分式方程应用行程问题
分式方程的运用(行程问题)
解：设江水的流速是x千米/小时，那么， 轮船顺流航行的速度为(20+x)千米/小时， 轮船逆流航行的速度为(20-x)千米/小时，
100 顺流路程 顺流航速 20+x
逆流路程 60 逆流航速 20-x
x=5 经检验，x=5为原方程的根。 解得： 答：江水的流速是5千米/小时。
举一 反三
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间 逆水中航行60千米所需的时间 间和逆水中航行60千米所需的时间 相同。已知水流的速度是3千米/小 时，求轮船在静水中的速度。 解：设轮船在静水中的速度为x 千米/小时，则 轮船在顺水中航行的速度为(x+3)千米/小时 轮船在逆水中航行的速度为(x-3)千米/ 速度=路程÷时间
=
×
例：一艘轮船在静水中的航速为20千 例题1 它沿江顺流航行100千米所 米/小时，它沿江顺流航行100千米所 用的时间，与逆流航行60千米所用的 时间相等 时间相等，问：江水的流速是多少？ 顺流航行100 逆流航行60 解：设江水 的流速为x 千米所用的时 千米所用的 千米/小时。 间 时间
度为x千米/小时。 s s 50 等量关系：时间相等 x vx 行程 思考：这是____问题 路程km 提速前 提速后 速度km/h 时间h
s 50 xv
s x
s
s 50
x xv
甲乙两地相距150千米，两车同时 例题3 大车比小车晚到 从甲地开往乙地，大车比小车晚到 5/4小时 5/4小时，若大车与小车的速度比 为2:3，求两车的速度。 解：设大车的速度为 2xkm/h， 则， 小车的速度为 3xkm/h。 路程km 速度km/h 大车 小车 150 150 2x 3x 时间 h
150 2x 150 3x
分式方程的应用行程问题
行程问题1.新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙.已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？解：设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，由题意，得200 x −2001.2x=2060，解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则1.2x=120．kk答：大货车的速度为100km/ℎ，小轿车的速度为120km/ℎ．【解析】设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，根据时间关系列出方程，解方程即可．本题考查了分式方程分应用、分式方程的解法；根据时间关系列出方程是解决问题的关键．2.徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【答案】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：700t −7001.4t=80，解得：t=2.5，经检验，t=2.5是原分式方程的解，且符合题意，∴1.4t=3.5．答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据平均速度=路程÷时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3.列方程解应用题八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，由题意得，10x −102x=13，解得：x=15．经检验：x=15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/ℎ．【解析】设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则汽车的速度为2xkm/ℎ，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．4.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁.已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米.如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，求高铁的平均速度是多少千米/时？【答案】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：520 x −4002.5x=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时．【解析】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，列出分式方程，然后求解即可．此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．5.一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据题意得：180x −1801.5x=4060，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度．【答案】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意得：3250.4x −325x=1.5，解得：x=325，经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，则高铁的速度是325千米/小时．【解析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．7.一艘轮船在静水中的最大航速为32km/ℎ，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？【答案】解：设江水的流速为Vkm/ℎ，根据题意可得：9632+V =6432−v，解得：V=6.4，经检验：V=6.4是原分式方程的解，答：江水的流速为6.4km/ℎ．【解析】设江水的流速为Vkm/ℎ，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速−水流速.根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行64千米所用时间相等，列方程求解．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.航行问题常用的等量关系为：逆水速度=静水速度−水流速度，顺水路程=静水速度+水流速度．8.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/ℎ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．【答案】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：6002x +45=480x，解得x=4经检验，x=4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【解析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度=客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.根据速度=路程÷时间列出相关的等式，解答即可．9.小明的家距离学校1600米，一天小明从家里出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上了他，已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度．【答案】解：设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据题意得：1600x =16002x+10，解得x=80，经检验，x=80是原方程的根．答：小明的速度是80米/分．【解析】设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据时间=路程÷速度结合爸爸比小明少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10.一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【答案】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：240 x =1+240−x54x+2460，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．【解析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键．。
分式方程的应用——行程问题
安县沙汀实验中学八年级下数学导学案之十六——分式方程的应用
知识点一：行程问题的应用题
例1：A、B两地相距40千米，甲从A地到B地，如果走的速度为x千米/时，那么需要走小时；如果速度加快2千米/时，那么需要走小时，这样可以比原来
少用小时，如果比原来少用1小时，那么列方程为
例2：、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
例3：从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？（解含字母系数的方程）
对应练习：
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。
课堂过关测试
1、甲、乙两人分别从距目的6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，
结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度。
2、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1、5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度。
3、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解：设规定日期为x天，根据题意，得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题？
2. 在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ；
回顾复习
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ 轮船速度+水流速度 ，
逆水速度＝ 轮船速度-水流速度 ；
(5)利润问题：基本公式： 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
分式方程应用行程问题
， 我们共同分享
分式方程应用（行程问题）
你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.
随时小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.
两次检验是:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .
1、A，B两地相距60km，甲骑自行车从A 地出发到B地，出发1h后，乙骑摩托车从 A• 地到B地，结果甲与乙同时到达B地，已 知乙的速度是甲的3倍，求甲，乙二人的 速度．
4、A，B两地相距60km，甲乙同时从A• 地到B地，Байду номын сангаас出发1小时后，乙回到A地 取东西后立即返回去B地，结果二人同 时到达B地，已知乙的速度是甲的3倍， 求甲，乙二人的速度．
三、归纳整理 列方程解应用题的主要步骤 列方程解应用题的两步检验
畅所欲言
说说这节课你学到的， 感受到的
2、A，B两地相距60km，甲骑自行车从
A地出发到B地，出发1h后，乙骑摩托车 从A• 地到B地，结果甲与乙同时到达B地， 已知乙每小时比甲多走20千米， 求甲，乙二人的速度．
3、A，B两地相距60km，甲骑自行
车从A地出发到B地，出发0.5h后， 乙骑摩托车从A• 地到B地，且乙比甲 早到0.5h，已知乙的速度是甲的3倍， 求甲，乙二人的速度．
分式方程应用题-已整理
23、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。
2、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
3、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？
4、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
5、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在时间缩短了2小时，求原来的平均速度
6、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。5倍，求慢车的速度
三．利润（成本、产量、价格、合格）问题
14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
15、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？
7、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
5.4 分式方程的应用——行程问题
题型剖析
一、顺逆流问题
例2 一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已
知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水
中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4.
知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
练一练
3. A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出 发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车， 小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公 共汽车早到40分钟到达B地.求两种车的速度.
四、耽搁问题 例4 某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点 毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他 将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、 B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
练一练 4.一列火车从车站开出，预计行程为450千米， 当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站， 因此耽误30分钟，后来把速度提高了20％，结 果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。
48 48 9 x4 x4
二、同时不同地 例2 哥哥和弟弟100米赛跑，弟弟在哥哥前面20米， 他们同时出发也同时到达终点，已知哥哥比弟弟快
0.3m/s，他们的速度分别为多少m/s？
三行
分式方程的应用(行程、问题)
将求得的未知数的值代入原分式方程进行检 验，确保解是合理的。
换元法
设定新变量
根据分式方程的特点，设定一个新变量代替原方 程中的某个部分，从而简化方程。
解新方程
解这个关于新变量的整式方程，得到新变量的值 。
建立新方程
用新变量表示原方程，得到一个关于新变量的整 式方程。
回代求解
将求得的新变量的值代回原方程，求出未知数的 值。
抛体运动中的射程和射高计算
在抛体运动中，物体的射程和射高与初速度、抛射角等因素有关。通过设立分式 方程，可以求出物体在抛体运动中的射程、射高以及其他相关信息。
03
工程问题中的分式方程
工作效率问题
工作总量与工作时间的关系
通过设定工作总量为单位“1”，根据工作效率的定义建立分式 方程，求解工作时间或工作效率。
01
02
03
04
观察法
通过观察分式方程的特点和结 构，直接找出方程的解或简化
方程的求解过程。
合并同类项法
将分式方程中的同类项进行合 并，从而简化方程的求解过程
。
分离常数法
将分式方程中的常数项分离出 来，得到一个更简单的分式方
程进行求解。
利用已知条件法
根据题目给出的已知条件，直 接代入分式方程进行求同的地点出发，以不同的速度 相对而行，最终在某一点相遇。通过设立分式方程，可以求出相 遇的时间、地点等关键信息。在追及问题中，一个物体追赶另一 个物体，通过设立分式方程可以求出追及的时间、距离等。
变速直线运动中的分式方程
平均速度的计算
在变速直线运动中，物体的速度会发生变化。通过设立分式方程，可以求出物 体在某段时间内的平均速度，进而计算出路程等其他相关信息。
分式方程行程问题公式
分式方程行程问题公式
分式方程是数学中一种含有分式的方程，行程问题是指涉及到时间、速度和距离的问题。
我们可以通过一个实例来演示分式方程在行程问题中的应用。
假设小明和小红同时从相同的起点出发，小明以每小时10公里的速度向东行驶，小红以每小时8公里的速度向西行驶。
我们需要求他们相遇所需的时间。
设小明和小红相遇所需的时间为t小时。
根据行程问题的描述，小明从起点出发后行驶的路程可以表示为：10t公里，而小红从起点出发后的行驶路程可以表示为：8t公里。
因为他们在相同时间相遇，根据分式方程的概念，我们可以设置以下等式：10t = 8t
接下来，我们可以解这个方程：
10t - 8t = 0 （将8t移到等号右边，得到10t - 8t = 0）
2t = 0 （化简方程，得到2t = 0）
t = 0 （将2t除以2，得到t = 0）
根据方程的解，我们可以得出结论：小明和小红相遇所需的时间为0小时，即他们从起点出发时已经相遇。
通过这个例子，我们展示了如何利用分式方程解决行程问题中的公式，我们设置了方程10t = 8t，并通过对方程进行化简和求解得出结果。
在实际问题中，我们可以根据给定的条件并使用类似的方法来解决行程问题。
分式方程——行程问题
分式方程——行程问题1、 某次列车平均提速v k m ／h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？【变式1】八年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。
已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。
【变式2】赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式。
已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多95小时。
求自驾车速度和自行车速度各是多少？【变式3】某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20﹪，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
【变式4】A、B两地相距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。
【变式5】甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达目的地。
求甲、乙的速度。
【变式6】某学校组织七、八年级的学生到离校15千米的植物园春游，两个年级的学生同时出发，八年级的学生的速度是七年级学生速度的1.2倍，结果八年级学生比七年级学生早到半小时，求七年级学生的速度。
【变式7】甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度。
【变式8】某客车从甲地到乙地走全长480km的高速公路，从乙地到甲地走全长600km的普通公路。
又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
分式方程——行程问题
分式方程：行程问题题型一、利用路程、速度、时间关系列方程1、核酸检测时采集的样本必须在4小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效，A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km,A、B两个采样点的送检车有如下信息：信息一:B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.2倍：信息二:A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时.设A采样点送检车的平均速度是Xkm∕h,若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，请问B采样点采集的样本会不会失效？2、21印度尼西亚雅万高铁起自首都雅加达，终至旅游名城万隆，全长约线144公里，比雅加达至万隆的普通铁路短36公里，全线采用中国技术、中国标准，是“一带一路”建设的标志性项目.已知高铁平均速度是普通列车平均速度的4倍，高铁比普通列车快2小时15分钟.⑴那么高铁与普通列车的平均速度分别为多少？3.为了充分保护乘客的安全，从2011年8月16日起，部分高铁实行了不同程度降速.京沪高铁全长1400千米，平均速度降50千米每小时，行驶的时间比原来增加了40分钟，求京沪高铁降速后的速度4、甲、乙两车站相距450km,一列货车从甲车站开出3h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30min,后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度.5、交通是经济的脉络和文明的纽带，截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷，据悉，甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度6、某年4月中旬后，广深铁路高速列车提速25%,提速后乘客从广州坐火车到深圳将缩短15min.广州、深圳两市距离150km.求提速前的列车速度7、A1B两地之间的距离为18Okm,一辆汽车从A地去往B地，出发1小时后，汽车出现故障，停车修理时间为40分钟，若想要按照原计划时间到达B地，汽车速度需提高到原来的1.5倍，求汽车原来的速度是多少？8、甲乙两地间的一条公路全长为150千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时,结果小汽车与公共汽车同时到达乙地，已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度，9、在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐，元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍.⑴若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？⑵粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？10、小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同第一天步行去上班结果迟到了5分钟,第二天骑自行车去上班结果早到10分钟已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍.⑴求小李步行的速度和骑自行车的速度：⑵有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障，小李立即跑步去上班(耽误时间忽略不计)为了至少提前3分钟到达则跑步的速度至少为多少千米每小时？11、小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km,线路二全程90km,汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时.(1)小东走线路一的平均速度是多少km/h;(2)当小东从线路一出发半小时后，邻居小北沿着路线二去同一旅游地旅行，小北至少以多少km/h的平均速度才能赶在小东前到达目的地(与小东一起到达最好).12、用电脑程序控制小型赛车进行50米比赛，“畅想号”和"和谐号”两辆赛车进入了决赛.比赛前的练习中，“畅想号”从起点出发8秒后，“和谐号”才从起点出发结果“和谐号”迟到2秒到达终点.已知“和谐号"是“畅想号”的平均速度的2.5倍“畅想号”的平均速度是多少？13、李丰跟随爸爸开车前往距离出发点240km的韶关老家，出发1小时内按原计划匀速行驶，之后速度提高至原来速度的1.5倍，最后比原计划提前60分钟到达韶关老家，求李丰爸爸开车出发1小时后的行驶速度14、列方程解应用题:甲、乙两地相距19千米某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍求步行的速度和骑自行车的速度.15、甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园.已知甲同学的速度是乙同学速度的2倍，甲同学在路上因事耽搁了30分钟结果两人同时到达公园.问:甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？16、已知A、B两地相距240千米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，甲比乙早出发3小时，两人同时到达目的地，已知乙的速度是甲的速度的2倍⑴甲每小时走多少千米？⑵求甲乙相遇时乙走的路程17、小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同，第一天步行去上班结果迟到了5分钟第二天骑自行车去上班结果早到10分钟已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍∙(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度:(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障，小李立即跑步去上班(耽误时间忽略不计)为了至少提前5分钟到达。
分式方程应用行程问题
（行程问题）
1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。
它们的关系是：
路程
路程= 速度×时间 ；速度= 时间
路程
；时间= 速度 .
基 (1)础小练汽习车：的速度为x千米/时，则15分钟能行驶__14__x_千_米__
(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时， 则乘坐该客车从甲地到乙地需___3_0x_0_小__时_.
思考：这是_行_程__问题，三个量
为___路_程__、__速_度__、_时__间______
等量关系：
骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
1 3
小时
路程km 速度km/h 时间h
骑自行车者 10
10
x
x
乘汽车者 10
2x
10
2x
以下是解题格式
解：
等量关系： 骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
1 3
小时
设骑车同学的速度为x 千米/时，由题意，得
路程
km
骑自行 车者
10
乘汽车 者
10
速度 km/h
x
2x
时间h
10 x 10 2x
10 10 1 x 2x 3
在方程两边都乘以2x得:
60-30=2x 解得x=15
检验：当x=15时，2x≠0
∴ x=15是原方程的根 答：骑车同学的速度为15千米/时。
小水管2倍的大水管注水,向容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自的注水速度。 （提示：要考虑大水管的进水速
度是小水管进水速度的多少倍）思考：这是工__程__问题，三个量
大水管的进水速度 是小大水水管管的口径4倍是。小水管
分式方程--应用-行程问题
15.3(3)分式方程--应用-行程问题一．【知识要点】1.按照题目的要求把所要求的量用适当的式子表示出来。
二．【经典例题】1．某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，根据题意可列方程为 ______________ ．2．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为km/h．3．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为()A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时三．【题库】【A】1.A,B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。
2.(本题满分8分)2017年12月6日，西成高速铁路正式开通运营.从成都到西安，可乘坐普通列车或高速列车，已知高速列车与普通列车的行驶路程分别为630千米和840千米，若高速列车与普通列车的平均速度均速度比是21：5，且乘坐高速列车比乘坐普通列车的时间缩短了13小时48分钟，求西成高速列车的平均速度.【B】1.甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km。
一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站。
求动车和特快列车的平均速度各是多少。
2．列方程解应用题：八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．3．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）。
分式方程应用(周五)—行程问题
————行程问题
例题4：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走， 过了40分钟，其余人乘汽车去， 结果他们同时到达， 结果乘汽车的一部分人先到10分钟，
已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 2 时
3
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得：
思考题：
乙分别从相距36千米的A、B两地同时相 向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西 遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即 从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相 遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二 人速度．
பைடு நூலகம்
15 15 2 3x x 3
即：
设元时单位 一定要准确
5 15 2 x x 3
得到结果记 15＝45－2x 住要检验。 2x=30 x=15 经检验，15是原方程的根，并符合题意 由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
行程问题基本关系：S=vt
检测：
供电局的电力维修工要到30 千米远的郊区进行电力抢修,技术 工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修 车装载着所需材料出发,结果同时 到达.已知抢修车的速度是摩托车 的1.5倍,求这两种车的速度.
练习3、甲、乙二人同时从张庄出发，步行
15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米， 结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少 千米？ 练习4、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓 ,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘 汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是 自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.
练习1：农机厂到距工厂15千米的向阳村检 修农机，如果他们同时出发，结果乘汽车 的一部分人早20分钟到达，已知汽车的速 度是自行车的3倍，求两车的速度。 练习2：八年级学生去距离学校10千米的博 物馆参观，一部分骑自行车同学先走，20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们 同时到达，已知汽车速度是自行车速度的2 倍，求骑车同学的速度。
分式方程应用行程问
当题目中涉及到两个或两个以上 的对象（如甲、乙两人或两车） 运动时，可以通过设立分式方程
来表示他们之间的行程关系。
设立分式方程的关键是找到各对 象之间的等量关系，通常可以利 用速度、时间和路程之间的关系
来建立方程。
求解分式方程
01
02
03
04
分式方程的求解通常包括去分 母、解整式方程和验根三个步
骤。
例题二：追及问题
题意解析
追及问题中，一个物体以较快的速度从后面追赶另一个物体 ，经过一段时间后可以追上。
解题思路
设追赶物体的速度为$v_1$，被追赶物体的速度为$v_2$，追 及时间为$t$，则追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_1t$ ，被追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_2t$。由于追赶 物体要追上被追赶物体，因此有$v_1t = v_2t + d$，其中 $d$为两物体之间的初始距离。
求解与验证
根据分式方程的特点，选择合适的解法 进行求解。常用的解法有去分母法、换
元法等。
在求解过程中，要注意运算的准确性和 规范性，避免出现计算错误。
得到解后，要验证解的合理性。将解代 入原方程进行检验，看是否符合题目的 条件和要求。同时，也要考虑实际问题
的意义，排除不符合实际情况的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反思与优化
解题思路
根据题意，设两个物体的速度分别为$v_1$和$v_2$，相遇时间为$t$，则它们各 自行驶的路程分别为$v_1t$和$v_2t$。由于它们在相遇点的路程和等于两地之间 的距离$d$，因此有$v_1t + v_2t = d$。
例题一：相遇问题
解题步骤 2. 解方程求出相遇时间$t$；
1. 根据题意设立方程； 3. 利用相遇时间求出各自行驶的路程。
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(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .
基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4
s
x
s 50 xv
s x
sv ∴x= 50 是原方程的解
50
sv 答：提速前列车的平均速度为 50 千米/时。
例题2:八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一 部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽 车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车 同学速度的2倍，求骑车同学的速度。
解：设自行车的速度为每小时x千米， 则汽车的为每小时3x千米 由题意得：
15 15 2 x 3x 3
1 3
设骑车同学的速度为x 小时 千米/时，由题意，得
路程 速度 时间h km km/h
骑自行 10 车者
乘汽车 10 者
x 2x
10 x 10 2x
10 10 1 x 2x 3
在方程两边都乘以2x得: 60-30=2x 解得x=15 检验：当x=15时，2x≠0
∴ x=15是原方程的解 答：骑车同学的速度为15千米/时。
s 50
x xv
等量关系：时间相等
注意：
路程km 速度km/h 时间h
提速前
s、v的实际意义
提速后 s 50 以下是解题格式 xv 解： 设提速前列车的平均速度为x千米/时 由题意，得 s s 50 x xv 在方程两边同乘以x(x+v)得: s(x+v)=x(s+50) sv 解得x= sv50 检验:由于s，v都是正数，当x= 时，x(x+v)≠0
(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，
300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x
(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，
450 则该客车的速度是__________千米/时. x
在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；
逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .
例题1：某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间， 列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千 米，提速前列车的平均速度为多少？ 行程间相等
路程km 提速前 提速后 速度km/h 时间h
s 50 xv
s x
s
问题5：我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。
敌军 路程 24 30 速度 时间 24/x
我军
x 1.5 x
30/1.5x
48 等量关系： 我军的时间= 敌军的时间 – ？ 60
行程 思考：这是____问题，三个量 路程、速度、时间 为____________________
等量关系：
骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
1 3
小时
路程km 速度km/h 时间h 骑自行车者 乘汽车者 10 x 2x
10 x
10 2x
10
以下是解题格式 解：
等量关系： 骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
30 24 48 1.5X X 60
由题意得方程：
三、练习：（只设未知数列出方程） 二（7）班的学生到距学校15千米的地方 秋游，一部分同学骑自行车先走，40 分钟 后，其余同学乘汽车去，结果同时到达， 已知汽车的速度是自行车的三倍， 求两种车的速度。
分式方程应用（行程问题）
你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.
随时小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.
两次检验是: