北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_13
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数 3.4.1 对数及其运算素材1 北师大版必修1
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3.4.1 对数及其运算
学情分析
对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1(必修)》第三章第四单元第一节,是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的,既是指数有关知识的承接和延续,又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时,本课是第一课时,重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景,引入对数概念,在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识,“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系,明确1和底数对数的特点,深化真数取值范围的理解,为对数函数学习打下伏笔。
常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后,旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程,进一步发展学生的理性思维。
因此,本节内容无论是只是传承,还是数学思想方法的强化渗透,都具有非常重要的奠基作用。
经历了义务教育阶段学习的高一学生,思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期,思维的发散性与聚敛性基本成型,已具有研究函数和从事简单数学活动的能力,加之指数及指数函数等知识铺垫,对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。
高中数学(各版本教材目录)
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高中数学各版本新教材目录体系比较第三章统计案例§1 回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析阅读材料高尔顿与回归§2 独立性检验2.1条件概率与独立事件阅读材料概率与法庭2.2独立性检验2.3独立性检验的基本思想2.4独立性检验的应用《数学选修4-1 几何证明选讲》第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-2 矩阵与变换》第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用《数学选修4-4坐标系与参数方程》第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-5不等式选讲》第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_32
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复习回顾
指数函数的定义:
形如 y=ax (a0,且a 1)的函数叫做指数函数,
其中x是自变量,a 是常量,函数的定义域是R.
指数函数与幂函数的区别:
• 系数为1
y ax
•
底数为常数 (a0,且a 1)
• 指数为自变量X
y xa
• 系数为1 • 底数为自变量X
• 指数为常数
1:指出下列函数那些是指数函数,幂函数?
(1) y 4x ;
(4) y (4)x;
(7) y xx;
(2) yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x4 ;
(3) y 4 x ;
(5) y x;
(6) y 1 x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
y 2x, y (1)x, y 3x, y (1)x
2
3
x … -3 -2 -1 0
y 2x …
1
1
8
4
y (1)x …
2
18
4
1
y 3x … 27
9
y (1)x … 27 9
3
11
2
21
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数数y=2^x和y=(1%函2)^x的图像和性质》示范课件_0
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问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是:
…
设木棒原长为1个单位
截取次数x 1 2 3 4 …
剩余长度y
…
情景设计 问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是:
………… ………… ………… …………
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
…
分析:
这两个解析式的形式有什么共同特征? 1.等号左右两端:左端是因变量 y,
谢 谢 , 再 见!
用图形计算器展示下列四个函数图象
(1) y 2x , (2) y 3x
(3)
y
1 2
x
,
(4)
y
1 3
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
x
-3 0.125
的图象.-2 0.25
8
-1 0.5
01 1 0.5 2 0.25
y
1 2
x
6 4 2
3 0-.110 25
-5
y 2x
5
01 12 24
x
3 10 8
-2
探究2:在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ax a 0且a 1
的图象.观察图象,你能发现它们有哪些共 同特征?
1、画出函数图象
列表 描点
连线 2、研究函数性质
图形计算 器绘图
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
北师大版高中数学课本目录(2021年整理)
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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3。
2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2。
1 函数概念2。
2 函数的表示法2。
3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4。
1 二次函数的图像4。
2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2。
1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3。
3 指数函数的图像和性质§4 对数4。
1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5。
1 对数函数的概念5。
2 y=log2x的图像和性质5。
3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1。
1 利用函数性质判定方程解的存在1。
2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2。
1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4。
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北师大版高中数学目录篇一:高中数学目录——北师大版北师大版高中数学必修一· 第一章集合· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算· 第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性· 4、二次函数性质的再研究· 5、简单的幂函数· 第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数· 4、对数· 5、对数函数· 6、指数函数、幂函数、对数函数增· 第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模北师大版高中数学必修二· 第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图· 3、直观图· 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系· 6、垂直关系· 7、简单几何体的面积和体积· 8、面积公式和体积公式的简单应用· 第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系北师大版高中数学必修三· 第一章统计· 1、统计活动:随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征· 6、用样本估计总体· 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法· 第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计· 3、排序问题· 4、几种基本语句· 第三章概率· 1、随机事件的概率· 2、古典概型· 3、模拟方法――概率的应用北师大版高中数学必修四· 第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数· 5、余弦函数· 6、正切函数· 7、函数的图像· 8、同角三角函数的基本关系· 第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量· 4、平面向量的坐标· 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例· 第三章三角恒等变形· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用北师大版高中数学必修五· 第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列· 4、等差数列的前n项和· 5、等比数列· 6、等比数列的前n项和· 7、数列在日常经济生活中的应用· 第二章解三角形· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算· 5、解三角形的实际应用举例· 第三章不等式· 1、不等关系· 1.1、不等式关系· 1.2、比较大小2,一元二次不等式· 2.1、一元二次不等式的解法· 2.2、一元二次不等式的应用· 3、基本不等式3.1 基本不等式· 3.2、基本不等式与最大(小)值 4 线性规划· 4.1、二元一次不等式(组)与平面区· 4.2、简单线性规划· 4.3、简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定 4逻辑联结词“且或…?非4.1逻辑联结词“且4.2逻辑联结词“或4.3逻辑联结词??非第二章圆锥曲线与方程1椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3 曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3计算导数4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则第四章导数应用4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则选修1-2第一章统计案例1 回归分析1.1 回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析2独立性检验2.1条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3独立性检验的基本思想2.4独立性检验的应用第二章框图1 流程图2结构图第三章推理与证明1 归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2 数学证明3 综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法第四章数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩充1.2复数的有关概念2复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语1 命题2 充分条件与必要条件3 全称量词与存在量词4 逻辑联结词“且”“或”“非”&…&…(第二章空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量2 空间向量的运算3 向量的坐标表示和空间向量基本定理4 用向量讨论垂直与平行5 夹角的计算6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程3.2 双曲线的简单性质4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明1 归纳与类比2 综合法与分析法3 反证法4 数学归纳法第二章变化率与导数1 变化的快慢与变化率篇二:北师大版高中数学详细教材目录4.1二次函数的图像北师大版高中数学详细教材目录4.2二次函数的性质 5 简单的幂函数《数学1》(必修)阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算全书共分四章:第一章集合;第二章函数;第三章指数函数和对数函数;第四章函数的应用第三章指数函数和对数函数1 正整数指数函数2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充全书目录:2.2指数运算的性质 3 指数函数第一章集合3.1指数函数的概念3.2指数函数y=2*x和y=(1/2)*2的图1 集合的含义与表示像和性质3.3指数函数的图像和性质2 集合的基本关系4 对数 4.1对数及其运算 4.2换底公式5 对数函数 5.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性质 5.3对数函数的图像和性质6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用 1 函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在13 集合的基本运算 3.1交集与并集 3.2全集与补集阅读材料康托与集合论第二章函数1 生活中的变量关系2 对函数的进一步认识 2.1函数概念2.2函数的表示方法 2.3映射阅读材料生活中的映射 3 函数的单调性4 二次函数性质的再研究1.2利用二分法求方程的近似解 2 实际问题的函数建模2.1实际问题的函数刻画 2.2用函数模型解决实际问题 2.3 函数建模案例阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题《数学2》(必修)本书是根据《普通高中数学课程标准(实验)》编写的,包括两部分内容:第一部分是立体几何初步,第二部分是解析几何初步。
高中数学课本目录大全(必修)(2020年九月整理).doc
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北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(含必修和选修)北师大必修《数学1(必修)》全书目录:第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录:第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动:随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动:结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录:第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章:数列、解三角形、不等式。
北师大版高中数学必修一学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题
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6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a>1时,指数函数y=a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快.当a>1时,对数函数y=log a x是增函数,并且当a越小时,其函数值的增长就越快.当x>0,n>0时,幂函数y=x n显然也是增函数,并且当x>1时,n越大其函数值的增长就越快.(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x>0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图像(如图).从图中可以观察出,y=2x与y=x2有两个交点:(2,4)和(4,16),当0<x<2时,2x>x2;当2<x<4时,2x<x2;当x>4时,2x>x2恒成立,即y=2x比y=x2增长得快;而在(0,+∞)上,总有x2>log2x,即y=x2比y=log2x增长得快.由此可见,在(0,2)和(4,+∞)上,总有2x>x2>log2x,即y=2x增长得最快;在(2,4)上,总有x2>2x>log2x,即y=x2增长得最快.(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数,重新作图,观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性.一般地,对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0),通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论a比n小多少,尽管在x的一定范围内,a x会小于x n,但由于a x的增长快于x n的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有a x>x n;同样的,对于对数函数y=log a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0),随着x的增大,log a x增长得越来越慢,图像就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定区间内,log a x可能会大于x n,但由于log a x的增长慢于x n的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有log a x<x n.综上所述,尽管函数y=a x(a>1),y=log a x(a>1)和y=x n(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n(x>0)的增长速度,而y=log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有log a x<x n<a x.由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005.解析:根据表格中数据可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开始变化,其中变量y4的值随变量x的增长越来越小,故变量y4不关于x呈指数函数增长,变量y1,y2,y3的值都随变量x的增长越来越大,其中变量y2的值增长速度最快,所以变量y2关于x呈指数型函数增长.答案:y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中,当自变量增加相同的量时,指数函数的函数值增加量最大.【例1-2】在给出的四个函数y=3x,y=x3,y=3x,y=log3x中,当x∈(3,+∞)时,其中增长速度最快的函数是( ).A.y=3x B.y=3xC.y=x3 D.y=log3x解析:随着x的增大,函数y=a x(a>1)的增速会远远超过y=x n(n>0)的增速,而函数y =log a x(a>1)的增长速度最慢.故选B.答案:B2.增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意,选用合适的增长型函数模型,进行一些简单的应用是本节重点,其选择的标准是:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律;对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;而幂函数增长模型介于两者之间,适合于描述增长速度一般的变化规律.我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质,对题目的具体要求进行抽象概括,灵活地选取和建立数学模型.例如,根据统计资料,我国能源生产自1986年以来发展很快,下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据:1986年8.6亿吨,5年后的1991年10.4亿吨,10年后的1996年12.9亿吨.有关专家预测,到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨,则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( ).A.一次函数B.二次函数C.指数函数 D.对数函数解答:本题不需要写出函数解析式,只需根据函数值的变化规律作出判断即可.从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨,第二个五年增长了2.5亿吨,每五年的增长速度不同,故不是一次函数;假设是指数函数,由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知,从1986年到2011年25年的时间,2011年的产值将很大,故不是指数函数;对数函数的增长速度较慢,不符合题意.由以上分析,此函数模型可能是幂函数类型,结合本题的数字特点,可判断是二次函数.故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不能超过5万元,同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?分析:某个奖励模型符合公司要求,即当x∈[10,1 000]时,能够满足y≤5,且yx≤25%,可以先从函数图像得到初步的结论,再通过具体计算,确认结果.解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0. 25x,y=log7x+1,y=1.002x的图像如下图所示:观察图像发现,在区间[10,1 000]上模型y=0.25x,y=1.002x的图像都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上是单调递增的,当x∈(20,1 000)时,y>5,因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题意.对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上单调递增且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合资金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时,资金是否超过利润x的25%,即当x∈[10,1 000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图像,由图像可知f(x)是减函数,因此f(x)<f(10)≈-0.316 7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1 000]时,y<0.25x.这说明,按模型y=log7x+1奖励不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1确实符合公司要求.析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到,底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快,从这个实例我们可以体会到对数增长,直线上升,指数爆炸等不同函数类型增长的含义.3.利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性,可解决与方程和不等式有关的问题,如判断方程是否有解、解的个数,方程根的分布情况等.把解方程和不等式问题转化为函数问题,这是函数思想和转化与化归思想的运用.例如,方程log2(x+4)=3x解的个数是( ).A.0 B.1C.2 D. 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y =log 2(x +4)和指数函数y =3x的图像(其中,y =log 2(x +4)的图像由y =log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到),如图所示.由图像可以看出,它们有两个交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),即方程log 2(x +4)=3x 的解为x=x 1或x =x 2,因此,方程的解有两个.又如,若x 满足-3+log 2x =-x ,则x 属于区间( ).A .(0,1)B .(1,2)C .[2,3)D .(3,4)由-3+log 2x =-x ,得log 2x =3-x ,在同一坐标系中作出对数函数y =log 2x 和一次函数y =3-x 的图像,如图所示.观察图像可知,若log 2x =3-x ,则x 的取值在1与3之间,又知log 22=1,3-2=1,故选C.【例3-1】已知x 1是方程x +lg x =3的解,x 2是方程x +10x =3的解,则x 1+x 2=( ).A .6B .3C .2D .1解析:方程x +lg x =3可化为lg x =3-x ,方程x +10x =3可化为10x =3-x .在同一直角坐标系中画出函数y =lg x ,y =10x 和y =3-x 的图像,由于y =lg x 与y =10x 互为反函数,所以它们的图像关于直线y =x 对称.又因为直线y =3-x 与y =x 垂直,由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得,两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知,y =lg x 与y =3-x 交点A 的横坐标为x 1,y =10x 与y =3-x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ,B 关于P 对称,所以,由线段的中点坐标公式得12322x x +=,即x +x 2=3. 答案:B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中,若点A 的坐标为(x 1,y 1),点B 的坐标为(x 2,y 2),则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22. 【例3-2】若x 2<log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数m 的取值范围. 解:设y 1=x 2,y 2=log m x .若x 2<log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立,则0<m <1.两个函数的图像如图所示.当12x =时,211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交,则214y =, 由11log 24m =得1412m =,即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2<log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立,根据底数m 对函数y =log m x 图像的影响可知,实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3-3】方程2x =x 2有多少个实数根?解:在同一直角坐标系中画出函数y =2x 和y =x 2的图像.可以看出,在y 轴左侧,两个函数的图像有一个交点,而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16).当x >4时,指数函数y =2x 的增长快于幂函数y =x 2的增长,这就是说在x >4时,指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像没有交点,因此方程2x=x2有3个实数根.。
北师大版高中数学必修1 同步教学 指数函数的概念 指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质
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2.指数函数 y=2x 和 y=(12)x 的图像与性质
两个函数图像的相同点:都位于__x_轴_____的上方,都过点
数
学 必 修 ①
__(_0_,1_)___;不同点:函数 y=2x 的图像是_上__升__的___;函数 y=(12)x 的图像是
北 师
_下__降__的___.
[规范解答] (1)由 x-4≠0 得 x≠4.
数
∴定义域为{x|x≠4}.
学
必 修 ① 北 师
又x-1 4≠0,∴2x1-4
1
≠1.∴y=2x-4
的值域为{y|y>0 且 y≠1}.
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版
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第三章 指数函数和对数函数
(2)定义域为 R.∵|x|≥0,∴-|x|≤0.
∴(23)-|x| ≥1,∴y=(23)-|x|的值域为{y|y≥1}.
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 前五个小题的图像变换方法我们已在前边学过,后两个小题 是图像翻折问题.由y=f(x)变到y=|f(x)|,把x轴下方的图像上翻;由y=f(x)变到y =f(|x|),把y轴左边图像删除,利用偶函数图像对称性补充完整.
数 学
[正解] 因为 f(x)=(a2-3a+3)·ax 为指数函数,所以有aa2>-0且3aa+≠31=1 ,解得
必
修 ① 北 师
a=1或a=2 a>0且a≠1
,∴a=2.
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第三章 指数函数和对数函数
1
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1.若 a=0.52 ,b=0.53 ,c=0.54 ,则 a,b,c 的大小顺序是( B )
北师大版高中数学必修一目录
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必修(第一册)(共计72 课时)第一章集合与常用逻辑用语(10课时)1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式(8课时)2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程,不等式第三章函数的概念与性质(12课时)3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用(一)文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数(16课时)4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用(二)阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模(3课时)建立函数模型解决实际问题第五章三角函数(23课时)5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修(第二册)(共计69 课时)第六章平面向量及其应用(18课时)6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究(2课时)用向量法研究三角形的性质第七章复数(8课时)7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步(19课时)8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计(13课时)9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率(9课时)10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修(第一册)(共计43 课时)第一章空间向量与立体几何(15课时)1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程(16课时)2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程(12课时)3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹:椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修(第二册)(共计30 课时)第四章数列(14课时)4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用(16课时)5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修(第三册)(共计35 课时)第六章计数原理(11课时)6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究(2课时)杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布(10课时)7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析(9课时)8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模(3课时)建立统计模型进行预测。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.3第1课时指数函数的图像与性质学案含解析北师大版必
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学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。
理解指数函数的概念和意义.2。
能借助计算器或计算机画出指数函数的图像.3.初步掌握指数函数的有关性质。
精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示:对应学生用书第44页[基础认识]知识点指数函数错误!(1)细胞分裂时,第1次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个,如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞,那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么?这个函数式与y=x2有什么不同?提示:y=2x。
它的底数为常数,自变量为指数,而y=x2,恰好反过来.(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质?提示:函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性,可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质,再推广至一般.知识梳理指数函数思考:1.函数y=3·5x是指数函数吗?为什么?提示:不是.不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足:①自变量为x在指数位置上;②底数a>0且a≠1;③a x的系数是1.2.指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1?提示:(1)如果a=0,当x>0时,a x=0;当x≤0,a x无意义.(2)如果a<0,当x=错误!,错误!等时,a x无意义.(3)如果a=1,当a x=1,无研究的价值.为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.[自我检测]1.函数y=2-x的图像是图中的()解析:y=2-x=错误!x.答案:B2.函数y=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围是()A.a>0,且a≠1 B.a>2C.a<2 D.1<a<2解析:由0<a-1<1,解得1<a<2.答案:D3.若指数函数y=f(x)的图像经过点(π,e),则f(-π)=________。
解析:设f(x)=a x(a>0,且a≠1),则f(π)=e,即aπ=e。
∴f(-π)=a-π=1aπ=错误!。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_0
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指数函数
应用举例
例2 填空 1 ①函数y=8 2x-1 的定义域 x| x≠½ ;
②函数y=0.1 2x-3 的定义域
x| x≥ 2 。
3
指数函数
练习
1.方程2 x= 2-x的解的个数为______
2.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的¾, 写 出存留污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式,若要 使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次? (提示:设最初的污垢量为1)
t
y =(½) 5730
=[(½ )
1
] 5730
t
(t≥0),
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
(x∈N);
② y=(1+7.3%)x =1.073x
③
t
y =(½) 5730
=[(½
)
1
] 5730
t
(x∈N+,x≤20); (t≥0),
有什么共同特征?
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
y=(½ )x
y=2x
思考?
函数y=2x的图象与函数y= (½)x
的图象有什么关系?可否利用
y=2x的图象直接画出y=(½)x 的
图象?
指数函数
思考? 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象有什么关系? 可否利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象?
结论: 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象关于y轴 对称,可以利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象.
3 2 1
(0,1)
函数y=(1/5)x和 y=5x的 -2
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1
0
x
当 x < 0 时,y > 1.
典例剖析
同底指数幂比大 小,构造指数函数,
例1: 比较下列各利用题函数中单两调性值的大小
(1)1.72.5 ,1.73
(2)0.80.1, 0.80.2 同底比较大小
(3)( 1 )0.8 , ( 1 )1.8 42
(4)(
8
)
3 7
,
(
7
5
)12
78
不同底但可化同底
能力提升
A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担 如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元 ,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下 去…那么,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗? 又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同 吗?
小结:指数函数
的图像及性质
a>1
0<a<1
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:
y 2x
y 1 x 2
y 3x
y
1
x
3
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8 2
4
2
-0.5 0
0.71 1
8
1.4 1
7
6
0.5 1 2 3 …
1.4
2
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
10
( )1x
gx = 3 8 6
fx = 3x
4
2
-10
-5
5
10
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
ax 1 是一个常量,没有研究的必要性
结构特征:
• 底数:大于零且不等于1的常数; • 指数:自变量x∈R; • 系数:1
下列函数中,哪些是指数函我数?
不 是
y 4x
y x4
y 4x
y 4x1
函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则 a=_______.
指数函数的图象和性质:
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 y=1
(0,1)
当 x > 0 时,y > 01.
x
当 x < 0 时0,y > 1; x
定 义 域 : R 当 x < 0 时,. 0< y < 1
当 x > 0 时, 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
y=(
1 2
y=( )x
1 3
)x
y
y = 3x y = 2x
(2)函数的图象都通过点( 0, 1 ).
(3)当a > 1时,这个函数是增 函数,当x > 0 ,y > 1 ,当x < 0 时, 0 < y <1 ;
当0 < a < 1时,这个函数是减函 数,当 x > 0 时,0 < y < 1,
指数函数的图象及性质
引例1:红眼病病毒细胞分裂时,由1个
分裂成2个,2个分裂成4个,……. 一个这 样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?
分裂次数:1,2,3,4, … ,x
细胞个数:2,4,8,16,… ,y
函数关系是
y 2x
对折次数 1
2
3
所得纸 的层数
2
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
(a 1)
1
0
x
y
y ax
(0 a 1)
1
0
x
性质
一般地,函数 y =a x (a >0,a ≠ 1, x ∈R) 具有如下的性质
(1)定义域是实数集R, 值域是正实数集;
探讨:若不满足上述条件 y ax会怎么样?
(1)若 a 0 则当x > 0时,a x 0 当x≤0时,a x 无意义.
(2)若 a 0 则对于x的某些数值,可使
a x 无意义. 如 (2)x ,这时对于
x
1 2
,
x
1 4
……等等,
在实数范围内函数值不存在.
(3)若 a 1 则对于任何 x R
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
再 见!
加油!
不同底数幂比大小 ,利用指数函数图像 与底的关系比较
(5)(0.3)
0.3
,
(0.2)
0.3
不同底但同指数
(6)1.70.3 , 0.93.1 底不同,指数也不同
例2:已知下列不等 式 , 比较 m,n 的大小 :
(1) 2m 2n (2) 0.2m 0.2n
(3)am an (a 0且a 1)
4= 22
8= 23
函数关系是
y 2x
x y 2x
在以下关系中:
y 2x
P
(
1
)
t 5730
2
y 1.073x
y ax
底为常数
指数为自变量
形如 y a x ( a 0, 且a 1 )
的函数叫做指数函数.
幂为函数
其中 x 为自变量,定义域为 R
探究:为什么要规定 a 0且a 1
48
…
…
fx = 2x 0.71 0.5 0.25 0.13
5
4
gx = 0.5x 3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
x … -2.5 -2 -1
y 3x … 0.06 0.1 0.3
y
1 x
…
15.6
9
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
-0.5 0
16
0.6 1 114.7 1
12
0.5 1 2 1.7 3 9