MSDC.初中数学.中考冲刺.第09讲.教师版

在各种考试的几何压轴题压轴题中，平移，轴对称，旋转中，旋转考查的最多，但是很多题目之间，都有很多类似的地方，也就是“共性”问题，充分的掌握这些“共性”问题的分析思路和解决方法，能够使学生快速的发现解决问题的关键因素。

本讲会给出与旋转有关，且经常在考试中出现的几种基本模型模型一：共顶点旋转模型模型说明：本模型是由全等三角形中一道最基本，最经典的题型，由此题型可演变出很多变化，注意让学生体会，各种变化之间相同点和不同点。

下面给出基本模型，此部分内容系个人总结，如果还有不完善的地方，或者还有其他补充，亦或者还有更好的命名方式，易于学生记忆和理解，请到教师论坛→初数版块→疑难交流区进行反馈，大家一起讨论以下图形虽然很多，但都是一个基本模型，共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形例题精讲旋转与几何探究共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化而我们都知道，“全等三角形”是“相似三角形”的一种特殊情况，因此此模型进一步延伸，可引出相似三角形，也就是此模型的最一般的情况，也就是“通法”“共性”，下面也会给出几组连续变化的图形，注意仔细体会各种变化之间的区别与联系共性：ADAB=AEACCEEDCBA共顶点相似的直角三角形共顶点相似的一般三角形共顶点相似的直角三角形各部分阴影三角形相似的判定方法，均是：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，类比“SAS”真题体验【例1】以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90BAD CAE∠=∠=︒.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．⑴如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是 ；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．【答案】此题方法不唯一⑴AM DE ⊥，12AM DE =;⑵结论仍然成立。

如图，延长CA 至F ，使FA AC =，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．∵DA BA EA AF ⊥⊥，，∴90BAF DAF EAD ∠=︒+∠=∠． 在FAB ∆与EAD ∆中，FA AEBAF EAD BA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAB EAD ∆∆≌.∴BF DE F AEN =∠=∠，.∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=︒. ∴FB DE ⊥. 又CA AF =，CM MB =，∴AM FB ∥且12AM FB =∴12AM DE AM DE ⊥=，． 【例2】 ⑴ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=，120BCD ∠=，证明：BC +DC AC =.⑵ 如图所示，在四边形ABCD 中，AB BC =,60ABC ∠=，P 为四边形ABCD 内部一点，120APD ∠=，证明：PA PD PC BD ++≥.DCBAPDCBA【答案】方法不唯一：⑴延长CB 到点E 使得BE CD =，连接AE 证明ABE ADC ∆∆≌即可，过程略⑵延长DP 到点Q ，使PQ AP =，连接AQ ，BQ ，AC ，BDFPN MEDCBA图①NM EDC BA图②NM EDCBABED易证ABC∆，APQ∆均为等边三角形，下略【例3】已知：PA=4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.⑴如图，当45APB∠=︒时，求AB及PD的长；⑵当APB∠变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB∠的大小.PDCBAEABCDP【答案】⑴过点A作AE AP⊥，且AE AP=，连接PE，EB，证明AEB APD∆∆≌，即可求出BE,PD 过点A作AF PB⊥，应用解直角三角形的知识即可求出AB，过程略相信会有部分学生认为，前面的模型好理解，但是为什么这个题的辅助线，我就想不到呢？老师，你是怎么思考的呢？其实这就是对上述模型的理解，第一种理解方式，如图，已知的是两个等边或等腰三角形，证明全等第二种理解方式，如图，一个三角形绕着一个顶点旋转会形成两个等腰或等边或等腰直角三角形第二种理解方式第一种理解方式下面给出连续的变化图，辅助线就是这样想出来的，属于第二种理解方式，包括例1，例2的辅助线也是从这个角度去出发，CP BBP⑵当135APB∠=︒时，PD取得最大值为6思考方式：如图，∵AP6PB=固定不变，所以无论APB∠如何变化，ADP ABE∆∆≌，2PE=，BE PD=这些条件始终不变，因此就将此问转变成“已知PE，PB的长度，求BE的最大值”，因此只有E，P，B三点共线时，由此反求135APB∠=︒EABCDP【例4】 如图1，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．⑴求证：AD AE =；⑵如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -； ⑶请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图3图2图1FPABCDE AB CDE E DCBA【答案】⑴略；⑵在DP 上取一点M ，使得DM EF =，连接AM ，证明AFE AMD ∆∆≌即可其他略辅助线思路MF PAB CEDB DB⑶结论：DF EF +=辅助线：延长FD 到点M 使得DM EF =，连接AM ,证明AEF ADM ∆∆≌即可辅助线思路B【例5】 如图①，已知ABC ∆是等腰直角三角形，BAC ∠，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG ．⑴试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．⑵将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于︒0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．⑶若2BC DE ==，在②的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．AB CD EFG②①G FEDC BA【答案】⑴BG AE =；第⑵，⑶问的提示如下：过程略，AE 的最大值为3AGEFGGC【例6】 已知：如图，OAB ∆与OCD ∆为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒．⑴如图①，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，联结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，联结OM ，请你猜想OM 与AD 的数量关系： （直接写出答案，不必证明）； ⑵如图②，在图1的基础上，将OCD ∆绕点O 逆时针旋转一个角度α(︒<<︒900α)． ①OM 与AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； ②求证：OM AD ⊥．②①MACOD BMODCBA【答案】⑴2AD OM =;⑵方法不唯一：如图，延长CO 到点N ，使ON OC =，连接BN ,其他略ABD O CAM【例7】 已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。

⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠= ⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长；⑶如图③，若ACD ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

③②①AH CBDDCBADCBA【答案】⑴略；⑵如图，以AE 为边作等边三角形ABE ，连接BE 、CE ，其他略CB C B B C⑶如图，辅助线虽然相对容易能够知道位置，但是本题比较特殊，或难点在于如何利用给出的已知条件2224BD AH BC =+，如何描述辅助线，将直接影响到能否解决本问HC BH CBBCH下面给出参考方法，注意体会为什么这样做辅助线，而不是像以前的题型一样，为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第⑶问：(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)如图，在BC 上取点G ，使得HG BH =，连接GA 并延长到点F ，使得AF AG =，连接BF FC = 易证BFG ∆为直角三角形，且2BF AH =，∴BFC ∆也为直角三角形，由勾股定理可得222BF BC FC +=，∴2224BC AH FC +=，∵2224BD AH BC =+，∴FC BD =此时，易证BAD FAC ∆∆≌(SSS)，则易证2FAB DAC ABC ∠=∠=∠HCB全等三角形的例子就举例到这里了还有很多，下面举出一些相似例子【例8】 我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形⑴写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称:_______________ ⑵如图①，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，垂足为O 求证：2222AD BC AB DC +=+⑶如果将①中的AOD ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α(090α︒<<︒)后得到图②，那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。

①ODCBAABCDO②【答案】⑴略；⑵提示：四个勾股定理；⑶如图：证明AOC DOB ∆∆∽即可，其他略ABCDOBBB【例9】 如图①，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：⑴请直接写出图①中线段BG ，线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；⑵将图①中的正方形CEFG 绕点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②，图③的情况，请你通过观察，测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断③②①O ABCDEFGABCDEFG G FE DC BA⑶将原题中正方形改为矩形（如图④～⑥），且,,,AB a BC b CE ka CG kb ==== (,0)a b k ≠> ，试判断⑵中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，请用图⑤进行证明.⑷在图⑤中，连结DG 、BE ，且14,2,2a b k ===，则22BE DG += ． ⑥⑤④OA BCDEFG ABC DEF GGFEDC BA【答案】略，请参考上面例题的思路【例10】 如图①，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE BC ∥，将ADE ∆绕A 点顺时针旋转一定角度，连结BD 、CE ，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使12DM BD =，12EN CE =，连结AM 、AN 、MN ，得到图③，请解答下列问题：⑴若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，并证明你的猜想； ⑵若AB k AC =⋅（1k >），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN ∠与BAC ∠的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【答案】略【例11】 已知ABC ∆中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE AB ∥．将CDE ∆绕点C 按顺时针方向旋转得到''CD E ∆（'180BCE ∠<︒），连接'AD 、'BE ，设直线'BE 与AC 、'AD 分别交于点O 、F ．⑴如图1，若ABC ∆为等边三角形，则''AD BE 的值为________，AFB ∠的度数为________；⑵如图2，若ABC ∆满足60ACB ∠=︒，AC，BC =①求''AD BE 的值和AFB ∠的度数；②若E 是BC 的中点，求OBC ∆面积的最大值．D BC A E图① D B C A 图②ED B C A图③ E MND B CA 图④E M N图2图1ABCD E D'E'F OOF E'D'E D C BA【答案】略：提示思路，第⑴问全等三角形，第⑵问相似三角形图2图2BD'BD'CE D'图1第⑵问的②问，解决思路如下，当CDE ∆在旋转的过程中，点E 在以点C 为圆心，12BC 为半径的圆上，∴易证，当E 运动到圆C 与线段AC 的交点时，BE AC ⊥，此时CE 达到最大值，O 与E 重合，此时OBC ∆OE'ED CBA图2模型二：对角互补类—四边形模型模型说明：本模型是模型一的延伸和变形，所以从某种程度上，两个模型有相通之处，而之所以提出此类模型，是因为在不同的题目之间，所给出已知条件以及图形的展现形式不同。