[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用12函数与方程试题理

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高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 7 word版含答案

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C.3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在上是减函数，那么f (x )在上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在上是减函数，则f (x )在上是增函数，所以f (x )在上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间∪∪∪∪∪下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln ＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.18．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ＝－f (x －1)＝f ，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈时，f (x )＝－－x .x ∈时，x ＋4∈，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈时，f (x )＝－－x －4.4．已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用模拟演练课件文

板块四模拟演练· 提能增分
[A 级
基础达标](时间：40 分钟 ) )
1．设函数 f(x)＝xex，则 ( A． x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析
f′(x)＝ex＋ xex＝ (1＋x)ex.令 f′(x)＝ 0，则 x＝－
a＝－ 2，解得 b ＝ 1
3＋ 2a＋b＝0， f(1)＝ 10，即 2 1 ＋ a ＋ b － a － 7a＝10， a＝－ 6，或 b＝ 9， a＝－ 6，经检验 b＝ 9
a 2 满足题意，故＝－ . 3 b
a 12 ．已知函数 f(x)＝－ 1 ＋ ln x，若存在 x0>0 ，使得 x f(x0 )≤0 有解，则实数 a 的取值范围是( A．a>2 C．a≤1 B．a<3 D．a≥3 )
1 f(x)在区间 a，a＋上存在极值，求正实数 2
a
解 ln x － 2 . x
1－ 1－ ln x (1)函数的定义域为 (0，＋ ∞)， f′(x)＝＝ 2 x
令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1；当 x∈ (0,1)时， f′(x)＞ 0， f(x)单调递增；当 x∈ (1，＋ ∞)时， f′(x)＜ 0， f(x)单调递减． 1 所以， x＝ 1 为极大值点，所以 a＜ 1＜ a＋， 2
2 1 3 1 2 8．若函数 f(x)＝－ x ＋ x ＋2ax 在，＋∞ 上存在单 3 2 3
1 －，＋∞ 9 的取值范围是_____________ ．
调递增区间，则 a
解析

精编2018年高考数学文科考点过关习题第二章函数导数及其应用15和答案

考点测试15 导数的应用(一)一、基础小题1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是( )A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析f′(x)＝1－cos x>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．2．设函数f(x)＝2x＋ln x，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >2时，f ′(x )>0，这时f (x )为增函数；0<x <2时，f ′(x )<0，这时f (x )为减函数，据此知x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1答案 D解析因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x >0时，f ′(x )＝e x －1>0，x <0时，f ′(x )＝e x －1<0，即函数在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1.又f (－1)＝1e ＋1，f (1)＝e －1，综合比较得函数f (x )＝e x －x 在区间上的最大值是e －1.故选D.4．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案 C解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )答案 D解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，－3≤a ≤ 3. 7．若函数f (x )＝x 3－ax 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103答案 C解析 ∵f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点，由f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0，可知a ＝x ＋1x.∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，即2≤a <103.当a ＝2时，由f ′(x )＝0解得x ＝1，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a ≠2.综上可知，2<a <103，故选C.8．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.二、高考小题9．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴函数f (x )在x ＝2处取得极小值，则a ＝2.故选D.10．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0 答案 A解析 ∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d >0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )<0的解集为(x 1，x 2)，∴a >0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a >0，－2b3a>0，可得c >0，b <0. 11．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13答案 C解析函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在恒成立，所以⎩⎨⎧g ＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C. 12．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.13．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x 是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立．③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝2x－x2－ax，h′(x)＝2x ln 2－2x－a，令h′(x)＝2x ln 2－2x－a＝0，得2x ln 2＝2x＋a.由y＝2x ln 2与y＝2x＋a的图象知，存在a使对任意x∈R恒有2x ln 2>2x＋a，此时h(x)在R上是增函数．若h(x1)＝h(x2)，则x1＝x2，∴③不成立．④若m＝－n，则有f x1－f x2x1－x2＝－g x1－g x2x1－x2，f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令φ(x)＝f(x)＋g(x)，则φ(x)＝2x＋x2＋ax，φ′(x)＝2x ln 2＋2x＋a.令φ′(x)＝0，得2x ln 2＋2x＋a＝0，即2x ln 2＝－2x－a.由y1＝2x ln 2与y2＝－2x－a的图象可知，对任意的a，存在x0，使x>x0时，y1>y2，x<x0时，y1<y2，故对任意的a，存在x0，使x>x0时，φ′(x)>0，x<x0时φ′(x)<0，故对任意的a，φ(x)在R上不是单调函数．故对任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使m＝－n，∴④成立．综上，①④正确．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝e xx 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．C ．(－∞，e)D ．直线y ＝a 分别与直线y ＝3x ＋3，曲线y ＝2x ＋ln x 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A.43 B ．1 C.2105 D ．4 答案 A解析设与直线y ＝3x ＋3平行且与曲线y ＝2x ＋ln x 相切的直线为y ＝3x ＋b ，则y ′＝2＋1x＝3，解得x ＝1，所以切点为(1,2)．所以当a ＝2时，直线y ＝a 与直线y ＝3x ＋3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，此时|AB |min ＝43.16．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163 答案 C解析由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.17．已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22答案 D解析因为f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x＋1e x ＝e 2xx ＋＋x －1e x，当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在已知f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．答案 1解析因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0，得x <1a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；令f ′(x )<0，得x >1a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1.一、高考大题1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上，知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．2．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．①若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．②若0>a >－e2，则ln (－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln (－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln (－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln (－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln (－2a )，1)上单调递减．③若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln (－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－2a ))上单调递减．(2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a >0，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，所以f (x )有两个零点．(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln (－2a ))上单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)上单调递增，又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． 3．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)因为f (x )在x ＝1处取得极大值．所以0<x <1时，f ′(x )>0；x ＝1时，f ′(1)＝0；x >1时，f ′(x )<0，即0<x <1时，g (x )>0；x ＝1时，g (1)＝0；x >1时，g (x )<0. ∴x ＝1位于g (x )的减区间内， ∴g ′(1)<0，又∵g ′(x )＝1x－2a ，∴g ′(1)＝1－2a <0，解得a >12.综上可知实数a 的取值范围为a >12.二、模拟大题4．已知函数f (x )＝1x－a ln x (a ∈R )．(1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的单调递减区间； (2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围．解 (1)h (x )的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x 2＝－x －x －x 2，令h ′(x )<0，得h (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)．(2)问题等价于a ln x ＝1x有唯一的实根．显然a ≠0，则关于x 的方程x ln x ＝1a有唯一的实根．构造函数φ(x )＝x ln x ，则φ′(x )＝1＋ln x .令φ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝e －1. 当0<x <e －1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x >e －1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．所以φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1.如图，作出函数φ(x )的大致图象，则要使方程x ln x ＝1a有唯一的实根，只需直线y ＝1a与曲线y ＝φ(x )有唯一的交点，则1a＝－e－1或1a>0，解得a ＝－e 或a >0.故实数a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．5．已知函数f (x )＝e x －3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 3e ，且x >0时，e x x >32x ＋1x－3a .解 (1)由f (x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －3，x ∈R .令f′(x)＝0，得x＝ln 3.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3]，单调递增区间是设函数f(x)＝c ln x＋1 2 x2＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1为f(x)的极值点．(1)若x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围．解f′(x)＝cx＋x＋b＝x2＋bx＋cx.因为f′(1)＝0，所以f′(x)＝x－x－cx且c≠1，则b＋c＋1＝0.(1)因为x＝1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0<x<1时，f′(x)>0；当1<x<c时，f′(x)<0；当x>c时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，＋∞)；单调递减区间为(1，c)．(2)①若c<0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若f(x)＝0恰有两解，则f(1)<0，即12＋b<0.所以－12<c<0.②若0<c<1，则f(x)极大值＝f(c)＝c ln c＋12c2＋bc，f(x)极小值＝f(1)＝12＋b.因为b ＝－1－c ，所以f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22<0，f (x )极小值＝－12－c <0，从而f (x )＝0只有一解．③若c >1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22<0，f (x )极大值＝－12－c <0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.。

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标16导数与函数的综合问题理[解密考纲]本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．1．已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116.解析：(1)f ′(x )＝2x －a －ax，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x22－4x ＋116＝x 33－3x 22＋3x－ln x －116，由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝ x －13x(x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝13－32＋3－116＝0，∴当x >0时，g (x )≥g (1)＝0，于是f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116.2．设函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)，其中b ≠0.证明：对于任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f x 1 －f x 2 x 1－x 2>52.证明：f (x )＝x 2＋ln(x ＋1)，令h (x )＝f (x )－52x ＝x 2＋ln(x ＋1)－52x (x ≥1)，h ′(x )＝2x ＋1x ＋1－52＝4x ＋3 x －12 x ＋1，当x ≥1时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上是增函数．由已知，不妨设1≤x 1<x 2，则h (x 1)<h (x 2)， f (x 1)－52x 1<f (x 2)－52x 2，即f x 1 －f x 2 x 1－x 2>52.3．(2015·北京卷)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．解析：(1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2.(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2，因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k 2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．4．(2017·河南新乡调研)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋ex－x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ x －1 x －ax2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，则f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1<a <e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，则f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知：f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)知f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae，g ′(x )＝(1－e x )x .x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，则g (x )为减函数．所以g (x )min ＝g (0)＝1.所以e －(a ＋1)－ae <1，即a >e 2－2ee ＋1.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.5．(2016·辽宁调研)已知函数f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的极值，并证明|f (x )|>g (x )＋12恒成立；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1，∴f (x )在(0，e]上的最小值为1. 令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<12＋12＝1＝f (x )min .∴|f (x )|>g (x )＋12恒成立．(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，∴a ＝4e(舍去)，∴a ≤0时，不存在实数a 使f (x )的最小值为3.②当0<1a<e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2，满足条件．③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，∴a ＝4e (舍去)，∴1a≥e 时，不存在实数a 使f (x )的最小值为3.综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.6．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收，设每件产品的日售价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求商店的日利润L (x )元与每件产品的日售价x 元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L (x )最大，说明理由．解析：(1)设日销售量为k e x 件，则ke 40＝10，∴k ＝10e 40.则日销售量为10e40e x 件，每件利润为(x －30－a )元，则日利润L (x )＝10e 40·x －30－aex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝10e 40·31＋a －x ex(35≤x ≤41)． ①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，L ′(x )≤0，L (x )在[35,41]上是减函数．∴当x ＝35时，L (x )的最大值为10(5－a )e 5.②当4<a ≤5时，35<31＋a ≤36，由L ′(x )＝0得x ＝a ＋31，当x ∈(35，a ＋31)时，L ′(x )＞0，L (x )在(35，a ＋31)上是增函数．当x ∈(a ＋31,41]时，L ′(x )<0，L (x )在(a ＋31,41]上是减函数． ∴当x ＝a ＋31时，L (x )的最大值为10e9－a.综上可知，当2≤a ≤4时，日售价为35元可使日利润L (x )最大，当4<a ≤5时，日售价为a ＋31元可使日利润L (x )最大．7．已知函数f (x )＝x 3＋x ，∀m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋1>0恒成立，∴f (x )在R 上为增函数．又f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0，得f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )， ∴mx －2<－x 即xm ＋x －2<0对∀m ∈[－2,2]恒成立．记g (m )＝xm ＋x －2，m ∈[－2,2]，则⎩⎪⎨⎪⎧g －2 ＝－2x ＋x －2<0，g 2 ＝2x ＋x －2<0，解得－2<x <23，即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，23. 8．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围．解析：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1 －f 0 ≤e－1，f －1 －f 0 ≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1.综上，m的取值范围是[－1,1]．。

精编2018年高考数学文科考点过关习题第二章函数导数及其应用10和答案

考点测试10 对数与对数函数一、基础小题1．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.2．函数y ＝log 12x －的定义域是( )A ．上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．答案 2解析由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)．二、高考小题13．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1.若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析解法一：log a b >1＝log a a ，当a >1时，b >a >1；当0<a <1时，0b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c c b 答案 B解析 ∵0<c <1，∴当a >b >1时，log a c >log b c ，A 项错误； ∵0<c <1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0， ∴log c a <log c b ，B 项正确；∵0<c <1，∴函数y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增，又∵a >b >0，∴a c >b c ，C 项错误；∵0<c <1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上单调递减，又∵a >b >0，∴c a <c b ，D 项错误．故选B.15．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1 答案 D解析由题图可知函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.16．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 答案 B解析 log 5b ＝a ，b >0，故由换底公式得lg blg 5＝a ，∴lg b ＝a lg 5.∵lg b ＝c ，∴a lg5＝c ，又∵5d＝10，∴d ＝log 510，即1d ＝lg 5，将其代入a lg 5＝c 中得ad＝c ，即a ＝cd .17．计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________.答案－12 3 3解析18．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.答案－1解析原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝lg 10－2＝－1.三、模拟小题19．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为( )A ．36B ．72C ．108 D.172答案 C解析设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋bab＝6k2k －23k －3＝108.所以选C.20．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 A解析若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.21．已知y ＝log a (2－ax )(a >0，且a ≠1)在区间上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．上单调递减，u ＝2－ax 在上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a >1.又2－a >0，所以1<a <2.22．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.答案 32解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32.23．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a >0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1解析 x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x >2时，log a x ≤－1，故0<a <1，且log a 2≤－1，∴12≤a <1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.24．函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间内这样的企盼数共有________个．答案 9 解析∵log n＋1(n ＋2)＝n ＋n ＋，∴f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝ln 3ln 2·ln 4ln 3·ln 5ln 4·…·k ＋k ＋＝k ＋ln 2＝log 2(k ＋2)．∵1024＝210,2048＝211，且log 24＝2，∴使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数有10－1＝9个．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＋，x ≥0，log a －x ＋，x <0.(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1， ∴log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 1a<2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a>2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12017的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12017＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减．∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.3．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log 44x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14. (2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x＝log 44x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，∵2x＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.4．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∴Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f(x)＋g(x)≥m，即log a x＋11－x≥m.设F(x)＝log a 1＋x1－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．。

精编2018年高考数学文科考点过关习题第二章函数导数及其应用11和答案

考点测试11 函数的图象一、基础小题1．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A 、C 、D.2．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C 解析 y ＝lgx ＋310＝lg (x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析化简f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，x －x，作出图象可知选C.4．已知a >0，b >0且ab ＝1，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵ab ＝1，且a >0，b >0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，所以f (x )与g (x )的底数相同，单调性相同，且两图象关于直线y ＝x 对称，故选B.5．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C ，选B.6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )答案 A解析由函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上是奇函数，得k ＝2，又f (x )是减函数，得0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋k )＝log a (x ＋2)，定义域是(－2，＋∞)，且单调递减，故图象是A.7．已知函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数y ＝f (|x |)(－2≤x ≤2)的图象是( )答案 B解析解法一：由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧－12x －1，－2≤x <0，－x －2＋1，0≤x ≤2，所以y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋1，－2≤x <0，－x －2＋1，0≤x ≤2，可知选B.解法二：由函数f (x )的图象可知，函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方，函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方，而y ＝f (|x |)在x >0时的图象保持不变，因此排除C 、D ，由于y ＝f (|x |)是偶函数，函数y ＝f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称，故选B.8．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )答案 B解析由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0<a <1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.9. 函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b x，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19x的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A.43B.73 C ．4 D.133答案 D解析由题图知，可将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c 19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133，选D.10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos xD ．x 2sin x 答案 A解析由题图知f (x )是偶函数，排除B 、D.当x ≥0时，－x ≤f (x )≤x .故选A. 11．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．答案y＝(x－1)2＋3解析把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y＝2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式为y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.12．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．答案(2,8]解析当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8]．二、高考小题13．函数y＝sin x2的图象是( )答案 D解析排除法．由y＝sin x2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A，C；当x＝π2时，y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π22＝sinπ24≠1，排除B，故选D.14．函数y＝2x2－e|x|在的图象大致为( )答案 D解析当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x.f′(x)在(0,2)上只有一个零点x 0，且当0<x <x 0时，f ′(x )<0；当x 0<x ≤2时，f ′(x )>0.故f (x )在(0,2]上先减后增，又f (2)－1＝7－e 2<0，所以f (2)<1.故选D.15．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B.当0<x <1时，x －1x<0，cos x >0，所以f (x )<0，排除C ，故选D.16．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析当a ＝0时，函数为y 1＝－x 与y 2＝x ，排除D.当a ≠0时，y 1＝ax 2－x ＋a2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2－14a ＋a 2，而y 2＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y 2′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y 2′＝0，解得x 1＝13a ，x 2＝1a ，∴x 1＝13a 与x 2＝1a 是函数y 2的两个极值点．当a >0时，13a <12a <1a ；当a <0时，13a >12a >1a ，即二次函数y 1的对称轴在函数y 2的两个极值点之间，所以选项B 不合要求，故选B.17．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 答案 B解析由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑mi ＝1(x i＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.18．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案 B解析当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x＝π2时，f(x)没有取到最大值，则C、D选项错误．当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f(x)＝tan x＋4＋tan2x，不是一次函数，排除A，故选B.三、模拟小题19．已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为( )答案 D解析因为函数f(x)＝4－x2为偶函数，g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又当x>0时，g(x)＝log2x，当x>1时，g(x)>0，当0<x<1时，g(x)<0；f(x)＝4－x2，当x>2时，f(x)<0，当0<x<2时，f(x)>0，所以C错误，故选D.20．已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B解析 ∵f (x )＝a x －2>0恒成立，又f (4)g (－4)<0，所以g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．21．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.22．若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．答案 (3,1)解析由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．23．设函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x ＋1对称，且f (－3)＋f (－7)＝1，则实数a 的值是________．答案 2解析设函数y ＝f (x )的图象上任意一点的坐标为(x ，y )，其关于直线y ＝－x ＋1对称的点的坐标为(m ，n )，则点(m ，n )在函数y ＝2x ＋a 的图象上，由⎩⎨⎧y ＋n ＝－x ＋m＋1，y －nx －m ＝1，得m ＝1－y ，n ＝1－x ，代入y ＝2x ＋a 得1－x ＝21－y ＋a ，即y ＝－log 2(1－x )＋a ＋1，即函数y ＝f (x )＝－log 2(1－x )＋a ＋1，又f (－3)＋f (－7)＝1，所以－log 24＋a ＋1－log 28＋a ＋1＝1，解得a ＝2.24．已知函数y ＝|x 2－1|的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y ＝kx －2恒过定点M (0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x >1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为，．(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.2．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥4，－x x －，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．3．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根．4．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y .代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ，y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))．(2)联立⎩⎨⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，∴Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0，b＝0或b＝4. ∴当b＝0时，得交点(3,0)；当b＝4时，得交点(5,4)．。

2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用理

C．350万元D．320万元
解析：设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，那么由题意，得
y＝
依题意有，＝(p＋0.25)%，解之得x＝320(万元)．
4．世界人口在过去40年内翻了一番，那么每一年人口平均增加率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007
5≈1.017)( C )
A．1.5%B．1.6%
C．1.7%D．1.8%
解析：设每一年世界人口平均增加率为x，那么(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，那么40lg(1＋x)＝lg 2，因此lg(1＋x)＝ ≈0.007 5，因此100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，因此x＝1.7%.
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，而且每一个月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每一个月增加的百分率相同．已知今年9月份两食堂的营业额又相等，那么今年5月份( A )
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植本钱最低时的上市天数是120.
(2)最低种植本钱是80(元/100 kg)．
解析：依照表中数据可知函数不单调，
因此Q＝at2＋bt＋c且开口向上，
对称轴t＝－＝＝120.
代入数据得
因此西红柿种植本钱最低时的上市天数是120，最低种植本钱是14400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
9．(2017·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，取得西红柿种植本钱Q(单位：元/100 kg)与上市时刻t(单位：天)的数据关系如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
Hale Waihona Puke 11684116依照上表数据，从以下函数当选取一个函数描述西红柿种植本钱Q与上市时刻t的转变关系．

2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标10函数与方程理

9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，那么实数a的取值范围是 .
解析：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，那么当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，现在0<a≤1；
当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，
于是有解得a> ，
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)假设方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解析：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
因此f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
因此f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
C．(2,3)D．(3,4)
解析：构造函数f(x)＝lnx＋x－4，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，故零点必然在区间(2,3)内．
3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( B )
A．4B．5
C．6D．7
解析：令f(x)＝2sin πx－x＋1＝0，那么2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，那么f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如下图，两个函数图象的交点一共有5个，因此f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，那么实数a的取值范围为( B )
A．(0,4)B．(4，＋∞)

【配套K12】2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用12函数与方程试题文

考点测试12 函数与方程一、基础小题1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)答案 C解析由题意知，f(－1)f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.2．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )答案 C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有答案 C解析 ∵f (1)>0，f (2)<0，∴f (x )在(1,2)上必有零点，又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13 ，那么在下列区间中含有函数f (x )零点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2) 答案 B 解析5．函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.∴f (x )的零点个数为2.故选C.6．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12 x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定答案 B解析分别作出y ＝2x与y ＝log 12 x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以f (x 0)<0.7．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a 0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a ，b )和(b ，c )内．8．已知函数f (x )与g (x )的图象均在R 上不间断，由下表知方程f (x )＝g (x )的实数解所在的区间是( )答案 B解析设h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)＝－0.147，h (0)＝－0.44，h (1)＝0.542，所以h (0)·h (1)<0，h (x )的零点在(0,1)内，即f (x )＝g (x )的实数解所在的区间为(0,1)．9．函数f (x )＝e x ＋ln x ，g (x )＝e －x ＋ln x ，h (x )＝e －x－ln x 的零点分别是a ，b ，c ，则( )A ．a 0，e x>1，故－ln x >1，即ln x <－1，所以0<a <1e ；由g (x )＝e －x ＋ln x ＝0，得e －x ＝－ln x ，但x >0,0<e －x<1，故0<－ln x <1，即－1<ln x <0，所以1e 0,0<e －x<1，故0<ln x <1，所以1<c <e.综上可知a bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析由已知f (x )＝2－x－ln (x 3＋1)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，f (a )f (b )f (c )<0可分为以下两种情形：①f (a )，f (b )，f (c )均小于0，如图所示，此时x 0<a 0，f (b )>0，f (c )<0，如图所示，此时a c ，故选D.11．已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0，∴x 0∈(2,3)，故选C.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a ，结合图形只需－2a >1⇒a <－12即可．二、高考小题13．[2014·湖北高考]已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x .令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7>0(舍)， ∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.14．[2016·山东高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，解之得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.15．[2015·湖南高考]若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x－2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．16．[2014·福建高考]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析当x ≤0时，由x 2－2＝0，得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知f (x )的零点个数为2.17．[2015·湖北高考]函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．答案 2解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin2x 与y 2＝x 2的图象如图所示．由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.18．[2014·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2)解析函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点等价于函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象恰有4个公共点．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a >0.当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4<x <－1)需相切．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax 消去y ，得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合．故0<a <2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a <－1，即a >1.故1<a <2.三、模拟小题19．[2016·河北监测]若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1 D ．y ＝e xf (x )＋1答案 C 解析20．[2017·宁夏银川质检]若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续的，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有且只有一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 答案 B解析由函数零点存在性定理可知，选B.21．[2017·南昌模拟]已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2016x＋log 2016x ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析作出函数y ＝2016x和y ＝－log 2016x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2016x＋log 2016x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3，故选C.22．[2017·陕西西安模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，若关于x 的方程[f (x )]2－af (x )＝0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析关于x 的方程[f (x )]2－af (x )＝0的解为f (x )＝0或f (x )＝a ，而函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，方程f (x )＝0只有一解x ＝1，而原方程有三解，所以方程f (x )＝a 有两个不为1的相异的解，即0<a ≤1.23．[2017·湖南衡阳模拟]函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示；函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A．14 B．12 C．10 D．8答案 A解析由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0对应的x值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x ＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7，故m＋n＝14.故选A.24．[2017·天津六校联考]已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且对应值如表：答案 3解析依题意知f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2017·湖南长郡月考]若关于x的方程(lg ax)·(lg ax2)＝4的所有解都大于1，求实数a的取值范围．解原方程可化为(lg a＋lg x)·(lg a＋2lg x)＝4，即2(lg x)2＋3(lg a)·(lg x)＋(lg a)2－4＝0，令lg x＝t>0，则有2t2＋3(lg a)·t＋(lg a)2－4＝0的解都是正数，设f(t)＝2t2＋3(lg a)·t＋(lg a)2－4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－a2－4]≥0，－3lg a4>0，f ＝a2－4>0，解得lg a <－2，∴0<a <1100，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100.2．[2017·河北保定调研]已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 3．[2017·山东高密质检]已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图1所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. (2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图2所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝2m ＋1>0，f ＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－m ＋，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，即－12<m ≤1－ 2. 4．[2017·广东汕头质检]已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 (1)解法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点．解法二：由g ′(x )＝1－e 2x 2＝x ＋x －x 2，可作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象(如图1)．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象(如图2)． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

2018年高考数学考点通关练第二章函数、导数及其应用 5 函数的定义域和值域试题理

考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )A．(0,2] B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2] 答案 C解析f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0且x>0，所以0＜x≤2且x≠1.2．若函数y＝x2－4x的定义域是{x|1≤x<5，x∈N}，则其值域为( )A．[－3,5) B．[－4,5)C．{－4，－3,0} D．{0,1,2,3,4}答案 C解析分别将x＝1,2,3,4代入函数解析式，解得y＝－3，－4，－3,0，由集合中元素的互异性可知值域是{－4，－3,0}．3．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)答案 C解析由已知得0≤16－4x<16,0≤16－4x<16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)．4．若函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－9]∪[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[－9,1] D ．(0,1]答案 B解析由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2,0] D ．[1,3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2,0]．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，所以1－2a >0，即a <12，同时，1－2a ＋3a ≥0，即a ≥－1，综上，－1≤a <12，故选C.7．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 B解析当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103答案 B解析因为F (x )＝f (x )＋1f x≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B.9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析因为5－x＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为[0，＋∞)；因为1－x ∈R ，根据指数函数性质可知C 项中函数的值域为(0，＋∞)，故选C.10．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [0,1]解析设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))的值域为________．答案 {2,3,5}解析由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题13．[2014·山东高考]函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 14．[2014·上海高考]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．[2016·江苏高考]函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案 [－3,1]解析若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1. 16．[2015·浙江高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a＋b ＝－32.18．[2015·福建高考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.三、模拟小题19．[2016·湖南三校联考]函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( ) A ．[－1,4] B ．(－1,4] C ．[1,4] D ．(1,4]答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．[2017·内蒙古包头一中模拟]若函数f (x )＝1log 3x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．[2017·杭州联考]设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．[2017·邵阳石齐中学月考]已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0,1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2,2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．[2017·东北三校联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ＋，x >0，x x －，x ≤0，则f (a )的值不可能为( )A ．2017B ．12016C ．0D ．－2答案 D解析如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为[0，＋∞)，故f (a )不可能为－2. 24．[2016·汕头模拟]函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为________．答案 [0,8]解析当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为[0,8]．一、高考大题1．[2016·浙江高考]已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．[2017·贵州六盘水二中月考]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1,9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈[1,3]，∴log 3x ∈[0,1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6,13]．3．[2017·云南师大附中月考]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0，即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174，∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴－194≤f (a )≤4，即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 4．[2016·山西质检]已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3，即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。

2018年高考数学考点通关练第二章函数、导数及其应用10对数与对数函数课件

1 f 则f ＝( 9
)
A．－2 C．9
B．－3 D．－9
解析
1x x≤0， ∵ f(x)＝ 3 log xx>0 ， 3
∴f
1 9
1 ＝ log3 ＝－2，∴ 9
1 1 － 2 ff ＝ f(－ 2)＝＝ 9.故选 C. 9 3
第一部分
第二章
考点通关练
函数、导数及其应用
考点测试10 对数与对数函数
第1步狂刷小题· 练基础
一、基础小题 1．log225· log32 2· log59＝( A．3 C．5 B．4 D．6 )
解析
3 lg 2 lg 25 lg 2 2 lg 9 2lg 5 2 2lg 3 原式＝ · · ＝ · · ＝ 6. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5
6．当0<x<3时，下列大小关系正确的是( A． x3<3x<log3 x C． log3 x<x3<3x B．3x<x3<log3 x D． log3 x<3x<x3
)
解析
在同一坐标系中作出函数 y＝ x3， y＝ 3x， y＝
log3x， x∈ (0,3)的图象，由图象可得当 x∈ (0,3)时，大小关系是 log3 x<x3<3x，选 C.
2．函数y＝ A． [1，＋∞ )
2 C．，1 3
log1 3x－2 的定义域是 (
2
)
2 B．，＋∞ 3 2 D．，1 3
解析
2 log1 (3x－ 2)≥0＝ log1 1,0<3x－ 2≤1， <x≤1. 3 2 2

2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课件文

解析
因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)· f(3)<0，所以函数
f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二典例探究· 考向突破
考向例1 (1)若
确定函数零点所在区间
1 3
1 x x0 是方程＝x 2
的解，则 x0 属于区间(
2 D.3，1
3．若函数 f(x)在[ a，b] 上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a)· f(b)＜0⇒函数 f(x)在[ a，b] 上只有一个零点．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没有零点．( √ ) 3．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有
f(x1)>0，f(x2)<0，选 C.
命题角度 2 例 4
已知函数零点所在区间求参数
[2017· 启东检测] 若函数 f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)
由题意可得 f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)· (log23
4 在区间(2,3)上有零点，则 k＝________.
|x|，x≤m， 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有 (3，＋∞) ．三个不同的根，则 m 的取值范围是____________ [ 解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况，探究实数 m 满足的条件，从而确定 m 的取值范围．

全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文新人教A版2017041402164

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[ 导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
全国卷Ⅱ· T11 卷· T13 全国卷Ⅱ· T12 全国
全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 卷· T21
[ 重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点． 3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点． 4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新．
全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅱ· T11 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅱ· T10 全国卷Ⅱ· T12
全国卷Ⅰ· T16 卷· T16 全国卷Ⅱ· T8 全国卷· T11
基本初等函全国卷Ⅰ· T8 数
全国卷Ⅰ 全国卷Ⅰ· T9 导数及其应用全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T20 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅲ· T21 全国卷Ⅰ· T14 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅰ· T20 全国卷Ⅱ· T16 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T11 全国全国卷Ⅰ· T12

2018版高考数学一轮总温习第2章节函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算模拟演练讲义理

因为点 P(2,4)在切线上，所以 4＝2x20－23x30＋43，即 x30－3x20＋4＝0，所以 x30＋x20－4x20＋4＝0，所以 x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2，故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋e1x，f′(x)＝1－e1x. 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋e1x0＝k x0－1，①
f′(x0)＝1－e1x0＝k，②
①＋②得 x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若 k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l 的直线方程为 y＝(1－e)x－1.
切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为12－x602x0＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.
)
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析依题意，设直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 切于点(x0，
kx0＝ln x0， kx0)，则有k＝x10，
由此得 ln x0＝1，x0＝e，
k＝1e，选 C.
4．[2017·海南文昌中学模拟]曲线 y＝xex＋2x－1 在点(0，
－1)处的切线方程为(
8．[2016·金版创新]函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，且 f(x)
在 R 上的导函数 f′(x)＞12，则不等式 f(x)＜x＋2 1的解集为 _(_－ __∞__，__1_)_．

2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题第二章函

考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题 1．函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)∪(1,2] D ．(－∞，2]答案 C解析 f (x )＝1lg x ＋2－x 是复合函数，所以定义域要满足lg x ≠0且2－x ≥0且x >0，所以0＜x ≤2且x ≠1.2．若函数y ＝x 2－4x 的定义域是{x |1≤x <5，x ∈N }，则其值域为( ) A ． C ．∪ D ．(0,1]答案 B解析由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋8 ≤0，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ． B ． C ． D ．答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 答案 B解析因为F (x )＝f (x )＋1f x ≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B. 9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析因为5－x＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．答案解析设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))答案 {2,3,5}解析由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y ＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题13．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C．6<c ≤9 D ．c >9 答案 C解析由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.所以f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c .由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9, 故选C. 16．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案 2解析解法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2yx，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．答案－1226－6解析因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x >1时，f (x )min ＝26－6，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.三、模拟小题19．函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( ) A ． B ．(－1,4] C ． D ．(1,4] 答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．若函数f (x )＝1log 3 2x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．－12答案 B解析依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是(a ，b ∈Z )，值域是，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴⊆．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋4 ，x >0，x x －4 ，x ≤0，则f (a )的值不可能为( )A ．2017 B.12016 C ．0 D ．－2答案 D解析如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为函数y ＝3|x |－1的定义域为，则函数的值域为________．答案解析当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈，试求函数y ＝2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为，要使2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝2＋f (x 2)的定义域为．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈，∴log 3x ∈，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函数y ＝2＋f (x 2)的值域为．2．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为已知函数f (x )＝lg(a x －b x)(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；(2)问是否存在实数a 、b ，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )的值域为(0，＋∞)，且f (2)＝lg 2？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由a x －b x>0(a >1>b >0)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1，∵a b>1， ∴x >0.∴f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)存在实数a ，b 满足条件，令g (x )＝a x －b x，又a >1>b >0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )的值取到一切正数，则g (1)＝1，得a －b ＝1.① 又f (2)＝lg 2，∴a 2－b 2＝2.② 由①②得a ＝32，b ＝12.4．已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3，即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈(a >0)． (2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。

[精品]2018年高考数学理科考点过关习题第二章函数导数及其应用5和答案

考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )A．(0,2] B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2] 答案 C解析f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lgx≠0且2－x≥0且x>0，所以0＜x≤2且x≠1.2．若函数y＝x2－4x的定义域是{x|1≤x<5，x∈N}，则其值域为( )A ． C ．∪ D ．(0,1]答案 B解析由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4kk ＋，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( )A ．B ．C ．D ．答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12答案 C解析由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A ．14 B ．12 C ．2D ．4答案 B解析当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103答案 B解析因为F (x )＝f (x )＋1f x≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B.9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析因为5－x ＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．答案解析设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))的值域为________．答案 {2,3,5}解析由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y ＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题 13．函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案解析若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________.答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( )A ．B ．(－1,4]C ．D ．(1,4]答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．若函数f (x )＝1log 3x ＋c的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．设f (x )＝lg 2＋x2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是(a ，b ∈Z )，值域是，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴⊆．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ＋，x >0，x x －，x ≤0，则f (a )的值不可能为( )A ．2017B ．12016 C ．0 D ．－2答案 D解析如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为函数y ＝3|x |－1的定义域为，则函数的值域为________．答案解析当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为．一、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )； ②求F (x )在区间上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈，试求函数y ＝2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为，要使2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝2＋f (x 2)的定义域为．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈，∴log 3x ∈，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6.∴函数y ＝2＋f (x 2)的值域为．3．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3，即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈(a >0)．(2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用15Word版含答案

考点测试15 导数的应用(一)一、基础小题1．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增． 2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >2时，f ′(x )>0，这时f (x )为增函数；0<x <2时，f ′(x )<0，这时f (x )为减函数，据此知x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝e x－x (e 为自然对数的底数)在区间上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1 C ．e ＋1 D ．e －1答案 D解析因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x >0时，f ′(x )＝e x －1>0，x <0时，f ′(x )＝e x－1<0，即函数在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1.又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，综合比较得函数f (x )＝e x－x 在区间上的最大值是e －1.故选D. 4．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a f (b )>f (a )，选C.5．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，－3≤a ≤ 3.7．若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103答案 C解析 ∵f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点，由f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0，可知a ＝x ＋1x.∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，即2≤a <103.当a ＝2时，由f ′(x )＝0解得x ＝1，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a ≠2. 综上可知，2<a <103，故选C.8．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x·f (x )－e x，因为g ′(x )＝e x·f (x )＋e x·f ′(x )－e x＝e x－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.二、高考小题9．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴函数f (x )在x ＝2处取得极小值，则a ＝2.故选D.10．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0 答案 A解析 ∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d >0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )<0的解集为(x 1，x 2)，∴a >0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a >0，－2b 3a>0，可得c >0，b <0.11．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.12．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.13．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立．③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0，得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知，存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ，此时h (x )在R 上是增函数．若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )，则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ， φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0，即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，y 1>y 2，x <x 0时，y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0，故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立．综上，①④正确．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．C ．(－∞，e)D ．直线y ＝a 分别与直线y ＝3x ＋3，曲线y ＝2x ＋ln x 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A.43 B ．1 C.2105 D ．4 答案 A解析设与直线y ＝3x ＋3平行且与曲线y ＝2x ＋ln x 相切的直线为y ＝3x ＋b ，则y ′＝2＋1x＝3，解得x ＝1，所以切点为(1,2)．所以当a ＝2时，直线y ＝a 与直线y ＝3x ＋3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，此时|AB |min ＝43. 16．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163 答案 C解析由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.17．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22答案 D解析因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＝e 2x x ＋＋x －1ex，当x ≥0时，e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在已知f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．答案 1解析因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0，得x <1a ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；令f ′(x )<0，得x >1a，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1.一、高考大题1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上，知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．2．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．②若0>a >－e2，则ln (－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln (－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln (－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln (－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln (－2a )，1)上单调递减．③若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln (－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－2a ))上单调递减．(2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a >0，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，所以f (x )有两个零点．(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln (－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，又当x ≤1时，f (x )<0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． 3．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)因为f (x )在x ＝1处取得极大值．所以0<x <1时，f ′(x )>0；x ＝1时，f ′(1)＝0；x >1时，f ′(x )<0，即0<x <1时，g (x )>0；x ＝1时，g (1)＝0；x >1时，g (x )<0. ∴x ＝1位于g (x )的减区间内， ∴g ′(1)<0，又∵g ′(x )＝1x－2a ，∴g ′(1)＝1－2a <0，解得a >12.综上可知实数a 的取值范围为a >12.二、模拟大题4．已知函数f (x )＝1x－a ln x (a ∈R )．(1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的单调递减区间； (2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围．解 (1)h (x )的定义域为(0，＋∞)， h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x2＝－x －x －x2，令h ′(x )<0，得h (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)．(2)问题等价于a ln x ＝1x有唯一的实根．显然a ≠0，则关于x 的方程x ln x ＝1a有唯一的实根．构造函数φ(x )＝x ln x ，则φ′(x )＝1＋ln x .令φ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝e －1. 当0<x <e －1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x >e －1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．所以φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1.如图，作出函数φ(x )的大致图象，则要使方程x ln x ＝1a有唯一的实根，只需直线y ＝1a与曲线y ＝φ(x )有唯一的交点，则1a ＝－e －1或1a>0，解得a ＝－e 或a >0.故实数a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．5．已知函数f (x )＝e x－3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 3e ，且x >0时，e xx >32x ＋1x－3a .解 (1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 3]，单调递增区间是设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)；(2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解 f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋c x. 因为f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝x －x －c x 且c ≠1，则b ＋c ＋1＝0.(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c >1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当1<x <c 时，f ′(x )<0；当x >c 时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )．(2)①若c <0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若f (x )＝0恰有两解，则f (1)<0，即12＋b <0. 所以－12<c <0. ②若0<c <1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ， f (x )极小值＝f (1)＝12＋b .因为b ＝－1－c ，所以f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22<0， f (x )极小值＝－12－c <0，从而f (x )＝0只有一解．③若c >1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22<0， f (x )极大值＝－12－c <0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.。