山西省原平市范亭中学2020-2021学年高二4月月考数学(理)试题

\
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
20．设
（1）函数 的单调区间;
（2）当 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.
21．设函数 ，其中
（1）讨论 在其定义域上的单调性；
（2）当 时，求 取得最大值和最小值时的 的值.
22．设函数
（Ⅰ）若a= ，求 的单调区间；
（Ⅱ）若当 ≥0时 ≥0，求a的取值范围
3．定积分 （ ）
A． B．6
C． D．3
4．函数 的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的最大值（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线 的离心率为（ ）
A．2B． C． D．
7．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
本题主要考查双曲线的标准方程和离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．A
【解析】
f′(x)＝ x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.
8．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ．
又 ，所以 为 的极小值点．
考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．
点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．
9．D
【分析】
先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.
【详解】
由题得函数的图像如图所示，
联立 得交点（1,1）
所以叶形图面积为 .
故选D
【点睛】
本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
A． B．
C． D．
12．已知定义在实数集 上的函数 满足 且 导数 在 上恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． _____.
14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为______．
15．已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .
【详解】
∵ ，∴ 在区间 上为增函数，
∴ 的最大值为 ．故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值问题，若函数在闭区间上是增函数，则函数的最大值在区间的后端点处取得
6．A
【解析】
【分析】
先求出双曲线的a和c，即得双曲线的离心率.
【详解】
由题得a=1,c= ,
所以双曲线的离心率为 .
故选：A
【点睛】
参考答案
1．A
【分析】
根据集合的交集与补集运算即可求解．
【详解】
由 ， ，所以 ，
又 ，所以
故选A
【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
2．CLeabharlann 【解析】【分析】先求导得 ，再求 得解.
【详解】
由题得 .
所以 在 处的导数为2.
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
不等式 的解集 （1）的解集，
即 （1），又 为减函数，
，即 ．
故选 ．
【点睛】
本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．
山西省原平市范亭中学2020-2021学年高二4月月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2． 在 处的导数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不对
10．A
【解析】
【分析】
利用题意首先确定函数的单调性，然后结合导函数研究函数的最值即可求得最终结果．
【详解】
是奇函数， 时， 的最小值为1，
在 上的最大值为 ，
当 时， ，
令 得 ，又 ， ，
令 ，则 ， 在 上递增；
令 ，则 ， 在 上递减，
， ，得 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，导函数研究函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
16．若函数 在定义域内的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围______.
三、解答题
17．求下列函数的导数
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
18．已知曲线 求:
（1）曲线在点 处的切线方程
（2）曲线过点 的切线方程
19．如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 分别为 的中点，侧面 底面 ，且 ．
则减区间为（﹣1，1）．
故选：Ａ．
【点睛】
本题考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的单调区间，考查解方程的运算能力，属于中档题．
12．A
【分析】
构造函数 ， ，从而可得 的单调性，结合 （1） ，可求得 （1） ，然后求出不等式的解集即可．
【详解】
令 ，
， ，
为减函数，
又 （1） ，
（1） （1） ，
3．A
【解析】
试题分析： .
考点：定积分的计算.
4．C
【解析】
【分析】
先求 ，再解不等式 得函数的单调递增区间.
【详解】
由题得 ，
解不等式 ，
所以 .
所以函数的单调增区间为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的单调区间的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．C
【分析】
根据导数判断函数的单调性，得到函数在区间上递增，从而求出函数的最大值
11．A
【解析】
【分析】
根据函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．
【详解】
令f′（x）=3x2﹣3a=0，得x=± ，
令f′（x）＞0得x＞ 或x＜﹣ ；令f′（x）＜0得﹣ ＜x＜ ．
即x=﹣ 取极大，x= 取极小．
∵函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，
∴f（ ）=2，f（﹣ ）=6，
即a ﹣3a +b=2且﹣a +3a +b=6，
得a=1，b=4，
则f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．
8．设函数 ，则（）
A． 为 的极大值点B． 为 的极小值点
C． 为 的极大值点D． 为 的极小值点
9．已知曲线 和曲线 围成一个叶形图；则其面积为 （ ）
A．1B． C． D．
10．已知 是奇函数，当 时， 当 时， 的最小值为1，则 的值（ ）
A．1B．2C．3D．
11．若函数 的极大值为6，极小值为2，则 的单调递减区间是（ ）