4-5模n剩余类环
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
数学的思维方式与创新尔雅网课通识答案
【单选题】黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（）直线与已知直线平行。
A、没有直线B、无数条C、至少2条D、一条我的答案：A 得分：25.0分2【单选题】（）是第一个被提出的非欧几何。
A、解析几何B、罗氏几何C、黎曼几何D、欧氏几何我的答案：B 得分：25.0分3【单选题】数学的整数集合用字母（）表示。
A、MB、WC、ND、Z我的答案：D 得分：25.0分【判断题】在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。
（）我的答案：√得分：25.0分集合的划分（二）已完成成绩：100.0分1【单选题】星期日用数学集合的方法表示是（）。
A、{7R|R∈Z}B、{5R|R∈Z}C、{7R|R∈N}D、{6R|R∈Z}我的答案：A 得分：20.0分2【单选题】A={1,2}，B={3,4},A∩B=（）。
A、BB、{1,2,3,4}C、AD、Φ我的答案：D 得分：20.0分3【多选题】集合的性质有（）。
A、封闭性B、互异性C、确定性D、无序性我的答案：BCD 得分：20.0分4【判断题】星期二和星期三集合的交集是空集。
（）我的答案：√得分：20.0分5【判断题】空集属于任何集合。
（）我的答案：×得分：20.0分集合的划分（三）已完成成绩：100.0分1【单选题】发明直角坐标系的人是（）。
A、牛顿B、伽罗瓦C、笛卡尔D、柯西2【单选题】如果S、M分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S 与M的（）。
A、牛顿积B、笛卡尔积C、莱布尼茨积D、康拓积我的答案：B 得分：25.0分3【判断题】空集是任何集合的子集。
（）我的答案：√得分：25.0分4【判断题】任何集合都是它本身的子集。
（）我的答案：√得分：25.0分集合的划分（四）已完成成绩：100.0分1【单选题】如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（）。
A、x∈aB、x的等价类=a的等价类C、x=aD、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积2【单选题】设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x ∈S|x～a}，称为a确定的（）。
模n剩余类环的零因子图的补图的类数
Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｕｍｂ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｎ，ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｕ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ｅ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｂ ｉ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ， ｌ ｏ ｗｅ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｏ ｆ ｇ ｅ ｎ ｕｓ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｍｅ ｅ ｍｂ ｅ ｄ ｄ ｉ ｎｇ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ，ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｕ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｚ ｅ ｒ ｏ — ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｏ ｒ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｏ ｆ ｒ ｅ ｓ ｉ ｄ ｕ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｎ ｏ ｔ ｍｏ ｒ ｅ ｔ ｈ ａ ｎ ５ ｉ ｆ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｌ ｙ ｉ ｆ ｎ ｅ ｑｕ ａ ｌ ｌ ｅ ｄ ｔ ｏ ６， ８， １ ０， １ ２， １ ４， ｌ ５， １ ６， ｌ ８， ２ ０， ２１， ２ ２， ２ ７， ３３， ３ ５， ５ ５， ７ ７， Ｐ ．Ｔｈ ｅ Ｐ ｍｅ ａ ｎ ｔ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ．Ｔｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ａ — ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｗｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｚ ｅ ｒ ｏ — ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｏ ｒ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｆ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｉ ｄ ｕ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｏ ｎ ｗｅ ｒ ｅ ０， １， ２， ３， ４， ５，
高等代数F[x] 模某个理想的剩余类环
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添加一个多项式的根的扩域
现设 ∂p(x) = n, p(x) = anxn + · · · + a1x = a0. 由于 p(x) 不可约，上 面推论中指出商环 F[x]/(p(x)) 是域. 我们有下面定理. 定理 F 是域，p(x) 是 F[x] 中不可约多项式，∂(p(x)) = n，则
. .. . . ..
F[x] 中的极大理想
推论 F[x]/(f(x)) 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式. 证明 由 § 4 定理 3 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式.
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. .. . . ..
故 ¯x 是 p(x) 的一个根.
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添加一个多项式的根的扩域
(ii) 作映射
F[x] −→φ F(α)
f(x) −→ f(α),
易知这是环同态.ker φ = {f(x) | f(α) = 0}. 因 p(x) 不可约及 p(α) = 0，由 § 2 定理 4 及推论，ker φ 中任一多项式 f(x) 是 p(x) 的倍数. 于是 ker φ = (p(x)). 由环的同态基本定理知 F[x]/(p(x)) = F[x]/ker φ ∼= F(α). 这里虽是环同构，但两者都是域， 故是域同构.
. .. . . ..
F[x] 模某个理想的剩余类环
设 F 是域，§ 4 例 12 中已指出 F[x] 的全部理想都是主理想 (f(x)) = f(x)F[x], f(x) 是 F[x] 中任意多项式. 设 ∂(f(x)) = n，作商环 F[x]/(f(x))，则
无零因子环的刻画及各种环的例子
第31卷 第2期 吉首大学学报(自然科学版)Vol.31 No.2 2010年3月J ournal of J is ho u Uni ver s i t y (Nat ural Sci ence Editio n)Mar.2010 文章编号:100722985(2010)022*******无零因子环的刻画及各种环的例子3陈祥恩(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070)摘 要:总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件.给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.关键词:环;无零因子环;刻画中图分类号:O175 文献标识码:A环是近世代数中的一个很基本的概念,对环的教学也显得尤为重要.根据笔者的教学实践,首先总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件,然后给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.所用术语如无特别说明请参看文献[1].1 无零因子环的刻画设R 是一个环,a 是R 中的一个非零元.如果存在R 中非零元b 使得ab =0,那么称a 为R 的一个左零因子.同理可定义右零因子.如果一个环没有左零因子,那么称它为无零因子环.先给出刻画一个环是无零因子环的若干充要条件.定理1 设R 是一个环.下述几条彼此等价:1)R 中左消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ab =ac ,a ≠0,就有b =c;2)R 是无零因子环;3)R 中没有“既是左零因子又是右零因子”的元;4)R 中没有右零因子;5)R 中右消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ba =ca ,a ≠0,就有b =c;6)R 中任意2个非零元的乘积还是非零元;7)Πa ,b ∈R,一旦ab =0,就有a =0或者b =0.2 各种环的例子图1 各种环的关系先用文氏图给出环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系.如图1所示,方框的内部表示所有环的集合.包含数字2,5,6,7,8的圆的内部表示所有交换环的集合.包含数字4,6,7,8,9,10的圆的内部表示所有含单位元的环的集合.包含数字3,5,7,8,9,10的圆的内部表示所有无零因子环的集合.虚线的内部表示所有除环的集合.3收稿日期:2009211206基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771091);西北师范大学数学与应用数学专业代数课程(校级及省级)教学团队经费资助()作者简介陈祥恩(652),男,甘肃天水人,西北师范大学数学与信息科学学院教授,主要从事代数与图证研究2009-07:19.为了更好地理解环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系,下面给出各种环的例子.用E表示所有能够被2整除的整数所组成的集合,用Z表示整数集.例1 令R1={a bc d|a,b,c,d∈E}.R1关于矩阵的加法、乘法作成环.R1不是交换环,不是有单位元的环,也不是无零因子环.例2 设(Z,+)是整数加群.对Πa,b∈Z,令a.b=0,则(Z,+,.,)是交换环,但不是有单位元的环,也不是无零因子环.例3 令R2={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈E}.R2关于矩阵的加法、乘法作成环.R2不是交换环,不是有单位元的环,但它是无零因子环.例4 设M n(F)表示数域F上全体n(>1)阶方阵所构成的集合.M n(F)关于矩阵的加法、乘法作成环.M n(F)是有单位元的环,但它不是交换环,不是无零因子环.例5 E关于整数的加法、乘法构成一个环.它是交换环、无零因子环,但它不是有单位元的环.例6 设n(>1)是合数,则模n的剩余类环Z n是交换环、有单位元的环,但它不是无零因子环.例7 设整数环Z是整环,但它不是域.例8 设p(>1)是素数,则模p的剩余类环Z p是域.例9 四元数除环是除环,但不是域[1].例10 令R3={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈Z}.R3关于矩阵的加法、乘法作成环.R3是有单位元的环、无零因子环,但它不是交换环,不是除环.参考文献:[1] 张禾瑞.近世代数基础[M].第1版.北京:高等教育出版社,1978.Char acter iza tion f or Rings Without Zer o Divisor andExa mples of V ar ious RingsC H EN X ia ng2en(College of Mathematics a nd Infor mation Science,Nort hwest Normal Univer sity,La nzhou730070,China)Abstract:The equivalence condi tions for charact erizing ri ngs wit hout zero divi sor are summarized a nd t he exa mple s of va rious rings are gi ven i n t hi s paper.K ey w or ds:ri ng;ri ng wit hout zero di vi sor;charact erizat io n(责任编辑 向阳洁) 2吉首大学学报(自然科学版)第31卷。
循环群的例子
循环群的例子循环群是代数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用，如密码学、密码破解、编码理论等。
循环群是一种特殊的群结构，具有很多有趣的性质和特征。
下面我将列举一些循环群的例子，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 整数加法群（Z，+）：这是最简单的循环群，它由所有整数构成，运算为加法。
对于任意整数n，我们可以用加法运算得到n的倍数，即n，2n，3n，……，形成一个循环群。
2. 整数乘法群（Z*，x）：这是整数的乘法运算构成的循环群。
对于任意非零整数n，我们可以用乘法运算得到n的幂，即n，n^2，n^3，……，形成一个循环群。
3. 有限域的乘法群（F*，x）：有限域是一种特殊的代数结构，它由有限个元素构成，并定义了加法和乘法运算。
其中乘法运算构成一个循环群，这个循环群通常被用于密码学中的椭圆曲线加密算法。
4. 复数单位根群（U(n)）：复数单位根是指满足z^n=1的复数z，其中n是一个正整数。
所有满足这个条件的复数构成一个循环群，被称为复数单位根群。
这个循环群在信号处理和图像处理等领域有广泛的应用。
5. 矩阵乘法群（GL(n, R)）：GL(n, R)是n阶可逆矩阵构成的群，其中矩阵乘法是运算。
对于任意可逆矩阵A，我们可以用矩阵乘法得到A的幂，即A，A^2，A^3，……，形成一个循环群。
6. 带余除法群（Z/nZ，+）：带余除法群是由整数模n的剩余类构成的群，其中运算为模n的加法。
对于任意整数m，我们可以用加法运算得到m的倍数模n的剩余类，即[m]，[2m]，[3m]，……，形成一个循环群。
7. 旋转群（SO(2)）：旋转群是二维空间中所有旋转操作构成的群。
其中运算为矩阵乘法。
对于任意角度θ，我们可以用旋转矩阵得到所有绕原点旋转θ的操作，形成一个循环群。
8. 圆周群（S^1）：圆周群是单位圆上所有点构成的群，其中运算为复数乘法。
对于任意角度θ，我们可以用复数乘法得到所有绕原点旋转θ的点，形成一个循环群。
4-5模n剩余类环
2015-5-14
20:47
2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2015-5-14 20:47
例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
,于是 [ a ] 是零因子.
2015-5-14 20:47
(2)若 [a ] 为 Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别4 20:47
定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性
2.1
定义4⑵设G是非空集合，在G上有一个代数运算，叫做乘法，对G的任 意两个元“，乃，其运算的结果称为Q与b的积，记为c = ab, (in果还满足
1.结合律:a(bc) = (ab)c,u,b,c WG.
2.
3.对每个a eG，有beG，使db = ba = e,b称为。的一个逆元.
则称G为一个群.
Keywords:ring；residue class ring；polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization；polynomial ring reducibility・
1
19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群， 环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学 学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著Moderne Algebra(近世代数)⑴。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透 到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。
当群G的运算满足交换律时，成G为交换群，这时也常把其运算记成加法, 并称它是一个加(法)群(注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元 相当于乘法群中的逆元)I2]o
2.1.2
定义⑶一个集合R叫做一个环•假如
1.R是一个加群，换句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一 个交换群；
2.对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；
(
(
这里
,+j=k
这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。山于我们也有
_(a
定义⑸R［x］叫做R上的X的多项式环。
环的定义与性质
定理8：R中非零元如果与n互素，则为可逆元；否则为零因子。 证明：数论中互素的充要条件 （m,n）=1 等价于am+bn=1。
思考题：R 中所有可逆元是否构成一个群？其阶是多少？ （群论的应用中我们讲过）
更一般的，一个含幺环的全体可逆元对乘法构成群，成为环的乘群。
Euler 定理：n 是正整数，（a,n）=1, 则 a φ(n）=1
（4）证明思路：
用归纳法证明a1,a2,...,an 有
n
n
( ai )b j ai2,...,bm 有
于是
m
m
ai (b j ) aib j
j 1
j 1
n
m
n
m
nm
( ai )(b j ) ai (b j ) aib j
i1
j 1
i1 j1
i1 j1
数论中可以用既约剩余系的概念证明，这里我们可以用群的概念证明。
第四节 除环
定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若 １、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子 2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（我们将在下一章详细讨论）
3. 环与子环的单位元
设 S 是 R 的一个子环，当 R 有单位元时，S 不一定有；当 S 有单位元 时，R 不一定有；即使两者都有单位元，此两单位元也不一定相同。
1、考虑 R为整数环<Z,+,·> ，S 为偶数环<2Z,+,·> 。 2、考虑 R为偶数环<2Z,+,·>， S为零环。 3、考虑实数环 R，S为零环，两个环的单位元不同。
剩余类、剩余系、完全剩余系和简化剩余系学习笔记
剩余类、剩余系、完全剩余系和简化剩余系学习笔记经常在⼀些数论题题解中看到剩余类、剩余系、完全剩余系、简化剩余系这⼏个名词，但总感觉⾃⼰对它们的概念理解得不是很深，⽽且还经常混淆，故写篇博客记录下⾃⼰所理解的剩余系相关知识，如有错误，欢迎路过的⼤佬指正。
剩余类（同余类）定义n n r∈[0,n−1]n C r=n∗x+r,x∈Znn=1145,r=14C14=1145x+141145−1131,14,1159性质剩余系定义n n n x x xnn=1145r={11,4,5,14}114514性质完全剩余系（完系）定义n n n n nnn=5{0,1,2,3,4}5{5,1,8,−3,14}5性质n r a∈Z,b∈Z gcd(n,a)=1a∗r i+b (i∈[0,n−1])n证明：命题 1 ：如果r是⼀个模n的剩余系，那r i+b⼀定也构成⼀个模n的完全剩余系。
反证法，若r i+b不构成⼀个模n的完全剩余系，则存在两个元素同余n，即有r x+b≡r y+b(mod n)，同余式两边同时减去b，有r x≡r y(mod n)，与r是⼀个模n的剩余系这⼀前提⽭盾，命题 1 得证。
命题 2：若r是⼀个模n的完全剩余系，对于任意的整数a，若有gcd(a,n)=1，则a∗r i也构成⼀个模n的完全剩余系。
同样是反证法，若结论不成⽴，则有a∗r x≡a∗r y(mod n)，因为gcd(a,n)=1，所以⼀定存在a mod p的逆元inv(a)，同余式两边同时乘以inv(a)，则有r x≡r y(mod n)，与前提⽭盾，命题 2 得证。
这俩个命题都得证，所以a∗r i构成⼀个模n的完全剩余系，a∗r i+b也构成⼀个模n的完全剩余系，故性质得证。
简化剩余系（既约剩余系、缩系）定义nφ(n)n r nφ(n)φ(n)nn=10{1,3,7,9}10n=5{1,8,7,14}5n n性质n r a∈Z gcd(n,a)=1a∗r i n 参考资料国际惯例。
模n的剩余类环的子环
模n 的剩余类环的子环作者：*** 指导老师：***摘要：模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler 函数关系式、Eis emstein 判别法、整数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.关键字：模n 剩余类环的子环 幂等元 理想1 引言环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.2 模n 的剩余类环的子环的性质和运用2.1 基本概念定义 2.1.1 任取正整数n , 令}1,,2,1,0{-=n Z n 则n Z 为n 个剩余类的集合，对任意n Z j i ∈,，规定j i j i +=+，ij j i =⋅，则n Z 关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以n 为模的剩 余类环, 或简称模n 剩余类环.定义 2.1.2 对任意n Z i ∈, 若类i 中有一个整数与n 互素, 则这个类中所有整数均同n 互素, 因此称类i 与n 互素.定义2.1.3 称环n Z 的一个非空子集A 叫做n Z 的一个理想子环, 假如:(i)A a ∈][,A b a A b ∈-⇒∈][][(ii)A a ∈][,A a b b a A b ∈⇒∈]][[],][[][在代数运算中, 我们都知道若0=a ,0=b , 则必有0=ab , 相反若0=ab , 则必有0=a 或0=b 成立,而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有 ：定义 2.1.4 模n 剩余环n Z 中, 如果任意元0][≠a ,0][≠b , 但0][=ab , 那么称][a 为n Z 的一个左零因子,][b 为n Z 的一个右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子都为][a ,称][a 为n Z 的零因子.定义 2.1.5 一个环⋅〉+〈,,n Z 中若有元素e 使得n Z a ∈∀][, 有][]][[]][[a e a a e ==, 那么称元素][e 叫做环⋅〉+〈,,n Z 的单位元，记作1.定义 2.1.6 在环⋅〉+〈,,n Z 中, 如果n Z a ∈∀][, 满足: 任意n Z b ∈∀][, 有1]][[]][[==a b b a , 则称][a 是n Z 中的逆元，且][a 与][b 互逆.定义 2.1.7 设R 为任意一个环,而I 是R 的理想.那么I R /称作R 关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R /中, 每个元素叫作模I 的剩余类.定义2.1.8 模n 剩余环n Z 的乘法群G (当n 为素数,n Z 中的所有非零元作成乘法群, 当n 为合数,n Z 中的所有可逆元作成乘法群)中, 适合a a =2的元素 a 称为环n Z 的一个幂等元.定义 2.1.9 设n Z b a ∈,,若存在n Z q ∈使得q a b =, 则称a 整除b ,记为|a b --,称a 为b 的因数,而称b 为a 的倍数. 否则,称a 不整除b . 2.2 剩余类环n Z 的基本性质定理2.2.1 在模 n 剩余环n Z 中,若][][b a =,则有),2,1,1( --=+=k nk b a . 定理2.2.2在n Z 中,每个元素的n 倍均为零.即]0[][][][][][==++=na a a a a n . 定理2.2.3 设n Z b a ∈,, 则|a b 的充要条件为(,)|a nb . 2.3 剩余类环n Z 的一般性质利用已有的定义和基本性质,可以得出模n 剩余环n Z 的更一般的一些性质.① 模n 剩余环n Z 是交换环.② 在模n 剩余环n Z 中,所有左右零因子都是其零因子.③ 模n 剩余环n Z 是无零因子环的充分必要条件是n 为素数.④ 设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子环(n Z 模大于1),那么加群⋅〉+〈,,n Z 中每一个非零元素的阶必相同.⑤ 模n 剩余环n Z 为整环的充分必要条件是n 为素数.⑥ 对于p Z , (1)p Z 是特征为p 的有单位元的可换环;(2) 环p Z 是域⇔p 为素数.⑦ 模n 剩余类环n Z 的所有子群(对加法)是循环子群. 例：设n Z s ∈,若1),(=n s ,t s =,则1),(=n t .证明: 因为t s = ,故)(|t s n -,从而有整数k 使nk t s =- ,nk t s +=如果1),(>=d n t ,则由上式可知,d 是s 与n 的一个公因数,这与1),(=n s 矛盾.因此 1),(=n t .2.4群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元. 例如}6,4,2,0{1=S 是8Z 的子环，1S 无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，}30{1，=S 与}4,2,0{2=S 都是6Z 的子环，但1S 的单位元是3，2S 的单位元是4，它们都与6S 的单位元1不同.2.5p 是素数的充要条件是模p 的剩余类环Z 是域.它的每个非零元都是可逆元，全体非零元关于环的乘法组成一个1-P 阶的群.由域是整环以及)/(n Z Z n =易证：当p 是素数时，（p ）是整数环的素理想，也是整数环Z 的极大理想，事实上，有Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是素理想⇔)/(p Z 是整环⇔p 是素数，由Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是极大理想⇔)/(p Z 是域⇔p 为素数.另外，由域P Z 的特征数是素数p 且P Z 是一个素数.任意一个素域F 的特征数或者为0或者为素数p ，当为0时，Q F ≅，当为素数p 时，Z F ≅.3 n Z 的子环、域、零环3.1 定义设n 是正整数，p 是素数，n Z 是模n 的剩余类环，S 是n Z 的子环.我们将得到如下结果：（1）设)2(≥=t p n t ，)(||t r p S r<=，则S 是有零因子无单位元的环；（2）设pq n =，p S =||当1),(=q p ，则S 是域，当p q p =),(时，S 是零环.（3）设1)(≠=v u uv n 是合数，u S =||，则S 是有零因子无单位元的环.3.2 命题证明命题3.2.1 当)2(≥=t p n t ，其中p 是素数时，则n Z 的t p 阶)(t r <子环S 是含零因子无单位元的环.证明 n Z 的t p 阶子环})1(,,,0{r t r r t p p p S ---= ，（1)当t r t ≥-22时，0≠=∀-r t p k a ，0≠=-r t lpb 则0=ab ，所以S 是无单位元的零元.（2)当t r t <-22时，取0≠=-r t p a ，02≠=--r t t r p p b ，0==t p ab ，S ∴是有零因子的环下证S 是无单位元的环设S 有单位元r t p t e -=，r t p k a -=∀，1-≤≤t p k l ，有a ea =，即r t r t r t kp p k p l ---=⋅,得到 t r t r t mp kp lkp +=--22r t r rr t kp k mp l k mp lkp --+=⇒+= 取 1=k ，则r t r p p m l -+=11因为r r t r t t t r <-⇒<-⇒<-0222所以r r t p m p 1|-而p 不整除l 故11+-r r t p m p 不整除故l 不是整数，∴S 无单位元.命题3.2.2 若pq n =，p 是素数，q 是大于1的正整数，当1),(=q p 时.n Z 的p 阶子环S 是域；且p Z S ≅；当p q p =),(时，n Z 的p 阶子环S 是零环.证明 n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -=（1）当p q p =),(时，,0,,,,,2121==⇒==∈∀=pd k pd k ab q k b q k a S b a pd q 所以S 是零环.（2）当1),(=q p 时，,,21S q k b q k a ∈==∀若q k k p mpq q k k q k q k 2122121|0⇒=⇒=⋅，只要01≠=q k a 时，21|k p k p ⇒不整除，所以0=ab 有00=⇒≠b a ，即S 是无零因子环，又S 有限，所以S 是域.设lq e =是S 的单位元，则S kq ∈∀，有kq kq lq =⋅即mpq kq lkq +=2，取1=k ，得qp m l 11+=.因为l 为整数，只要适当选取1m 使l 为整数，即可求得单位元. 命题3.2.3 设uv n =，其中u 是合数，1≠v ，则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 因u 是合数，设st u =，n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -= ，取0≠=sv a ，0≠=lv b ，则0=ab ，故S 含有零因子.设S 有单位元lv e =，)11(-≤≤=∀v k kv a ,有a ea =，即k mu lkv kv lkv +=⇒=2kvk mu l +=， （1)设1),(≠=d v u 时，在)(⋅取1=k ，v u m l 11+=，如l 有整数解，即整数方程11=+-xv u m 中x 有整数解，所以方程有整数解的充要条件为1|),(v u ，与假设矛盾，所以无单位元.（2）设1),(=v u ，在)(⋅式中取11>-=u k ，1)1,())1(,(=-=-u u u v u ，vu u u m l k )1(1--+，l 有整数解即为整系数方程1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x ，x 有整数解的充要条件是：1|))1(,(--u v u u .因1),(=v u ，故1))1(,(=-v u u 不整除1-u 与假设矛盾，故S 无单位元.我们还相应的讨论了商环)/()(mn n 在什么条件下是域或是有零因子无单位元的环. 命题3.2.4 设n 是正整数，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(t n n S =（t 是正整数，且2≥t ）是含零因子，无单位元的环.证明 当2=t 时，)/()(2n n S =是有限零环.事实上，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=， 0221==n k k ab当2>t 时，})1(,,,0{1n nn S t -=- 取0≠=n a ，02≠=-n n b t0==t n ab ，所以S 是含零因子的环.设S 有单位元ln =e ，则S kn a ∈=∀,有a ea =，即kn k mn l mn kn lkn kn lkn t t+=⇒+=⇒=-122,取1=k ，nn m l t 111+=-, 因为11|t n m n -，1不整除n ，111+-t n m n 不整除, 所以不存在整数l ，故S 无单位元.命题3.2.5 设n 是正整数，p 是素数，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(pn n S =，当1),(=n p 时是域且p Z S ≅，当p n p =),(时S 是零环.证明 设})1(,2,,0{)/()(n p n n pn n S -== , ① 1),(=n p 时，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=,如果n k k p n k k pn n k k n nk k ab 2122122121||0⇒⇒===,因为1),(=n p ，所以21|k k p ,当01≠=n k a 时，21|k p k p ⇒不整除即0=b ,所以S 是无零以你的环，S 中消去率成立，又S 是有限，所以S 是域.设e 是S 的单位元，p Z a ∈∀，有a 对应于a ,e 即可得S Z p ≅.② p n p =),(时，pd n =，S b a ∈∀,,n k a 1=，02=⇒=ab n k b所以S 是零环.命题 3.2.6 设m n ,是正整数，且m 是合数，1≠n ，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(mn n S =是含零因子无单位元的环. 证明 })1(,,,0{)/()(n m n mn n S -== 是m 阶环.设uv m =，u <1，m v <，取un a =，vn b =，则0=ab所以S 是有零因子的环.设S 有单位元ln =e ，S kn a ∈=∀有a ea =，即tmn kn lkn kn kn +=⇒=⋅2ln所以 kn k tm l /)(+= (*)（1)当1),(≠=d n m 时，在(*)式中取1-=m k ，n m m t l k )1/()]1([--+=)1(|)1(-+-m m t n m k ，即找到正整数x 使得1)1(-=--m m t nx m k ，x 有整数解的充要条件是1|),)1((--m m n m ，而1),1(),)1((=-=-m m m n m 与假设矛盾，所以S 无单位元.4 模n 的剩余类环n Z ，对幂等元的存在4.1 设n Z 是一个模n 的剩余类环，考察n Z 中的乘法群G （当n 为素数，n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数则有n Z 中可逆的元作成乘法群），我们首先定义如下.定义：群G 中适合2g =g 的元素g 称为环n Z 的一个幂等元由定义可知群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元，且显然有 ===32e e e 反之，若g 是环n Z 的一个幂等元，则g 必是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.在一个低阶的模n 的剩余类环，例如18Z 中，不难通过测试的方法确定其幂等元；一般地，在模n 的剩余类环n Z 中则可如下考虑.设e 施环n Z 中的一个幂等元，那么，我们有)(mod e 2n e ≡（1） 因而 )(mod 0)1(e n e ≡- （2）即e 和1-e 是互素的、相邻的整数；且若n 为整数，有）（或n mod 10e ≡，若n 为合数，不妨设n=21n n ，不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（即e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位元），e 或1-e 将分别是n 的因子21n n 和的倍数；此时可考虑取该因子的倍数判断是否为环的幂等元.例如，设9218⨯==n ，于是在18Z 中若是取9=e ，则首先我们有9（9-1）≡0)(mod n 或者）（n mod 992≡即9=e 是18Z 中的一个幂等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯，则可推算出163-6479-88==⨯⨯并得到适合（2）式得两个相邻整数64和63，于是由）（modn 1064≡，）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.对于上述18Z 中的两个幂等元9和10，容易看出它们还具有如下有趣的性质：10+9≡1（18mod ），10⨯9≡0(18mod )因而，我们有如下4.2 命题：设R 是一个有单位元的环，e 是R 的非零非单位元的幂等元，则e f -=1也是R 的幂等元，且具有性质：0,1==+ef f e .证明 事实上，由e-112121e -122=-=+-=+-=f e e e e e 即）（是R 的一个幂等元；又 1)1(=-+=+e e f e ，0)1(2=-=-=e e e e ef .于是命题得证.运用该命题，我们已经可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另一个幂等元f例：已知r =13是26Z 的一个幂等元,则由F=1-e=1-13=-12=14(mod n))(mod 14121311n e f ≡-=-=-=故f =14也是26Z 的一个幂等元由命题，我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系的如下结果：设n=21n n ,且幂等元e 是1n 或其倍数，则n Z 中每一个元素k 均可表为n Z 中幂等元e 和f 的唯一组合：)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡ （**）其中幂等元e 的系数)(m od 2n k x ≡,而幂等元f 的系数)(m od 1n k y ≡,例如：在上述26Z 中，n =26=13⨯2,幂等元e 为13；任取k =17,则由（**）有)26(mod 000f e +≡)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f e)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e其中)2(mod 117≡≡x ，而)13(mod 417≡≡y .以上讨论了模n 的剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法，那么，对于给定的一个整数ε，ε可以是哪一个模n 的剩余类环n Z 的幂等元呢？若要ε为n Z 的幂等元，则应有：)1(|)(m od 0)1()(m od 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n于是对于给定的一个整数ε，取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群，为此，对于ε,令)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R （4）则 (1)Zn 中以，幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊂；(2)R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同的单位元的ε的有逆元的元.为此，令： },|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使,则()G R 是一个满足要求的、由R 的可逆元作成、包含幂等元ε的乘法群.例： 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子，不妨设n =30，则显然有)30(mod 25252≡，而由（4）式得： )30}(mod 25,20,15,10,5,0{}25)130(,),25(2),25(1,0{=-= R不难判断R 中关于单位元ε=25的可逆元为5,25，因此)30}(m od 25,5{)(30=Z G为所求30Z 中包含幂等元ε=25的乘法群.至此，上述对于模n 的剩余类环n Z 及其乘法群的一些讨论，阐述了群与环的部分关系;有群的单位元导出了幂等元，并给出了如何在n Z 中去确定幂等元；反之，对于给定的一个整数，也可以确定以其为幂等元的换n Z 及其所构成的乘法群.5 模n 剩余类环n Z 的理想结论： 模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.证明： 对循环子群(对加法), ][i ∀,根据理想的定义,])([][],[,][i c b Z a n ∈∈∀有1) ])([][][][i c b c b ∈-=-;2) ])([][][][][]][[i b b b ab b a a∈++==,同理])([]][[i a b ∈; 所以])([i 做为一个理想,显然])([i 是主理想.由定理上叙定理的证明过程可以看出:所有循环子群(对加法)加上乘法都是模n 剩余类环n Z 的主理想.定理5.1 环n Z 有且只有T (n )个子环(其中T (n )表示n 的正因子的个数), 而且n Z 是一个n 阶循环环,从而其子加群、子环、理想是一致的.定理5.2 设n Z 是模n 剩余类环,则（1）若n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.证明 (1) 显然成立.（2）由上述定理6知n Z 是域充分必要条件是n 为素数. 因此只须证明(n )是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.由于n Z 是有单位元的交换环, 设主理想}|{)(Z k nk n ∈=.若(n )为极大理想,如果n 不是素数,则必有,1,2121n n n n n n <<=,于是)(1n n ∈,但)(1n n ∉,)(1n 是n Z 的真包含(n )的理想.由(n )为极大理想知n Z n =)(1.但)(11n ∉矛盾,所以n 是素数.反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n ≠⊆⊆)(,)(, 则存在0),(,a n n a A a ⊥∉∈. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素.于是存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=,1因为Z n n ≠±≠)(,1, 所以( n )是极大理想在模n 剩余类加群）（+,n Z 及其子群中，0是单位元（有时也称零元），a 的逆元是a -.但在模n 剩余类环）（⋅+,,n Z 中，0必称零元，a的负元记作1-a .又知“a 是n Z 的可逆元⇔1,a =）（n ”，“a 是n Z 的零因子⇔n ,a 1,a ≠≠）且（）（n n （注意这里2≥n ）. 6 剩余类环的应用本节将利剩余类环对Euler 函数关系式、Eisenstein 判别法、整系数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.定理 6.1 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数当1),(=n m 时,有)()()(n m mn ϕϕϕ=.证 1),(=n m 时))/(())/(())/((n Z U m Z U mn Z U ⨯=,而 )())/((mn mn Z U ϕ=, )())/((n n Z U ϕ=, )())/((m n Z U ϕ=,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.定理6.2 (Eisenstein 判别法):设011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,如果有一个质数p ,使得p 满足条件:i) P 不整除n a ;ii) P|i a (1,1,0-=n i );iii) 2p 不整除0a ,那么)(x f 在][x Z 中不可约.证 首先令])[/()(0x p Z x a x f n i ii ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.现反设f 在][x Z 中可约gh f =,其中0111b x b x b x b g t t t t ++++=-- .0111c x c x c x c h m m m m ++++=-- ,n t m <,n t m =+.于是h g f =,另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=-- .因p |i a (10-≤≤n i )p 不整除n a ,故n n x a f =,于是有t x g α=,m x h β=，这说明g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b 且p |0c ,所以2p |000a c b =,这与2p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.定理6.3 (整系数多项式无整数根):设011)(a x a x a x f k k +++= 是整系数多项式, 且0a 及∑=k i i a0都是奇数,则)(x f 无整数根.证 令∑=∈=k i i ix Z x a x f 0])[2/()(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,反设)(x f 有一整数根n .而0=n 或1=n ,若0=n ,则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f ,故2|∑=ki k a 0,矛盾.故反设不成立,即)(x f 无整数根.定理6.4 (Euler 定理) 设n 是大于1的整数,1),(=n a ,则)(m od 1)(n a x ≡ϕ.证 因1),(=n a ,又,))/((n Z U a ∈a-∈U(Z/(n)),但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ,所以)(m od 1)(n a n ≡ϕ).定理6.5 (Fermat 小定理) 若p 是质数,则)(mod p a a p ≡.证 若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ,即得)(mod 11p a p ≡-,因而)(mod p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.下面从代数的角度观察完全及简化剩余性质.定理6.6 设110,,,,1),(-=n a a a n a 为模n 的完全剩余系,则110,,,-n aa aa aa 也是 模n 的完全剩余系.证 由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =- ,而从1),(=n a 得a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =- ,从而110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.定理 6.7 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕ 为模n 的简化剩余系,则1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 也是模n 的简化剩余系.证 由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕ ,又因1),(=n a ,得知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕ ,从而1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 是模n 的简化剩余系.结束语模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证.模n 剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n 的所有因子作为生成元生成的(或者由n 与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n 的欧拉数.使我们得以迅速求解其子环和理想.且当n 是素数时，模n 剩余类环只有零理想和单位理想.参考文献[1] 朱德高. 关于模n 剩余类环[J]. 高等函授学报(自然科学版), 1996,(02) .[2] 唐再良. 论模n 剩余类环Z_n 的性质与扩张[J]. 绵阳师范学院学报, 2008,(08) .[3] 陈水林. Z/(n)模n 剩余类环的构造[J]. 咸宁师专学报, 1994,(04) .[4] 单桂华,张琴,叶涛. 模n 的剩余类Z/(n)的几点应用[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 1999,(S1) .[5] 杨树生. 模n 的剩余类加群(Z_n,+)及模n 剩余类环(Z_n,+,·)的若干性质[J]. 河套大学学报, 2004,(01) .[6] 李晓毅,黄凤琴. 循环群中剩余类加群的讨论[J]. 沈阳师范大学学报(自然科学版), 2003,(03) .[7] 李伯葓. 模n 的剩余类环的子环[J]. 南京师大学报(自然科学版), 1992,(03) .[8] 韩清,胡永忠. 剩余类环上的二阶可逆矩阵[J]. 佛山科学技术学院学报(自然科学版), 2002,(01) .[9] 陈欣,李保红. 模n 剩余类环中元素的周期分布规律[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2000,(01) .Modulo n residual class ring of the ringAuthor: *** Tutor: ***Abstract:Modulo n residual class ring is a relatively thorough special ring, modulo n residual class ring is a finite commutative ring, domain and domain provides a wealth of examples, residue class ring on Euler function type, Eisemstein discriminant method, no integer root integer polynomial, Euler theorem and Fermat theorem and number theory the classical results are given purely algebraic proof. And from the algebra view known to simplify surplus system completely and some properties of.Keywords: Modulo n residual class ring sub-ring ideal idempotent element.。
模n剩余类环
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2020/7/10
08:42
例 1 Z12
解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
直接计算可知,相应的逆元为
[1]1 [1],[5]1 [5],[7]1 [7],[11]1 [11]
为其一同态满射，则在之下单位元的象是单位元，
～
即1 1，从而对任意的整数x有
~
~～
：x x 特别有0＝m m 0.故n m
2020/7/10
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定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环. 注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构.
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
2020/7/10
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定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于 整数b，是指
m∣a－b, 并写a≡b (mod m).
整数模m同余类共有m个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
后证明分配律成立
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2. 剩余类环的性质
定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则
(1) [a] 为 Zm 的零因子 (a, m) 1 (2) [a] 为Zm 的可逆元 (a, m) 1
关于模n的剩余类环zn的注记
关于模n的剩余类环zn的注记
模n的剩余类环是数论中的重要概念，它在许多数学方面都有十分广泛的应用。
模n的剩余类环（简称zn）是一组相互不等的、分布在（0，n-1）的元素的集合，它是以模n的同余定义的，即一个数有表示如下：rn=a（mod n），其中a∈z（所有整数），r 是模n的剩余类环zn中的元素。
zn是一个环，具有加法和乘法的运算，也就是说，它是一个乘法群和一个加法群，满足群中元素的乘法、加法的结果也仍然是该群中的元素，而且对每一个元素都存在幺元，例如有幺元1，幺元0，相应的有加法逆元，乘法逆元，最后的结果就是依然是该zn环中的元素。
模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它经常被用于求解数论中的一些难题，例如质因数分解，以及求解符号问题等，它也被用于做密码学算法，如椭圆曲线加密等。
另外，zn
也经常用于信号与系统理论中的一些应用中，例如滤波器设计、调制和解夫尔解调等。
由于模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它也一直是数论中重要的研究课题。
因此，在近年来，学者们从不同的角度在探索和研究zn的性质，做出了大量的成果，丰富了zn的理论研究，也为实际应用提供了极大的便利。
《费马小定理和欧拉定理》完整版 人教版1
A.5 B.6 C.4 D.2
5、设p，q是两个不同的素数，证明： pq 1 qp 1 1 (mod pq).
证明： 由费马定理：
qp 1 1 (mod p)， pq 1 1 (mod q)
pq 1 qp 1 1 (mod p) pq 1 qp 1 1 (mod q) 故 pq 1 qp 1 1 (mod pq).
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9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
6、将612 1分解成素因数之积.
解：
612 1 = (63 1)( 63 1)( 66 1) =5*43*7*31*46657
对于46657，它的素因数必为12k 1型， 经检验的46657 = 13*37*97 故612 1 = 5*7*13*31*37*43*97.
7、证明：对于任意的整数a，(a, 561) = 1，都 有a560 1 (mod 561)，但561是合数.
课堂小结
1、费马小定理
设m为素数， a为任意整数，且（a，m）
则am -1 ≡1m odm.
2、欧拉定理 设m为正整数，ɑ为任意整数，且（ɑ，m ）
=1，则 am 1mod m,其中(m) 表示1，
2，…， m中与m互素的正整数的个数.
针对性练习
一、 设a，b，c，m是正整数，m > 1， (b, m)
列(5)中的不超过 122921 < 351
模n剩余类等价关系
模n剩余类等价关系
一,定义:
等价关系决定了 A 的一个分类。
这样得来的类叫做模 n 的剩余类。
在一个集合 A 里,固定 n(n 可以是任何形式),规定 A 元间的一个关系 R,aRb,当而且只当 n|a-b 的时候这里,符号 n|a-b 表示 n 能整除 a-b。
这显然是一个等价关系。
这个等价关系普通叫做模n 的同余关系,并且用a ≡ b(n)来表示(读成 a 同余 b 模 n)。
这个二,我们规定 A 的一个代数运算,叫做加法,并用普通表示加法的符号来表示。
我们用[a]来表示 a 所在的剩余类。
规定:[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道,对于这个加法来说,A 作成一个群。
叫做模 n 剩余类加群。
这样得到的剩余类加群是循环群,并且[1]是其生成元,[0]是其单位元。
三,我们再规定 A 的另一个代数运算,叫做乘法,并且规定:[a][b]=[ab];根据环的定义我们知道,对于加法和乘法来说,A 作成一个环。
叫做模 n 剩余类环。
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2015-5-14 20:47
2015-5-14
20:47
ab,
但[a][b] [ab] [0], Z m 为有零因子环.
2015-5-14
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推论
Z m 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
2015-5-14
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例2 Z5是域，Z6不是域. 定理3 设m,n是两个正整数,则Zm～Zn当且仅当 n∣m 证：令
～ Z m {0,1, m 1}, Z n {0,1, n 1 }, 并设Zm～Z n且
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2015-5-14 20:47
例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
2015-5-14
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定义 1 （同余）整数 a 关于模正整数 m 同余于 整数b，是指 m∣a－b, 并写a≡b (mod m). 整数模 m 同余类共有 m 个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
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定义2：模 m 的剩余类环Ｒ＝｛模 m的剩余类｝，规定 R 中的加法和乘法如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与 代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R关于加法 是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然 后证明分配律成立
反之,如果
Z m 的零因子,则存在 [b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
证：(1)若 [a] 为
( a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a ,所以 [m1 ][a] [m1a] [0] ,但 [m1 ] [0]
,于是 [ a ] 是Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
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2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
2015-5-14 20:47
(4) 各子环特征:
定理2
Z m 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0] ，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Z m 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别有0＝m m 0 .故n m
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定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
直接计算可知,相应的逆元为
1 1 1
[1] [1],[5] [5],[7] [7],[11] [11]
(3) 全部子环:
1
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6]) char (([0])) 1, char (([1])) 12, char (([2])) 6, char (([3])) 4, char (([4])) 3, char (([6])) 2.