四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学(文)试题

2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试文科数学第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{|11},{|10}A x x B x x =-<=-<，则A B ⋃= A. ()1,1- B. ()1,2- C. ()1,2 D. ()0,1 2.若1122ai i i+=++，则a = A. 5i --B. 5i -+C. 5i -D. 5i + 3.已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A.1-B.2C.7D.84.“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.86.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米7.已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是A.若//m α，//n α，则//m nB.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m n ⊥，m α⊥，则//n αD.若m α⊥，//n α，则m n ⊥8.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为A.()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 9.已知sin(π6+α)=cos(π6−α)，则cos2α=A. 1B. 21C. 0D. −110.已知向量a r =22b a b =⋅=-r r r ，，.若1c a b --=r r r ，则c r 的取值范围是A.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[2,3]D.[1,3]11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为A.4πB.16πC.163πD.323π 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为A.0B.1C.2D.3第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.求值：331log 15log 252-=_________． 14.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=7，S 6=63，则S 9=____．15.函数x x x f cos 32sin 2)(-=的图像可由x y sin 4=的图像至少向右平移 个单位长度得到．16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRFPRF S S ∆∆=________.三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照(0.0.5),(0.5,1),⋯(4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图的a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.（III ）估计居民月用水量的中位数.18.（12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BD CD； （II ）若1AD AC ==，求BC 的长．19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=o ，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN P 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积．20.（12分）已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D .（Ⅰ）求D 点的轨迹E 的方程；（II ）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u r u u u r u u u r r，（O 为原点），求MN 的范围. 21.（12分）已知函数2()ln 2a f x x ax x x x =-+-+，R a ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的导函数()g x 的单调性；（II ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）设P （0，-1），直线l 与C 的交点为M ，N ，线段MN 的中点为Q ，求-u u u r u u u r OP OQ .23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a ≥，0b ≥，()2f x x a x b =++-；（Ⅰ）若0a =，2b =，求()2f x ≤的解集.（II ）若()f x 最小值为1.2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试文科数学答案1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.D8.B9.C 10.D 11.D 12.C13.1 14.511 15.π3 16.6717.（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000.（Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.18.解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD=∠，在ACD ∆中，sin sin AD CD C CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD C CD B ==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =. 3BC x ==19.（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=o ，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BM CD P .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN PD P .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =I ，∴平面BMN P 平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=o ，∴BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴PMN ∆的面积(211194424PMN PAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅1934=⨯⨯=. 20.（1）)BD DA BD DC BC AB +=+==>Q D ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =Q ，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=. （2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+ 2222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩()222124220k x mkx m +++-=，令两根为1x ，2x . 由0OM ON OP ++=u u u u r u u u r u u u r r. ()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p m y y y k x x m k-=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k m k ∆=+-=+>. 12MN x ∴=-=，==∈.当MN x ⊥轴时，易求MN =MN ∴范围是.21.（1）∵()ln f x x ax a ='-+，∴()ln g x x ax a =-+，∴()11(0)ax g x a x x x-'=-=>， ①当0a …时，()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '<， ∴函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a …时．函数()g x 在()0,+∞上单调递增，当0a >时，函数()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）∵()10g =，∴()10f '=．①由（1）知，当0a …时，()f x '在()0,+∞上单调递增，若()0,1x ∈，则()0f x '<；若()1,x ∈+∞，则()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极小值；不合题意； ②当1a =时，()f x '在()0,1上单调递增，()f x '在()1,+∞上是单调递减，∴()()10f x f ''=…， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减．∴()f x 无极值，不合题意；③当01a <<时，11a >，由（1）知，()f x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∵()10f '=， ∴若()0,1x ∈，则()0f x '<；若11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>， ∴()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极小值，不合题意； ④当1a >时，101a <<，由（1）知，()f x '在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∵()10f '=， ∴若1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>；若()1,x ∈+∞，则()0f x '<．∴()f x 在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()f x 在1x =处取得极大值，符合题意．综上所述，a 的取值范围是()1,+∞．22.（1）直线l的参数方程为21.x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．消去参数t 可得直线l 的普通方程为1y x =- 由2241sin ρθ=+，得222sin 4ρρθ+=，则有2224++=x y y ，即2224x y +=， 则曲线C 的直角坐标方程为22142x y += （2）将l 的参数方程代入2224x y +=，得23202--=t ，设两根为1t ，2t 则1t ，2t 为M ，N对应的参数，且123+=t t 所以，线段MN 的中点为Q对应的参数为1223+=t t，所以，3-==u u u r u u u r u u u r OP OQ PQ23.（1）0a =，2b =时，()32,1222,0132,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=+-=-≤<⎨⎪-+<⎩，解不等式：322,122,01322,0x x x x x x -≤≥⎧⎪-≤≤<⎨⎪-+≤<⎩解得答案为：40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）()3,22,23,b x a b x b f x x a x b x a b a x x b a x a ⎧+-≥⎪⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩当2b x =时，()min 2b f x a =+，22a b ∴+=.()221121322a b ⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭≤.∴当22a b +=⎧=即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时.。