24.1.4圆周角自学学案

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人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》是本节课的主要内容。

圆周角定理是圆周角定理系列中的重要定理之一，也是后续学习圆的性质和圆的方程的基础。

本节课的内容包括圆周角定理的证明和应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，对角的性质有一定的了解。

但是，对于圆周角定理的理解和运用还需要进一步引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。

三. 教学目标1.了解圆周角定理的内容和证明过程。

2.能够运用圆周角定理解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆周角定理的证明过程。

2.圆周角定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。

2.运用多媒体辅助教学，展示圆周角定理的证明过程，增强学生的直观感受。

3.通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用圆周角定理，巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.圆规、直尺等绘图工具。

3.相关例题和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，引导学生回顾相似三角形的性质和角的性质。

让学生思考：在圆中，圆周角和圆心角之间有什么关系？2.呈现（10分钟）展示圆周角定理的证明过程，引导学生观察和理解证明方法。

通过多媒体动画演示，让学生更直观地感受圆周角定理的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与圆周角定理相关的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）呈现一些例题和练习题，让学生独立解答。

教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆周角定理在实际问题中的应用。

九上数学《24.1.4圆周角——圆周角定理及其推论（教学设计）》（推荐五篇）

九上数学《24.1.4圆周角——圆周角定理及其推论（教学设计）》（推荐五篇）第一篇：九上数学《24.1.4 圆周角——圆周角定理及其推论(教学设计)》24.1.4 圆周角——圆周角定理及其推论一、新课导入 1.导入课题：情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？由此导入课题.（板书课题）2.学习目标：(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.3.学习重、难点：重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲： 1）圆周角的概念①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图，∠ACB=∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想：在⊙O 中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？有3种位置关系.③ 证一证：a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：（1）圆周角定理的内容.（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.（3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导：（1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.1212a.如图1，∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB，∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角相等.b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=∠AOB, ∠ADE=∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.即等弧所对的圆周角相等.c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角相等.d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角，1212121212这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8 ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.为什么？因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O 的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴在RtςACB中，BC=AB2-AC2=102-62=（.8cm）同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=B D.在RtςADB中，AD2+BD2=AB2,∴BD=1AB2=52cm.212⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），两直径交点就是圆心.2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否会完成任务.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：（1）常规辅助线：遇直径，想直角.（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.1.自学指导：（1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.（2）自学时间：7分钟.（3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.ς和BCDς所对的圆心角，②在图中标出BAD这两个圆心角有什么关系？∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度.③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.④练习：a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝50°，∠BCD＝130°.b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E 为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B=110°.c.求证：圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学：学生可结合自学指导自主学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：（1）圆内接四边形的性质.（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.（3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°, ∴∠A＝45°，∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3, ∴∠B ＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（80分）1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）A.15°B.40°C.5°D.35°3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80°.4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝125°.5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且12∠ACB=45°，求弦AB的长.解：连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB=OA2+OB2=2OA2=2OA=2.7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.解：△ABC是等边三角形.证明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.二、综合应用（10分）9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60 ．三、拓展延伸（10分）ς10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是BCς上的中点，上一动点（点F不与B、C重合），A是BF设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.ς上的中点，∴OA垂直平分BF.∵A是BF∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-α.证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB, ∴β＝（90°-α）＝45°-α.121212121212第二篇：圆周角定理课题名称：圆周角定理一、概述：《圆周角定理》是课程标准高中选修4-1第二章第2.1节的内容，是学生在初中已经初步掌握圆与直线的关系的基础上再深入研究圆与直线的一节起始课，它是解决圆内有关角的问题的基础，也为学习有关圆的内接四边形的角的关系做准备。

人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》

人教版数学九年级上册教学设计24.1.4《圆周角》一. 教材分析《圆周角》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了圆周角的定义、性质和应用。

通过本节课的学习，学生能够理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的定义、半径、直径等。

同时，学生也具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。

但是，对于圆周角的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆周角的定义和性质。

2.运用圆周角解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解圆周角的定义和性质，引导学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析具体案例，让学生更好地理解圆周角的运用。

3.小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件：制作相关的课件，包括圆周角的定义、性质和应用等方面的内容。

2.案例：准备一些具体的案例，用于分析和解决实际问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）利用课件呈现圆周角的定义和性质，让学生初步了解并掌握相关知识。

3.操练（15分钟）让学生通过观察和分析具体的案例，运用圆周角的知识解决问题，巩固所学内容。

4.巩固（5分钟）让学生完成一些练习题，检查对圆周角知识的掌握程度，并对存在的问题进行讲解和辅导。

5.拓展（5分钟）引导学生进一步思考和探讨圆周角在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。

人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计

人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是人民教育出版社九年级数学上册第24章《圆》的第四节内容。

本节主要让学生通过探究圆周角的性质，掌握圆周角定理及其推论，并能在实际问题中运用。

圆周角定理是圆的内接四边形定理的重要组成部分，对于学生理解圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。

但学生对于圆周角的理解和应用还不够深入，需要通过本节内容的学习，进一步巩固和提高。

同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要在教学过程中加强引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角定理解决简单问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：圆周角定理及其推论。

2.难点：圆周角定理的证明和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、推理，从而得出圆周角定理。

2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，运用圆周角定理解决问题。

3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，以便于学生观察和分析。

2.准备一些实际问题，供学生练习和应用。

3.准备PPT，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆有关的实际问题，引导学生思考圆周角的概念。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示圆周角定理的内容，让学生初步了解圆周角定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过观察、分析、推理，证明圆周角定理。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生运用圆周角定理解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）让学生进一步探索圆周角定理的推论，了解圆周角定理在几何中的应用。

九年级数学上册 24.1.4 圆周角导学案 (新版)新人教版

24.1.4圆周角预习案一、预习目标及范围：1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.预习范围：P85-88二、预习要点1、圆周角定义:叫圆周角.特征：①角的顶点在；②角的两边都。

2、圆心角与所对的弧的关系：3、圆周角与所对的弧的关系：4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半.三、预习检测1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35.(1)∠BOC=，理由是;(2)∠BDC=，理由是2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=，∠D=.3．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作探究1：圆周角的定义定义：叫做圆周角判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.探究2;圆周角定理及其推论如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.探究3：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.(1)完成下列填空：∠1=.∠2=.∠3=.∠5=.（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？（3）若AC是半圆，∠ADC=，∠ABC=.探究4:四、圆内接四边形若一个多边形，那么，这个多边形叫做，这个圆叫做这个多边形的.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.活动2：探究归纳圆周角定理：推论1：推论2：推论3：圆内接四边形的性质：活动内容2：典例精析例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．解：归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.二、随堂检测1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=，∠D=.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=.3.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）900的角所对的弦是直径（）（4）同弦所对的圆周角相等（）4.如图，AB是⊙O的直径,C、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.5.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=．6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=，∠ADB=.7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：BD DE.参考答案预习检测：1.70；一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；35；同弧所对的圆周角相等2.70；1003.90随堂检测1.√×××2.50°3.166°4.50°5.解:BD=CD.理由是:连接AD,∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴BD DE（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.。

24.1.4圆周角圆周角定理及其推论(教案)2021-2022学年九年级数学人教版上册

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆周角的概念和圆周角定理的理解整体上是积极的。他们对于通过观察和实验来探索几何知识的兴趣很高，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到了一些需要改进的地方。
在导入新课的环节，我提出的问题能够吸引学生的注意力，但他们对于如何将圆周角与日常生活联系起来还不够熟练。我意识到，我应该提供更多的例子，帮助学生建立起圆周角与实际生活的联系，这样他们就能更直观地理解圆周角的重要性。
24．1.4圆周角圆周角定理及其推论（教案）2021-2022学年九年级数学人教版上册
一、教学内容
本节课选自2021-2022学年九年级数学人教版上册第24章第1节，标题为“24．1.4圆周角圆周角定理及其推论”。教学内容主要包括：
1.圆周角的概念：通过直观展示，引导学生理解圆周角是圆上一段弧所对的角。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究圆周角定理及其推论，让学生形成对圆周角几何形态的直观感知，提高空间想象力和图形分析能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生运用演绎推理证明圆周角定理及其推论，培养严谨的逻辑思维。
3.增强学生的问题解决能力：设计具有实际背景的习题，让学生运用圆周角定理及其推论解决几何问题，提高解决实际问题的能力。
（举例：通过观察圆的不同弧所对的角，让学生认识到圆周角的定义，并强调圆周角与圆心角的关系。）
（2）圆周角定理：掌握圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识。
（举例：通过直观演示和实际操作，让学生观察并验证圆周角与圆心角的关系，进而理解圆周角定理。）
（3）圆周角定理的推论：理解并运用同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角这两个推论。
在新课讲授的部分，我发现理论介绍环节进行得比较顺利，学生们能够跟上我的思路。但在案例分析时，有些学生对于如何将圆周角定理应用到具体问题中感到困惑。我认识到，我需要在讲解案例时更加细致，逐步引导学生思考，让他们能够逐步掌握定理的应用。

人教版九上数学第24章圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时1圆周角定理及其推论教案【教材内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】知识与技能：1．了解圆周角的概念；2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；【教学重点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导．【教学难点】1．探究圆周角的定理的存在；2．运用数学分类思想证明圆周角的定理．【教学过程设计】一、情境导入进行中的足球比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究知识点一：圆周角定理例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．例3 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长例4 如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明例5 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算例6 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD ＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明例7如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补．三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【板书设计】24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1 圆周角定理及其推论1.圆周角的概念2.圆周角定理及推论3.圆内接四边形的性质4.应用圆周角定理及推论进行计算【课堂检测】C1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin cC =2R ．分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin bB=2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin cC =2R教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．人教版九年级数学（上）第24章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1圆周角定理及其推论学案【学习目标】知识与技能1．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题； 3．了解拱高、弦心距等概念．过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法．情感、态度与价值观在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识．【学习重点】垂径定理及其推论．【学习难点】探索并证明垂径定理．【自主学习】一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【新知探究】一、小组合作1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53 __cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．【学习总结】学生总结本节课的收获与困惑．(2分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．教师点拨：圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。

24.1.4圆周角(教案)-2024学年人教版数学九年级上册

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是指圆上任意两点所夹的角，它是圆心角的一半。圆周角在几何图形的求解中具有重要作用，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，展示圆周角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
a.引导学生通过画图，观察圆周角与圆心角的关系。
b.通过小组讨论，引导学生发现并理解圆周角定理的推论。
c.教师提供多个变式图形，让学生尝试应用推论解决问题，加强理解和记忆。
d.在解决实际问题时，教师指导学生如何识别问题类型，选择合适的方法运用圆周角定理及其推论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解圆中角度的情况？”（例如：在自行车轮的转动中，如何计算轮子上的一个扇形区域的角度？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角的基本概念、圆周角定理及其推论的重要性。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-推导和应用圆周角定理的推论：学生需掌握推论的逻辑推理过程，并能够在不同的问题情境中应用。
-识别和应用圆内接四边形的性质：学生需要能够识别圆内接四边形，并运用其对角互补性质解决几何问题。

教学设计4：24.1.4圆周角

24.1.4圆周角教学过程设计其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。

板演示，让学生辨析圆周角。

接下来给学生一组辨析题：练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．析问题的能力。

活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。

问题1：①同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系？②同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与∠ADB，∠AEB的大小关系怎样？问题2：㈠一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？圆心与圆周角的位置关系有几种？㈡当圆心在圆周角的教师提出问题，引导学生用度量工具量角器，动手实验进行度量，发现结论。

由学生归纳发现的规律，教师板书：同弧所对的圆周角度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

教师提问，学生动手画，思考并回答。

教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：①圆心在圆周角的一边上、②圆心在圆周角内部、③圆心在圆周角外部．学生亲自动手利用度量工具进行实验，探究得出结论，调动了学生的积极性，培养了他们的归纳能力。

这一过程体现了数学中的分类讨论的思想；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中从特殊到一般的化归思想.从而让学生学会了一种分析问题解决问题的方式方法。

一边上时，如何证明活动2所发现的结论？㈢对于②③两种情况你也能证明吗？教师引导，学生写出已知，求证，并完成证明。

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.提出必须用严格的数学方法去证明.证明:(圆心在圆周角上)（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.证明：作出过C的直径（略）活动三：探索圆周角定理的推论问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G ，是否得到=呢让学生分析、研究，并充分交流．注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=∠G；但反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若= ，否则不一定成立．这时教师要求学生举出反面例子：若∠C=∠G，则≠，从而得到圆周角的又一条性质老师组织学生归纳：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”．问题：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得让学生在同一知识中变换角度思考问题，从不同的方位观察圆心角与圆周角，更深一步理解“同弧”二字的含义，培养了学生思维的深度和广度。

学案2：24.1.4圆周角

24.1.4圆周角学习目标：1、经历探索圆周角的有关性质的过程2、知道圆周角定义，掌握圆周角定理，会用定理进行推证和计算3、体会分类、转化等数学思想学习重点：圆周角的性质及应用学习难点：圆周角的性质及应用教学过程：一、问题情境：我们学过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？二、探究学习尝试、交流（1）BC是☉O的直径，它所对的圆周角是锐角、还是钝角、还是直角？为么？（2）圆周角∠BAC=900，弦BC过圆心吗？为什么？2、总结：直径所对的圆周角是角，900的圆周角所对的弦是。

三、例题：例1、AB是☉O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500，求∠CEB的度数.例2、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，△ABE 与△ACD相似吗？为什么？例3、已知，如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AB,DB交⊙O于点C.(1) 求证:BO·AB=BC·BD(2)求证:2BO2=BC·BD课堂小结：1、探索了圆周角的有关性质2、圆周角定义、圆周角定理，会用定理进行推证和计算3、体会分类、转化等数学思想课堂练习：如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB. 弧BD与弧BE相等吗？为什么？2、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。

3、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD的长。

答案1.相等连结OE，因为∠DOE和∠DCE分别是弧DE的圆心角和圆周角，所以∠DOE等于2∠DCE 又因为CE平行于AB，所以∠DOB和∠DCE相等，即等于1/2∠DCE，所以∠DOB=∠BOE,所以弧BD与弧BE相等2.连接CD，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵∠ABC=∠DAC，∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=∠DAC=45°，∵直径AD=4，∴AC=AD•cos45°=23.∠DAB=∠DCB=30°而∠ADB=90°∴BD=3。

人教版九年级数学上册：24.1.4 圆周角学案设计

圆周角__班级：_____________姓名：__________________组号：_______第一课时一、旧知回顾1．什么叫圆心角？请画图说明。

2．画图举例说明圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？二、新知梳理3．圆周角的定义：（请画出图形进行说明）。

4．根据右图找出同弧所对的圆周角和圆心角的例子，并猜想这两个角之间的关系。

学前准备预习导航：认真阅读课本p85-86的内容，类比圆心角的定义，你将学会识别圆周角，从而通过观察、类比、猜想圆周角定理。

特别注意它们之间的数量关系，尤其是如何证明？完成情况由此你可以得出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

如何证明这一定理？见课本分三种情况讨论5．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题。

（1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？三、试一试6．如右图6，已知∠ACB = 20º，则∠AOB = 。

7．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是同弧所对的圆周角角？★通过预习你还有什么困惑？87654321DC BA图6OBAC一、课堂活动、记录1．识别圆周角的两个要点是什么？2．圆周角与它所对的圆心角的数量关系式什么？ 3．如何进行推理证明？二、精练反馈 A 组：1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为( )A ．70°B ．30°C ．35°D ．20°2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C D ，是圆上两点，100AOC ∠=o ，则D ∠= 。

B 组：3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B=40°，则∠ACD 度数是_______。

三、课堂小结1．一个概念：圆心角（两个条件：____________）；一个定理：圆周角定理。

人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例

（二）讲授新知
1.利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。
在讲授新知环节，我将利用多媒体课件，讲解圆周角的定义及其性质。通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。在此基础上，我会运用几何图形，解释圆周角定理及其推论。在这个过程中，注重引导学生积极参与，鼓励他们提出问题，以便更好地理解和掌握圆周角的知识。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论。
2.让学生通过合作、交流，共同探究圆周角的性质。
3.组织学生展示讨论成果，分享彼此的想法和收获。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体课件，展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角。
2.通过动画演示，让学生直观地感受圆周角的形成过程。
3.设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲。
在情景创设方面，我将运用多媒体课件，以生动形象的方式展示圆周角的特点，帮助学生建立起空间观念。通过展示生活中的圆周角实例，引导学生认识圆周角，激发他们的学习兴趣。同时，设计有趣的数学问题，激发学生的求知欲，让他们在解决问题的过程中，自然而然地引入圆周角的知识。
人教版九年级上册数学24.1.4圆周角优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级上册数学24.1.4圆周角，旨在让学生掌握圆周角的定义、性质及其在几何中的应用。通过对圆周角的学习，培养学生观察、思考、推理的能力，提高他们的空间想象力。
圆周角是圆心角的一种，它在圆中具有重要的地位。在本节内容中，学生需要了解圆周角的定义、性质，并能运用圆周角定理解决实际问题。在教学过程中，我将结合生活实例，引导学生认识圆周角，并通过小组合作、讨论交流的方式，让学生探究圆周角的性质，从而提高他们的合作意识和解决问题的能力。

24.1.4圆周角学案

24.1.4 圆周角学案【学习目标】1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明. 【重点难点】重点：圆周角定理及定理的三个推论的应用．难点：圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.【课堂探究】一、自主探究探究一作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？（2）说出圆周角与圆心角的异同点？探究二1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC ，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC ，再分别量出∠BAC 和 ∠BOC 的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A 和圆心O 对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC 的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.B 图c图b 图aD D3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？5、利用上面的结论，完成下列问题：（1）∠C与∠D相等吗?为什么？（2）若AB是直径，则∠C= ，∠D=（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.探究三1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下.二、尝试运用1、教材第88页练习1、22、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD则∠BAD = ，∠BCD = .3、教材第87页例24、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？三、补偿提高1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°,点D 在圆上,则∠ADC 等于( ) .A. 30°B.40°C.50°D.60°2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.四、小结与作业学生小结：1、必做题：教材第88页练习3，习题第89页5，6题2、选做题如图，点A,B,D,E在⊙O上，弦AE,BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB与AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）。

人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角优秀导学案

24.1.4 圆周角
姓名：班级：组别：评定等级
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．圆周角的定义.
2．圆周角定理.
3.在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为 .
（二）新知导学
1.直径（或半圆）所对的圆周角是 .
2.900的圆周角所对的弦是 .
3.圆的内接多边形，多边形的内接圆。

圆内接四边形的对角。

【合作探究】
如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上．求证：BD=DE．
【自我检测】
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，
则∠AOD= ．
2．如图，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
4．如图，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径＝．
5．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半6．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
7．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等B．互补C．相等或互补 D．都不对
8．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对D．8对。

人教版-数学-九年级上册-24.1.4 圆周角(1) 教案

24.1．4 圆周角（第一课时）一、教学目标（一）学习目标1. 掌握圆周角的相关概念和定理，并会运用.2. 掌握圆周角和圆心角的关系.3.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.4．能运用圆周角的性质解决问题．（二）学习重点圆周角和圆心角的关系.（三）学习难点能运用圆周角的性质解决问题．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

2.预习自测（1）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB=_________．【知识点】网圆周角定理．【数学思想】数形结合有。

【解题过程】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，∴∠ACB=12∠AOB=60°．故答案为：60°【思路点拨】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．【答案】60°（2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为．【知识点】网圆周角定理；三角形内角和定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故答案是：62°．【思路点拨】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA.三角形的内角和定理求得∠AOB=124°；然后由圆周角定理求得∠C=62°．【答案】62°．（3）如图，AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，则∠BED=．【知识点】网圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵AC=BC，∠ABC=75°，∴∠BAC=∠ABC=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=30°，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°，∴∠D=∠C=30°，∴∠BED=180°﹣∠CBD﹣∠D=135°．故答案为：135°．【思路点拨】由AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，可求得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，继而可得∠CBD=15°，由三角形内角和定理，即可求得答案．【答案】135°．（4）如图，点A.B.C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=．【知识点】网圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：由图形得：∠O=2∠A=2×36°=72°；故答案为：72°.【思路点拨】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出结论．【答案】72°.(二)课堂设计1.知识回顾（1）在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．2.问题探究探究一圆周角定义，圆周角和圆心角关系. ★▲●活动① 以旧引新教师演示图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB 观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．问题1：如图：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，他们的视角（AOB ∠和ACB ∠）有什么关系？教师：这两个角所对的弧相同，顶点的位置不同：AOB ∠的顶点在圆心，ACB ∠的顶点在圆上。

九年级数学上册24.1.4圆周角教案4新人教版

o CBDA24。

1.4 圆周角第2课时圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用教学目标知识和能力过程和方法 1、通过观察、比较，分析了解并证明圆内接四边形对角，发展学生合情推理能力和演绎推理能力. 2、通过观察图形,提高学生的识图能力．3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．情感态度价值观在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．教学重点圆内接四边形对角互补的探索与运用. 教学难点论证圆内接四边形对角互补．教学设计设计意图一、复习引入，激发学生兴趣. （1）问题：你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？（P87练习2）方法: ①利用对称性，两次对折纸片找到直径的交点；②利用“90度的圆周角所对的弦是直径”找到两条直径的交点。

(2)练习：如图,BD 是⊙O 的直径，∠ABC=130° 复习圆周角定理及其推论COBAD则∠ADC= °二、探究圆内接四边形的性质，培养学生的探究精神.1、圆内接多边形和多边形内接圆的概念，介绍圆内接四边形2、如图四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,那么其相对的两个内角之间有什么关系？(观察复习2，写出你的猜想）3、证明你的发现。

解：发现：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 理由如下：连接OB,OD在⊙O 中，∠A 所对的弧为BCD ，∠C 所对的弧为 BAD , 又∵BCD 与BCD 所对的圆心角的度数之和为360°，∴∠A+∠C=12360°=180°。

同理：∠B+∠D=180°。

4、得出结论:圆内接四边形对角互补.5、几何语言：∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°三、应用举例：例1、若四边形ABCD 为圆内接四边形,则下列选项可能成立的是( ）A.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4 D 。