MSDC.初中数学.中考冲刺.第08讲.教师版

无论在中考还是平时的各种考试，涉及最后的一道几何压轴题，基本上考察的内容是与旋转有关的题型是最多的，其他是翻折(轴对称)，最少的是与平移有关的题型，而且有的时候某些题型会涉及到旋转和对称有关的知识，因此熟练掌握一些常见的题型与解决方法由为重要。

题型一：轴对称与作图题型说明：此类问题多数会在题干中，给出解决问题的基本思路，因此审题成为解决此类问题的关键。

【例1】 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，8AD =cm ，6AB =cm 。

现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少。

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折迭，得到矩形11A B CD ，由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =。

请你参考小贝的思路解决下列问题：⑴P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是 cm ；⑵近一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上。

若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则:AB AD 的值为 。

【答案】⑴5；242；例题精讲图1ABP1P 2P 3ABDEPA 1P 1P 2 P 31图2翻折与几何探究⑵解题思路示意图：【例2】 如图①，在ABC ∆中，已知45BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，2BD =，3DC =，求AD 的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，如图，她分别以AB 、AC 为对称轴，画出ABD ∆、ACD ∆的轴对称图形，D 点的对称轴为E 、F 延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形。

设AD x =，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值 ⑴请你帮小萍求出x 的值⑵参考小萍的思路，探究并解答新问题如图②，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，4AD =，请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF ，求BGC ∆的周长（画图所用字母与图①中的字母对应）①G FEDCBA②DCBAG FEABCD【答案】⑴设AD x =，由题意得2BG x =-，3CG x =-在Rt BCG ∆中，由勾股定理可得222(2)(3)5x x -+-=，解得6x =⑵参考小萍的作法得到四边形AEGF ，60EAF ∠=︒，120EGF ∠=︒，90AEG AFG ∠=∠=︒，4AE AF AD ===，连接EF ，可得AEF ∆为等边三角形∴4EF =， ∴30FEG EFG ∠=∠=︒ ∴EG FG = 在EFG ∆中，可求，EG ， ∴BGC ∆的周长2BG CG BC BG CG EB FC EG =++=+++==【例3】 已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．D 1ABC DA 2A 1B 1C 1B 2⑴若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；⑵实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．⑴重叠三角形A B C '''的面积为 ；⑵用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．【答案】⑴重叠三角形A B C '''⑵用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''2)m -；m 的取值范围为．．．．．．843m <≤题型二：利用对称变换----线段和最短问题题型说明：利用对称变换构造全等三角形，转化三角形的边与角之间的数量关系，利用三角形边的性质解决实际问题【例4】 请阅读下列材料：问题：如图①，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=︒，试判断AB CD +与AD 之间的大小关系小学同学的思路是：作B 点关于AM 的对称点E ，连接AE 、ME 、DE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

图1图2AC B备用图ACB备用图③MDCB A②①ABCDM M DCBA请你参考小学同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴写出上面问题中AB CD +与AD 之间的大小关系⑵如图②，若将AM D ∠的度数改为120︒，原问题中的其他条件不变，证明：12AB BC CD AD ++≥⑶如图③，若135AMD ∠=︒，1AB =，BC =2CD =，求AD 的最大值【答案】⑴AB CD AD +≥⑵作B 点关于AM 的对称点E ，作C 点关于DM 的对称点F 连接AE 、EF 、DF由轴对称的性质可知AEM ABM ∆∆≌，DFM DCM ∆∆≌ ∴AE AB =，DF CD =，EM BM FM CM ===AM E AM B ∠=∠，FMD CMD ∠=∠∴60EMF ∠=︒，∴12EF EM FM BC ===∴AE EF FD AD ++>，当AE 、EF 、FD 共线的时候等号成立，即12AB BC CD AD ++≥⑶由⑵的结论，可得2AB BC CD AD ++≥∴125AD AB CD ≤+=+=，所以AD 的最大值为5 【例5】如图，在直角坐标系中，直线2y =+分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点。

将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45︒得到射线AN 。

点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在MAN ∠的内部。

⑴求线段AC 的长⑵当AM x ∥轴，且四边形ABCD 为梯形时，求BCD ∆的面积； ⑶求BCD ∆的周长的最小值⑷当BCD ∆的周长取得最小值，且BD =时，求BCD ∆的面积【答案】⑴令2y =+中0x =，得2y =，故(0,2)A 令0y =，得x =CFE ②ABCDM由勾股定理可得，4AC⑵当AM x∥轴，且四边形ABCD为梯形时，若AD BC∥，则2OB OA==，2BC OC OA=-=,122BCDS BC OA∆=⨯⨯=若AB CD∥，设射线AN与x轴的交点为E，则2BCD ECDS S∆∆==⑶作点C关于AM、AN的对称点'C，"C由两点之间线段最短可知，BCD∆的周长的最小值为'"C C易知，'"C AC∆为等腰直角三角形，'4AC=,故'"C C=即BCD∆的周长的最小值为⑷当BCD∆的周长取最小值时，且BD=时，有BC CD+=BC CD⊥故222509BC CD BD+==,22218[()()]23BC CD BC CD BC BD⋅=+-+=11842233BCDS BC CD∆=⋅=⨯=题型三：利用对称变换----判断三角形的形状题型说明：利用对称变换判定三角形的形状，主要出现在“角含半角”类的题型中，尤其以等腰直角三角形或正方形的载体出现居多【例6】如图①、②是两个相似比为DMN∆和ABC∆，将这两个三角形如图③放置，DMN∆的斜边MN与ABC∆的一直角边AC重合.⑴在图③中，绕点D旋转DMN∆，使两直角边DM、DN分别与BCAC、交于点FE,，如图④.求证：222AE BF EF+=；⑵在图③中，绕点C旋转DMN∆，使它的斜边CM、直角边CD的延长线分别与AB交于点FE、，如图⑤，此时结论222AE BF EF+=是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.⑤④③②①C (N )MFEDBAFENMDA BCDA (M)BC (N )CBANM D⑶如图⑥，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点且满足CEF∆的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于点NM、.线段BM、MN、DN恰能构成三角形. 请指出线段BM、MN、DN所构成的三角形的形状，并给出证明.NM FE DCBA⑥GFEN MD ABCHC BA D MNEFPABD EF MC (N )【答案】⑴方法一：延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接AG 、EG需证明ADG BDF ∆∆≌，EG EF =，AGE ∆是直角三角形，下略 方法二：作点A 关于MD 的对称点H ，连接HE 、HD 、HF 易证ADE HDE ∆∆≌，HDF BDF ∆∆≌，EHF ∆为直角三角形，下略 ⑵如图，作点A 关于CM 的对称点P ，连接PE 、PC 、PF 易证ACE PCE ∆∆≌，CFP CFB ∆∆≌，EPF ∆为直角三角形，下略⑶本问分两个阶段，第一阶段证明45EAF ∠=︒，第二阶段证明222BM DN MN +=第一阶段证明：延长CB 到点P ，使得BP DF =，连接AP ，在AP 上取一点Q ，使得AQ AN =，连接QM 、BQ ，易证ABP ADF ∆∆≌，易证90PAF ∠=︒，AP AF = ∵CEF ∆的周长是正方形ABCD 的一半，∴EF PE =，易证APE AFE ∆∆≌ 则45PAE FAE ∠=∠=︒第二阶段证明：需要证明QAB NAD ∠∆≌转化BQ ND =，以及证明QBM ∆为直角三角形PQABCD EFMNNMFEDCBAQ第二阶段证明方法二：作点B 关于AM 的对称点Q ，连接MQ 、AQ 、NQ 证明AQM ABM ∆∆≌，ANQ AND ∆∆≌，MQN ∆为直角三角形即可题型四：利用对称变换----构造等腰或等边三角形题型说明：等腰三角形与等边三角形本身就是轴对称图形，所以利用等腰三角形的对称性有的时候可以使问题变的非常简单【例7】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=.点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.（1）若过点D 作DE AB ⊥于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF k EF =⋅，则_______k =； （2）若将图1中的ADE ∆绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：2BE DE CF -=；（3）若6BC =，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．备用图图2图1CBAADEFCBFEDCBA【答案】本题方法不唯一，这里只给出利用对称解决的方法⑴1k =⑵在BD 上取一点M ，使得EM DE =，延长BC 到点N 使得CN BC =，连接AM 、DN 、AN 易证ADM ∆、ANB ∆为等腰三角形，且DAM BAN ∠=∠，易证ADN AMB ∆∆≌，则DN BM =12CF DN =，2BM BE DE CF =-=NMADEFCBBCN⑶本问看似复杂，实则简单，∵无论ADE ∆旋转到任何位置，2DNCF =是始终成立的，而AD 、AN 的长度始终固定(相当于转化为已知三角形两边长，求第三边的取值范围) 当12AC =、4AD =时，816DN ≤≤;当12AC =、8AD =时，420DN ≤≤ ∴CF 的最大值为8或10【例8】 问题：已知ABC ∆中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC ∆内的一点，且AD CD =，BD BA =。