系统的数学模型
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是一种描述系统内部变量之间的数学表达式，它是系统的核心。
这种类型的模型可以有效地分析现有系统的结构及性能，并且可以用于改善系统的设计和性能。
系统数学模型通常是由一组微分或微分方程、简化的函数和一组状态变量来描述的。
这组方程可用来计算系统的输入和输出，以及系统中各参数的行为。
通过求解这组方程，就可以求得系统的性能，从而得以评估系统的质量，并找出问题所在。
系统数学模型帮助人们更好地理解系统，探索它的行为规律，它有助于提高系统的可靠性、稳健性和可控制性。
此外，系统数学模型也可以帮助人们预测系统性能，避免不必要的损失，并有助于精确地合理安排系统的资源。
通过构建系统数学模型，可以实现现代科学技术的自动化控制。
这种模型可以应用于机器人控制、新能源转换、交通系统等方面，大大提高自动化控制系统的精准性和效能。
总之，系统数学模型是一种有效的表达方式，可以帮助我们更好地理解系统，改善系统的设计和性能，为进一步推动现代自动化技术发展做出重要贡献。
数学模型的类型
数学模型的类型
1. 线性模型：用线性方程、线性规划等方法描述问题，被广泛应用于物理、经济、管理、工程等领域。
2. 非线性模型：解决非线性问题，例如非线性规划、微积分方程、动力系统等。
3. 概率模型：描述随机变量及其概率分布，包括统计推断、回归分析和假设检验等。
4. 离散模型：离散模型的主要应用领域是计算机科学，涉及图论、排队论、模拟等。
5. 运筹模型：用于优化问题，例如线性规划、整数规划、网络流问题等。
6. 贝叶斯模型：基于贝叶斯定理构建出的模型，用于概率推理、统计学习等。
7. 决策模型：描述决策过程，包括决策树、马尔可夫决策过程、多属性决策等。
8. 动态模型：描述随时间变化的系统，例如微积分方程、差分方程、系统仿真等。
9. 系统模型：将一个大型、复杂的系统分解为较小的子系统，并用数学语言来
表示它们之间的相互作用。
10. 统计学模型：可以用于描述数据集，包括回归分析、时间序列分析、聚类分析等。
自动控制原理第二章
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统的数学模型可以由多个方程组成,以下是一些常见的连续系统模型:
1. 牛顿第二定律方程:这是一个描述物体运动的方程,它表达了物体的位置和速度随时间的演化,通常写成以下形式:
$dX/dt = -ax$
其中,$X$ 表示物体的位置,$a$ 表示物体的加速度,$t$ 表示物体运动的时间。
2. 热力学方程:热力学方程描述了系统的热力学性质,包括温度的演化和热传导等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} =
-kAfrac{mathrm{d}X}{mathrm{d}t}$
其中,$T$ 表示系统的温度,$A$ 表示系统的面积,$k$ 表示热导率,$X$ 表示物体的位置。
3. 电磁学方程:电磁学方程描述了电荷、电流和磁感应等电磁现象的数学模型,可以描述电磁波的传播、电路中电荷的分布等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t} = -frac{partial V}{partial t}$
其中,$E$ 表示电场强度,$V$ 表示电场的电荷密度,$t$ 表示时间。
4. 波动方程:波动方程描述了声波或波动现象的数学模型,可以描述声波的传播、波动的产生等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}^2X}{mathrm{d}t^2} +
frac{mathrm{d}^2theta}{mathrm{d}t^2} = r^2sintheta$
其中,$X$ 表示物体的位置,$theta$ 表示物体的极角,$r$ 表示物体的距离,$t$ 表示时间。
这些方程只是连续系统模型中的一部分,还有很多其他的方程可以用来描述不同的连续系统现象。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
chap2 系统的数学模型
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
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4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
控制原理
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第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
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第二章 系统的数学模型
19
控制原理
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第二章 系统的数学模型
2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
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第二章 系统的数学模型
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
系统的数学模型
系统的数学模型—微分方程与传输算子不涉及任何数学变换，而直接在时间变量域内对系统进行分析，称为系统的时域分析。
其方法有两种：时域经典法与时域卷积法。
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。
这种方法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应用上也有局限性。
所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时域经典法。
20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善，已成为系统分析的重要方法之一。
时域分析法是各种变换域分析法的基础。
在本章中，首先建立系统的数学模型——微分方程，然后用经典法求系统的零输入响应，用时域卷积法求系统的零状态响应，再把零输入响应与零状态响应相加，即得系统的全响应。
其思路与程序是：其次，将介绍：系统相当于一个微分方程；系统相当于一个传输算子H(p)；系统相当于一个信号——冲激响应h(t)。
对系统进行分析，就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系，这种关系就是卷积积分。
2-1 系统的数学模型——微分方程与传输算子研究系统，首先要建立系统的数学模型——微分方程。
建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束：拓扑约束(KCL，KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。
为了使读者容易理解和接受，我们采取从特殊到一般的方法来研究。
图2-1(a)所示为一含有三个独立动态元件的双网孔电路，其中为激励，，为响应。
对两个网孔回路可列出KVL方程为上两式为含有两个待求变量，的联立微分积分方程。
为了得到只含有一个变量的微分方程，须引用微分算子 ，即，，…，在引入了微分算子后，上述微分方程即可写即(2-1)根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型，如图2-1(b)所示。
将图2-1(a)与(b)对照，可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b)，即将L 改写成Lp ，将C 改写成 ，其余一切均不变。
机械控制工程基础第二章系统的数学模型
机械控制⼯程基础第⼆章系统的数学模型基本要求、重点和难点⼀、基本要求（1）了解数学模型的基本概念。
能够运⽤动⼒学、电学及专业知识，列写机械系统、电⼦⽹络的微分⽅程。
（2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放⼤系数。
（3）能够⽤分析法求系统的传递函数。
（4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
（5）了解传递函数⽅框图的组成及意义；能够根据系统微分⽅程，绘制系统传递函数⽅框图，并实现简化，从⽽求出系统传递函数。
（6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握⼲扰作⽤下，系统的输出及传递函数的求法和特点。
（7）了解相似原理的概念。
（8）了解系统的状态空间表⽰法，了解MATLAB中，数学模型的⼏种表⽰法。
⼆、本章重点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。
（3）传递函数⽅框图的绘制及简化。
三、本章难点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数⽅框图的绘制及简化。
概述系统按其微分⽅程是否线性这⼀特性，可以分为线性系统和⾮线性系统。
如果系统的运动状态能⽤线性微分⽅程表⽰，则此系统为线性系统。
线性系统的⼀个最重要的特性就是满⾜叠加原理。
线性系统⼜可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
对于同⼀系统，数学模型可以有多种形式，如微分⽅程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。
线性与⾮线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。
建⽴系统数学模型的⽅法有分析法和实验辨识法两种。
前者主要⽤于对系统结构及参数的认识都⽐较清楚的简单系统，⽽后者通常⽤于对系统结构和参数有所了解，⽽需进⼀步精化系统模型的情况。
对于复杂系统的建模往往是⼀个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。
系统的数学模型
3.1引言-非线性系统
• 不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。 • 虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大
多数情况下，实际的关系并非真正线性的。 • 许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围
内保持真正的线性关系。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 根据系统是否含有参数随时间变化的元件， 自动控制系统可分为时变系统与定常系统两 大类。
• 定常系统：又称为时不变系统，其特点是：
– 描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数 – 在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系
统 – 反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号
3.2 传递函数
3.2.2 传递函数的说明
• 对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的次数n ， 且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯 性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数 的函数，而元件参数只能是实数。
• 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参 数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与 输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统 的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。
的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t) ，当输入延 迟一时间τ，则系统的响应也延迟同一时间τ且形状 保持不变，如下图 所示。定常系统的这种基本特 性给分析研究带来了很大的方便。
线性定常系统特性
3.1引言-线性定常系统与时变系统
1.比例环节
下图为反相运算放大器电路 ui (t) 为输入电压 uo (t) 输出电压
系统的数学模型
系统的数学模型是建立在客观环境系统的基础上的，它反映了评价所涉及的各种环境要素和过程，以及它们之间的相互联系和作用。
这个模型是建立在物理定律和机械定律的基础上的，通过推导可以得到数学模型。
数学模型可以分为静态模型和动态模型，静态模型主要用于静态误差分析，而动态模型则主要用于分析连续系统（微分方程）和离散系统（差分方程）。
系统的数学模型还可以根据目的分为三类：用来帮助对象设计和操作的模型，用来帮助控制系统设计和操作的模型，以及用来进行系统仿真的模型。
在建模过程中，还需要注意掌握好复杂和简单的度，以作合理折中。
系统的数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各个变量
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
自动控制原理第二章 控来自系统的数学模型5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0
0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
0 0
O
t
f ( t )e dt
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.2 传递函数
一、传递函数的定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
线性定常系统(或元部件)在零初始条件下， 输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏 变换之比称为系统 (或元部件 )的传递函 数。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求无源RC网络的传递函数
R
无源RC网络的微分方程为
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
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饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
x2 (t ) v2 (t )
微分方程中，无论是因变量或者是它的导数， 都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其 导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。 用这种方程描述的系统称为线性系统。
下列微分方程描述的系统为线性系统。
(1) 3 y 2x 4
(2)
d2y dt 2
2
dy dt
y
6
dx dt
3x
(3)
d3 dt
y
3
5
d2y dt 2
O
x(t)
-y2 -y1
“等效”线性系统
非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含 有非线性系统的问题求解，非常复杂。为了绕 过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需 引入“等效”线性系统来代替非线性系统。如 饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统， 仅在一定的工作范围内是正确的。
非本质非线性：没有间断点、折断点的非线性， 可用线性化处理的数学模型。
3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。 最后得到只包含输入量和输出量的方程 式。
4.化成标准形式，即输出量放在方程式的 左端，而输入量放在方程式的右端，且各 阶导数项按降幂排列
* 建立数学模型的基础： 机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电 学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热 学： 传热定理、热平衡定律
本质非线性：有间断点、折断点的非线性，只 能用非线性理论去解决。
第二节 线性微分方程式的建立
一、建立线性微分方程式的步骤 1、首先将系统划分为若干个环节，确定每一 环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和 输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一 环节的输入信号。 2、写出每一环节（或元件）输出信号和输入 信号相互关系的运动方程式，找出联系输出量 与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联 系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式 就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时 再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性 化，忽略一些次要因素等 。
x1(t) + x2(t)→ y1(t) + y2(t) 称为叠加性或叠加原理
叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系 统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响 应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以 一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。
三、非线性系统
用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。
程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y(t) ）转 动，形成如图所示的环状间隙特性。
摩擦间隙非线性
在机械传动中，摩擦是
必然存在的物理因素。
例如执行机构由静止状
态启动，必须克服机构
中的静摩擦力矩y1 。 启动之后，又要克服机
构中的动摩擦力矩y2 。 一般静摩擦力矩大于动
摩擦力矩。如图所示。
y(t) +y1 +y2
系统数学模型获取方法
理论分析
可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构
试验法
可以最终确定数学模型的形式。
两种方法是相辅相成的。
从理论上建立系统的数学模型，常称为理论 建模。
二、线性系统
如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为 线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是 用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为 方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程； 除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方 程。
二、举例
1．机械系统的微分方程式 机械系统设备大致分两类：平移的和旋转 的。它们之间的区别在于前者施加的力而 产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。牛顿定律和虎克定律等物理定 律是建立机械系统数学模型的基础
机械运动系统的三要素
质量 m
x(t )
fm (t )
v(t )
m
参考点
d
d2
fm (t) m dt v(t) m dt 2 x(t)
5
dy d系统为非线性系统。
(4) 3 y x2 3xy x
(5)
d2y dt 2
dy dt
2
y
x
线性系统的叠加性
线性系统最重要的特性，就是叠加原理。
若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t)，而在另一 个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为
x1(t) → y1(t) x2(t) → y2(t) 则以下关系
第一节 引 言
一、系统的数学模型
数学模型就是系统的输出与输入间的数学表 达式。分为静态模型和动态模型。 静态模型：在静态条件下得到的方程。一般 用代数方程来表示。 动态模型：在动态条件下得到的方程。一般 用微分方程式来描述。
工程上常用的数学模型包括微分方程、传递 函数和状态方程，微分方程是基本的数学模 型，是列写传递函数的基础。