4-1数值积分

是插值求积公式。 方法1：从求积公式看出，求积节点是
x0 1 / 3 , x1 1 / 3
求积系数是
A0 1 , A1 1
由于
x x1 1 l0 ( x )dx 1 x0 x1 dx
1 1
3 1 1 )dx 1 A ( x 0 3 2 1
b a i
n
判断：插值求积公式是否 收敛？
定义3: 数值求积关于f(xk )计算的稳定性
思考：稳定性与收敛性的关系？ 定理２: （稳定性的一个充分条件）
A
k 0
n
k

→ 稳定性
推论：对插值求积公式，若Ak>0，则方法稳定。
事实上，此时 Ak Ak b - a
k 0 k 0 n n
b n
线性组合。
i 1
故数值积分的基本思想：
用 被 积 函 数 在 积 分 区 间 上 某 些 节 点 xk ， (k=0,…,n) 处的函数值的线性组合作为定积 分的近似值。即
Ak f ( x k ) a f ( x )dx k 0
b n
求积系数
Ak f ( x k ) a f ( x )dx k 0
b a k 0 k k
n
机械型求积方法的两个要素：
求积节点xk (k=0, … , n)的设定 求积系数Ak (k=0, … , n)的确定 机械型求积方法的特点：
将积分求值问题归结为函数值的计算，避开了 牛顿—莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。
二、求积公式的构造-------插值求积公式
定义：插值求积公式
第四章 数值积分与数值微分 §1 数值积分概论
一、数值求积的基本思想 二、代数精度的概念 三、插值型的求积公式 四、例题
一、数值求积的基本思想
1. 定积分及其计算 对于积分
I f ( x )dx
a b
若能找到被积函数f(x)的原函数F(x)，便有 下列牛顿—莱布尼兹公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
Ak l k ( x )dx , ( k 0,..., n)
a b
梯形公式；Simpson公式；….
三、代数精度的概念
1. 为何引入代数精度？ 数值求积方法是近似方法，为了保 证精度，我们自然希望求积公式对“尽 可能多”的函数能准确成立，这就提出 了所谓代数精度的概念。
2. 代数精度的定义
x x0 1 l1 ( x )dx 1 x1 x0 dx
1 1
3 1 1 )dx 1 A ( x 1 3 2 1
用到2个节点，具有至少1次代数精度， 所以是插值求积公式。
五、关于数值求积公式的余项
m指代数精度
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
2
2 I ( x ) x dx 1 3
2 1 2
故
I (1) I1 (1) ,
I ( x ) I1 ( x ),
I ( x 2 ) I1 ( x 2 )
所以求积公式(1)具有1次代数精度。
类似方法可知(2)具有3次代数精度
例2 验证求积公式
1
解
1
1 1 f ( x )dx f ( ) f ( ) 3 3
本章末的Gauss求积法 有此特性。
作业：
P135
习题1(1,4)
注意到 lk(xj)=δkj，上式右端实际上等于Ak，
故是插值求积公式。
四、例题
例1 求以下两个求积公式的代数精度。 (1)
1
1
1
1
(2)
解
1 f ( x )dx [ f ( 1) 2 f (0) f (1)] 2 1 1 f ( x )dx f ( ) f ( ) 3 3
若是插值求积公式，则对于次数≤n的 多项式f(x)，其余项R[f]等于0，故
这时求积公式至少具有n次代数精度。
充分性得证。
必要性 已知求积公式至少具有n次代数精度，则公 式对于插值基函数 lk(x) 应准确成立，即有
A j lk ( x j ) a l k ( x )dx j 0
b n
b
2. 为何要进行数值积分？ 原因： f(x)的原函数难求或太复杂
例
a sin x dx , a
2
b
bsin
x
x
dx 等等
3. 数值积分的基本思想
角度1： 由定积分的定义
f ( i )x i , max x i a f ( x )dx lim 0 i i 1 n 积分和式 f ( i )x i 是一些点上函数值的
设f(x)以离散数据点形式给出
xi yi = f(xi)
x0 y0
x1 y1
n
… …
xn yn
构造插值多项式Ln(x)，并构造如下的求积公式
f ( x k ) l k ( x )dx a f ( x )dx a Ln ( x )dx a k 0
称作是插值求积公式。
b
b
b
插值求积公式是机械型求积公式：
f ( x k ) l k ( x )dx a f ( x )dx a Ln ( x )dx a k 0
b b n b
即：机械型求积公式中的Ak取为
Ak l k ( x )dx , ( k 0,..., n)
a b
注：机械型求积公式未必是插值求积公式
因为求积系数Ak不一定具有形式：
注：(1) 数值积分公式也可以涉及被积函数的函数 值和导数值。
(2) 构造如下形式的数值积分公式（区间端点 未必是积分节点）

1
1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
使其具有尽量高的代数精度。 ——Gauss 求积公式
定理：机械型求积公式
Ak f ( x k ) a f ( x )dx k 0
1 1
(1)记 I ( f ) f ( x )dx
1 I 1 ( f ) [ f ( 1) 2 f (0) f (1)] 2
由于 I (1) 1dx 2
I ( x ) xdx 0
1 1
1
1 I 1 (1) [1 2 1] 2 2 1 I 1 ( x ) [1 0 1] 0 2 1 I 1 ( x ) [1 0 1] 1 2
b a k 0
n

b
f
a
* ( ) ( m 1 ) n 1 x dx Kf ( ) n 1 !
n 1
*由代数精度的概念，可设余项具有此形式。p101
六、关于求积公式的收敛性与稳定性 定义2：收敛性
n h 0 k 0
lim Ak f xk f x dx, h max xi xi 1
定义1 若某个求积公式对于次数 ≤ m 的多项
式均能准确成立，但对于 m+1 次多
项式就不准确成立，则称该求积公
式有m次代数精度。
对代数多项式
注 只需：对1, x,…, xm 均能够准确成立，但
对于xm+1就不准确成立。
3. 代数精度的求得
例 证明：梯形公式具有一次代数精度。 证明 梯形公式 对 f(x)=1 ， 左边= 右边=
b b
故公式至少具有1次代数精度.
对 f(x)=x2 ，
左边=

b
a
f ( x)dx
b
a
ba 1 2 2 [ f (a ) f (b)] (b a )(a b ) 右边= 2 2
1 3 3 x dx (b a ) 3
2
左边≠右边
结论：梯形公式具有一次代数精度。
3. 代数精度的应用：构造数值积分公式
b n
Fra Baidu bibliotek
这类由函数值表出的公式称为 机械型求积公式.
求积节点
此外也有一些求积公式涉及到函数在某些 节点处的导数值。
3. 数值积分的基本思想
角度2： 由定积分中值定理
f xdx b a f
b a
由此知只需寻找f(ξ)的近似值，例如可以用 形如f 的函数值的组合去逼近：
f xdx b a C f x
a
b
ba f ( x )dx [ f (b) f (a )] 2
b
a f ( x )dx a 1dx b a
ba [1 1] b a 2
b
左边=右边
故公式至少具有0次代数精度；
对 f(x)=x ，
1 2 2 f ( x ) dx xdx ( b a ) 左边= a a 2 ba 1 2 2 [ f (a ) f (b)] (b a ) =左边 右边= 2 2
b
n
至少有 n 次代数精度的充分必要条件
是，它是(整体)插值求积公式。 证明： 充分性 由插值余项定理可知，对于插 值求积公式，其余项为
R[ f ] f ( x)dx Ln ( x)dx
a a b b

b
a
f ( n 1) ( ) n 1 ( x)dx (n 1)!
式中ξ与变量x有关。