

5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。

四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。

焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。

焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。

2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。

3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。

4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。

总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。

通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。

椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。

掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。

高二人教版数学椭圆知识点

高二人教版数学椭圆知识点椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在二维平面上呈现出特定的形状和性质。

本篇文章将为大家介绍高二人教版数学课程中关于椭圆的基本知识点。

一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴长度。

二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。

2. 对称性质：椭圆关于长轴和短轴都具有对称性。

3. 半焦距性质：椭圆的焦点到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。

4. 离心率性质：椭圆的离心率定义为离心率e = F1P / PF2，其中P为椭圆上任意一点。

离心率决定了椭圆形状的圆形程度，当离心率小于1时，椭圆更加靠近圆形。

三、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长轴半径和短轴半径。

四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = h + acosθ，y = k + bsinθ，其中θ为参数。

五、椭圆的几个重要点1. 中心点：椭圆的中心点坐标为(h, k)。

2. 长轴端点：椭圆的长轴端点坐标为(h ± a, k)。

3. 短轴端点：椭圆的短轴端点坐标为(h, k ± b)。

4. 焦点坐标：椭圆的焦点坐标为(h ± c, k)，其中c = √(a² - b²)。

六、椭圆的参数方程的参数意义在椭圆的参数方程中，参数θ表示椭圆上的任意一点的弧度角，取值范围为0至2π。

通过改变θ的取值，可以得到椭圆上的所有点坐标。

七、椭圆的图像与实际应用椭圆图形在现实生活中有广泛的应用。

例如，椭圆形状的行星轨道、地球绕太阳的轨迹等都可以用椭圆来描述。

此外，椭圆在艺术设计和建筑设计中也常常被使用。

高二椭圆知识点总结

高二椭圆知识点总结椭圆是一个经典的几何图形，它在高二数学中也占据着重要的地位。

本文将对高二椭圆的相关知识点进行总结，包括椭圆的定义、性质、方程、焦点与直径、切线与法线以及与其他几何图形的关系等内容。

1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合。

这两个固定点称为椭圆的焦点，记作F1、F2，它们之间的距离为2a。

椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

2. 椭圆的性质(1) 椭圆的离心率e小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。

(2) 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，记为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，记为2b。

(3) 椭圆的离心率e与长轴a、短轴b的关系为e = √(1 - b²/a²)。

(4) 椭圆的面积为πab。

3. 椭圆的方程(1) 标准方程：设椭圆的焦点在坐标原点上，长轴与x轴重合。

则椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。

(2) 一般方程：设椭圆的焦点在任意位置，且长轴与x轴的夹角为α。

则椭圆的一般方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。

4. 椭圆的焦点与直径(1) 椭圆的焦点是确定椭圆形状和大小的重要元素，它们与椭圆的离心率相关。

(2) 椭圆的直径是通过椭圆中心且与椭圆两点重合的直线段，它的长度等于长轴的长度2a。

5. 椭圆的切线与法线(1) 椭圆上任意一点P处的切线是与椭圆相切且经过点P的直线，切线的斜率为y' = -b²x/a²y。

(2) 椭圆上任意一点P处的法线是与切线垂直的直线，它的斜率为y' = a²x/b²y。

6. 椭圆与其他几何图形的关系(1) 椭圆与直线的关系：当直线与椭圆相交时，交点个数有四种情况：无交点、一个交点、两个交点、两个交点且直线与椭圆相切。

椭圆的性质及知识点总结

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。

离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

高二椭圆知识点总结

高二椭圆知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要内容，是解析几何中的一个基本图形。

在高二阶段，学生需要掌握椭圆的相关性质和定理，理解其在几何和代数方面的应用。

本文将对高二椭圆的知识点进行总结，帮助学生更好地掌握和理解此部分内容。

一、椭圆的定义和基本特性椭圆可定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和为常数2a的点集。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为2c，椭圆的离心率定义为e=c/a。

椭圆的长轴和短轴分别是通过两焦点并且垂直于长轴的直线段，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

椭圆的焦点在坐标系的x轴上，且原点为椭圆的中心。

椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a>b>0。

二、椭圆的性质和定理1. 焦半径定理：对于椭圆上的任意一点 P，设其到两个焦点的距离分别为 d1 和 d2，则有 d1 + d2 = 2a。

2. 定义两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和为常数2a，我们可以得到椭圆的双离心性质。

3. 推论1：椭圆上的顶点为（±a, 0），端点为（0,±b）。

4. 推论2：椭圆的离心率满足 0 < e < 1，即离心率小于1且大于0。

5. 椭圆的重要性质之一是切线的斜率，切线的斜率等于 y =±(b/a) * sqrt(a^2 - x^2) 在该点的导数。

6. 椭圆的两条焦半径正好和椭圆上的法线垂直。

7. 椭圆的两条直径正交。

8. 椭圆的周长可以近似计算为C ≈ 2π * sqrt((a^2 + b^2) / 2)。

三、椭圆的应用1. 椭圆在几何方面的应用：椭圆的形状可以用来描述行星、卫星、地球轨道等运动的路径。

同时，在建筑设计中，椭圆的美学特性也得到了广泛应用。

2. 椭圆在代数方面的应用：椭圆的标准方程可以用来解决一些代数问题，如求解椭圆与直线的交点、椭圆与其他曲线的交点等等。

3. 椭圆在物理学中的应用：椭圆方程被广泛用于描述天体力学问题中天体的轨道。

《椭圆的简单几何性质》知识点总结

椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。

在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。

椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。

准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。

准线的长度定为2b（短轴）。

椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。

3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。

副轴是短轴，长度为2b。

长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。

4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。

我们把这个距离之和称为焦准距。

对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。

5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。

离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。

当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。

离心率越接近于0，椭圆形状越扁。

6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。

标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。

7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。

即PF1+PF2=2a。

8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。

第8讲：椭圆的简单几何性质

第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。

椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课件高二上数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
3
(2)离心率e= 5 ,焦距为12.
分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.
解:(1)若椭圆的焦点在 x
2
轴上,则设其标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0),
2

2 = 5 × 2,
= 5,
2
由题意,得 25 0
解得
故所求椭圆的标准方程为25 +y2=1;
2
=1;
64
+
2
=1.
64
2
=1.
64
反思感悟根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤
(1)基本方法:待定系数法.
(2)一般步骤:
【变式训练2】已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且
过点P(3,0),求椭圆的标准方程.
2
解:若椭圆的焦点在 x 轴上,则设方程为 2
32
1

=
1
或4,当
3
,解得
2
1
1- .

m=4,这时长轴长为 2a=2.
0<m<1 时,焦点在 y 轴上,b=1,a=
1
-1

1
,c=

1
,c=

1

-1.
1
m=4,此时长轴长为
m=4 时,长轴长为 2,当
2a=4.
1
m=4时,长轴长为
4.
探究二
由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
2
答案:
3
3

高中椭圆知识点总结

高中椭圆知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，在高中数学中起着重要作用。

下面将对高中椭圆的相关知识进行总结。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点，直线F1F2的中点O称为椭圆的中心。

椭圆的长轴是经过焦点F1和F2的直线段，短轴是垂直于长轴通过中心O的直线段。

椭圆的离心率e是焦距与长轴之比，且0<e<1。

椭圆的离心率越小，形状越扁。

二、椭圆的方程椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

若椭圆的中心在原点，则方程简化为x²/a² + y²/b² = 1。

三、椭圆的焦点和准线椭圆的焦点与准线是椭圆的重要性质。

焦点F1和F2在椭圆的长轴上，且与中心O的距离为c，有c² = a² - b²。

椭圆的准线是与焦点F1F2垂直的直线，与椭圆的长轴平行，且与椭圆的短轴相交于两点A和B。

四、椭圆的离心率椭圆的离心率e是焦距与长轴之比，即e = c/a。

离心率越小，椭圆越扁平，离心率越大，椭圆越接近于圆。

五、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。

六、椭圆的性质1. 椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

2. 椭圆的离心率e小于1，且e越接近于0，椭圆越接近于圆。

3. 椭圆的焦点到准线的距离相等。

4. 椭圆的长轴和短轴相交于两个点，这两个点称为椭圆的顶点。

5. 椭圆的切线与椭圆的准线垂直。

七、椭圆的相关定理1. 椭圆的切线与椭圆的法线垂直。

2. 切线和法线的交点位于椭圆的焦点上。

3. 在椭圆上任取两点A和B，以A、B为焦点作直线，交椭圆于C、D两点，则AC + BD = AB。

4. 过椭圆上的一点作椭圆的两条切线，这两条切线的交点在椭圆的主轴上。

椭圆的简单几何性质

1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。

（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。

高二上数学知识点椭圆

高二上数学知识点椭圆椭圆是数学中一种重要的曲线，广泛应用于几何学以及物理学中。

下面将逐一介绍椭圆的定义、性质以及相关的定理。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而轨迹上的每个点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。

二、椭圆的性质椭圆有以下几个重要的性质：1. 首先，在椭圆上任意取一点P，过点P分别作P到两个焦点的垂线，这两条垂线与椭圆的两条轴交于四个点A、B、C、D。

通过实际计算可以得到这四个点满足AC + BD = 2a，其中a为椭圆的长半轴。

2. 其次，根据椭圆定义可知，椭圆上到两个焦点的距离之和等于常数2a，所以对于椭圆上的任意一点Q，可以得到QF1 + QF2 = 2a。

3. 再次，椭圆是关于两条轴对称的，即椭圆上的任意一点Q关于两条轴对称的点Q'也在椭圆上。

4. 最后，与椭圆的焦点连线相交于椭圆上的两个点，则两焦点与这两个焦点之间的连线构成的四边形面积相等。

三、椭圆的相关定理1. 定理一：弦长定理若在椭圆上任取两点P、Q，并分别连接两焦点F1、F2与这两点，那么线段PF1 + QF2 的长度等于线段PQ的长度。

2. 定理二：切线性质椭圆上的切线与该点到两个焦点的连线垂直。

3. 定理三：切线的交点椭圆上一条切线与两个焦点连线的交点构成的线段，称为切线段。

两条不同的切线段交于一点，该点在椭圆上。

四、椭圆的方程椭圆的标准方程为：[(x - h)² / a²] + [(y - k)² / b²] = 1，其中(a>b>0)。

椭圆的中心坐标为(h, k)，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。

五、椭圆的应用椭圆广泛应用于实际生活中的各个领域，例如天文学、卫星轨道设计、球类运动等。

在天文学中，行星、卫星以及彗星的轨道就可以近似看作椭圆。

而在卫星轨道设计以及导弹轨迹计算中，也离不开椭圆的存在。

高中数学选择性必修椭圆的简单几何性质

知识点高中数学选择性必修椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质对称轴)0,0由==<<aeb01)可知,当e越趋近于1时,ab越趋近于0,椭圆越扁；当e越趋近于0时,ab越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当=a b时,=c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为＋=x y a222重难点1椭圆的有界性1．椭圆+=x y 92522522上的点P x y ,)(的横、纵坐标的范围分别为（） A ．≤≤x y 3,5 B ．≤≤x y 35,11C ．≤≤x y 5,3D ．≤≤x y 53,11【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由+=x y 92522522，得+=x y 259122，所以椭圆的标准方程为+=x y 259122，则==a b 5,3，因为点P x y ,)(在椭圆上，所以≤≤x y 5,3．故选：C2．已知椭圆的标准方程为+=x y 10064122，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离OP 的取值范围为（） A ．6,10][ B ．6,8][ C ．8,10][ D ．16,20][【答案】C【分析】方法一：设点P x y ,00)(，则=OP P 在椭圆上，得OP ，结合x 0的范围可得结果；方法二：设=θx 10cos 0，=θy 8sin 0，∈πθ0,2)[，结合三角函数的性质可得结果.【详解】方法一：设点P x y ,00)(，则=OP 由椭圆的范围，知≤=x a 100，≤=y b 80.∵点P 在椭圆上，∴+=x y 1006410022，则=−y x 2564160022，∴OP . ∵≤≤x 010002，∴≤+≤x 256464100902，即≤≤OP 810. 方法二：设=θx 10cos 0，=θy 8sin 0，∈πθ0,2)[，则===OP ，因为∈θcos 0,12][，所以≤≤OP 810.故选：C.3．已知椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)2222，下顶点为B ，点M 为C 上的任意一点，则MB 的最大值是（）A ．2B C D ．b 2【答案】A【分析】设M x y (,)00，得到+=b b x y 31220022，求得⎝⎭ ⎪=−−+⎛⎫MB y b b 22290222，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由椭圆C 的离心率e 3ab ，所以椭圆的方程为+=b bx y 312222，设M x y (,)00，则+=b bx y 31220022，可得=−y b x 3300222，又由点−B b 0,)(，可得=++=−++⎝⎭⎪=−−+⎛⎫MB y b b b y x y b b y (2323)29()0002222002222，因为−≤≤b y b 0，所以=MB b 292max 2，所以=MB 2max . 故选：A.4．已知P 点是椭圆+=x y 42122上的动点，A 点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,01，则PA ||的最小值为（）A ．47BC ．23D ．25【答案】B【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.【详解】设P x y ,00)(，则=PA ||因为P 点在椭圆+=x y 42122上，则+=x y 4210022，记=−y x 220022，所以==PA ||又因为=−+y x x 2419002开口向上，对称轴=x 10，且∈−x 2,20][，所以当=x 10时，PA ||. 故选：B.5．设F 1、F 2分别是椭圆+=y x4122的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则⋅QF QF 12的最大值和最小值分别为（）A ．1与−2B ．2与−2C ．1与−1D ．2与−1【答案】A【分析】设点Q x y ,)(，则−≤≤x 22，且=−y x4122，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得⋅QF QF 12的最大值和最小值.【详解】在椭圆+=y x 4122中，=a 2，=b 1，==c F 1)(、F 2)，设点Q x y ,)(，则−≤≤x 22，且=−y x4122，则≤≤x 042，所以，(QF x y =−−−3,1)，(3,QF x y =−−2)，所以，(QF QF x x y x y x ⋅=−−−++−=+−=+−−⎝⎭ ⎪⎛⎫x 4333131222222)()()=−x 4232，所以，当=x 0时，⋅QF QF 12取最小值−2，当=±x 2时，⋅QF QF 12取最大值1. 故选：A.6．（多选）已知曲线C ：+=x y 4142，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有4个顶点C ．曲线C 的面积小于椭圆+=x y 4122的面积D ．曲线C 的面积大于圆+=x y 122的面积【答案】ABD【分析】研究曲线C 的对称性并求出与坐标轴的交点，可判断AB ；由曲线C 中x 的范围可求得y 得范围，进而与椭圆以及圆比较，可判断CD【详解】用-x 替换x ，化简后式子不变，则曲线C 关于y 轴对称；用-y 替换y ，化简后式子不变，则曲线C 关于x 轴对称；用-x ，-y 分别替换x ，y ，化简后式子仍不变，则曲线C 关于原点对称，曲线C 仅有两条对称轴，易求两条对称轴与曲线C 的交点分别为±1,0)(，±0,2)(，故曲线C 有4个顶点，故AB 正确；易知曲线C 中x 的范围为−1,1][，所以=≥y故椭圆上的点在曲线C 内部或在曲线C 上，故椭圆的面积小于曲线C 的面积，同理曲线C 的面积大于圆的面积，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．7．已知点(m ,n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则m 的取值范围是．【答案】⎣⎡【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.【详解】因为点(m ,n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆+=x y 38122上，所以点(m ,n )满足椭圆的范围≤x y因此≤m ，即≤m ．故答案为：⎣⎡.重难点2椭圆的对称性8．已知椭圆+=C x y 259:122的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线=y kx 与椭圆C 交于A ，B两点，若=AB F F 12，则1ABF 的面积等于（） A ．18 B ．10 C ．9 D ．6【答案】C【分析】四边形AF BF 12是矩形，设=AF m 1，=AF n 2，由椭圆的定义及勾股定理可求得mn =18，则△AF F 12的面积是=mn 291，又1ABF 的面积与△AF F 12的面积相等，即可得出答案.【详解】据题意，四边形AF BF 12是矩形，设=AF m 1，=AF n 2，则有+=m n 10，+==m n c (2)64222，由此可得mn =18，所以△AF F 12的面积是=mn 291，又1ABF 的面积与△AF F 12的面积相等，所以1ABF 的面积等于9. 故选：C ．9．（多选）已知点(3,2)在椭圆+=a b x y 12222上，则下列各点一定在该椭圆上的是（）A ．−−3,2)(B ．−3,2)(C ．−3,2)(D ．2,3)(【答案】ABC【分析】根据椭圆的对称性求得结果.【详解】由椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．故选：ABC.10．已知F 1，F 2为椭圆C ：+=x y 249122的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且=F F PQ 12，则四边形PFQF 12的面积为．【答案】18【分析】判断满足条件的点P Q ,存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答.【详解】椭圆C ：+=x y 249122的长短半轴长==a b 3，半焦距=c b ，于是椭圆C 上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c ，由P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，得四边形PFQF 12为平行四边形，又=F F PQ 12，则12PFQF 为矩形，即有+===PF PF F F c ||||||(2)6012122222，而+==PF PF a ||||212PFQF 12的面积 ==+−+=S PF PF PF PF PF PF 2||||[(||||)(||||)]181121212222.故答案为：1811．已知F F ,12为椭圆+=C x y 167:122的两个焦点，P Q ,为C 上关于坐标原点对称的两点，且=F F PQ 12，则△PF Q 1的内切圆半径为．【答案】1【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形PF QF 21为矩形，设设==PF m FQ n ,11，根据条件建立方程得到=mn 14，再利用等面积法即可求出结果.【详解】因为椭圆+=C x y 167:122，所以==a c 4,3，连接QF QF PF PF ,,,1212，由椭圆的对称性知，PF F Q PF FQ //,//1221，又=F F PQ 12，所以四边形PF QF 21为矩形，设==PF m FQ n ,11，则⎩+==⎨⎧+==m n c m n a 43628222，得到=mn 14，设△PF Q 1的内切圆半径为r ，则11122PF Qr PF FQ PQ S mn ++==11)(，得到⨯+=r (86)14，解得=r 1.故答案为：1.12．−+=G x y r :2222)(是椭圆+=O y x 16:122内接ABC 的内切圆，且ABC 在y 轴右侧，则=r . 【答案】32【分析】根据题意作出图形，利用内切圆的性质及点B 在椭圆上建立方程求解. 【详解】由题意，ABC 在y 轴右侧，作出图形，如图，由椭圆及圆的对称性知，⊥BC x 轴，设−B r y (2,)0，过圆心G 作⊥GD AB 于点D ，BC 交x 轴于H ，由椭圆方程知=OA 4，所以=−=AG 422，∴==AD =+AH r 2，又B 在椭圆上，所以=−=−+−y r r r 16161(2)1240222，又=AD AH GD HB +=r y 20，可得y 0，所以−=+−+r r r r r 164124(2)2222，化简可得+−=r r 1581202，解得=r 32，或=−r 56（舍去）. 故答案为：3213．已知，F F 12分别是椭圆+=>>a b C a b x y :1(0)2222的左、右焦点，P (是椭圆C 上一点，且1PF PF ⋅=212.(1)求椭圆C 的方程；(2)延长PF PF ,12，并与椭圆C 分别相交于M N ,两点，求PMN 的面积.【答案】(1)+=y x 2122【分析】（1）由数量积关系建立关于c 的方程，再由点P 2(在椭圆上，联立关于a b ,22的方程组求解即可；（2）由（1）知⊥PF x 2轴，由对称性可得N 点坐标，再联立直线PF 1与椭圆C 的方程，解出M 坐标，进而求得面积.【详解】（1）221,,1,PF c PF c ⎛⎫⎛⎫=−−−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212，则(PF PF c c ⋅=−−−+=22111112)()，解得=c 1. 由⎩=+⎪⎨⎪+=⎧a b a b 1,21,112222解得==a b 2,122，故椭圆C 的方程为+=y x 2122.（2）由（1）可知，直线PF 2的方程为=x 1，根据对称性可知⎝⎭⎛N 21,. 直线PF 1的方程为=+y x 41)，联立方程组⎩⎪=+⎪⎨⎪⎪+=⎧y x yx 1,21,22)整理得+−=x x 52702，解得=x 1或−=x 57，则⎭⎝ −⎛M 5,7. PMNS=⨯−−⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫⎡⎤25117重难点3椭圆的焦距与长轴、短轴14．曲线+=x y 259122与曲线−−+=<k kk x y 2591(9)22的（）.A ．长轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．短轴长相等【答案】B【分析】通过方程分别研究两曲线的相关性质，比较即可.【详解】曲线+=x y 259122是焦点在x 轴上的椭圆，则===a b c 5,3,4，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率=a c 54. 曲线−−+=<k kk x y 2591(9)22，由<k 9得−>−>k k 90,250，且−>−k k 259，故曲线−−+=<k k k x y 2591(9)22也是焦点在x 轴上的椭圆，∴===a b c c 16,42，长轴长、离心率、短轴长均与k 有关，不一定与曲线+=x y 259122的相同；而其焦距为8，与曲线+=x y 259122的焦距相同.故选：B.15．椭圆+=x y 259122与椭圆+=x y 226122的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.【详解】椭圆+=x y 259122的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为54.椭圆+=x y 226122的焦点在x 轴上，长轴长为8，所以两椭圆焦距相等. 故选：D.16．若椭圆=x my ＋122的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为，焦点坐标为．【答案】41/0.25 0,( 【分析】根据题意可得=a b 422，再结合方程可得==ma b ,1122，运算求解即可. 【详解】设椭圆的长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2，由题意可得：=⨯a b 222，则=a b 422，因为椭圆方程为=x my ＋122，即=mx y ＋1122，且焦点在y 轴上，则==ma b ,1122，可得==ma 412，解得=m 41，所以==c0,(．故答案为：41；0,(.17．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：(1)+=x y 3624122； (2)+=x y 832422．【答案】(1)=a 212，=b，焦点坐标为−(，=e 3(2)=a 2=b(0,，=e 【分析】根据椭圆的几何性质求得正确答案.【详解】（1）由>3624可知这个椭圆的焦点在x 轴上，且==a b 36,2422，因此长轴长=a 212，半短轴长=b ．又因为=−=−=c a b 362412222，即=c ．因此，椭圆的焦点坐标为−(．离心率===a e c （2）已知椭圆的方程可化为+=x y 38122，由>83可知这个椭圆的焦点在y 轴上，且==a b 8,223因此长轴长=a 2，半短轴长=b ．又因为=−=−=c a b 835222，即c因此，椭圆的焦点坐标为(0,．离心率===a e c 18．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)+=x y 69122；(2)+=x y 169144122； (3)+=x y 49122. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）首先确定焦点位置在y 轴上，即可计算出a b c ,,的大小，即可求出结果；（2）根据标准方程可知其焦点在x 轴上，确定a b c ,,的大小算出结果即可；（3）将方程变形成标准方程形式，确定焦点位置在x 轴上，即可求出结果.【详解】（1）由椭圆方程+=x y 69122可知其焦点在y 轴上，所以==a b 3,=c所以该椭圆长轴长为=a 26，短轴长为=b 2=c 2上下顶点坐标为−0,3,0,3)()(，左右顶点坐标为,))(；上下焦点坐标为,0,((，离心率==a e c （2）由椭圆方程+=x y 169144122可知其焦点在x 轴上，可得==a b 13,12，则=c 5，所以该椭圆长轴长为=a 226，短轴长为=b 224，焦距为=c 210；上下顶点坐标为−0,12,0,12)()(，左右顶点坐标为−13,0,13,0)()(；左右焦点坐标为−5,0,5,0)()(，离心率==a e c 135. （3）将椭圆方程+=x y 49122整理变形成标准方程可得+=x y 4911122，易知其焦点在x 轴上，所以==a b 23,11，则=c 6，所以该椭圆长轴长为=a 21，短轴长为=b 322，焦距为=c 2；上下顶点坐标为⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−⎛⎫⎛⎫330,,0,11，左右顶点坐标为⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪−⎛⎫⎛⎫22,0,,011；左右焦点坐标为⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫⎫,，离心率==a e c 重难点4利用椭圆的几何性质求标准方程19．F ，A 分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且∠=OFA 3cos 2，则椭圆的标准方程为（）A ．+=x y 3620122B ．+=x y 95122C ．+=x y 2036221或+=x y 3620122D ．+=x y 95221或+=x y 59122【答案】D【分析】数学结合，分焦点在x 轴上与焦点在y 轴上进行计算. 【详解】当焦点在x 轴上时，2223OFc c OFAAFac b cos ，因为=a 26，所以=a 3，=c 2，所以=−=−=b a c 945222，所以椭圆方程为+=x y 95122；同理，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为+=x y 59122.故选：D20．与椭圆+=x y 943622有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为，离心率为．【答案】 +=x y 61226【分析】设所求椭圆方程为+=a by x 12222，求得=c ，根据题意求得=b 1，得到=a 62，求得椭圆的标准方程，进而得到离心率.【详解】由椭圆+=x y 943622可化为+=x y 49122，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,，故可设所求椭圆方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，则=c ，又由=b 22，即=b 1，所以=+=a b c 6222，则所求椭圆的标准方程为+=x y6122，所以离心率为==e 6.故答案为：+=x y 6122；6. 21．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆+=x y 94122有公共的焦点，求椭圆的标准方程．=122．【分析】解法一：由题意设方程为+=>>a ba b x y 1(0)2222，然后根据题意可得−=a b 522和+=a b14122，求出a b ,22，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设+++=>−k kk x y 941(4)22，然后将Q (2,1)代入椭圆方程求出k ，从而可求出椭圆方程. 【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x 轴上，设方程为+=>>a b a b x y 1(0)2222，由+=x y 94122，得=−=c 9452，所以−=a b 522，① 又Q (2,1)在椭圆上，则+=a b 14122，②由①②解得：==a b 522=122．解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：+++=>−k kk x y 941(4)22，则+++=k k94141，整理得：++=k k 81102，解得==−−±k 248因为>−k 4，所以=−+k 4+=122．22．已知椭圆+=C x y 94:1122的左右焦点分别为F 1、F 2.(1)求椭圆C 1的长轴长、短轴长和焦点坐标；(2)若点P 在椭圆C 1上，且−=PF PF 212，求△PF F12的外接圆的方程； (3)求过点−3,2)(且与椭圆C 1有相同焦点的椭圆方程.【答案】(1)长轴长6；短轴长4；F 1)(，F 2)(2)+=x y 522(3)+=x y 1510122【分析】（1）根据方程求a b c ,,，即可得结果；（2）根据椭圆定义可得+=PF PF 612，结合题意可求PF PF ,12，进而可得三角形PF F 12是直角三角形，即可求外接圆方程；（3）根据题意设椭圆方程，代入点−3,2)(运算求解即可.【详解】（1）由题意可得：==a b 3,2，则==c故长轴长=a 26，短轴长=b 24，焦点坐标F 1)(，F 2).（2）若点P 在椭圆C 1上，则+=PF PF 612， ∵−=PF PF 212 所以=PF 41，=PF 22，又∵=F F 12+=PF PF F F 1212222，即三角形PF F 12是直角三角形，∴三角形PF F 12的外接圆心为O 0,0)(，半径=r c +=x y 522.（3）由题意设所求椭圆方程为+++=>−m mm x y 941422)(，代入点−3,2)(得+++=m m94194，解得=m 6，=−m 6（舍去），所以所求方程为+=x y 1510122.23．若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为)圆的标准方程．【答案】+=y x 3122【分析】根据题意可得=c=a 2，利用待定系数法即可求解.【详解】由题可设椭圆的标准方程为+=a bx y 12222,因为椭圆一个焦点坐标为)则有⎩⎪=⎨⎪=+⎧a a b 2222解得⎩=⎨=⎧b a 1322, 故椭圆的标准方程为+=y x 3122.24．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A 3,0)(，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．【答案】+=y x 9122或+=y x819122【分析】分类讨论焦点所在的位置，结合题意列式求解即可.【详解】若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆方程为+=>>a ba b x y 102222)(，由题意得⎩⎪+=⎨⎪⎧=⨯a b a b19023222，解得⎩=⎨⎧=b a 13，所以椭圆的标准方程为+=y x 9122；若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆方程为+=>>a ba b y x 102222)(，由题意得⎩⎪+=⎨⎪⎧=⨯a b a b10923222，解得⎩=⎨⎧=b a 39，所以椭圆的标准方程为+=y x 819122；综上所述，椭圆的标准方程为+=y x 9122或+=y x 819122．重难点5求椭圆的离心率25．已知F 是椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点，若过F 的直线l 与圆+=x y b 222相切，且l 的倾斜角为150，则椭圆的离心率是（）A B C ．21D 【答案】A【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造b c ,的齐次方程，结合椭圆a b c ,,关系可求得离心率e .【详解】由题意知：−>F c c ,00)()(，则直线=+l y x c :)，即++=x c 0，l 与圆+=x y b 222相切，=b ，即=c b 2，∴==−c b a c 4442222，∴==a e c 54222，∴椭圆的离心率=e . 故选：A.26．F 1，F 2是椭圆E ：+=>>a ba b x y102222)(的左，右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N在x 轴上，满足∠=∠=︒F MN F MN 4512，=NF NF 3412，则椭圆E 的离心率为 . 【答案】75【分析】根据∠=∠=︒F MN F MN 4512，得到⊥F M F M 12，且MN 是∠F MF 12的角平分线，再结合=NF NF 3412和角平分线定理得到=F M F M 3421，然后在△F MF Rt 12中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为∠=∠=︒F MN F MN 4512，所以⊥F M F M 12，则MN 是∠F MF 12的角平分线，所以=F M F NF M F N2211，又因为=NF NF 3412，所以=F M F M 3421，设==x M x F M F 4,312，由椭圆定义得+=F M F M a 212，即+=x x a 432，解得=x a 72，则==a a F M F M 77,8612，则⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪+=⎛⎫⎛⎫a a c 77486222，所以=a c 492522，则==a e c 75，故答案为：7527．已知O 为坐标原点，F F ,12为椭圆+=>>a ba b x y1(0)2222的左、右焦点，=F F 612，P 是椭圆上异于顶点的一点，点Q 是以PF 2为底的等腰△F PF 12的内切圆的圆心，过F 1作⊥F M PQ 1于点M ，=OM 1，则椭圆的离心率为 . 【答案】53/0.6【分析】延长F M 1交PF 2延长线于点N ，可得≅PF M PNM △△1，OM 为12F F N 的中位线，从而可得==PF PN ||||61，==F N OM ||2||22，再由椭圆的定义可求出a 的值，由=ae c即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为=F F 612，即=c 26，所以=c 3，因为点Q 是以PF 2为底的等腰三角形F PF 12内切圆的圆心，则==PF F F 6112，所以PQ 为∠F PF 12的角平分线，延长F M 1交PF 2延长线于点N ，在1PF M 与PMN 中，⎩∠=∠=⎪⎨=⎪⎧∠=∠PMF PMN PM PM F PM NPM 9011，所以≅PF M PNM △△1，所以==PF PN ||||61，=MF MN 1，所以M 为F N 1的中点，又O 为F F 12的中点，所以OM 为12F F N 的中位线，所以==F N OM ||2||22，则=−=PF ||6242，所以+=+==PF PF a ||||6410212，即=a 5，所以==a e c 53. 故答案为：53.28．已知F F ,12是椭圆+=>>a bE a b x y :1(0)2222的左，右焦点，E 上两点A B ,满足32,2AF F B AF AF ==2212，则E 的离心率为．【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出1ABF 的边长，利用余弦定理求B cos ，在21F BF 中再由余弦定理即可求出离心率.【详解】如图，因为32AF F B =22，所以可设==AF t F B t ||2,||322，又=AF AF 212，所以=AF t ||41，由椭圆定义，+==AF AF t a ||||6212，即=t a 3，又=−=−=BF a BF a a a ||2||212，即B 点为短轴端点，所以在1ABF 中，⋅⋅===+−++−a BF BA a B BF BA AF a a a a 322||||55cos 333||||||()()24111222222，又在21F BF 中，⋅⋅===−=−+−BF BF a a B e a c BF BF F F 2||||25cos 12243||||||121212222222，解得=e或=e （舍去）.29．椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的左、右焦点分别为F F ,12，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若︒∠=AF B 1202，则椭圆C 的离心率为．【分析】设=BF m 1，再在△ABF 2中根据余弦定理结合椭圆的定义可得=m a 76，再分别在△AF F 12与△BF F 12列出余弦定理，根据∠+∠=AF F BF F 1801212化简即可.【详解】由椭圆的性质可得==AF AF a 12，设=BF m 1，在△ABF 2中根据余弦定理结合椭圆的定义可得+=+−−−︒a m a a m a a m 222cos120222)()()(，即++=+−++−a am m a a am m a am 2442222222，整理可得=am a 762，即=m a 76，故=−=BF a m a 7282. 又∠+∠=AF F BF F 1801212，故1212AF F BF F ∠∠=−180，121212cos 180co AF F BF F BF F =−∠∠=−∠os s c )(，故⨯⎝⎭⎝⎭ ⨯=− ⎪⎪+−⎛⎫⎛⎫a c ac c a a 272677268222)(，即=−−ac a c c a 72474422，=−c a c 67222，故=c a 1322，故离心率=a c 13.30．已知椭圆C ：+=>>a b a b x y 102222)(的上顶点为B ，两个焦点为F 1，F 2，线段BF 2的垂直平分线过点F 1，则椭圆的离心率为．【答案】21/0.5【分析】求出线段BF 2的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得=a c 422，再结合=+a b c 222可求得离心率.【详解】如图，设BF 2的垂直平分线与BF 2交于点H ，由题，−F c ,01)(，F c ,02)(，B b 0,)(，则⎝⎭ ⎪⎛⎫H c b 22,，−−∴==−c c c k b b F H23201)(，−==−−c c k b b BF 002，12F H BF k k ⋅=−1，⎝⎭⎪∴⨯−=−⎛⎫c c b b 31，化简得，=b c 322，由=+a b c 222，解得=a c 422， ∴==a e c 41222，即=e 21.故答案为：21.31．（1）已知焦点在x 轴上的椭圆−+=kx y 94122的离心率为31，则k 的值为 .（2）设F 1，F 2是椭圆a bE a b y x+=>>:1(0)2222的两个焦点，P 为直线=y a 45上一点，△F PF 12是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为 . 【答案】 −485/0.625 【分析】（1）根据椭圆的离心率列方程，化简求得k 的值. （2）利用直角三角形的性质列方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】（1）依题意，<−<k 049，解得−<<k 54，又椭圆离心率为31=31，解得=−k 4，所以k 的值为−4. （2）如图所示，由图知︒∠=∠=PF F F PF 301221，所以︒∠=GF P 602，==F F PF c 2221，又因为=OG a 45，=OF c 2，所以=−GF a c 452，所以在△GF P Rt 2中，由︒=PF GF cos6022得=−c a c 22415，解得：=a c 85，所以椭圆E 的离心率为85.故答案为：−4；85重难点6求椭圆离心率的取值范围32．若椭圆上存在点P ，使得P 到椭圆两个焦点的距离之比为2:1，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率e 的取值范围是（）A ．⎣⎭⎪⎫B ．⎝⎦⎛C ．⎣⎭⎢⎪⎡⎫3,11D ．⎝⎦⎥ ⎛⎤30,1【答案】C【分析】根据条件设出P 到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.【详解】由题可设点P 到椭圆两个焦点的距离之分别m m 2,，所以+=m m a 22，得到=m a 32，又≥−m a c ，所以≥−a a c 32，得到≥c a 31，故≤<e 311.故选：C.33．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是．【答案】⎝⎦⎛【分析】由于该杯子中所盛水的体积为玻璃杯容积的一半，所以当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆的长轴端点分别位于杯底及杯口，根据已知数据可求出离心率的最大值，从而可得结果.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时=，短轴长为6厘米，∴椭圆离心率==e 5，∴⎝⎦ ∈⎛e .故答案为：⎝⎦⎛34．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足0MF MF ⋅=12的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎝⎭⎛20, B ．⎝⎦⎥ ⎛⎤20,1C ．0,1)(D ．⎣⎭⎪⎢⎪⎫2 【答案】A【分析】由0MF MF ⋅=12知M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆，根据M 点总在椭圆内部，可得<c b ，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围．【详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a b c ,,， 0MF MF MF MF ⋅=⇒⊥1212，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆，又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即<c b ，<=−<c b a c c a ,2222222，∴=<a e c 21222，<<∴e 20．故选：A ．35．设F 1、F 2分别为椭圆+=>>a ba b x y102222)(的左、右焦点，椭圆上存在点M ，∠=αMF F 12，∠=βMF F 21，使得离心率=αβe sin sin ，则e 取值范围为．【答案】1,1)【分析】在12MF F ，由正弦定理结合条件有:=a MF c MF 21 ，再由MF2 的范围可求出离心率取值范围.【详解】由∠=αMF F 12，∠=βMF F 21，设=MF m 1，=MF n 2，在△MF F 12中，由正弦定理有：=βαm nsin sin ，离心率=αβe sin sin ，则==−a n n c m a n 2：解得：+=a cn a 22，由于−<<+a c MF a c 2，得+−<<+a c a c a a c 222)()()(，+−=−<a c a c a c a 2222)()(显然成立，由<+a a c 222)(<+a c ，即>c a 1)，得=>ae c1，所以椭圆离心率取值范围为1,1)．故答案为：1,1).36．已知点P 是椭圆C ：+=a b x y 12222>>a b 0)( 上动点，点A 是椭圆C 的上顶点．当P 为下顶点时，PA 取到最大值b 2，则椭圆C 的离心率的取值范围为．【答案】⎝⎦⎛20,【分析】设P x y ,00)( ，则PA 2可化为⎝⎭ ⎪−++++⎛⎫b c cy a b c b b 2220222342，由=−y b 0 时，PA 2取得最大值，可得−≤−cb b 23，化简可得结果.【详解】由题意，A b 0,)( ，设P x y ,00)( ，因为+=a bx y 1220022 ，=+a b c 222 ，所以⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−=−+−=−++++⎛⎫⎛⎫b b c c PA x y b a y b y a b c b b y 1222200000222222223422)()( ，−≤≤b y b 0 ，因为当=−y b 0 时，PA 2取得最大值，所以−≤−cb b 23 ，可得≥a c 222 ，即<≤e 0.故答案为：⎝⎦⎛20, . 37．已知椭圆C ：+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，若F 关于直线=−y x 的对称点P 落在C 上或C 内，则椭圆C 的离心率的取值范围为 .【答案】⎝⎦⎛20, 【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于=−y x 对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于a b c ,,的不等式从而求解离心率范围.【详解】设C 的半焦距为c ，则−F c ,0)(关于直线=−y x 的对称点P 的坐标为c 0,)(，因为P 落在C 上或C 内，所以≥b c ，所以−=≥a c b c 2222，则≥a c 222，两边同时除以a 2，解得⎝⎦ ∈⎛e .故答案为：⎝⎦⎛.38．如图，椭圆+=>>a b a b x y 102222)(的左、右焦点分别为F F ,12，点A B ,分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，求椭圆离心率的取值范围．【答案】⎣⎭⎪⎪⎫【分析】直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，则以O 点为圆心，OF 1为半径的圆总和线段AB 有公共点，即O 点到直线AB 的距离≤==d OF OF c 12，由此列不等式求解即可. 【详解】由题意可知A a ,0)(，B b 0,)(，则直线AB 方程为−−=−−a b x a y 00，整理得+−=bx ay ab 0，若直线AB 上存在点P ，使得⊥PF PF 12，则以O 点为圆心，OF 1为半径的圆总和线段AB 有公共点，即O 点到直线AB 的距离≤==d OF OF c 12，c ≤，即a b a c c b ≤+222222，又=−b a c 222，所以−≤+−a a c a c c a c 22222222)()(，整理得a c a c −≤22222)(，即−≤a c ac 22，又由=ae c且<<e 01可得+−≥e e 102，解得⎣⎭⎪⎪∈⎫e . 重难点7根据椭圆的离心率求参数39．已知F F ,12是椭圆+=>>a bC a b x y:1(0)2222的两个焦点，点M 在C 上，若C 的离心率⎝⎭⎪ ⎪∈⎛⎫e 2，则使△MF F 12为直角三角形的点M 有（）个 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D【分析】根据离心率取值范围可得>c b ，因此以F F 12为直径作圆与C 必有四个不同的交点，再分情况讨论直角位置即可求得符号题意的三角形个数.【详解】由<<e 21可得>>a c a c 2,212222，即>+c b c 2222，可得>c b 22，因此以F F 12为直径作圆与C 必有四个不同的交点，因此△MF F 12中以∠=︒F MF 9012的三角形有四个，除此之外以∠MF F 12为直角，∠MF F 21为直角的△MF F 12各有两个，所以存在使△MF F 12为直角三角形的点M 共有8个. 故选：D40．已知椭圆E ：+=>>a ba b x y 1(0)2222的离心率的取值范围是⎣⎭⎢⎪⎡⎫3,12，其左右焦点分别是F 1，F 2，若P 为椭圆上位于y 轴右侧的一点，则PF PF 21的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】设=>λλPF PF (1)21，由椭圆的定义求得+=λPF a122，结合≥−PF a c 2，整理得+≥−λλe 11，进而得到+=−λλ1312，即可求解. 【详解】由题意，点P 是椭圆上位于y 轴右侧的一点，可得>PF PF 12，设=>λλPF PF (1)21，则=λPF PF 12，由椭圆的定义可知+=PF PF a 212，因此+=λPF a122，又因为F 2是右焦点，所以≥−PF a c 2，即+≥−λa c a 12，整理得+≥−λλe 11，所以+=−λλ1312，解得=λ5，即=PF PF 521. 故选：D.41．设椭圆+=>+=a C y a C y x x 4:1(1),:12122222的离心率分别为e e ,12．若=e 21，则a =（）AB C D【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由=e 21，得=e e 32122，因此=⨯−−a a 4341122，而>a 1，所以=a 故选：A42．若椭圆+=m C x y 2:122C 的长轴长为（）A．B ．3或C ．D ．【答案】D【分析】根据椭圆的离心率求出ab 22的值，对椭圆C 的焦点位置进行分类讨论，求出m 的值，即可求得椭圆C 的长轴长.【详解】因为⎝⎭⎪ ⎪===−==−⎛⎫a a a e c a b b 3312222222222，所以，=a b 3122.①若椭圆C 的焦点在x 轴上，则==a m b 32122，可得=m 6，则==a ，此时，椭圆C 的长轴长为②若椭圆C 的焦点在y 轴上，则==a b m 23122，可得=m 32，则=a此时，椭圆C 的长轴长为综上所述，椭圆C 的长轴长为故选：D.43．设椭圆+=>>m nm n x y 10,022)(的离心率为e ，则“=e 2”是“m n =4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论m n ,判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】当>m n 时e m n =4；当<m n 时==e ，则=n m 4；所以=e m n =4，充分性不成立；当m n =4时，则==e ，必要性成立；综上，“=e 是“m n =4”的必要不充分条件. 故选：B44．椭圆+=t C x y :122（>t 0且≠t 1，则=t . 【答案】2或21【分析】对椭圆C 的焦点的位置进行分类讨论，根据离心率公式可得出关于实数t 的等式，即可解得实数t 的值.【详解】若椭圆C 的焦点在x 轴上，则=a 1，=b ==c此时，===a e c =t 21；若椭圆C 的焦点在y 轴上，则=a =b 1，==c此时，==a e c ，解得=t 2. 综上所述，=t 2或21. 故答案为：2或21.45．如图，椭圆+=>>a b a b x y 102222)(与过A 2,0)(，B 0,1)(的直线有且只有一个公共点P ，且椭圆的离心率=e .【答案】+=y x 22122【分析】首先联立直线与椭圆方程，并根据直线与椭圆的位置关系，得到a b ,22的关系式，再根据离心率，即可求解椭圆方程.【详解】由题意可知，直线AB 方程为=−+y x 211，联立⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪=−+⎧a b x y y x 12112222，消去x ，得+−+−=b a y b y b a b 48402222222)(，因为直线AB 与椭圆相切，所以∆=−+−=b b a b a b 644440422222)()(，得+=a b 4422，又===⇒=a a e c b 4122，联立上面两式，解得：=a 22，=b 212，所以椭圆方程为+=y x 22122.重难点8椭圆的实际应用46．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点F 2处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离=F A 2cm 2，过焦点F 2且垂直于轴的弦=BC 6.4cm ，在x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．13cm【答案】C【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中a b c ,,三者的关系及焦距的定义即可求解.【详解】由题设知⎩⎪=+⎪⎨=⎪⎪⎧−=a b c a b a c 6.4222222，解得⎩=⎪⎨=⎪⎧=c b a 345，所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为=c 26．故选：C.47．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB ，且AB 过椭圆的下焦点，=AB 44米，桥塔最高点P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）A ．31B ．52C ．32D ．54【答案】D【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为+=>>a ba b y x 1(0)2222，依题意可得⎩⎪=⎨⎪⎧+=ab ac 4421102，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为+=>>a ba b y x 1(0)2222，令=−y c ，即+=−a b xc 12222)(，解得=±a x b 2，依题意可得⎩⎪=⎨⎪⎧+=ab ac 4421102，所以⎩⎪=−⎨⎪⎧+=aa c a c 2211022，所以=−a a c 11022，所以==a e c 54．故选：D ．48．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m ，水面宽6m ，那么当水位上升1m 时，水面宽度为（）A ．B C ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：+=x y 94122，求直线=y 1被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为x 轴，水面的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：+=x y 94122，当水位上升1m 时，水面的宽度也即当=y 1时，直线=y 1被椭圆所截的弦长.把=y 1代入椭圆方程可得：=x所以当水位上升1m 时，水面的宽度为，故选：A .49．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为S 1，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为（用S 1，S 2，R 表示）．【答案】【分析】根据题意结合椭圆的性质分析运算.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，。

高二数学选修课件时椭圆的简单几何性质

的二次方程。
01
若$Delta > 0$，则直线与椭圆有两个不同的
交点。
03
若$Delta < 0$，则直线与椭圆没有交点。
05
判断二次方程的判别式 $Delta$
02
若$Delta = 0$，则直线与椭圆有一个切点。
04
切线方程求解方法
设切线方程为$y = kx + b$，将椭圆方程和切线方程联立，得到
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一个关于$x$的二次方程。
由于切线与椭圆只有一个交点，因此二次方程有重根，即判别式
$Delta = 0$。
解出$k$和$b$，即可得到切线方程。
切线长公式应用举例
切线长公式
切线长 = $sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$分别为切点坐标和椭圆中心坐标。
一个焦点上。
工程测量中距离计算问题
大地测量
在大地测量中，经常需要计算地球上两点之间的距离。由于地球是一个椭球体，因此需要使用椭圆的几何性质来进行精确计算。
桥梁、隧道建设
在桥梁、隧道等工程建设中，需要精确测量和控制施工位置。椭圆的几何性质可以帮助工程师们进行精确的计算和定位。
经济学中成本最小化问题
生产函数
在经济学中，生产函数描述了投入与产出之间的关系。当投入要素的价格固定时，企业可以通过调整投入要素的组合来实现成本最小化。在某些情况下，这种最优化问题可以通过椭圆的几何性质来解决。
等产量线
等产量线表示在给定技术水平下，能够生产出相同产量的不同投入要素组合。等产量线的形状通常是椭圆形的，因此可以利用椭圆的性质来分析成本最小化问题。

高二数学椭圆的简单几何性质

从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
b
a
oc
F2
ห้องสมุดไป่ตู้
B1 (0,-b)
A2 (a，0)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
离心率
a、b、c的关系
e c a
a2=b2+c2
标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率
a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

椭圆几何性质

椭圆几何性质椭圆是数学上的一个重要曲线，具有许多独特的几何性质。

通过了解椭圆的定义和特征，我们可以深入了解椭圆的性质和应用。

本文将介绍椭圆的几何性质，包括焦点、直径、离心率和切线等内容。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下的数学定义表示：对于给定的两个焦点F1和F2，椭圆是所有到这两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

椭圆的数学表示可以用标准方程来表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，半长轴为椭圆离中心最远的点到椭圆中心的距离。

2. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2。

根据定义，任意点到这两个焦点的距离之和是一个常数。

对于椭圆，焦距的长度等于2a。

焦点在椭圆的长轴上，且与椭圆中心相距c 的位置，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。

因此，我们可以通过椭圆的半长轴和半短轴的长度来计算焦点的位置。

3. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两个相对焦点的连线。

直径的长度等于椭圆的半长轴的两倍，即直径的长度为2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是表示椭圆形状的一个重要参数。

离心率定义为焦距与半长轴之间的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率可以通过以下公式计算得到：e = c / a其中，e是离心率，c是焦距的长度，a是半长轴的长度。

5. 椭圆的切线切线是椭圆的另一个重要性质。

在椭圆上的任意一点P，通过该点的切线与半长轴和半短轴的连线构成的夹角相等。

这个夹角可以用以下公式计算：tan θ = |(b/a) * x|其中，θ为切线与半长轴的夹角，x为点P到椭圆中心的水平距离。

6. 椭圆的对称性椭圆具有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。

轴对称是指椭圆关于长轴和短轴分别对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于长轴或短轴的投影对称。

中心对称是指椭圆关于椭圆中心对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于椭圆中心的对称点也在椭圆上。