高中数学精讲教案-椭圆及其性质
高中数学椭圆的性质教案
高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。
2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。
三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。
2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。
四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。
教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。
同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。
高中数学椭圆的应用教案
高中数学椭圆的应用教案
教学目标：
1. 了解椭圆的定义和特性；
2. 掌握椭圆的标准方程和参数方程；
3. 能够应用椭圆解决实际问题。
教学重难点：
1. 椭圆的基本概念和性质；
2. 椭圆参数方程的应用。
教学准备：
1. 教师准备课件和教学素材；
2. 学生准备纸笔和计算器。
教学过程：
1. 导入：通过提问和讨论引导学生了解椭圆的定义和特性；
2. 讲解：讲解椭圆的标准方程和参数方程，并介绍椭圆在实际问题中的应用；
3. 练习：通过一些例题和实际问题，让学生练习应用椭圆求解问题；
4. 总结：总结椭圆的相关知识点，并强调学生需要多做练习提高应用能力。
教学延伸：
1. 学生可以通过阅读相关资料和解决实际问题，进一步理解和应用椭圆；
2. 学生可以尝试在数学建模比赛中运用椭圆解决问题，提升自己的数学建模能力。
课后作业：
1. 复习椭圆的相关知识点，并做相关习题；
2. 思考如何运用椭圆解决实际问题，并进行尝试。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该对椭圆的定义、性质和应用有了初步的了解，并能够运用相关知识解决实际问题。
教师可以根据学生的掌握情况进一步调整教学方法，提高学生的学习效果。
高中数学椭圆详细教案
高中数学椭圆详细教案
一、教学目标：
1. 了解椭圆的定义和性质；
2. 能够正确画出椭圆的图像；
3. 掌握椭圆的参数方程和标准方程；
4. 能够求解椭圆的焦点、离心率等相关参数。
二、教学内容：
1. 椭圆的定义和性质；
2. 椭圆的参数方程和标准方程；
3. 椭圆的焦点、离心率等相关参数的求解。
三、教学重点：
1. 椭圆的定义和性质；
2. 椭圆的参数方程和标准方程。
四、教学难点：
1. 椭圆的焦点、离心率等参数的求解。
五、教学过程：
1. 导入新课：通过提问引出学生对椭圆的认识；
2. 学习椭圆的定义和性质；
3. 讲解椭圆的参数方程和标准方程；
4. 指导学生练习绘制椭圆的图像；
5. 讲解椭圆的焦点、离心率等参数的求解方法；
6. 练习题目训练学生解题能力；
7. 总结本节课内容，梳理重点和难点。
六、教学手段：
1. 课件展示；
2. 书本教材；
3. 黑板和彩色粉笔。
七、教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 课后练习题的完成情况。
八、课后作业：
1. 完成课后练习题；
2. 复习本节课内容，准备期末考试。
高中数学备课教案椭圆与双曲线的方程与性质
高中数学备课教案椭圆与双曲线的方程与性质高中数学备课教案：椭圆与双曲线的方程与性质椭圆与双曲线是高中数学中重要的曲线，对于学生的数学素养和应试能力都有一定的影响。
本教案将介绍椭圆与双曲线的方程与性质，帮助学生更好地理解和掌握这两种曲线。
一、椭圆的方程与性质1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
2. 椭圆的方程椭圆的一般方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的性质- 椭圆的焦点：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点。
- 椭圆的顶点：椭圆的顶点是距离椭圆中心最远的点。
- 椭圆的直径：椭圆的直径是穿过椭圆中心并且两端点都在椭圆上的线段。
二、双曲线的方程与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 双曲线的方程双曲线的一般方程为：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。
3. 双曲线的性质- 双曲线的焦点：双曲线的焦点是定义双曲线的两个定点。
- 双曲线的顶点：双曲线的顶点是距离双曲线中心最远的点。
- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，与双曲线无交点，但无限延伸。
三、椭圆与双曲线的比较在椭圆和双曲线的定义、方程和性质中，我们可以看到它们的一些不同之处。
1. 定义的不同- 椭圆：到两个定点的距离之和等于常数。
- 双曲线：到两个定点的距离之差等于常数。
2. 方程的不同- 椭圆：方程形式为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
- 双曲线：方程形式为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
3. 性质的不同- 椭圆：有两个焦点和两条对称轴。
- 双曲线：有两个焦点、两条渐近线和两条对称轴。
四、实例分析接下来，我们通过两个实例来进一步理解椭圆与双曲线的方程与性质。
高中数学椭圆定义讲解教案
高中数学椭圆定义讲解教案
一、教学目标：
1. 理解椭圆的定义；
2. 掌握椭圆的性质；
3. 能够应用椭圆解决实际问题。
二、教学重点：
椭圆的定义与性质。
三、教学难点：
如何确定椭圆的方程。
四、教学过程：
1. 引入：通过让学生观察椭圆的形状，引出椭圆的定义。
2. 概念讲解：讲解椭圆的定义，即平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合称
为椭圆。
3. 性质讲解：讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。
4. 示例分析：通过实例讲解如何确定椭圆的方程，以及如何应用椭圆解决实际问题。
5. 练习巩固：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
6. 拓展延伸：让学生思考椭圆在现实生活中的应用，如椭圆形的运动轨迹等。
五、课堂总结：
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合，具有特定的性质和方程形式。
通过本节课的学习，我们对椭圆有了更深入的了解，能够解决相关问题。
六、作业布置：
布置相关练习题，巩固所学知识。
七、教学反思：
本节课通过引入、讲解、示例分析等环节，达到了教学目标。
但是在课堂练习环节的设置
上可以更具体一些，以加深学生对椭圆的理解。
高中数学必修五椭圆教案
高中数学必修五椭圆教案一、椭圆的定义1. 椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦距为2c，满足a^2 = b^2 + c^2。
2. 椭圆的离心率e = c/a，0<e<1，e越接近0，椭圆越扁。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 椭圆的方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a>b)。
5. 椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
6. 椭圆的一个重要性质是对称性，椭圆关于x轴、y轴对称，关于原点对称。
三、椭圆的应用1. 椭圆在椭圆运动、工程设计、图像处理等领域有广泛的应用。
2. 椭圆在几何学、物理学、天文学等学科中起着重要作用。
3. 学生可以通过椭圆的性质和方程解决实际问题，提升数学分析和问题解决能力。
四、教学内容安排第一节：椭圆的定义和基本性质1. 理解椭圆的定义和基本性质。
2. 掌握椭圆的方程及其标准形式。
3. 通过例题训练椭圆的相关计算和推理能力。
第二节：椭圆的图形和对称性1. 了解椭圆的图形特点。
2. 掌握椭圆的对称性质。
3. 利用椭圆的对称性解决相关问题。
第三节：椭圆的参数和离心率1. 学习椭圆的参数和离心率的概念。
2. 理解椭圆参数和离心率的计算方法。
3. 通过实例练习掌握椭圆参数和离心率的应用。
五、教学方法和评价方式1. 采用讲解、示范、练习相结合的教学方法，引导学生理解和掌握椭圆的相关知识。
2. 通过课堂练习、作业和考试等方式评价学生对椭圆的掌握程度。
3. 鼓励学生在实际问题中运用椭圆知识进行分析和解决，提高综合应用能力。
六、教学反思和展望1. 针对学生掌握情况和学习反馈，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。
2. 拓展椭圆的应用领域，引导学生深入理解椭圆的物理和几何意义。
高中数学椭圆教案
高中数学椭圆教案教案需要明确教学目标，确保学生能够掌握椭圆的基本概念，包括其标准方程和图形特征。
通过教学活动，学生应能够推导出椭圆的焦点和准线的性质，并能够解决一些与椭圆相关的实际问题。
教学内容的设计要围绕椭圆的定义展开。
可以从简单的几何形状出发，引导学生观察不同圆的压缩变形过程，自然过渡到椭圆的概念。
通过动态演示或实物操作，让学生直观感受到椭圆的形成过程。
在讲解椭圆的标准方程时，教案应包含对椭圆中心、长轴、短轴、焦点等基本元素的介绍。
教师可以通过图像辅助，展示不同位置和大小的椭圆，帮助学生形成清晰的视觉印象。
为了加深学生对椭圆性质的理解，教案中应设计一些探究活动。
例如，让学生动手测量椭圆的长轴和短轴，寻找焦点的位置，并通过实际计算验证椭圆的几何性质。
可以设置一些实验性的学习任务，如利用绘图软件绘制椭圆，或者使用物理方法模拟椭圆的反射和折射现象。
在教学方法上，教案鼓励采用启发式和探究式的教学方式。
通过提问和讨论，激发学生的好奇心和探索欲，引导他们自主发现问题并寻求解决方案。
同时，教师应根据学生的学习情况适时给予指导和帮助。
评价与反馈环节也是教案的重要组成部分。
教案建议通过作业、小测验和课堂表现等多种方式对学生的学习效果进行评估。
及时的反馈可以帮助学生了解自己的学习进度，同时也为教师提供了调整教学策略的依据。
教案还应该包含一些拓展内容，如椭圆在天文学、工程学和其他科学领域的应用案例。
这些实际应用的介绍不仅能够增加学生对数学学科的兴趣，还能够帮助他们认识到数学知识在现实世界中的重要性。
这份高中数学椭圆教案范本旨在通过直观的教学活动和深入的探究学习，帮助学生全面而深刻地理解椭圆的知识。
通过这样的教学设计，我们期望学生不仅能够掌握椭圆的数学理论，还能够将所学知识应用于实际问题，培养他们的综合运用能力和创新思维。
高中数学选择性必修一精讲精炼 1 椭圆的简单几何性质(精讲)(教师含解析)
3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)考点一离心率【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．A B C1D(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A B．2C1D【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意2PF c=，12PF PF⊥，所以1PF===，所以122PF PF c a++=，所以离心率为1cea=．故选：C．(2)不妨设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c-，离心率为e，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =,又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，所以22b c a =即2220c a ac -+=，所以2210e e +-=，解得1e =(负值舍去).故选：C. 【一隅三反】1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m = A ．31 B ．28 C ．25 D ．23【答案】D【解析】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D2．(2021·江苏高二期末)设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则C 的离心率的最大值为( ) A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=， 因为1122,,PF F F PF 成等比数列， 所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立， 所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A.3．(2021·全国高二课时练习)在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =( )A B 1C 1D -【答案】D【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -=，∴x =2214c +=，c =c e a ==故选:D.考点二 点与椭圆的位置关系【例2】(1)(2021·广西平果二中(理))点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定(2)(【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 导学案-人教A 版高中数学选择性必修第一册)若点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】(1)B(2)B【解析】(1)1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.(2)因为点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，所以221123a +>，即243a >，解得a >a <.故选：B. 【一隅三反】1．(2021·安徽定远二中)点()1,0.7P 与椭圆2212x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆内B ．在椭圆上C ．在椭圆外D ．不能确定【答案】A【解析】2210.70.9912+=<，所以，点P 在椭圆2212x y +=内.故选：A.2．(2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模(理))若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内， 所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个. 故选：C考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是(，. (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.【答案】(1)2213x y +=；(2)22m -<<.【解析】(1)由已知得2a =c = 解得a =2321b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为2213x y +=． (2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<． m ∴的取值范围(2,2)-．【一隅三反】1．(2021·上海市长征中学)设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆无公共点.【答案】(1)b =±(2)b -<(3)b <-b >【解析】设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时， 由22217525y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2213172530x bx b ++=-.(1)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯=，即b =±(2)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯>，即b -<(3)()()22124133075b b =--∆⨯⨯<即b <-b >时直线与椭圆无公共点.2．(2021·广东高二期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=；(2)|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.(2)由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.3．(2021·莆田第十五中学高二期末)直线0x y m --=与椭圆2219xy +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【解析】将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=， 消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =考点四 弦长【例4-1】(2021·全国高二课时练习)直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( )A．2BC．D．【答案】A【解析】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |故选：A.【例4-2】(2021·陕西高二期末(理))已知椭圆()2222:10y x E a b a b +=>>的焦距为⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线1y kx =+与椭圆E 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积的取值范围． 【答案】(1)2214y x +=；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】(1)因为焦距为2c =c =因为点⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b +=，联立222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，椭圆E 的标准方程为2214y x +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224230k x kx ++-=，0∆>，则12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，原点到直线1y kx =+，则MON △的面积12S ==令t =t ≥，22211t S t t t==++，令1y t t =+，则221t y t-'=，函数1yt t =+在)+∞上单调递增，故1t t +≥，201t t <≤+OMN 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦. 【一隅三反】1．(2021·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))已知椭圆的长轴长是()，).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若2AB =，求m 的值. 【答案】(1)2213x y +=；(2)1m =±.【解析】(1)由已知得2a =a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=(2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=-->得m 的取值范围为()2,2- 由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ==解得1m =±2．(2021·四川高二期末(文))已知椭圆1C 以直线0x my +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值． 【答案】(1)22194x y +=；【解析】(1)直线0x my +过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C 的半焦距c =2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=， 所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=； (2)显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点， 由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t=+在)+∞单调递增， 则t 0k=时，14t t =+≥=于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立， 所以OAB 3．(2021·重庆字水中学高二期末)已知椭圆22:1y E x m +=的下焦点为1F 、上焦点为2F ，其离心率e =过焦点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点 (1)求实数m 的值；(2)求ABO (O 为原点)面积的最大值． 【答案】(1)2m =；【解析】(1)由题意可得：21b =，2a m =，可得1b =，a =因为c e a ==c = 因为222a b c =+，所以12mm =+，可得2m =，(2)由(1)知：椭圆22:12y E x +=，上焦点()20,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l 1y kx =+， 由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210k x kx ++-=，所以12222k x x k -+=+，12212-=+x x k ，所以()()()()222222121212222222442248842222k k k k x x x x x x k k k k ++-+⎛⎫-=+-=+== ⎪++⎝⎭++，可得：12x x -=所以12211122ABOSx x OF =⨯-⨯==≤即0k =时等号成立，所以ABO (O 为原点)面积的最大值为2. 考点五 中点弦与点差法【例5】(1)(2021·全国高二专题练习)已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=(2)(2021·南京市中华中学高二期中)已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为F ，过点F的直线0x y -与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2214x y +=C ．22142x y +=D ．22163x y +=【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ，由已知可得121211x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为点A 、B 都在椭圆上，则221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()1212121209x x x x y y y y -++-+=，即()121209x x y y -+-=， 所以，直线AB 的斜率为121219AB y y k x x -==--，因此，直线AB 的方程为111292y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即950x y +-=. 故选：C.(2)直线0x y -过点F ，令0y =则x =()F，即c =设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，所以222222111222b b a b a a ⎛⎫-=-⋅⇒=⇒= ⎪⎝⎭，22223,c a b b b a =-====所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【一隅三反】1．(2021·浙江嘉兴·高二期中)已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM的重心，若点M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为( ) ABCD【答案】D【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y ++==，即1212,x x y y +=+=， 又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=， 作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a===， 故选：D2．(2021·河南新乡·高二期末(理))已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为，则G 的方程为( )A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差得22221212220x x y y a b --+=， 整理可得2221222212y y b x x a-=--， 设线段AB的中点为M，即2121221212AB OMy y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=--+，另一方面12AB MFk k ==，1OM k =-，所以，()2211122b a -=⨯-=-，所以，22222182c a b a b ⎧=-=⎨=⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩， 因此，椭圆G 的方程为2213618x y +=.故选：D.3．(2021·江苏)已知椭圆C 的方程为2214x y +=，直线AB 与椭圆C 交于A ，B 点，且线段AB 的中点坐标为1(1,)2，则直线AB 的方程为( )A ．3220x y --=B ．4230--=x yC ．2230x y +-=D ．+220x y -=【答案】D【解析】设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=， ∴121212124()y y x xx x y y -+=--+． 又12122,1x x y y +=+=， ∴121221412y y x x -=-=--⨯，即直线AB 的斜率为12-， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即+220x y -=． 故选：D.4．(2021·河北辛集中学高二期中)过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．【答案】(1)x ＋2y －4＝0；【解析】(1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝228(2)41k k k -+.又M 为AB 的中点，∴122x x +＝224(2)41k k k -+＝2，解得k ＝－12，直线方程为11(2)2y x -=--，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)将k ＝－12代入①得，x 2－4x ＝0， ∴120,4x x ==， ∴|AB |12|x x -＝考点六 最值【例6】(1)(2021·浙江高二期末)点P 、Q 分别在圆(222x y +=和椭圆2214x y +=上，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．B ．C ．D ．(2)(2021·江苏高二开学考试)已知椭圆22:194x y C +=的右顶点为2A ，直线:l x m =与椭圆C 相交于A ，B 两点，当2∠AA B 为钝角时，m 的取值范围是( )． A ．150,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．15,313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1515,00,1313⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15153,,31313⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)C(2)B【解析】(1)圆(222x y +=的圆心为(C ，半径为r =设点(),Q x y ，则2244x y =-且11y -≤≤，CQ ==，当且仅当3y =-时，等号成立，所以，max max PQ CQ r =+=故选：C.(2)易知33m -<<，x m=代入22194x y +=得y =±AB =由对称性知2AA B 是等腰三角形，AB 是底，设AB 与x 轴交点为M ，如图， 2∠AA B 为钝角，则24AA M π∠>，∴2AM MA >，即3m >-，解得15313m <<．故选：B ．【一隅三反】1．(【新东方】高中数学20210429—004【2020】【高二上】)已知P 为椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是焦点，12F PF ∠取最大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为_______．【解析】依题意12122,2PF PF a F F c +==，222a b c =+，当12F PF ∠取最大值时，即12cos F PF ∠最小，即12cos F PF ∠的最小值为13.而()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212424212a PF PF c b PF PF PF PF -⋅-==-⋅⋅， 而()2122124PF PF PF PF a +⋅≤=，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，故21222cos 1b F PF a∠≥-，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，所以12cos F PF ∠的最小值为222113b a -=，即2223ba =，故c e a ===2．(2021·重庆西南大学附中高二期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=；(2)m <<【解析】(1)1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：，(2)设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t tx x y y x x t +=+=-++=因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t tm =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
《椭圆及其标准方程》教学设计(精选3篇)
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
高中数学试讲椭圆方程教案
高中数学试讲椭圆方程教案
主题：椭圆方程
目标：学习椭圆方程的基本概念及相关知识，掌握椭圆方程的求解方法和应用技巧。
一、引入（5分钟）
教师通过引入实际问题或者数学背景，引起学生对椭圆方程的兴趣，同时激发学生的思维。
二、概念讲解（15分钟）
1. 介绍椭圆的定义和性质；
2. 讲解椭圆方程的一般形式及相关概念；
3. 理解椭圆方程中的重要参数a、b及其物理意义；
4. 探讨椭圆方程的标准形式及其性质。
三、求解方法（20分钟）
1. 讲解椭圆方程的标准形式和一般形式的转换方法；
2. 演示通过平移、旋转等方法解椭圆方程的过程；
3. 掌握应用配方法、消元法等求解椭圆方程的技巧；
4. 引导学生练习并巩固求解方法。
四、例题演练（20分钟）
1. 给予学生一些简单的椭圆方程例题让学生尝试解决；
2. 指导学生理解题目要求，分析解题思路；
3. 鼓励学生独立解答，并及时纠正错误；
4. 演示解答过程，帮助学生掌握解题方法。
五、课堂小结（5分钟）
1. 对本节课的学习内容进行总结概括；
2. 强调学生需要多加练习，提高解题能力；
3. 确认学生对椭圆方程的理解和掌握程度。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，包括椭圆方程练习题和实际应用问题，巩固学生的知识点。
以上是一份高中数学试讲椭圆方程教案范本，可以根据实际教学情况和学生的需求进行适当调整和修改，使教学更加合理有效。
高中数学选修1,1《椭圆》教案
高中数学选修1,1《椭圆》教案高中数学选修1-1《椭圆》教案【一】一、教材分析(一)教材的地位和作用本节是继直线和圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二)教学重点、难点1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程2.教学难点：椭圆标准方程的推导(三)三维目标1.知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2.过程与方法：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、类比、归纳问题的能力。
3.情感、态度、价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。
二、教学方法和手段采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
“授人以鱼，不如授人以渔。
”要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
三、教学程序1.创设情境，认识椭圆：通过实验探究，认识椭圆，引出本节课的教学内容，激发了学生的求知欲。
2.画椭圆：通过画图给学生一个动手操作，合作学习的机会，从而调动学生的学习兴趣。
3.教师演示：通过多媒体演示，再加上数据的变化，使学生更能理性地理解椭圆的形成过程。
4.椭圆定义：注意定义中的三个条件，使学生更好地把握定义。
5.推导方程：教师引导学生化简，突破难点，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程，利用学生手中的图形得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，并且对椭圆的标准方程进行了再认识。
6.例题讲解：通过例题规范学生的解题过程。
7.巩固练习：以多种题型巩固本节课的教学内容。
8.归纳小结：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 引导学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：(1) 椭圆的两个焦点在x 轴上，且距离为2c。
(2) 椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
(3) 椭圆的离心率e = c/a，其中0 < e < 1。
3. 椭圆的标准方程：(1) 当椭圆的焦点在x 轴上时，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
(2) 当椭圆的焦点在y 轴上时，标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：椭圆标准方程的求法及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究椭圆的定义和性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的标准方程。
3. 运用实例分析法，训练学生解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示椭圆模型，引导学生思考椭圆的定义。
2. 新课讲解：讲解椭圆的性质，引导学生发现椭圆的标准方程。
3. 例题解析：分析求解椭圆标准方程的实例，让学生掌握求解方法。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固椭圆及其标准方程的知识。
六、教学评价1. 评价方式：课堂表现、练习题、课后作业。
2. 评价内容：(1) 学生对椭圆定义的理解程度。
(2) 学生对椭圆性质的掌握情况。
(3) 学生对椭圆标准方程的求解能力。
(4) 学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 反思教学内容：根据学生的反馈，调整教学内容，使之更符合学生的认知规律。
2. 反思教学方法：根据学生的接受程度，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思练习题和课后作业：根据学生的完成情况，调整练习题和课后作业的难度，使之更具针对性。
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二
与椭圆相关的高中数学知识点梳理——椭圆及其标准方程教案二。
一、椭圆的定义椭圆是指一个平面内到两个定点（称为焦点）距离之和等于定值（称为主轴长度）的所有点的集合。
更形式化的定义是：一个椭圆是由平面上所有满足下列条件的点P组成的集合，即点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这里的a是椭圆的半长轴长度。
另外，b是椭圆的半短轴长度。
二、椭圆的性质1.焦点、半长轴和半短轴对于一个椭圆，其两个焦点的距离为2c，而椭圆的半长轴长度为a，因此有a=c+e，其中e称为离心率，表示椭圆中心到焦点距离与半长轴长度的比值。
另外，半短轴长度b可以表示为b²=a²-c²。
2.对称性椭圆存在中心对称性。
也就是说，椭圆上第一象限内的任意一点关于椭圆的中心都有一对称点。
3.焦点的性质对于一个椭圆，其两个焦点都在椭圆的长轴上。
并且，每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即2a。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x/a)²+(y/b)²=1。
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
这个方程的中心在原点。
如果椭圆的中心不在原点上，我们需要对标准方程进行平移，变为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
其中，(h,k)是椭圆的中心坐标。
四、解题实例现在，我们来看一个具体的实例，帮助同学们更好地理解椭圆的知识点。
假设有一个椭圆，其长轴长度为10，短轴长度为6。
求其标准方程和焦点坐标。
我们可以求出椭圆的中心坐标。
由于长轴长度为10，短轴长度为6，因此有a=5，b=3。
同时，根据椭圆的定义，中心点到两个焦点的距离之和等于2a，因此c²=a²-b²=16，c=4。
由于这个椭圆的中心点是原点，因此我们可以将标准方程表示为(x/5)²+(y/3)²=1，焦点在长轴上，即x=2和x=-2。
高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。
高中数学椭圆的方程教案
高中数学椭圆的方程教案
一、椭圆的定义和性质
1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆的离心率0<e<1，长轴2a，短轴2b，焦点与中心之间的距离为c，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。
二、标准方程
1. 椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的长度的一半，b为椭圆短轴的长度的一半。
2. 椭圆的标准方程x²/a² + y²/b² = 1，当椭圆的中心在坐标原点时成立。
三、椭圆的方程转化
1. 将椭圆的方程从标准方程转化为一般方程时，要注意保持等面积关系不变。
2. 将椭圆的一般方程转化为标准方程时，可以通过配方、合并同类项等方法进行推导。
四、椭圆的性质和应用
1. 椭圆是一个闭合的几何图形，具有对称性和周期性。
2. 椭圆在工程、建筑、设计等领域有着广泛的应用，如抛物线天线、椭圆形跑道等设计中
都能看到椭圆的影子。
五、例题演练
1. 已知椭圆的长轴长为6，短轴长为4，中心在原点，求其标准方程。
2. 设椭圆的中心坐标为(2，-3)，长轴长为8，短轴长为6，求其标准方程。
六、作业
1. 椭圆的离心率e满足哪些条件？
2. 求椭圆的标准方程：中心坐标为(0，0)，焦点距离为10，长轴长为8。
高中数学知识点精讲精析 椭圆的简单性质
1.2 椭圆的简单性质1．我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。
当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆。
可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。
2．．椭圆的顶点：曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。
同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。
另外我们将a,b 叫半长轴长和半短轴长。
3．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。
4．椭圆的对称性：椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。
1 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．【解析】由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则()1122+=++m y x 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．2 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据 120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．【解析】（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP +=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan c a a c a b a c a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a >∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角． ∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠ ∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay 整理得()023222=+-+ay a y x ∵22222y b a a x -= ∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a ∵0≠y ， ∴2232cab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 3 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．4 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离， ∴b e PF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．5 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．【解析】 设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan =，即2tan =α． 而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．。
高中数学椭圆教案
高中数学椭圆教案一、教学目标1.了解椭圆的定义和性质；2.掌握椭圆的标准方程和参数方程；3.能够求解椭圆的焦点、离心率、直径等相关问题；4.能够应用椭圆解决实际问题。
二、教学重点1.椭圆的定义和性质；2.椭圆的标准方程和参数方程；3.椭圆的焦点、离心率、直径等相关问题。
三、教学难点1.椭圆的参数方程的推导；2.椭圆的离心率的计算；3.椭圆的实际应用问题的解决。
四、教学内容1. 椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴长度。
椭圆的短轴长度为长轴长度的一半。
椭圆的性质有：•椭圆的中心在长轴的中点处；•椭圆的两条对称轴分别为长轴和短轴；•椭圆的离心率小于1，且等于焦距与长轴长度之比；•椭圆的周长和面积均可用长轴和短轴表示。
2. 椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程为：(x−ℎ)2a2+(y−k)2b2=1其中，(ℎ,k)为椭圆的中心，a和b分别为长轴和短轴的长度。
椭圆的参数方程为：{x=ℎ+acosty=k+bsint其中，t为参数，0≤t≤2π。
3. 椭圆的焦点、离心率、直径等相关问题椭圆的焦点可以通过以下公式计算：c=√a2−b2其中，c为焦距。
椭圆的离心率可以通过以下公式计算：e=c a椭圆的直径为长轴长度，即2a。
4. 椭圆的实际应用问题的解决椭圆在实际应用中有很多用途，例如：•天文学中的行星轨道；•工程中的椭圆形隧道；•体育场馆中的椭圆形跑道等。
在解决实际问题时，需要根据具体情况确定椭圆的参数，然后应用椭圆的相关公式进行计算。
五、教学方法本节课采用讲授、演示和练习相结合的教学方法。
首先通过讲授和演示让学生了解椭圆的定义、性质、标准方程和参数方程等基本概念，然后通过练习让学生掌握椭圆的相关计算方法和实际应用。
六、教学过程1. 导入教师通过引入椭圆的实际应用问题，引起学生的兴趣和好奇心，激发学生学习的积极性。
2. 讲授和演示教师通过讲授和演示，让学生了解椭圆的定义、性质、标准方程和参数方程等基本概念，并通过实例演示椭圆的相关计算方法和实际应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-圆锥曲线与方程第1讲椭圆及其性质考点一椭圆的标准方程知识点1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．4特殊的椭圆系方程(1)与椭圆x2m2＋y2n2＝1共焦点的椭圆可设为x2m2＋k＋y2n2＋k＝1(k>－m2，k>－n2)．(2)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为x2a2＋y2b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．注意点 对椭圆定义的理解当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.入门测1．思维辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．已知方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．(－3,5) B ．(－3,1) C ．(1,5) D ．(－3,1)∪(1,5)答案 D解析 方程表示椭圆的条件为⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)．故选D.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案 B解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．解题法命题法 椭圆的定义和标准方程典例 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F ′，直线x ＝m 与x 轴相交于点C .由椭圆的定义，得|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a ＝4.而|AB |＝|AC |＋|BC |≤|AF ′|＋|BF ′|，所以当且仅当AB 过点F ′时，△ABF 的周长最大． 此时，由c ＝1，得A ⎝⎛⎭⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎫1，－32，即|AB |＝3. 所以S △ABF ＝12|AB ||FF ′|＝3.[答案] (1)D (2)3【解题法】 1.椭圆定义的应用的类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆．(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．2．椭圆方程的求法 (1)定义法根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有： ①b 2＝a 2－c 2.②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a . ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a . (2)待定系数法一般步骤①判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能． ②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a ，b ，c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程．对点练1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)，又|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝⎛⎭⎫－5c 3，－b 23将其代入椭圆方程化简得25c 29＋b 29＝1，又c 2＝1－b 2，得b 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.3．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|. ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)． 根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx－5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 5．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n ，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．考点二椭圆的几何性质知识点1椭圆的几何性质2点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.注意点椭圆上的点到焦点的距离的范围F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c.入门测1．思维辨析(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.3．已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23 B.43 C.53 D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.解题法[考法综述] 椭圆的几何性质非常丰富，尤其对于离心率的考查是高考热点．本考点对数形结合思想的要求很高，方法灵活．命题法 求椭圆的离心率或范围典例 (1)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.16 B.13C.36 D.33(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．[解析](1)设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，由勾股定理得|F1F2|＝|PF21|－|PF22|＝3|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|⇒c＝3|PF2|2，所以椭圆的离心率为e＝ca＝3|PF2|2·23|PF2|＝33.故选D.(2)∵|AF1|＝a－c，|BF1|＝a＋c，|F1F2|＝2c，则有4c2＝(a－c)(a＋c)，得e＝ca＝55. [答案](1)D(2)55【解题法】 与椭圆的离心率有关问题的解题策略(1)求椭圆的离心率①求出a ，c ，直接求出e ：已知椭圆的标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca 求解．②变用公式，整体求出e ：利用e ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2，e ＝c 2c 2＋b 2＝11＋b 2c 2，只需明确b a 或b c，便可求解e .③构造a ，c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a ，b ，c 之间的关系，构造出a ，c 的齐次式，通过两边除以a 2，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值．(2)求椭圆离心率范围求解离心率的范围关键在于找到含有a 与c 的不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．常见的途径归纳如下：①椭圆的几何性质，设P (x 0，y 0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等．②涉及直线与椭圆相交时，直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程的判别式大于0. ③题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．对点练1．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 2.过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②. ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案57解析 如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠F AF 1＝90°，△F AF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，e ＝c a ＝57.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12bx 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如下图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝⎛⎭⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得 e ＝12⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫42＋2－12＝6－ 3. 解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|. |PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15. 所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与F A →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)， ∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与F A →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，F A →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎨⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ⎝⎛⎭⎫－837，17. 当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0， 当点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0， 故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围． 解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，资*源%库则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2 ＝4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4， 解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 直线AB 的方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2，Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， 则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2).由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得 (1＋k 2)⎣⎡⎦⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.② 由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2，由②得3<t2<4，∴－2<t<－3或3<t<2.故实数t的取值范围为－2<t<－3或3<t<2.已知椭圆x24＋y2m＝1的离心率等于32，则m＝_______.[错解][错因分析]本题易出现的问题就是误以为给出的椭圆的焦点在x轴上，从而导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在的坐标轴，所以应该根据其焦点所在的坐标轴进行分类讨论．[正解](1)当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a2＝4，即a＝2.又e＝ca＝32，所以c＝3，m＝b2＝a2－c2＝22－(3)2＝1.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为y2m＋x24＝1.则由方程，得b2＝4，即b＝2.又e＝ca＝32，故a2－b2a＝32，解得ba＝12，即a＝2b，所以a＝4.故m＝a2＝16. 综上，m＝1或16.[心得体会]课时练基础组1若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a答案 C解析 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .2．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F1PF 2＝12mn ＝1，故选D.3．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]答案 B解析 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G . ∵F 1M →·MP →＝0，∴F 1M →⊥MP →，又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝|PG |－|PF 2|＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM →|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|OM →|∈(0,22)． 4．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( ) A.34 B.37 C.38 D.318答案 C解析 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝⎛⎭⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38.5．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13 B.23C.15 D.25答案 B解析由题知|AF1|＋|AF2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1F2|＝|F1A|＝4，因此可得2×|F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C2的离心率e＝2 3.6已知F1，F2分别是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则()A．t＝2 B．t>2C．t<2 D．t与2的大小关系不确定答案 A解析如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a －|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故选A.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤22，63 B.⎣⎡⎦⎤22，32 C.⎣⎡⎭⎫63，1 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 A解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e∴α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤32，1，故e ∈⎣⎡⎦⎤22，63，故选A. 8.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D ．(2－1,1)答案 D解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧(1－e )(1＋e )<2，2<(1＋e )2，解得2－1<e <1，选D. 9．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．答案 x 23＋y 2＝1解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.10如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. ∵F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.11已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎫－1，－32，B ⎝⎛⎭⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k 2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.12如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.能力组13. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左焦点F ，且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →＋OB →与向量a ＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( )A.33B.63C.34D.23答案 B解析 设椭圆的左焦点为F (－c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，直线AB 的方程为y＝x ＋c ，代入椭圆方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，所以y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2ca 2＋b 2. 根据OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线，得x 1＋x 2＋3(y 1＋y 2)＝0， 即－2a 2c a 2＋b 2＋3×2b 2c a 2＋b 2＝0，解得b 2a 2＝13，所以e ＝1－b 2a 2＝63，故选B. 14．已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且PF 1→·PF 2→的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1解析 设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，所以PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 至点P 的距离的平方，易知当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1a 2b 2a 2＋b 2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 15已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1， 则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)， 则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23 则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2， 则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.16. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围． 解 (1)点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.① 又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎨⎧ y 0－y1x 0－x1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得⎩⎨⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。