指数幂及运算课件
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高中数学课件——指数及指数幂的运算
an
可知：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于有 理指数幂也同样适用）
前提
aras ars (a 0, r, s Q)
(a r )s a rs (a 0, r, s Q)
(ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
思考：
缺少 a 0这个前提后是否仍然成立呢？
公式：
a n a n
a
当n为奇数时
n
an
| a
|
aa, ,aa00时时当n为偶数时
分数指数幂
m
规定：a n n am (a 0, m, n N *,且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以互化.
规定:
m
a n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
1)
1 3
(2a 3b 4
)
(a
1 1
2b 3
)6
(3a
2 1
3b 4
)
例5、计算下列各式
1)( 3 25- 125) 4 25 2) a2 (a 0)
a 3 a2
注意：利用分数指数幂进行根式运算 时，先将根式化成有理指数幂，再根 据分数指数幂的运算性质进行运算。
计算： [(
错误解： 2 1 ( 3) 2 ( 3)1 1 3
3
)
2
]
1 2
正确解：
1
32
1
1
32
1 3
3 3
3 3
例2、求值
2
实数指数幂及其运算ppt课件
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4（ 2）4 2.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
课件12：2.1.1 指数与指数幂的运算
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个 问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来 表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞 生．小小 2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风 暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号 2， 憾动了学派的基石而被扔进大海.
跟踪训练 1. 计算下列各值： (1)27 的立方根是________； (2)256 的四次算术方根是________； (3)32 的五次方根是________．
[答案] (1)3 (2)4 (3)2 [解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256，∴256的四次算术方根为4. (3)∵25＝32，∴32的五次方根为2.
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
＝－－24x－2
－3<x<1 1≤x<3 .
命题方向4.根式的运算技巧
例 4.计算 5－2 6＋ 5＋2 6.
[分析] 注意 a＋2 b的配方或整体考虑运用方程思想． [解析] 解法一：原式＝ 2－ 32＋ 2＋ 32＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3. 解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋ 2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
新知导学
1.n次方根
一般地，如果 xn＝a，那么__x__叫做 a 的_n_次__方__根__， 定义＞0 奇数 a＜0 x＜0
x 仅有一个值，记为n a
个数 n 是 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期10.6整数指数幂及其运算课件
(秒)
108 108
104 108
1 108 108 1088 100
4 104 108 1048 104
2
108 108
108 108
1
0 因此有，100 1
3 规定：a 0=1 (a≠0)
5
104
108
104 108
1 104
6
因此有，104
1 104
71
规定：a
-p=
1
ap
（其中a≠0，p是自然数）
-3=
1 10 3
1 = 1000
(3) 5 12÷5 12 = 5 12-12= 50=1
规定：a -p=
1 ap
（其中a≠0，p是自然数）
已知光速大约为 3×108 米∕秒，那么 人眼看到 3×104 米远处的闪光需要多少秒？
解： （3×104）÷（ 3×108 ）
原式=(3÷3)×( 104÷108 )
1）101 1 10
2）(1)1 1 1 (1)
3）
x 7
1 x7
（其中
4）( y 1)3
x≠0，y≠1 ）
1 ( y 1)3
108 108
104 108
1 108 108 1088 100
4 104 108 1048 104
2
108 108
108 108
1
0 因此有，100 1
3 规定：a 0=1 (a≠0)
1）书89页练习1～5 2）练习册：习题10.6 1～3
谢谢指点
108 104 1084 104
a m×an=am+n
（ m、n 是整数 ,a≠0)
1？ (a ) =a 108 5 1085 1040
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
n n n n
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
无理数指数幂及其运算性质 课件(34张)
23
1 D.
3 22
2．计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析： 答案：6
探究三 指数幂的运算
[例 3] 计算：
；
[解析] (1)原式＝
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为 分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进 行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
A．2m
B．2n
C．－2m
D．－2n
解析： m2＋2mn＋n2－ m2－2mn＋n2
＝ m＋n2－ m－n2
＝|m＋n|－|m－n|.
∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，
∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－m－n－m＋n＝－2m.
答案：C
探究二 根式与分数幂的转化 [例 2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0)：
且
＞0，
∴
＝ 5.
二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题
常用指数幂的变换技巧
已知幂 目标指数
变换技巧
ak 差：k－1
除：aak＝ak－1
ak 和：k＋2
乘：ak·a2＝ak＋2
换元、乘方：令 ak＝t，
ak
倒数：1k
则
ak
积：3k
乘方：(ak)3＝a3k
[典例] 设 a，b，c 都是正数，且 3a＝4b＝6c，求证：2c＝2a＋1b.
[典例] 1.已知
＝3，求 a3＋a－3 的值．
[解析] ∵a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)，
课件13：2.1.1 指数与指数幂的运算
命题方向1.根式与分数指数幂的互化 例 1.用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
(1)3 a2· a3；(2) a a a； (3)(3 a)2· ab3；(4) 1 .
4 a3＋b32
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，
1
故 a≤0，这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时
除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的
条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
7
a－3
13 +3
＝3 a3÷
a2＝1.
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1
＝(a－1)4
＝4
a－1.
当堂检测
3
1．若(1－2x)－4 有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A．x∈R
B．x∈R 且 x≠12
C．x>12
D．x<12
[答案] [解析]
D
3
(1－2x)－4
＝ 4
1
，∴1－2x>0，得
1 x<2.
1－2x3
2
5
2．计算(2a－3b－3 )·(－3a－1b)÷(4a－4b－3 )得 ( )
正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任意
实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程.
新知导学
高中数学必修一第二章第一节：指数幂及其运算课件
分数指数幂与根式可以相互转化；
1
(2)通常规定分数指数幂的底数 a>0，但要注意在像(－a)4
＝4 －a中的 a，则需要 a≤0.
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有理数指数幂的运算性质
[导入新知] 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s _(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝__a_r_s__(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q)．
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结束
根式与分数指数幂的互化
[例 1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x)2 (x>0)
6 B.
1
y2＝y3(y<0)
3
C．x－4＝
4
1x3(x>0)
D．x－13＝－3 x(x≠0)
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(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：
(1)a3·3 a2； (2) a a；
33
11
(3) a2· a－3· a－5－2a－213 .
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解：(1)a3·3
2
2 11
a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
11
31 3
(2) a a＝(a·a2)2＝(a2)2＝a4.
3 31
1 11
(3)原式＝(a2·a－2)3·[(a－5)－2·(a－2)13]2
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结束
末页
结束
应用 落实体验
指数幂及运算课件
3
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
实数指数幂及其运算公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
根式
问题1：4旳平方根是什么？8旳立方根是什么？ 问题2：若x4＝16，试想x有几种值？ 问题3： －4有平方根吗？－4有立方根吗？ 问题4：若x4＝－9，x存在吗？
小结：（1）正数旳偶次方根有两个，它们互为 相反数，奇次方根有一种 （2）负数没有偶次方根，负数旳奇次方根有一 种
根式旳定义：
提醒：－8，4.
n a (a>0)
m
（2）a n ＝
n
am(a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)；
1
(3)
m
an
＝
m
an
(a>0，m，n∈N＋，且mn 为既约分数)；
跟踪练习：
四、有理指数幂旳运算法则 (1)aαaβ＝ aα＋β(a>0，α，β∈Q)； (2)(aα)β＝ aαβ (a>0，α，β∈Q)； (3)(ab)α＝ aαbα (a>0，b>0，α∈Q)．
a
(1)(提n a醒)n＝：2，(na2>.1，且 n∈N＋)； |a|
n
(2)
an＝
， ，
当n为奇数时， 当n为偶数时.
跟踪练习：
2、分数指数幂探究
若把整数指数幂旳运算法则推广到正分数 指数幂，则有下列各式成立：
1
(a3 )3
13
a3
a,
2
(a3 )3
23
a3
a2
推广二
分数指数幂的定义
1
(1) a n ＝
课前检测：
计算：
a3 a3=
，
a2
a4=
.
课前回忆：
一、正整数指数幂
1．正整指数幂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n次幂
高中数学教学课件 实数指数幂及其运算法则
6
答案： 10-3= 1 =0.001 1000
-
1 2
-6
=
-
1 1 2
6
=64
（2x）3
2x3
根式问题
a 0时，两个平方根： a， a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
a只有一个立方根
方根
开方运算
偶次方根 奇次方根
实 a0 数
n a 0
a a 0 不存在 n a 0
根式性质
a （a>0,n∈N+）
1
(a3 )3
1 3
a3
=a
2
(a 3
)3
2 3
a 3 =a2
1
a3 3 a
2
a3 3 a2
分数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
a 0,b 0,、为有理数
运算法则:
例 1：求下列各式的值：
（1）3（－8）3
（2）（－10）2
（3）4（3－）4 （4） a b2
例2.求值；
2
（1）.8 3
(2).
16 81
3 4
;
(3).
1 2
6
;
例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a 0);
(1).a2 3 a2 ;
(2). a 3 a ;
例4.计算下列各式（式中字母均是正数）；
2 1 1 1 1 5
(1). 2a3b2 6a2b3 3a6b6 ;
1 3 8
(2) m4 n 8 ;
(3). 3 a2 a3 4 a2 ;
练习．（1）计算 2 2 4 2 8 2
2
1
（2）化简：
指数幂及运算(高中数学)
C．25
D．27
31
32
C.
1
45
D.5 4
8
B [425＝5 42＝5 16，故选B.]
9
3．已知 a>0，则 a－23等于( )
A. a3
B. 1 3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
C.
1 a3
D．－3 a2
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
10
m2＋1 [(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]
3
自主预习 探新知
4
1．分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝_n__a_m_(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数指 数幂
负分数指数幂 规定：a－mn＝a1mn＝__n_1_a_m_ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0 的分数指数 0 的正分数指数幂等于_0_，
幂
0 的负分数指数幂_没__有_意义
4 3
16
利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值：
17
18
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然 后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母 又含有负指数.
得a2＋a－2的值
[解] (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
24
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值． [解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8 3，即a－a－1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值． [解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.
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第2课时 指数幂及运算
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
如果n为偶数，n a n 表示an的正的n次方根，所以当
a 0 ，这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n an a a,a((aa00)),.
探究点1 分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
annam(a0 ,m ,n N *,且 n1 )
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
（1） a m a n a m n(a 0 ,m ,n Z );
（2） (a m )n a m n (a 0 ,m ,n Z );
（3）（ a b )m a m b m(a 0 ,m ,n Ζ )
2.根式的运算性质
如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
nan a (n为奇数）
(5) p6q5(p0);
(m n)2
5
p 3q 2
m3
5
(6) . m
m2
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2
;
49
(2)2 331.5612;
1 1 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
(4) 2x（ 13 1x13 2x23） . 2
解：(1)（ 36） 3 2 （ 6） 23 2 （ 6） 3216; 49 7 7 343
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义 相仿，我们规定：
am na1m nn1 am (a0,m ,nN *,n1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数 推广到了有理数指数。
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1 )a ra s a r s(a 0 ,r,s Q );
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 5 6 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m n 3 2.
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
由上可以看出： 可5以2 由 的不2 足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
（1） 5 (21)5 25 32; 2
（ 16） 3 4 （ 2） 4(3 4) （ 2） 327.
81 3
38
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a23a2; a3a.
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a ;
3
a4 4 a3;3a51;5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1) 3 x 2 ;
(2) 4(ab)3 (ab0); (3) 3(mn)2(mn);
2
x3
3
(a b)4
2
(m n)3
(4) (mn)4(mn);
解： a3 aa3a1 2a31 2a7 2;
a23a2a2a2 3a22 3a8 3;
11
41 2
a3a(aa3)2(a3)2a3.
例4.计算下列各式（式中的字母均是正数）：
21
11
15
(1) (2a3b2)(6a2b3)(3a6b6);
(2)
1
(m4
n
3 8
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a(a0,是 无 理 数 ） 是一个确
定的实数，无理数指数幂可以由有理数指数幂无限逼近 而得到，有理数指数幂的运算法则对无理数指数幂也成立。
观察下表： 5 2 的是否表示一个确定的实数？
2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425;
a2 (2)
(a0).
a 3 a2
解：(1) (325125)425
23
1
2131
(53 52)52 53 52 52 52
1
56 56 55;
(2) aa 2 3a2a1 2a2 a2 3a21 22 3a6 56a5.
(2 )23 31 .5 61 2 2 1 1 3 1 3 3 1 2 1 3 1 6 6 ;
(2 )(a r)s a rs(a 0 ,r,s Q );
(3 )(a b )r a r b r(a 0 ,b 0 ,r Q ).
例2 求值： 823;2512（ ; 1） 5（ , 16） 43. 2 81
解：
2
83
2
(23)3
32
2 3
224;
251 2(52)1 252(1 2) 511; 5
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
如果n为偶数，n a n 表示an的正的n次方根，所以当
a 0 ，这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n an a a,a((aa00)),.
探究点1 分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
annam(a0 ,m ,n N *,且 n1 )
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
（1） a m a n a m n(a 0 ,m ,n Z );
（2） (a m )n a m n (a 0 ,m ,n Z );
（3）（ a b )m a m b m(a 0 ,m ,n Ζ )
2.根式的运算性质
如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
nan a (n为奇数）
(5) p6q5(p0);
(m n)2
5
p 3q 2
m3
5
(6) . m
m2
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2
;
49
(2)2 331.5612;
1 1 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
(4) 2x（ 13 1x13 2x23） . 2
解：(1)（ 36） 3 2 （ 6） 23 2 （ 6） 3216; 49 7 7 343
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义 相仿，我们规定：
am na1m nn1 am (a0,m ,nN *,n1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数 推广到了有理数指数。
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1 )a ra s a r s(a 0 ,r,s Q );
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 5 6 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m n 3 2.
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
…
由上可以看出： 可5以2 由 的不2 足近似 值和过剩近似值进行无限逼近。
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
（1） 5 (21)5 25 32; 2
（ 16） 3 4 （ 2） 4(3 4) （ 2） 327.
81 3
38
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a23a2; a3a.
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a ;
3
a4 4 a3;3a51;5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1) 3 x 2 ;
(2) 4(ab)3 (ab0); (3) 3(mn)2(mn);
2
x3
3
(a b)4
2
(m n)3
(4) (mn)4(mn);
解： a3 aa3a1 2a31 2a7 2;
a23a2a2a2 3a22 3a8 3;
11
41 2
a3a(aa3)2(a3)2a3.
例4.计算下列各式（式中的字母均是正数）：
21
11
15
(1) (2a3b2)(6a2b3)(3a6b6);
(2)
1
(m4
n
3 8
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a(a0,是 无 理 数 ） 是一个确
定的实数，无理数指数幂可以由有理数指数幂无限逼近 而得到，有理数指数幂的运算法则对无理数指数幂也成立。
观察下表： 5 2 的是否表示一个确定的实数？
2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
…
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425;
a2 (2)
(a0).
a 3 a2
解：(1) (325125)425
23
1
2131
(53 52)52 53 52 52 52
1
56 56 55;
(2) aa 2 3a2a1 2a2 a2 3a21 22 3a6 56a5.
(2 )23 31 .5 61 2 2 1 1 3 1 3 3 1 2 1 3 1 6 6 ;
(2 )(a r)s a rs(a 0 ,r,s Q );
(3 )(a b )r a r b r(a 0 ,b 0 ,r Q ).
例2 求值： 823;2512（ ; 1） 5（ , 16） 43. 2 81
解：
2
83
2
(23)3
32
2 3
224;
251 2(52)1 252(1 2) 511; 5