02324离散数学201604
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
2023年10月02324离散数学自考试题
2023年10月02324离散数学自考试题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年10月02324离散数学是一门非常重要的数学课程，它涉及数学中的离散结构及其应用。
离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程等领域具有重要的应用价值，因此掌握离散数学的知识对于从事相关行业的人来说至关重要。
在2023年10月02324离散数学的考试中，考生将会面对一系列的试题，来考查他们对离散数学的理解和掌握程度。
以下是一份假设的2023年10月02324离散数学自考试题示例：第一部分：选择题（每题1分，共20题）1. 下列哪个不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 集合论C. 实变函数D. 逻辑2. 设A={a,b,c}，B={a,c,d}，则A∩B=？A. {a,b,c}B. {a,c}C. {b}D. {a,c,d}3. 在集合论中，全集的补集被称为？A. 空集B. 补集C. 子集D. 交集4. 下列哪个是图的最短路径算法？A. Kruskal算法B. Prim算法C. Dijkstra算法D. 拓扑排序算法1. 若A={1,2,3,4}，则A的幂集共有多少个子集？2. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的结果。
3. 设二元关系R={(1,1),(2,2),(3,3)}，则R的自反性是？4. 设G={V,E}是一个无向图，若V={a,b,c,d}，E={{a,b},{b,c},{c,d},{d,a}}，求G的度数序列。
5. 设S={a,b,c}，则S的所有排列有多少种？1. 设f(x)=3x+2，g(x)=x^2，求f(g(x))。
2. 求解逻辑表达式P∧¬Q∧R的真值表。
3. 设集合A中元素个数为n，B中元素个数为m，求A×B的元素个数。
1. 证明：对于任意集合A，A与A的补集的交集为∅。
2. 证明：若G为连通图，则G是无向图。
3. 证明：若一个图G中所有顶点的度数均为偶数，则G为欧拉图。
离散数学1
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ B ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学(微课版) 第4章
离散数学（微课版）第4章1. 引言在离散数学的第4章中，我们将讨论图论的基本概念和应用。
图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支，它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。
本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。
2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。
节点通常表示现实世界中的对象，而边则表示对象之间的关系。
图可以用于描述各种问题，如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。
2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系。
而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2.2 顶点和边图由顶点和边组成。
顶点是图的节点，用来表示对象。
边连接两个顶点，表示两个对象之间的关系。
2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。
环是一条路径，其起点和终点相同。
3. 图的表示方法在计算机中，图可以用不同的数据结构来表示。
常见的表示方法包括：3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。
对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，则不对称。
A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图，其中顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点C相连。
3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。
对于每个顶点，邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。
A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图，顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点A、C相连，顶点C与顶点B相连。
4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始，尽可能深地访问尚未访问的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他未访问的节点。
【全国自考历年真题10套】02324离散数学2013年4月至2019年10月试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或 钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 1 分，共 15 分）
A. (∃x)( A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∃x) A(x) ∧ (∃x)B(x)
B. A →（∃x）B(x) ⇔ (∃x)( A → B(x))
C.（∃x）A(x) → B ⇔ (∀x)( A(x) → B)
D. ¬（∃x）A(x) ⇔ (∀x)¬A(x)
4.设 A（x）： x 是鸟， B（x）： x 会飞，命题“没有不会飞的鸟”符号化为
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”
的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均不得分。
1．设 p：天下雨；q：我走路上学。命题“只要不下雨，我就走路上学”可符号化为
A．p → q
B．q →p
C．┐p → q D．q → ┐p
2．设简单无向图 G 有 16 条边，有 3 个 4 度结点，有 4 个 3 度结点，其余结点的度数均小 3，则 G 中的结点个数至．少．为
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绝密★考试结束前
全国 2014 年 4 月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或
自考2324离散数学第四章课后答案
自考2324离散数学课后答案4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的( )。
a)、a*b=a-b b) a*b=max(a,b)c)、a*b=a+2b d) a*b=|a-b|根据结合律的定义在自然数集N中任取a,b,c 三数，察看(a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a) 若有a,b,c∈N，则(a*b)*c =(a-b)-ca*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
--------------------------------------------------------------------------------2、设集合A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的?a) x*y=max(x,y)b) x*y=min(x,y);c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数；d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数；d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------3、设S是非空有限集，代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。
最新自考离散数学02324真题含答案(.4-2016.4年整理版)
全国2009年4月自学考试离散数学试题（附答案）课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨QC．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q2．下列语句中是真命题的是（）A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）A．000，001，110，B．001，011，101，110，111C．全体指派D．无6．在公式（x∀）F（x，y）→（∃y）G（x，y）中变元x是（）A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）A．自反的B．对称的C．传递的、对称的D．反自反的、传递的8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的B．若R和S是对称的，则R S是对称的C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是．．t（R）中元素的是（）A．<1，1> B．<1，2>C．<1，3> D．<1，4>10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）A．1∈A B．{1，2，3}⊆AC．{{4，5}}⊂A D．∅∈A11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b}C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|12．在代数系统中，整环和域的关系是（）A．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）A．B．C．D．14．设G为有n个结点的简单图，则有（）A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤nC．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（）A．2 B．3C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考离散数学02324课后答案：[5]1.6章节
![自考离散数学02324课后答案：[5]1.6章节](https://img.taocdn.com/s3/m/9a0ebb0c03d8ce2f00662390.png)
似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
(3)|W∨|QT(2) (4)Q→|WT(3) (5)W→|WT(1)(4) (6)|W∨|WT(5) (7)|WT(6) (8)|(W∧Q)→|WCP (9)W→(W∧Q)T(8) d)
证明 (1)R∨SP (2)|R→ST(1) (3)|RP (4)ST(2)(3) (5)S→|QP (6)|QT(4)(5) (7)|W←→QP
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似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
前提 P→|Q,R→Q,|P→||S,R 结论||S 证明(1)P→|QP (2)Q→|PT(1) (3)R→QP (4)R→|PT(2)(3) (5)|P→||SP (6)R→||ST(4)(5)
(7)RP (8)||ST(6)(7)自考离散数学 02324 课后答 案(共 5 篇)上一篇：1.5 章节
丙说“是乙”，丁说“不是我”，四人的回答只有 一人符合实际，问成绩最好是哪些？只有一人成 绩最好的是谁。
解： 设 P 甲成绩最好 Q 乙成绩最好 R 丙成绩最好 S 丁成绩最好
似若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
如果甲说的是正确的，则|P,|S,|Q,S|S 与 S 矛盾
如果乙若来生愿.想一起去看星星,那最亮一颗是我心大雨
结论：如果我在看书，则天在下雨。 解： 设 P 天晴； Q 下雨； R 我去看电影； S 我在看书； 已知|P→Q∧|Q→P,P→R,R→|S,S 结论 Q
证明(1)P→RP (2)R→|SP (3)P→|ST(1)(2) (4)SP (5)|PT(3)(4) (6)|P→Q∧|Q→PP (7)|P→QT(6) (8)QT(5)(7)
(3)|A∨BP (4)A→BT(3) (5)AP(附加前提) (6)BT(4)(5) (6)|CT(2)(6) (6)A→|CCP b)证明(1)(C∧D)→EP (2)|(C∧D)∨ET(1)
(完整版)自考离散数学02324真题含答案(2009.4-2016.4年整理版),推荐文档.docx
全国 2009 年 4 月自学考试离散数学试题（附答案）课程代码： 02324一、（本大共15 小，每小 1 分，共 15 分）在每小列出的四个中只有一个是符合目要求的，将其代填写在后的括号内。
、多或未均无分。
1．下列两个命元P， Q 的小是（）A ． P∧Q ∧ P B． P∨ QC． P∧Q D． P∨P∨ Q2．下列句中是真命的是（）A ．我正在B．禁吸烟C．如果 1+2=3 ，那么雪是黑的D．如果 1+2=5 ，那么雪是黑的3． P：我划船， Q ：我跑步。
命“我不能既划船又跑步” 符号化（）A ． P∧ Q B． P∨ QC．（ P Q）D．（ P∨ Q）4．命公式（ P∧（ P→ Q））→ Q 是（）A ．矛盾式B．含式C．重言式D．等价式5．命公式（P∧ Q）→ R 的成真指派是（）A ． 000，001， 110，B． 001， 011， 101，110， 111C．全体指派D．无6．在公式（x ）F （ x，y）→（y） G（ x，y）中元 x 是（）A ．自由元B．束元C．既是自由元，又是束元D．既不是自由元，又不是束元7．集合 A={1 ， 2，⋯，10}上的关系 R={< x，y>|x+y=10， x∈ A ， y∈A} ， R 的性是（）A ．自反的B．称的C．的、称的D．反自反的、的8．若 R 和 S 是集合 A 上的两个关系，下述正确的是（）A ．若 R 和 S 是自反的，R∩ S 是自反的B．若 R 和 S 是称的，R S 是称的C．若 R 和 S 是反称的，R S 是反称的D．若 R 和 S 是的，R∪ S 是的9． R={<1 ， 4>，<2 ， 3>，<3， 1> ， <4， 3>} ，下列不是t（ R）中元素的是（）A ． <1， 1>B． <1， 2>C． <1， 3>D． <1， 4>10．设 A={{1 ，2， 3} ， {4 ， 5} ， {6 ，7， 8}} ，下列选项正确的是（）A ． 1∈ A B． {1 ， 2， 3} AC． {{4 ， 5}} A D．∈ A11．在自然数集 N 上，下列运算是可结合的是（）A ． a b=a-2b B． a b=min{ a，b}C． a b=-a-b D． a b=|a-b|12．在代数系统中，整环和域的关系是（）A ．整环一定是域B．域不一定是整环C．域一定是整环D．域一定不是整环13．下列所示的哈斯图所对应的偏序集中能构成格的是（）A ．B．C．D．14．设 G 为有 n 个结点的简单图，则有（）A ．(G) ＜n B． (G) ≤nC．(G) ＞n D． (G) ≥ n15．具有 4 个结点的非同构的无向树的数目是（）A ． 2B． 3C． 4D． 5二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
02324离散数学
2016年10月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试卷(课程代码 02324)本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。
第一部分选择题 (共l5分)一、单项选择题(本大题共l5小题，每小题l分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1．谓词公式的辖域是2．设无向树T有3个度数为4的结点，其余结点都为树叶，则T的结点数为A．10 B．11 C．12 D．133．设集合A有3个元素，则A中的划分有A．3个 B．5个 C．6个 D．9个4．下列关系不可能是相容关系的是A。
恒等关系 B．全域关系 C．等价关系 D．拟序关系5．设论域为整数集，下列命题中真值为假的是6．4个结点的非同构的无向树的数目是A．5 B．4 C．3 D．27．下列命题公式是永真式的为8．下列语句是原子命题的为A．x+y>xy B．请给我来点掌声吧C．小明既爱唱歌又爱跳舞 D．火星上有生物9．设2为整数集合，则下列集合关于数的加法运算不能构成独异点的是10．设，则既是s的元素又是s的子集的为11．设p：他怕困难；q：他获得成功。
命题“除非他不怕困难，否则他不会获得成功”可符号化为12．在整数集Z上，下列运算满足结合律的是A．a*b=ab一1 B．a*b=|a-b|C．a*b=2a+b D．a*b=a+b-113．下列图对应的格是有补格的为14．设G为连通的无向简单图。
若G恰有2个奇度结点，则G一定具有A．欧拉回路 B．欧拉通路C．哈密尔顿回路 D．哈密尔顿通路15．设F(x)：x是火车；G(y)：y是汽车；H(x，y):x比y快；则下列语句可以表示成公式的是A．每列火车都比所有汽车快 B. 每列火车都比某些汽车快C．某些火车比某些汽车快 D．某些火车比所有汽车快第二部分非选择题 (共85分)二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分。
自考离散数学02324课后答案：[3]1.4章节
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(答案及点评) a)证明如下：P→(Q→P) <=P→(|Q∨P)(等值公式) <=|P∨(|Q∨P)(等值公式)
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c)已知|A<=|B，问 a<=B 吗?
答：
a)A<=B 等价式不成立。假定有一组指派， A 为 T、B 为 F，这对于已知条件来说是成立的，而 对于结论是不成立的。b)A<=B 也不成立。假定
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f)由 P∨|P<=T， (Q∧|Q)<=F(否定律),F ∧|R<=F(同一律)可将原式化为：T→F<=F， 即原命题是一永假式。
g)(P∧|P)←→Q<=F←→Q，当 Q 为 T 时，
命题为 F，当 Q 为 F 时，命题为 T，因此本命题是 可满足式。
h)可列真值表如下: PQP←→Q|(P∨Q)P←→Q)→|(P∨Q)
<=(|P∨R)∨(|Q∨R)(等值公式)
<=(|P∨|Q)∨R∨R(交换、结合律)
<=|(P∧Q)∨R(德摩根律)<=(P∧Q)→ R(等值公式)注意：证到这里，我们发现这个结果 与题目所提供的右边公式不相同，那么就是说，原
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<=P∨(|P∨|Q)(交换律) <=P→(P→|Q)(等值公式) b)证明如下： (P←→Q)
<=|((P∧Q)∨(|P∧|Q))(等值公式) <=|(P∧Q)∧|(|P∧|Q)(德摩根律) <=|(P∧Q)∧(P∨Q)(德摩根律)<=(P∨ Q)∧|(P∧Q)(交换律)
全国2011-7-2014-4自学考试离散数学试题
全国2011年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
三、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）五、综合应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）全国2012年4月自学考试离散数学试题课程代码：02324全国2012年7月自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设P :他看电影，Q :他学习，将命题“他在学习或在看电影”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨QD.Q →⌝P2.下列命题公式不是．．永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ⌝∨()Q P →D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ⌝∀⇔∀⌝ B.()()()(())A x B x x A B x →∃⇔∃→ C.()(())()()x A x B x A x B ∀→⇔∀→D.()(())()()x A x B x A x B ∃→⇔∃→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ⌝∃∧())B x B.()(()x A x ⌝∀∧())B x C.()(()())x A x B x ⌝∃→D.()(()())x A x B x ⌝∀→5.设X ={,{},{,}}a a ∅∅，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ∅⊆ C.{{,}}a X ∅⊆D.{}X ∅∈6.设A B B =,则有（ ） A.A B A = B.A B -=∅ C.A B B =D.A B ⊆ 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6D.88.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=-D.1a b a b *=++9.设<G ，*>是群，则下列陈述不正确．．．的是（ ） A.11()a a --= B.111()ab a b ---= C.n m n m a a a +=D.11()n n a ba a b a --=10.设:,:f X Y g Y Z →→是函数，则下列陈述正确的是（ ） A.若f 不是入射的，则g f 不是入射的B.若g 是入射的，则g f 也是入射的C.若f 是入射的，则g f 也是入射的D.若g f 不是入射的，则f 也不是入射的11.设简单图G 所有结点的度数之和为36，由G 的边数为（ ） A.6 B.9 C.12D.1812.下列无向图不一定．．．是树的是（ ） A.结点数比边数多1的连通图 B.每对结点之间都有通路的图 C.无回路但添加一条边则有回路的图D.无回路的连通图 13.设R 1,R 2是A 上的两个关系，s 为对称闭包，t 为传递闭包，则下列描述正确的是（ ） A.1212()()()s R R s R s R = B.1212()()()t R R t R t R = C.1212()()()s R R s R s R =D.1212()()()t R R t R t R =14.下列必为欧拉图的是（ ） A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图 15.设X =｛0｝，下列关于代数系统<P (X )，>的陈述正确的是（ ） A.0是幺元 B.∅是幺元 C.｛0｝是幺元D.没有幺元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
自考离散数学02324课后答案：[1]1.2章节
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c)我既不看电视，也不去看电影，我准备做作
/show_21.html
业。 d)四边形 ABCD 是平行四边形，当且仅当它的 对边平行。
答案：
a)原子命题为：今天天气炎热；今天有雷阵雨 b)原子命题为：你去比赛；我去比赛； c)原子命题为：我看电视；我看电影；我做作
/show_21.html
k)火星上有生物。 答案： a)的真值为 T;
b)的真值为 T；
c)不是命题； d)的真值为 F； e)F；
f)不是命题；
/show_21.html
g)F； h)不是命题； i)T；
j)不是命题；
/show_21.html
c)设 P:天下大雨；Q：他在体育馆内锻炼则本
/show_21.html
例符号化为：P→Q d)设 P:天下大雨；Q：他在室内运动则本例符 号化为：|P→|Q
e)设 P:经一事；Q:长一智则本例符号化为： |P→|Q
4.将下列复合命题分成若干原子命 a)今天天气炎热，且有雷阵雨。 b)如果你不去比赛，那么我也不去比赛。
业；
/show_21.html
d)原子命题为：四边形 ABCD 是平行四边形； 四边形的对边平行； 另外要注意的是，一些悖论因为是无法辨别真 假的，所以不是命题，如
P:我在说谎。
看上去像是一个命题，但这是个愽论（如果 P 为 T,则我就不是在说谎了，如果 P 为 F 则我就是 在说谎了。所以无法辨别真假。） 自考需要坚持，为自己加油！自考离散数学 02324 课后答案(共 5 篇)下一篇：1.3 章节
k)F。 3.将下列命题符号化 a)小李不但聪明而且用功。
b)昨天晚自习时小赵做了二三十道数学题。
/show_21.html
2022年4月自考02324离散数学试题及答案含评分标准
绝密★启用前2022年4月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题答案及评分参考(课程代码 02324)一㊁单项选择题:本大题共15小题,每小题1分,共15分㊂1.C2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.D9.A10.C 11.B12.C13.B14.A15.D二㊁填空题:本大题共10小题,每小题2分,共20分㊂16.{<1,1>,<1,2>,<2,1><2,2>}17.{1,2,3,4},{2,3,4}18.{<1,2>,<2,2>,<3,2>,<4,2>},{<2,1>,<2,2>,<2,4>,<4,3>}19.1220.F,T21.6,422.3,523.ϕ,A24.1025.2n-k三㊁计算题:本大题共5小题,每小题6分,共30分㊂26.解:分别列出两个命题公式的真值表如下P Q R P→Q R→Q(P→Q)∧(R→Q)P∨R P∨R→Q0001110100110010010111010111111110001010101000101101111111111111(1分) (1分) (1分) (1分) (1分)从真值表可见,(P→Q)∧(R→Q)与P∨R→Q的真值完全相同,因此有(P→Q)∧(R→Q)⇔P∨R→Q(1分) 27.解:(P→⌝Q)→R⇔⌝(⌝P∨⌝Q)∨R(1分)⇔(P∧Q)∨R(1分)离散数学试题答案及评分参考第1页(共3页)⇔(P∨R)∧(Q∨R)(1分)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨⌝Q∨R)∧(⌝P∨Q∨R)(1分)⇔M 0∧M 2∧M 4(1分)⇔m 1∨m 3∨m 5∨m 6∨m 7(1分)此即所求命题公式(P →⌝Q)→R 的主析取范式㊂28.解:根据所列关系性质,填表如下 运算性质 x +y x -y x ㊃y 可结合性是否是可交换性是否是(每空1分)29.解:设度数为1的结点数为n 1,由握手定理可得n 1+2n 2+3n 3+ +kn k =2(n 1+n 2+n 3+ +n k -1)(4分)解此方程得n 1=2+n 3+2n 4+ +(k -2)n k(2分)30.解:(1)由题30图所示有向图D ,可得其邻接矩阵为M D =0 1 0 01 0 1 01 0 1 1ìîíïïïïïïüþýïïïïïï1 0 1 0(2分)(2)由上述M D ,利用矩阵乘法可得M 2D =1 0 1 01 1 1 12 1 2 1ìîíïïïïïïüþýïïïïïï1 1 1 1 M 3D =1 1 1 13 1 3 14 2 4 2ìîíïïïïïïüþýïïïïïï3 1 3 1 (2分)由此可知,D 中顶点v 3到顶点v 1之间长度为3的通路有4条㊂(2分)四㊁证明题:本大题共3小题,每小题7分,共21分㊂31.证明:∀x ,x ∈P (A )∩P (B )⇔(x ∈P (A ))∧(x ∈P (B ))(1分)⇔(x ⊆A )∧(x ⊆B )(2分)⇔x ⊆A ∩B (1分)⇔x ∈P (A ∩B )(2分)由此可知,P (A )∩P (B )=P (A ∩B )㊂(1分)离散数学试题答案及评分参考第2页(共3页)32.证明:应用量词辖域扩张等值式可得∀x(P(x)→∀y(Q(y)→L(x,y)))⇔∀x∀y(P(x)→(Q(y)→L(x,y)))(1分)⇔∀x∀y(⌝P(x)∨(⌝Q(y)∨L(x,y)))(2分)⇔∀x∀y(⌝P(x)∨⌝Q(y)∨L(x,y))(1分)⇔∀x∀y(⌝(P(x)∧Q(y))∨L(x,y))(2分)⇔∀x∀y((P(x)∧Q(y))→L(x,y))(1分) 33.证明:设n阶图G中的结点为v1,v2, ,v n,易知d(v i)≤nΔ(G) (1)(2分) nδ(G)≤∑ni=1而由握手定理∑n i=1d(v i)=2m (2)(2分)将(2)代入(1),于是得nδ(G)≤2m≤nΔ(G)(2分)从而得到δ(G)≤2m/n≤Δ(G)(1分)五㊁综合应用题:本大题共2小题,每小题7分,共14分㊂34.解:(1)一颗树的边有n-1条,而每条边连接两个结点,故邻接矩阵M(G)中值为1的元素个数为2(n-1)㊂(4分)(2)一颗树中任意两个结点都是连通的,因此M G+M2G+M3G+ +M n G中值为0的元素个数为0㊂(3分) 35.解:(1)A的幂集P(A)={ϕ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}(3分)(2)偏序关系{P(A)-{ϕ},⊆}的哈斯图如答35图所示㊂答35图(2分)由答35图可见,该偏序关系的极大元为A={a,b,c},极小元为{a},{b},{c}㊂(2分)离散数学试题答案及评分参考第3页(共3页)。
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2016年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
离散数学 试卷
(课程代码 02324)
第一部分 选择题
一、单项选择题(本大题共l5小题，每小题l 分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1.下列命题公式为永假式的是
A ．（P Q ）⌝→
B ．（P Q ）Q ⌝→∧
C ．（P Q ）Q ⌝→∨ D. （P Q ）P ⌝∧→
2.偏序关系一定不是
A.自反的
B.传递的
C.反自反的
D.反对称的
3.下列语句为复合命题的是
A.今天天气凉爽
B.今天天气炎热,有雷阵雨
C.x+y > 16
D.今天天气多好呀，外面景色多美呀
4.设R(x): 是实数，L(x,y):x<y,语句“没有最大的实数”可符号化为
5.下列集合关于数的加法和乘法运算不能构成环的是
A.自然数集合
B.整数集合
C.有理数集合
D.实数集合
6.5个结点的非同构的无向树的数目是
A.5
B. 4
C. 3
D.2
7.设A ={1,2,3,4,5,6}，≤为A 上的整除关系，则A 的最小元为
A. 1
B. 3
C. 4
D. 6
8.—颗树有2个3度结点，其余结点都是叶子，则叶子数是
A.7
B.6
C.5
D.4
9.设p:他怕困难,q:他获得成功。
命题“他只有不怕困难,才能获得成功”可符号化为
A. p —>q
B. q —> p
C. ¬p —> q
D.q —> ¬p
10.谓词公式中，变元y 属于
A.约束变元
B.既是自由变元,也是约束变元
C.自由变元
D.既不是自由变元，也不是约束变元
11.下列图对应的格是有补格的是
12.在整数集Z上,下列运算满足结合律的是
A. a * b = | a — b |
B. a * b = ab + 1
C.a * b = 2a +b
D. a * b = a + b + 1
13.设论域为整数集，下列公式中真值为假的是
14.设S = {1，{1},{1,2}}，则既是S的元素又是S的子集的为
A.φ
B. 1
C. {1}
D. {1,2}
15.设简单无向图G有16条边，有3个4度结点,有4个3度结点，其余结点的度数均大于3，则G中的结点个数至多为
A.9
B.10
C.11
D.12
第二部分非选择题
二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)
16.设集合A ={1，3，4}以及A上的一个二元关系R = {<1，3 >, <3,4 >，<3,3>}则自反闭包r(R)=_________,R=-1_________。
17.设A={l,2,3,4},B = {1，2,4,5}, A到S的关系R = { <2,4 > , < 1，1 > , <4,2>}, B 到A的关系 S = {< 4,1 >，< 1,4 > , < 2,3 > },则S。
R=_______。
18.设A= {3,2,4}，B = {2,5,3}，则A㊉B =________,A-B=________。
19.若连通平面图G有10条边，4个面，则G有________ 个顶点。
20.设{ <3，1 >，<2,3 >，<5,3 >，<3,4 >} 是集合A = {1,2,3,4,5}上的关系,则domR=________，randR=________。
21.设集合A有3个元素，则A上的等价关系有________个。
22.设A ={2,4,6，12}，a*b= gcd(a，b),即a、b的最大公约数。
代数系统<A, * >的幺元是 ________，零元是 ________。
23.命题公式¬P∧Q∧¬R的小项编码为________。
24.—个具有10个顶点的简单连通无向图的边数至少为________，至多为________。
25.设S（x）:x 是人，G (x):x会思考，则命题“人都会思考”可符号化为________。
三、计算题 (本大题共5小题，每小题6分，共30分)
26.构造命题公式的真值表。
27.利用等值演算法求命题公式的主合取范式。
28.设A ={∅，{a},{b}，{c},{a,b}，{b，c}，{a,b，c}}，R为A上的包含关系。
（1)画出R的哈斯图；（2)设B= {{b},{a,b} ,{b,c}}，求B的极大元、极小元、上界和下界。
29.设图G如题29图所示。
（1)写出图G的邻接矩阵;（2)G中长为4的通路有几条?(3)其中有几条回路？
30.设解释 I如下：D ={2,3}，已知f(2) =3，f(3) =2, F(2) =0，F(3)=1， G(2,2) =G(2,3),=0,G(3,2)= G(3,3) =1。
求谓词公式在I下的真值。
四、证明题 (本大题共3小题，每小题7分，共21分)
31.设G是无向简单图，有2n个结点且每个结点度数均为a。
证明：G是连通图。
32.设<S, • >是独异点，是单位元，且S中任意x有x•x = e。
证明：<S，• >是交换群。
33.设A，B，C是集合。
证明 A ∩ (B ∪ C) = (A∩B)∪(A∩C)
五、综合应用题 (本大题共2小题，每小题7分。
共14分)
34符号化下列命题，并构造推理证明。
中华牙防组委员会成员都是教授，并且是牙医;有些中华牙防组委员会成员是资深专家。
所以，有的中华牙防组委员会成员是牙医,且是资深专家。
35．用Kruskal算法求题35图中的一棵最小生成树，并画出此树。
(须写出详细过程)。