高中数学第1章三角函数10 三角函数的图象和性质(2)教学案(无答案)苏教版

合集下载

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案苏教版必修4-苏教版高一必修

1.3.2 三角函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少．答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域[－1,1] [－1,1]对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π 单调性在[－π2＋2k π，π2＋在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 2k π](k ∈Z )上单调递减最值在x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max＝1；在x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1在x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min＝－1要点一求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，且y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤s in x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x .从而原式就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.要点四三角函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系．跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最小值等于________．答案－2解析 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－sin 2x ＋2sin x ＋1＝－(sin x －1)2＋2.当sin x ＝－1时，y min ＝－2.2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.3．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)要求原函数的增函数，即求函数y ＝sin x2的减区间．由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内，g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]．1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π2．函数y ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是_______________________________________ _________________________________．答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 3．函数y ＝2sin x的单调增区间是________________．答案 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )解析函数y ＝2x为增函数，因此求函数y ＝2sin x的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间．4．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )＝________. 答案 f (x )＝sin |x |，x ∈R解析当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， ∵f (－x )＝f (x )， ∴x <0时，f (x )＝－sin x . ∴f (x )＝sin |x |，x ∈R .5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案1－22解析由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22＝1－22. 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(cos x )； (2)f (x )＝1＋cos x ＋52π1－cos x ＋52π.解 (1)定义域为R ，f (－x )＝sin(cos(－x ))＝sin(cos x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵cos(x ＋52π)＝cos(x ＋π2)＝－sin x .∴f (x )＝1－sin x1＋sin x .∵1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1， ∴x ≠2k π－π2(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π－π2，k ∈Z }，不关于原点对称．∴原函数为非奇非偶函数．二、能力提升8．下列函数中，周期为π，且在[π2，3π4]上为增函数的有________(只填相应函数的序号)． ①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；③y ＝|sin x |；④y ＝|cos x |. 答案 ①②④解析四个函数的周期都是π，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上为增函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上为增函数，①②都符合；⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π2＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 3π4＝22，③不是增函数，不符合；⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π2＝0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 34π＝22，④符合，故填①②④. 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋a sin x(0＜x ＜π)， ①有最大值而无最小值；②有最小值而无最大值；③有最大值且有最小值；④既无最大值又无最小值．其中正确命题的序号是________．答案 ②解析因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，所以f (x )≥1＋a ，即函数f (x )有最小值而无最大值．10．下列函数中的奇函数的是________．①y ＝－|sin x |；②y ＝sin(－|x |)；③y ＝sin |x |；④y ＝x sin |x |.答案 ④解析利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数．11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . (1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．而当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时， f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x .∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)如图．(3)由于f (x )的最小正周期为π，因此先在[－π，0]上来研究f (x )≥12，即－sin x ≥12，∴sin x ≤－12，∴－5π6≤x ≤－π6. 由周期性知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－56π，k π－π6，k ∈Z 时， f (x )≥12.三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

三角函数的图象与性质教案

三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。

2. 学会绘制和分析三角函数的图象。

3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

4. 能够应用三角函数的性质解决问题。

二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。

2. 三角函数的图象绘制方法。

3. 三角函数的周期性性质。

4. 三角函数的奇偶性性质。

5. 三角函数的单调性性质。

三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。

2. 三角函数图象的绘制和分析。

3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。

2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。

4. 利用例题和练习题巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。

2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。

3. 第三课时：三角函数的周期性性质。

4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。

5. 第五课时：三角函数的单调性性质。

六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 学会应用周期性解决实际问题。

3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。

七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 周期性在实际问题中的应用。

3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。

八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。

2. 相位变换的理解和应用。

九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。

2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。

3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。

十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。

2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。

3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。

十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。

2. 学会应用正切函数解决实际问题。

3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。

高一数学教案：苏教版高一数学三角函数的图象与性质2

1 .132三角函数的图像与性质（2）、课题：正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标： 1. 能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2. 能说出函数y 二sinx , x ・R 和y 二cosx , x ・R 的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。

四、教学过程：一）复习： 1 •三角函数的定义。

（二）新课讲解：解：（1） 2x R ，二 x R ；（2）「x R ，二 x R；2 •正、余弦函数的值域例2:求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1） y =cosx 1 , x R ;（2） y 二 sin2x , x R • 解：（1）使函数y =cosx ・1 ,R 取得最大值的x 的集合，就是使函数 y 二cosx , R 取得最大值的 x 的集合｛x|x =2k 二，k • Z ｝, 所以，函数y 二cosx 1 , x • R 的最大值是「1=2 .（2）令z=2x ，那么R 必须并且只需 z R ，且使函数y 二si nz , z R 取得最大值JI JI的 z 的集合是｛z | z2k 二，k ：= Z ｝，由 2x = z 2k 二，得 x k 二，2 2 4n即:使函数y =sin2x , x R 取得最大值的x 的集合是｛x|x k 二,k Z ｝，函数的最大值是4说明：函数y 二As in （「x 」）,x ，R 的最值：最大值|A|，最小值-|A|. 例3:求下列函数的值域: 解：(1 )••• 0 -sin 2 x -1 ,• 1 -sin 2x 1—2 ,(1) y = sin 2x ； (4) y1 sin x 1 (2) y = cos(x ) ；(3) y = . sin x ； 3 (5) y = 25 -x 2 Igsin x .(3) sin x _ 0, x [2 k 二,2k 二二](k Z); (4) (5)sin x 1 = 0 , • sin x = -1,• x ｛x | x R 且 x = 2k , k = Z ｝； 2 25-x 2 _0 sinx 0 一5乞x 乞5 2k 二：x ： 2k 二（k.Z 厂小—J • (1)_ 1 sin 2 x 1 (2) sin x1 所以，值域为{ y | _空y 乞1}. 2（2） sinx 工, 二—1^s inx^1 , 一 1 一自 1 , 1-y y —11 1解得-仁y ,所以，值域为{y| y }. 3 3五、练习：六、小结：1 •正、余弦函数的定义域、值域；2 •与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。

三角函数的图象与性质教案

三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。

2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。

2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。

三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。

2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。

四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。

2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。

五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。

2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。

3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。

2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。

3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。

七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。

2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。

3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。

八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。

2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。

3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。

九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。

2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。

2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。

三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。

2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。

四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。

2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。

高中数学第1章(三角函数)三角函数的应用教学案苏教版必修4 教学案

某某省射阳县盘湾中学高中数学第1章《三角函数》三角函数的应用教学案苏教版必修4教学目标：会用三角函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。

注重渗透化归与转化的数学思想。

教学重点：三角函数模型的建立教学难点：三角函数模型的建立教学过程：一、问题情境：现实生活中有许多周期运动的现象，你能举一些例子吗？三角函数能够模拟许多周期现象，下面我们就研究三角函数在实际生活问题中的应用问题：如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；（2）求物体在t=5s时的位置.二、学生活动：合作解决上述问题：三、知识建构：应用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：四、知识运用：例2、一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）将点P距离水面的高度z (m) 表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例3、（P43案例）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，考近船坞；卸货后落潮时返回海洋. 下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值.练习：书P44 1、2、3、4五、回顾反思：知识：思想方法：六、作业布置：书P46 10、11。

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(2)课件苏教版必修4.ppt

图象
定义域值域
x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z R
周期奇偶性
对称中心
π 奇
k2π，0，k∈Z
单调性
在开区间－2π＋kπ，π2＋kπ，k∈Z内都是增函数
2.函数 y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是|ωπ|.
Байду номын сангаас答案
返回
题型探究
重点难点个个击破
类型一与正切函数有关的定义域问题例1 求下列函数的定义域： (1)y＝1＋1tan x；解要使函数 y＝1＋1tan x有意义，
∴f(x)的对称中心是kπ＋23π，0，k∈Z.
解析答案
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解析答案
返回
达标检测
1.函数 y＝3tan2x＋π4的定义域是__x_|x_≠__k_2π_＋__π8_，__k_∈__Z___. 解析 2x＋π4≠kπ＋π2即 x≠k2π＋π8，k∈Z， ∴该函数定义域为x|x≠k2π＋π8，k∈Z.
1 234 5
解析答案
1 234 5
2.函数 f(x)＝tanx＋π4的单调增区间为__k_π_－__34_π_，__k_π_＋__π4_，__k_∈__Z__. 解析 kπ－π2<x＋π4<kπ＋π2，k∈Z，则 kπ－34π<x<kπ＋π4，k∈Z， ∴函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z.
反思与感悟
解析答案
(2)比较大小：tan－74π_＞__tan－95π.
解析 ∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tan π4， tan－95π＝－tan2π－π5＝tan π5，又 0＜π5＜π4＜π2，y＝tan x 在0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4， ∴tan－74π＞tan－95π.

高中数学第一章三角函数第10课时1.3.2三角函数的图象与性质1教案苏教版必修20

第十课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1）【教学目标】一、知识与技能：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系教学重点难点：几何法作正弦曲线【教学过程】一、新课讲解1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起，把⊙1O 分成12等份，过⊙1O 上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ等角的正弦线；（2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的sin y x =，x R ∈ππ- 2π- cos y x =，x R ∈2π32π2π-32π- 图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。

2．余弦函数的图象由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =， x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：3．五点法作图：找出关键五点：平衡点、最高（低）点sin y x =，[0,2]x π∈；向左平移2π个单位 32π2ππ 2π注意：（1）与函数y=sin(x+2π的图象相同（2）将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象（3）也同样可用五点法作图：的五个点关键是：(0,1) (2π-1) (23π4、正弦、余弦函数的定义域正、余弦函数的值域二、例题分析例1、作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，(2)y=－cosx ，x ∈[0，2π]，例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x21cos )2(≤x例3、求下列函数的定义域：（1）y = （2）1sin 1y x =+；（3）lgsin y x =例4、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？（1）cos 1y x =+，x R ∈；（2）sin 2y x =，x R ∈．三、课堂小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图3.运用函数图象求解函数定义域. 四、作业：1．用五点法作图：（1）y=1-sinx ， x ∈ [0，2π] （2）y=3cosx ，x ∈[0，2π] （3）y=2sinx-1，x ∈[0，2π] （4）y=sin|x|，x ∈[-2π，2π] 2．求函数定义域 (1)1sin 1-=x y (2) )3sin 2lg(+=x y (3)xy sin 1-= (4))3sin 2lg(+=x y +29x -3．求函数最值域并求出此时自变量x 的集合（1）32sin y x =+；（2）cos 3cos 2x y x +=+（3）sin sin 2xy x =+。

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。

2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。

2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。

3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。

4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

教案编写完毕，仅供参考。

如有需要，请根据实际情况进行调整。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。

2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。

3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。

三角函数的图像与性质教学设计

三角函数的图像与性质教学设计一、教学目标：1. 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其图像特点；2. 掌握在不同角度范围内，三角函数图像的变化规律；3. 理解三角函数的周期性和对称性；4. 能够利用三角函数的图像性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 正弦函数的定义及其图像性质；2. 余弦函数的定义及其图像性质；3. 正切函数的定义及其图像性质；4. 三角函数的周期性和对称性；5. 利用三角函数图像性质解决实际问题。

三、教学过程：导入（5分钟）：通过提问方式引入三角函数的概念，了解学生对该概念的初步认知，引发学生的兴趣。

展示（10分钟）：利用投影仪或白板展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，并让学生观察和比较它们的相似之处和不同之处。

讲解（15分钟）：详细讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其图像性质，包括振幅、周期、对称轴和图像的递增递减部分。

练习（15分钟）：让学生根据所学知识练习画出给定角度范围内正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，并理解图像的变化规律。

巩固（10分钟）：出示几道简单的应用题，让学生运用三角函数的图像性质解决实际问题，如寻找某一角度对应的函数值、计算两角间的夹角等。

拓展（10分钟）：引导学生思考更广泛的问题，如三角函数的图像在平面几何中的应用，如何利用三角函数的图像找出最值、极值点等。

总结（5分钟）：对本次课所学内容进行总结，强调三角函数图像与性质之间的联系，并解答学生的疑问。

四、教学方法与手段：1. 演示法：通过投影仪或白板展示三角函数的图像，帮助学生直观地理解三角函数的性质；2. 解答法：通过解答学生在练习和应用过程中遇到的问题，加深学生对三角函数图像与性质的理解；3. 探究法：通过引导学生思考更广泛的问题，培养学生的创新思维能力。

五、教学评价与反思：在教学过程中，教师可以通过观察学生的学习情况和教学效果，以及布置的相关作业，来评价学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

高中数学新苏教版精品学案《三角函数的图象与性质》

三角函数的图像与性质【学习目标】1．了解正弦函数、余弦函数的图像。

2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图像。

【学习重点】正弦函数、余弦函数的图像与其性质【学习难点】借助三角函数线画出函数的图像【学习过程】【第一课时】知识梳理1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数＝in ，∈[0，2π]的图像，五个关键点是________________；画余弦函数＝co ，∈[0，2π]的图像，五个关键点是________________________。

3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式co ＝in错误!，要得到＝co 的图像，只需把＝in 的图像向________平移错误!个单位长度即可。

【达标检测】一、填空题1．函数＝in 的图像的对称中心的坐标为________。

2．函数f＝co ＋1的图像的对称中心的坐标是________。

3．函数＝in ，∈R的图像向右平移错误!个单位后所得图像对应的函数解析式是__________。

4．函数＝错误!的定义域是________________。

5．函数＝|in |的图像的对称轴方程是________。

6．方程2－co ＝0的实数解的个数是________。

7．设0≤≤2π，且|co －in |＝in －co ，则的取值范围为________。

8．在0，2π内使in >|co |的的取值范围是________。

9．方程in ＝g 的解的个数是________。

＝2co 0≤≤2π的图像和直线＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是______。

二、解答题11．分别作出下列函数的图像。

（1）＝|in |，∈R；（2）＝in||，∈R。

12．作出下列函数的图像，并根据图像判断函数的周期性：（1）＝错误!co ＋|co |；（2）＝|in ＋错误!|。

能力提升13．求函数f＝g in ＋错误!的定义域。

14．函数f＝in ＋2|in |，∈[0，2π]的图像与直线＝有且仅有两个不同的交点，求的取值范围。

高一数学教案[苏教版]三角函数的图象与性质2

1.3.2 三角函数的图像与性质（2）一、课题：正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。

四、教学过程：（一）复习：1．三角函数的定义。

（二）新课讲解：1（1）sin 2y x =；（2）cos()3y x π=+；（3）y =；（4）1sin 1y x =+；（5）lgsin y x =．解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈；（2）3x R π+∈， ∴x R ∈；（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z ππ≠-∈；（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--．2．正、余弦函数的值域（1）cos 1y x =+，x R ∈；（2）sin 2y x =，x R ∈．解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1．说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -．例3：求下列函数的值域：（1）21sin 1y x =+；（2）sin sin 2x y x =+．解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤ 所以，值域为1{|1}2y y ≤≤．（2）2sin 1y x y=-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111y y -≤≤-，解得113y -≤≤，所以，值域为1{|1}3y y -≤≤．五、练习：六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象和性质导学案苏教版必修4

1.3.2 三角函数的图象与性质课堂导学三点剖析1.正弦函数、余弦函数的主要性质【例1】求下列函数的定义域：（1）y=236x-+lgcosx; (2)y=log sinx (cosx+21). 思路分析：利用三角函数单调性求解.解：（1）由⎩⎨⎧>≥-0cos ,0362x x 得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-.,2222,66Z k k x k x ππππ由上图可知不等式组的解集为［-6，-π23)∪(-2π,2π)∪(π23,6］. 故原函数的定义域为［-6，-π23)∪(-2π,2π）∪(π23,6］.(2)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠>,21cos ,1sin ,0sin x x x得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<-+≠+<<,322322,22,22πππππππππk x k k x k x k (k∈Z ).∴原函数的定义域为（2kπ,2kπ+2π）∪（2kπ+2π,2kπ+23π）k∈Z . 温馨提示求函数的定义域,就是求使函数式有意义的x 值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出. 【例2】比较下列各组中四个值的大小：（1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4.思路分析：转化到同一单调区间再比较. 解析：（1）∵0＜1＜2π＜2＜3＜π＜4＜π23, ∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3). 而0＜π-3＜1＜π-2＜2π,正弦函数y=sinx 在（0，2π）上为增函数， ∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3), cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜2π,余弦函数y=cosx 在（0，2π）上为减函数， ∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2), 即cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4; (2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 温馨提示①要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间. 2.正弦函数和余弦函数图象间的关系【例3】作函数y=x 2cos 1-的图象.思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 解：y=x 2cos 1-化为y=|sinx|, 即y=⎩⎨⎧+<<+-+≤≤,222,sin ,22,sin πππππππk x k x k x k x (k∈Z )其图象如下图.温馨提示①画y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π. 3.三角函数图象和性质综合应用【例4】作出函数y=|tanx|及y=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期. 思路分析：利用分段函数图象的画法. 解：（1）y=|tanx|=,0tan ,0tan ,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=|tanx|的图象如下：由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期T=π,函数是偶函数.函数的单调增区间是（kπ,kπ+2π）（k∈Z ）,减区间（kπ-2π,kπ）(k∈Z ). (2)y=tan|x|=,0,0,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=tan|x|的图象如下：由y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但y=tan|x|是偶函数，单调增区间［0, 2π）∪（kπ+2π,kπ+π23）（k∈N）.函数的单调减区间（-2π,0］∪（kπ-π23,kπ-2π)(k∈Z 且k≤0).各个击破类题演练1求y=225sin x x -+的定义域. 解：根据函数表达式可得⎩⎨⎧≤≤-∈+≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥.55),(22,025,0sin 2x Z k k x k x x πππ 作出下图.由图示可得，函数定义域为［-5,-π］∪［0,π］. 变式提升1求下列函数的定义域.（1）y=xx tansin+;(2)y=)82cos(1tan)1sin2lg(π+--+-xxx解：(1)⎩⎨⎧≥≥,0tan,0sinxx将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图由图显然可得函数定义域集合为{x|2kπ≤x＜2kπ+2π,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π,k∈Z}.(2）由⎩⎨⎧≥-->-,01tan,01sin2xxcos(2x+8π)≠0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠+-≤>.,282,1tan,21sinZkkxxxπππ可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠∈-≤<-+<<+.432,42,65262ππππππππππkxZkkxkkxk其中∴函数定义域为{x|2kπ+2π＜x＜2kπ+43π,k∈Z}.类题演练2已知函数y=acosx+b 的最大值是1，最小值是-3，试确定f(x)=bsin(x+3π)的单调区间. 解：若a ＞0.则a+b=1,-a+b=-3,解得a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+3π).设k∈Z ,2kπ-2π≤2x+3π≤2kπ+2π时，f(x)单调递减，2kπ+2π≤2x+3π≤2kπ+π23的f(x)单调递增.于是，单调递减区间为［kπ-π125,kπ+12π］(k∈Z ),单调递增区间为［kπ+12π,kπ+π127］,k∈Z . 若a ＜0,则-a+b=1,a+b=-3,∴a=-2,b=-1.f(x)=-sin(-2x+3π)=sin(2x-3π). 其单调递增区间为［kπ-12π,kπ+125π］,k∈Z ,单调递减区间为［kπ+π125,kπ+π1211］,k∈Z .变式提升2 函数y=2sin(x 26-π)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（）A.［0,3π］ B.［12π,127π］ C.［3π, 65π］ D.［65π,π］思路分析：利用三角函数的性质，求出y=2sin(6π-2x)在R 上的单调增区间，取特殊值验证即可解决此类问题.解：2sin(6π-2x)=-2sin(2x 6π-),当2kπ+2π≤2x 6π-≤2kπ+π23,即kπ+3π≤x≤kπ+65π (k∈Z ),当k=0时得在［0,π］上的单调增区间为［3π, 65π］.答案：C类题演练3 函数y=3sinx,x∈［-2π,23π］的简图是（）思路分析：用五点法作图即可得出答案. 答案：A 变式提升3函数y=-cosx 的图象与余弦函数的图象（）A.只关于x 轴对称B.只关于原点对称C.关于原点、x 轴对称D.关于原点、坐标轴对称解析：对于y=cosx 与y=-cosx ，当x 取相同值时，y 值相反，所以图象关于x 轴对称. 答案：A 类题演练4(2006全国高考Ⅰ，理5文6)函数f(x)=tan(x+4π)的单调增区间为（） A.(kπ-2π,kπ+2π),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C.(kπ43π-,kπ+4π),k∈Z D.(kπ-4π,kπ+43π),k∈Z解析：kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π(k∈Z ),∴单调增区间为(kπ43π-,kπ+4π),k∈Z .答案：C变式提升4(2004天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(π35)的值为（）A.-21 B. 21C.32-D.32解：f(π35)=f(π+π32)=f(π32)=f(π-3π)=f(-3π)=f(3π). ∵当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx,∴f(3π)=sin 3π=32. 答案：D 温馨提示三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非偶函数.如f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质，也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等.。

高中数学第一章三角函数第四节三角函数的图象与性质(第二课时)示范教案数学教案

第一章第四节三角函数的图象与性质第二课时整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质．正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深入研究函数性质的思想方法．教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路 2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sin x又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗？如果是，又是怎样周期性变化的？问题②阅读教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢？从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．对问题①，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．图1问题②，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x＋T)＝f(x)，其中T是非零常数，那么f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．讨论结果：①正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．②略．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明. ②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题①，学生一时可能难以理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f (x ＋T )＝f (x )，那么T 就不是f (x )的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k ∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)≠sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝s in30°，但不是对所有x 都有f (x ＋120°)＝f (x )，所以120°不是f (x )的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．讨论结果：①略．②定义法、公式法和图象法．应用示例思路1例1求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(x 2－π6)，x ∈R . 活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x ＋2π)＝3cos x ，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x ＋π)＝－3cos x ≠3cos x ，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x ，可把2x 看成一个新的变量u ，那么cos u 的最小正周期是2π，就是说，当u 增加到u ＋2π时，函数cos u 的值重复出现，而u ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)，所以当自变量x 增加到x ＋π且必须增加到x ＋π时函数值重复出现．因为sin2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[12(x ＋4π)－π6]＝2sin[(x 2－π6)＋2π]＝2sin(x 2－π6)．所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f (x ＋T )＝f (x )中，T 是相对于自变量x而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.可以按照如下的方法求它的周期： y ＝A sin(ωx ＋φ＋2π)＝A sin[ω(x ＋2πω)＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)．于是有f (x ＋2πω)＝f (x )，所以其周期为2πω.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y ＝sin x 的周期为2π.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例1中的第(3)小题：T ＝2πω＝4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法.思路2例1判断函数f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f (x ＋T )＝f (x )成立的T 的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．解：因为f (x ＋π)＝2sin 2(x ＋π)＋|cos(x ＋π)|＝2sin 2x ＋|cos x |＝f (x )．所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f (x )中的x 以x ＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，在f (x )＝2sin 2x ＋|cos x |，x ∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期.知能训练课本本节练习解答：1．成立．但不能说12°是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x的一切值都成立．例如sin(20°＋120°)≠sin20°.点评：理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义．2．(1)8π3；(2)π2；(3)2π；(4)6π. 点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x 的系数有关．3．可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域．点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质．可让学生课堂讨论，然后归纳总结．课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些？〔周期函数的概念，最小正周期的定义，正弦、余弦函数的周期性，y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期〕．并思考总结本节都用了哪些数学方法？(观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点) 作业1．课本习题 A 组3，B 组3.2．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么，以后有些题就会很难做．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律．让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．。

高中数学第1章三角函数10 三角函数的图象和性质(2)教学案(无答案)苏教版

高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案 苏教版必修4-苏教版高一必修

三角函数的图象与性质教案

高一数学教案：苏教版高一数学三角函数的图象与性质2

三角函数的图象与性质教案

三角函数的图像与性质教案

高中数学 第1章(三角函数)三角函数的应用教学案 苏教版必修4 教学案

高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(2)课件 苏教版必修4.ppt

高中数学第一章三角函数第10课时1.3.2三角函数的图象与性质1教案苏教版必修20

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质教学设计

高中数学新苏教版精品学案《三角函数的图象与性质》

高一数学教案[苏教版]三角函数的图象与性质2

高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象和性质导学案 苏教版必修4

高中数学 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图象与性质(第二课时)示范教案数学教案

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案苏教版必修4-苏教版高一必修

高中数学第1章(三角函数)三角函数的应用教学案苏教版必修4 教学案

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(2)课件苏教版必修4.ppt

高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象和性质导学案苏教版必修4

高中数学第一章三角函数第四节三角函数的图象与性质(第二课时)示范教案数学教案