第一讲 因数与倍数

第一讲因数与倍数
复习知识点：
一、因数、倍数
1、如果自然数a乘自然数b等于c，即a×b=c，我们就说a和b是c的( )，c是a 和b的( )。

2、有关因数、倍数的说明：
（1）如果a和b是c的因数，c是a和b的倍数，我们有时也说a和b能整除c，或者说c能被a和b整除。

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是( )，最大的因数是它( )。

（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它( )，没有最大的倍数。

（4）倍数和因数是相互依存的。

0是任何整数的倍数。

（5）( )是任一自然数（0除外）的因数。

也是任一自然数（0除外）的最小因数。

（6）一个数的因数最少有( )个，这个数是1。

除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。

（7）一个数的因数都( )他本身，一个数的倍数都( )他本身。

（8）一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数
3、找一个数的因数、倍数的方法：
（1）找一个数的因数：①根据定义找；②根据除法算式找。

（2）找一个数的倍数：用这个数本身分别与自然数1、2、3、4···相乘，所得的结果就是这个数的倍数。

4．２、３、５倍数的特征。

（1）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是( )的倍数。

①自然数中，是２的倍数的数（即能被2整除的数）叫做偶数（或双数）。

②自然数中，不是２的倍数的数（即不能被2整除的数）叫做奇数（或单数）。

③奇数与偶数的性质：
偶数＋偶数=( )偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数
偶数＋奇数=( )偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数
奇数＋奇数=( )奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数
奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数
偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数
（2）３的倍数的特征：一个数各个数位上的数相加的和是３的倍数，这个数是 ( )的倍数。

（3）５的倍数的特征：个位上是０、５的数都是( )的倍数。

5、一些特殊数的倍数的特征
（1）一个数各个数位上的数相加的和能被9整除，这个数就是( )的倍数。

但是，能被3整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3( )整除。

（2）一个数的末两位数能被4整除，这个数就是4的倍数。

例如：16、404、1256都是4的倍数。

（3）如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数
（4）如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数
二、质数和合数
1、一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。

最小的质数是
( )。

2、一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的因数叫做合数。

最小的合数是( )，合数至少有三个因数。

3．０、１既不是质数，也不是合数。

4、质因数和分解质因数。

（1）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（例：３０＝２×３×５）
（3）分解质因数的方法：①用塔式分解图进行分解；②短除法。

注意：①分解质因数，应该从最小的质数开始试记，直到每个因数都是质数时为止。

②除2以外所有的质数都是奇数。

除2以外任意两个质数的和都是偶数
三、最大公因数和最小公倍数
1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数，叫做这几个数的最大公因数。

（1）互质数：公因数只有１的两个数，叫做互质数。

（2）寻找互质数的规律：
①两个不同的质数一定是互质数。

②1和任何自然数都成为互质数。

③相邻的两个数一定是互质数。

（3）质数、质因数和互质数的区别
①质数：只有1和它本身两个约数，是指一个数。

如：2、5、7是质数。

②质因数：既是质数，又是因数，它不是独立存在的。

如：15=3×5，3、5是15的质因数。

③互质数：表示两个数的最大公因数是1 ，指两个数。

如：5和9是互质数；7和8是互质数。

（4）求最大公因数的方法：①枚举法；②分解质因数法；③短除法。

（5）最大公因数的表示：【a，b】=c
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

（1）求最小公倍数的方法：①枚举法；②分解质因数法；③短除法。

（2）最小公倍数的表示：（a，b）=c
3、最大公因数和最小公倍数的性质。

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数。

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

注意：用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法相同，区别：求公因，乘半边；求公倍，乘半圈。

附：100以内质数口诀
一位质数偶打头，2、3、5、7要记熟；（2、3、5、7）
两位质数不用愁，可以编成顺口溜。

十位若是4和1，个位准有1、3、7；（41、43、47、11、13、17）
十位若是2、5、8，个位3、9往上加；（23、29、53、59、83、89）
十位若是3和6，个位1、7跟在后；（31、37、61、67）
十位若是被7占，个位准是1、9、3；（71、79、73）
1997在最后。

（19、97）
基础练习：
一、判断题
( )1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。

( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。

( )3、个位上是0的数都是2和5的倍数。

( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

( )5、5是因数，10是倍数。

( )6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。

( )7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。

( )8、任何一个自然数最少有两个因数。

( )9、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。

( )10、15的倍数有15、30、45。

二、填空。

1、6×4=24，6和4是24的（），24是6的（），也是4的（）。

2、分类
45；67； 78； 34；23； 24； 15； 128； 76；85； 90；
89；49；79； 31；97；87；77；37； 123；55； 1 以上数中，偶数有（）；奇数有（）；
质数有（）；合数有（）；
2的倍数有（）；5的倍数有（）；
3的倍数有（）；2、3、5的倍数（）；
3、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（）个；a-b
的差的所有因数有（）个；a×b的积的所有因数有（）个。

4、三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是（）、（）和（）。

5、100以内最大的质数与最小的合数的和是（），差是（）。

6.在以下各组数下面的横线上写出每组数的最大公因数。

10和206和17 4、5和825、50和60
1和9 18和9 13、26和39 105、15和30
7、在以下各组数下面的横线上写出每组数的最小公倍数。

20和30 4和16 25、50和100 8、35和5
4和9 13和39 3、14和28 1、6和11
能力提高：
1、有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。

求这个两位数是多少？
2、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
3、公路上一排电线杆，共25根。

每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
4、有一批机器零件。

每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。

这些零件总数在300至400之间。

这批零件共有多少个？
5、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
6、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
7、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
8、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
9、某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？。